)1(120
22
12b a x x ,
即 ???????+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或???
????+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g
解之得 41<
b 或4
7
>b . 2.3 因为二次函数()0)(2
≠++=a c
bx ax x f 在区间
]2,(a
b
-
-∞和区间),2[+∞-
a
b
上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.
例7 已知二次函数，当
时，有
，求证：
当
时，有
.
分析：研究)(x f 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数c b a ,,. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1(f ，)1(-f ，
)0(f ，这样做的好处有两个：一是c b a ,,的表达较为简洁，二是由于01和±正好是所给条
件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.
要考虑()x f 在区间[]7,7-上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑()x f 在区间端点和顶点处的函数值.
解：由题意知：c b a f c f c b a f ++==+-=-)1(,)0(,)1(， ∴ )0()),1()1((2
1
)),0(2)1()1((21f c f f b f f f a =--=--+=
， ∴
()
2
221)0(2)1(2)1(x f x x f x x f -+?
??
? ??--+???? ??+=. 由时，有
，可得 ,
1)1(≤f (),11≤-f ()10≤f .
∴ ()()()()7)0(3)1(1303113)2(≤+-+≤--+=f f f f f f f ,
()()()()7)0(3)1(3103131)2(≤+-+≤--+=-f f f f f f f .
（1）若[]2,22-?-
a
b
，则()x f 在[]2,2-上单调，故当[]2,2-∈x 时， ))2(,)2(max()(max f f x f -=
∴ 此时问题获证. （2）若[]2,22-∈-
a
b
，则当[]2,2-∈x 时，
)2,)2(,)2(max()(max ??
?
??--=a b f f f x f
又
()72411214)1()1(2022422<=+?+≤--?+=?+≤-=??
?
??-f f a b f b a b c a b c a b f ，
∴ 此时问题获证. 综上可知：当
时，有
.
圆与二次函数难度题(含答案)
水尾中学中考专项训练（压轴题）答案 1．（四川模拟）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，AC ＝23，BC ＝1．以AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ，连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，求BD 和AE 的长． 解：过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23，∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90° ∴∠DCF ＝30°，∴DF ＝ 1 2 CD ＝3，CF ＝3DF ＝3 ∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4 ∴BD ＝ BF 2 ＋DF 2 ＝ 16＋3 ＝19 ∵AC ＝23，BC ＝1，∴AB ＝ AC 2 ＋BC 2 ＝ 13 ∵BE ＋DE ＝BD ，∴AB 2 －AE 2 ＋ AD 2 －AE 2 ＝BD 即 13－AE 2 ＋ 12－AE 2 ＝19 ∴13－AE 2 ＝19－ 12－AE 2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2 19(12－AE 2 ) 整理得：19(12－AE 2 ) ＝9，解得AE ＝ 7 19 57 2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵ 的中点． （1）如图1，P 为 ABC ︵ 的中点，求证：PA ＋PC ＝3PD ； （2）如图2，P 为 ABC ︵ 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （1）证明：连接AD ∵D 为AC ︵ 的中点，P 为 ABC ︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD ＝90° D D P 图1 图2
二次函数与特殊四边形综合问题专题训练(有答案)
二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形 （2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形 特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】 例一、（2013河南）如图，抛物线2 y x bx c =-++与直线 1 2 2 y x =+交于,C D两点，其 中点C在y轴上，点D的坐标为 7 (3,) 2 。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作 PE x ⊥轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,, O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。 【解答】（1）∵直线 1 2 2 y x =+经过点C,∴(0,2) C ∵抛物线2 y x bx c =-++经过点(0,2) C，D 7 (3,) 2
∴22727 332 2c b b c c =?? =? ?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2 7 22 y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上 ∴2 71 (,2),(,2)22 P m m m F m m -+ ++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 ① 当03m <<时，2 271 2(2)322 PF m m m m m =-+ +-+=-+ ∴2 32m m -+=，解得：121,2m m == 即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2 217 (2)(2)32 2 PF m m m m m =+--+ +=- 232m m -= ，解得：123322 m m += =（舍去） 即当132 m += 时，四边形OCFP 是平行四边形 练习1：（2013?盘锦）如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）， 与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标；
二次函数综合应用专题归纳训练一
二次函数综合应用专题归纳训练一 一、相似三角形的存在性问题 1.在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A（1,0）B（3,0）两点. （1）写出这个二次函数图像的对称轴； （2）设这个二次函数图像的顶点为D,与y轴交与点C，它的对称轴与x轴交与点E，连接AC、DE和DB.当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式. 二、等腰三角形的存在性问题 2.如图，直线3 y交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x =x 3+ 轴于另一点C（3,0）. ⑴求抛物线的解析式 ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ 存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线L上的一个动点，当△PAC的周长最 小时，求点P的坐标； (3)在直线L上是否存在点M，使△MAC为等腰三角 形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标； 若不存在，请说明理由．
三、平行四边形的存在性问题 4.（2014年山东泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标． 分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N 的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解； （3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．
二次函数综合应用题(有答案)
解：(1) y=50- x (0≤x ≤160，且 x 是 10 的整数倍)。 2 2(3) W= - x +34x +8000= - (x -170) +10890， ∴当 x=160 时，W 最大=10880，当 x=160 时，y=50- x=34。答：一天订住 34 个房间时， （ （ 函数综合应用题 题目分析及题目对学生的要求 1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。 需要注意的是： (1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下) (2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。 2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项 式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。 一般式化为定点式） 最值的求法： (1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。 (2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。 3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起 来。 推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出 x 的取值范围。 备选思路一：先将不等号看做等号，求出 x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后 x 的取值范围； 备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。这一问里需要注意的是在 注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。 一、求利润的最值 1. (本题满分 10 分) 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时， 房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对 游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元。设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍)。 (1) 设一天订住的房间数为 y ，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式； (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 1 10 1 1 (2) W=(50- x)(180+x -20)= - x 2 +34x +8000； 10 10 1 1 10 10 当 x<170 时，W 随 x 增大而增大，但 0≤x ≤160， 1 10 宾馆每天利润最大，最大利润是 10880 元。 2． 本题满分 10 分）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件； 如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件 商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接 写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？
二次函数与圆结合的压轴题Word版
图6 x y F E H N M P D C B A O 二次函数和圆 【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线3 2 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.
【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点． 【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、
中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案
中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案 一、二次函数 1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D . （1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标； （2）点(,0)P t 是x 轴上的动点， ①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标； ②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2 ||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围. 【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最 ，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或 332t ≤<或72t =. 【解析】 【分析】 （1）先利用对称轴公式x=2a 12a --=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式； （2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标； （3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+
二次函数综合题经典习题(含答案及基本讲解)
二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2
P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x
高中数学专题-二次函数综合问题例谈
二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2 ，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f .
三角函数与二次函数综合专题(含解析)
三角函数与二次函数综合卷2 1．如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF ⊥EC 交AD 于点F ，连接CF （AD ＞AE ），下列结论： ①∠AEF=∠BCE ； ②AF+BC ＞CF ； ③S △CEF =S △EAF +S △CBE ； ④若= ，则△CEF ≌△CDF ． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 2．已知：BD 是四边形 ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C=60°，AB=1， （1）求tan ∠ABD 的值； （2）求AD 的长. 3．海上有一小岛，为了测量小岛两端A 、B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B 点是CD 的中点，E 是BA 延长线上的一点，测得AE ＝ 10海里，DE ＝30海里，且DE ⊥EC ，cos ∠D （1）求小岛两端A 、B 的距离； （2）过点C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ，求sin ∠BCF 的值. A B 4．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，AC BC =，点P 是△ABC 内一点，且135APB APC ∠=∠=．
A B C P （1）求证：△CPA ∽△APB ； （2）试求tan PCB ∠的值． 5．如图，在梯形A B CD 中，?=∠=∠ 90B A 点E 在AB 上，?=∠45AED ，6=DE ,7=CE . （1）求AE 的长； （2）求BCE ∠sin 的值． 6．如图，在△ABC 中， AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，AD=4． （1）求BC 的长； （2）求tan ∠DAE 的值． 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8内的图象分别交OA 、AB 于点C 和点D ，连结OD ，若4=?BOD S ， (1)求反比例函数解析式； (2)求C 点坐标． 8．如图,在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ， ,,并且. 求的长. AB =BD = 12 ABD CBD ∠=∠AC
二次函数综合大题压轴题Word版
姓名学生姓名填写时间 学科数学年级初三教材版本人教版 阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）课时共（ 2）课时 课题名称二次函数综合大题（压轴题） 课时计划 第（ 1、2 ） 课时 共（ 4 ）课时 上课时间 教学目标 同步教学知识内容学校同步学到圆周角，1对1提前学到圆结束 个性化学习问题解决二次函数综合大题（压轴题） 教学过程 教师活动 二次函数综合大题（压轴题） 一、经典例题精讲 面积类 例1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．
（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．
-圆与二次函数综合题精练(带答案)教学文案
圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。 （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式； （3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。 （1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式； （3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左 边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 （1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省）
例谈二次函数综合题的解题策略
□ 孙朝仁 朱松林 二次函数既是中考的重点内容,也是热点问题.而二次函数综合题在各级各类考试中都属于难度较大的问题，要求同学们不但对于二次函数本身的内容掌握要牢固，而且还要善于将二次函数和其他的有关知识（方程、不等式以及几何等知识）“攀亲”，搞好关系，这样问题的综合层次和要求都比较高 ．解决这类问题的关键就是要“沉得住气”，认真仔细地将题目中所提供的信息进行加工梳理，有条不紊地进行“抽丝剥茧”，最终解决问题 ．下面略举几例，谈谈二次函数综合题的常见的解题策略 ． 一、得意知“形”，由“形”想“数” 例1 已知函数y ＝x 2＋bx ＋2的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的关系式； （2）画出它的图象； （3）根据图象指出：当x 取何值时，y ≥2？ 分析 首先，利用待定系数法，可以求出b 的值， 从而获得函数表达式；其次，根据函数关系式不难知“形”—— 用描特殊点法画出函数图象；第三，借助函数图象，由“形”想 “数”，要“确定y ≥2时，x 的取值范围”就是要求位于“直线 y=2上方”图象的自变量取值范围． 解 （1）根据题意，得 2＝9＋3b ＋2， 解得 b ＝－3． ∴函数关系式为y ＝x 2－3x ＋2． （2）易求该抛物线与x 轴的两个交点坐标为（1，0）、（2，0），与y 轴的交点坐标为（0，2），对称轴为2 3 x ．函数y ＝x 2－3x ＋2的图象如图1所示． 图1
（3）根据图象可得，当y ＝2时，对应的x 的值为0和3 ．因此，当x ≤0或x ≥3时，y ≥2． 评析 充分利用函数图象的直观性，分析解决问题是体现“数形结合”思想一个重要方面．本题还可以直接指出“当x 取何值时，y ≤2？”以及根据图象写出“不等式x 2 －3x ＋2≤0的解集”，这两个问题，请同学们自行写出. 二、函数与方程“攀亲”，由方程求函数 例2 如图2，一元二次方程0322 =-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）． (1)求此二次函数的解析式； (2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； (3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标． 分析 （1）求出方程的两个根，就相当于知道了B ，C 两 点的坐标，进而由A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法，很 让容易求出二次函数的解析式；（2）要求交点Q 的坐标，只要 函数与方程“攀亲”，将该抛物线的“对称轴方程”与“直线 AC 的解析式”联立得方程组，解这个方程组就可得到；（3）要 求“MQ+MA ”的最小值，只需作点A 关于x 轴的对称点即可，用 对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决. 解 (1)解方程0322=-+x x ，得1x =-3，2x =1. ∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：C （-3，0），B （1，0）. 将 A （3，6），B （1，0），C （-3，0）代入抛物线的解析式，得 ?????=+-=++=++.039,0,639c b a c b a c b a 解这个方程组，得 ??? ????-===.23,1,21c b a ∴抛物线解析式为2 3212-+=x x y . x ） ) 图2
人教中考数学专题题库∶二次函数的综合题含答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）（2015?牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长． 注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣ ． 【答案】（1）y=-2x-3；（2）． 【解析】 试题分析：（1）把A,B 两点坐标代入，求待定系数b,c ，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE ，点F 是AE 中点，H 是AB 中点，则FH 为三角形ABE 的中位线，求出BE 的长，FH 就知道了，先由抛物线解析式求出点E 坐标，根据勾股定理可求BE ，再根据三角形中位线定理求线段HF 的长． 试题解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴把A,B 两点坐标代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点 E （2，m ）在抛物线上，∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E （2，﹣3），∴BE= = ．∵点F 是AE 中点，点H 是抛物线的对称轴与 x 轴交点，即H 为AB 的中点，∴FH 是三角形ABE 的中位线，∴FH=BE=×= ．∴ 线段FH 的长 ． 考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理． 2．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线 y x m =+过顶点C 和点B ．
二次函数最经典综合提高题
周村区城北中学二次函数综合提升寒假作业题 一、顶点、平移 1、抛物线y ＝－(x ＋2)2 －3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 2、若,,,,,123351A y B y C y 444??????- ? ? ??????? 为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是 A.123y y y << B. 213y y y << C.312y y y << D.132y y y << 3、二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为（ ）A ． B ．2 C ． D ． 4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x ? 2)2 ? 3 D ．y = (x + 2)2 ? 3 5、将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式，则y = ． 6二次函数与y=kx 2﹣8x +8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ＜2 B ．k ＜2且k ≠0 C ．k ≤2 D ．k ≤2且k ≠0 7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3二次函数与圆综合训练(含解析)
二次函数与圆综合提高（压轴题） 1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点， 且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图 形L． （1）求△ABC的面积； （2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．解 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H， 答： ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC==； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， ∴y==x2， ∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x=1.5时，y 最大=， 如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x， ∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y=， =﹣； （3），如图4，∵y=﹣； ∴y=﹣（x2﹣4x）﹣， y=﹣（x﹣2）2+， ∵a=﹣＜0，开口向下， ∴x=2时，y最大=， ∵＞， ∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°，
∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， S⊙O=π×12=π． 2、（2013?压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4）， 点B的坐标为（4， 0），点C的坐标为 （﹣4，0），点P在 射线AB上运动，连 结CP与y轴交于点 D，连结BD．过P， D，B三点作⊙Q与 y轴的另一个交点 为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． （1）求直线AB的函数解析式； （2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=﹣1， 则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4； （2）①由已知得： OB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BOD≌△COD，
二次函数综合问题例谈
二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1)),1()1((21--=-+=f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f .
二次函数七大综合专题
二次函数七大综合专题 二次函数与三角形的综合题
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 （2016?益阳第21题） 如图，顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标． x y
考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。 解析：（1 ）∵抛物线顶点为A ， 设抛物线对应的二次函数的表达式为2(1y a x =+， 将原点坐标（0，0）代入表达式，得1 3a =-． ∴抛物线对应的二次函数的表达式为：213y x =-+ ． （2）将0y = 代入213y x =-+ 中，得B 点坐标为：， 设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =， 将A 代入表达式y kx = 中，得k = ， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y x =． ∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y b =+， 将 B 代入y b = +中，得2b =- ， ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为2y x =-． 由2213y x y x ?= -????=-?? 得交点D 的坐标为(3)-， 将0x = 代入2y =-中，得C 点的坐标为(0,2)-， 由勾股定理，得：OA =2=OC ，AB =2=CD , OB OD ==． 在△OAB 与△OCD 中，OA OC AB CD OB OD =?? =??=? ， ∴△OAB ≌△OCD ． （3）点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2)，则C D '与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小． 过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ．∴C PO '?∽C DQ '?． ∴ PO C O DQ C Q '=', 25 = ，∴PO =， ∴ 点P 的坐标为(． 二次函数与平行四边形的综合题 7
二次函数综合题类型
二次函数综合题常见题型 一、线段最值 1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）． （1）求直线BC与抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．
7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截2、如图，二次函数的图象经过点D(0，3 9 得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
3、如图，已知直线 1 1 2 y x =+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2 1 2 y x bx c =++与直 线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|| AM MC -的值最大，求出点M的坐标。
4、如图，已知ABC =,点A、C在x轴上，点B坐标 ∠=?，AC BC ACB ?为直角三角形，90 为（3，m）（0 m>），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ Array并延长交AC于点F，试证明：() FC AC EC +为定值．
