初中数学相似三角形专项练习题
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第18.1课时 相似三角形
一．填空题（基础）
1． 如图，ABC ?∽MNP ?，则它们的对应角分别是A ∠与∠___M__,∠B 与∠___N__，
C ∠与∠___P__；对应边成比例的是________=_________=_________;若AB =2.7cm,cm MN 9.0=,cm MP 1=,则相似比=_________,=BC _________cm .
B
A
G
F
E
D
C
B
A
N
P
M
（第2题）
（第1题）
2． 如图,四边形ABCD 中,AD ∥EF ∥BC ,AC 交EF 于G .图中能相似的三角形共有
_______对,它们分别是_________、___________,小明通过这两对相似三角形推出了比例
式：
AB
BE
AD FG =，对不对，为什么？ 二．填空题
3． 如图，ABC ?和DEF ?的三边长分别为7、2、6和12、4、14，且两三角形相似，则A ∠与∠_____,∠B 与∠_____，C ∠与∠_____，
)
()()(AC
DF AB ==。
（第5题）
（第4题）
（第3题）
C
G
F
E
D C
B
A
F
E
B
A
E
F
D
C
B A
4． 如图，ABC ?∽AEF ?，写出三对对应角：_________=_________,_________=________, ________=_________,并且
)
()
()()()(==AF ,若ABC ?与AEF ?的相似比是3：2，cm EF 8=，则________=BC 。
5． 如图，ABC ?中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、
G ，
图中共有______对相似三角形，它们是______________________________________.
初二竞赛专题：相似三角形 1.如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明： 111 AB CD EF += ． 2.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长． 3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且 梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点， 则 BD EG DC FG = ． O F E D C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A B D A E G F C
4.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求证： 5.如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 6.如图，边长为1的等边ABC △，BC边上有一点D，1 3 BD=，AC上有一点E ，60 ADE ∠=o，求EC的长．7.已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠． E D C B A D E B C A
8.如图，在ABC △中，60BAC ∠=o ，点P 是ABC △内一点，且APB BPC CPA ∠=∠=∠，若8PA =，6PC =，求PB 的长． 9.如图，在锐角ABC △中，AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高，ABC △和BDE △的面积分别等于18和2， 22DE =，求点B 到AC 的距离． 10.如图所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠． 11.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证： 2FD FB FC =?． E D C A B P C B A H G B A
相似三角形知识点讲解及专项练习 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型. 示意图 结论 E D C B A 反A 型： 如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型： 如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . “类射影”与射影模型 示意图 结论 相似三角形证明方法 模块一 相似三角形6大证明技巧 专题
类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 比例式的证明方法 模块二
初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===
2 初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 a b c (a ： bc ：d )中， a 、 d 叫外项， d b 、 c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、 d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a c b d ②合比性质： a c b d ad bc a b c d b d ③等比性质： a c ? b d m (b d ? n n ≠ 0) a c ? m a b d ? n b 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥ l 2∥ l 3 。 AB 则 BC DE ， AB EF AC DE ， BC DF AC EF ，? DF
相似三角形的判定练习 例题分析： 例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC = 例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， (1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD (2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB === 例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。
两个三角形相似的六种图形： 1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F． 求证：△ABC∽△FCD； A E F B D C 2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF 3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。
5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F． 求证：AB DF AC AF ． 7.已知如图，在平行四边形ABCD中，,求证：△AOB∽△ABC 8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB
专题：相似三角形的几种基本模型 （1）如图：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 称为“平截型”的相似三角形. “A ”字型 “X ”（或8）字型 “A ” 字型 （2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜截型”的相似三角形. A B C D E 1 2A A B B C C D D E E 124 1 2 （3） “母子” （双垂直）型 射影定理： 由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _。 “母子” （双垂直）型 “旋转型” （4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形. （5）一线“三等角”型 “K ” 字（三垂直）型 （6）“半角”型 图1 ：△ABC 是等腰直角三角形，∠MAN= 1 2∠BAC ，结论：△ABN ∽△MAN ∽△MCA ； 1 A E B C B E A C D 1 2B D 图2 图1 旋转 N M 60° 120° B A 45° D C B A
应用 1．如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是 ( ) A ．△DBE B ．△AED 和△BDC C ．△ABD D ．不存在 图3 图4 图5 3．如图5, □ABCD 中, G 是AB 延长线上一点, DG 交AC 于E, 交BC 于F, 则图中所有相似三角形有( )对。 A.4 对 B. 5对 C.6对 D. 7对 4．如图6，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，在下列条件下：①∠AED ＝∠B ；②AD ∶AC ＝AE ∶AB ；③DE ∶BC ＝AD ∶AC .能判定△ADE 与△ACB 相似的是 ( )A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．① 5．如图7，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ； ③ AD AE ＝AB AC .其中正确的有 ( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 6．如图8，添加一个条件：_____________________________，使得△ADE ∽△ACB .(写出一个即可) 7．如图9，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若△ABE 与△ECD 相似，则CE =___________． 图6 图7 图8 图9 8．如图10，已知∠C ＝∠E ，则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是 ( ) A ．∠BAD ＝∠CAE B ．∠B ＝∠D C.B C DE ＝AC AE D.AB A D ＝AC AE 9．如图11，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝1 4CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°， ②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ， ④△ADF ∽△ECF .其中正确的个数为 个。 图10 图11 A B C D E
相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F， EO延长线交AB于G．求证：．
5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：．
11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
相似三角形例题解析 编辑：启慧 为了帮助同学们复习，天之骄学习研究部的老师参考多种学习资料精心选编了这套相似三角形总结专题，供同学们查漏补缺。若有疑问，请速与我们联系。 相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。 一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽△EGC ∽△EAB 。 分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已 明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以 △AGD ∽△EGC 。再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。 评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计 A B C D E F G 12 3 4A D
算也是一种常用的方法。 证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD平分∠ABC，则∠DBC=36° 在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD 例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC 分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。 证明：在△CBE和△ABD中， ∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD ∴△CBE∽△ABD
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
初中数学相似三角形专项练习题 1 / 3 第18.1课时 相似三角形 一．填空题（基础） 1． 如图，ABC ?∽MNP ?，则它们的对应角分别是A ∠与∠___M__,∠B 与∠___N__， C ∠与∠___P__；对应边成比例的是________=_________=_________;若AB =2.7cm,cm MN 9.0=,cm MP 1=,则相似比=_________,=BC _________cm . B A G F E D C B A N P M （第2题） （第1题） 2． 如图,四边形ABCD 中,AD ∥EF ∥BC ,AC 交EF 于G .图中能相似的三角形共有 _______对,它们分别是_________、___________,小明通过这两对相似三角形推出了比例 式： AB BE AD FG =，对不对，为什么？ 二．填空题 3． 如图，ABC ?和DEF ?的三边长分别为7、2、6和12、4、14，且两三角形相似，则A ∠与∠_____,∠B 与∠_____，C ∠与∠_____， ) ()()(AC DF AB ==。 （第5题） （第4题） （第3题） C G F E D C B A F E B A E F D C B A 4． 如图，ABC ?∽AEF ?，写出三对对应角：_________=_________,_________=________, ________=_________,并且 ) () ()()()(==AF ,若ABC ?与AEF ?的相似比是3：2，cm EF 8=，则________=BC 。 5． 如图，ABC ?中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、 G ， 图中共有______对相似三角形，它们是______________________________________.
相似三角形 一．选择题 1．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（） A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB 2．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（） A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD 3．如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（） A．2处 B．3处 C．4处 D．5处 5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一定有（） A．△ADE∽△ECF B．△BCF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF 6．在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）
A． B． C． D． 7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD?AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（） A．18 B．C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正确的是（） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ ：S 11．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S △DEF =4：25，则DE：EC=（） △ABF
相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
相似三角形判定专项练 习题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
1．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且 CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗为什么 2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求 证：△AED∽△CBD． 3．如图，已知∠1=∠2，且AB?ED=AD?BC，则△ABC与△ADE相似吗说明理 由． 4．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别AB、CB延长线上的 点，CE=9，AD=15，连接DE．若BC=6，AC=8，求证：△ABC∽△DBE． 5．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于 点F．证明：△ABD∽△DCF 6．如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E． 证明：△ADC∽△AEB； 7．如图，在△ABC，AC⊥BC ， D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连 接ED，∠A=∠D．求证：△ABC∽△DEC．
8．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与 BE相交于点F．试说明△ABD≌△BCE； 9．如图，在△ ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点 E，EC与AD相交于点F．求证：△ABC∽△FCD． 10．如图，∠DEC=∠DAE=∠B，试说明：△DAE∽△EBA； 11．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延 长线于点E．求证：△EAB∽△ECA； 12．如图，已知：△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，延长BA至E，延 长AB至F，∠ECF=135°，求证：△EAC∽△CBF． 13．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的 两点．若 P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出 发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形 与△BDC相似
相似三角形的判定与性质综合运用经典题型 考点一：相似三角形的判定与性质： 例1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD. 例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE 取得最小值？ （3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由 例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B： 1）求证：△ADF∽△DEC； 2）若AB=4，3 3 AD,AE=3，求AF的长。 A B C D F
考点二：射影定理： 例4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。 例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF= 1 4 AD，EG⊥CF于点G， （1）求证：△AEF∽△BCE；（2）试说明：EG2=CG·FG. 例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE． （１）求证：四边形AFCE是菱形； （２）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． A B C D E F G
2013初中相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求 证：．
5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：．
11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题 相似三角形（附答案） 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证： △ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．
5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=bc 。如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a =。 ②合比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a ±=±。 ③等比性质：如果d c b a ==???=n m (b+d+???+n ≠0)，那么 b a n d b m c a =+???+++???++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.
相似三角形常见模型一【知识清单】 【典例剖析】 知识点一：A字型的相似三角形 A字型、反A字型（斜A字型） B（平行） B （不平行）
（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△ （2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则 ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=，AE AD 3 2=， 求AC AB 的值。 变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， F E D C B A B M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F
::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 知识点二：8字型相似三角形 J O A D B C A B C D （蝴蝶型） （平行） （不平行） （1）如图，若CD AB ∥，则DOC AOB ∽△△ （2）如图，若C A ∠=∠，则CDJ ABJ ∽△△ 1、已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点 P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相 交于点E ，F ，G ，H 求证：PE PH PF PG = P H G F E D C B A
中考数学相似三角形专题练习 一、选择题 1. 已知b a = 23，则a a+b 的值是（ ） A. 32 B .25 C .53 D .5 2 2. 如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上的一点，D 为AC 上一点，且∠APD =60°，BP =1，CD =2 3 ，则△ABC 的边长为（ ） A .3 B .4 C .5 D .6 3. 如图，在长为8cm ，宽为6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分的面积），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ） A .28cm 2 B .27cm 2 C .21cm 2 D .20cm 2 4. 如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于点E ，如果DE AB =35，那么AB AC = （ ） A. 13 B .23 C .25 D .3 5
5. 如图，△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD =5，CD =3，DE =4，则BF 的长为（ ） A. 323 B .163 C .163 D .83 6. 如图，在直角三角形ABC 中（∠C =90°），放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（ ） A .5 B .6 C .7 D .12 7. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（ ） A .2:5 B .14:25 C .16:25 D .4:21 8. 如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM =CN ，AM AN = BM CM ，下列结论正确的是（ ） A. △ABM ∽△ACB B .△ANC ∽△AMB C .△ANC ∽△ACM D .△CMN ∽△BCA 9. 如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPE =∠A =∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ）
相似三角形经典习题 例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形． 例2 已知：如图， ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2cm 6=?AEF S ，求CDF S ?． 例3 如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?． 例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？ （1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似． 例5 如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法． 例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．
例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）． 例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由． 例9 根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由： （1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ． （3）?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ． 例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据． 例11 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ?=2 ．