弹塑性力学
第七章塑性力学的基本方程与解法
一、非弹性本构关系的实验基础
拿一根工程上最常用的低碳钢的试件，在拉伸试验机上就可得到如图7.1所示的应力应变曲线。图中A为比例极限，当变形状态未超过A点时材料处于线弹性状态；B为弹性极限，AB段的变形虽然还是弹性的，即卸载时能按原来的加载曲线返回，但应力应变之间不再是线性关系。C，D分别为上、下屈服极限，超过C点后材料进入塑性变形状态，卸载时不再按原来的加载曲线返回，而且当载荷完全卸除后还有残余变形。由C到D是突然发生的，由于材料屈服引起应力突然下降，而应变继续增加。由D到H是一接近水平的线段，称为塑性流动段。对同一种材料D点的测量值比较稳定，而C点受试件截面尺寸、加载速率等影响较大。如果载荷在使材料屈服之后还继续增加，则进入图中曲线右部的强化段。即虽然材料已经屈服，但只有当应力继续增加时，应变才能继续增大。在图中b点之后，试件产生颈缩现象，最后试件被拉断。如果在塑性流动段的D′点，或强化段的H′点卸载，将能观测到沿着与OA平行的直线返回，当载荷为零是到达O′点或O′′点，即产生残余变形。
图7.1 低碳钢单向拉伸应力应变曲线
有些高强度的合金钢并没有象低碳钢那样的屈服段，其单向拉伸的应力应变曲线如图7.2所示。这种情况下屈服极限规定用产生0.2%塑性应变所对应的应力来表示，σ。
记为
0.2
图7.2 高强度合金钢单向拉伸应力应变曲线
第七章 塑性力学的基本方程与解法
如果以超过屈服极限的载荷循环加载，所得试验结果则象图7.3所示。在实验中还发现，对于某些材料（图7.4），如果在加载（拉伸）屈服后完全卸载到O ′′点，然后接着反向加载（压缩），则其反向屈服点对应的应力绝对值s σ′′不仅小于s σ′，而且小于初始屈服应力的绝对值σ′。这是德国的包辛格（Bauschinger, J.）最早发现的，称为包辛格效应。
图7.3 循环加载曲线示意图 图7.4 包辛格效应 当材料进入塑性状态后，如果不是单调加载，则应力和应变之间不仅不是单值函数的关系，而且当时的应变不仅和当时的应力有关，还和整个加载的历史有关。同样，当时的应力不仅和当时的应变有关，而且也和整个变形的历史有关。这就增加了问题的复杂性。材料的特性不能简单的用应力应变关系来描述，而要用比较复杂的本构关系，即应力和整个变形历史的关系来描述。
此外，在实际工程问题中经常遇到的材料非线性问题往往不是单向应力状态，即不是一维问题。要对三维问题单靠实验来确定应力张量和应变张量之间的关系几乎是不可能的。因此，在建立非线性本构关系时，除去不能脱离实验基础之外，还必须有基本理论的指导。
二、刚塑性与弹塑性本构模型
z 简化模型
对于低碳钢一类材料，如果承载后产生的变形状态一直达到塑性流动段，为了简化起见，略去应力应变曲线中的上、下屈服极限等细节，可得到由线弹性段和塑性流动水平线段组成的简化模型，称为理想弹塑性模型（图7.5a ）：
s s s s E E σεεεσεσεε=≤??==>?当当 (1)
在金属成型等问题中，由于塑性流动引起的塑性应变较大，而弹性应变因相比较小而将其忽略，则又可进一步简化为只有水平线段的刚塑性模型（图7.5b ）：
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0 0s s εσσσσε=?当当
(2)
图7.5 理想弹塑性和刚塑性 当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化弹塑性模型来近似：
()1 + s s s s E E σεεεσσεεεε=≤??=?>?当当 (3)
针对一些没有明显屈服极限的材料，还可采用幂强化力学模型，即令
n A σε= (4)
其中n 为幂强化系数，其取值介于0与1之间，当0n →时，它就趋于刚塑性模型。
对于单轴应力状态来说，上述公式已经对材料的塑性性质作出了简明的描述。但对于更普遍的三维应力状态，单有上述公式还不能对三维状态作出具体的描述。
首先，无论弹塑性模型或刚塑性模型，对于单轴应力状态，当应力从零开始增大、达到屈服极限s σ时，材料开始屈服，进入流动段。对于三维应力状态如何判定材料开始屈服？其次还有进入流动段之后三维的应力和应变之间有怎样的关系？前者称为材料的屈服条件，后者为塑性应力应变关系。
z 屈服条件
关于材料进入塑性状态的原因有过不同的假说。伽里略曾认为材料进入塑性状态是由最大主应力所引起的，此后，圣维南又曾认为最大主应变能判断材料是否进入塑性状态。这两个假说都被后来的实验所否定，因为在各向等压时，压应力可以远远超过材料的屈服极限s σ，而并不产生塑性变形。
1864年法国工程师特雷斯卡（Tresca, H.）在一系列金属挤压实验的基础上，发现变形的金属表面有很细的纹痕，其方向接近最大剪应力方向。于是，他提出：在物体中，当最大剪应力max τ达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。当σσσ123≥≥时，特雷斯卡条件为
2k σσ13?=
(5)
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的s σ确定，2s k σ=。当不能确定主应力的排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态的应力空间为
23312, 2, 2k k k σσσσσσ12?≤?≤?≤ (6)
这是其轴线与三个主应力坐标轴等倾的正六面棱柱。该棱柱过坐标原点的直截面就是三个主应力坐标轴的等倾面，称π平面。三个主应力轴在该面上投影互相成120o 角。在π平面上，特雷斯卡条件是一个正六边形 (图7.6)。
图7.6 等倾面上的屈服条件
1913年德国力学家米赛斯（von Mises, R.）指出，在等倾面上，特雷斯卡六边形的六个顶点是实验得到的，但连接这六个点的直线却具有假设的性质。作为近似，他提
出，将这些点用一个圆连接起来，这样可避免屈服条件不能用单一公式表达带来的困
难。于是米赛斯条件将特雷斯卡条件的六棱柱面改成了圆柱面，其表达式为
()()()2222232R σσσσσσ1231?+?+?= (7)
米赛斯提出这一条件时，并未认为它是准确的条件，但是实验结果却表明，对于韧性金属材料，此条件比特雷斯卡条件更接近实际情况。
1924年德国力学家亨奇（Hencky, W. H.）经过反复研究，对米赛斯条件作了物理解释：当弹性体的形变比能（歪形能）s W 达到一定值时，材料进入屈服状态。
()()()2222331112s V W W W G σσσσσσ12??=?=?+?+??? (8)
z 流动法则（增量理论的塑性应力应变关系）
在塑性变形阶段，应力应变关系是非线性的。应变不仅与即时的应力状态有关，而且还和变形历史有关。如果不知道变形历史，便不能只根据即时应力状态唯一地确定塑性应变状态；只知道最终的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。为了考虑变形历史，就要研究应力和应变增量之间的关系。以这种关系为基础的理论称为塑性力
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学的增量理论。
对于理想刚塑性材料增量理论之一的莱维（Levy, M ）－米赛斯理论（1913）基于如下假设：材料是不可压缩的、满足米赛斯屈服条件，应变偏量的增量与应力偏量成比例。于是可以写出
d 3d d , d 2p
e ij ij s
e s ελλσ== (9)
其中d p e ε是塑性应变强度增量，
d e ε=
(10)当弹性应变和塑性应变相比不可忽略时，就要采用弹塑性模型。即使对于塑性变形很大的金属成型问题，为了考虑成型后的弹性回弹，也必须用弹塑性模型。
对于理想弹塑性材料的增量理论之一是普朗特（Prandtl, L ）－罗伊斯（Reuss, E.）理论（1924，1930）。此时假设：屈服条件采用米赛斯条件，应变增量等于弹性应变增量和塑性应变增量之和，即
d d d
e p ij ij ij εεε=+ (11)
而塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例
d d p ij ij
e s λ= (12)
于是其塑性本构方程可写成
3d 1d d 22p e ij ij ij s
e s s G εσ=+ (13)
z 全量理论（简单加载情况下的塑性应力应变关系） 除去上述增量理论之外，在塑性力学中还有全量理论，例如前苏联力学家伊柳辛（Ilyushin, A. A.）1943年提出的小弹塑性形变理论就是其中之一。这种理论假设：体积应变始终是弹性的，即
Θθ=
3Κ (14)
应力偏量与应变偏量成比例 ij ij e s λ=
(15)
而应力强度与应变强度之间存在单一的函数关系
第七章 塑性力学的基本方程与解法
()e e σ?ε=
(16)
于是可得 32e ij ij e e s εσ= (17)
伊柳辛理论主要适用于简单加载、幂强化材料的小变形情况。所谓简单加载是指在加载过程中物体各点处的偏应力分量ij s 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例，以及应力强度和应变强度之间存在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材料大量试验的验证。
z 强化规律
对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服条件所描述的屈服面上，而当卸载时就按弹性规律回到屈服面内。
对于弹塑性强化材料，其单轴应力状态的应力应变曲线如前面图7.1所示。若在强化后卸载，再重新加载，则屈服极限已经不是材料首次进入屈服时的屈服极限，而是最近这次从塑性状态卸载时由强化提高了的屈服极限。前者称为初始屈服极限，后者则称为后继屈服极限。
如果初始屈服条件表示为
()0ij f σ=
(18)
则强化条件下的后继屈服条件可表示为 (), 0ij f H ασ= (19)
a) 等向强化 b) 随动强化
图7.7 等向强化与随动强化
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其中H α是包括强化参数在内的反映材料变形历史的参数，它们可以是标量，也可以是张量。随着强化参数由0增大，在π面上画出的屈服面随之变化。
根据不同材料的试验结果，有些材料的后继屈服面与初始屈服面相比是成比例地
扩大，即在塑性变形过程中，在应力空间各方向强化的程度相同（图7.7a ）
。这种强化称为等向强化，也称各向同性强化。其后继屈服条件可写成
()()(), 0ij ij f H F H αασ?σ=?=
(20)
其常见形式为 ()()(), 0ij ij p f H F W ασ?σ=?=
(21)()()()
(), d 0p ij ij e f H F ασ?σε=?=∫ (22)在前一种形式中采用塑性功作为强化参数，在后一种形式中采用累积的等效塑性应变
作为强化参数。 除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图7.7b ），即，在强化过程中，屈服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
d d d 0ij ij f f f H H αασσ??=+≤?? (23)
假如原应力状态已在加载面上，满足0f =，当有增量d ij σ时，可能发生如下几种不同情况：
卸载 应力状态点从加载面上向内移，即d 0f <，此时H α不变，于是
d 0ij ij f σσ?
这就是卸载条件。
中性变载 应力状态点有移动，但仍在原来加载面上，即d 0f ＝，此时不产生新的塑性变形，H α也不变，于是
d 0ij ij f σσ??＝ (25)
这就是中性变载条件。
加载 此时d 0H α≠，将产生新的塑性变形，加载面将发生变化，应力状态点从原加载面移到新的加载面上。于是
第七章 塑性力学的基本方程与解法
d 0ij ij f σσ?>? (26)
这就是加载条件。
对于理想塑性情况，后继屈服面和初始屈服面重合，不可能满足上面的加载条件。但是相应于上述中性变载的情况与强化材料不同，此时将产生新的塑性变形，常把它称为理想塑性材料的加载情况。
z Drucker 公设
为了确定应力状态从一个加载面向后继加载面转移的加载过程中的走向，20世纪50年代初期，美国力学家德鲁克（Drucker, D.C.）提出了关于材料稳定性的公设。
a) 稳定材料 b) 非稳定材料
图7.8 稳定材料与非稳定材料的拉伸应力应变曲线 图7.8给出两条拉伸应力－应变曲线，其中图7.8a 是单调递增的，因而任一应力增量d σ>0都将引起正的应变增量，d 0p ε>。这种材料称为稳定材料。理想塑性材料也可归于稳定材料之列，即对于稳定材料有
d d 0p σε≥
(27)
图7.8b 则是非稳定材料。
对于稳定材料，德鲁克还将上述条件推广到复杂应力状态，得 ()0d 0, d d 0p p ij ij ij ij ij σσεσε?≥≥ (28)
根据德鲁克公设，若屈服面是凸的，则只有当应变增量d p ij ε垂直于屈服面时，才能满足稳定材料的条件。于是可以写出
d d p ij ij f ελσ?=? (29)
其中d λ为大于零的标量。若将此式中的f 作为塑性势函数，并令其等于屈服函数，则可将上式称为与屈服条件相关联的塑性流动法则。
在弹塑性问题中，要以由屈服条件、塑性流动法则或塑性应力应变关系所组成的本构关系取代弹性力学定解问题中的广义胡克定律。由于本构关系是非线性的，因此
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弹塑性问题要比弹性力学复杂得多。
弹塑性问题只有极少数简单问题可以解析求解。一般较复杂的工程实际问题均只能借助于数值方法求解。
三、塑性本构关系及其内在联系
塑性本构关系所描述的是反映物质宏观性质的数学模型，可表示为当前应力状态和整个加载变形历史的关系，或当前应变状态和整个加载变形历史的关系，其中包括屈服条件、塑性流动法则、加卸载条件等。因此，远远不是象弹性材料那样可以简单用应力应变关系来概括的。
塑性力学的本构理论首先可以分成两大类：一类是增量理论，例如莱维－米赛斯理论和普朗特－罗伊斯理论；另一类是全量理论，例如伊柳辛理论和亨奇理论。
采用刚塑性模型的莱维－米赛斯理论是塑性力学中的基本理论之一，它不仅能反映塑性变形的本质，而且数学表达式比较简单，因此在弹性变形和塑性变形相比可以忽略的情况，如结构塑性极限分析理论、滑移线场理论以及许多金属成形理论中大多采用这种理论。
在某些实际问题中，弹性应变与塑性应变相比不能忽略，则应认为总应变为弹性应变和塑性应变之和，这样就可在莱维－米赛斯方程的基础上导出普朗特－罗伊斯方程。例如在金属成形模拟中要正确反映弹性回弹现象，就决不能忽略弹性变形，必须采用普朗特－罗伊斯理论。
在简单加载、比例变形情况下，若将增量理论的普朗特－罗伊斯方程直接积分，便可得到全量理论、也称形变理论的亨奇方程或伊柳辛方程。它们二者之间本质上是相同的，只是伊柳辛方程中将弹性应变与塑性应变作为总应变出现在方程中，而亨奇方程中则分别考虑弹性应变和塑性应变。
根据德鲁克关于稳定材料的公设，附加应力在附加应变上所做的功是非负的，由此导出了塑性应变的增量与屈服面的法线方向是一致的。而当取米赛斯屈服条件，即米赛斯屈服函数作为塑性位势时，由塑性应变增量与屈服面的正交性即可导出莱维－米赛斯方程。实际上屈服条件也是本构关系中的重要组成部分。
在非线性有限元法的专著中（例如Belytschko等的“连续体和结构的非线性有限元”一书中）列出了各种在非线性有限元分析软件中经常采用的弹塑性本构关系，下面先列出比较简单的一种。
z一维与率不相关混合硬化的塑性本构关系
1.应变率：
e p
&&&(1.1)
εεε
=+
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2. 应力率：
()e p E E σ
εεε==?&&&& (1.2)3. 屈服条件：
()0Y f σασε=??= (1.5)
4. 背应力演化方程：
p α
κε=&& (1.4)5. 塑性流动法则：
, p ελελσσασσ
?Ψ′′==,=?,Ψ=?Ψ:&&&&塑性流动势 (1.3)
6. 加载－卸载条件：
0 , 0 f f λλ≥0,≤=&& (1.6)
7. 一致性条件：
sign 0E f E H εσελκ
′=?≡=++&&&& (1.7)8. 切线模量：
()2
tan tan E E E E E H σεβκ=,=?++&& 1 0 ββ==塑性加载，弹性加载或卸载
(1.8)
四、塑性力学的一些解析解法
由于塑性力学中的本构关系是非线性的，因此，与线弹性问题相比，其求解难度增加了很多。在计算机数值分析方法得到发展之前，塑性力学发展了许多行之有效的解析解法，下面简单介绍其中几种常用解法。
z 静定问题解法
这类问题又称简单问题。其特点为平衡方程、屈服条件的数目与所求未知量的数目相等，因而求解中不涉及复杂的非线性本构方程。塑性力学的一维问题有许多属于这类问题，例如旋转圆盘、厚壁圆筒的轴对称变形，厚壁圆球的球对称变形，实心和空心受扭圆轴，各种截面梁的弹塑性弯曲等都属于这类问题。在求解这类问题时，一般都采用理想弹塑性力学模型进行计算。这类问题求解简便，而且在工程实际中经常遇到，因此很有应用价值。
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z界限法
界限法又称上、下限法，是一种很有实用价值的分析方法。由于要找到能满足全部塑性力学方程的解是非常困难的，因而若能找到满足一部分方程的解，同时又能对这些解和真实解的关系做出估计，这样的解也是很有意义的。在界限法中将塑性力学的方程分为两类：第一类方程包括平衡方程、屈服条件和力的边界条件，这些条件称为静力条件，在这些条件中不包括几何方面的要求。对于能满足上述静力条件的解称为静力解、用静力解得到的极限载荷一定比完全解所求得的极限载荷小，最多等于完全解的极限载荷。这里所谓的完全解就是满足塑性力学全部条件的解。另一类方程中包括外力所做的功等于内部所耗散的功的条件，以及结构的几何边界条件，这里没有考虑静力方面的要求，用这种方法求解，称为机动法，用机动法所求得的极限载荷一般都比用完全解所求得的极限载荷大，其中最小的可能与用完全解求得的极限载荷相等。机动法又称上限法，它在金属塑性成形问题中和板壳塑性极限分析中获得了非常广泛的应用。这是因为在上限法中，总可以按照某一种破坏机构根据力学中的虚功原理找出极限载荷的上限值，而破坏机构又可以通过实验方法来找到。最合理的破坏模式也就是和实验结果一致的模式。近年来所发展起来的上限基元技术和处理有连续速度场的破坏模式的上限法，不仅概念清晰，而且使用起来也比较方便。
z滑移线法
在塑性平面应变问题中，使用滑移线法解题是一个有效的方法。这是因为在这类问题中，不仅作为最大剪应力迹线的滑移线为两族正交曲线，而且变形体中各点的平均应力等于应力第一不变量，而且特雷斯卡屈服条件和米赛斯屈服条件具有相同的形式。由于滑移线法满足塑性平面应变问题的全部条件，因此所获得的解是完全解。在滑移线法中，采用刚塑性材料模型，因而滑移线上的最大剪应力
max
τ就等于材料的剪切屈服极限k。滑移线法将复杂的塑性力学问题转化为几何问题来分析，避免了直接采用非线性本构方程的困难，既能找出变形体中各点的应力分量，也能找出相对的位移增量分量，因而在金属塑性成形中的拉拔、镦粗、挤压、冲压、轧制、锻造等工艺过程的分析以及结构构件的极限分析中都获得了广泛的应用。
z主应力法
主应力法是金属塑性成形中经常采用的一种简化方法，对于平面应变问题将屈服条件简化为
2 x y k
σσ
?=
在分析中，还假设应力在一个方向的分布是均匀的。因此在计算中所用的数学形式比较简单。这种简化方法有时不仅能求出各种工艺过程中的应力，而且还可求出应力分布的规律，以及某些参数的影响。
第七章 塑性力学的基本方程与解法
z 能量法
这是和上限法类似的一种分析方法，也是利用能量守恒对塑性变形进行分析的一种方法。外力功是指在塑性变形时外力所做的功，而内力功则为由变形体内部塑性变形能与摩擦所产生的能量所组成的耗散能。能量法与上限法的主要区别在于能量法可以分析具有强化性质的材料的极限载荷问题。
z 参数法
当所采用的屈服条件是非线性的二次代数方程时，例如
()2
2244y x xy k σστ?+= 则可采用满足这一条件的参数方程，其形式为
sin sin cos x y xy k k k σσθσσθτθ=?,=+,=±
将上式代入平衡方程后，便可得到满足屈服条件的平衡方程。对于静定问题，再按具体边界条件求出积分常数，便可获得问题的解。
在轴对称问题中，参数方程可取为
cos ,
s r s θσσωωσσω?
?=+=???? 将以上公式代入平衡方程后，再根据相应的边界条件便可求得问题的解。参数方程法是采用米赛斯屈服条件时，求解静定问题的一种有效方法。
五、弹塑性问题的简单算例
1) 单向拉伸超静定问题
图7.9 单向拉伸超静定问题简例
图7.10 材料的单向拉伸曲线
图7.9所示两端固定的等截面杆，其截面积为A ，在杆中x a =处()b a >作用一逐渐增大的轴向力P ，记杆的左右两端支座反力分别为1N 和2N 。设材料的单向拉伸曲线
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如图7.10所示，即
()()()()()s s s t s t t 0 E f E εεεσεσεεεσεεεε?≤≤?==≤≤??′+?≤? (30)若0.1, 2E E b a ′==，对t s 1.5, 10ε=两种情况分别画出1n p ?关系曲线（此处定义11s s s s , , n N N p P N N A σ==＝）。
这是一次超静定问题，平衡方程只有一个，而未知量是两个：1N 和2N 。求解时除上述本构关系外，还要用到平衡方程和变形协调条件：
120
0N N a b εε12?=+= (31)
由于b a >，而a b εε21=?，N N a 21=?，因此可知εε21<，21N N <，即随着载荷
的增加，当达到1s N N =时，左段杆将先进入塑性，而此时s s P N N a b =+，右段还处
于弹性状态。 当载荷继续增大时，若s t a b εε>，则左段开始进入强化阶段时右段还未进入塑性状态。反之，若s t a b εε≤，则两段可同时处于流动段。此题所问两种情况恰好分别是
两种不同情况。
此类问题要对两段处在不同状态分段加以求解，最后画出总的结果曲线。由于没有什么原则上的困难，请同学们作为习题在课后完成。
2) 塑性静定问题简例 ?? 厚壁筒轴对称问题
设内半径为a ，外半径为b 的厚壁圆筒，在内表面处作用均匀压力p ，圆筒材料为理想塑性材料。随着压力p 的增加，圆筒内环向应力和径向应力的绝对值都不断增加，若圆筒处在平面应变状态下，其轴向应力也在增加。当应力分量的组合达到某一临界值时，该处材料进入塑性变形状态，并逐渐形成塑性区。随着压力的继续增加，塑性区不断扩大，弹性区相应缩小，直至圆筒的截面全部进入塑性状态。对于理想塑性材料，截面全部进入塑性状态时即为圆筒的塑性极限状态。当圆筒进入塑性极限状态时，其内压达到最大值，即载荷不能再继续增加，而圆筒的变形则处于无约束变形状态。 为使问题简化，首先限定讨论轴对称平面应变问题，并设泊松比ν=12。在完成各种状态的分析后，可分析这些假设的影响，分析结果表明，它们的影响是很小的。
这个问题作为静定问题解法的一个实例。
z 屈服条件
对于厚壁圆筒的轴对称平面问题，其屈服条件可以简化为：
第七章塑性力学的基本方程与解法
1.155
r s s
θ
σσσ
?==米赛斯条件(32a)
r s
θ
σσσ
?=特雷斯卡屈服条件(32b)由于这两种屈服条件，在这里假设的条件下只相差一个系数，因此在进行分析时可按
特雷斯卡条件计算，将结果中的
s
σ乘以一个系数，就变成了按米赛斯屈服条件的结果。
z弹塑性分析
当内压p较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，其中的应力分量为
22
222
22
222
1
1
r
a p b
b a r
a p b
b a r
θ
σ
σ
??
=?
??
???
??
=+
??
???
－
(33)
在内壁r a
=处
r
θ
σσ
?有最大值，即筒体由内壁开始屈服。若此时的内压为
c
p。由(33)式和(32b)式可以求得弹性极限压力为
2
2
1
2
s
c
a
p
b
σ??
=?
??
??
(34)
当
c
p p
>时，在筒体内壁附近出现塑性区，并且随着内压的增加，塑性区逐渐向
外扩展，而外壁附近仍为弹性区。由于应力组合
r
θ
σσ
?的轴对称性，塑性区与弹性区
的分界面为圆柱面。筒体处于弹塑性状态下的压力为
p
p，弹塑性分界半径为
p
r。此时对于弹性区和塑性区也可按两个厚壁圆筒分别进行讨论。由于轴对称性，在内筒的外壁和外筒内壁分别作用均布径向压力
p
r r r
q
σ
=
=，为求解塑性区的应力分量，应满足平衡方程与屈服条件，即
d
d
r r
r s
r r
θ
θ
σσσ
σσσ
?
+=
?=
(35)
将屈服条件代入平衡方程，即得
d d
0, d
d
r s
r s
r
r r r
σσ
σσ
+==
或(36)将上式进行积分，得
ln
r s
r C
σσ
=+(37)
积分常数C可由内壁的边界条件定出ln
p s
C p a
σ
=??。代入(36)式可求得
r
σ，再由屈
研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉
服条件，可求出θσ，即求得塑性区的应力分量为：
ln , 1ln r s p s p r r p p a a θσσσσ??=?=+????? (38)
由上式可知，塑性区的应力分量是静定的，它仅与内压p p 有关，而与弹性区的应力无关。而且在塑性区内0, 0r θσσ><。
为求弹性区的应力分量，将弹性区作为内半径为p r ，外半径为b ，承受内压q 的厚壁圆筒，由(33)式可得
22222222221, 1p p r p p r q r q b b b r r b r r θσσ????=??=+?????????? (39)
式中, p q r 是未知量。从弹性区来看，p r r =处刚达到屈服，对比(34)式可得
2212p s r q b σ??=??????? (40)
将塑性区外壁的边界条件代入(38)第一式，可得
ln p
p s r q p a σ=? (41)
由内外筒（塑性区与弹性区）界面径向应力相等的条件，可求得p p 与p r 的关系式：
22ln 12p p s p s r r p a b σσ??=+??????? (42)
将(40)式代入(39)式，可得以p r 表示的弹性区应力分量为
222222221, 122s p s p r r r b b b r b r θσσσσ????=??=+???????? (43)
随着压力的增加，塑性区不断扩大，当p r b =时，整个截面进入塑性状态，即圆筒达到塑性极限状态。此时的压力不能再继续增加，该临界值称为塑性极限压力，以l p 表示，
ln l s b p a σ= (44)
当压力达到塑性极限压力时的应力分量为
ln , 1ln r s s r r b b θσσσσ??==+???? (45)
载荷从, c p p p 直到l p ，三种状态下均有0, 0r θσσ><，而且r σ绝对值最大值发生
第七章 塑性力学的基本方程与解法
在筒体的内壁处，而θσ的最大值则随着内压的增加而由内壁移到外壁，随着塑性区的扩大，应力分布也变得平缓起来。
z 弹塑性状态下的位移
在弹性区内，为求得位移分量，可将该区域作为内半径为p r ，外半径为b 的厚壁圆筒，并承受内压q ，处于弹性状态时平面应变状态下的位移解为
()()()2222112p p r q b u r r E b r νν+??=?+????? (46)
将(40)式代入，可得
()()22221112 2p s p r u r b r r b Eb r νσν+??=?+≤≤?? (47)
在塑性区内，考虑到平面应变0z ε=以及体积不可压缩的条件就可求出u 。将几何方程代入0r θεε+=，可得
()d 1d 0, 0d d u u ru r r r r
+==或写成 (48)
积分得到 1C u r = (49)
积分常数1C 可由弹塑性交界处的位移连续条件确定，得到
()()22221112 2p s p p r u r b a r r Eb r νσν+??=?+≤≤?? (50)
z 塑性极限分析
结构达到塑性极限状态，其承载能力达到临界值，从而丧失继续承载的能力。为研究结构的承载能力，可采用前述弹塑性分析的方法，也可以采用塑性极限分析的方法，而且后者更为简便。
在刚达到塑性极限状态时，仍满足小变形的假设，厚壁圆筒的平衡方程仍为(35)第一式，在整个截面上应力组合满足特雷斯卡屈服条件(32b)式，相应的边界条件为, 0r l r r a r b p σσ===?=，由此即可求得l p 及, r θσσ如(44), (45)式所示。当采用米赛斯屈服条件时，厚壁圆筒的塑性极限压力为
l p =(51)
它比采用特雷斯卡屈服条件所得塑性极限压力大15.5%。
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3) 均匀变形状态非比例加载简例 ?? 薄壁管受拉扭联合作用
此类问题不需要用到其它方程而只要利用本构关系就可以求解。假设材料为不可压缩材料，0.5ν=，屈服条件满足V on Mises 条件。薄壁管中各点的非零应力分量为, z z ?στ非零的独立应变分量为z z , ?εγ，其它非零应变分量还有2r z ?εεε==?。为方
便起见引入无量纲量：z s z s z s , , ?σσστττεε===以及z s ?γγ=，其中s τ=
σ。
求分别沿应变加载路径OAC ，OBC 和OC （图7.11）到达C 状态（εγ==1）时的应力。
图7.11 薄壁管拉扭联合作用应变加载图
此问题的屈服条件和流动法则分别为
222z z s 3?στσ+= (52)
z z z z z z d d 1d d d d 22G
E ???τσελσγλτ2=
+=+3 (53)改写成无量纲形式即为 10f στ22=+?=
(54)d d d d d d εσσλγττλ′′=+=+
(55)
其中d d G λλ′=2。
利用一致性条件 d d d 0f σσττ=+=
(56)
在(55)式中消去d λ′，可得
d d d d σεσσστγ?==+
第七章 塑性力学的基本方程与解法
d d d d d d d d σγτεστεεγγ??=?=????
由O 到A 是弹性加载过程，在A 处可得A A , 0στ=1=。由A 到C 是理想塑性材
料的塑性加载过程，沿该加载过程
C A 1C 0C 1d d d 1 d =d ln 1d 21τττττττγγγτττ222+=1?==1?1??∫∫
由此可以求得C τ。按此思路，同学们可以在课后作为作业来将此题完成。
六、弹塑性问题的数值解法简介
对于比较复杂的工程问题，特别是当要求达到比较高的计算精度时，往往只能采用数值方法，借助于非线性有限元分析软件来求解。这里只能对于采用弹塑性增量理论的数值解法的主要步骤作一十分简要的介绍。
弹塑性分析的非线性就来自本构关系。在非线性有限元法的专著中（例如Belytschko 等的“连续体和结构的非线性有限元”一书中）列出了各种在非线性有限元分析软件中经常采用的弹塑性本构关系，这里不妨再列出一种三维的比较简单的弹塑性本构关系。
z 三维与率不相关小变形弹塑性本构关系
1. 应变率：将应变率张量加式分解为弹性部分和塑性部分
e p ij ij ij εεε=+&&& (2.1)
2. 应力率：和弹性应变率满足弹性关系
()
e p ij ijkl kl ijkl kl kl ijkl C C C σεεε==?&&&&为弹性张量
(2.2)
3. 屈服条件： ()(
)()()()(), 0 0
d d Y Y Y f f H H σσεσεεε
εσε==?=?=?q 当采用Mises屈服条件时为 为塑性模量，为单向拉伸屈服应力σ (2.3)4. 塑性流动法则和演化方程：
(), , p ij ij ij ij
ij ij ij r r r r f f ελψσλψσ==??=??为标量塑性流动率为塑性流动方向张量，为塑性流动势
对于关联塑性为屈服函数
q &&&σ (2.4)
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(
)113 Mises 2, 1 ij ij r s q h q q h ααασ
λ=
===当采用屈服条件时为后继屈服条件中的内变量，如累积等效塑性应变相应的等
q &&σ
5. 加载－卸载条件：
0 , 0 f f λλ≥0,≤=&& (2.5)
6. 一致性条件：由一致性条件得到标量塑性流动率
0ijkl kl ij ijkl kl ij f C f f f h C r q ααεσλσ??=?=???+??&&& (2.6)
7. 应力率和应变率的关系：
ep ep ij ijkl kl ijkl C C σε=&&为弹塑性切线模量张量 (2.7)
8. 弹塑性切线模量张量：
~
ijmn mn pqkl pq ep ijkl ijkl rstv tv rs ijkl kl klij kl f C r C C C f f h C r q f C r C αασσσ??=????+????对于关联塑性流动整个张量是对称的（）
(2.8)在现有的非线性有限元通用分析软件中，还考虑到大变形、率相关、超弹性－塑性等更复杂的情况。由于课时有限，前面只介绍了比较简单的情况。
当把加载过程划分为若干增量步后，对于每一增量步应包括下列三个算法步骤： 1. 将弹塑性本构关系中的应力率与应变率关系，例如前面(2.7)式ep ij ijkl kl C σε
=&&，作线性化处理，并形成增量有限元方程，即对于各节点位移增量的线性代数方程组。 2.
求解有限元方程，在每个增量步或每次迭代，方程组的系数矩阵都可能要发生局部的变化。 3. 积分本构方程，得到新的应力状态，检查平衡条件是否满足，并决定是进行新的
迭代还是进入下一增量步。
具体的数值解法属于专门课程的内容，这里不再介绍。如今用非线性有限元分析的商用软件已经可以分析计算相当复杂的实际工程中的弹塑性问题，而且这些软件都在不断的改进。要正确应用这些软件，不具备弹塑性力学的基本知识是不可能的。
第七章 塑性力学的基本方程与解法
附录：一维情况一致性条件和切线模量公式的推导：
由屈服条件
()s f σασε=??
根据一致性条件0f
=&，即在塑性变形过程中，其应力状态始终在加载面（即屈服面）上，可得
()()()()()s d =sign d sign 0f f f f H σαεσαε
σεσασαεε
σ
ασαε???++?????+=??+==&&&&&&&&&& 于是
()()sign εσ
ασαΗ1
=??&&& 由应力率公式
()p E σεε=?&&& 考虑到塑性流动法则
()p Ψε
λεσασ
?==??&&& 可得 ()()sign E σ
εεσα=??&&& ()()()()()()()()p sign =sign =sign sign =sign E E E H σ
αεεσααε
εσακεε
εσακεσαε
σα?=???????????&&&&&&&&&&&& 由此可得 ()()sign sign =E E H E E H εεσαεκεεσακ
1??=??????++&&&&& 根据切线模量的定义
tan E σε=&& 于是最终可得 ()2
tan E H E E E E H E H κκκ+=?=++++
弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及 30106.768 6.77() 104sin 2cos 2sin 602cos 60 221 32 3.598 3.60() 22 x y xy MPa MPa σστατα= --=----+=?+=?-=-?-?=-- 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2 3030( )cos 2sin 22 2 1041041cos 602sin 6073222226.768 6.77()104 sin 2cos 2sin 602cos 60 22132 3.598 3.60() 2 x y x y xy x y xy MPa MPa σσσσσατα σστατα+-= ++---+= ++=--?+?=----+=-?+=-?+=+?= 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： 题图 1-3
c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??= ==?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε= = ； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =500300800300 03008003001100-???? +-?? ??--? ? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P 、正应力σn 及剪应力τn 。 题—图 16
二、填空题：（每空2分，共8分） 1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。（参照oxyz直角坐标系）。 2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。 三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题4分，共16分。） 1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。 A、沿圆柱纵向（轴向） B、沿圆柱横向（环向） C、与纵向呈45°角 D、与纵向呈30°角 2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。 A、2 B、3 C、4 D、5 3、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）则在该点处的应变_________。 A、一定不为零 B、一定为零 C、可能为零 D、不能确定 4、以下________表示一个二阶张量。 A、B、C、D、 四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分） 1、；（i ，j = 1，2，3 ）； 2、； 五、计算题（共计64分。） 1、试说明下列应变状态是否可能存在： ；（） 上式中c为已知常数，且。 2、已知一受力物体中某点的应力状态为：
式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量 之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。 3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑 的基础上，如图所示。若选取＝ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。 （提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。） 题五、3图 4、已知一半径为R＝50mm，厚度为t＝3mm的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作 用。设管内各点处的应力状态均相同，且设在加载过程中始终保持，（采用柱坐 标系，r为径向，θ为环向，z为圆管轴向。）材料的屈服极限为＝400MPa。试求此圆管材料屈服时（采用Mises屈服条件）的轴向载荷P和轴矩M s。 （提示：Mises屈服条件：；） 填空题 6 平衡微分方程 选择ABBC
《弹性力学》课程教学大纲 课程英文名称：Theory of Elasticity 课程编号：193990360 课程类别：专业课 课程性质：必修课 学分： 3 学时： 48（其中：讲课学时48：实验学时：0 上机学时： 0） 适用专业：工程力学本科专业 开课部门：土木工程与建筑学院 一、课程教学目的和课程性质 本课程属于工程力学专业必修课。该课程是在理论力学和材料力学的基础上，进一步学习弹性力学的基本概念、基本原理和基本方法，了解线弹性体简单经典问题的计算方法和基本解答，分析各种结构物或构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法，提高分析与计算能力，为学习有关专业课程打好初步的弹性力学基础。 本课程教学目的主要目的：培养学生的逻辑思维能力；培养学生估计和评价弹性固体中应力和应变的分布规律及计算结果的能力；培养学生用弹性力学方法研究和解决实际工程中力学问题的能力；使学生掌握分析一般工程结构在外力作用下的变形、内力分布与承载能力的方法，以及为进一步研究工程结构的强度、刚度、稳定性等力学问题打下基础，并着重在基础理论和实践应用两方面进行科研能力的培养。 二、本课程与相关课程的关系 先修课程：《高等数学》、《理论力学》、《材料力学》 后续课程：《土力学》、《岩石力学》、《塑性力学》等 三、课程的主要内容及基本要求 第1单元绪论（ 2 学时） [知识点] 弹性力学的研究内容和研究方法；弹性力学中的一些基本概念；弹性力学中的基本假设条件；弹性力学与其它学科的关系；弹性力学的学习方法。 [重点] 弹性力学的研究内容和研究方法；弹性力学的基本假设；弹性体、弹性变形、应力、应变、位移与变形、面力、体力的概念。
考试科目：弹塑性力学试题 班号 研 班 姓名 成绩 一、概念题 （1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。 （2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。 （3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： ,)11(2)11(10,2,222 2=?? ????--+-+--==+-=+= θθθμμμμμτσσu Cr r A E u C r A C r A r r r 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。 解：边界条件为： a r =时：p r -=σ；0=θτr b r =时：0=r u ；0=θu 。 将上述边界条件代入公式得： ??? ? ???=?????--+-+--=-=+=0)11(2)11(122 2μμμμb C b A E u p C a A b r r 解上述方程组得： ()()()??? ? ???+-- =+---=]21[22121222 2222a b pa C a b b pa A μμμ 则该问题的应力和位移分量的解分别为：
()()()()()()??? ???? ? ? ??? ???=?? ???????? ??---+-???? ??-+-+--==+--+--=+--+---=??011)]21([11)]21([)21(10 21121212112121222222 222 22 222222 22 22222θθθμμμμμμμμτμμμσμμμσu b a pra b a r b pa E u a b pa r a b b pa a b pa r a b b pa r r r 三、已知弹性半平面的o 点受集中力 2 2222 222 2 223 )(2)(2)(2y x y x P y x xy P y x x P xy y x +- =+-=+- =πτπσπσ 利用上述解答求在弹性半平面上作用着n 个集中力i p 构成的力系， 这些力到所设原点的距离分别为i y ,试求应力xy y x τσσ,,的一般表达式。 解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： y y
应用弹塑性力学李同林第四章 这是变形理论。这个理论首先由亨斯基提出，然后由前苏联的伊留申进一步完善。问题提出得更清楚了，并且给出了使用条件。因此，这个理论也被称为亨奇-伊柳辛理论。伊柳欣的变形理论应该满足几个条件: (1)外载荷(包括体力)成比例增加，变形体处于主动变形过程中(即应力强度无中间卸载)； (2)材料所用体积不可压缩，采用泊松比μ = 1/2进行计算；(3)材料的应力-应变曲线具有幂强化形式，即 或者 ； 在变形过程中 (4)满足小弹塑性变形的各种条件，塑性变形和弹性变形大小相同。满足上述条件后，变形理论将给出正确的结果。如果负载没有成比例地增加，则外部负载成比例地增加是简单负载的必要条件。这样不仅不能保证物体内部的简单加载状态，而且物体表面也不能满足简单加载条件。体积不可压缩性和泊松比μ=1/2的假设不仅简化了具体计算，而且与实验结果基本一致，因此变形理论的物理关系主要表现为应力挠度和应变挠度之间的关系，这是令人满意的。 法律。 使用幂强化模型可以避免区分弹性区和塑性区，但实际上该模型对不同材料的限制很小，因为各种材料都可以通过选择公式中常数a的指
数m来拟合拉伸曲线。采用小变形条件是因为平衡方程和几何方程是在小变形条件下推导出来的，物理关系也是小变形条件下的关系。伊柳辛不仅明确规定了亨奇变形理论的适用条件，而且证明了简单加载定理。他提出，在小的弹塑性变形条件下，总应变与应力挠度成正比，即: 如果使用主应力，有 等效应变的表达式为: 从这里 因此，Hench-Ilyushin理论的应力-应变关系可以写成如下: 展开等式(4-84): 根据胡克定律(4-33)，弹性应变为: 因为塑性应变是总应变和弹性应变之间的差，所以它由方程(4-85)和(1)获得: 公式(4-86)可以缩写为: 实施例4-3众所周知，具有封闭端的薄壁圆筒的平均半径为R，平均直径为D，壁厚为T，圆筒长度为L，并且承受内压P以产生塑性变形。材料是各向同性的。尝试找到: (1)如果忽略弹性应变，周向、轴向和径向应变之比在圆筒壁上的一点处增加； (2)如果材料是不可压缩的，即μ=1/2，圆柱壁上一点的周向、轴向和径向应变总量之比。 因为t/r1是解，所以可以近似地考虑圆柱壁中每个点的径向应力ζr=0。
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，
已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其 中，可得 则主应变有 解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为 于是有，同理，可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求：在方向上的正应变。
弹塑性力学 第四章 弹性力学的基本方程与解法 一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起 的小变形问题，若以, , u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程 ()1,,2ij i j j i u u ε= + ()12?+?u u ε= (1a) 广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε (1b) 平衡方程 ,0ij j i f σ+= ??+=f 0σ V ?∈x (1c) 以上方程均要求在域内各点均满足。 边界条件 u u i i = ?∈x S ui (2a) n t j ji i σ= ?∈x S ti (2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提法就有严格的要求。即要求： S S S S S ui ti ui ti U I ==? (2c) 对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a) ()11ij ij kk ij E ενσνσδ??=+??? ()()1tr E νν=????I ε1+σ?σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。这三个正交
弹塑性力学简答题 2002年 1 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2 从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 3 两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 4 虚位移原理等价于哪两组方程？推导原理时是否涉及到物理方程？该原理是否适用于塑性力学问题？ 平衡微分方程和静力边界条件。不涉及物理方程。适用于塑性力学问题。 5 应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的， 而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6 什么是加载？什么是卸载？什么是中性变载？中性变载是否会产生塑性变形？ 加载：随着应力的增加，应变不断增加，材料在产生弹性变形的同时，还会产生新的塑性变形，这个过程称之为加载。 卸载：当减少应力时，应力与应变将不会沿着原来的路径返回，而是沿接近于直线的路径回到零应力，弹性变形被恢复，塑性变形保留，这个过程称之为卸载。 中性变载：应力增量沿着加载面，即与加载面相切。应力在同一个加载面上变化，内变量将保持不变，不会产生新的塑性变形，但因为应力改变，会产生弹性应变。 7 用应力作为未知数求解弹性力学问题时，应力除应满足平衡方程外还需要满足哪些方程？ 协调方程和边界条件。 8 薄板弯曲中，哪些应力和应变分量较大？哪些应力和应变分量较小？ 平面内应力分量最大，最主要的是应力，横向剪应力较小，是次要的应力；z 方向的挤压应力最小，是更次要的应力。 9 什么是滑移线？物体内任意一点沿滑移线的方向的剪切应力是多少？ 在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线，称之为滑移线。 剪切应力是最大剪应力。
2．Elasticity of Solids References J.H.Weiner ，Statistical mechanics of elasticity, Wiley, 1981 Green & Zerna ，Theoretical elasticity, 1968 Ashby & Jones ，Engineering materials 2.1 Definition of Elasticity Elasticity σ F Figure 2.1 An elastic response. An elastic response of the material can be abstracted mathematically as ()X F ,T σ= (2.1) where σ denotes the stress tensor, T the response function that depends only on the current values of the deformation gradient X x F ??=, with X denoting the material coordinates of a point while x the spatial coordinates. If the material is homogeneous within the domain under consideration, the explicit dependence on X in (2.1) can be eliminated. Several remarks can be made to the definition in (2.1): (1) In the claim of ()()X t X, F ,T σ=, one pins down an elastic response as the one prtrayed by the current status of deformation, and henceforth irrelevant to the
弹性力学有限元大作业 一、模型信息： 已知：材料为铝合金。E=71GPa ，v=0.3. 矩形平板的几何参数：板长为480mm ，宽为360mm ，厚度为2mm ；图形如下图； 加肋平板： 二、matlab 编程实现 1、程序相关说明： 计算使用的软件为：matlab2010a 主函数：main.m 主要计算部分 子函数：Grids.m 生成网格，节点数为：+1*+1I J （）（） 、单元数： 2**I J AssembleK.m 将单元刚度矩阵组装成总刚度矩阵（叠加方法） GenerateB.m 生成单元格e B 矩阵 GenerateS.m 生成单元格e S 矩阵 GenerateK.m 生成单元刚度矩阵 2、网格划分： 利用Grid.m 子函数，取2020I J ==、，即可以得到网格如下： 节点数为：441个，单元格数：800个
3、计算过程及结果 （1）、网格划分：通过Grid.m ，生成节点数为：441个、单元格数：800个的网格 （2）、生成总刚度矩阵K ：通过GenerateK.m 、AssembleK.m 生成总刚度矩阵 采用常应变三角单元，e e u N a =,易得=e e B LN 由平面应力问题，可以确定2101011002E D νννν?? ?? ? ?=??-?? -???? 即e e S DB = 单元刚度矩阵为：e eT e K AtB DB = 总刚度矩阵为：eT e e e K G K G = ∑ （3）、求解过程： 系统平衡方程为：Ka P = 将方程进一步划分为：E EF E E E T F F EF F K K d f r d f K K +?????? =? ????? ???? ?? 通过已知边界条件（位移、载荷），确定E E F d f f 、、 ，从而将K 矩阵划分为四个模 块：E EF T EF F K K K K ?????? 1 () E E E E F F E T F F F EF E r K d K d f d K f K d -=+-=-支反力：部分位移： 即整体位移向量为：E F d a d ?? =???? 整体力边界条件为：E E F f r P f +?? =? ???
1 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解：(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 （需证明） 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ???? ??????=?????????????????? ， 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112322212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ??????????==??? ??????????????? 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证明：()()??=a b c d ?
工程硕士研究生弹塑性力学试题 一、简述题（每题5分，共２0分） 1．简述弹性力学与塑性力学之间的主要差异。 固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（荷载、温度变化等）下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的科学分支。塑性力学、弹性力学正是固体力学中的两个重要分支。 弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。 大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含义与此相类。如上所述。大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。以及相应的“破坏”准则或失效难则。 塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和流变学的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形则与时间有关。 2．简述弹性力学中圣维南原理的基本内容。 3．简述薄板弯曲的基本假定。
弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
第二章 应力理论和应变理论 2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0 cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=??+=?……………………………… （a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=?? ? --+-=?? L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12× 103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()() 3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410x y Pa σσσ?++?=±=????=?=±?=? 则显然： 3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612 sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ = = ==+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 题图 1-3
2003年结构工程博士研究生入学考试 弹塑性力学试卷答案 第一道题答案： 圣维南原理可以这样陈述：如果把作用在物体表面一小部分边界上的面力，被分布不同但静力等效的面力(主矢量相同，对同一点的主矩也相同)所代替，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响小得可以忽略不计。 圣维南原理也可以这样陈述：如果物体一小部分边界上的面力是一自相平衡的力系(主矢量及主矩都等于零)，那么，这个面力就只会在靠近受力表面附近产生显著的应力，远处(与受力表面之尺寸相较)产生的应力可以忽略不计。 上面两种陈述是一致的，因为，静力等效的两组面力，它们的差异是一个平衡力系。 正确理解和运用圣经南原理的关键是弄清“一小部分”，“静力等效”，“近处与远处”的概念。 实践应用中，圣维南原理可提供： 1．我们知道，弹性力学问题在数学上被称为边值问题，其待求的未知量(应力、位移、应变)完全满足基本方程并不困难，但是，要求在全部边界上都逐点地满足边界条件，往往会发生很大困难。为了使问题得到简化或有解，在符合圣维市原理的那部分边界上，可以放弃严格的逐点边界条件，而改为满足另一组静力等效的以合力形式表示的整体边界条件。这对于离边界较远处的应力状态，并无显著的误差。这已经为理论分析和实验所证实。 2．当物体的一小部分边界，仅仅知道物体所受外力的合力，而不能确知其分布方式时，就不能逐点地写出面力的边界条件，因而难以求解或无法求解。根据圣维南原理，可以在这一小部分边界，直接写合力条件进行求解。 3．当物体一小部分边界上的位移边界条件不能精确满足时，有时也可以应用圣维南原理得到有用的解答。 4．在工程结构的受力分析中，根据圣维南原理，有时可近似地判断应力分布和应力集中的情况。 第三道题答案：
大学《弹性力学》课程教学大纲 课程编号：2010122 课程名称：弹性力学 学时：96 学分： 6 学时分配：授课：96 上机：0 实验：0 实践：0 实践（周）0 授课学院：机械工程学院 适用专业：工程力学 先修课程：高等数学，材料力学，量分析和场论 一、课程的性质与目的 弹性力学是固体力学学科的分支。该课程是研究和分析工程结构和材料强度和学习《有限元法》、《塑性力学》、《断裂力学》等后续课程的理论基础。课程的基本任务是研究弹性体在外载荷作用下，物体部产生的位移、变形和应力分布规律，为解决工程结构和材料的强度、刚度和稳定性等问题提供解决思路和方法。二、教学基本要求 要求学生对应力、应变等基本概念有较深入的理解，掌握弹性力学解决问题的思路和方法。能够系统地掌握弹性力学的基本理论、边值问题的提法和求解、弹性力学平面问题、柱形杆的扭转和能量原理，了解空间问题、复变函数解法、热应力和弹性波等。 三、教学容 弹性力学I 1．绪论 1．1弹性力学的任务、容和研究方法 1．2弹性力学的发展简史和工程应用 1．3弹性力学的基本假设和载荷分类 2．应力理论 2．1力和应力 2．2斜面应力公式 2．3应力分量转换公式 2．4主应力，应力不变量
2．5最大剪应力，八面体剪应力 2．6应力偏量 2．7应力平衡微分方程 2．8正交曲线坐标系中的平衡方程 3．应变理论 3．1位移和应变 3．2小应变量 3．3刚体转动 3．4应变协调方程 3．5位移单值条件 3．6由应变求位移 3．7正交曲线坐标系中的几何方程 4．本构关系 4．1广义胡克定律 4．2应变能和应变余能 4．3热弹性本构关系 4．4应变能正定性 5．弹性理论的微分提法、解法及一般原理5．1弹性力学问题的微分提法 5．2位移解法 5．3应力解法 5．4应力函数解法 5．5迭加原理 5．6解的唯一性原理 5．7圣维南原理 6．柱形杆问题 6．1问题的提法，单拉和纯弯情况 6．2柱形杆的自由扭转 6．3反逆法与半逆法，扭转问题解例 6．4薄膜比拟
1 / 218 弹塑性力学2008级试题 一 简述题（60分） 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变 形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ，其 中()1 3 m x y z σσσσ=++ 偏 量 ： 偏 斜 应 力 张 量 ， 即 x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ?? -??=-????-?? ，其中
2 / 218 ()1 3 m x y z σσσσ= ++ 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ???????????????????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6）应变张量：表示纯变形部分，即 112211221122u u v u w x y x z x v u v v w ij x y y z y w u w v w x z y z z ε?? ?? ???????++? ? ? ? ???????? ???? ? ? ????? ?????? =++ ? ??? ? ???????????? ?? ?? ?????????++ ? ? ?????????? ?? ?? 7）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关
---○---○--- ---○---○--- ………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷（参考答案） 2010~2011 学年 二 学期 弹塑性力学 课程 时间110分钟 32 学时， 2学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 90 % 一、名词解释题（每小题3分，共15分） 1、应力强度因子： 2、弹塑性共存： 3、应力集中： 4、弹塑性体 5、
二、填空题 (每小题2分，共24分) 1、主应力平面上的切应力等于零；主切应力平面上的正应力 不一定等于零。 2、全量应变是 某时刻变形之后的应变量 ； 应变增量是 变形某时刻的应变微分量 。 3、在应力分量表达式σij 中，下标i 表示 应力分量所在平面的外法线方向 ， 下标j 表示 应力分量本身的作用方向 。 4、已知主应变ε1>ε2>ε3，则最大剪应变为：γmax = ε1-ε3 。 5、表征变形体内各应力分量之间相互关系的是 应力平衡微分 方程，表征各应变分量之间相互关系的是 应变连续/协调 方程。 6、在滑开型裂纹扩展模式中，应力的作用方向与裂纹扩展方向 平行 ，裂纹面与应力作用方向 平行 。 7、如图所示，受单向均匀拉伸载荷的平板构件，其上的中心穿透小孔边缘的a 、b 及远离小孔的c 、d 点，随着外载荷增加，最先进入塑性变形状态的是 a 点，受压应力的是 b 点。 8、如图所示为变形体内某点处单元体的受力状态，已知σ=σs （屈服应力），用Tresca 屈服准则判别，该点处于 塑性变形 状态；用Mises 屈服准则判别，该点处于 弹性变形 状态。 9、圆柱体在Z 向受压缩，产生均匀塑性变形，则其塑性应变之比为：=p x p x p x εεε::。 10、 11、 12、 题二（8）图 题二（7）图 1.5σ σx
弹性力学上机作业楔形体的承载分析 班级：海工10-1 姓名：曾天宇 学号：2010074123
1.问题重述 楔形体受自重以及齐顶水压作用，求应力分布，已知： 图1 楔形体承载示意图 2.问题分析 该问题属于线性静力学问题，作为平面问题进行分析求解。由于楔形体受到齐顶水压力，采用函数加载法施加载荷。 3.求解步骤和方法 3.1建立工作文件名和工作标题 1) 选择Utility Menu-File-Change Jobname 命令，出现Change Jobname 对话框。在 “/FILNAM ”Enter new Jobname 中输入文件工作名PROBLEM1（即 问题1），点击OK 。 ()3 3344m kg 10,m N 102.4p 7m 10m,,1m 167.0MPa 102E =?=====?=ρμ水密度自重底边长高度作为平面应力问题厚度泊松比弹性模量
图2建立工作名对话框 2)选择Utility Menu-File-Change Title命令，输入W ATER PRESSURE，单击OK。 图3建立工作标题对话框 3.2定义单元类型 1)选择Main Menu-Preprocessor-Element Type-Add/Edit/Delete，在对话框中单击“Add”， 出现Library of Element Types对话框，选择“Structural Solid, Triangle 6node2 ”，在Element type reference number栏中输入1，点击OK。 图4定义单元类型 2)单击Element Types上的Options，在对话框中的Element behavior K3下拉选框中选择 Plain strain，单击OK。