数值分析期末复习资料
数值分析期末复习
题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明
第一章 误差与有效数字
一、 有效数字
1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说
x*有n 位有效数字。 2、 两点理解：
（1） 四舍五入的一定是有效数字
（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为 4、 考点：
（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）
二、 避免误差危害原则 1、 原则：
（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ）
（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或 （3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14
三、 数值运算的误差估计 1、 公式：
（1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时
除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5
（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4
*(1)
11
102n r a ε--≤?;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ???
? ??+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =
第二章 插值法
一、 插值条件
1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值
yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使
2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一
二、 拉格朗日插值及其余项
1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8））
2、 插值多项式表达式（P26（2.9））
3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计
4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1
三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）：
（1） 可表示为函数值的线性组合
（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式
四、埃尔米特插值（书P36） 两种解法：
（1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相
等各2个）
（2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14
五、三次样条插值定义
n i y x P i i n ,,2,1,0)( ==
（1） 分段函数，每段都是三次多项式
（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续）
（3）
考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题
第三章 函数逼近与曲线拟合
一、 曲线拟合的最小二乘法
解题思路：确定?i ，解法方程组，列方程组求系数（注意?i 应与系数一一对应）eg.P95习题17 形如y=ae bx 解题步骤： （1） 线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代
第四章 数值积分与数值微分
一、 代数精度 1、 概念：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，
则称该求积公式具有m 次代数精度
2、 计算方法：将f(x)=1,x,x 2,
…x n 代入式子求解 eg.P100例1
二、 插值型的求积公式
求积系数
定理：求积公式至少具有n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。
n
j y x S j j ,,1,0,)( =
=
三、 牛顿-科特斯公式
1、 掌握科特斯系数n=1,2的情况即可（P104表4-1），性质：和为1，对称性
2、 定理：当n 为奇数时，牛顿-柯斯特公式至少有n 次代数精度；当阶n 为偶数时，牛顿-科特斯公
式至少具有n+1次代数精度 3、 在插值型求积公式中求积节点取为等距节点，即,k b a
x a kh h n
-=+=
，k=0，1，2，….n 。则可构造牛顿-柯斯特求积公式:
()()()
n 0
00
00(1)=b-a (),!()n
n
n k n n
n
n n k k k k j j j k
j k
b a t j I C f x C dt t j dt h k j nk n k -===≠≠---==---∑∏∏??（）！ n=1时，求积公式为梯形公式：()()()()2
b a
b a f x dx f a f b -≈+?????
n=2时，求积公式为辛普森公式：
()()()()46
2b a
b a a b f x dx f a f f b -?+???
≈
++ ?????
?
?
? n=4时，求积公式为柯特斯公式：
()()()()()()()012347321232790
b a
b a f x dx f x f x f x f x f x -??≈
++++??? 4、 低阶求积公式的余项： 梯形公式：()()
()[]2
,,12
T
b a R b a f a b ηη-''=-
-∈
辛普森公式：()()()[]4
4,,1802S b a b a R f a b ηη--??=-∈ ???
柯特斯公式：()()
()[]6
62,,9454C b a b a R f a b ηη--??=-∈ ???
5、 复合梯形公式及余项（P106）
()()()1122n n k k h T f a f x f b -=??=++????∑()()()1
2
10
b-a ,12n n n k k k k k R f I T h f x x ηη-+=''=-=-∈+∑
6、 复合辛普森公式及余项（P107）
()()
()()1211
01426n n n k k k k h S f a f x f x f b --+==??=+++????
∑∑
()()()4
1
4
10b-a ,1802n n n k k k k k h R f I S f x x ηη-+=??=-=-∈+ ???
∑
四、 高斯型求积公式（书P117-120）
1、 定义：如果求积公式具有2n+1次代数精度，则称其节点x k 为高斯点。
求积公式：()()()()()()21
2
01,b
b
n
n k k k k k n k a a
f x x dx A f x A x dx x x x ωρρω+=+≈='-∑?? 余项：[]()()()()222
122!n b n n a
f R f x x dx n ηωρ++=+? 2、
第五章 解线性方程组的直接方法
一、 高斯消去法：利用增广矩阵 二、 LU 分解 Ly=b ；Ux=y
1、特点：L 对角线均为1，第一列等于A 的第一列除以a 11；U 的第一行等于A 的第一行
2、LU 分解唯一性：A 的顺序主子式Di ≠0 三、 平方根法：;T
Ly b L x y == 例题：
用平方根法解对称正定方程组
解：先分解系数矩阵A
?
???
? ??=????? ??????? ??91096858137576321x x x
改进平方根法：1
,,T
A LDL Ly b DL x y -===
四、 追赶法：A=LU ，Ly=f ，Ux=y
111
1
22
2
22111
1111
1n n n n n
nn n
n b c a b c r A a b c r a b αβαβα----??
?????????????????
?==????
???
??????
?
?????
?
五、 范数（误差分析）
1、向量范数定义及常用范数
数值分析期末复习 题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明 第一章 误差与有效数字 一、有效数字 1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说 x*有n 位有效数字。 2、 两点理解： （1） 四舍五入的一定是有效数字 （2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为 4、 考点： （1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3） 二、避免误差危害原则 1、 原则： （1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ） （2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或 （3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 *(1)1 1 102n r a ε--≤ ?; x εx ε x εx ++=-+();1ln ln ln ???? ? ?+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =
三、数值运算的误差估计 1、 公式： （1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5 （2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4 第二章 插值法 一、 插值条件 1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值 yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一 n i y x P i i n ,,2,1,0)(Λ==
中国农业大学数值分析研究生课程重点 后面有笔者的笔记！！ 第1章 1、 5个概念（绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限，有效数字）及其计算，数值运算的误差估计 2、算法稳定性的概念及算法设计的5个原则 第2章 1、牢记拉格朗日插值公式、牛顿插值公式，掌握余项推导 2、了解均差的性质 3、会用基函数和承袭性两种方法构造埃尔米特插值问题，并会推导余项 4、为何要分段低次插值？会构造分段线性和分段三次埃尔米特插值 5、三次样条插值的2种构造思路 第3章 会利用最小二乘法解决具体问题 第4章 1、机械求积公式、代数精度的概念理解和计算
2、插值型求积公式的定义和判断，插值型求积公式中求积系数有何特点？如何证明？ 3、求积公式余项的推导 4、什么叫牛顿-柯特斯求积公式？总结其优缺点 5、牢记梯形公式、辛普森公式及其余项（会推导），牢记柯特斯公式 6、复化求积公式的计算 7、高斯型求积公式的定义、判断和使用，高斯型求积公式中求积系数有何特点？如何证明？ 8、总结学过的数值求积公式，说明其关系 第5章 1、会用高斯消去法、高斯列主元素法、直接三角分解法、（改进）平方根法、追赶法求解线性方程组 2、会计算矩阵和向量的常用范数 3、线性方程组性态的分析 第6章 1、三种迭代法（雅可比、高斯-赛德尔、松弛法）的构造及其矩阵形式的推导 2、会构造迭代公式求方程组的解，并判断是否收敛 第7章
1、了解不动点迭代法是否收敛的判断方法 2、会判断迭代法收敛的收敛速度（收敛阶） 3、会构造不动点迭代公式求方程的根，并指明收敛阶数 4、牛顿迭代法公式推导，求单根和重根收敛性的证明 5、牛顿迭代法的优缺点及其改进 第9章 1、牢记欧拉的5个公式及其推导 2、会用三种不同方法推导欧拉显式单步公式 3、掌握局部截断误差的概念及其应用
% 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x * 表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若绝对误差，那么x *至少有n 个有效数字，即a 1，a 2，…，a n 为有效数字，而a n+1，…，a k ，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。 （2）相对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x * 表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若a k 是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r ，且有 ，那么a k 必为有效数字。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 ' 答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时， r e x x e x x *****-==
通常用代替。 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。 （2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。 4、 取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么 （1）(3322-，（2）(2752-，（3）()31 322+，（4）()61 21，（5） 99702-答：（1）( 332-==； （2）(2752-==； , （3） ()31322+=； （4）()6121=； （5）99702-=； 由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的误差最小。 2141.≈)6 21
实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n
很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法
中国农业大学研究生培养方案调查问卷 一、个人信息 1、入学时间： 2、性别： 3、培养类别：1）硕士生 2）博士生 3）硕博连读生 4、就读学院：就读专业： 5、本科所学专业是： 二、学习与科研训练情况 6、您认为您所在专业的研究生课程学习： 课程学分要求：很大 [ ] 较大 [ ] 一般 [ ] 较少 [ ] 很少[ ] 课程的知识面：很宽 [ ] 较宽 [ ] 一般 [ ] 较窄 [ ] 很窄[ ] 课程的前沿性：很强 [ ] 较强 [ ] 一般 [ ] 较弱 [ ] 很弱[ ] 7、您认为您所在专业的研究生课程普遍采用的教学方法是 1）讲授式 2）启发式或讨论式 3）理论与实践相结合 4）其他 8、课程学习的收获： 1）很大[ ] 2）较大 [ ] 3）一般 [ ] 4）较少 [ ] 5）很少[ ] 若有收获主要体现在： 1）理论和专业知识 2）研究方法 3）实验技能 4）创新思维和创新意识5）文献阅读与研究论文写作： 6）其他： 对论文研究工作的帮助： 1）很大[ ] 2）较大 [ ] 3）一般 [ ] 4）较少 [ ] 5）很少[ ] 若有帮助主要体现在： 1）理论和专业知识 2）研究方法 3）实验技能 4）创新思维和创新意识5）文献阅读与研究论文写作： 6）其他： 9、您所在学科研究生培养方案中的课程内容与本科课程的重复性 （1）很多（2）较多（3）较少（4）没有 10、您所在学科研究生培养方案中的硕士与博士课程内容的重复性 （1）很多（2）较多（3）较少（4）没有
11、您所在学科是否存在课程合并上课的现象 （1）存在，两门以上（2）存在，一门（3）没有 12、您认为是否有必要在培养方案中列出二级学科经典著作的书目及主要学术期刊名称（1）有必要（2）没必要（3）无所谓 13、目前您接受的是以下哪种指导方式？ 1）单一导师制 2）双导师制（正副导师） 3）导师指导小组 4）其他（请注明） 您赞成哪种指导方式？ 14、您的导师与您讨论您的学位论文及相关研究工作的频率大约是： 1）每星期交流一次 2）每两星期交流一次 3）每个月交流一次 4）每两个月交流一次 5）很少交流 16、您感到收获较大的培养环节，请排序： 1）培养计划制定 2）课程学习 3）课题研究与科研训练 4）学术交流 5）学术规范与学术道德教育 6）实践能力培养 7）学位论文开题 8）学位论文答辩 17．您在完成学位论文过程中遇到的主要困难是：（限依次选两项） 1）自身知识基础和科研能力的制约 2）研究经费不足 3）实验条件差 4）导师指导不充分 5）研究时间不足 6）缺乏学术交流的氛围 7）其他（请注明）：
数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理
2.1 数值分析的研究对象 方法的构造 研究对象 求解过程的理论分析 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差：
数值分析实验报告 姓名：周茹 学号： 912113850115 专业：数学与应用数学 指导老师：李建良
线性方程组的数值实验 一、课题名字：求解双对角线性方程组 二、问题描述 考虑一种特殊的对角线元素不为零的双对角线性方程组（以n=7为例） ?????????? ?????? ? ???? ?d a d a d a d a d a d a d 766 55 44 3 32 211??????????????????????x x x x x x x 7654321=?????????? ? ???????????b b b b b b b 7654321 写出一般的n （奇数）阶方程组程序（不要用消元法，因为不用它可以十分方便的解出这个方程组） 。 三、摘要 本文提出解三对角矩阵的一种十分简便的方法——追赶法，该算法适用于任意三对角方程组的求解。 四、引言 对于一般给定的d Ax =，我们可以用高斯消去法求解。但是高斯消去法过程复杂繁琐。对于特殊的三对角矩阵，如果A 是不可约的弱对角占优矩阵，可以将A 分解为UL ，再运用追赶法求解。
五、计算公式（数学模型） 对于形如????? ?? ????? ??? ?---b a c b a c b a c b n n n n n 111 2 2 2 11... ... ...的三对角矩阵UL A =，容易验证U 、L 具有如下形式： ??????? ????? ??? ?=u a u a u a u n n U ...... 3 3 22 1 ， ?? ????? ? ?? ??????=1 (1) 1132 1l l l L 比较UL A =两边元素，可以得到 ? ?? ??-== = l a b u u c l b u i i i i i i 111 i=2, 3, ... ,n 考虑三对角线系数矩阵的线性方程组 f Ax = 这里()T n x x x x ... 2 1 = ,()T n f f f f ... 2 1 = 令y Lx =，则有 f Uy = 于是有 ()?????-== --u y a f y u f y i i i i i 1 1 11 1 * i=2， 3, ... ,n 再根据y Lx =可得到
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析上机实践课程论文格式要求
理学院 本科课程论文格式要求 一、规范要求 1、论文字数不少于3000字。 2、论文正文A4纸单面打印。 3、上交打印稿一份，同时要提交电子稿。 二、论文格式(具体格式见附表) 1、封面，使用规定的统一格式。 “题目”要对论文的内容有高度的概括性，要简明、准确，同时注意不要写的题目过大。 2、任务书用四号宋体。 3、目录 标题层次要清晰，目录中标题与正文中标题要一致。“目录”两字为2号宋体字；具体内容列到三级标题，4号宋体字；标题与页码之间用“…………”相连接。采用1.5倍行距。 4、题目，题目下方一行为专业班级，作者署名，再下一行为指导教师，指导教师署名。 5、摘要 中文摘要应简要说明毕业论文所研究的目的、内容、研究方法、主要成果和结论，应能反映论文的精华。一般为200字左右。在摘要之后另起一行写出3-5个关键词。
【摘要】两字黑体，4号，内容用宋体，4号。 【关键词】三字黑体，4号，内容用宋体，4号。各关键词用两个空格间隔。 6、正文 正文是作者对研究工作的详细表述，它占全文的绝大部分。正文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性、实践性和一定的创造性。应文字流畅，语言准确，层次清晰，论点清楚，论据准确，论证完整、严密，有独立的观点和见解。 其内容主要包括： （1）前言 应说明本课题的背景、目的意义、研究范围等；在综合评述前人工作成果的基础上提出问题。 （2）论文内容：内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处。有表格的使用三线表。 7、结论 结论包括对整个研究工作进行归纳和综合而得出的总结，还应包括所得结果与已有结果的比较和本课题尚存的问题，以及进一步开展研究的见解与建议。结论集中反映作者的研究成果，表达作者对所研究课题的见解，是全文的思想精髓，是文章价值的体现。结论要写得概括、简短。 8、参考文献
《数值分析》第一章思考题 1.算法这一概念，数学上是如何描述的？ 答：算法的概念：算法是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。 算法在数学上的主要描述方式有：自然语言、结构化流程图、伪代码和PAD图 2.数值分析中计算误差有哪些？举列说明截断误差来源。 答：在数值分析中的计算误差主要有： （1）模型误差（2）观测误差（3）截断误差（4）舍入误差 求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法，因近似方法产生的误差称为截断误差或者方法误差。例如在函数的泰勒展开式，我们在实际的计算时只能截取有限项代数和计算。 3.浮点数由哪两部分组成？指出各部分重点。 答：浮点数主要由：尾数+阶数两部分组成的。 在机器中表示一个浮点数时，一是要给出尾数，用定点小数形式表示，尾数部分给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度。二是要给出阶码，用整数形式表示，阶码指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。 4.有效数字的概念是如何抽象而来的，简单给予叙述。 答：有效数字是一个数据在保证最小误差的情况下，取的一个能够在计算中发挥其有效作用的近似值。有效数字的作用在于，最大精度地去发挥这个数值在计算中的作用，而又不会对计算结果造成太大影响，使计算过程简化。 5.何谓秦九韶算法，秦九韶算法有何优点？ 答：秦九韶算法是一种多项式简化算法，将一元n次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，大大简化了计算过程，对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法。。 6.在数值计算中，会发生大数吃小数现象，试对这一现象做解释 答：一个绝对值很大的数和一个绝对值很小的数直接相加时，很可能发生所谓“大数吃小数”的现象，从而影响计算结果的可靠性，这主要是计算机表示的数的位数是有限的这一客观事实引起的。 例如在12位浮点数计算机中进行浮点数相加，系统只保留前12位作为有效数字，小的那个数化成浮点数中的有效数字被舍去，出现大数吃小数的现象，对计算结果造成了影响。
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号： 成绩：
数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀 姓名：宋元台学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页)
1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #include
汽车外流场的数值模拟 宁燕，辛喆 中国农业大学， 北京 （100083） E-mail ：rn063@https://www.doczj.com/doc/2e7394908.html, 摘 要：利用CFD 方法，运用FLUENT 软件对斜背式车型的外流场进行了数值模拟，并对结果进行了处理与分析。研究了车身周围涡系的三维结构和车身表面分离流的情况，表明由于车身前后的压力差和主流的拖拽作用等，在汽车尾部形成了极其复杂的涡系。 关键词：汽车空气动力学；CFD ；车身外流场；FLUENT 1. 引 言 汽车空气动力学的研究主要有两种方法[1]：一种是进行风洞实验，另一种是利用计算流体动力学（CFD ）技术进行数值模拟。传统的汽车空气动力学研究是在风洞中进行实验，存在着费用昂贵、开发周期长等问题。另外，在风洞实验时，只能在有限个截面和其上有限个点处测得速度、压力和温度值，而不可能获得整车流场中任意点的详细信息。 随着计算机技术和计算流体动力学的发展，汽车外流场的计算机数值仿真由于其具有可再现性、周期短以及低成本等优越性而成为研究汽车空气动力学性能的另一种有效方法。 2. 控制方程和湍流模型 汽车外流场一般为定常、等温和不可压缩三维流场，由于外形复杂易引起分离，所以应按湍流处理。汽车外流场的时均控制方程式[2]如下：3,2,1,=j i ；z x y x x x ===321,,；，： u u =1w u v u ==32,平均连续方程：0=??i i x u 平均动量方程：??? ???????????????+????+???=??i j j i eff j j j i j x u x u x x p x u u μρ κ方程 ρεκσμμκρκ?+??????????+??=??G x x x u j t j j j )( ε方程 κερκεεσμμερε221)(C G C x x x u j t j j j ?+??????? ???+??=?? -1-
实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =
的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。
用N-C积分公式计算sin(x)在区间[0,∏]上的积分值。 #include"stdio.h" #include"math.h" void main() { int n,k; double sum=0.0,a=0.0,b=3.2415926; double Cotes[8][9]={{0.5,0.5},{1.0/6,4.0/6,1.0/6},{1.0/8,3.0/8,3.0/8,1.0/8}, {7.0/90,32.0/90,12.0/90,32.0/90,7.0/90},{19.0/288,75.0/288,50.0/288,50.0/288,75.0/288, 19.0/288}, {41.0/840,216.0/840,27.0/840,272.0/840,27.0/840,216.0/840,41.0/840}, {751.0/17280,3577.0/17280,1323.0/17280,2989.0/17280,2989.0/17280,1323.0/17280,35 77.0/17280,751.0/17280}, {989.0/28350,5888.0/28350,-928.0/28350,10496.0/28350,-4540.0/28350,10496.0/28350, -928.0/28350,5888.0/28350,989.0/28350}}; //printf("请输入积分区间a和b："); //scanf("%lf,%lf",&a,&b); printf("请输入积分节点n(1<=n<=8):"); scanf("%d",&n); printf("\n"); for(k=0;k<=n;k++) sum+=Cotes[n-1][k]*(sin(a+k*(b-a)/n)); sum=sum*(b-a); printf("%lf\n",sum); printf("误差值为：%lf\n",2.0-sum); }
数值分析实验报告模板 篇一：数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二：数值分析实验报告 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收
敛，但精度不够。熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x);
数值分析期末复习资料
数值分析期末复习 题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明 第一章 误差与有效数字 一、 有效数字 1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说 x*有n 位有效数字。 2、 两点理解： （1） 四舍五入的一定是有效数字 （2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为 4、 考点： （1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3） 二、 避免误差危害原则 1、 原则： （1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ） （2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或 （3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三、 数值运算的误差估计 1、 公式： （1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时 除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5 （2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4 *(1) 11 102n r a ε--≤?;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ??? ? ??+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =
第二章 插值法 一、 插值条件 1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值 yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一 二、 拉格朗日插值及其余项 1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8）） 2、 插值多项式表达式（P26（2.9）） 3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计 4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1 三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）： （1） 可表示为函数值的线性组合 （2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式 四、埃尔米特插值（书P36） 两种解法： （1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相 等各2个） （2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义 n i y x P i i n ,,2,1,0)( ==
学号： 姓名： 中国农业大学2014-2015秋季学期研究生《数值分析》试题 一． 填空题 1．*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________. 2．设f (x )=a n x n +1 (a n ≠0)，则f [x 0, x 1,…, x n ]=_________ . 3．设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分?=b a dx x f I )(的值的大小 关系为___________.（大于或者小于） 4．已知=??? ? ??-=1,4032A A 则_______. 5．超松弛迭代法（SOR 方法）收敛的必要条件是 . 6．求方程x = cos x 根的牛顿迭代格式是 . 二．序列{y n }满足递推关系 y n =10y n -1-1，（n =1,2,…），若41.120≈=y （三位有效数字），计算到y 10时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？ 三．已知f ( x )的如下函数值以及导数值：5)2(,2)1(,3)1(,2)0(=='==f f f f ， (1) 建立不超过3次的埃尔米特插值多项式)(3x H ，并计算)8.1(3H ； （2）推导)(3x H 的插值余项；若1)(max )4(2 0≤≤≤x f x ，求)8.1()8.1(3H f -. 用最小二乘法求形如b x a y += 的经验公式. 五．已知数值积分公式 )5 3(95)0(98)53(95)(11f f f dx x f ++-≈?-， (1) 证明上面的求积公式是高斯型求积公式； (2) 试给出计算积分?b a dx x g )(的3点高斯型求积公式.
第一章复习与思考题 1. 什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 答：数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究的是用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现. 数值分析以数学问题为研究对象，但它并不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论. 2. 何谓算法？如何判断数值算法的优劣？ 答：一个数值问题的算法是指按规定顺序执行一个或多个完整的进程，通过算法将输入元变换成输出元. 一个面向计算机，有可靠理论分析且计算复杂性好的算法就是一个好算法. 因此判断一个算法的优劣应从算法的可靠性、准确性、时间复杂性和空间复杂性几个方面考虑. 3. 列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别. 答：用计算机解决实际问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的误差叫做模型误差. 在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度等，这些参量显然也包含误差，这种由观测产生的误差称为观测误差. 当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解和精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
有了求解数学问题的计算公式以后，用计算机做数值计算时，由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示时会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差. 截断误差和舍入误差是两个不同的概念，截断误差是由所采用的数值方法而产生的，因而也称方法误差，舍入误差是由数值计算而产生的. 4. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？ 答：设 为准确值， 为 的一个近似值，称 为近似值 的绝对误差，简称误差. 近似值的误差 与准确值 的比值 称为近似值 的相对误差，记作 . 通常我们无法知道误差的准确值，只能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界 ，
实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;
%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);
考试科目代码及名称 科目 代码 科目名称专业书目 2001园林综合理论《园林规划设计》,王浩,东南大学出版社 《园林工程》,赵兵,东南大学出版社,2011 2102环境科学导论《环境学导论》第三版,何强编,清华大学出版社,2004 2103植物生理学《植物生理学》第七版,潘瑞炽,高等教育出版社 专题文献部分：A代谢、B组培、C逆境、D抗性、E激素 2104动物学《普通动物学》,第三版,刘凌云,高等教育出版社,1997 2105菌物分类学《植物病原真菌学》,陆家云,中国农业出版社,2001 《普通真菌学》第二版,邢来君、李明春,高等教育出版社,2010《真菌分类学》,邵力平,中国林业出版社1984 2106微生物学《微生物学教程》,周德庆,高等教育出版社,2002 2107森林土壤学《土壤学》,孙向阳,中国林业出版社,2005 《植物营养诊断与施肥》,石伟勇,中国农业出版社,2005 2108森林文化研究 2109生态思想史《自然的经济体系—生态思想史》,（美）唐纳德·沃斯特,商务印书馆1999 2111生物化学《生物化学》第二版（上下册）,沈同,高等教育出版社 2112普通昆虫学《普通昆虫学》,彩万志,中国农业大学出版社,2004 《普通昆虫学》,雷朝亮,中国农业出版社2003 2113森林经理学《森林资源经营管理》,亢新刚,中国林业出版社,2001 《森林经理学》,于政中,中国林业出版社,1996 2116数理统计（试验设计与方差分析）《试验统计方法》,盖钧镒,中国农业出版社,2000 《田间试验和统计方法》,南京农业大学编,农业出版社 2117林业生态工程《林业生态工程学》,王礼先,中国林业出版社,2000 2118植物生理学（含生物化学）《植物生理学》第七版,潘瑞炽,高等教育出版社《生物化学》,沈同,高等教育出版社 2119高等数学高等数学,同济大学数学系编,高等教育出版社