几何应用题
几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）折线运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽象出几何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想。
一、三角形在实际问题中的应用
例1．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90o，AC=80米，BC=60米。
（1） 若入口E 在边AB 上，且A ，B 等距离，求从入口E 到出口C 的最短路线的长；
（2） 若线段CD 是一条水渠，且D 点在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，则D 点在距A 点多远处时，
此水渠的造价最低？最低造价是多少？
分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首先要弄清等距离，最
短路线，最低造价几个概念。
．E 点在AB 上且与AB 等距离，说明E 点是AB 的中点，E 点到C 点
的最短路线即为线段CE 。
．水渠DC 越短造价越低，当DC 垂直于AB 时最短，此时造价最低。
本题考察了中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识。 解：（1）由题意知，从入口E 到出口C 的最短路线就是Rt △ABC 斜边上的中线CE 。 在Rt △ABC 中，AB=10060802222=+=+BC AC （米）
。 ∴CE=
21AB=2
1
×100=50（米）。 即从入口E 到出口C 的最短路线的长为50米。
（3） 当CD 是Rt △ABC 斜边上的高时，CD 最短，从而水渠的造价最低。 ∵CD ?AB=AC ?BC ，∴CD=
(48100
80
60=?=?AB BC AC 米）
。 ∴AD=22224880-=-CD AC =64（米）。所以，D 点在距A 点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为48?10=480元。
例2．一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正
方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图1，图2所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法
符合要求。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。
分析：本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。可先设出正方形边长，利用对应边成比例，列方
程求解边长，边长大则面积大。
B A
D C
解：由AB=1.5米，
S △ABC =1.5平方米，得BC=2
米.设甲加工的桌面边长为ｘ米，∵DE//AB ，Rt △CDE ∽Rt △CBA ,
∴
AB DE CB CD =，即5
.122x
x =
-，解得
76=x 。如图，过点B 作Rt △ABC 斜边AC 的高BH ，交DE 于P ，并AC 于H 。由AB ＝1.5米，BC ＝2米，5 .1ABC ＝△S 平方米，C ＝2.5米，BH ＝1.2米。设乙加工的桌面边长为y 米，∵DE//AC ，
Rt △BDE ∽Rt △BAC ，∴
AC DE BH BP =，即5.22.12.1y y =
-，解得37
30
=y 。因为373076>，即y x >，22y x >，所以甲同学的加工方法符合要求。
二、几何设计问题
例 3.在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料（如图）。现找出其中的一种，测得∠C ＝90°，AB ＝BC
＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形与△ABC 的其他边相切。请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）。 分析：本题考察分类讨论，切线的性质以及作图能力。本题的关键是找出圆心和半径，分类时应考虑到所有情况，
可以先考虑圆心的位置，在各边上或在各顶点，然后排除相同情况。 解：可以设计如下四种方案：
例 4.小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分割方案（分成三角形
或四边形不限）。
分析：本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连结；也可从相似三角形性质来考虑。
解：
方案一 方案二 方案三 方案四
A
三、折线运动问题
例5. 如图，客轮沿折线A —B —C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿直线匀速航行，
将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A —B —C 上的某点E 处．已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍． (1) 选择：两船相遇之处E 点在 ( )．
（A ）线段AB 上 （B ）线段BC 上 （C ）可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上 (2) 求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号)
分析：本题是一道折线运动问题，考察合情推理能力和几何运算能力，首先要对两船同时到达的E 点作一个合理判断，E 点不可能在AB 上，因为当E 点在AB 上时，DE 的最短距离为D 到AB 中点的距离，而此时AB=2DE ，当E 不是中点时，AB<2DE ，所以E 点不可能在AB 上。然后利用代数方法列方程求解DE
解：（1）B
（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x 海里．
过D 作DF ⊥CB ，垂足为F ，连结DE ．则DE =x ，AB + BE =2x ．
∵在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝200，D 是AC 中点，
∴DF ＝100，EF ＝300－2x ．
在Rt △DEF 中，DE 2＝DF 2 +EF 2
，
∴x 2＝100 2+(300－2x ) 2
解之，得3
6
100200±
=x ． ∵36
100200+
＞200， ∴DE =3
6
100200-
． 答：货轮从出发到两船相遇共航行了)63
100
200(-海里． 四、综合类几何应用
例6 .如图1，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN=30o
，点A 处有一所中学，AP=160米。假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 分析：本题是一道关于解直角三角形和圆的几何综合应用问题
要判断是否受到噪声的影响，只需求出A 点到直线MN
的距离AB ，当此AB ≤100米时就要受到噪声影响；第二 个问题只需要噪声影响路段的长度，就
能求出受影响的
时间。
解：过点A 作AB ⊥MN ，垂足为B 在Rt △ABP 中：∠APB=∠QPN=30°
AP=160米
则AB=2
1
AP=80米，所以
学校会受到噪声影响。
A
B C
P
N
Q M
A
以A 为圆心，100米为半径作☉A,交MN 于C 、D 两点，在Rt △ABC 中：AC=100米，AB=80米 则：BC=
60801002222=-=-AB AC （米）
∴CD=2BC=120（米）；∵18千米/小时=5米/秒 ∴受影响时间为：120米÷5米/秒=24（秒）
例7. 马戏团演出场地的外围围墙是用若干块长为5米、宽2.5米的长方形帆布缝制成的，两块帆布缝合的公共
(1) (2) 若用x 块帆布缝制成密封的圆形围墙，求圆形场地的周长y 与所用帆布的块数x 之间的函数关系式； (3) 要使围成的圆形场地的半径为10米，至少需要买几块这样的帆布缝制围墙? 分析：本题的关键是弄清缝制成条形和缝制成密封的圆形后有几块公共部分。
解：(1)6块帆布缝制成条形后，有5块公共部分，所以6块缝制后的总长度为6×5－5×0.1＝29.5(米)
(2)x 块帆布缝制成密封的圆形围墙后有x 块公共部分，设圆形围墙的周长为米，则y=5x-0.1x=4.9x ，所以y=4.9x
(3) 要围成半径为10米的圆形场地，则2π×10＝4.9x
82.129
.48
.629.420≈==
πx (块) 要到商店买这样的帆布13块。
解几何应用问题要求我们必须具备扎实的几何基础知识，较强的阅读理解能力，以及对数学思想方法的掌握，只要我们有针对性地复习，就一定能掌握好几何应用问题的解决方法。
练习：
1、 在生活中需测量一些球（如足球、篮球…）的直径。某校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方
法：如图8，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB ，设光线DA 、CB 分别与球相切于点E 、F ，则EF 即为球的直径。若测得AB 的长为40 cm ，∠ABC ＝30°。请你计算出球的直径（精确到1 cm ）。
2、 如图；某人在公路上由A 到B 向东行走，在A 处测得公路旁的建筑物C 在北偏东
60°方向。到达B 处后，又测得建筑物C 在北偏东45°方向。继续前进，若此人在行走过程中离建筑
物C 的最近距离是（253+25）米，求AB 之间的距离。
3、 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边
始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q 。 探究：设A ，P 两点间的距离为x 。
（1） 当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；
（2） 当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义
域；
（3） 当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为
等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由。（图1，图2，图3的形状，大小相同，图1供操作实验用，图2和图3备用）
D
C
图形位置关系
第一部分 真题精讲
【例1】已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若DE =2，tan C =
1
2
，求⊙O 的直径． A
【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD ，在△ABC 中OD 就是中位线，平行于BC 。所以利用垂直传递关系可证OD ⊥DE 。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC 是等腰三角形，从而将求AB 转化为求BD ，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
【解析】（1）证明：联结OD ． ∵ D 为AC 中点， O 为AB 中点，
A
∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC．
∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°.
∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.
∴ DE为⊙O的切线．
（2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点，∴AB=AC．
在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=1
2
，∴EC=4
tan
DE
C
=.
（三角函数的意义要记牢）由勾股定理得：DC=
在Rt△DCB 中， BD=tan
DC C
?= BC=5∴AB=BC=5. ∴⊙O 的直径为5.
【例2】已知：如图，O为ABC
?的外接圆，BC为O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF
∠，过点A作
AD BF
⊥于点D .
（1）求证：DA为O的切线；
（2）若1
BD=，
1
tan
2
BAD
∠=，求O的半径.
F
C
【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分∠CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA之后发现∠ABD=∠ABC，而OAB构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD通过等量关系放在△ABC中，从而达到计算直径或半径的目的。
【解析】证明：连接AO.
F
C
∵ AO BO
=，
∴ 23∠=∠. ∵ BA CBF ∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ . ∴ DB ∥AO . （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行） ∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=?.∴ 90DAO ∠=?. ∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线. 2）∵ AD DB ⊥,1BD =，1tan 2
BAD ∠=， ∴ 2AD =.
由勾股定理，得AB =
∴ sin 4∠=
.（通过三角函数的转换来扩大已知条件） ∵ BC 是⊙O 直径，
∴ 90BAC ∠=?.∴ 290C ∠+∠=?. 又∵ 4190∠+∠=?, 21∠=∠,
∴ 4C ∠=∠. （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin ∠BAD ） 在Rt △ABC 中，sin AB BC C ==sin 4
AB
∠=5. ∴ O 的半径为
5
2
.
【例3】已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B
在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交
于点F ，且8BE =
，tan BFA ∠= 求⊙O 的半径长.
【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD ，聪明的同学瞬间就能看出来BA 其实就是三角形OBD 中斜边OD 上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB 以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。
【解析】
（1）证明：连接OB .
∵,OA AB OA OB ==，
C
∴OA AB OB ==.
∴ABO ?是等边三角形. ∴160BAO ∠=∠=?. ∵AB AD =，
∴230D ∠=∠=?.
∴1290∠+∠=?.
∴DB BO ⊥ . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已） 又∵点B 在⊙O 上， ∴DB 是⊙O 的切线 .
（2）解：∵CA 是⊙O 的直径， ∴90ABC ∠=?.
在Rt ABF △
中，tan AB BFA BF ∠==
∴设,
AB 则2BF x =，
∴3AF x . ∴
2
3
BF AF = . （设元的思想很重要） ∵,34C E ∠=∠∠=∠, ∴BFE ? ∽ AFC ?.
∴
2
3BE BF AC AF == . ∵8BE =, ∴12AC = .
∴6AO =.………………………………………5分
【例4】如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O 的切线； （2）求sin E ∠的值．
【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF 是切线，则需证OD 垂直于EF ，但是本题中并未给OD 和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD ，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC 是以AC,CB 为腰的等腰三角形，从而得出D 是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT 三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。
【解析】
D
F
G
C
O B E A
（1）证明：如图，连结CD ，则90BDC ∠=?．
∴CD AB ⊥． ∵ AC BC =，∴AD BD =． ∴D 是AB 的中点． ∵O 是BC 的中点， ∴DO AC ∥． ∵EF AC ⊥于F ． ∴EF DO ⊥．
∴EF 是O 的切线．
( 2 ) 连结BG ，∵BC 是直径, ∴90BGC CFE ∠=?=∠．（直径的圆周角都是90°） ∴BG EF ∥．
∴sin FC CG
E EC BC
∠==
． 设CG x =，则6AG x =-．
在Rt BGA △中，222BG BC CG =-． 在Rt BGC △中，222BG AB AG =-．（这一步至关重要，利用两相邻RT △的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）
∴()2
222686x x -=--．解得23x =．即23CG =．
在Rt BGC △中．∴ 21
3sin 69
CG E BC ∠=
==．
【例5】如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .
（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.
G F
E
D
C
B
A
【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三
角形中求解的能力。判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。 【解析】
（1）结论：GD 与O 相切6543
21G
F E
D
C
B
A
证明：连接AG
∵点G 、E 在圆上， ∴AG AE =
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥
∴123B ∠=∠∠=∠，
∵AB AG =
∴3B ∠=∠ ∴12∠=∠ （做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引）
在AED ?和AGD ? 12AE AG AD AD =??
∠=∠??=?
∴AED AGD ??≌ ∴AED AGD ∠=∠ ∵ED 与A 相切 ∴90AED ∠=? ∴90AGD ∠=? ∴AG DG ⊥
∴GD 与A 相切
（2）∵5GC CD ==，四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB DC =，45∠=∠，5AB AG == ∵AD BC ∥ ∴46∠=∠
∴1
562
B ∠=∠=∠
∴226∠=∠ （很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT 三角形中就产生了30°和60°的特殊角） ∴630∠=?
∴10
AD .
【总结】经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。
第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。例如大家看这样一道题，如图△ABC中，AB=AC，点O是BC 的中点，与AB切于点D，求证：与AC也相切。
该题中圆0与AC是否有公共点是未知的，所以只能通过O做AC的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC与圆交点这样证明，就误入歧途了。
第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。例如看下面一道题：
如图，中，AB=AC ，=，O、D将BC三等分，以OB 为圆心画，求证：与AC相切。
本题中并未说明一定过A点，所以需要证明A是切点，同时还要证明O到AC垂线的垂足和A是重合的，这样一来就非常麻烦。但是换个角度想，如果连接AO之后再证明AO=OB，AO⊥AC，那么就非常严密了。
（提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO，BO都用AB表示出来即可证明相等，而△AOC中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。）
至于本类题型中第二问的计算就比较简单了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所构成的线段，角关系，同时将条件放在同一个RT△当中就可以非常方便的求解。总之，此类题目难度不会太大，所以需要大家做题速度快，准确率高，为后面的代几综合体留出空间。
第二部分发散思考
【思考1】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.
【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆
心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB就会
得到一个和C 一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。解法见后）
【思考2】已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交 ⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .
（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O 的半径等于4，4
tan 3
ACB ∠=
，求CD 的长.
【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。重点在于如何利用∠D=∠ACB 这个条件，去将他们放在RT 三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将∠OBD 拆分成两个角去证明和为90°。（解法见后）
【思考3】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=
1
3
时，求⊙O 的半径.
【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性
质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。
【思考4】如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，
D 为BC 上一点， C
E ⊥AD 于E . 求证：AE= BD +DE ．
【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题
就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD 相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。
【思考5】如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ．
（1） 求证：DE 是⊙O 的切线；
（2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．
A D
【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC 评分角EAD 这样的条件，但是通过给
定CE=CF ，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC 和△CAF 是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。
第三部分 思考题解析 【思考1解析】
1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.
∴ ∠EAB +∠E =90°. ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴ ∠EAB +∠BAD =90°.
∴ AD 是⊙O 的切线.
（2）解：由（1）可知∠ABE =90°.
∵ AE =2AO =6, AB =4, ∴ 5222=-=AB AE BE . ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ .cos cos E BAD ∠=∠
∴ .AE
BE AD AB =
.6
524=AD 即
∴ 5
5
12=
AD .
【思考2解析】 解：（1）直线BD 与⊙O 相切． 证明：如图3，连结OB ．-
∵ ∠OCB =∠CBD +∠D ，∠1=∠D ， ∴ ∠2=∠CBD ． ∵ AB ∥OC ， ∴ ∠2=∠A ． ∴ ∠A =∠CBD ． ∵ OB=OC ，
∴ 23180BOC ∠+∠=?， ∵ 2BOC A ∠=∠，
∴ 390A ∠+∠=?． ∴ 390CBD ∠+∠=?． ∴ ∠OBD =90°．
∴ 直线BD 与⊙O 相切．
（2）解：∵ ∠D =∠ACB ，4
tan 3
ACB ∠=， ∴ 4tan 3D =
．在Rt △OBD 中，∠OBD =90°，OB = 4，4
tan 3
D =，
∴ 4
sin 5
D =，5sin OB
OD D
==．∴ 1CD OD OC =-=． 【思考3解析】
1）证明：连结OM ，则OM OB =．∴12∠=∠．∵BM 平分ABC ∠．
∴13∠=∠．∴23∠=∠．∴OM BC ∥．∴AMO
∠=∠
在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线，∴AE BC ⊥．∴90AEB ∠=°．∴90AMO ∠=°．∴OM AE ⊥．
∴AE 与O ⊙相切． （2）解：在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线， ∴12BE BC ABC C =
∠=∠，．∵1
4c o s 3B C C ==，，∴B E =ABE △中，90AEB ∠=°，
∴6cos BE
AB ABC
=
=∠．设O ⊙的半径为r ，则6AO r =-．∵OM BC ∥，∴AOM ABE △∽△． ∴OM AO BE AB =．∴626
r r
-=．解得32r =．∴O ⊙的半径为32．
【思考4解析】
证明：如图3，在AE 上截取AF=BD ，连结CF 、CD ．
在△ACF 和△BCD 中，
, , ,
AC BC CAF CBD AF BD =??∠=∠??=? ∴ △ACF ≌△BCD ． ∴ CF=CD . ∵ CE ⊥AD 于E ∴ EF=DE . ∴ AE AF EF BD DE =+=+.
【思考5解析】 证明：（1）连接OC,
,,,1 2.,2 3.1 3.//..AE CD CF AB CE CF OA OC OC AE OC CD DE O ⊥⊥=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∴⊥∴又是
的切线.
00(2)6,1
3.2
3,6,30.60.
9,1922
,3.
AB OB OC AB Rt OCD OC OD OB BD D COD Rt ADE D AB BD AE AD OBC OB OC
BC OB =∴==
=?==+=∴∠=∠=?=+=∴=
=?∠=∴==0解：在中，在中， A 在中，COD=60