数论部分
2018A 四、(本题满分50分)数列{}n a 定义如下:1a 是任意正整数,对整数1≥n ,1+n a 与∑=n
i i
a
1
互
素,且不等于n a a a ,.,,21 的最小正整数,证明:每个正整数均在数列{}n a 中出现。
★证明:显然11=a 或者12=a .下面考虑整数1>m ,设m 有k 个不同的素因子,我们对k 归纳证明
m 在{}n a 中出现.记n n a a a S +++= 21,1≥n .
1=k 时,m 是素数方幂,记αp m =,其中0>α,p 是素数.假设m 不在{}n a 中出现.由于{}n a 各
项互不相同,因此存在正整数N ,当N n ≥时,都有αp a n >.若对某个N n ≥,n S p |/,那么αp 与
n S 互素,又n a a a ,.,,21 中无一项是αp ,故有数列定义知αp a n ≤+1,但是αp a n >+1,矛盾!
因此对每个N n ≥,都有n S p |.又1|+n S p ,可得1|+n a p ,从而1+n a 与n S 不互素,这与1+n a 的定义矛盾!
假设2≥k ,且结论对1-k 成立.设m 的标准分解为k k p p p m αα
α 2121=.假设m 不在{}n a 中出现,于
是存在正整数/N ,当/
N n ≥时,都有m a n >.取充分大的正整数
121,,-k βββ ,使得
n N n k a p p p M k /1211121max ≤≤->=-βββ .
我们证明,对/
N n ≥,有M a n ≠+1.
对于任意/
N n ≥,若n S 与k p p p 21互素,则m 与n S 互素,又m 在n a a a ,.,,21 中均未出现,而
m a n >+1,这与数列的定义矛盾,因此我们得到:对于任意/N n ≥,n S 与k p p p 21不互素*,
⑴若存在i (11-≤≤k i ),使得n i S p |,则()1,1=+n n S a ,故1|+/n i a p ,从而M a n ≠+1(因为M p i |)。 ⑵若对每个i (11-≤≤k i ),均有n i S p |/,则由*知,必有n k S p |.于是1|+/n k a p ,进而1|++/n n k a S p ,即1|+/n k S p .故由*知:存在0i (110-≤≤k i ),使得1|0+n i S p ,再由n n n a S S +=+1及前面的假设n i S p |/,可知1|0+/n i a p ,故M a n ≠+1。
因此,对1/+≥N n ,均有M a n ≠,而n N n k a p p p M k /1211121max ≤≤->=-β
ββ ,故M 不在{
}n a 中出现,这与假设矛盾!因此,若m 有k 个不同的素因子,则m 一定在数列{}n a 中出现.
由数学归纳法知,所以正整数均在数列{}n a 中出现。
2018B 四、(本题满分50分)给定整数2≥a 。证明:对任意正整数n ,存在正整数k ,使得连续n 个数1+k
a ,,,2 +k a n a k
+均是合数。
★证明:设r i i i <<< 21是n ,,2,1 中与a 互素的全体整数,则n i ≤≤1,{}r i i i i ,,,21 ?,无论正整数k 如何取值,i a k
+均与a 不互素且大于a ,故i a k
+为合数。 对任意r j ,,2,1 =,因1>+j i a ,故j i a +有素因子j p .
我们有()
1,=a p j (否则,因j p 是素数,故j p a |,但j p j i a +|,从而j p |j i ,即a 与j i 不互素,与j i 的取法矛盾).因此,由费马小定理知,()i p p a mod 11≡-
现取()()()111121+---=r p p p k ,对任意r j ,,2,1 =,注意到()
1mod 1-≡j p k ,故有
()j j j k p i a i a mod 0≡+=+.又j j j k p i a i a ≥+>+,故j k i a +为合数。
综上所述,当()()()111121+---=r p p p k 时,1+k
a ,,,2 +k a n a k
+均是合数。
2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”,则平稳数的个数 是 ◆答案: 75
★解析:考虑平稳数abc 。
①若0=b ,则1=a ,{}1,0∈c ,有2个平稳数;
②若1=b ,则{
}2,1∈a ,{}2,1,0∈c ,有632=?个平稳数; ③若[]8,2∈b ,则a ,{}1,,1+-∈b b b c ,有63337=??个平稳数;
④若9=b ,则{
}9,8,∈c a ,有422=?个平稳数;
综上可知,平稳数的个数为7546362=+++。
2017B 8、若正整数c b a ,,满足c b a 1000100102017≥≥≥,则数组),,(c b a 的个数为 ◆答案:574
★解析:由条件知2017
[
]21000
c ≤=,当1c =时,有1020b ≤≤,对于每个这样的正整数b ,由10201b a ≤≤知,相应的a 的个数为20210b -,从而这样的正整数组的个数为
20
10
(1022)11
(20210)5722
b b =+?-=
=∑, 当2c =时,由201720[
]100b ≤≤,知,20b =,进而2017
200[]20110
a ≤≤=, 故200,201a =,此时共有2组(,,)a
b
c .
综上所述,满足条件的正整数组的个数为5722574+=.
2016A 8、设4321,,,a a a a 是100,,3,2,1 中的4个互不相同的数,满足
()()
2433221242322232221)(a a a a a a a a a a a a
++=++++,则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数
为 ◆答案:40
★解析:由柯西不等式知,24332212
42322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++,等号成立的充
分必要条件是
4
3
3221a a a a a a =
=,即4321,,,a a a a 成等比数列.于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321?a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数.设等比数列的公比1≠q ,且q 为有理数.记m
n
q =
,其中n m ,为互素的正整数,且n m ≠. 先考虑m n >的情况.
此时3
31314)(m n a m n a a ==,注意到3
3,n
m 互素,故31m a l =为正整数. 相应地,4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3
223,,,,它们均为正整数.这表明,对任意给定的1>=
m
n
q ,满足条件并以q 为
公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数,即为满足不等式1003
≤l n 的正整数l 的个数,即]100
[
3
n . 由于10053
>,故仅需考虑3
4
,4,23,
3,2=q 这些情况,相应的等比数列的个数为 20113312]64
100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++. 当m n <时,由对称性可知,亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a . 综上可知,共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a .
2016A 四、(本题满分50分)设p 与2+p 均是素数,3>p ,数列{}n a 定义为21=a ,
??
?
???+=--n pa a a n n n 11, ,3,2=n ,这里[]x 表示不小于实数x 的最小整数。
证明:对1,,4,3-=p n ,均有)1(|1+-n pa n 成立。
★证明:首先注意到,数列{}n a 是整数数列。对n 用数学归纳法。
当3=n 时,由条件知p a +=22,故()2
211+=+p pa ,又p 与2+p 均是素数,且3>p ,故
必须1|3+p ,因此1|32+pa ,即3=n 时,结论成立。
对13-≤
11+=??
??
??--, 故()()1
111111122
2221--++=
+???
??-+=+????
?
?
??????-+=+------k k p pa k pa a p k pa a p pa k k k k k k
故对13-≤
()()()()()==+--+--+=
+--+=
+--- 12
21
111
113
2
1n n n pa
n n p n n p pa
n n p pa
()()()()n
n p C p n p p n pa
p n n p n n p ++++=
++--+--+=
)
2)(()1(213
32
21
12
,
显然)1)(2)((|1+++-n pa p n p n ,★
因为p n <,p 是素数,故1),(),(==+p n p n n ,又2+p 是大于n 的自然数,故1)2,(=+p n ,
从而n 与)2)((++p p n 互素,故由★可知)1(|1+-n pa n 。 由数学归纳法知,对1,,4,3-=p n ,均有)1(|1+-n pa n 成立。
2016B 8、设正整数n 满足2016≤n ,且312642=?
??
??
?+??????+??????+??????n n n n .这样的n 的个数
为 .这里{}[]x x x -=,其中[]x 表示不超过x 的最大整数.
◆答案:168
★解析:由于对任意整数n ,有13511
3,2461224612
n n n n ????????+++≤+++=????????????????
等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡-,结合12016n ≤≤知,满足条件的所有正整数为
()1211,2,,168,n k k =-=共有
168个. ★解析:首先注意到,若m 为正整数,则对任意整数,x y ,若()mod x y m ≡,则.x y m m ????
=????????
这是因
为,当()mod x y m ≡时,x y mt =+,这里t 是一个整数,故
.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++???????
?????=-=-=+-+=-=????????????????????????
因此,当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时,
11112222.2461224612n n n n n n n n ????????????????
+++=+++????????????????????????????????
容易验证,当正整数满足112n ≤≤时,只有当11n =时,等式324612n n n n ????????
+++=????????????????
才成
立.而201612168=?,故当12016n ≤≤时,满足324612n n n n ????????
+++=????????????????
正整数n 的个数为168.
2016B 一、(本题满分40分)非负实数201621,,,x x x 和实数201621,,,y y y 满足:
(1)12
2=+k k y x ,2016,,2,1 =k ;
(2)201621y y y +++ 是奇数. 求201621x x x +++ 的最小值.
★解析:由已知条件(1)可得:1,1,1,2,
,2016,k k x y k ≤≤=于是(注意0i x ≥)
()
201620162016
20162016
2221
1
1
1
1
120162016.k k k k k k k k k k x x y y y =====≥=-=-≥-∑∑∑∑∑ ①
不妨设112016,
,0,,
,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤则20161
1
,2016.m k k k k m y m y m ==+≤-
≤-∑∑
若1
1m
k k y m =>-∑,并且20161
2015,
k k m y m =+-
>-∑
令
2016
1
1
1,2015,m k
k k k m y
m a y m b ==+=-+-
=-+∑∑
则0,1,a b <<于是
()
20162016
1
1
1
1201522016,
m
k
k
k k k k m y y
y m a m b m a b ===+=+
=-+--+=-+-∑∑∑
由条件(2)知,2016
1k k y =∑是奇数,所以a b -是奇数,这与0,1a b <<矛盾.
因此必有1
1m k k y m =≤-∑,或者20161
2015,k k m y m =+-
≤-∑则201620161
1
1
2015.m k k k k k k m y y y ===+=-
≤∑∑∑
于是结合①得2016
1
1.k k x =≥∑
又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ==========时满足题设条件,且使得不等式等号成立,所以122016x x x +++的最小值为1.
2016B 二、(本题满分40分)设k n ,是正整数,且n 是奇数.已知n 2的不超过k 的正约数的个数为奇数,证明:n 2有一个约数d ,满足k d k 2≤<
证明:记{n d d A 2||=,d 是奇数,} 0k d ≤<,{n d d A 2||=,d 是偶数,} 0k d ≤<,则
φ=B A ,n 2的不超过k 的正约数的集合是B A
★证明:记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数,{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数,则,2A B n
=?的不超过k 的正约数的集合是.A
B
若结论不成立,我们证明.A B =
对d A ∈,因为d 是奇数,故2|2d n ,又22d k ≤,而2n 没有在区间(],2k k 中的约数,故2d k ≤,即2d B ∈,故.A B ≤
反过来,对d B ∈,设2d d '=,则|d n ',d '是奇数,又2
k
d k '≤
<,故,d A '∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数,与已知矛盾.从而结论成立.
∴ 145=-=AM ,945=+=BM ,835=+=CN 235=-=DN . 若设2=q ,则同法可得3=u ,4=v ,与v u >矛盾,舍去. 又证:在得出q p ,互质且其中必有一为偶数之后.
由于()
1,=n m q p ,故必存在互质的正整数b a ,(b a >),使n q b a =-22,m p ab =2,
r b a =+22.或m p b a =-22,n q ab =2,r b a =+22.
若m p ab =2,得2=p ,m a 2|,m b 2|,故λ
2=a ,μ
2=b ,由b a ,互质,得0=μ,∴1=b ,
12-=m a .()()
1212121122-+=-=---m m m n q .故αq m =+-121,βq m =--121,(n =+βα,且
βα>).
∴ ()
12-=-=-βαββαq q q q .由q 为奇数,得0=β,12-=n q ,3=n q , 从而2,2,4,1,32=====m a a n q .仍得上解.
高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系;若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑; (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡; (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡; (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ; (2)][][][y x y x +≥+; (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系; (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 4 1 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
高中数学竞赛数论部分文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
初等数论简介 绪言:在各种数学竞赛中大量出现数论题,题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1.请看下面的例子: (1) 证明:对于同样的整数x 和y ,表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首 届匈牙利 数学竞赛第一题) (2) ①设n Z ∈,证明2131n -是168的倍数。 ②具有什么性质的自然数n ,能使123n ++++能整除123n ???(1956年上海首 届数学竞赛第一题) (3) 证明:3231 122 n n n ++-对于任何正整数n 都是整数,且用3除时余2。(1956年 北京、天津市首届数学竞赛第一题) (4) 证明:对任何自然数n ,分数 214 143 n n ++不可约简。(1956年首届国际数学奥林匹 克竞赛第一题) (5) 令(,, ,)a b g 和[,, ,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数, 试证:[][][][]()()()() 2 2 ,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??(1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题) 这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字: (1)世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛,从1894~1974年的222个试题中,数论题有41题,占18.5%。 (2)世界上规模最大、规格最高的IMO (国际数学奥林匹克竞赛)的前20届120道试题中有数论13题,占% 。
2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1,(全国1理1)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 2,(全国1文2)已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则U B A = A .{}1,6 B .{}1,7 C .{}6,7 D .{}1,6,7 3,(全国2理1)设集合A ={x |x 2–5x +6>0},B ={x |x –1<0},则A ∩B = A .(–∞,1) B .(–2,1) C .(–3,–1) D .(3,+∞) 4,(全国2文1)已知集合={|1}A x x >-,{|2}B x x =<,则A ∩B = A .(-1,+∞) B .(-∞,2) C .(-1,2) D .? 5,(全国3文、理1)已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤,,则A B = A .{}1,0,1- B .{}0,1 C .{}1,1- D .{}0,1,2 6,(北京文,1)已知集合A ={x |–1
不定方程 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数的取值范围是受某些限制(如整数、正整数或有理数)的方程.不定方程是数论的一个重要课题,也是一个非常困难和复杂的课题. 1.几类不定方程 (1)一次不定方程 在不定方程和不定方程组中,最简单的不定方程是整系数方程 )0,0(,0≠>=++b a c by ax 通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下 定理. 定理一:二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数.有整数解的充分必要条件是c b a |),(. 定理二:若00,,1),(y x b a 且=为①之一解,则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,. (t 为整数)。 (2)沛尔)(pell 方程 形如12 2 =-dy x (*d N ∈,d 不是完全平方数)的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解;又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的 解,则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()] n n n n n n x x x y x x ?=+-?? ??=-?? (1,2,3, n =)给 出. ①只要有解),(11y x ,就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②n n y x , 满足的关系:1(n n x y x y +=+;112 11222n n n n n n x x x x y x y y ----=-?? =-? , (3)勾股方程2 2 2 z y x =+ 这里只讨论勾股方程的正整数解,只需讨论满足1),(=y x 的解,此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解,也称为本原的勾股数。容易看出y x ,一奇一偶,无妨设y 为偶数,下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。 定理三:方程2 2 2 z y x =+满足1),(=y x ,2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为 2222,2,b a z ab y b a x +==-=,其中,b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶,且
初等数论简介 绪言:在各种数学竞赛中大量出现数论题,题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1. 请看下面的例子: (1) 证明:对于同样的整数x 和y ,表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞 赛第一题) (2) ①设n Z ∈,证明213 1n -是168的倍数。 ②具有什么性质的自然数n ,能使123n ++++ 能整除123n ??? ?(1956年上海首届数学竞赛第一题) (3) 证明:3 231 122 n n n + +-对于任何正整数n 都是整数,且用3除时余2。(1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题) (4) 证明:对任何自然数n ,分数 214 143 n n ++不可约简。(1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题) (5) 令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数,试证: [][][][]()()()() 2 2 ,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??(1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题) 这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字: (1)世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛,从1894~1974年的222个试题中,数论题有41题,占18.5%。 (2)世界上规模最大、规格最高的IMO (国际数学奥林匹克竞赛)的前20届120道试题中有数论13题,占10.8% 。 这说明:数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内,那么比例还会高很多。 3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题: (1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是( ) A 、 0 B 、1 C 、3 D 、无穷多 (2007全国初中联赛5) (2)已知,a b 都是正整数,试问关于x 的方程()2 1 02 x abx a b -++=是否有两个整数解? 如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明。 (2007全国初中联赛12)
数论部分 2018A 四、(本题满分50分)数列{}n a 定义如下:1a 是任意正整数,对整数1≥n ,1+n a 与∑=n i i a 1 互 素,且不等于n a a a ,.,,21 的最小正整数,证明:每个正整数均在数列{}n a 中出现。 ★证明:显然11=a 或者12=a .下面考虑整数1>m ,设m 有k 个不同的素因子,我们对k 归纳证明 m 在{}n a 中出现.记n n a a a S +++= 21,1≥n . 1=k 时,m 是素数方幂,记αp m =,其中0>α,p 是素数.假设m 不在{}n a 中出现.由于{}n a 各 项互不相同,因此存在正整数N ,当N n ≥时,都有αp a n >.若对某个N n ≥,n S p |/,那么αp 与 n S 互素,又n a a a ,.,,21 中无一项是αp ,故有数列定义知αp a n ≤+1,但是αp a n >+1,矛盾! 因此对每个N n ≥,都有n S p |.又1|+n S p ,可得1|+n a p ,从而1+n a 与n S 不互素,这与1+n a 的定义矛盾! 假设2≥k ,且结论对1-k 成立.设m 的标准分解为k k p p p m αα α 2121=.假设m 不在{}n a 中出现,于 是存在正整数/N ,当/ N n ≥时,都有m a n >.取充分大的正整数 121,,-k βββ ,使得 n N n k a p p p M k /1211121max ≤≤->=-βββ . 我们证明,对/ N n ≥,有M a n ≠+1. 对于任意/ N n ≥,若n S 与k p p p 21互素,则m 与n S 互素,又m 在n a a a ,.,,21 中均未出现,而 m a n >+1,这与数列的定义矛盾,因此我们得到:对于任意/N n ≥,n S 与k p p p 21不互素*, ⑴若存在i (11-≤≤k i ),使得n i S p |,则()1,1=+n n S a ,故1|+/n i a p ,从而M a n ≠+1(因为M p i |)。 ⑵若对每个i (11-≤≤k i ),均有n i S p |/,则由*知,必有n k S p |.于是1|+/n k a p ,进而1|++/n n k a S p ,即1|+/n k S p .故由*知:存在0i (110-≤≤k i ),使得1|0+n i S p ,再由n n n a S S +=+1及前面的假设n i S p |/,可知1|0+/n i a p ,故M a n ≠+1。
2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1.(北京卷文)(6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )。 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 2.(北京卷理)(5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 3.(浙江)(3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:cm 3)是 A .2 B .4 C .6 D .8 4.(全国卷一文)(5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A .122π B .12π C .82π D .10π 5.(全国卷一文)(9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 6.(全国卷一文)(10)在长方体1111ABCD A B C D -中, 2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?,则该长方体的体积为 A .8 B .62 C .82 D .83 7.(全国卷一理)(7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .172 B .52 C .3 D .2 8.(全国卷一理)(12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A . 33 B .23 C .324 D .3 9.(全国卷二文)(9)在正方体1111ABCD A B C D -中, E 为棱1CC 的中点,则异面直线AE 与CD 所成角
高中数学竞赛 数论 剩余类与剩余系 1.剩余类的定义与性质 (1)定义1 设m 为正整数,把全体整数按对模m 的余数分成m 类,相应m 个集合记为:K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≤余数r ≤m-1}称为模m 的一个剩余类(也叫同余类)。K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类. (2)性质(ⅰ)i m i K Z 1 0-≤≤=Y 且K i ∩K j =φ(i ≠j). (ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里. (ⅲ)对任意a 、b ∈Z ,则a 、b ∈K r ?a ≡b(modm). 2.剩余系的定义与性质 (1)定义2 设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类,从每个K r 里任取一个a r ,得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组,叫做模m 的一个完全剩余系,简称完系. 特别地,0,1,2,…,m -1叫做模m 的最小非负完全剩余系.下述数组叫做模m 的绝对最小完全剩余系:当m 为奇数时,2 1 ,,1,0,1,,121,21--+----m m m ΛΛ;当m 为偶数时,12 ,,1,0,1,,12,2--+-- m m m ΛΛ或2,,1,0,1,,12m m ΛΛ-+-. (2)性质(ⅰ)m 个整数构成模m 的一完全剩余系?两两对模m 不同余. (ⅱ)若(a,m)=1,则x 与ax+b 同时遍历模m 的完全剩余系. 证明:即证a 0,a 1,…,a m-1与aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 同为模m 的完全剩余系, 因a 0,a 1,…,a m-1为模m 的完系时,若aa i +b ≡aa j +b(modm),则a i ≡a j (modm), 矛盾!反之,当aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 为模m 的完系时,若a i ≡a j (modm),则有 aa i +b ≡aa j +b(modm),也矛盾!
九、平面向量 一、选择题 1.(四川理4)如图,正六边形ABCDEF 中,BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A .0 B .BE u u u r C .AD u u u r D .CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.(山东理12)设1A ,2A ,3A ,4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v (λ∈R ),1412A A A A μ=u u u u v u u u u v (μ∈R ),且112λμ+=,则称3A ,4A 调和分割1A ,2A ,已知平面上的点C ,D 调和分割点A , B 则下面说法正确的是 A .C 可能是线段A B 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点 C .C , D 可能同时在线段AB 上 D .C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.(全国新课标理10)已知a ,b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 (A ) 14,p p (B ) 13,p p (C ) 23,p p (D ) 24,p p 【答案】A 4.(全国大纲理12)设向量a ,b ,c 满足a =b =1,a b g =12- ,,a c b c --=060,则c 的最大值等于 A .2 B .3 C .2 D .1 【答案】A 5.(辽宁理10)若a ,b ,c 均为单位向量,且0=?b a ,0)()(≤-?-c b c a ,则||c b a -+的 最大值为 (A )12- (B )1 (C )2 (D )2 【答案】B 6.(湖北理8)已知向量a=(x +z,3),b=(2,y-z ),且a ⊥ b .若x ,y 满足不等式 1x y +≤, 则z 的取值范围为 A .[-2,2] B .[-2,3] C .[-3,2] D .[-3,3] 【答案】D 7.(广东理3)若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则(2)c a b ?+= A .4 B .3 C .2 D .0 【答案】D
(1981年~2019年) 2019A 5、在1,2,3, ,10中随机选出一个数a ,在1,2,3,,10----中随机选出一 个数b ,则2a b +被3整除的概率为 . 答案: 37100 解析:首先数组(),a b 有1010100 ?=种等概率的选法. 考虑其中使2a b +被3整除 的选法数N .①若a 被 3 整除,则b 也被 3 整除.此时,a b 各有3种选法,这样的(),a b 有 339?=组. 若a 不被 3 整除,则()21mod3a ≡,从而()1mod3b ≡-.此时a 有7 种选法,b 有4种选法,这样的(),a b 有7428?=组. 因此92837N =+=.于是所求概率为 37 100 。 2019A 三、(本题满分 50 分)设m 为整数,2m ≥.整数数列12,,a a 满足:12,a a 不 全为零,且对任意正整数n ,均有21n n n a a ma ++=-.证明:若存在整数,r s , (2r s >≥ )使得1r s a a a ==,则r s m -≥. 解析:证明:不妨设12,a a 互素(否则,若()12,1a a d =>,则12,1a a d d ?? = ?? ?互素,并且用 12 ,,a a d d 代替12,, a a ,条件与结论均不改变). 由数列递推关系知()234mod a a a m ≡≡≡ . ① 以下证明:对任意整数3n ≥,有()()2123mod n a a a n a m m ≡-+-????. ② ………10 分 事实上,当3n =时②显然成立.假设n k =时②成立(其中k 为某个大于2的整数),注意到①,有()212mod k ma ma m -≡,结合归纳假设知 ()()()2 1122221232mod k k k a a ma a k a m ma a a k a m +-≡-≡+--=-+-???????? ,即1n k =+时②也成立.因此②对任意整数3n ≥均成立. ………………20 分
2017年高考数学试题分类汇编及答案解析(22个专题)目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.(15年北京文科)若集合{}52x x A =-<<,{} 33x x B =-<<,则A B =I ( ) A .{} 32x x -<< B .{} 52x x -<< C .{} 33x x -<< D .{} 53x x -<< 【答案】A 考点:集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=,{|(4)(1)0}N x x x =--=,则M N =I A .? B .{}1,4-- C .{}0 D .{}1,4
竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题,我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况,这样,利用字母的对称性等条件,往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件,从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同,若整数x ,y 有大小顺序x 2019年高考数学真题分类汇编 专题01:集合 一、单选题 1.(2019?浙江)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则=() A. {-1} B. {0,1} C. {-1,2,3} D. {-1,0,1,3} 【答案】 A 2.(2019?天津)设集合 ,则() A.{2} B.{2,3} C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4} 【答案】 D 3.(2019?全国Ⅲ)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则 A∩B=() A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1,2} 【答案】 A 4.(2019?卷Ⅱ)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( ) A.(-1,+∞) B.(-∞,2) C.( -1,2) D. 【答案】 C 5.(2019?卷Ⅱ)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={ x|x-1<0},则 A∩B=() A.(-∞,1) B.(-2,1) C.(-3,-1) D.(3,+∞) 【答案】 A 6.(2019?北京)已知集合A={x|-1 9.(2019?全国Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并成为中国古典小说四大名著。某中学为了 了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中 阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为() A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 【答案】 C 二、填空题 10.(2019?江苏)已知集合,,则 ________. 【答案】 十年高考数学真题分类汇编及答案(2010—2019) 专题 空间向量 1.(2014·全国2·理T11)直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC=CA=CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.1 10 B.25 C.√3010 D.√2 2 【答案】C 【解析】如图,以点C 1为坐标原点,C 1B 1,C 1A 1,C 1C 所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 不妨设BC=CA=CC 1=1,可知点 A (0,1,1),N (0,12,0), B (1,0,1),M (12,1 2,0). ∴AN ?????? =(0,-1 2,-1),BM ?????? =(-1 2,1 2,-1). ∴cos 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系,如图所示. 则D (0,0,0),D 1(0,0,a ),C 1(0,a ,a ),C (0,a ,0),B (a ,a ,0),B 1(a ,a ,a ),A (a ,0,0), A 1(a ,0,a ),P (23a ,23a ,1 3a), 则|PB ????? |=√19a 2+19a 2+19a 2=√33a , |PD ????? |=√4 9a 2+4 9a 2+1 9 a 2=a , |PD 1??????? |=√49a 2+49a 2+4 9a 2= 2√3 3a , |PC 1??????? |=|PA 1??????? |=√4 9a 2+1 9a 2+4 9a 2=a , |PC ????? |=|PA ????? |=√49a 2+19a 2+1 9 a 2=√6 3 a , |PB 1??????? |=√19a 2+19a 2+4 9a 2= √6 3 a , 3.(2012·陕西·理T5)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1,CA=CC 1=2CB ,则直线 BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.√5 5 B.√5 3 C. 2√5 5 D.3 5 【答案】A 【解析】不妨设CB=1,则CA=CC 1=2.由题图知,A 点的坐标为(2,0,0),B 点的坐标为(0,0,1),B 1点的坐标为(0,2,1),C 1点的坐标为(0,2,0). 所以BC 1??????? =(0,2,-1),AB 1??????? =(-2,2,1).(完整版)2019年高考数学真题分类汇编01:集合
十年高考数学真题分类汇编及答案(2010—2019)