初二数学上册知识点：角平分线的性质知识点
初二数学上册知识点：角平分线的性质知识点
一、本节学习指导
角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。
二、知识要点
1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
如下图：OC平分∠AOB
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】
如第一个图：
∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB
∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边)
3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
如第一个图：
∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE
∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)
4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。
∵C是AB的中点
∴AC=BC
5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。
如图：【重点】
∵AB⊥CD
∴∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°
或∵∠AOC=90°
∴AB⊥CD
注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的
一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。
6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
∵△ABC≌△A'B'C'
∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C';∠A=∠A',∠B=∠B',
∠C=∠C'
三、经验之谈：
本节的重点是第2点，角平分线的性质，这条性质在以后的几何题型中用的非常多，本章的三角形全等也不例外，如果我们碰到题目中出现角平分线，我们要会利用它的性质。告诉大家一个秘密：在几何题型中，99%的题目给出的条件都是要用到的，除非此题属于难题范围，故意给些误导性条件。
1 B A O E P D B D C A （第3题） （第2题） 角的平分线的性质及其练习题 1、尺规作图画角平分线 （1）、以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N 。 （2）、分别以M 、N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C 。 （3）、画射线OC 。射线OC 即为所求。 2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 图形表示：若CD 平分∠ADB,点P 是CD 上一点PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ， 则PE=PF 。 3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 图形表示：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE=PF ，则PD 平分∠ADB 4、证明命题的步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 角平分线的性质（1） 一、选择题 1．用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ） A ．SAS B ．AAS C ．SSS D ．ASA 2．如图，OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A ．PD ＝PE B ．OD ＝OE C ．∠DPO ＝∠EPO D ．PD ＝OD 二、填空题 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为______㎝． 三、解答题 4．已知：如图，AM 是∠BAC 的平分线，O 是AM 上一点，过点O 分别作AB ，AC 的垂线，垂足为F ，D ，
角平分线的性质 马丽娜
角平分线的性质 教学目标 知识与能力 1.了解平分角的仪器的制作方法 2.学会尺规作图的方法画已知角的角平分线 3.掌握角的平分线的性质 过程与方法 1.通过观察，推理以及实际操作，探究作已知角的平分线的方法，培养动手能力。 2.通过对角平分线性质的实际应用的探究，掌握运用相关知识解决实际问题的能力。情感态度与价值观 1.在现实情境中学习相关知识，体会数学与现实的密切联系，培养数学应用意识。 2.通过小组探究和合作交流，学会与他人合作，培养数学交流能力和团队协作的精神。教学重、难点及突破 重点：作已知角的平分线的方法；角的平分线的性质及其运用。 难点：作已知角的平分线的方法；运用角平分线性质解决相关的实际问题。 教学突破：在介绍做已知角的平分线的方法的过程中，教师要注意引导学生探究方法背后的数学背景，另外，也强调尺规作图的过程。 教学准备：多媒体课件圆规三角板 教学设计 一. 创设情境，引入新课 1.引导学生回顾判定两个三角形全等的方法。 2.一个纸角不用仪器怎样把它分成相等的两个角？折痕和角是什么关系？引出本节课 题。 3.多媒体展示如下问题，请学生思考。 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD 沿角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线。你能说明它的道理吗？ B 师生共同分析讨论，探究问题的解答。 师：你们有什么想法？ 生：可以证明两个三角形全等。 师：哪两个三角形？
生：△ADC和△ABC 师：怎么证明两△个三角形全等呢？ 生：可以用边边边。 师：很好！我们一起写证明过程{多媒体展示} 证明:在△ADC和△ABC中 ∵AB=AD BC=DC AC=AC ∴△ADC≌△ABC ∴∠DAC=∠BA C ∴AE是∠DAB的平分线 二. 探究角平分线的做法的性质 1.教师总结指出:由上面的探究可以得出做已知角的平分线的方法。 已知：∠AOB 求作∠AOB 的平分线。 做法：（1）以0为圆心适当长为半径作弧，交OA于M ,交OB于N 。 （2）分别以MN为圆心、大于1/2MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C （3）做射线OC，射线OC 即为所求。 A M C O N B 让学生明白上述做法的本质还是利用了“边边边”判断两个三角形全等的知识。 已知平角怎样做他的角平分线 2.多媒体展示如下问题，组织学生分组讨论。 探究:将角对折，再画出一个直角三角形是以第一条折痕为斜边，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ A A D C P C O O B（A）O E B B 请各组派代表发言，介绍本组的讨论成果，教师引导学生共同总结讨论，给出探究的一致解答。
角平分线的性质定理教案 慧光中学：王晓艳 教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理； （2）能够运用性质定理证明两条线段相等； 教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。 教学难点：角平分线定理的应用； 教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程： 一，新课引入： 1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点 操作：（1）画一个角的平分线； （2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。 （3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。 2．定理的获得： A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明， 得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。 B、分析此定理的作用:证明两条线段相等； 应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。 3．定理的应用 二．例题讲解： 例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PF （此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）
例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点 E、F， 圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。 求证：BC=EF （此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件） 三：课堂小结： ①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂 直距离; ②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习 1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。
角平分线的性质练习题 1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在 _____________． 2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。 6、点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 7、在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 . 8、三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 10、如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 11、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 2 1 D A P O E B l 2 l 1 l 3 第9题 第10题 第11题 第3题 第4题 D C A E B
1 B A O E P D B D C A （第3题） （第2题） 角的平分线的性质及其练习题 1、尺规作图画角平分线 （1）、以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N 。 （2）、分别以M 、N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C 。 （3） 、画射线OC 。射线OC 即为所求。 2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 图形表示：若CD 平分∠ADB,点P 是CD 上一点PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ， 则PE=PF 。 3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 图形表示：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE=PF ，则PD 平分∠ADB 4、证明命题的步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 角平分线的性质（1） 一、选择题 1．用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ） A ．SAS B ．AAS C ．SSS D ．ASA 2．如图，OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A ．PD ＝PE B ．OD ＝OE C ．∠DPO ＝∠EPO D ．PD ＝OD 二、填空题 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为______㎝． 三、解答题 4．已知：如图，AM 是∠BAC 的平分线，O 是AM 上一点，过点O 分别作AB ， AC 的垂线，垂足为F ，D ，且
一. 教学内容： 1. 角平分线的作法． 2. 角平分线的性质及判定． 3. 角平分线的性质及判定的应用． 二. 知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点； ②分别以C 、D 为圆心，大于1 2 CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求． O A B ① ② ③ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， 垂足分别为点A 、点B ． 求证：PA ＝PB ． O P A B M N 12 C 证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO 和△PBO 中，???? ?∠PAO ＝∠PBO ∠1＝∠2 OP=OP ∴△PAO ≌△PBO ∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
O P A B M N 12 如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ． （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ． 求证：点P 在∠MON 的平分线上． O A B M N P 证明：连结OP 在R t △PAO 和R t △PBO 中，? ????PA ＝PB OP ＝OP ∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） O P A B M N 1 2 C 如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．
初二数学知识点归纳：角平分线的定义 初二数学知识点归纳：角平分线的定义 角平分线的性质一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。二、知识要点 1、角平 分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。如下图：OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】如第一个图：∵OC平分 ∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道 △OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边) 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。如第一个图：∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关 题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。 二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 OC平分∠AOB ∵OC平分 ∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边) 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平 分线上。∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2) 4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线 段的中点。∵C是AB的中点∴AC=BC 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。如图：【重点】∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所 形成的四个角中的一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相 垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角
初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点 我们在学习三角形的时候，学到好多“线”，比如：中线、角平分线、垂线、高线等等。它们都是三角形里面比较重要的东西，也是比较重要的知识点。 如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为多少？ 这道题题目比较简单，很容易得出答案是2。 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。 三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。 2、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。（这是三角形的角平分线与角平分线的区别） 角平分线线定理：定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。 三角形的高线
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
初二数学上册知识点：角平分线的性质知识点 初二数学上册知识点：角平分线的性质知识点 一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。 二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 如下图：OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 如第一个图： ∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边) 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 如第一个图：
∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2) 4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。 ∵C是AB的中点 ∴AC=BC 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。 如图：【重点】 ∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的 一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。 ∵△ABC≌△A'B'C' ∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C';∠A=∠A',∠B=∠B', ∠C=∠C'
角平分线的性质和判定（人教版） 试卷简介:本套试卷主要测试学生角平分线的性质和判定，检测学生数学中“见到什么想什么”的模块化思维过程，逐步培养学生数学学习中有序思考的能力。 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( ) A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP 答案：D 解题思路： ①根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到PA=PB，A正确； ②角平分线可以看成一个角的对称轴，对称轴两侧的图形全等，即△APO≌△BPO， ∴B，C正确． 只有D选项不一定正确，所以选D 试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质 2.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B
解题思路： ①如图， 过点P向OM作垂线，垂足为Q．根据直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短，PQ 即为最小值； ②根据角平分线的性质，PQ=PA=2，选B 试题难度：三颗星知识点：垂线段最短 3.如图,已知点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC等于( ) A.110° B.120° C.130° D.140° 答案：A 解题思路： ①由点O到△ABC三边的距离相等，可知点O是△ABC三个角的角平分线； ②设， 分别在△ABC和△BOC中利用三角形内角和定理， 可得：，整体代入可得： ，选A
试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质与判定 4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,给出下列结论:①DC=DE;②DA平分∠CDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB;⑤∠BAC=∠BDE.其中正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案：C 解题思路： （1）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到DE=DC， ∴①正确； （2）角平分线可以看成一个角的对称轴，对称轴两侧的图形全等，即△ADC≌△ADE， ∴∠EAD=∠CAD，AE=AC， ∴②，④正确，③不正确； （3）∵∠BAC+∠B=90°，∠BDE+∠B=90°，根据同角的余角相等， ∴∠BAC=∠BDE， ∴⑤正确； 综上，正确序号为①②④⑤，共有4个，选C 试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和 N,再分别以M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点 D,则下列说法中正确的是( ) ①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③DA=DB;
初二数学知识点归纳：角平分线的定义角平分线的性质 一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。 二、知识要点 、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 如下图：oc平分∠AoB ∵oc平分∠AoB ∴∠Aoc=∠Boc 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 如第一个图： ∵oc平分∠AoB，PE⊥oA,PD⊥oB ∴PD=PE,此时我们知道△oPE≌△oPD 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 如第一个图： ∵PE⊥oA,PD⊥oB,PD=PE ∴oc平分∠AoB
一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。 二、知识要点 、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 oc平分∠AoB ∵oc平分∠AoB ∴∠Aoc=∠Boc 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 ∵oc平分∠AoB，PE⊥oA,PD⊥oB ∴PD=PE,此时我们知道△oPE≌△oPD 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 ∵PE⊥oA,PD⊥oB,PD=PE ∴oc平分∠AoB 4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。 ∵c是AB的中点 ∴Ac=Bc
5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。 如图：【重点】 ∵AB⊥cD ∴∠Aoc=∠AoD=∠Boc=∠BoD=90° 或∵∠Aoc=90° ∴AB⊥cD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的 一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。 ∵△ABc≌△A'B'c' ∴AB=A'B',Bc=B'c',Ac=A'c';∠A=∠A',∠B=∠B',∠c=∠c'
角平分线的性质 一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 如下图：OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 如第一个图： ∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD（直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边） 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 如第一个图： ∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）
4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。 如下图： ∵C是AB的中点 ∴AC=BC 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。 如图：【重点】 ∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的 一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 ∵△ABC≌△A'B'C' ∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'; ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'
第4讲角平分线、垂直平分线 本讲知识归纳 1．(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； (2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 2．三角形三条边的垂直平分线交于一点（称为三角形的外心），这点到三角形三顶点的距离相等． 基础回顾 例1 已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，P是AD上任一点．求证：PE=PF． · 例2 如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点． (1)求∠AME； (2)求证：AM=MN； (3)连FG，问FG与AB的位置关系并证明， 练习 1．如图，AD为△ABC,的高，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD. [ 2．如图，A（-1，0），B（0，3），∠AB0=30°，∠OAB的角平分线与OB的垂直平分线相交于P点． (1)求P点的坐标； (2)作∠ABO的平分线交AP于M，判断△PBM的形状．
方法运用 例3 如图，∠AOB= 30°，点P是∠AOB内一点，P0=8，在∠AOB的两边上分别有点R、Q(均不同于O). (1)求△PQR周长的最小值； （ (2)当△PQR周长取最小值时，求∠QPR的值． 分析：由对称变换作出符合要求的点Q与R，根据对称的性质，结合已知条件求出∠PQR的周长与∠QPR的值． ) 例4 如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，并说明理由. … 练习 3．已知，如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB= 90°．D是BC上一点，CD=2，BD=BE，
∠DBE=90°，连接CE，交AB于M，且CE=6．在AB上找一点P，使△PCD周长最小，并求出这个最小值． 4．如图，长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P点出发，分别撞击球桌的边BC、CD、DA各一次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所 成的角相等(如图中∠α=∠β).已知AB=3，BC=4，求此球所走路线的总长度. $ 问题探究 例5 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是(1，0)，点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于M． (1)求证：∠ABD=∠ACD； (2)若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE； (3)当A点运动时，AC AB AM - 的值是否发生变化若不变，求其值，若变化，请说明理 由． … 例6已知等腰△ABC和等腰△ADE的顶点公共，B、A、E在同一条直线上，∠BAC=∠DAE，PB=PD,PC=PE．
新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习 重难点突破 课外机构补习优秀资料 角的平分线的性质（基础） 【学习目标】 1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质． 2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法． 3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题． 【要点梳理】 【388612 角平分线的性质，知识要点】 要点一、角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 要点三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图
（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E. （2）分别以D 、E 为圆心，大于12 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC. 射线OC 即为所求. 要点四、三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等. 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等. 【典型例题】 类型一、角的平分线的性质 1．（2015春?启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ． 【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CB D ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【答案与解析】 证明：∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD 和△CBD 中， ，
角平分线练习 一、填空题 1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 . 2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________． 3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF . 7．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________. 8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到____________________相等． 9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 10．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32cm ，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为__________cm . 二、选择题 11．三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、4处 B 、3处 C 、2处 D 、1处 第4题 第5题 第6题 第7题
三角形的高，中线，角平分线知识点及练习 知识点一：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题 1、作出下列三角形三边上的高： 2、上面第1图中，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则∠ADC=∠ = ° 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点；（2）锐角三角形的三条高相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条高相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的垂心。 练习一：如图所示，画△ABC 的一边上的高，下列画法正确的是（ ）． 知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题 1、 作出下列三角形三边上的中线 2、AD 是△ABC 的边BC 上的中线，则有BD = =2 1 ， 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条中线相交于 点；（2）锐角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条中线相交于三 角形的 ；（4）直角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（5）交 点我们叫做三角形的重心。 练习二：如图，D 、E 是边AC 的三等分点，图中有 个三角形，BD 是三角 形 中 边上的中线，BE 是三角形 中________上的中线； 知识点三：认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题 自学课本66页三角形的角平分线并完成下列各题： 1、作出下列三角形三角的角平分线： A C B A C B A C B A C B A C B A C B
2、AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，则∠BAD=∠ = 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条角平分线相交于 点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ； （4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（5）交点我们叫做 三角形的内心。 练习三：如图，已知∠1=2 1∠BAC ，∠2 =∠3，则∠BAC 的平分线为 ，∠ABC 的平分线为 . 总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。 三、综合练习 1．三角形的角平分线是（ ）． A ．直线 B ．射线 C ．线段 D ．以上都不对 2．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；?②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，AF 是△ABC 的中线，写出图中所有相等 的角和相等的线段。 4在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 把三角形的周长 分为12cm 和15cm 两部分，求三角形各边的长 A C B D E F
角平分线练习 一、选择题 1.已知：如图2，△ABC 中，AB = AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（??? ） A. 10°??????? B. 20° C. 30°??????? D. 40° 3.三角形中，到三边距离相等的点是（??? ） A.三条高线交点 B.三条中线交点 C.三条角平分线的交点 D.三边的垂直平分线的交点 4.已知P 点在∠AOB 的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm ，那么P 点到边OA 、OB 的距离分别是（??? ） A. 5cm 、 cm?????? B. 4cm 、5cm C. 5cm 、5cm????????? D. 5cm 、10cm 5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（? ??） A.直角三角形的两个锐角互余 B.等腰三角形的两个底角相等 C.全等三角形的对应角相等 D.相等的两个角是对顶角 6.已知：如图3，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB = 10cm ，BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于（??? ）cm A. 2、2、2? B.3、3、3 C. 4、4、4??? D. 2、3、5 7．如图1所示，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA ＝PB ，则∠1与∠2的大小是（ ） A.∠1＝∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定 8．△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝ 12cm ，则△DBE 的周长为（） A 、12cm B 、10cm C 、14cm D 、11cm 9．如图2所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（） A.PM ＞PN B.PM ＝PN C.PM ＜PN D.无法确定 10．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A 图
角平分线的性质定理和判定 第一部分：知识点回顾 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上 第二部分：例题剖析 例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于点E，AB=15cm， （1）求证：BD+DE=AC． （2）求△DBE的周长． 例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少
第三部分：典型例题 例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交 于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC． 【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180o 例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD请你证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系请说明理由． 2 1 N P F C B A
（3）CD、AB、AD间直接写出结果 【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上． 例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积． 【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
角平分线的性质知识点小结 及练习题 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
角的平分线的性质及其练习题 1、尺规作图画角平分线 （1）、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。 （2）、分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。（3）、画射线OC。射线OC即为所求。 2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 图形表示：若CD平分∠ADB,点P是CD上一点PE⊥AD于点E，PF⊥ BD于点F，则PE=PF。 3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。 图形表示：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE=PF，则PD平分∠ ADB 4、证明命题的步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 角平分线的性质（1） 一、选择题 1．用尺规作已知角的平分线的理论依据是（） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
B A O E P D B D C A （第3题） （第2题） 2．如图，OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A ．PD ＝PE B ．OD ＝OE C ．∠DPO ＝∠EPO D ．PD ＝OD 二、填空题 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点 D 到AB 的距离为______㎝． 三、解答题 4．已知：如图，AM 是∠BAC 的平分线，O 是AM 上一点，过点O 分别作AB ，AC 的垂线，垂 足为F ，D ，且分别交AC 、AB 于点G ，E ． 求证：OE=OG ． 5．如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BD=CD ．求证：BE=CF ． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，AD =BD ． （1）求证：AC =BE ；（2）求∠B 的度数。 角平分线的性质 （2） 一、选择题 1．三角形中到三边距离相等的点是（ ） A ．三条边的垂直平分线的交点 B ．三条高的交点 M A C B E O F D G D A C E B F A C D （第6题）