矩阵乘法的性质
【教学目标】
一、知识与技能：理解矩阵乘法不满足交换吕和消去律，会验证矩阵乘法满足结合律
二、过程与方法：比较演算法
三、情感态度和价值观：体会类比推理中结论全真的含义
【教学重难点】
结合律验证
【教学过程】
一、复习二阶矩阵的乘法运算规律与实数乘法性质
实数乘法运算性质：交换律ab=ba 结合律 (ab)c=a(bc) 消去律：ab=ac ，a ≠0则b=c
零律：0a=a0=0 1律：1a=a1=a 分配律 a(b+c)=ab+ac
问题：对于矩阵乘法，这些结论是否还成立？
二、矩阵的简单性质
1．由上节知识知：消去律未必成立，即AB=AC ，A ≠0，则未必有B=C
2．交换律呢？
例1．（1）已知P=??????1001k ，Q=??
????1002k ，求PQ 及QP ，说明二者的几何意义及是否相等 （2）A=??????2001，B=??
????-3241，求AB ．BA ，说明二者是否相等 解：（1）PQ=??????120
0k k ，QP=??????1200k k ，二者相等， PQ ：(x ，y)倍横坐标变为原来的2:k T Q (k 2x 2，y)倍纵坐标变为原来的1k (k 2x ，k 1y)
QP ：
??????????????????y k x k k T y k x k T y x Q P 12211::倍横坐标变为原来的倍纵坐标变为原来的 （2）AB=??????-6441，BA=??
????-6281，AB ≠BA
说明：对于矩阵乘法，交换律未必成立
3．结合律是否成立？
A=??????1111d c b a ，B=??????2222d c b a ，C=??????3333d c b a ， 则AB=??
????++++2121212121212121d d b c c d a c d b b a c b a a ， BC=??????++++32323
23232323232d d b c c d a c d b b a c b a a (AB)C=??????++++2121212121212
121d d b c c d a c d b b a c b a a ??
????3333d c b a =??????++++++++++++3213213213213
21321321321321321321321321321321321d d d d b c b c d b a c c d d c b c a c d a a c d d b d b a b c b b a a c d b c b a a c b a a a A(BC)=??????1111d c b a ??
????++++3232323232323232d d b c c d a c d b b a c b a a =??????++++++++++++3213213213213
21321321321321321321321321321321321d d d d b c b c d b a c c d d c b c a c d a a c d d b d b a b c b b a a c d b c b a a c b a a a 说明：矩阵乘法满足结合律
4．自己验证：矩阵乘法满足结合律，即：A(B+C)=AB+AC
5．零律是否满足，证明你的结论，即AO=OA=O 是否成立？（成立）
6．一律是否满足？证明你的结论，即EA=AE=A 是否成立？（成立）
三、备用练习与例题
1．计算（1）????????????-??????011010210110 （2）32301??
????- （解答（1）??????-1101 （2）??
????-8901） 2．求使式子成立的a ．b ．c ．d ，??
????=????????????34120032d c b a （解答：a=1，b=4，c=1，d=1） 3．a ．b 为实数，矩阵A=??
????b a 10将直线L ：2x+y-7=0变为自身，求a ，b （解答a=1/2，b=1） 四、习题：
[补充习题]
1．对于三个非零二阶矩阵。下列式子中正确的序号是____________
①AB ≠BA ②AB ≠O ③AB=BC ?B=C ④A （BC ）=（AB ）C ⑤A2≠O ⑥AO=OA=O ⑦AE=EA=A
2．构造一个非零矩阵M ，使M2=O
[补充习题答案]
1．④⑥⑦
2．???
???0010
矩阵Kronecker乘积的性质与应用 摘要 按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积B A ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。 本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。 矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。 关键词： 矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix Kronecker
product Abstract According to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product B A , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product). This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof. Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords: Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations 目录
矩阵基本运算及应用 牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知
? 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为
8的乘法口诀 教学目标： 1.让学生经历编制8的乘法口诀的过程，初步掌握8的乘法口诀，能运用8的乘法口诀求积。 2.用乘法口诀解决简单的实际问题。 3.通过编制口诀，培养学生运用类推的方法学习新知识。让学生获得成功的喜悦，培养学生学习数学的兴趣。 教学重难点： 教学重点：熟记8的乘法口诀，并熟练运用 教学难点：掌握8的乘法口诀 教具、学具准备： 多媒体课件、练习纸、算盘 教学过程： 一、基本功训练： 1、同数连加8，拨到400； 拨入200，同数连减8； 2、珠译数 36、80 70、21 60、15（用盘示图出现） 3、把口诀补充完整 五（）二十五三六（） （）六三十（）十六 4、口算 6（珠）×4 5（珠）×6 6（珠）×6 3（珠）×5 3（珠）×4 2（珠）×3 二、新授： 1、编写口诀 师：瞧，这是什么？（螃蟹）一只螃蟹几条腿？（8条） 1只螃蟹8条腿，1个8是8,，整理到表格中；你会编一句口诀吗？ 2只螃蟹（）条腿？（16条腿），你是怎么想的？明确：2个8是（16）编口诀。二八十六表示什么意思？ 师：如果有3只、4只、……螃蟹，分别有几条腿呢？ 要求：（1）完成表格，用算盘同数连加检查结果； （2）根据表格编出8的乘法口诀。 交流8的乘法口诀 揭题：今天我们学习8的乘法口诀。 问：三八二十四、五八四十、七八五十六表示什么意思？ 2、找规律 齐读口诀，你有什么发现？ 生： 3、记口诀 学生记口诀，同桌互相说一说。 4、背口诀 用算盘边拨边记口诀。
师：我们已经记住了不少乘法口诀，一定有自己的记忆方法，你能向大家介绍一下吗？用你喜欢的方法记一记8的乘法口诀。 预设：方法一读几遍 方法二用前一句、或后一句推想。 方法三边拨珠边想口诀。 师：刚才小朋友介绍了不少记忆口诀的好方法，我们齐说一遍8的口诀。已经记住的就不看口诀，没有记住的可以看黑板。 3、游戏： 对口令 师说前半句，生说后半句。 师说得数，生说几八。 找朋友 提问：根据“一八得八”可以算哪几道乘法算式呢？你能帮手中的卡片找朋友吗？ 为什么“八八六十四”只有一位朋友？ 三、运用口诀 1.比眼力，说得数。 3×8（珠）= 6（珠）×8= 2×8（珠）= 8（珠）×4= 8（珠）×5（珠）= 8（珠）×8（珠）= 选几道问问用了哪句口诀 2.算一算，比一比 4×8+8= 5×8+8= 6×8+8= 5×8= 6×8= 7×8= 8×5= 8×6= 8×7= 学生完成练习纸 交流得数。 观察每组算式有什么发现？你能照着这种规律自己编一组算式吗？ 交流算式，应该摆在哪里？ 3、游戏（摸一摸，说一说） 游戏规则：从袋子中摸一张卡片，摸到算式说出口诀，摸到口诀说算式，摸到数字就说出算式或口诀 示范几组，然后学生小组活动。 4、解决实际问题 看图，让学生说图意，找已知条件，问题。 四、课堂总结 这节课我们学习了8的乘法口诀。你有什么收获？
《七的乘法口诀》教学设计 【学习目标】： 1、在拼摆七巧板的情境中，引导学生经历对7的乘法口诀的验 证过程，培养学生对新知的质疑、探究、验证、类推加深学生对口诀的记忆和理解。 2、通过小组和同桌互相帮助的学习方法，填写7的表格，引导 学生自主探索，合作交流，理解乘法意义，编制7的乘法口诀。 3、通过师生对口令，生生对口令和形式多样的练习，提高学习 兴趣，会用7的口诀解决简单的实际问题，体验生活中处处有数学。 二、【教学重点、难点】： 重点：探究7的乘法口诀的形成过程。 难点：怎样去熟记并利用乘法口诀来解决生活中的实际问题。 # 教具：课件 学具：七巧板一幅一张表格 教学过程： （课前互动） 在上课前老师给大家分四个队，有四个好听的名字，分别是桃子、葡萄香梨、桔子队，，回答声音响亮，发言积极，小组讨论积极等都可以得分，每次得5分。下课后看哪队得分高，评出优胜队。 一、复习引入
1、同学们，你们已经学习了哪些乘法口诀 开火车：（哪列火车愿意开） ] 三六一二得 二三得二四得 三四三五 四五四六 2、根据口诀说出算式 三五十五 ( 3× 5=15 5× 3=15) 四五二十 (4× 5=20 5× 4=20) 二五一十 ( 2× 5=10 5× 2=10) 五五二十五 (5× 5=25) 3、根据算式说出你用的哪句口诀 ） 4×5 5×3 5×2（ 4、教师追问：“我们使用的口诀，都是大乘数在前还是小乘数在前满十要说一十，如果不到十就说得几，超过十就直接说出积。） 5、师：刚才同学们表现得都很好，老师想奖励给小朋友们一个故事你们想听吗 二、故事引入课题 孩子们，你们喜欢听故事吗喜欢听
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．
已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
第2课时8的乘法口诀 课题8的乘法口诀课型新授课 设计说明1.创设情境，激发学生的探索欲望。 二年级学生的年龄小，对知识的认知能力不强，在获取知识的过程中通常要借助直观观察和实践操作等方式来完成。基于这样的教学理念，上课伊始，通过让学生观察不同颜色的螃蟹，设疑激趣，调动学生的学习热情，使学生在自主探索、合作交流中编制8的乘法口诀，体验数学与生活的密切联系。 2.以学生为主体，提高课堂教学的有效性。 加强新旧知识之间的联系，有效利用知识的迁移，从编制8的乘法口诀到运用8的乘法口诀进行计算，学生始终处于主体地位。使学生在自主探索、合作交流中获得对8的乘法口诀的来源和意义的理解，达到了较好的教学效果。 学习目标1.学会8的乘法口诀，能用口诀熟练地计算表内乘法。 2.经历编制8的乘法口诀的过程。 3.学会利用知识迁移学习8的乘法口诀，养成良好的合作态度。 学习重点1.编制8的乘法口诀，理解8的乘法口诀的含义。 2.利用8的乘法口诀解决实际问题。 学前准备教具准备：PPT课件卡片螃蟹图片学具准备：螃蟹图片 课时 安排 1课时 教学 环节 导案学案达标检测 一、引入新课。1.出示1只螃蟹图，引导学生观察 螃蟹的特点。 2.1只螃蟹有8条腿，那2只螃蟹 有多少条腿？你是怎么知道的？ 3只…… 3.这节课我们学习有关8的乘法 口诀。（板书课题：8的乘法口诀） 1.观察螃蟹图，自由交流发现： 学生1：每只螃蟹有8条腿。 学生2：我也发现1只螃蟹有8 条腿，还知道它是横着爬行的。 2.倾听并思考老师提出的问 题，同桌互相交流。 3.明确本节课的内容。 1.想一想，填一填。 (2)个(8)
1 6、7的乘法口诀 教学内容 教材第29~30页例1、例2以及课堂活动。学会6，7的乘法口诀，会用乘法口诀正确求积。 教学提示 本节课是学生在掌握了1~5的乘法口诀的基础上进行学习的，是乘法口诀的继续，也是今后学习8、9的口诀的基础。在学生熟悉的活动中，采用动手实践、自主探索与小组合作等方式，调动了学生的学习积极性。 教学目标 ※知识与技能： 1.引导学生经历编口诀的过程，能找出6，7乘法口诀的规律，进一步培养学生的探索发现能力。 2.能记住6，7的乘法口诀，会用乘法口诀正确求积。 ※过程与方法： 联系已有知识经验，理解6、7的乘法口诀的规律，初步培养学生的分析综合能力。 ※情感、态度与价值观： 让学生初步体验6，7乘法口诀在解决问题中的作用，感受数学的价值。 重点、难点 重点：熟记6、7的乘法口诀。 难点：会用6、7的乘法口诀口算相应的表内乘法 ◆教学准备 教师准备:多媒体课件、磁性小棒 学生准备:小棒。 教学过程 一、复习旧知，导入新课 1.教师：前面我们学习了1~5的乘法口诀，不知大家现在还想着吗？下面我们开火车背诵一下好吗？ （1）指名火车头开始
（2）集体订正，教师及时肯定和鼓励：同学们背的很熟练了，说明同学们 学的很不错啊！ 2、教师：我们口诀背的非常的熟练，能否会用口诀解决以下问题呢？（课 件出示以下练习） 看算式，说口诀 3×5= 4×2= 5×3= 1×9= 3×4= 8×4= 6×4= 5×5= （1）指名回答 （2）集体订正 （3）教师及时鼓励，并作重点强调：看到3×5这道算式，就会想到5×3这道算式，它们用的是同一个口诀“三五十五”。 3、教师：看来大家都对1~5的乘法口诀掌握的不错，这节课我们继续学习6，7的乘法口诀。 教师板书：6，7的乘法口诀 【设计意图：以开火车的形式背诵1~5的乘法口诀引入，这样既能提高学生学习的热情，又能集中学生的注意力，提高自信心。同时，通过这个活动，让学 生找到原有的知识基础，运用知识迁移，为下面学习新知做好铺垫。】 二、探究新知 课件出示例1。 1.教师：请同学们仔细观察主题图，你发现了哪些数学信息？ （1）学生独立观察 （2）小组内交流 （3）指名汇报：阿姨正告诉小朋友，每本台历6元，两个小朋友正在说一个星期有7天。 （4）集体订正 2.教师：根据这些信息，你能提出哪些数学问题？ （1）学生独立思考 （2）指名回答：一本台历有6元，2本呢？3本、4本、5本呢？ （3）集体订正 （4）教师及时鼓励,并选出有价值的问题，提出进一步的要求。
8的乘法口诀教学设计 一、教学内容： 九年义务教育人教版六年制小学数学第三册第80页例5 二、教材及对象分析： “8的乘法口诀”这部分知识是在学生已经掌握了1—7的乘法口诀的编制过程，初步掌握了乘法口诀的意义，会运用1—7的乘法口诀进行简单的乘法计算。这部分知识为学生学习8的乘法口诀打下了基础。教材处理“8的乘法口诀”的口诀引入，不是抽象地直接搬出口诀，而是先通过小狗在数轴上跳，一次跳8，二次跳几，三次、四次……这样形象的例子，进而推导出8的乘法口诀。学生易于掌握和接受。 三、教学设计思路： 本节课是学生在有了1—7乘法口诀的基础上学习的，由于学生已有基础，学生学习并不抽象，比较容易理解。我遵循儿童的认识规律，思维特点和启发性的教学原则，在教学中通过创设情境、感知操作、讨论尝试等环节的教学，引导学生运用多种感官参与学习和探索新知，帮助学生逐步悟出8的乘法口诀的由来。沟通新旧知识的内在联系，顺利地掌握口诀的编制过程，并帮助记忆。考虑到低年级学生的年龄特点，在过程中穿插一些游戏，吸引学生的注意力，调动学生的注意力，调动学生的学习积极性。 四、教学目标：
1、让学生经历编制8的乘法口诀的过程，了解8的乘法口诀的来源。 2、理解8的乘法口诀的意义，能记住8的乘法口诀，并能用乘法口诀进行简单的计算。 3、的乘法口诀解决简单的实际问题。 4、通过编制口诀，培养学生运用类推的方法学习新知识。 5、让学生获得成功的喜悦，培养学生学习数学的兴趣。 五、教学重难点： 教学重点：熟记8的乘法口诀，并熟练运用 教学难点：掌握8的乘法口诀 六、教具、学具准备： 多媒体课件、口算模型、口算卡片 七、教学过程： （一）复习导入（大约5分钟） 1、背1—7的乘法口诀 2、开火车。（1—7的表内乘法的口算卡片） 板书课题 8的乘法口诀 （二）探索学习 过渡：听说我们要学习8的乘法口诀，有一只快乐的小猫一蹦一跳地来到了我们的课堂。课件出示： 1、它是怎样跳的呀？咱们一起观察一下。提出要求：请你观察小猫第一次从0跳到了几？接下来它要顺着数轴继续跳，每次跳的长度与第一次相同，第二次跳到（），第三次呢？为什么？（课件演示一
《7的乘法口诀》教学设计 教学内容：义务教育课程标准实验教科书二年级上册第72页内容及相关练习。 教学目标： 1、经历编制7的乘法口诀的过程，体验7的乘法口诀的来源。 2、理解7的乘法口诀的意义，初步记熟7的乘法口诀，能用乘法口诀进行简单的计算。 3、通过编制口诀，初步学会运用推理的方法学习新知识，掌握学习方法。 4、能用所学的乘法口诀解决简单的实际问题。 教学重点：使学生经历7的乘法口诀的编制过程。 教学难点：能利用所学知识解决简单的实际问题。 教学准备：课件 教学时间：一课时 教学过程： 一、情境导入。 师：今天有这么多的老师来听我们上课，你们高兴吗？那我们可要好好表现. 李老师还请来了一位朋友，（课件演示）看，她是谁?(七巧板）七巧板也要和我们一起上这一节数学课，教师出示七巧板,介绍：请问七巧板是由几块拼板组成的？（课件7个图案）七巧板不但可以拼出漂亮的图案，它还藏着许多的数学知识，首先我们来和七巧板来玩个游戏，看看谁的反应快。 2、依次增加图案的个数，学生说出拼板块数。 图案个数 1 2 3 4 5 6 7 拼板块数 师：（一个图案1个7是7,2个图案2个7相加，是14,3个图案3个7相加，是21……）
师评价：说得真好。 师：刚才我们在玩游戏的时候有些小朋友到后来好像就慢慢停下来了，这是怎么回事呢？ 采访一个说得慢的：你是用什么方法算的？（加法） 师：是呀，数字一多用加法就感觉手忙脚乱的。 可是几个小朋友表现得很好，不仅能跟上李老师的速度，而且说得也非常正确，我想听听他们有什么高招啊？ 师采访说得快的：你是用什么方法算的呢？（乘法口诀）几的乘法口诀？（7的乘法口诀） 师：你真厉害已经会用7的乘法口诀了。用口诀就能很快算出得数。 你们想不想也掌握这个本领呢？（想） 3、揭示课题 师：今天这节课我们就来研究7的乘法口诀。【板贴课题】 （三）自主探究，创编口诀 1、小组合作：编口诀 师：看着这张表格，小组合作编编乘法口诀。 2、交流编写的口诀 师：同学们编的真棒，我要邀请小小数家来给李老师编一编口诀，要求是：两人合作，一个人说，一个人摆，看谁是我们今天最厉害的数学家。（老师邀请一位同学示范） 思考：为什么前面6句都能写出2个乘法算式，而最后一句只能写出一个乘法算式呢？(两个乘数相同，交换位置还是同一个算式） （四）多种形式记忆口诀
十个利用矩阵乘法解决的经典题目 By Matrix67 好像目前还没有这方面题目的总结。这几天连续看到四个问这类题目的人，今天在这里简单写一下。这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。 不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。其中，结果的那个4等于2*2+0*1：下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。 经典题目1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转 这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时 O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。 经典题目2 给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。 由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。 经典题目3 POJ3233 (感谢rmq) 题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + ... + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。输出的数据mod m。k<=10^9。 这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如，当k=6时，有： A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3) 应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3，即可得到原问题的答案。
8的乘法口诀教学设计 教学目标： 1.让学生经历编制8的乘法口诀的过程，掌握8的乘法口诀，并在应用口诀的过程中熟记8的乘法口诀，提高解决实际问题的能力。 2.让学生在自编乘法口诀和解决简单实际问题的过程中，继续增强自主学习和与同学合作交流的能力，并获得成功的体验。 重点：让学生经历编制8的乘法口诀的过程，并能熟记8的乘法口诀。难点：提高学生解决实际问题的能力。 教学过程： 一激趣导入 师：同学们，今天我们的课堂里来了很多的爸爸妈妈，首先陈老师想送一份礼物给他们，以表示我的欢迎和感谢。 你能猜猜里面是什么吗？ 【设计意图：这一部分的创设，是特地为今天家长开放日而设计的，既符合了这节课的特殊性，又能不用花费大力气让孩子们适应今天的环境，身临其境的情境让他们能更快的进入到数学课中间，同时也让家长快速的进入、适应课堂，让他们感觉到自己参加这次活动是被重视的。】二新授 师：是一个大正方体，你知道我在准备这一份礼物的时候，用了几个小正方体吗？准备2份礼物呢？可以怎样算，也就是几个几相加？等于多少？ 同法完成3-8，完成表格
师：从刚才的过程，我们可以知道1个8是8，2个8是16……（齐读） 你能将刚才读的这些改写或编成什么？ 编口诀可是我们小朋友的拿手活，请小朋友将你编写的口诀写在书本71页红色框里边。 指名回答，交流并板演。 齐读、男生读、女生读、齐读 【设计意图：这一部分是整节课的重点，通过师生共同的探讨、讲解，完成表格，得出1个8是8，2个8是16，3个8是24……的结论。再根据这个结论，应用我们以前掌握的编口诀的能力，编出属于自己的8的乘法口诀，并试着熟记。这样的设计让老师先扶着学生，让他们深刻理解每一句话的得出和含义，然后“放”着让学生思考、编写口诀，很好的做到了有收有放，体现了学习的特点；同时也很好的锻炼了学生的理解、思考、迁移和动手能力。】 三练习 1.对口令 师：读完后，你觉得你记住了其中的几句？我们来玩个对口令的游戏，检验一下。 刚才谁不能很快接上我的口令的？你觉得这里面哪几句比较难记？（师做记号）将难记的口诀读两遍。 让我们再来响亮的读一遍，要特别注意你认为难得那几句。
矩阵乘法的性质 【教学目标】 一、知识与技能：理解矩阵乘法不满足交换吕和消去律，会验证矩阵乘法满足结合律 二、过程与方法：比较演算法 三、情感态度和价值观：体会类比推理中结论全真的含义 【教学重难点】 结合律验证 【教学过程】 一、复习二阶矩阵的乘法运算规律与实数乘法性质 实数乘法运算性质：交换律ab=ba 结合律 (ab)c=a(bc) 消去律：ab=ac ，a ≠0则b=c 零律：0a=a0=0 1律：1a=a1=a 分配律 a(b+c)=ab+ac 问题：对于矩阵乘法，这些结论是否还成立？ 二、矩阵的简单性质 1．由上节知识知：消去律未必成立，即AB=AC ，A ≠0，则未必有B=C 2．交换律呢？ 例1．（1）已知P=??????1001k ，Q=?? ????1002k ，求PQ 及QP ，说明二者的几何意义及是否相等 （2）A=??????2001，B=?? ????-3241，求AB ．BA ，说明二者是否相等 解：（1）PQ=??????120 0k k ，QP=??????1200k k ，二者相等， PQ ：(x ，y)倍横坐标变为原来的2:k T Q (k 2x 2，y)倍纵坐标变为原来的1k (k 2x ，k 1y) QP ： ??????????????????y k x k k T y k x k T y x Q P 12211::倍横坐标变为原来的倍纵坐标变为原来的 （2）AB=??????-6441，BA=?? ????-6281，AB ≠BA
说明：对于矩阵乘法，交换律未必成立 3．结合律是否成立？ A=??????1111d c b a ，B=??????2222d c b a ，C=??????3333d c b a ， 则AB=?? ????++++2121212121212121d d b c c d a c d b b a c b a a ， BC=??????++++32323 23232323232d d b c c d a c d b b a c b a a (AB)C=??????++++2121212121212 121d d b c c d a c d b b a c b a a ?? ????3333d c b a =??????++++++++++++3213213213213 21321321321321321321321321321321321d d d d b c b c d b a c c d d c b c a c d a a c d d b d b a b c b b a a c d b c b a a c b a a a A(BC)=??????1111d c b a ?? ????++++3232323232323232d d b c c d a c d b b a c b a a =??????++++++++++++3213213213213 21321321321321321321321321321321321d d d d b c b c d b a c c d d c b c a c d a a c d d b d b a b c b b a a c d b c b a a c b a a a 说明：矩阵乘法满足结合律 4．自己验证：矩阵乘法满足结合律，即：A(B+C)=AB+AC 5．零律是否满足，证明你的结论，即AO=OA=O 是否成立？（成立） 6．一律是否满足？证明你的结论，即EA=AE=A 是否成立？（成立） 三、备用练习与例题 1．计算（1）????????????-??????011010210110 （2）32301?? ????- （解答（1）??????-1101 （2）?? ????-8901） 2．求使式子成立的a ．b ．c ．d ，?? ????=????????????34120032d c b a （解答：a=1，b=4，c=1，d=1） 3．a ．b 为实数，矩阵A=?? ????b a 10将直线L ：2x+y-7=0变为自身，求a ，b （解答a=1/2，b=1） 四、习题： [补充习题] 1．对于三个非零二阶矩阵。下列式子中正确的序号是____________
8的乘法口诀 教学内容： 《义务教育课程标准实验教科书·数学》二年级上册第71—72页。教学分析： 本节课的教学内容是8的乘法口诀。教材中关于口诀编制的开放程度比以往更大，在提出实际问题后，让学生通过观察，亲自实践，在小组里相互协作、合作学习，独立填写表格编制口诀。8的乘法口诀句数较大，学生容易记错，发生混淆，为解决这个问题，教材安排了根据一句口诀想出邻近的口诀的练习，并安排解决问题，引导学生巩固和应用所学知识。 教学目标： 1．经历编制8的乘法口诀的过程，掌握8的乘法口诀，并在应用口诀的过程中熟记8的乘法口诀，提高解决问题的能力。 2．在自编乘法口诀和解决简单实际问题的过程中，继续培养自主学习的能力，与同学合作交流的态度，并获得成功的体验。 教学重点： 熟记8的乘法口诀，并能正确运用口诀求积。 教学难点： 探索8的乘法口诀的规律以及记忆方法。 教学准备：
教师准备多媒体课件和Activities网页 教学过程： 一．复习 师：小手拿出来，我们一起来复习一下1—7的乘法口诀，看看哪一组背的最好。（学生齐背） 师：背得真不错，今天呀，我们要继续来学习乘法口诀，你们一定知道是和哪个数字有关的了。对了，就是8的乘法口诀，希望通过今天的学习，你们也能把8的乘法口诀记得牢牢的。（一边说一边板书：8的乘法口诀） 二．新授 1．教学例题 师：下面我们一起来看大屏幕。（点开课件上的屏幕）
师：这是一个大正方体，它是由几个小正方体组成的？（请学生回答） 师：它是由8个小正方体组成的（根据学生回答将8个小正方体分开给学生看一看），摆一个大正方体用了8个小正方体，摆两个大正方体要用几个小正方体呢？摆3个呢？……摆8个呢？中间的省略号是什么意思？ 你们能帮钱老师算一算吗？让学生独立在书上自己填表，完成后集体校对。
7的乘法口诀优质课教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
7 的乘法口诀教学设计 竹沟小学祝廷香 教材分析： 7的乘法口诀是本单元的第一课时，是在学习了2～6的乘法口诀基础上学习的。例1选择了学生已经熟悉，非常喜欢的“用七巧板拼图”，设计了拼图活动，给出了七个拼好的图案，用表格的方式要求填出1个图案、2个图案、3个图案、4个、5个……7个图案，各用了多少拼块。接下来，教材给出总结乘法口诀要完成的内容。左边从上往下给出了1×7、2×7、3×7……7×7等算式，中间是要总结的口诀，右边是用口诀可以写出另一组乘法算式。做一做，安排了用7的口诀计算的练习题。 学情分析： 1.学生已经学习了2～6乘法口诀，并知道了乘法口诀是怎样来的，掌握了编制乘法口诀的策略和方法。本节课是口诀教学的延续。 2.二年级的学生的思维仍处于形象思维为主的阶段，但已经具备了一定的观察、比较、综合的意识。在兴趣浓厚的状态下，学生有了较强的自信心和强烈的表现欲望。 教学目标 1、让学生经历7的连加过程，编出和掌握7的乘法口诀。 2、熟记口诀，并逐步提高灵活运用口诀的能力 3、通过多角度的练习，体会数学就在身边，激发学生学习数学知识的兴趣。教学重点：记忆、巩固运用7的乘法口诀。 教学难点：运用口诀计算乘法算式，并能运用口诀解决相关问题 教具准备七巧板图片、多媒体课件 教学过程 一、闯关游戏。 （设计意图：复习旧知，导入新学） 二、自主探索，总结规律 1.引入 师：刚才同学们表现非常棒，作为奖励，老师要带你们去美丽的海底看一看，看大屏幕，这是什么？（海底各种各样的鱼类），这些鱼美丽吗？我们用七巧板也可以拼组成。 师:用几块呢？同学们一起数一数。 生：7块 师：如果拼成两条鱼，四条鱼，七条鱼呢？今天我们就来学习7的乘法口诀。师：请大家仔细观察并数一数，拼1条鱼要用几块拼板？是几个7（生说师填）.拼2条鱼要用几块拼板是几个7（生说师填）.你能像这样自己填完这个表格吗（书72页） 2.观察表格，说发现 师：师生一起完成表格，引导学生说出1个7是7,2个7是14， 3个7是21，4个7是28，5个7是35，6个7是42，7个7是49，你们填对了吗？
7 的乘法口诀教学设计 竹沟小学祝廷香教材分析： 7的乘法口诀是本单元的第一课时，是在学习了2~6的乘法口诀基础上学习的。例1选择了学生已经熟悉，非常喜欢的“用七巧板拼图”,设计了拼图活动,给出了七个拼好的图案，用表格的方式要求填出1个图案、２个图案、3个图案、4个、5个……7个图案，各用了多少拼块。接下来，教材给出总结乘法口诀要完成的内容。左边从上往下给出了１×７、2×７、3×７……7×7等算式,中间是要总结的口诀，右边是用口诀可以写出另一组乘法算式。做一做,安排了用７的口诀计算的练习题。 学情分析: 1.学生已经学习了2～６乘法口诀,并知道了乘法口诀是怎样来的,掌握了编制乘法口诀的策略和方法。本节课是口诀教学的延续。 2.二年级的学生的思维仍处于形象思维为主的阶段,但已经具备了一定的观察、比较、综合的意识。在兴趣浓厚的状态下，学生有了较强的自信心和强烈的表现欲望。 教学目标 1、让学生经历7的连加过程,编出和掌握7的乘法口诀。 2、熟记口诀,并逐步提高灵活运用口诀的能力 ３、通过多角度的练习，体会数学就在身边,激发学生学习数学知识的兴趣。教学重点：记忆、巩固运用７的乘法口诀。 教学难点：运用口诀计算乘法算式,并能运用口诀解决相关问题 教具准备?七巧板图片、多媒体课件? 教学过程 一、闯关游戏。 （设计意图:复习旧知，导入新学） 二、自主探索,总结规律 1.引入 师:刚才同学们表现非常棒,作为奖励，老师要带你们去美丽的海底看一看,看大屏幕,这是什么?（海底各种各样的鱼类）,这些鱼美丽吗?我们用七巧板也可以拼组成。 师：用几块呢?同学们一起数一数。 生:7块 师:如果拼成两条鱼，四条鱼，七条鱼呢?今天我们就来学习7的乘法口诀。 师:请大家仔细观察并数一数,拼1条鱼要用几块拼板?是几个7（生说师填)．拼2条鱼要用几块拼板?是几个7？（生说师填）．你能像这样自己填完这个表格吗?(书72页) ２．观察表格,说发现 师:师生一起完成表格,引导学生说出１个7是７,2个7是１4，3个7是２1，4个7是2８,５个7是35,6个７是４2，7个7是4９,你们填对了吗？ ３.合作探究,编制口诀:
矩阵的基本性质 矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。 1.矩阵的加减法 （1）,对应元素相加减 （2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘 （1），各元素均乘以常数 （2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法 （1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…,
（2）矩阵乘法满足的运算法则 a. b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即 （1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。 （2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。 （3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵 （1） （2）
8.酉矩阵：若,则是酉矩阵 （1） （2） （3）, （4） 9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式 （1）为矩阵的迹；或为行列式 （2）；注：矩阵乘法不满足交换律 （3） （4）,为酉矩阵，则 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵 （1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵
8的乘法口诀 教学目标 1. 创设情景，使学生理解、掌握8的乘法口诀。 2. 根据已有的推理能力，让学生自己编乘法口诀，再小组规范。 3. 用口诀解决生活中的实际问题。 教学重、难点 会编8的乘法口诀并能运用口诀解决数学问题。 教学准备 乘法卡片、课件。 教学过程： 一、交流 小组合作，反馈编口诀情况。 （表扬一些编得好的同学，鼓励其他同学。） 在小组中展示每个学生的备学作业纸，由组长检查，发现问题集中讨论，最终定稿，由指定同学汇报。 老师根据学生的回答，板书整理。 引导学生说说口诀有什么特点，如何记忆更好记。 二、巩固应用，游戏辅助。 1. 记口诀 ①读2遍口诀，自己记一记。 ②边擦口诀边记，看谁记的遍数多。 ③背口诀，体会一下哪几句最难背，自己重点记那几句。
④对口令，师生之间对，学生之间对。 ⑤把口诀补充完整。 ( )八十六五八( ) 七八( ) ( )八三十二八( )六十四 2. 利用口诀求积我们自己编出了8的乘法口诀，下面我们用刚学的乘法口诀求积。 (1)看卡片口算，说出用哪句乘法口诀。 8×5= 8×4= 8×2= 8×7= 8×3= 8×8= 8×6= (2)看得数说口诀及算式。 下面的数是哪句口诀的得数，可以计算哪几道乘法算式？ 56 64 24 上面这些数除了是8的乘法口诀的得数，还有哪些口诀的得数也是这三个数？可以计算哪些乘法算式？ 3. 8×7 =7×7+（）8×8+8=（）×（） 9×8-8=（）×8 4. 数学游戏：摘苹果 春天到了，我们给果树浇水、施肥，秋天苹果获得大丰收，哪个同学愿意帮助摘苹果？ (可以画一棵苹果树，结满了苹果，苹果上面写得数，以8的乘法口诀得数为主，也可以有前面学过的题。有6个筐，每个筐上有四道乘法算式，没有得数。每组派一个代表，摘一筐苹果，即算出算式
第六单元表内乘法（二） 课题：7的乘法口诀第 1 课时 教学目标： 1.经历推导7的乘法口诀的过程，掌握并熟记7的乘法口诀，能正确计算7的乘法。 2.理解7的乘法口诀的来源，认识7的乘法口诀之间的联系，培养初步的推算能力。 教学重点：掌握7的乘法口诀，并正确计算7的乘法。 教学难点：理解7的乘法口诀的来源，并熟记7的乘法口诀。 教学准备：课件 教学过程： 一、谈话导入 师：（课件出示白雪公主和七个小矮人。）同学们认识他们吗？他们是童话王国里的白雪公主和七个小矮人，他们给我们带来了小礼物。瞧，小矮人们带来了美丽的气球。 课件出示：每个小矮人今天都穿了一件漂亮的球员，每件衣服都编了号，第一件是7，第二件是14，第三件是21，你知道第四件、第五件、第六件、第七件球衣上分别是什么数字吗？找规律，填一填。 让学生接着填，填完说说是怎么想的，每个数字相差几，7、14、 21、28、35、42、49，让学生读一读。 二、探究新知
1.教学例1。 （1）引入：小矮人们可喜欢摆七巧板了，你看这是他们摆出的图案，请你帮他们数一数，每个图案用了几块图形？ 课件依次出示图片，让学生数一数，再填写下表。 指导学生填写1、2格。让学生说：一个图案用了7块板，1个7是7。 （板书：1×7=7,7×1=7） 你能编出口诀吗？（一七得七。） 2个图案用了2个7块，2个7是14。让学生自己填。 列式：2×7=14,7×2=14。口诀：二七十四。 剩下的格子让学生自己填。 （2）仔细观察统计表里的数据，说说你发现了什么？ 教师小结：每多摆一个图案就多用7块板，1个7是7,2个7是14……,7个7是49，这是我们学过的“求几个几是多少，用乘法计算”的方法。 （3）四人一组合作探究完善7的乘法口诀。 引导学生把口诀补充完整：你还能编出7的其他口诀吗？ 结合表格，填算式并编口诀。让学生根据自己的实际情况选择学