大连理工大学2005硕士研究生考试试题数学分析试题及解答 一、 计算题 1、 求极限：122
2 (i)
,lim n
n n n a a na a a n →∞
→∞+++=其中 解：
1212222...(1)(1)lim
lim lim ()(1)212
n n n n n n a a na n a n a a
Stolz n n n n +→∞→∞→∞+++++===+-+利用公式
2、求极限：2
1lim
(1)x x x e x
-→∞
+ 解：
22
2
222
1(1)
1lim (1)lim()1111(1)(1)(ln(1))
1lim lim
11
1111(())21lim 121(1)112lim (1)lim(
)lim()x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x e x e
e x x x x x x
o e x x
x x e x
e e x x e x e e e
-→∞→∞→∞→∞→∞-→∞→∞→∞++=+-++-+=--+-
+==--+-
∴+===
3、证明区间（0，1）和（0，+∞）具有相同的势。 证明：构造一一对应y=arctanx 。
4、计算积分2
1
D
dxdy y x
+??
，其中D 是x=0,y=1,y=x 围成的区域 解：
1120220001
1
1011ln()|ln(1)ln [(1)ln(1)(1)ln ]|2ln 2
y y
D
dxdy dxdy x y dy y x y x y dy ydy
y y y y y y ==+++=+-=++-+-+=??
?????
5、计算第二类曲线积分：22
C ydx xdy
I x y
--=+?，22:21C x y +=方向为逆时针。 解
：
222222002222
2tan 2222
cos ,[0,2)1sin 211
sin cos 4cos 222113cos 22cos 22
13(2)(1)812arctan 421(2)(1)2
311421C x x y ydx xdy I d d x y x x x x d x dx x x x x ππθθ
θπθθθθθθθθ
+∞+∞=-∞-∞=??
∈?
=??
---=???→=-+++-+-++?????→-=--+++
+=-?????换元万能公式代换22
6426212x
dx d x x ππ+∞+∞-∞-∞+=-++??+ ???
??
6、设a>0,b>0,证明：1
11b b
a a
b b ++??
??
≥ ?
?+??
??
。 证明：
1
1
1
1()1111(1)
111()'()1[ln(1)]0()()()b b x
b b b
b
x
a a a
b f x b b x a a b f b b b a a b f b b b a b a b a b f x Taylor x x x a b f x ++++-??????≥=+ ? ? ?
+??????+-????
=+=+ ? ?++??
??
-????=+= ? ?????
---??=++-> ?
+-??
，构造函数展开可以证明所以递增，从而得证
二、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且
2[,]
()0,a b f x dx =?
证明：f(x)
在[a,b]上几乎处处为0。 证明：
反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA>0。
1
2
2[,]
1
{|()},,0
()0,n n n n n n a b A x f x A A A mA n mA f x dx n +∞
==>=>>>? 。必然存在某个矛盾
三、 设函数f(x)在开区间（0，+∞）内连续且有界，是讨论f(x)
在（0，+∞）内的一致连续性。 讨论：非一致连续，构造函数：
1
()sin
()()00,0,0,|'"|11|sin
sin |.1'"
211
',"|'"|(21)(21)11|sin sin |1'"f x x
f x f x x x x x x x x x n x x n n n n x x εδδεεδ
πππε
=→?>>?>-≤-<<==-=≤++-=>显然，连续且有界。但是在时非一致连续反证法：如果一致连续，对当取令。当足够大的时候
四、 设242
,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)
x y
x y f x y x y x y ?≠?=+??
=?，讨论函数的连续性和可微性。
解：
1）连续性：连续
24
2
2
000
4
lim
lim
01x x y y x y y x y
y x →→→→==++
2）可微性：可微
00222224200002
2
24
(,0)(0,0)
(0,0)lim 0
(0,)(0,0)
(0,0)lim 0
(,)(,)(,)lim lim
lim
11x x y x x y x x y y x y f x f f x
f y f f y
f x y f x y f x y x y
x y x y x y x y y
x x →→→→→→→→-==-==--=+++==+
+
五、 设f(x)在（a,b ）内二次可微，求证：
2
()(,)()2()()"()24
a b b a a b f a f f b f ξξ+-?∈--=，满足
证明：
2
()()()2
()()'()()(),(,)
2
()()"(),(,)222,()()()"()
22b a
g x f x f x Cauchy g x g a b a
g f f a x x a Lagrange b a b a b a
f f f b a b a
g x g a f ζζζζζζξξζζζξ-=+
---==+-∈----+
-=∈++-=-=令，利用中值定理：利用中值定理：令=原式
六、 f(x)在R 上二次可导，00"()0,,()0x R f x x R f x ?∈>?∈<，
lim '()0,lim '()0x x f x f x αβ→-∞
→+∞
=<=>，证明：f(x)在R 上恰有两个零点。
证明：
1111110()0
lim '(),,0,
'()2
()()().
2
2()
()0
()0
"()0'()()()0(x x f x f x x x x f x x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f x f x f x αα
α
α
→-∞
→-∞>=<<<
<>+--<
+>→+∞>>??< (1)先证：当的时候，所以，当的绝对值足够的时候不妨设当时，当的时候，(2)同理,当的时候，又为递增函数先单调减少，在单调递增，根据连续函数的介值定理，在00,),(,)x x -∞+∞各有一个零点
七、 设函数f(x)和g(x)在[a,b]内可积，证明:对[a,b]内任意分割
0111||0
:...,,[,],0,1,2,....lim ()()()()n i i i i n b
i i i a
i a x x x b x x i f g x f x g x dx
ξηξη+-?→=?=<<<=?∈=?=∑?有
证明：
1||0
1
110
1
1
10
()()lim ()()|()()()()||()[()()]|
max{|()|}|()()|()|()()|n b
i i i
a
i n n n i i i i i i i i i i i i i n i i i i
i
i n n i i i i i i f x g x dx f g x f g x f g x f g g x f g g x g x g g x ξξξξξηξξηξξηξηω-?→=---===-=--===??-?=-?≤-?-?≤∑?
∑∑∑∑∑根据定义
由于可积，所以11
||0
0()
lim |()()()()|0i i n n i i i i i i i i x f g x f g x ωξξξη--?→==?→∴?-?=∑∑∑，为振幅，从而得证
八、 求级数：0
(1)31n
n n ∞
=-+∑
解：
3130030
3333300
1
1133000(1)(1)()(1,1]3131(1)()(1,1](1)()1()()'(1)()31111(1)
1()13lim (31111n n n n
n n n
n
n n n M M
M
n n
n n n
M M n x x x n n x x x x x n x x dx dx n x x x +∞
∞
==∞
=+==+∞
→+∞=--=-++-----=-=
++---===-++++∑∑∑∑∑∑??在内收敛在内一致收敛，所以可以逐项求导
12
0211200210233)1ln(1)1()111
()
3136122
()42
ln 2121ln 2arctan |3333
33x dx x x x d x x d x x x x x π--++-=-+--++--=+=+???
九、 讨论函数项级数22
22
22(1)1((1))n x n x n x n e n e +∞
---=--∑在(0,1)和(1,+∞)的
一致收敛性
讨论：22
22
22
22(1)21((1))lim()n x n x n x n n x n e n e x n e +∞
----→∞
=--=∑ 1） 0 22 2lim()0 1 ,|()0|0n x n n n n x n e x S x n n -→∞ ==-=级数收敛，但不一致收敛。取不趋近于，所以不一致收敛 2） x>1 22 2 2 2 222222 22 2 2 22 2 4 lim()0 1()'(12)00,1,4ln ,,()n x n x x x n x n n n x n x n e xe e x xe e n n xn e e e e e e x N n N S x εεε-→∞ ----- - -==-<≤ ∴≤ ≤<∴?>?>?=-?><即 十、 计算22 2x dydz y dzdx z dxdy ∑++∑??，其中为圆锥曲面222z x y =+被平面z=0,z=2所截部分的外侧。 解： 2222 2 2 2 2 2 22 ()(cos sin )(cos sin )4V z z x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz r r z rd drdz dz r dr d zdz rdr d π π π θθθθθθθ π ∑ ++=++=++=++=?? ??????????? ? 十一、设f(x)在[0,1]上单调增加,f(0)>=0,f(1)<=1,证明： 3[0,1],()f ξξξ?∈= 证明： 33 333 33 333{|(),[0,1]}inf ()(),()0,()()()''0,M x f x x x m M M f m m f m m f m m r x m f x x f x f m r x m y x x x m r =≤∈==<=-?<<>->+-=?-+>显然非空,下证:反证法：如果命题不成立，那么显然不妨设由于是连续函数，所以，对r>0存在与单调性矛盾。 十二、设f(x)在[0,+∞]上连续，0()x dx ?+∞ ?绝对收敛，证明： 0lim ()()(0)()n x x f x dx f x dx n ??+∞→∞=? ? 证明： 00 0000lim ()()(0)()()()()()()(0)|()()(0)()||[()(0)]()|(0)|()|(0)n x n n n x f x dx f x dx n x dx n x dx x dx x f x n f f n x x f x dx f x dx f f x dx f n n x dx f ?????εε ???εε?ε ε+∞→∞+∞ +∞ +∞+∞ =--<-≤-+<+? ????????因为绝对收敛，当足够大的时候<， 因为连续，所以，当足够大的时候由于的任意性，所以命题成立 十三、设0n a >，证明： 当下极限ln(1/)lim inf 1ln n n a n →∞>时，级数1n n a +∞ =∑收敛 当上极限ln(1/)lim sup 1ln n n a n →∞<时，级数1 n n a +∞ =∑发散 证明：（1） 1(1)ln(1/) lim inf 121 ln ln(1/) 111/ln n n r n n r n a r n a n r a n n a n →∞+-+=+>≥+>?≥≤即足够大的时候根据积分判别公式，知命题成立 （2） 1(1)ln(1/) lim sup 1 ln ln(1/) 111/ln n n r n n r n a n a n r a n n a n →∞---<≤- 抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是 自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τ k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ= 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表 示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系 （(,)k j k j u u x t t t ????≡ ? ????）： ()() ()ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()2112,,ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--,,1 ()() ()2112,,h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()() ()2 222 11,,2,h O x u h t x u t x u t x u k j k j k j k j +???? ????=+--+ 可得到以下几种最简差分格式 大连理工大学2009年研究生入学考试数学分析试题 一、解答下列问题。 1、 判断下列数列是否收敛 222 111123n ++++…… 2、 设{}n a 1= 1= 3、 判断下列函数是否一致连续 ()1cos n f x e x ??= ??? ，(]0,1x ∈ 4、 设,y u f xy x ??= ???，求：22u x ??，2u x y ??? 5、 已知：()f a 存在，求()()lim x a xf a af x x a →-- 6、 设()f x 在[],a b 上可导，且()f a =()f b ，证明：存在(),a b ξ∈，使得 ()()()22f f a f ξξξ-= 7、 求极限()2lim ln n x x x →∞ 8、 求下列函数的Fourior 级数展开(),0,0x x f x x x ππππ+≤，使得 ()()0f x f x ≥，()00,x x x δδ∈-+，证明存在一个区域I 使得()f x 在I 上是一个常数。 二、设()f x 是[],a b 上具有连续的导数，()0a b <<,()()0f a f b ==，()2 1b a f x dx =?， 证明()()2 2'14b a x f x dx >? 三、给定函数列()()()2,3,n x x Inx f x n n α==…试问当α取何值时，(){}n f x 在[0,)+∞上 南京航空航天大学2008年硕士研究生 入学考试试题 试题编号 ：816 考试科目：材料力学 说明：答案一律写在答题纸上。 一、（15分）某试验机有二根相同的立柱和一根中心拉杆组成。已知立柱的材料为20钢，弹性模量E ＝210GPa ，横截面为外径D ＝160mm ，，内径d ＝140mm 的空心圆环。中心拉杆为实心圆杆，材料为20Cr 钢，许用应力[σ]＝450MPa ，弹性模量E ＝210GPa 。试验机设计载荷为F max ＝800kN 。试：（1）设计中心拉杆的直径d 1。（2）设立柱的长度为6.5m ，拉杆的计算长度为4m ，计算最大拉力时的试验机上A 、B 两点的相对位移（上下横梁的变形不计，立柱的稳定问题不考虑）。（答案：d 1＝0.0476mm,可取48mm ；Δl AB ＝0.0111m ＝11.1mm ）。 二、（15分）作图示结构的剪力图和弯矩图。 题一图 题二图 三、（15分）图示为矩形截面梁，h ＝2b ＝100mm ，a ＝1m ，材料弹性模量E ＝200GPa ，许用 应力[σ]＝180MPa ，测得跨中截面C 底部纵向线应变为ε＝600×10－6，求：（1）作梁的剪 力图和弯矩图；（2）载荷q 的值；（3）校核梁的强度。 题三图 （答案：m kN q /67.6=，Pa 6max 10160?=σ＜[σ]） 四、（15分）为了监测受扭空心圆杆的扭矩大小，在圆杆内表面沿45°方向粘贴应变片，已知材料为45钢，切变模量G ＝80GPa ，泊松比μ＝0.3。杆件外径D ＝100mm ，内径d ＝80mm ， 材料的许用切应力为[τ]＝100MPa ，今测得应变片的应变读数为590×10－6，试问：（1）杆 件承受的扭矩有多大？（2）材料强度是否足够？ （答案：Nm T M e 6832==，MPa 118max =τ>[τ] 强度不够） 五、（15分）木制的构件中的某一微元应力如图所示，图中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求：（1）面内平行于木纹方向的剪应力；（2）垂直木纹方向的正应力；（3）该点的三个主应力和最大剪应力。 （答案：MPa 615=-τ，MPa 4.3815-=-σ，01=σ，MPa 162-=σ，MPa 403-=σ，MPa 20max =τ） 题四图 题五图 六、（15分）直径D ＝100mm 的圆杆，自由端有集中力F P 和集中力偶M 作用，测得沿母线 1方向的线应变ε1＝5×10－4，沿与母线方向成45°的2方向的线应变ε2＝3×10－4，圆杆材 料弹性模量E ＝200GPa ，泊松比μ＝0.3，许用应力[σ]＝150MPa ，设圆杆变形在弹性范围内，试求：（1）集中力F P 和集中力偶M 的大小；（2）用单元体表示危险点的应力状态；（3）用第三强度理论校核该杆的强度。 大连理工大学2001年硕士生入学考试 数学分析试题 一. 从以下的1到8题中选答6题 1. 证明:2 ()f x x =在区间[0,]M 内一致连续(M 为任意正数),但是在[0,)+∞不一致 连续 2. 证明:若()f x 在[,]a b 内连续,那么()f x 在[,]a b 内Riemann 可积. 3. 证明:若1α>,那么广义积分1 sin x dx α+∞ ? 收敛 4. 证明:若()f x ,()g x 为区间(,)a b 上的连续函数,对任意的(,)(,)a b αβ?有: ()()f x dx g x dx β β α α =??,那么, ()()f x g x ≡于(,)a b 5. 证明:若1 n n a ∞ =∑收敛,那么 1 nx n n a e ∞ -=∑在[0,)+∞一致收敛 6. 已知：2 ,0 ()0,0 x e x f x x -?≠?=?=??，求"(0)f 7. 已知：()() 1(,)()2 2x at x at x at x at u x t d a φφψαα+-++-= + ?. 其中, ψ和φ分别是可以求导一次和求导两次的已知函数,计算 22 222 (,)(,)u x t u x t a t x ??-?? 8. 计算,半径为R 的球的表面积 二. 从9到14题中选取6题 9.已知: lim '()0x f x →∞ =,求证: () lim 0x f x x →∞ = 10.证明: ()a f x dx +∞ ? 收敛,且lim ()x f x λ→+∞ =,那么0λ= 11.计算曲面积分: 333 S I x dydz y dzdx z dxdy = ++??, 其中S 为旋转椭球面222 2221x y z a b c ++=的外侧 12.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: ()()n n S x f x =对于任意小于1的正数δ,在区间(0,1]δ-一致收敛,但是不在(0,1)一致收敛 13.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: 1 0lim ()0n n f x dx →∞ =? 14.证明:若()[,]n u x C a b ∈，1,2,...,...n =且1 ()n n u b ∞ =∑发散,那么1 ()n n u x ∞ =∑不在[,)a b 一致收 敛 工程热力学Ⅰ（A 卷） （闭卷，150分钟） 班级 姓名 学号 成绩 一、简答题(每小题5分，共40分) 1. 什么是热力过程可逆过程的主要特征是什么 答：热力系统从一个平衡态到另一个平衡态，称为热力过程。可逆过程的主要特征是驱动过程进行的势差无限小，即准静过程，且无耗散。 2. 温度为500°C 的热源向热机工质放出500 kJ 的热量，设环境温度为30°C，试问这部分热量的火用（yong ）值（最大可用能）为多少 答： =?? ? ?? ++-?=15.27350015.273301500,q x E 3. 两个不同温度（T 1,T 2）的恒温热源间工作的可逆热机，从高温热源T 1吸收热量Q 1 向低温热源T 2放出热量Q 2，证明：由高温热源、低温热源、热机和功源四 个子系统构成的孤立系统熵增 。假设功源的熵变△S W =0。 证明：四个子系统构成的孤立系统熵增为 （1分） 对热机循环子系统： 1分 1分 1 4. 刚性绝热容器中间用隔板分为两部分，A 中存有高压空 气，B 中保持真空，如右图所示。若将隔板抽去，试分析容 器中空气的状态参数（T 、P 、u 、s 、v ）如何变化，并简述为什么。 答：u 、T 不变，P 减小，v 增大，s 增大。 5. 试由开口系能量方程一般表达式出发，证明绝热节流过程中，节流前后工质的焓值不变。（绝热节流过程可看作稳态稳流过程，宏观动能和重力位能的变化可忽略不计） 答：开口系一般能量方程表达式为 绝热节流过程是稳态稳流过程，因此有如下简化条件 ， 则上式可以简化为： 根据质量守恒，有 代入能量方程，有 6. 什么是理想混合气体中某组元的分压力试按分压力给出第i 组元的状态方程。 自由膨胀 12iso T T R S S S S S ?=?+?+?+?W R 0S ?=iso 0S ?= 大连理工大学二00五年硕士生入学考试 《物理化学及实验》 试题 共6页 （10个大题） 注：答题必须注明题号答在答题纸上，否则试卷作废！ 请认真看题，祝好运！ 一、 是非题（每小题2分，共24分），正确的标“√”，错误的标“×”： 1．一定温度下化学反应的m r G ?一定大于m r A ?。 2．(),,( )C C B T p n B G n ≠??既是物质B 的化学势又是物质B 的偏摩尔量。 3．用0 大连理工大学入学测试机考专升本高等数学模拟题1、题目Z1-2（2）（） 标准答案：A 2、题目20－1：（2）（） 标准答案：A 3、题目20－2：（2）（） 标准答案：B 4、题目20－3：（2）（） 标准答案：A 5、题目20－4：（2）（） 标准答案：D 6、题目20－5：（2）（） 标准答案：D 标准答案：A 8、题目20－7：（2）（） 标准答案：D 9、题目20－8：（2）（） 标准答案：C 10、题目11－1（2）（） 标准答案：C 11、题目11－2（2）（） 标准答案：B 12、题目11－3（2）（） 标准答案：A 13、题目20－9：（2）（） 标准答案：C 标准答案：D 15、题目11－5（2）（） 标准答案：C 16、题目20－10：（2）（） 标准答案：B 17、题目11－6（2）（） 标准答案：B 18、题目11－7（2）（） 标准答案：C 19、题目11－8（2）（） 标准答案：C 20、题目11－9（2）（） 标准答案：D 21、题目11－10（2）（） 标准答案：B 标准答案：C 23、题目19－2：（2）（） 标准答案：B 24、题目19－3：（2）（） 标准答案：D 25、题目12－1（2）（） 标准答案：D 26、题目12－2（2）（） 标准答案：D 27、题目19－4：（2）（） 标准答案：B 28、题目12－3（2）（） 标准答案：B 29、题目12－4（2）（） 标准答案：C 标准答案：A 31、题目19－5：（2）（） 标准答案：C 32、题目12－6（2）（） 标准答案：A 33、题目12－7（2）（） 标准答案：B 34、题目19－6：（2）（） 标准答案：B 35、题目12－8（2）（） 标准答案：B 2010工科数学分析基础（微积分）试题 一、填空题 (每题6分，共30分) 1．函数?? ? ?? ??? ??-≥+=01 0)(2πx x e x bx a x f bx ，=- →)(lim 0x f x ，若函数)(x f 在0=x 点连续，则b a ,满足 。 2．=?? ? ??+∞→x x x x 1lim ， =??? ??+++???++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim 。 3．曲线? ??==t e y t e x t t cos 2sin 在()1,0处的切线斜率为 ，切线方程为 。 4．1=-+xy e y x ，=dy ，='')0(y 。 5．若22 lim 2 21=-+++→x x b ax x x ，则=a ，=b 。 二、单项选择题 (每题4分,共20分) 1．当0→x 时，1132-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则（ ） （A ）32= a ， （B ）3=a ， (C). 2 3 =a ， （D ）2=a 2．下列结论中不正确的是（ ） （A ）可导奇函数的导数一定是偶函数； （B ）可导偶函数的导数一定是奇函数； (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数； （D ）可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数； 3．设x x x x f πsin )(3-=，则其（ ） （A ）有无穷多个第一类间断点； （B ）只有一个跳跃间断点； (C). 只有两个可去间断点； （D ）有三个可去间断点； 4．设x x x x f 3 )(+=，则使)0() (n f 存在的最高阶数n 为（ ）。 （A ）1 （B ）2 (C) 3 （D ）4 5．若0)(sin lim 30=+→x x xf x x ， 则20) (1lim x x f x +→为（ ）。 （A ）。 0 （B ）6 1 ， (C) 1 （D ）∞ 2009年南京航空航天大学硕士入学考试试题 考试科目：材料力学 第一题（15分）图示结构，有两根直径不同的圆杆组成，B 处为铰链连接，各杆尺寸如图，材料的屈服极限为MPa s 230＝σ，AB 杆的安全系数取2，BC 杆的安全系数取3.5，弹性模量E ＝200GPa ，不考虑压杆的失稳，试确定：（1）AB 杆和BC 杆的横截面积；（2）AB 杆的轴向应变和轴向变形。 第二题（15分）试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。 第一题图 第二题图 第三题（15分）矩形截面悬臂梁受均布载荷q 作用并在自由端作用集中力偶e M ，许用应力[]σ，材料弹性模量为E ，试将该梁设计为等强度梁（横截面最大正应力相同，且不考虑剪切强度），该梁的宽度b 不变，试求：（1）高度()x h 的表达式；（2）写出梁中性层曲率表达式。 第三题图 第四题（15分）外径D ＝200mm ，内径d ＝180mm 的圆管，弹性模量E ＝200GPa ，泊松比3.0＝μ，受扭矩e M 作用，设圆管变形在弹性范围内，测出图中A 点x 方向线应变 610650－＝?x ε。试求：（1）横截面上的最大剪应力m ax τ；（2）扭矩e M ；（3）圆管表 面A 点沿图示y 方向的线应变。 第四题图 第五题（15分）图示薄壁容器承受内压q 作用，为了测量所受内压q 大小，用电阻应变片测得容器表面的轴向应变为6 10 350－＝?x ε，若材料的弹性模量GPa E 210=，泊松 比25.0＝μ；容器的平均直径mm D 500＝，壁厚mm 10＝δ。求：内压q 的数值和容器内壁的最大剪应力。 第五题图 第六题（15分）实心圆截面阶梯轴所受载荷如图所示。已知AB 与BC 段的长度均为l ，直径122D D =,力偶矩124e e M M =，集中力为F ，且1e M Fl =，许用应力[]σ，不计弯曲切应力。（1）确定危险截面和危险点位置；（2）用单元体表示危险点的应力状态；（3）写出第三强度理论校核该轴强度的强度条件。 第七题（15分）图示41圆周平面曲杆，A 端固定，B 端受集中力偶e M 作用。曲杆弯曲刚度EI 为常数，尺寸如图。试用能量法求曲杆B 点处的垂直位移和B 截面的转角。 绝 密★启用前 大连理工大学网络教育学院 2010年9月份《高等数学》课程考试 模拟试卷答案 考试形式：闭卷 试卷类型：A 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．B 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．dx x 45 2．x e 3．0 4．5 5．C x x +-3 31 （不写常数C 扣1分） 6．0 7．)cos(2 2y x x 8．2ln 21 9．61 10．C x y +=22（不写常数C 扣1分） 三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分） 1．解：11lim )1)(1(1lim 1 1lim 1121+=+--=--→→→x x x x x x x x x (4分)21=(4分) 2．解：)(sin sin 1'= 'x x y (4分)x x cos sin 1=x cot =(4分) 3．解：??=x xd xdx 33sin 313sin (4分)C x +-=3cos 31（4分）（不写常数C 扣1分） 4．解法1：令x t =，则tdt dx t x 2,2== 当1=x 时，1=t ；4=x 时，2=t （4分） 于是???=?=212 14122dt e dt t t e dx x e t t x （2分） )(21222e e e t -==（2分） 解法2：x d e dx x e x x ??=41412（4分）)(21422e e e x -==（4分） 5．解：t dt dx 4=（2分） t dt dy cos =（2分） 大连理工大学2005硕士研究生考试试题数学分析试题及解答 一、 计算题 1、 求极限：122 2 (i) ,lim n n n n a a na a a n →∞ →∞+++=其中 解： 1212222...(1)(1)lim lim lim ()(1)212 n n n n n n a a na n a n a a Stolz n n n n +→∞→∞→∞+++++===+-+利用公式 2、求极限：2 1lim (1)x x x e x -→∞ + 解： 22 2 222 1(1) 1lim (1)lim()1111(1)(1)(ln(1)) 1lim lim 11 1111(())21lim 121(1)112lim (1)lim( )lim()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e x e e x x x x x x o e x x x x e x e e x x e x e e e -→∞→∞→∞→∞→∞-→∞→∞→∞++=+-++-+=--+- +==--+- ∴+=== 3、证明区间（0，1）和（0，+∞）具有相同的势。 证明：构造一一对应y=arctanx 。 4、计算积分2 1 D dxdy y x +?? ，其中D 是x=0,y=1,y=x 围成的区域 解： 1120220001 1 1011ln()|ln(1)ln [(1)ln(1)(1)ln ]|2ln 2 y y D dxdy dxdy x y dy y x y x y dy ydy y y y y y y ==+++=+-=++-+-+=?? ????? 5、计算第二类曲线积分：22 C ydx xdy I x y --=+?，22:21C x y +=方向为逆时针。 解 ： 222222002222 2tan 2222 cos ,[0,2)1sin 211 sin cos 4cos 222113cos 22cos 22 13(2)(1)812arctan 421(2)(1)2 311421C x x y ydx xdy I d d x y x x x x d x dx x x x x ππθθ θπθθθθθθθθ +∞+∞=-∞-∞=?? ∈? =?? ---=???→=-+++-+-++?????→-=--+++ +=-?????换元万能公式代换22 6426212x dx d x x ππ+∞+∞-∞-∞+=-++??+ ??? ?? 6、设a>0,b>0,证明：1 11b b a a b b ++?? ?? ≥ ? ?+?? ?? 。 证明： 一、计算下列机构的自由度，若存在局部自由度、复合铰链或虚约束，请在原图上标出。（每小题4分）。 (已知LK IJ GH ////) （已知CE=HI,DE=IJ,DF=JK,EF=IK,FG=KL ） 图 图 本题分数 12分 得 分 图 二、一曲柄摇杆机构，已知摇杆DC在两个极限 位置时与机架的夹角分别为φ1=135°，φ2=60°。 摇杆DC的长度L DC=50mm，机架AD的长度L AD=70mm。 试：1）求出曲柄AB的长度L AB、连杆BC的长度L BC；2）求行程速比系数K；3）计算机构的最小传动角（可用作图法，取比例 尺μ1=1 mm mm）。 本题分数12分得分 三、已知一对外啮合正常齿制标准直齿圆柱齿 轮的标准中心距a = 360 mm ，齿数Z 1=40，Z 2=140， 求：1）齿轮1的分度圆直径、齿顶圆直径、基圆直径、齿距和齿厚；2）在齿轮1的分度圆、基圆、 齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径ρ ， ρb ，ρa 和压力角α 、αb 、αa 。 四、如图所示传动系统，1、5为蜗杆，2、6 为蜗轮，3、4为斜圆柱齿轮，7、8为直齿锥齿轮。 已知蜗杆1为主动件，要求输出齿轮8的回转方向如图所示，且轴I、II、III上所受的轴向力能抵消一部分。试确定：（1）各轴的回转方向；（2）各轮齿的螺旋线方向；（3）各轮的轴向力方向。 五、在图示轮系中，设已知各轮齿数为：z 1 =30， z 2=30，z 3 ＝90，z 4 =30，z 1 ’=20，z3’=40，z4’=30 ， I II z 5=15，试求轴I 轴II 之间的传动比i I II 。 六、有一普通螺栓，已知：公称直径d=20mm,中径d 2=18.376mm,小径d 1=17.294mm, 螺距t=2.5mm, 螺纹头数n=2,牙型角α=60°，螺纹副的摩擦系数 f =.试求：（1）螺栓的导程L ；（2）螺栓的升角λ； （3）当以螺纹副作传动时，其举升重物的效率；（4）此螺旋副的自锁性如何 大工高等数学课程考试模 拟试卷A答案 Prepared on 24 November 2020 机密★启用前 大连理工大学网络教育学院 2015年3月份《高等数学》课程考试模拟试卷答案 考试形式：闭卷试卷类型：A 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、C 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C 7、D 8、B 9、C 10、A 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1、2 1 -=x y 2、0 3、dx x x x x x x x ??? ? ??-+---22 22121)23(arccos 6 4、>（或写成“大于”） 5、C x x +-3sin 31 sin 6、13-=x y 7、x 2 sin 2ππ 8、C e x +--9、必要10、 2 2y x xy + 三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分） 1、解：所给极限为“ ”型，注意当0→x 时，x x ~)1ln(+（4分）。因此 211sin lim sin lim )1ln(sin lim 000=+=?? ? ??+=+=++→→→x x x x x x x x x x x x x （4分） 2、解：本题为第一类换元法计算不定积分 解法Ⅰ做变量代换，令,1 ,ln du dx x u x ==（4分） C x C u udu dx x x +=+==??ln sin sin cos ln cos （4分） 解法Ⅱ凑微分法，使用凑微分公式 3、解：依前述求定义域的原则，需有???>+-≥--01204222x y y x ，（4分）即???>+≤+x y y x 214 222（4分） 双曲型方程的有限差分法 线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程 ()0=??+??x u x a t u （b ）一阶常系数线性双曲型方程组 0=??+??x t u A u 其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。 （c ）二阶线性双曲型方程（波动方程） ()022=?? ? ??????-??x u x a x t u ()x a 为非负函数 （d ）二维，三维空间变量的波动方程 0222222=???? ????+??-??y u x u t u 022222222=???? ????+??+??-??z u y u x u t u §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征 线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程： （1.1） 22 222x u a t u ??=?? 其中0>a 是常数。 （1.1）可表示为：022 222=??-??x u a t u ，进一步有 0=??? ????+?????? ????-?? u x a t x a t 由于 x a t ?? ±??当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数 （=dt du dt dx x u t u ???+??x u a t u ??±??=）,故由此定出两个方向 （1.3） a dx dt 1 ±= 解常微分方程（1.3）得到两族直线 （1．4） 1C t a x =?+ 和 2C t a x =?- 称其为特征。 特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。 比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。由复合函数的微分法则 2 12211C u C u x C C u x C C u x u ??+??=?????+?????=?? x C C u C u C x C C u C u C x u ????? ? ????+????+?????? ????+????=??2 212121122 2221222122 12C u C C u C C u C u ??+???+???+??= 2 2 22122122C u C C u C u ??+???+??= 同理可得 a t t a t C -=??-=??1，a t C =??2 ???? ????-??=?????+?????=??21 2211C u C u a t C C u t C C u t u 一、简答题 1）右图为一立方晶胞，A、B、G、H为顶点，C、E、F为棱边中点，求OGC、EFGH的晶面指数和AB的晶向指数。 OGC：（211） EFGH：(012) AB : [111] 2）如下图所示的位错环，说明各段位错的性质，并且说明刃位错的半原子面的位置。 由柏氏矢量和位错线的关系可以知道,BC是右旋螺位错,DA为左旋螺位错；（1分）由右手法则,CD为正刃型位错,多余半原子面在纸面上方；（2分）AB为负刃型位错,多余半原子面在纸面下方。（2分） 3)陶瓷材料中主要结合键是什么？从结合键的角度解释陶瓷材料 所具有的特殊性能。 陶瓷材料中主要结合键是离子键和共价键。 （1）由于离子键及共价键很强，故陶瓷的抗压强度很强，硬度极高； （2）因为原子以离子键和共价键结合时，外层电子处于稳定的结构状态，不能自由运动； 4）试分析形成枝晶偏析的原因，如何消除？ 固熔体不平衡结晶时，从液体中先后结晶出来的固相成分不同，造成的晶粒内枝干含高熔点组元较多，而晶枝间含低组元较多，导致晶粒内部化学成分不均匀的现象。（3分） 可用扩散退火（或均匀化退火）消除，即将铸件加热至低于固相线100～200℃，长时间保温，使偏析元素充分扩散。（2分） 5）Ｃ在α—Fe中的扩散系数大于Ｃ在γ—Fe中的扩散系数，为什么渗Ｃ不在α—Fe中进行，而在γ—Fe中进行？ ①α-Fe是体心立方结构，八面体间隙尺寸为0.15（较小），进行渗碳时，碳 在α-Fe中的熔解度很小，渗碳时会出现典型的反应扩散现象。（2分） ②渗碳在α-Fe中进行时，温度低，扩散系数小，扩散速度慢； ③γ-Fe是面心立方结构，八面体间隙尺寸为0.414（较大），碳的熔解度高， 扩散速度快。 所以渗碳不在α-Fe中进行，而在γ-Fe中进行。 6）固溶体和金属间化合物在成分、结构、性能等方面有何差异？ 固溶体是固态下一种组元（溶质）溶解在另一种组元（溶剂）中而形成的新相；固溶体具有溶剂组元的点阵类型；固溶体的硬度、强度往往高于组成它的成 姓名： 大 连 理 工 大 学 学号：课程名称： 化工原理（下） 试卷 A 试卷共 6 页 院系：授课院（系）：化工学院 考试日期： 2004年6月12日 _____ 级 一、选择填空或填空（30分） 1. 某二元混合物，进料量为100kmol/h ，进料组成x F =0.6，要求塔顶得到组成x D 不小于0.9的产品，则塔顶馏出液的最大流量为 kmol/h 。 2．简单蒸馏过程中，釜内易挥发组分浓度逐渐 ，釜液温度逐渐 。（增大、减小、不变、不确定） 3．完成一分离任务需要17块理论板（包括塔釜），若改用填料塔，且所用填料的理论级当量高度（HETP ）为0.5m ，则完成这一分离任务所需的填料层高度为 m 。 4. 板式塔操作的液泛可以有两种情况，即 和 。 5．间歇精馏的操作方法可分为 和 。 6．板式塔 ___________ 操作。 A) 只能用于精馏操作 B) 只能用于吸收操作 C) 不能用于精馏和吸收操作 D) 能用于精馏和吸收操作 7. 恒沸精馏的原理是在原溶液中加入第三组分，使其与原溶液中的某组分形成 ，从而使原溶液易于分离。 8．物质透过膜的主要三种方式为： 、促进传递和主动传递 9．溶解度很大的气体的吸收过程，属于 控制过程。对于该过程，欲强化传质应设法提高 传质系数。 10．在逆流操作的填料吸收塔中，吸收因子A<1时，若填料层高h=∞，则气液两相将于 达到平衡。（塔顶、塔底、塔内 任意截面） 11．在化学吸收过程中，随化学反应速度增大，增强因子。（增大、减小、不变、不确定） 12．在气体流量，气相进出口组成和液相进口组成不变时，若增大吸收剂用量，则传质推动力将，操作线将平衡线，完成分离任务所需的填料层高度将。 13．对一定操作条件下的填料塔，填料层高度增大，则H OG，N OG。 14. 对于不饱和空气，绝热饱和温度_______________露点温度。(小于、大于、等 于)。 15．物料同不饱和空气接触的时间足够长，_______________水分一定是可以被干燥的。（结合、自由、平衡） 16. 相同的干燥条件下，在恒速干燥阶段，湿棉花的干燥速率_______________湿沙子 的干燥速率。(小于、大于、等于) 17. 用空气干燥某种热敏物料，空气的初始和终了状态相同，空气宜采用 _____________加热。（单级、多级、不确定） 18. 在干燥过程中，当物料的湿含量达到平衡含水量时，传质推动力为___________ （>0, =0, 不确定） 19. 三角形坐标描述三元物系时，在三角形边上的点，代表___________物系。（一 元、两元、三元、不确定） 20. 与原溶剂完全互溶的溶剂__________被选为萃取剂。（可以、不可以、不确定）21．溶剂用量相同时，多级错流萃取的分离效果较单级萃取效果________。（好、差、相同） 二、完成下列计算 1. （18分）在一精馏塔中分离二元混合物，塔顶装有全凝器，塔底为间接蒸汽 加热的再沸器，原料流率为1000kmol/h，其组成为0.5（摩尔分数，下同）， 饱和液体进料，相对挥发度α=7，塔顶产品组成为0.95，塔顶易挥发组分的回 收率为92%，回流比为5，试求： （1）塔两端产品流量； （2）若塔的总板效率为0.6，试用逐板计算法求完成分离任务所需的实际塔板数； （3）计算最小回流比，并说明本题设计时所取回流比在经济上是否合理（在常规范围内）。 大连理工大学专升本高等 数学题库道 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 Z题库建议搜索作业帮 [题型]单选题 [章节] [类别]模拟 [题干]题目编号01 [选项] [答案]D [解析] [难度]易 [分数]2 [题型]单选题 [章节] [类别]模拟 [题干]题目编号02 [选项] [答案]A [解析] [难度]易 [分数]2 [题型]单选题 [章节] [类别]模拟 [题干]题目编号03 [选项] [答案]A [解析] [难度]易 [分数]2 [题型]单选题 [章节] [类别]模拟 [题干]题目编号04 [选项] [答案]A [解析] [难度]易 [分数]2 [题型]单选题 [章节] [类别]模拟 [题干]题目编号05 [选项] [答案]D [解析] [难度]易 [分数]2 [题型]单选题 [章节] [类别]模拟 [题干]题目编号06 [选项] [答案]D [解析] [难度]中 [分数]2 [题型]单选题 [章节] [类别]模拟 [题干]题目编号07 [选项] [答案]C [解析] [难度]易 [分数]2 [题型]单选题 [章节] [类别]模拟 [题干]题目编号08 [答案]B [解析] [难度]中 [分数]2 [题型]单选题 [章节] [类别]模拟 [题干]题目编号09 [选项] [答案]B [解析] [难度]中 [分数]2 [题型]单选题 [章节] [类别]模拟 [题干]题目编号10 [选项] [答案]A [解析] [难度]中 [分数]2 [题型]单选题 [章节] [类别]模拟 [题干]题目编号11 [选项] [答案]B [解析] [难度]中 [分数]2 [题型]单选题 2000年大连理工大学硕士生入学考试试题——数学分析 一、从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分 1． 证明：1 ()f x x =于区间0(,1)δ（其中001δ<<）一致连续，但是于(0,1)内不一致连续 证明： 01212(1)0,()[1]2 (2)1||()|()()|f x x x f x f x δδδδεδδε<= =+=-∈-+≤<≠∈为无理数，对于，,取，显然这样的存在 当所以，在无理点连续 为有理数，。不难找到趋近于的收敛子列：无理数这样显然不连续。 工业用钢 三、复习思考题 (一)解释名词 合金元素与杂质元素、回火稳定性与二次硬化、固溶处理、回火脆性、红硬性。 合金元素：在Fe-C合金中加入一些其它的金属或非金属元素形成合金钢，加入的元素称为合金元素。 回火稳定性：淬火钢在回火时，抵抗强度、硬度下降的能力称为回火稳定性。 二次硬化：淬火钢在500~600oC温度范围回火时，硬度升高的现象，原因是从淬火马氏体中析出与马氏体共格的高度弥散的碳化物；回火时从残余奥氏体中析出碳化物，降低残余奥氏体中碳和合金元素的含量。 固溶处理：在较高温度下加热金属，然后迅速冷却，获得单相组织的热处理工艺。 回火脆性：淬火钢在某一温度范围回火时，冲击韧性剧烈下降的现象。 红硬性：材料在较高温度下保持高的硬度的特性。 (二)填空题 1.按钢中合金元素含量，可将合金钢分为( 低合金钢<5% )，( 中合金钢5%-10% )和(高合金钢>10% )三类（分别写出合金元素含量范围）。 2.合金元素中,碳化物形成元素有(Cr,W,Ti,Nb,V,Mn )。 3.使奥氏体稳定化的元素有( Ni,Mn,C,N,Co,Cu )。 4.促进晶粒长大的合金元素有( Mn,P )。 5. 除( Co )和( Al )外，几乎所有的合金元素都使M s、M f点( 降低 ),因此淬火后相同碳含量的合金钢比碳钢的( A残 )增多,使钢的硬度( 降低 )。 6.热强钢主要包括( 珠光体耐热钢 )、( 马氏体耐热钢 )和( 奥氏体耐热钢 )。 7.合金钢按用途可以分为( 合金结构钢 )、( 工具钢)和(特殊性能钢 ) 三类钢。 8.强烈阻止奥氏体晶粒长大的元素有(Al,Ti,Nb,V )。 9.除( Co )外，其它的合金元素都使C曲线向( 右)移动，即使钢的临界冷却速度( 减小)，淬透性( 增大 )。 10.合金钢中最常用来提高淬透性的合金元素有(Mn,Cr,Ni,Si,B )五种，其中作用最大的是( B )。 11.一些含有(Cr,Si )、(Mn )、(Ni )元素的合金钢，容易产生回火脆性。消除第二类回火脆性的方法是(a)(回火后快速冷却)；(b)(选用含Mo,W的钢)。 12.20CrMnTi是(渗碳钢 )钢，Cr、Mn的作用是( 提高淬透性 )；Ti的作用是(细化晶粒)。热处理工艺是(渗碳+淬火+低温回火)。 13．W18Cr4V是(高速钢)钢，含碳量是(0.7%-1.5% )，W的主要作用是(保证红硬性 )，Cr的主要作用是(提高淬透性、耐磨性)，V的主要作用是(细化晶粒，提高耐磨性 )。热处理工艺是(淬火+三次高温回火 )，最后的组织是(回火马氏体+碳化物+少量的残余奥氏体 )。 14.0Cr18Ni9Ti是(奥氏体不锈钢)钢,Cr,Ni和Ti的作用分别是(提高耐蚀性、获得单相奥氏体、防止晶间腐蚀)。(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法
大连理工大学2009年数学分析考研试题
2008南航材力试题(附答案)
1大连理工数学分析试题及解答
南航工程热力学试题答案
大连理工大学2005考研物理化学考研试题
大连理工大学入学测试机考专升本高等数学模拟题
大连理工大学上学期工科数学分析基础学习知识试题
2009南航材力试题(附答案)
大工《高等数学》课程考试模拟试卷A答案
大连理工大学2005硕士研究生考试数学分析试题及解答
南航考研机械设计复试试题
大工高等数学课程考试模拟试卷A答案
(完整版)大连理工大学高等数值分析偏微分方程数值解(双曲方程书稿)
2013年南航《材料科学基础》真题及答案
大连理工大学化工原理期末试题2004xa
大连理工大学专升本高等数学题库道
大连理工数学分析试题及解答
南航大工程材料学习题.
相关主题
文本预览