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浅谈函数的一致连续性的性质

张亚男,数学计算机科学学院

摘要: 本文探讨了具有一致连续性函数的基本性质,对函数一致连续性的性

质进行深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一直连续性.首先介绍了一致连续的概念，并给出了非一致连续的定义。其次给出了一致连续函数的有界性质。再次给出了两个一致连续函数和商积差，具有一致连续性的条件。最后探讨了同一函数在两个区间上一致连续性的叠加。在每个性质后面都附有例题，使读者可也更好的理解所给出的性质。

关键词：函数；一致连续；非一致连续；有限区间; 有界;

Discusses the properties of the uniform continuity function

Name：zhang ya nan Number：0707216

College：College of Mathematics and Computer Science

Abstract: In this paper, we discuss the properties of function of uniform continuity. We analyze the properties of uniform continuity of functions deeply, aiming to readers can better control uniform continuity of function. Firstly, we introduce the function uniform continuity concept and give the definition of non- uniform continuity of function. Then, we give the bound of uniform continuity of functions. Once again, we give the condictions, to be uniform continuity of function,of function four fundamental operations. Finally discusses the same function in the two identical continuity on the interval of superposition. In each propertyes we give examples, behind that readers can better understanding of the nature of given.

Key Word: function; uniform continuity; non- uniform continuity; limited interval; bounded;

一引言

函数的一致连续性是学习数学分析的一个重点,更是一个难点.之前在学习函数的一致连续性时就觉得比较抽象难以理解,借此机会我探讨了函数一致连续性的若干性质，希望对后来者学习函数的一致连续性时有所帮助.

二基本概念

定义1（一致连续）设()f x 在区间X 有定义,若0,0εδ?>?>,使得12,x x X ?∈,只要12x x δ-<,就有12()()f x f x ε-<,则称()f x 在X 上一致连续.

定义2（一致连续）设()f x 在区间X 有定义,若0,0εδ?>?>,使得0x X ?∈,只要

0x x δ-<，就有0()()f x f x ε-<,.则称()f x 在X 上一致连续.

定义3（非一致连续）设()f x 在区间X 有连续,若00,0εδ?>?>,总存在,x x X '''∈,使得虽有x x δ'''-<,但0()()f x f x ε'''-≥,,则称()f x 在X 上非一致连续. 定义4（（非一致连续））设在区间X 上,有()f x 连续,若

0120,,(1,2...)n n x x X n ε?>?∈=,使得虽有120n n n x x →∞

-???→,但120()()n n f x f x ε-≥则称()f x 在X 上非一致连续.

定理（Cantor 定理）有界闭区间[],a b 上的连续函数()f x 必在[],a b 上一致连续.

例1:用定义证明()f x =[)1,+∞上是一致连续的.

证明:由于[),1,x x '''?∈+∞,2x x '''-=

≤,于是0ε?>,取

2δε=,当[),1,x x '''∈+∞且x x δ'''-<时,ε<,所以()f x =[)1,+∞上是一致连续的.

例2:用定义证明1

()sin f x x

=在()0,1内非一致连续,但0c ?>,其在(),1c 内一致连续.

证明对012ε=

,取()120111,,,,1,2 (2222)

k k x x k k k επππ====+

则()12,0,1k k x x ∈,且120,0k k k k x x ++

→+∞→+∞

???→???→,有120k k k x x →+∞-???→但1201()()12

k k f x f x ε-=>=.所以1

()sin f x x

=在()0,1内非一致连续.0,0c ε?>?>,只要取

()2120,,0,1c x x δε=>?∈,当12x x δ-<时,就有

1212122121211

()()sin sin x x x x f x f x x x x x c

ε---=-≤≤<故1()sin f x x =在(),1c 内一致连续.

说明:当0x +→时,

sin x

连续的无限振荡于[]1,1-上,故存在00ε>与点列对{}{}1

2,k

x x ,使12

0,0k k x

x ++→→, (故有120k k k x x →+∞

-???→),而12

0()()0k k f x f x ε-≥>;但0c ?>,在(),1c 内考虑时,上述性质不存在,在证明中可

以看出,1

()sin f x x

在(),1c 内一致连续.,对给定的0ε>,所求得的(,)0c δδε=>,即0δ>不仅与ε有关,而且与0c >有关.特别是0

(,)0c c δε++

→???→.正因为这样,给定的0ε>,不可能找到对()0,1公用的0δ>.这就是该函数在

()0,1内非一致连续的原因.

三函数一直连续性的有界性

定理1（有界性定理）若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界. 下面讨论当()f x 在开区间(),a b 上一致连续时,是否有()f x 在(),a b 上有界. 分两种情况讨论：

1当(),a b 为有限区间时,有()f x 在(),a b 上有界.

证法1：由()f x 在(),a b 上一直连续,可知0,0εδ?>?>,当(),,x x a b '''∈，

x x δ'''-<时,有()()f x f x ε'''-<,故(),,x x a b '''?∈,,a x a a x a δδ'''<<+<<+时,有()()f x f x ε'''-<,从而由柯西收敛准则知lim ()x a

f x +→存在（有限），同理可

证lim ()x b

f x -

→存在（有限）,进而可补充定义令()lim (),()lim ()x a

x b

f a f x f b f x +-→→==,则()f x 在[],a b 上连续,由定理1知()f x 在[],a b 上有界,进而()f x 在(),a b 上有界.

证法2:因为函数()f x 在(),a b 上一致连续,所以对10>,存在00δ>,当

(),,x x a b '''∈且0x x δ'''-<时,()()1f x f x '''-<.取定N 充分大将(),a b N 等分,使每个小区间长度小于0δ.令1231(),(),()...()N M f f f f N N N N ?-?=????,由前面讨论

可知,对任意(),x a b ∈,存在,11i i N ≤≤-,满足0i

x N

δ-

<,此时一定有()()(

)()1i i

f x f x f f M N N

≤-+<+,这就证明了()f x 在(),a b 上是有界的. 2当(),a b 为无限限区间时,不能推出()f x 在(),a b 上有界. 反例：()f x x =在区间()0,+∞上是一致连续的,但是无界的. 证明：0,εδε?>?=当(),0,,x x x x δ''''''∈+∞-<,就有

()()f x f x x x δε''''''-=-<=,从而()f x 在()0,+∞上一致连续，但显然()f x 在

()0,+∞上是无界的.

例:证明无界函数()sin f x x x =+在(),-∞+∞上一致连续. 证明:由于

()()()(sin sin )sin sin f x f x x x x x x x x x '''''''''''''''

-=-+-≤-+-2cos

sin 222

x x x x x x x x ''''''

+-''''''≤-+≤-,于是0ε?>,取2εδ=,当

(),,x x '''?∈-∞+∞且x x δ'''-<时,皆有()()f x f x ε'''-<,由,x x '''的任意性,知

()f x 在(),-∞+∞上一致连续.

说明：这是由于当(),a b 为无限区间时,不妨设为()0,+∞,则当柯西收敛准则条件为：,A ε??当,x x A '''>时()()f x f x ε'''-<,而题中()f x 在()0,+∞上一直连续只

能保证对一定的间距δ,当x x δ'''-<时,才有()()f x f x ε'''-<,不能保证柯西收敛准则成立.

四函数一致连续的四则运算性质

我们探讨当函数(),()f x g x 均在区间I 上一致连续

()()f x g x +,()()f x g x - ,()()f x g x ? ,()

()

f x

g x （()g x 在I 上不为零）,在I

上是否也一致连续.

1加法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,有()()f x g x +在I 上是否也一致连续.

证明：由()f x 在I 上一致连续,可知10,0εδ?>?>,当1x x δ'''-<时,有

()()2

f x f x ε

'''-<

,又由()g x 也在I 上一致连续知，对上述的ε存在2δ,当

2x x δ'''-<时

()()2

g x g x ε

'''-<

,取{}12min ,δδδ=则当x x δ'''-<时,有

()()()()()()()()()2

f x

g x f x g x f x f x g x g x ε

ε''''''''''''+-+≤-+-=

=.从而

()()f x g x +在I 上一致连续.

2.减法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,有()()f x g x -在I 上是否也一致连续. 说明：函数一致连续性的减法与加法的证明方法完全相同.

3.乘法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,我们分两种情况讨论()()f x g x ?在I 上的一致连续性. a.当区间I 为有限区间（无论开闭）时,有()()f x g x ?在I 上是一致连续的. 证明：由(),()f x g x 在区间I 上是一致连续的,则(),()f x g x 在I 上都是有界的（I 为开区间时即为本文的第二部分结论,I 为闭区间是显然成立）.从而存在

0,0M L >>使得(),(),f x L g x M x I ≤≤∈,且有10,εδ?>?,当

1,,x x I x x δ''''''∈-<时有()()2f x f x M

'''-<,对上述ε,存在2δ,当

2,,x x I x x δ''''''∈-<时有()()2g x g x L

'''-<,取{}12min ,δδδ=,于是当

,,x x I x x δ''''''∈-<时

()()()()f x g x f x g x ''''''?-?=()()()()()()()()

f x

g x f x g x f x g x f x g x ''''''''''''?-?+?-?()()()()()()22f x f x g x g x g x f x M L M

ε'''''''''<-?+-?<

所以()()f x g x ?在有限区间I 上是一致连续的.

b.当I 为无限区间,不能推出()()f x g x ?在I 上是一致连续的.

反例1取()(),(),,f x x g x x I ===-∞+∞,则()()f x g x ?在I 上不是一致连续的.

证明：.不妨令()()()h x f x g x =?取两个点列：1,,()n

n x n x n n N n

+'''=+=∈则有1n

n x x n δ'''-=<,这只需1

δ=,当n N >就可办到,给定01ε=有220211

()()()2h x h x n n n n

ε'''-=+-=+>,可见()()()h x f x g x =?在(),-∞+∞上不

一致连续.

反例2.取,()(),()sin ,0,f x x g x x I ===+∞ ,则()()f x g x ?在I 上不是一致连续的.

证明：.不妨令()()()h x f x g x =?考虑两点列：1

2,2()n

n x n x n n N n ππ+'''=+=∈,虽有1n

n x x n δ'''-=<,但是11111

()()(2)sin 02sin sin n

n h x h x n n n n n n n

ππ'''-=+?-=?+? 2102ππ→?+=, ()1,02

n n π

→+∞<<,现取021,0N επ=-?>,不论0δ

>多么

小(可取11N δ=

+),当n N >时,虽有111

n x x n N N δ'''-=<<=+,但是0()()21n

n h x h x πε'''->-=,所以()()()h x f x g x =?在I 上不是一致连续的. 4.除法：当函数(),()f x g x 均在区间I(不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,我们分两种情况讨论()()

f x

g x （()g x 在I 上不为零）在I 上

的一致连续性.

a.当I 为有限闭区间是,有()

()

f x

g x 在I 上的一致连续性.

证明：由()g x 在闭区间I 上是一致连续的且()g x 在I 上不为零,则()g x 在I 上有最小值，即存在10M >使1()g x M >,又有0,0εδ?>?>，当,x x I '''∈,且

x x δ'''-<时有21()()g x g x M ε'''-

1()()()()11

()()()()g x g x g x g x g x g x g x g x M ε''''''---=<<''''''?,故1()g x 在I 上是一致连续的,进而由函数一致连续性的乘法性质知()()f x g x 在有限闭区间I 上是一致连续的. b.当I 不为有限闭区间时，不能推出()

()

f x

g x 在I 上是一致连续的.

反例:取()()12()1,(),0,1,0,f x g x x X X ====+∞,()1

()f x g x x

= ,在区间12,X X 上不是一致连续的.

证明：取01ε=,对无论多么小的正整数1()2δδ<,只要取,2x x δ

δ'''==,则虽有

x x δ

δ'''-=

<但

111

1x x δ

-=>''',所以

()1()f x g x x =在()0,1内不一致连续. 同理可证

()1

()f x g x x

=在()0,+∞也不一致连续五同一函数在区间上的一致连续性

我们探讨当函数()f x 分别在区间12,X X 上一致连续,且区间1X 的右端点为1c X ∈,区间2X 的左端点也为2c X ∈（12,X X 可分别为有限或无限区间）,()f x 在区间12X X X = 上的一致连续性.

结论：当函数()f x 分别在区间12,X X ,上一致连续,则()f x 在区间12X X X = 上是一致连续的.

证明:任给0ε>,由()f x 在1X 和2X 上的一致连续性,分别存在正数,1δ和2δ,使得对任何1,x x X '''∈,只要1x x δ'''-<,就有()()f x f x ε'''-<;又对任何2,x x X '''∈,只要2x x δ'''-<,也有()()f x f x ε'''-<成立.点c 作为1X 的右端点,()f x 在点c

为左连续,作为2X 的左端点,()f x 在点c 为右连续.故对上述的0ε>存在30δ>,当3x c δ-<时有()()2

f x f c ε

.令{}123min ,,δδδδ=,对任何

,x x X '''∈,x x δ'''-< ,分别讨论以下两种情形:（i ）,x x '''同时属于1X 或同时属

于2X ,则()()f x f x ε'''-<成立.

（ii ）,x x '''分别属于1X 与2X ,设12,x X x X '''∈∈则

x c c x x x '''''-=-<-3δδ<< 故由()()2

f x f c ε

得()()2

f x f c ε

'-<

.同理得()()2

f x f c ε

''-<

.从而也有

()()f x f x ε'''-<成立.这就证明了()f x 在区间12X X X = 上是一致连续的.

例:证明函数sin ()x

f x x

=在每个区间()()121,0,0,1X X =-=,内一致连续.但在

()()121,00,1X X X ==- 非一致连续.

证明:先证()f x 在()11,0X =-内一致连续,由于()sin sin (),1,0x x

f x x x x

=-∈-所以()f x 在()1,0-内连续.构造新函数,令()1,0()(),1,0sin1,1x F x f x x x -=??

=∈-??-=-?

,则()F x 在

[]1,0-上连续,即证()f x 在()1,0-内一致连续.类似可证()f x 在()0,1内一致连

续.,只需构造()1,0()(),0,1sin1,1x G x f x x x =??

=∈??=?

.最后证明()f x 在

()()121,00,1X X X ==- 内非一致连续.由于()()sin ,1,0()sin ,0,1x x x

f x x x x ?-∈-??=?

?∈??再由于0sin lim

1x x x →=，由函数极限的性质知存在1,εδ=?,都存在()1120,2x X X δ??

∈ ???

使

sin 0.5x x >.令11,x x x x '==-,那么12,x x X X '∈ ,且x x δ'-<而

()111

sin sin sin ()()2

1x x x f x f x x x x -'-=

=>-故()f x 在()()121,00,1X X X ==- 内非一致连续.

六参考文献

[1]《数学分析》（下册）[M]华东师范大学数学系编高等教育出版社

[2]《数学分析中的典型问题和方法》[M] 裴礼文高等教育出版社 2010,3 [3]《数学分析题解精粹》[M] 钱吉林崇文书局 2010.4 [4]《吉米多维奇数学分析习题集选集》（上）[M] 黄光谷黄川蔡晓英李杨华中科技大学出版社

[5]《数学分析例题解析及难点注释》（一元函数部分）[M] 李惜文西安交通大学出版社

(整理)函数的一致连续性63604

§2.9 函数的一致连续性定义 2.21 设f 是X 上的单变量函数.若0,0εδ?>?>,使得当 12,x x X ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<,则称f 是X 上的一致连续函数.显然,若f 是X 上的一致连续函数,则f 一定是X 上的连续函数(反之通常不正确). 命题1 (不一致连续的充要条件) X 上的单变量函数f 不一致连续 0ε??>和{},{}n n x y X ?,使得lim()0n n n x y →∞ -=,并且()()n n f x f y - ,n ε* ≥?∈ . 证: “?”.假定f 不是X 上的一致连续函数,则0ε?>,n * ?∈ , n x ?,n y X ∈满足1 n n x y n -< 和()(),n n f x f y n ε* -≥?∈.这说明右边成立. “?”.假定0ε?>和{}n x ,{}n y X ?,使得l i m ()0 n n n x y →∞ -=,并且()(),n n f x f y n ε* -≥?∈ .这时,0δ?>,,,N N N N x y X x y δ ?∈-<使得()()N N f x f y ε-≥.这说明f 不是X 上的一致连续函数.□ 命题 2 若f 是区间．．I 上的一致连续函数,00δ>是常数,则必存在 0M >使得当,x y I ∈,0x y δ-≤时总成立()()f x y M -≤. 证:对于固定的0,0εδ>>取,使得当12,x x I ∈,12x x δ-<时总成立 12()()f x x ε-<.再取n * ∈ 使得 ,M n n δδε<=令.当,,x y I ∈x y - 0δ≤时,()()f x f y -1 1(())(())n k k k f x y x f x y x n n =-≤+ --+-∑n ε< M =.□ 命题 3 有限开区间(,)a b 上的连续函数f 一致连续?存在有限单侧

函数一致连续性的判定及应用论文

数学建模论文（设计）题目函数一致连续性的判定及应用学院专业年级学号姓名xx 指导教师xx 成绩 2007 年4 月19 日

函数一致连续性的判定及应用摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。关键词：函数；连续；一致连续函数 Decisions of uniformly continuous function and application TANG Yong The School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: From the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function with many variables in different region. Key words: function; continuity; uniformly continuity 1. 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数() f x在某区间内连续，是指函数() f x在该区间上一点 f x在该区间内每一点都连续，它反映函数() 附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数() f x在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数() f x的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论： 2. 函数连续与一致连续的关系 2.1 函数连续与一致连续的区别 2.1.1 函数连续的局部性

浅谈函数的一致连续性的性质

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浅析数学分析一致连续性

一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。函数一致连续的几何意义数学分析是一门非常抽象的学科，有极强的逻辑性和严密性，体现在：能用简明的数学语言准确的表述用冗长的文学语言也不一定

§6+函数的一致连续性概念与应用练习参考解答

§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答 1．若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。 2．试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在 [],a b 上也一致连续。 3．证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。 4．证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。 (2) 函数2 )(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。 5．证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。 6．求证下列函数在指定区间上一致连续： (1) ()1 f x x =， ()0a x <≤<+∞； 2) ()3f x x =， ()0x ≥。证 (1) 0ε?>，取2a δε=，则当212x x a ε-<时，有 12122121211 x x x x x x x x a ε---=≤<， ()12,x x a ?≥。即得()1 f x x =在[),a +∞上一致连续。 (2) 设210x x >≥，则有 ()3 333 221 1211x x x x x x x = -+≤-+。即有 3 3 3 2121x x x x -≤-。于是，对0ε?>， 30δε?=>，对12,0x x ?≥，当21x x δ-<时，有 3 33 2121x x x x ε-≤ -< 即得()f x 在0x ≥上一致连续。 7．求证下列函数在指定区间上不一致连续。 (1) ()()1 sin 01f x x x =<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。

函数的一致连续性

哈尔滨师范大学学年论文题目关于函数一致连续的探究学生万鑫指导教师曾伟梁副教授年级 2008级专业信息与计算科学系别信息系学院数学学院哈尔滨师范大学 2011年 6 月

关于一致连续函数的判据万鑫摘要：连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题，现实问题。我们经常观察的自然现象，如生物的连续生长，反映的是事物连续不断的变化的过程，如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义，从而对函数的一致连续性进行探讨。关键词：一致连续非一致连续判别依据比较判别法比值判别法。一函数)(x f 一致连续的概念定义1：设函数()x f 在()a u 上有定义，若函数()x f 在点a 上存在极限，且极限是()a f ，即()()a f x f a x =→lim ，则称函数()x f 在点a 上连续，也称a 是函数()x f 的连续点. 用“δε—”语言叙述：函数()x f 在a 上连续?0>?ε,0>?δ， x ?：,δ<-a x 时，有()()ε?ε,0>?δ，I x x ∈?21,, δ<-X X 2 1 时，有()()ε?ε,0>?δ ,I x x ∈?21, , δ<-X X 2 1 时有()()ε≥-x x f f 21，则称函数()x f 在I 上非一致连续。对于函数()x f 在区间I 上非一致连续，也就是说存在某个正数ε ，不论任何的正数δ，在区间I 内至少存在两点与 x 1 x 2 ,虽然 δ<-X X 2 1 ，但 ()()ε≥-x x f f 21。