波动学基础
前言：许多振动系统都不是孤立存在的，它们的周围常有其它物质。当某个系统振动时，它将带动周围同它有一定联系的物体随之一起振动，于是该物体的振动就被周围的物质传播开来，形成波动过程。即：波动是振动的传播过程。
波可分为两大类：机械波、电磁波。这两类波虽本质不同，但都有波动的共同特征：具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播，且都能产生反射、折射、干涉等现象
一、机械波的产生与传播
1、产生机械波的条件
（1）、波源——是一个在一定条件下的振动系统，是波动能量的供给者。
（2）、弹性媒质——是一种用弹性力相互联系着的质点系，它是形成机械波、传播机械波所不可缺少的客观物质。
2、波动的形成过程
首先有一振动系统——波源，在它周围有彼此以弹性力相联系的弹性媒质。波动形成时有三个要点：
A、波动的传播是由近及远的（相对于波源而言），即有先后次序。
B、传播的是振动状态或周相，质点本身不向前运动。
C、波动在传播时，具有空间周期性和时间周期性
3、机械波与机械振动的关系
波动是振动的传播过程，而振动是产生波动的根源，这是两者的联系。
振动研究的是振动质点离开平衡位置的位移是如何随时间作周期性变化的，即y =f (t)；波动研究的是弹性媒质中不同位置彼此以弹性力相联系的质点群，它们的位移（相对自己的平衡位置）随时间作周期性变化的情况，即y =f (,t)。对平面谐波而言，讨论的是波线上各质点的运动情况，故有y =f (x,t),这是两者的区别。
4、机械波的类型与波速
波动按其振动方式的不同，可分为两大类：
横波——波的传播方向与质点振动方向垂直。其图象的外形特征是有突起的波峰和凹下的波谷。各质点的振动情况形成一个具有波峰和波谷的正弦或余弦波形。
纵波——波的传播方向与质点振动方向相同。其外形特征是具有稀疏和稠密的区域，即各质点的振动形成一个具有密集和稀疏相间的完整波。若将纵波中各质点的位移逆时针转过90度，讨论情况就与纵波一致了。
横波主要在固体中传播，因为固体能承受切向力；纵波可在固、液、气体中传播，固、液、气体均能承受压力、拉力。
（1） 固体中的波速
ρG
u h =
，G 为切变弹性模量
ρY
u z =
,Y 为扬氏弹性模量
（2） 液体中的波速
ρB
u z =
，B 为容变弹性模量
（3） 气体中的波速
μγRT
u q =
，μ为气体摩尔质量
由此而知，波速只与媒质的性质有关。 5、波的几何描述
由于波动是振动的传播过程，这个“过程”的实现是需要时间和占据空间的。因此我们可以在某一时刻，在空间的某一位置处来考察波动。即从几何的角度来描述波。
认定波源在某一时刻t 的振动位相（即波源在该时刻的状态），考察这一振动位相在媒质中是如何向各个方向传播的。在t+t ?时刻，这一振动位相正传达到波源周围的一些点上，由这些点所连成的面称波阵面。即同一波阵面上各点的周相是相同的。波阵面是在某一时刻振动所传播到各点的轨迹。
波阵面的形状视波源具体情况来定，如：太阳发出的光波，就整个太阳系来看，太阳可看作是点波源，太阳光传播时的波阵面是一系列球面，简称球面波。但在地球表面上（就整个太阳系来说，这是个很小的区域）来看，波阵面则是一系列平面，简称平面波。最前面的波阵面也称波前。
沿波的传播方向的直线，称为波线。波线即是波的传播方向。在点波源情况下，波线是垂直于球面沿径向向外的一系列直线；对平面波来说，波线是垂直于波阵面的一系列平行直线。
随着t 逐渐增加，于每一时刻相应的波阵面也在媒质中向前推进，这就是以波阵面的推进来阐述波
的传播面貌。
二、 定量描述波动的几个物理量及其关系
1、
波长λ——波动具有空间周期性和时间周期性，波长λ是描述空间周期性的物理量，可从
不同角度来定义。如：波长是一个完整波的长度，即同一波线上两相邻的周相差为π2的质点之间的距离。
速度t y ??，u 与媒质的性质有关；t y
??由波源的性质而定。
3、
周期T ——周期是反映波动时间周期性的物理量，它是波传过一个波长的时间，一般情况下，就是质点完成一次全振动的时间。
νλ
λ
==
T
u
在讨论弹性波传播时，曾假设媒质是连续的。因为当λ远大于媒质分子之间的距离时，媒质中一波长的距离内，有无数个分子在陆续振动，宏观上看来，媒质就象是连续的。若λ小到等于或小于分子间距离的数量级时，相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它分子，我们就不能认为媒质是连续的了。这时媒质再也不能传播弹性波了。ν极高时，λ极小，因此，弹性波在给定媒质中的传播存在着一个频率上限。如在真空中分子间距大，就不能传播声波。
三、 平面谐波的波动方程
在波动过程中，媒质中各质点的位移都在随时间作周期性变化。一般的说，媒质中各个质点的振动情况是很复杂的，由此产生的波动也是很复杂的。当波源作简谐振动时，媒质中各质点也作简谐振动，其频率与波源的频率相同，振幅也与波源有关，这时的波动称简谐波或余弦波。平面谐波就是波阵面是平面的简谐波。
为了用数学函数式来描述媒质中各质点的位移是怎样随各质点的平衡位置和时间变化的，需寻找一
个数学表示式来描述一个前进中的波——行波。这样的数学函数式，称为行波的波动方程。
设有一平面余弦行波，在无吸收的、均匀无限大的媒质中沿x 轴正向传播，波速为u ，取任一波线
作为x
的原点。
为了清楚地描述波线上各点的振动，我们用x 表示各个质点在波线上的平衡位置，用y 表示它们的振动位移。值得注意的是，每个质点的振动位移y 是对它自己的平衡位置而言。
假定在o 处（x=0），媒质质点的振动方程cos(0A y =)φω+t ，0y 是O 点处质点在时刻t 离开平衡位置的位移。B 为波线上任一点，因为振动是从O 点传播到B 点的，所以B 点处的质点振动将落后于
O 点处的质点，落后的时间为
u x t B
=
，这也是振动状态从O 点传到B 点所需要的时间，即：B 点处质点在t 时刻的位移等于O 点处质点在
)
(u x t B
-
时刻的位移。
故B 点处质点的振动方程为
)
(c o s [u x t A y B
-
=ω+]φ。由B 点的任意性知，
]
)(cos[φω+-=u x
t A y （1） 也为在波线上任一点处的质点在任一瞬时的位移。若把y,t,x 均看作变量，
上式就是沿x 轴方向前进的平面谐波的波动方程。
对波动方程的讨论：
（1） 由
λπω==
uT T ,2，])(cos[φω+-=u x
t A y 也可写成
])(
2cos[φλπ+-=x T t A y 或])(2cos[φλπ
+-=ut x A y
（2） 若波沿x 反向传播，则波动方程应写为]
)(cos[φω++=t x
t A y
（3） 将波动方程两边对t 求导，得x 处质点在任意时刻t 的振动速度，所以，知道振动方程就可以确定波线上任一x 处的质点在t 时刻的振动状态。
（4） 波动方程的物理意义
波动方程中有两个自变量（x,t ），当x=constant ，即考虑波线上某一给定点处的质点，波动方程变为y=y(t),此时波动方程表示距原点为x 处的质点在不同时刻的位移，即表示这个质点作谐振动的情形。
左图体现了波动的时间周期性
当t=constant,即在某给定时刻统观波线上所有质点，此时各质点的位移是不同的。波动方程变为y=y(x),相当于某一时刻给各质点拍照，波动方程表示在给定时刻波线上各个x 处质点的位移。
右图体现了波动的空间周期性
若x,t 都在变化，波动方程就表示波线上各个不同的质点在不同时刻的位移或波动方程中包括了不同时刻的波形，亦即反映了波形的传播。 （5） 写波动方程的步骤：
《1》 选择任一波线为讨论的x 轴，在x 轴上任找一点为坐标原点。 《2》 写出t=0时原点的振动方程。
《3》 根据的方向，写出波动方程。（与x 同向，为
u x t -
;与x 反向，为u x
t +
）
《4》 如要求波线上任一点的振动方程，只需将该点的x 值代入波动方程即可。
（6） 对（1）式这样的波动方程，一般假定波源在歪曲远处，如波源在x=-10米处，（1）式只适用于10-≥x 米的区域；如波源在x=0处，（1）式只适用于0≥x 的区域。
例题1：一平面谐波在介质中以速度u =20m/s 自左向右传播，已知传播路径上的某点A 的振动方程为
)4cos(3ππ-=t y （SI ）,另一点D 在A 点右方9米处,求：
（1） 若取x 轴方向向左，并以A 为坐标原点,试写出波动方程，并求D 点的振动方程。
（2） 若取x 轴方向向右，以A 点左方5米处的O 点为x 轴原点，再写出波动方程，并求D 点的振动
方程。
解（！）：以A 为坐标原点的波动方程为]
)(4cos[3ππ-+=u x
t y ，将x=-9代入波动方程。即得D
点的振动方程
])209(4cos[3ππ--
=t y D =3cos(
5144π
π-t ). (2)以A 点为坐标原点的波动方程为]
)(4cos[3ππ-+=u x
t y ，将x=5代入波动方程得o 点的振动
方程：
t t y πππ4cos 3])205(4cos[30=-+
=以o 点为坐标原点的波动方程为：
)20(4cos 3x
t y -=π 四、 波动能量
当弹性波传播到媒质中的某处时，该处原来不动的质点开始振动，因而具有动能，（能量的供给者是波源）同时该处的媒质也将产生形变，因而也具有势能。可证明：如在媒质中取一质量元m ?，当波动传到它时，它所具有的动能和势能为：
)(sin 21222u x t mA E E p k -?=
=ωω （2）
媒质体积元总机械能为：
)
(sin 222u x t mA E E E p k -?=+=ωω (3) 讨论：1、（2）式表明行波传播过程中，体积元的k E 与p E 是同相的，而且是相等的。k E 与p E 同时达到最大值和最小值。这一点与质点振动情况完全不一样，在振动系统中，k E 与p E 互相转换，系统的机械能守恒。
2、（3）式表明，当x=constant时，体积元的总机械能上随t作周期性变化的，在0（πk2）
和最大值（
π
2
1
2+
k
）之间周期地变化着。对某一给定时刻(t=constant)，各体积元的总能量又是随x作周
期性变化的。这一点体现了波动具有时间周期性和空间周期性。
3、由上述情况知，波动传播时，媒质由近及远地一层接着一层地振动，能量是逐层传播出去的。这是波动的一个重要特征。媒质中任一质元都在不断地接受和放出能量，即先吞后吐。这就是波动传播能量的机构。这也是波动与振动的区别：波动传播能量，质元机械能不守恒，振动系统不传播能量，机械能守恒。
4、媒质中单位体积的波动能量称为波的能量密度
)
(
sin
2
1
2
2
2
u
x
t
A-
=ω
ω
ρ
ω
，波的能量是随
t而变化的，通常取其在一个周期内的平均值
2
2
2
1
ω
ρ
ωA
=
，因为正弦的平方在一个周期内的平均值为
1/2。
五、波的衍射
波在各向同性媒质中传播时，波前和波阵面的形状不变，波线也为直线。可是当波在传播过程中遇到障碍物时或当波从一种媒质传播到另一种媒质时，波阵面的形状将发生改变，波的传播方向也将发生改变。惠更斯对上述情况提供了令人满意的解释。
1、惠更斯原理
在观察水面波的传播时可以看到：只要没遇到障碍，波前的形状在传播过程中大体不变，但是若用一块带有小孔的隔板挡在波的前面，将会看到，不论原来的波前是什么形状，只要小孔的宽度小于波长，通过小孔的波前都变成以小孔为中心的球面形，就好象这小孔是个点波源一样。从这类的实验事实中，惠更斯总结出以下结论：媒质中，波动传到的各点，都可看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新的波阵面。
惠更斯原理对任何波动过程都是适用的，无论波动经过的媒质是均匀的还是非均匀的，只要知道某一时刻的波阵面可用几何的方法决定次一时刻的波阵面。
2、 波的衍射现象
当波遇到障碍物时，将会绕过障碍物而改变其传播方向。这种现象叫波的衍射（或绕射）。
例：波阵面为直线的水面波前进时，遇到平行于波阵面的障碍物AB ，AB 上有一缝，宽度为d （1） 当d>>λ时，波动经过缝后，波阵面的宽度几乎与缝的宽度相等，波阵面的两端几乎
没有边缘弯曲部分，仍为直线。
（2） 当d 稍大于λ，波动经缝后除与缝的宽度相等部分的波阵面仍为直线外，两端有弯曲形
的波阵面，这意味着水面波能够绕过缝的边缘前进。
（3） 当d <λ时，经过缝后的波阵面是圆形的，缝越小，λ越长，则衍射现象越明显。
六、波的干涉
当我们听乐队演奏时，能大致辨别出每种乐器发出的声音，这是因为每种乐器发出的声波，并不受其它乐器发出的声波的影响，即每个波都独立地保持自己原有的特性（νλ及振动方向），就象在各自的路程中并没有遇到其它波一样，这叫做波的独立传播原理。如两个探照灯射出的光波交叉后，仍能按原来的方向传播，彼此互不影响。也是有同样道理。
因此，当几个波在媒质中的某点相遇时，该点的振动位移必然是各个波单独存在时在该点引起的振动位移的矢量和。这如同一个质点参与几个运动其质点的位移必是各分运动位移之和一样，这叫做波的迭加原理。他实际上是运动的迭加原理的一个特例。波的独立传播必然导致波的迭加，上述两个原理是同一问题的两方面。
ν,A 周相等都不相同的几个波在某点迭加时，情形是很复杂的。由两个频率相同、振动方向相同、
周相相同或周相差恒定的波的迭加是一种最简单、最基本、最重要的情形。当它们在空间相遇时，在空间某些点处，振动始终加强（21A A A +=）,而在另一些点处，振动始终减弱或完全抵消。这就是干涉现
象。产生干涉现象的波称为相干波。
设21,S S 为两个相干波源，其振动方程分别为)cos(,cos(222)111φωφω+=+=t A y t A y ，ω无下
标表示同频率，y 意味振动方向相同，周相差）（12φφ-=C,所以，满足相干条件。
P 相遇时，
P 处质点的振动方程y=])/(cos[])/(cos[22211121φωφω+-++-=+u r t A u r t A y y p p ,其振幅
)
2cos(21
212212
221λ
π
φφr r A A A A A ---++=
(4);
)
2cos()2cos()
2sin()2sin(2
221112
221
11λπφλπφλπφλπφφr A r A r A r A tg -+--
+-
=
(5) 由于两相干波在空间任一点引起的两振动的周相差
λ
πφφφ)
21212r r --
-=?（是定值，只是因不
同点处的12r r -的值不一样，所以各点处的A 的大小不一样。
1、 对干涉的讨论
有两种特例：（1）当),3,2,1(,2 =±=?k k πφ
21A A A += ，满足这一条件的空间各点的合振幅最大。如声波，表现为声音最响。
（2）当)3,2,1(,)12 =+±
=?k k πφ（ 21A A A -= ，满足这一条件的空间各点的合振幅最小。如声波，表现为声音最弱。
2、 若2,1S S 两波源的初相φ相等，即21φφ=，也就是同周相波源，上述条件可简化为：
=
-=
?λ
πφ)
212r r （πk 2± ，即λδk r r ±=-=2 ，合成振幅最强。
=
-=
?λ
πφ)
212r r （π)12+±k （， 即
2)
12(12π
δ+±=-=k r r ，合成振幅最弱。K 的取值同上。
δ称为波程差，对于光波，它不是光程差。
3、 驻波
驻波是一种干涉现象，反射波和入射波为两个相干波是两振幅相同的相干波。它们在同一直线上，沿相反方向传播，迭加后成为驻波的。
设有振幅相同的两相干波，相反方向而行，设在t=0时，两波相重合。
当t=0时，y=21y y
+,这时，各点的位移最大。经过1/4周期，即t=T/4,两波分别在其本身传播的方
向上向右或向左移动
4λ
，这时，各点的位移为0。再过1/4
周期，即t=T/2,两波又相互重合，此时各点的
位移又最大，只是位移的方向与t=0时相反。依此类推，得t=3T/4
及t=T
时的波形，见图。
由图知，由上述两波迭加成的波，使直线上某些点始终静止不动，另一些点的振幅具有最大值，等
于每个波的振幅的两倍。其他各点的振幅在0与最大值之间。结果使直线上各点作分段振动。
对驻波的讨论：
（1） 在每一分段中，各点的周相完全相同，只是振幅不一样。而两相邻分段的周相相反。
（2） 在分段振动中，各个分段各自独立地振动，没有什么“跑动”的波形，也没有什么能量传播，故称为驻波。
（3） 始终静止不动的各点，称为波节；振幅有最大值的各点叫波腹。驻波是由波腹和波节相间组成的波。且两相邻波腹和波节间的距离是半个波长
（4） 波线上各点处的振幅随位置而作余弦式变化。
现用平面谐波的波动方程讨论驻波：设向左、右进行的波在原点的周相相同，它们的波动方程可分别写成：
)(2cos )(
2cos 21λπλπx T t A y x T t A y -=+=两波合成后，有：t
x A t T x A y y y ωπ
λπcos )(2cos )2cos 2(21==+=(6)（和差化积公式为
2
cos
2
cos
2cos cos β
αβ
αβα-+=+）
对（6）式的讨论：
（1）当x 值给定时，即考察平衡位置位于坐标x 处的质点，由后一时间因子知，这质点是作谐振动。统观波线上所有质点，它们都在作同周期的谐振动，但随与原点的距离x 的不同，各点有不同的振
幅x
A x A λ
π
2cos
2)(=。当2)
12(2π
λ
π+=k x
时，即
4)12(λ
+=
k x ，其中 ,2,1=k 。A(x)=0,这些点是
波节。
当π
λ
πk x
=2时，即
,
2λ
k x =
k 取值同上，A(x)=2A,这些点是波腹。
（2） 质点振动的周相决定于
x
A λ
π
2cos
2的正负，凡是使
x
A λ
π
2cos
2为正的各x 处的周相都相同，
凡是使
x
A λ
π
2cos
2为负的各x 处的周相也都相同。
例题1：两相干波源21,S S 相距为5米，其振幅相等，频率都是100HZ,位相差为π，发射波在媒质中的传播速度为400米/秒，试以21,S S 连线为坐标轴，以连线中点为原点，求21,S S 间因干涉而静止的各点的坐标。
解：
π
λ
π
πλ
π
πφ)12(4)]5.2(5.2[2+=+
=+---
=?k x x x ，得
2λ
k x =
，当k 取 2,1,0±±，即得
λλ
±±
=,2
,0x ,将4==T νλ代入有x=0,4,2±±。
波动光学习题解答 1-1 在氏实验装置中，两孔间的距离等于通过光孔的光波长的100倍，接收屏与 双孔屏相距50cm 。求第1 级和第3级亮纹在屏上的位置以及它们之间的距离。 解： 设两孔间距为d ，小孔至屏幕的距离为D ，光波波长为λ，则有=100d λ. (1)第1级和第3级亮条纹在屏上的位置分别为 -5150==510m 100D x d λ=?? -42503==1.510m 100 D x d λ=?? (2)两干涉条纹的间距为 -42=1.010m D x d λ?=?? 1-2 在氏双缝干涉实验中，用0 6328A =λ的氦氖激光束垂直照射两小孔，两小孔的间距为1.14mm ，小孔至屏幕的垂直距离为1.5m 。求在下列两种情况下屏幕上干涉条纹的间距。 （1）整个装置放在空气中； （2）整个装置放在n=1.33的水中。 解： 设两孔间距为d ，小孔至屏幕的距离为D ，装置所处介质的折射率为n ，则两小孔出射的光到屏幕的光程差为 21()x n r r nd D δ=-= 所以相邻干涉条纹的间距为 D x d n λ?=? （1）在空气中时，n ＝1。于是条纹间距为 943 1.5 632.8108.3210(m)1.1410 D x d λ---?==??=?? （2）在水中时，n ＝1.33。条纹间距为 9 43 1.563 2.810 6.2610(m)1.1410 1.33 D x d n λ---???=?==??? 1-3 如图所示，1S 、2S 是两个相干光源，它们到P 点的距离分别为1r 和2r 。路径1S P 垂直穿过一块厚度
为1t 、折射率为1n 的介质板，路径2S P 垂直穿过厚度为2t ，折射率为2n 的另一块介质板，其余部分可看做真空。这两条路径的光程差是多少？ 解：光程差为 222111[r (n 1)t ][r (n 1)t ]+--+- 1-4 如图所示为一种利用干涉现象测定气体折射率的原理性结构，在1S 孔后面放 置一长度为l 的透明容器，当待测气体注入容器而将空气排出的过程中幕上的干涉条纹就会移动。由移过条纹的根数即可推知气体的折射率。 （1）设待测气体的折射率大于空气折射率，干涉条纹如何移动？ （2）设 2.0l cm =，条纹移过20根，光波长为 589.3nm ，空气折射率为1.000276，求待测气体（氯气）的折射率。 1-5 用波长为500 nm 的单色光垂直照射到由两块光学平玻璃构成的空气劈尖上。在观察反射光的干涉现象中，距劈尖棱边1=1.56 cm 的A 处是从棱边算起的第四条暗条纹中心。 （1）求此空气劈尖的劈尖角θ； （2）改用600 nm 的单色光垂直照射到此劈尖上，仍观察反射光的干涉条纹，A 处是明条纹还是暗条纹？ （3）在第（2）问的情形从棱边到A 处的围共有几条明纹，几条暗纹？
大学物理公式汇总 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
目录 1. 质点的运动及其规律 (4) 1.1 质点运动的描述 (4) 1.2 圆周运动 (4) 1.4 牛顿定律 (4) 1.4.1 牛顿三定律 (4) 1.4.2 几种常见的力 (5) 2. 动量守恒定律和能量守恒定律 (5) 2.1 质点和质点系的动量定理动量守恒定律 (5) 2.2 动能定理保守力与非保守力能量守恒定律 (5) 3. 刚体与流体 (6) 3.1 刚体的定轴转动 (6) 3.1.2 刚体绕定轴转动的角速度和角加速度 (6) 3.1.3 力矩转动定律转动惯量 (6) 3.2 刚体定轴转动的角动量角动量定理角动量守恒定律 (7) 4. 机械振动与机械波 (7) 4.1 简谐运动旋转矢量简谐运动的能量 (7) 4.1.1 简谐运动 (7) 4.1.2 旋转矢量 (8) 4.1.3 弹簧振子的能量 (8) 4.2两个同向同频率简谐运动的合成 (8) 4.4 机械波 (9) 4.4.1 机械波的形成波长周期和波速 (9) 4.4.2 平面简谐波的波函数 (9) 4.5 惠更斯原理波的衍射和干涉 (9) 4.5.2 波的干涉 (9) 5. 气体动理论和热力学 (10) 5.1 平衡态理想气体物态方程热力学第零定律 (10) 5.1.1 气体的物态参量 (10) 5.1.3 理想气体物态方程 (10) 5.2 气体分子热运动及其统计规律 (10) 5.2.2 气体分子速率分布律 (10) 5.3 理想气体的压强公式平均平动动能与温度的关系 (11) 5.4 能量均分定理理性气体的内能 (11) 5.5 准静态过程热力学第一定律 (11) 5.6 理想气体的等值过程和绝热过程 (11) 5.6.1等体过程 (11) 5.6.2等压过程 (12) 5.6.3等温过程 (12) 5.6.4绝热过程 (12) 5.7 循环过程热力学第二定律 (12) 5.7.2 热机和制冷机 (12) 5.7.3 卡诺循环 (13)
一、选择题(每题4分，共20分) 1．如图所示，波长为λ的平行单色光垂直入射在折射率为2n 的薄膜上，经上下两个表面反射的两束光发生干涉。若薄膜厚度为e ，而且321n n n >>，则两束反射光在相遇点的位相差为（B （A ） 22πn e λ ； （B ） 24πn e λ ； （C ） 24πn e πλ -； （D ） 24πn e πλ +。 2．如图示，用波长600λ=nm 的单色光做双缝实验，在屏P 处产生第五级明纹，现将折射率n =1.5的薄透明玻璃片盖在其中一条缝上，此时P （A ）5.0×10-4cm ；（B ）6.0×10-4cm ； （C ）7.0×10-4cm ；（D ）8.0×10-4cm 。 3．在单缝衍射实验中，缝宽a =0.2mm ，透镜焦距f =0.4m ，入射光波长λ=500nm 位置2mm 处是亮纹还是暗纹？从这个位置看上去可以把波阵面分为几个半波带？（ D ） (A) 亮纹，3个半波带； (B) 亮纹，4个半波带；(C) 暗纹，3个半波带； (D) 暗纹，4个半波带。 4．波长为600nm 的单色光垂直入射到光栅常数为2.5×10-3mm 的光栅上，光栅的刻痕与缝宽相等，则光谱上呈现的全部级数为（B ） (A) 0、1±、2±、3±、4±； (B) 0、1±、3±；(C) 1±、3±； (D) 0、2±、4±。 5． 自然光以60°的入射角照射到某一透明介质表面时，反射光为线偏振光，则（ B ） (A) 折射光为线偏振光，折射角为30°； (B) 折射光为部分偏振光，折射角为30°； (C) 折射光为线偏振光，折射角不能确定； (D) 折射光为部分偏振光，折射角不能确定。 二、填空题(每小题4分，共20分) 6．波长为λ的单色光垂直照射在空气劈尖上，劈尖的折射率为n ，劈尖角为θ，则第k 级明纹和第3k +级明纹的间距l = 32s i n λn θ 。 7．用550λ=nm 的单色光垂直照射牛顿环装置时，第4级暗纹对应的空气膜厚度为 1.1 μm 。 8．在单缝夫琅和费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小。若1600nm λ=为入射光，中央明纹宽度为 3m m ；若以2400nm λ=为入射光，则中央明纹宽度为 2 mm 。 9．设白天人的眼瞳直径为3mm ，入射光波长为550nm ，窗纱上两根细丝之间的距离为3mm ，人眼睛可以距离 13.4 m 时，恰能分辨。 10.费马原理指出，光总是沿着光程为 极值 的路径传播的。 三、计算题(共60分) 11.（10分）在杨氏双缝实验中，双缝间距d =0.20mm ，缝屏间距D ＝1.0m ，试求：(1)若第二级明条纹离屏中心的距离为6.0mm ，计算此单色光的波长；(2)相邻两明条纹间的距离． 解：(1)由λk d D x = 明知，23 0.26002110 x nm λ= =??， 3 n e
大学物理波动学公式集波动学 1．定义和概念 简谐波方程：x处t时刻相位 振幅 简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ) 波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′) 相位Φ——决定振动状态的量 振幅A——振动量最大值决定于初态ｘ0=Acosφ 初相φ——ｘ=0处ｔ=0时相位（x0,V0）V0= –Aωsinφ 频率ν——每秒振动的次数 圆频率ω=2πν决定于波源如：弹簧振子ω=m k/ 周期T——振动一次的时间单摆ω=l g/ 波速V——波的相位传播速度或能量传播速度。决定于介质如：绳V=μ / T光速V=C/n 空气V=ρ / B 波的干涉：同振动方向、同频率、相位差恒定的波的叠加。 光程：L=ｎｘ（即光走过的几何路程与介质的折射率的乘积。 相位突变：波从波疏媒质进入波密媒质时有相位π的突变（折合光程为λ/2）。 拍：频率相近的两个振动的合成振动。 驻波：两列完全相同仅方向相反的波的合成波。 多普勒效应：因波源与观察者相对运动产生的频率改变的现象。 衍射：光偏离直线传播的现象。 自然光：一般光源发出的光 偏振光（亦称线偏振光或称平面偏振光）：只有一个方向振动成份的光。 部分偏振光：各振动方向概率不等的光。可看成相互垂直两振幅不同的光的合成。 方法、定律和定理 x 旋转矢量法：
如图，任意一个简谐振动ξ=Acos(ωt+φ)可看成初始角位置为φ以ω逆时针旋转的矢量A ?在ｘ方向的投影。 相干光合成振幅： A= φ?++cos 2212221A A A A 其中：Δφ=φ1-φ2–λπ2（r 2–r 1当φ1-φ2=0时，光程差δ=（r 2–r 1） 惠更斯原理：波面子波的包络面为新波前。（用来判断波的传播方向） I **布儒斯特定律： 当入射光以I p 入射角入射时则反射光为垂直入射面振动的完全偏振光。I p 称布儒斯特角，其满足： tg i p = n 2/n 1 公式 振动能量：E k =mV 2/2=E k (t) E= E k +E p =kA 2/2 E p =kx 2/2= (t) *波动能量：2221 A ρωω= I=V A V 222 1 ρωω=∝A 2 *驻波： 波节间距ｄ=λ/2 基波波长λ0=2L 基频：ν0=V/λ0=Ｖ/2Ｌ； 谐频：ν=ｎν0 *多普勒效应： 机械波ννs R V V V V -+='（V R ——观察者速度；V s ——波源速度）
大学物理上公式集 概念（定义和相关公式） 1． 位置矢量：r ，其在直角坐标系中： k z j y i x r ++=；2 2 2 z y x r ++=角位置：θ 2． 速度：dt r d V =平均速度：t r V ??= 速率：dt ds V =（τ V V =）角速度：dt d θω= 角速度与速度的关系：V=ｒω 3． 加速度：dt V d a =或22dt r d a = 平均加速度：t V a ??= 角加速度：dt d ωβ= 在自然坐标系中n a a a n +=ττ其中dt dV a =τ （= ｒβ），r V n a 2=（=r 2 ω） 4． 力：F =ｍa （或F =dt p d ） 力矩：F r M ?=（大小：M=rFcos θ方向：右手螺旋法则） 5． 动量：V m p =，角动量：V m r L ?=（大小：L=rmvcos θ方向：右手螺旋法则） 6． 冲量：?=dt F I （=F Δｔ）；功：? ?= r d F A （气 体对外做功：A=∫PdV ）
7． 动能：mV 2/2 8． 势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用力势能形式不同且零点选择不 同其形式不同，在 默认势能零点的情况下： 机械能：E=E K +E P 9． 热量：CRT M Q μ = 其中：摩尔热容量C 与过程有关，等容热容 量C v 与等压热容量C p 之间的关系为：C p = C v +R 10． 压强： ω n tS I S F P 3 2 =?== 11． 分子平均平动能：kT 2 3=ω；理想气体能：RT s r t M E )2(2 ++=μ 12． 麦克斯韦速率分布函数：NdV dN V f =)(（意义：在V 附近单位速度间隔的分子数所占比率） mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2/2 F= r r Mm G ?2- (万有引力) →r Mm G - =E p r r Qq ?420 πε(静电力) →r Qq 0 4πε
波动学基础 前言：许多振动系统都不是孤立存在的，它们的周围常有其它物质。当某个系统振动时，它将带动周围同它有一定联系的物体随之一起振动，于是该物体的振动就被周围的物质传播开来，形成波动过程。即：波动是振动的传播过程。 波可分为两大类：机械波、电磁波。这两类波虽本质不同，但都有波动的共同特征：具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播，且都能产生反射、折射、干涉等现象 一、机械波的产生与传播 1、产生机械波的条件 （1）、波源——是一个在一定条件下的振动系统，是波动能量的供给者。 （2）、弹性媒质——是一种用弹性力相互联系着的质点系，它是形成机械波、传播机械波所不可缺少的客观物质。 2、波动的形成过程 首先有一振动系统——波源，在它周围有彼此以弹性力相联系的弹性媒质。波动形成时有三个要点： A、波动的传播是由近及远的（相对于波源而言），即有先后次序。 B、传播的是振动状态或周相，质点本身不向前运动。 C、波动在传播时，具有空间周期性和时间周期性 3、机械波与机械振动的关系 波动是振动的传播过程，而振动是产生波动的根源，这是两者的联系。 振动研究的是振动质点离开平衡位置的位移是如何随时间作周期性变化的，即y =f (t)；波动研究的是弹性媒质中不同位置彼此以弹性力相联系的质点群，它们的位移（相对自己的平衡位置）随时间作周期性变化的情况，即y =f (,t)。对平面谐波而言，讨论的是波线上各质点的运动情况，故有y =f (x,t),这是两者的区别。 4、机械波的类型与波速 波动按其振动方式的不同，可分为两大类： 横波——波的传播方向与质点振动方向垂直。其图象的外形特征是有突起的波峰和凹下的波谷。各质点的振动情况形成一个具有波峰和波谷的正弦或余弦波形。 纵波——波的传播方向与质点振动方向相同。其外形特征是具有稀疏和稠密的区域，即各质点的振动形成一个具有密集和稀疏相间的完整波。若将纵波中各质点的位移逆时针转过90度，讨论情况就与纵波一致了。
大学物理波动学公式 集
大学物理波动学公式集 波动学 1． 定义和概念 简谐波方程： x 处t 时刻相位 振幅 ξ=Acos(ωt+φ-2π x/λ ) 简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ) =Acos(2πx/λ+φ′) 相位Φ——决定振动状态的量 振幅A ——振动量最大值 决定于初态 ｘ0=Acos φ 初相φ——ｘ=0处ｔ=0时相位 （x 0,V 0） V 0= –A ωsin φ 频率ν——每秒振动的次数 圆频率ω=2πν 决定于波源如： 弹簧振子ω= m k / 周期T ——振动一次的时间 单摆ω=l g / 波速V ——波的相位传播速度或能量传播速度。决定于介质如： 绳V= μ/T 光速V=C/n 空气V=ρ /B 波的干涉：同振动方向、同频率、相位差恒定的波的叠加。 光程：L=ｎｘ（即光走过的几何路程与介质的折射率的乘积。 相位突变：波从波疏媒质进入波密媒质时有相位π的突变（折合光程为λ/2）。 拍：频率相近的两个振动的合成振动。
驻波：两列完全相同仅方向相反的波的合成波。 多普勒效应：因波源与观察者相对运动产生的频率改变的现象。 衍射：光偏离直线传播的现象。 自然光：一般光源发出的光 偏振光（亦称线偏振光或称平面偏振光）：只有一个方向振动成份的光。 部分偏振光：各振动方向概率不等的光。可看成相互垂直两振幅不同的光的合成。 2． 方法、定律和定理 ① 旋转矢量法： 如图，任意一个简谐振动ξ=Acos(ωt+φ)可看成初始角位置为φ以ω逆时针旋转的矢量A 在ｘ方向的投影。 相干光合成振幅： A= φ?++cos 2212221A A A A 其中：Δφ=φ1-φ2–λπ2（r 2–r 1当φ1-φ2=0时，光程差δ=（r 2–r 1 ② 惠更斯原理：波面子波的包络面为新波前。（用来判断波的传播方向） ③ 菲涅尔原理：波面子波相干叠加确定其后任一点的振动。 ④ *马吕斯定律：I 2=I 1cos 2θ ⑤ *布儒斯特定律：
《大学物理学C 》课程基本内容 第一章 质点的运动 1．直角坐标系、极坐标系、自然坐标系 ※2．质点运动的描述：位置矢量r 、位移矢量r ?=)()(t r t t r -?+、运动方程)(t r r =。 在直角坐标系中，k t z j t y i t x t r )()()()(++= 速度：t r v d d =； 加速度：22d d d d t r t v a == 在直角坐标系中，速度k v j v i v v z y x ++=，加速度k a j a i a a z y x ++= 自然坐标系中，速度 τ v v =＝τ t s d d ，加速度t n a a a +==n r v t v 2d d +τ 在极坐标系中，角量的描述：角速度t d d θ ω=，角加速度22d d d d t t θωα== 3．运动学的两类基本问题： 第一类问题：已知运动方程求速度、加速度等。此类问题的基本解法是根据各量定义求导数。 第二类问题：已知速度函数（或加速度函数）及初始条件求运动方程。此类问题的基本解法是根据各量之间的关系求积分。例如据t x v d d = ，可写出积分式?x d ＝?t v d .由此求出运动方程)(t x x =。 4．相对运动： 位移：t u r r ?+'?=? ，速度：u v v +'=，加速度：0a a a +'= 第七章 气体动理论 1．对“物质的微观模型”的认识；对“理想气体”的理解。 ※2．理想气体的压强公式23132v n p k ρε== ，其中221 v m k =ε ※理想气体物态方程：RT M m pV = 或 n k T p = 理解压强与微观什么有关，即压强的物理含义是什么。 ※3．理想气体分子的平均平动动能与温度的关系：kT k 2 3 =ε 理解温度与微观什么有关，即温度的物理含义。
大学物理波动学公式集 波动学 1．定义和概念 简谐波方程： x 处t 时刻相位 振幅 ξ ) 简谐振动方程：ξ=Acos( ωt+φ) 波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′) 相位Φ——决定振动状态的量 振幅A ——振动量最大值 决定于初态 ｘ0=Acos φ 初相φ——ｘ=0处ｔ=0时相位 （x 0,V 0） V 0= –A ωsin φ 频率ν——每秒振动的次数 圆频率ω=2πν 决定于波源如： 弹簧振子ω=m k / 周期T ——振动一次的时间 单摆ω=l g / 波速V ——波的相位传播速度或能量传播速度。决定于介质如： 绳V=μ/T 光速V=C/n 空气V=ρ/B 波的干涉：同振动方向、同频率、相位差恒定的波的叠加。 光程：L=ｎｘ（即光走过的几何路程与介质的折射率的乘积。 相位突变：波从波疏媒质进入波密媒质时有相位π的突变（折合光程为λ/2）。 拍：频率相近的两个振动的合成振动。 驻波：两列完全相同仅方向相反的波的合成波。 多普勒效应：因波源与观察者相对运动产生的频率改变的现象。 衍射：光偏离直线传播的现象。 自然光：一般光源发出的光 偏振光（亦称线偏振光或称平面偏振光）：只有一个方向振动成份的光。 部分偏振光：各振动方向概率不等的光。可看成相互垂直两振幅不同的光的合成。 2．方法、定律和定理 ①旋转矢量法： 如图，任意一个简谐振动ξ=Acos(ωt+φ)可看成初始角位置为φ以ω逆时针旋转的矢量A 在ｘ方向的投影。 相干光合成振幅： A=φ?++cos 2212221A A A A
其中：Δφ=φ1-φ 2–λπ 2（r 2–r 1当φ1-φ2=0时，光程差δ=（r 2–r 1 ②惠更斯原理：波面子波的包络面为新波前。（用来判断波的传播方向） ③菲涅尔原理：波面子波相干叠加确定其后任一 点的振动。 ④*马吕斯定律：I 2=I 1cos 2 θ ⑤*布儒斯特定律： 当入射光以I p 入射角入射时则反射光为垂直入射面振动的 完全偏振光。I p 称布儒斯特角，其满足： tg i p = n 2/n 1 3． 公式 振动能量：E k =mV 2/2=E k (t) E= E k +E p =kA 2 /2 E p =kx 2 /2= (t) *波动能量：222 1A ρωω= I=V A V 2 221ρωω=∝A 2 *驻波： 波节间距ｄ=λ/2 基波波长λ0=2L 基频：ν0=V/λ0=Ｖ/2Ｌ； 谐频：ν=ｎν0 *多普勒效应： 机械波ννs R V V V V -+='（V R ——观察者速度；V s ——波源速度） 对光波ν νr r V C V C +-= '其中V r 指光源与观察者相对速度。 杨氏双缝： dsin θ=ｋλ（明纹） θ≈sin θ≈ｙ/Ｄ 条纹间距Δy=D/λd 单缝衍射（夫琅禾费衍射）： ａsin θ=ｋλ（暗纹） θ≈sin θ≈ｙ/ｆ 瑞利判据： θmin =1/R =λ/D （最小分辨角） 光栅： dsin θ=ｋλ（明纹即主极大满足条件） tg θ=ｙ/ｆ ｄ=1/ｎ=L/N （光栅常数）
大学物理上下册常用公式 Prepared on 22 November 2020
大学物理第一学期公式集 概念（定义和相关公式） 1． 位置矢量：r ，其在直角坐标系中：k z j y i x r ++=；222z y x r ++=角位置： θ 2． 速度：dt r d V = 平均速度：t r V ??= 速率：dt ds V = （τ V V =）角速度： dt d θω= 角速度与速度的关系：V=ｒω 3． 加速度：dt V d a = 或2 2dt r d a = 平均加速度：t V a ??= 角加速度：dt d ωβ= 在自然坐标系中n a a a n +=ττ其中dt dV a =τ（=ｒβ），r V n a 2= （=r 2 ω） 4． 力：F =ｍa （或F = dt p d ） 力矩：F r M ?=（大小：M=rFcos θ方向：右手螺旋 法则） 5． 动量：V m p =，角动量：V m r L ?=（大小：L=rmvcos θ方向：右手螺旋法则） 6． 冲量：? = dt F I （=F Δｔ）；功：? ?= r d F A （气体对外做功：A= ∫PdV ） 7． 动能：mV 2/2 8． 势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用 力势能形式不同且零点选择不同其形式不同，在默认势能零点的情况下： 机械能：E=E K +E P 9． 热量：CRT M Q μ = 其中：摩尔热容量C 与过程有关，等容热容量C v 与等压热容 量C p 之间的关系为：C p = C v +R mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2/2 F= r r Mm G ?2- (万有引力) →r Mm G - =E p r r Qq ?42 0πε(静电力) →r Qq 04πε
波动与光学 （感谢老师这学期为我们的付出，敬佩老师的教学态度，经此我们学到了很多东西，真的很感谢） 对于光的认识简史:光是人类和生物生存和发展所必需的，人们对于它的认识却经历了漫长而曲折的过程。最早的人们认为光是由微粒构成的，牛顿就是微粒说的创始人和坚持者，而惠更斯明确的提出了光是一种波，直至19世纪托马斯—-菲涅耳从实验和理论上建立了光的波动理论。但他们的认识持有机械论的观点。19世纪中叶光的电磁理论的建立使人们对于光的认识更近一步，但关于介质的问题仍是矛盾重重，有待解决。终于于19世纪末迈克尔逊实验及爱因斯坦的相对论得出结论：光是一种电磁波，它的传播不需要任何介质。 首先我们从简单的波动与振动讲起，这是光的波动说的理论基石。关于振动的理论描述我们有它的简谐振动函数x=Acos(ωt+φ) A Φω是描述简谐运动的三个特征量，通过微分关系我们可以分别得到速度与加速度的公式。由于简谐运动于匀速圆周运动有许多相似之处，所以在许多方面我们应用参考圆来研究他们的运动。由简谐运动的动力学方程得k=mω2从这里我们可以对简谐运动下一个动力学定义：质点在与平衡位置成正比而反向的合力的作用下的运动叫简谐运动，由此还可以推出T A 的公式，对于简谐振动的能量我们经过一系列的微分与动力学方程推导我们得到机械能=势能与动能之和而他们的平均值各占一半。而实际问题中常会遇到几个简谐运动的合成。我们讨论同意直线相同频率的简谐运动的合成。经过矢量图法我们可以推得A的合成与φ的函数关系公式。 波动。一定扰动的传播称为波动。再此主要研究机械波的一些相关性质的理论。如声波，地震波，水波等。虽然各类波的性质不同但他们在形式上由许多相同的特征规律。我们所讲的简谐波的传播是需要介质的，他的传播形式都要经过介质的传播，这一点是不同于光的。描述波的运动需要波函数，由于简谐波上的任意质元都在做简谐运动因而简谐波是有周期的，一个周期所传播的距离称为波长λ=uT波形曲线可以详细描述波的运动。弹性介质中波是靠质元的弹性力来传播的，可以说弹性越强波的传播就越大，而质元的质量越大就越不容易被带动，这些都有定量的公式来表述的。能量密度ω与与密度振幅频率有一定的函数关系。对于波来说更重要的是它传播能量的本领，可以用波强I来表示I=wu 。实际上波在介质的传播中介质总要吸收一部分能量，这叫做波的吸收。对于波的传播方向的规律惠更斯原理有：介质中任意波面上的各点都可以看做发射子波的波源，其后任意时刻这些子波的包迹就是新的波振面。两列频率以及振幅相同而传播方向相反的简谐波叠加形成新的波，所形成的新的波并不是简谐波。 前面我们对于经典机械波理论有了简单的认识，后来的托马斯杨等人就是建立它的基础上产生了波动学说，就此从波的角度进行进一步的阐述。 众所周知的托马斯杨的双缝干涉实验使光的波动说又向前进了一大步（1）光的波动性的确定： 1801年，托马斯·杨用强烈的单色光照射到开有窄缝的不透光的遮光板上，通过窄缝的光又照射到置与单缝之后的开有两条窄缝的不透光的遮光板上。从双缝通过的两列光波就是同频率的，巧妙地获取了相干光源。从双缝后的光屏上明、暗相间的条纹，终于实现了证明光具有波动性的光的干涉实验。 1804年，菲涅耳用一束光照射到开有小孔的不透光的遮光板上，在遮光板之后的毛玻璃屏上，看见了除中央为亮的亮斑，周围是明、暗相间的圆环。成功地实现了光的衍射。之后，夫琅和费单缝衍射实验又问世。以上光的干涉和衍射现象，从实验的角度有力证明光是
一、选择题：（每题3分） 1、在真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的透明介质中从A 沿某路径传播到B ，若 A 、 B 两点相位差为3π，则此路径AB 的光程为 (A) 1.5 λ． (B) 1.5 λ/ n ． (C) 1.5 n λ． (D) 3 λ． ［ ］ 2、在相同的时间内，一束波长为λ的单色光在空气中和在玻璃中 (A) 传播的路程相等，走过的光程相等． (B) 传播的路程相等，走过的光程不相等． (C) 传播的路程不相等，走过的光程相等． (D) 传播的路程不相等，走过的光程不相等． ［ ］ 3、如图，S 1、S 2是两个相干光源，它们到P 点的距离分 别为r 1和r 2．路径S 1P 垂直穿过一块厚度为t 1，折射率为n 1 的介质板，路径S 2P 垂直穿过厚度为t 2，折射率为n 2的另一 介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的光程差等于 (A) )()(111222t n r t n r +-+ (B) ])1([])1([211222t n r t n r -+--+ (C) )()(111222t n r t n r --- (D) 1122t n t n - ［ ］ 4、真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的均匀透明媒质中，从A 点沿某一路径 传播到B 点，路径的长度为l ．A 、B 两点光振动相位差记为?φ，则 (A) l ＝3 λ / 2，?φ＝3π． (B) l ＝3 λ / (2n )，?φ＝3n π． (C) l ＝3 λ / (2n )，?φ＝3π． (D) l ＝3n λ / 2，?φ＝3n π． ［ ］ 5、如图所示，波长为λ的平行单色光垂直入射在折射率为n 2的薄膜上，经上下两个表面反射的两束光发生干涉．若薄膜厚度为e ，而且n 1＞n 2＞n 3，则两束反射光在相遇点的相位差为 (A) 4πn 2 e / λ． (B) 2πn 2 e / λ． (C) (4πn 2 e / λ) +π． (D) (2πn 2 e / λ) -π． ［ ］ 6、如图所示，折射率为n 2、厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n 1和n 3，已知n 1 ＜n 2＜n 3．若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束①与②的光程差是 (A) 2n 2 e ． (B) 2n 2 e －λ / 2 . (C) 2n 2 e －λ． (D) 2n 2 e －λ / (2n 2)． ［ ］ 7、如图所示，折射率为n 2、厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n 1和n 3，已知n 1< n 2> n 3．若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束(用①与②示意)的光程差是 (A) 2n 2 e ． (B) 2n 2 e －λ / 2. (C) 2n 2 e －λ ． (D) 2n 2 e －λ / (2n 2)． P S 1S 2 r 1 n 1 n 2 t 2 r 2 t 1 n 1 3λ n 3 n 3
§12.7 多普勒效应 一、机械波的多普勒效应 当波源和观察者都相对于介质静止时,观察者所观测到的波的频率与波源的振动频率一致.当波源和观察者之一,或两者以不同速度同时相对于介质运动时,观察者所观测到的波的频率将高于或低于波源的振动频率,这种现象称为多普勒效应.多普勒效应在我们日常生活中经常可以遇到.例如,当火车由远处开来时,我们所听到的汽笛声高而尖,当火车远去时汽笛声又变得低沉了.下面我们就来分析波源和观察者都相对于介质运动时,发生在两者连线上的多普勒效应. 观察者所观测到的波的频率,取决于观察者在单位时间内所观测到的完整波的数目,或者说取决于单位时间内通过观察者的完整波的数目,即 λ=νu 式中u 是波在该介质中的传播速率,λ是波长. 现在假设波源相对于介质静止,观察者以速率V 0向着波源运动.这时观察者在单位时间内所观测到的完整波的数目要比它静止时多.在单位时间内他除了观察到由于波以速率u 传播而通过他的 u/λ个波以外,还观测到由于他自身以速率V 0运动而通过他的V 0 /λ个波.所以观察者在单位时间内所观测到的完整波的数目为 ν+=ν+=λ+λ=νu V u u V u V u 000/' (12.47) 显然,当观察者以速率V 0离开静止的波源运动时,在单位时间内所观测到的完整波的数目要比它静止时少V 0 /λ.因此,他所观测到的完整波的数目为 ν-=νu V u 0' (12.48) 总之,当波源相对于介质静止、观察者在介质中以速率V 0运动时,观察者所接收到的波的频率可表示为 ν±=νu V u 0' (12.49) 式中正号对应于观察者向着波源运动,负号对应于 观察者离开波源运动. 现在假设观察者相对于介质静止,而波源以速 率 V S 向着观察者运动.这时在波源的运动方向上, 向着观察者一侧波长缩短了,如图12.18所示.图中
大学物理学（上）第四，第五章习题答案 第4章振动 P174． 4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式； （2）t= T/4时物体的位置、速度和加速度； （3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．[解答]（1）设物体的简谐振动方程为 x = A cos(ωt + φ)， 其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T= π．当t = 0时，x = 0.06m，所以 cosφ = 0.5， 因此 φ= ±π/3． 物体的速度为 v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)． 当t = 0时， v = -ωA sinφ， 由于v > 0，所以sinφ < 0，因此 φ = -π/3． 简谐振动的表达式为 x= 0.12cos(πt –π/3)． （2）当t = T/4时物体的位置为 x= 0.12cos(π/2–π/3) = 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为 v = -πA sin(π/2–π/3) = -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)． 加速度为 a = d v/d t = -ω2A cos(ωt + φ) = -π2A cos(πt - π/3) = -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)． （3）方法一：求时间差．当x = -0.06m 时，可得 cos(πt1 - π/3) = -0.5， 因此 πt1 - π/3 = ±2π/3． 由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此 πt1 - π/3 = 2π/3， 得t1 = 1s． 当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此 cos(πt2 - π/3) = 0， 可得πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等． 由于t2 > 0，所以 πt2 - π/3 = 3π/2， 可得t2 = 11/6 = 1.83(s)． 所需要的时间为 Δt = t2 - t1 = 0.83(s)． 方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x= 0.06m，即从起点向x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此 cos(πt - π/3) = 0， 可得πt - π/3 = π/2， 解得t = 5/6 = 0.83(s)． [注意]根据振动方程 x = A cos(ωt + φ)， 当t = 0时，可得 φ = ±arccos(x0/A)，（-π < φ≦π）， 初位相的取值由速度决定． 由于 v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)， 当t = 0时， v = -ωA sinφ， 当v > 0时，sinφ < 0，因此 φ = -arccos(x0/A)； 当v < 0时，sinφ > 0，因此
大学物理第一学期公式集 概念（定义和相关公式） 1．位置矢量：r ，其在直角坐标系中： k z j y i x r ++=； 2 22z y x r ++=角位置：θ 2．速度： dt r d V =平均速度：t r V ??= 速率： dt ds V = （ τ V V =） 角速度：dt d θω= 角速度与速度的关系：V=ｒω 3．加速度：dt V d a = 或 22dt r d a = 平均加速度： t V a ??= 角加速度： dt d ωβ= 在自然坐标系中n a a a n +=ττ其中dt dV a =τ（=ｒβ）， r V n a 2 = （=r 2 ω） 4．力：F =ｍa （或F =dt p d ） 力矩：F r M ?=（大小：M=rFcos θ方向：右手螺 旋法则） 5．动量：V m p =，角动量：V m r L ?=（大小：L=rmvsin θ 方向：右手螺旋法则） 6．冲量：? = dt F I （=F Δｔ）；功：??=r d F A （气体对外做功：A= ∫PdV ） 7．动能：mV 2/2 8．势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用力势 能形式不同且零点选择不同其形式 不同，在默认势能零点的情况下： 机械能：E=E K +E P 9．热量：CRT M Q μ =其中：摩尔热容 量C 与过程有关，等容热容量C v 与等压热容量C p 之间的关系为：C p = C v +R mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2/2 F= r r Mm G ?2- (万有引力) →r Mm G - =E p r r Qq ?420πε(静电力) →r Qq 04πε
《大学物理》上册复习纲要 第一章 质点运动学 一、基本要求： 1、 熟悉掌握描述质点运动的四个物理量——位置矢量、位移、速度和加速度。会处理两类问题：（1）已知运动方程求速度和加速度；（2）已知加速度和初始条件求速度和运动方程。 2、 掌握圆周运动的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。 二、内容提要： 1、 位置矢量： k z j y i x r ++= 位置矢量大小： 2 22z y x ++= 2、 运动方程：位置随时间变化的函数关系 t z t y t x t )()()()(++= 3、 位移?： z y x ?+?+?=? 无限小位移：k dz j dy i dx r d ++= 4、 速度： dt dz dt dy dt dx ++= 5、 加速度：瞬时加速度： dt z d dt y d dt x d dt dv dt dv dt dv z y x 222222++=++= 6、 圆周运动： 角位置θ 角位移θ? 角速度dt d θω= 角加速度22dt d dt d θ ωα== 在自然坐标系中：t n t n e dt dv e r v a a a +=+=2 三、 解题思路与方法： 质点运动学的第一类问题：已知运动方程通过求导得质点的速度和加速度，包括它沿各坐标轴的分量；
质点运动学的第二类问题：首先根据已知加速度作为时间和坐标的函数关系和必要的初始条件，通过积分的方法求速度和运动方程，积分时应注意上下限的确定。 第二章 牛顿定律 一、 基本要求： 1、 理解牛顿定律的基本内容； 2、 熟练掌握应用牛顿定律分析问题的思路和解决问题的方法。能以微积分为工具，求解一维变力作用下的简单动力学问题。 二、 内容提要： 1、 牛顿第二定律: m = 指合外力 合外力产生的加速度 在直角坐标系中： x x ma F = y y ma F = z z ma F = 在曲线运动中应用自然坐标系: r v m ma F n n 2 == dt dv m ma F t t == 三、 力学中常见的几种力 1、 重力: mg 2、 弹性力: 弹簧中的弹性力kx F -= 弹性力与位移成反向 3、 摩擦力：摩擦力指相互作用的物体之间，接触面上有滑动或相对滑动趋势产生的一种阻碍相对滑动的力，其方向总是与相对滑动或相对滑动的趋势的方向相反。 滑动摩擦力大小: N f F F μ= 静摩擦力的最大值为：N m f F F 00μ= 0μ静摩擦系数大于滑动摩擦系数μ 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 一、 基本要求： 1、 理解动量、冲量概念，掌握动量定理和动量守恒定律，并能熟练应用。 2、 掌握功的概念，能计算变力作功，理解保守力作功的特点及势能的概念。 3、 掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律并能熟练应用。 4、 了解完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的特点。 二、 内容提要 （一） 冲量
第八章 振动与波动 本章提要 1. 简谐振动 · 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。 · 简谐振动运动方程 ()cos x A t ω?=+ 其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+?）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位? 称为初相位。 · 简谐振动速度方程 d () d sin x v A t t ωω?= =-+ · 简谐振动加速度方程 2 2 2d ()d cos x a A t t ωω?= =-+ · 简谐振动可用旋转矢量法表示。 2. 简谐振动的能量 · 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为 2 12k E m v = · 弹簧的势能为 2 12p E kx = · 振子总能量为 P 2 2 2 2 2 211()+()22 1=2 sin cos k E E E m A t kA t kA ωω?ω?=+=++ 3. 阻尼振动
· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。 · 阻尼振动的动力学方程为 2 2 2d d 20d d x x x t t β ω++= 其中，γ是阻尼系数，2m γ β= 。 （1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。 （2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。 （3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。 4. 受迫振动 · 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为 2 2 P 2d d 2d d cos x x F x t t t m β ωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。 · 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。 5. 简谐振动的合成与分解 （1） 一维同频率的简谐振动的合成 若任一时刻t 两个振动的位移分别为 111()cos x A t ω?=+ 222()cos x A t ω?=+ 合振动方程可表示为 ()cos x A t ω?=+ 其中，A 和? 分别为合振动的振幅与初相位 A =
时空与质点运动 内容纲要 位矢：k t z j t y i t x t r r )()()()( 位移：k z j y i x t r t t r r )()( 一般情况，r r 速度：k z j y i x k dt dz j dt dy i dt dx dt r d t r t ??? 0lim 加速度：k z j y i x k dt z d j dt y d i dt x d dt r d dt d t a t ?????? 222222220lim 圆周运动 角速度：? dt d 角加速度：? ? 22dt d dt d （或用 表示角加速度） 线加速度：t n a a a 法向加速度：22 R R a n 指向圆心 切向加速度： R dt d a t 沿切线方向 线速率： R 弧长： R s 伽利略速度变换：u （或者CB AC AB 参考矢量运算法则） 解题参考 大学物理是对中学物理的加深和拓展。本章对质点运动的描述相对于中学时更强调其瞬时性、相对性和矢量性，特别是处理问题时微积分的引入，使问题的讨论在空间和时间上更具普遍性。
对于本章习题的解答应注意对基本概念和数学方法的掌握。 矢量的引入使得对物理量的表述更科学和简洁。注意位矢、位移、速度和加速度定义式的矢量性，清楚圆周运动角位移、角速度和角加速度方向的规定。 微积分的应用是难点，应掌握运用微积分解题。这种题型分为两大类，一种是从运动方程出发，通过微分求出质点在任意时刻的位矢、速度或加速度；另一种是已知加速度或速度与时间的关系及初始条件，通过积分求出任意时刻质点的速度、位矢或相互间的关系，注意式子变换过程中合理的运用已知公式进行变量的转换，掌握先分离变量后积分的数学方法。 内容提要 牛顿运动定律： 第一定律 惯性和力的概念，常矢量 第二定律 dt p d F m p m 为常量时 a m dt d m F 第三定律 2112F F 质心：一个物体或物体系的质心就是可以看作所有的质量集中点和所有外力的作用点 的特殊点。 常见力： 重力 mg P 弹簧力 kx F 摩擦力 N f 滑动摩擦 N f s 静摩擦 惯性力：为使用牛顿定律而在非惯性系中引入的假想力，由参照系的加速运动