高三培优专练 1．单调性的判断 例１：（1）函数()2 12 log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0),-∞ C ．(2,)+∞ D ．(),2-∞- （2）2 23y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值 例2：函数1y x x =+-的最小值为________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时， ()()2121()0f x f x x x -?-????<恒成立，设12 a f ??=- ?? ? ，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >> （2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且10 2f ??= ???，则满足19log 0f x ??> ?? ?的x 的集合为________________． ４．奇偶性 例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ?? -< ??? 的x 的取值范围是（ ） A ．12,33?? ??? B ．12,33?? ? ??? C ．12,23?? ??? D ．12,23?? ? ??? ５．轴对称 例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402 ６．中心对称 例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+ D ．()3f x +是奇函数 ７．周期性的应用 例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-， 则()()20172019f f +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算 一、选择题 培优点一 函数的图象与性质 对点增分集训
主视图 左视图 2 2 2 2012届上砂中学高三理科数学培优强化训练8 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知,A B 是非空集合，命题甲：A B B = ，命题乙：A B ?≠，那么 （ ） A.甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 2.复数 21 i i =- （ ） A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i -- 3.已知点(,)N x y 在由不等式组002x y x y x +≥?? -≥??≤? 确定的平面区域内，则(,)N x y 所在平面区域的 面积是 （ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 4.等差数列{a n }中，已知35a =，2512a a +=，29n a =，则n 为 （ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 5. 函数2 1log 1x y x +=-的图像 （ ） A ． 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y x =对称 6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A. B. 7.已知平面,,αβγ，直线,m l ，点A ，有下面四个命题： A . 若l α?，m A α= 则l 与m 必为异面直线； B. 若,l l m α 则m α ；
O N C. 若 , , ,l m l m αββα?? 则 αβ ； D. 若 ,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥ ，则l α⊥. 其中正确的命题是 （ ） 8.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完2012段、黄“电子狗” 爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第 Ⅱ 卷 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13 题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9. 0 -=? . 10.函数2 ()sin cos2f x x x =+,x R ∈的最小正周期为 11.在直角ABC ?中， 90=∠C ， 30=∠A ， 1=BC ， D 为斜边AB 的中点，则 ?= . 12.若双曲线22 219 x y a - =(0)a >的一条渐近线方程为320x y -=，则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________. 13.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…， 右图所示程序框图用来输出此 数列的前若干项并求其和，若输入m=4则相应最后的输出S 的值是__________. （二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2 π ρθ=-+ ，
高三培优方案 为增强尖子生冲击名校的实力，根据我校的教学实际情况，学校高三年级工作领导小组决定，在高三年级各班中开展培优工作，达到干有目标，教有内容，导有 措施，做有方法。具体安排如下： 一、培优对象： 1、精选学生，普通文班每班前两名，普通理班每班前三名。依据高二下学期以 来5次月考综合评估作出选择，基础和智力、潜力要非常突出。而且可以动态变化促进竞争。每次月考为新的一期的开始，确定培优名单。 2、美术生文化、专业综合成绩前五名的学生。 二、培优目标： 大学目标：清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学、南京大学、复旦大学、中国科学技术大学、华中科技大学、武汉大学、西安交通大学、吉林大学、 中国人民大学、南开大学、北京师范大学、中国科技大学、西安交通大学、中南 大学、哈尔滨工业大学、厦门大学、北京航空航天大学、天津大学、同济大学。 每人设置高考目标总分，各科目标分数。 三、培优学科及教师： 文科：数学、英语；理科：数学、物理、化学； 培优教师：各班任课教师，各学科由以下备课组长牵头。文科：数学（杜书杰老师）、英语（孟令清老师）；理科:数学（汪玉兰老师）、物理（王凯老师）、 化学（沈红霞老师） 四、培优形式： （1）、培优采用个别辅导和集中指导相结合的形式。任课教师对尖子生要特别 关注，不仅要关注其学习，也要关注其生活、思想动态，任课教师无论是课堂上、还是作业、测试卷，都要注意这些学生基础知识和基本技能的实际掌握情况，找出问题，做好记录，并针对其薄弱环节，课后利用早、晚自习及其它空余时间对 其个别辅导、指导。各备课组每周提供1套试卷和适当的辅助资料，试卷要面批面改。每次大考结束后备课组长要认真分析培优生的试卷，汇总共性问题，有针对性的集中做好专题讲座。
2005年高考数学培优试题精选六 1. 年已知???<--≥+-=) 0() 0()(2 2x x x x x x x f ，则不等式02)(>+x f 解集是（ ） A ．)2,2(- B ．),2()2,(∞+?--∞ C ．)1, 1(- D ．), 1()1, (∞+?--∞ 2. 若a,b R ∈则|a| <1，|b|<1，是|a+b|+|a-b|<2成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 设x x x f sin )(=,若1x 、?? ? ???-∈2,22ππx 且)()(21x f x f >，则下列不等式必定成立的 是 （ ） A ．21x x > B ．21x x < C ．2 22 1x x > D ．021>+x x 4. )x (f 是定义在R 上的偶函数,)x (g 是定义在R 上的奇函数,已知)x (g =)1x (f -,若)1(g -=2001,则)2004(f 的值是 ( ) A.2001 B.-2001 C.-2002 D.2002 5. 设函数f(x)的定义域是[-4，4]，其图象如图，那么不等式 0sin ) (≤x x f 的解集( ) A ．[-2，1] B ．[-4，2]∪[1，4] C ．[)π--，4∪[)02，-∪[)π，1 D ．不同于（A ）、（B ）、（C ） 6. 若方程021411 =+? ? ? ??+??? ??-a x x 有正数解，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．()1,∞- B ．)2,(--∞ C ．()2,3-- D ．()0,3-
大题专项练(三)立体几何 A组基础通关 1. 如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,点P是AC的中点,连接BP,DP. (1)证明:平面ACD⊥平面BDP; (2)若BD=,且二面角A-BD-C为120°,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值. (1)证明因为△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,所以Rt△ABD≌Rt△CBD,可得AD=CD. 因为点P是AC的中点,则PD⊥AC,PB⊥AC, 因为PD∩PB=P,PD?平面PBD,PB?平面PBD,所以AC⊥平面PBD.因为AC?平面ACD, 所以平面ACD⊥平面BDP. (2)解方法一:如图,作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.因为Rt△ABD≌Rt△CBD, 1
所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120°,知 ∠AEC=120°. 在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=AE, 因为△ABC是等边三角形,则AC=AB, 所以AB=AE. 在Rt△ABD中,有AE·BD=AB·AD,得BD=AD,因为BD=,所以AD=. 又BD2=AB2+AD2,所以AB=2. 则AE=,ED=.由CE⊥BD,AE⊥BD可知BD⊥平面AEC,则平面AEC⊥平面BCD. 过点A作AO⊥CE,交CE的延长线于O,则AO⊥平面BCD.连接OD,则∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角.在Rt△AEO中,∠AEO=60°,所以AO=AE=1,sin∠ADO=. 所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为. 方法二:如图,作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.因为Rt△ABD≌Rt△CBD, 所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角. 由已知二面角A-BD-C为120°,知∠AEC=120°. 在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=AE, 2
第17讲 统计与统计案例 A 组 一、选择题 1．某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为（ ） A ．①②③ B ．②③ C ． ③④ D ．①④ 【答案】B 【解析】由题意得，从男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生，该抽样应该是简单的随机抽样，其中男生被抽到的概率为135 P = ，女生被抽到的概率为22 5P =，所以只有②③是正 确的，故选B. 2.如下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）。已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为（ ） A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 【答案】C 【解析】由中位数的定义可知5=x ，因8.16524930)85(?=+++++y ，故8=y ，应选C 。 3．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的结果，认为0H 成立的可能性不足1%，那么2 K 的一个可能取值为( ) A ．7.897 B.6.635 C. 5.024 D. 3.841 【答案】A 【解析】由题这种血清能起到预防感冒的作用为99%的有效率，显然0 6.635,k >所以选A. 4．下列说法正确的是 （ ） A ．在统计学中,回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 B ．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点 中的一个点 C ．在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高 D ．在回归分析中,相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差 【答案】C a x b y ???+=),,(11y x ),,(22y x ),(,33y x ),(n n y x 2 R 98.02 R 80.0
2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(八) 考试内容：一轮复习 一、单选题 1．（b ）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且面积为S .若 cos cos sin b C c B a A +=，()2 2214 S b a c = +-，则角B 等于（ ） A ． 2 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 2．（b ）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若 (cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -??=-??，则ABC △的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 3．（b ）已知锐角ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2 c a a b =+， 则()2cos cos A C A -的取值范围是（） A ．2?? ? ??? B ．1,22? ?? C ．,22? ?? D ．1,12?? ??? 4．（b ）在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c =2sin tan A C a c =，若sin()sin 2sin 2A B C B -+=，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5．（b ）在ABC △中，1 8 sinAsinBsinC =，且ABC ?面积为1，则下列结论不正确的是（ ） A ． 8a b a b -< B ．()8ab a b +> C ．( )22 16a b c +< D ．6a b c ++> 二、填空题 6．（b ）在ABC ?中，4 B π = ，BC 边上的高等于 1 3 BC ，则sin A =__________． 7．（b ）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 2,sin ,a b B C +==sin 2 C =______________. 8．（b ）如图，在三角形ABC ?中，D 为BC 边上一点，AD AB ⊥ 且BD 2CD =，
2020届高三 例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 【答案】C 【解析】162==h a V ，2=a ，22224441624R a a h =++=++=，24πS =． 例2：如下图所示三棱锥A BCD -，其中5AB CD ==，6AC BD ==，7AD BC ==，则该三棱锥 外接球的表面积为 ． 【答案】55π 【解析】对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为c b a ,,， 110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，55πS =． 例3：一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为8 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为 ． D C B A 培优点十四 外接球 一、墙角模型 二、对棱相等模型 三、汉堡模型
【答案】 4π3 【解析】设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ， 则12 a = ，正六棱柱的底面积为23133 6()428S =??=， 则339 88 V Sh h == =，∴3h =， 22241(3)4R =+=，也可222 31( )()122 R =+=，1R =， 设球的体积为V '，则4π3 V '=． 例4：正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积 为 ． 【答案】 4π3 【解析】方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =， 故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，4π3 V = ． 方法二：大圆是轴截面所截的外接圆，即大圆是SAC △的外接圆， 此处特殊，SAC Rt △的斜边是球半径，22=R ，1=R ，4π3 V =． 例5：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） 四、切瓜模型 五、垂面模型
高一“培优补差”工作计划 一、指导计划 提高优生的自主和自觉学习能力，进一步巩固并提高中等生的学习成绩，帮助差生取得适当进步，让差生在教师的辅导和优生的帮助下，逐步提高学习成绩，并培养较好的学习习惯，形成基本能力。培养优秀计划要落到实处，发掘并培养一批尖子，挖掘他们的潜能，从培养能力入手，训练良好学习习惯，从而形成较扎实的基础和缜密的思维，并能协助老师进行辅导后进生活动，提高整个班级的素养和成绩。 二、工作目标： 在这个学期的培优补差活动中，坚持“抓两头、带中间、整体推进”的方针，培优对象能按照计划提高学生数学思维、数学思想方法的应用以及合作能力，学习成绩好的同学，能积极主动协助老师实施补差工作，帮助后进生取得进步。补差对象能按照老师的要求做好，成绩有一定的提高。特别是做题、考试这一基本的能力。并在课堂教学中不断引导学生熟悉并应用各种基本的数学思想方法，使学生形成缜密的逻辑思维，并喜欢上数学学习。 三、工作内容： （一）优等生：拓展高考知识，拓宽知识面，促进其能力持续发展。鼓励参与班级管理，自发组成各种兴趣小组，指导其他同学学习。鼓
励多作数学笔记及错题集，并和同学分享学习方法。 （二）学困生:补差的工作内容是教会学生敢于做题，会做题，安排比较基础的内容让他们掌握，鼓励他们大胆问问题，虚心向别人请教。多关心学困生的学习，老师对他们做到有耐心、有信心，同时也要多给他们布置任务，比如初中没学习懂的东西或者在新课学习中遗留下来的问题，要督促他们用更多的时间来完成这部分内容。除老师的版主外，还应调动起优等生辅助他们学习，让他们一起合作学习的效果更加明显。 （三）中等生：鼓励他们向优等生靠齐，多对学习方法和他们做一些交流。对该部分同学布置问题时应循序渐进，有易到难。在讲解题时，多他们灌输学学思想方法和解题技巧。 四、主要措施： l．课外辅导，利用课余时间。 2．采用一优生带一差生的一帮一行动。 3．请优生介绍学习经验，差生加以学习。 4．课堂上创造机会，用优生学习思维、方法来影响差生。 5．对差生实施多做多练措施。优生适当增加题目难度，并安排课外作品阅读，不断提高做题和写作能力。 6．采用激励机制，对差生的每一点进步都给予肯定，并鼓励其继续进取，在优生中树立榜样，给机会表现，调动他们的学习积极性和成功感。
[基础题组练] 1．小明同学喜欢打篮球，假设他每一次投篮投中的概率为2 3，则小明投篮四次，恰好两 次投中的概率是( ) A.481 B.881 C.427 D.827 解析：选D.假设小明每一次投篮投中的概率为2 3，满足X ～B ????4，23，投篮四次，恰好两次投中的概率 P ＝C 24 ????232????132 ＝827 .故选D. 2．(2019·石家庄摸底考试)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出 现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.1 10 B.15 C.25 D.12 解析：选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝25 ，故选C. 3．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( ) A.14 B.89 C.116 D.532 解析：选D.两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－????262 ＝8 9；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1，2)或(2，1)或(2，2)，概率为13×16×2＋16×16＝5 36.故所求条件概率为5 3689 ＝532 . 4．(2019·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：
【题型综述】 利用导数解决不等式恒成立问题的策略： 构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式． 具体做法如下： 首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 证明()()f x g x <，(),x a b ∈时，可以构造函数()()()F x f x g x =-，如果()0F x '<，则()F x 在(),a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知，当(),x a b ∈时，有()0F x <，即证明()()f x g x <． 【典例指引】 例1．已知函数()()2112ln 2 f x a x a ax x =--+，()'f x 为其导函数. (1) 设()()1 g x f x x =+，求函数()g x 的单调区间； (2) 若0a >，设()()11,A x f x ，()()22,B x f x 为函数()f x 图象上不同的两点，且满足()()121f x f x +=， 设线段AB 中点的横坐标为0,x 证明：01ax >. 【思路引导】 （1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，()'0f x >得增区间，()'0f x <得减区间即可；（2）问题转化为证明()()2221*f x f x a ??->- ???令()()21F x f x f x a ??=-+- ??? ()222112ln 22ln 2a x a ax a x a ax a x x a ??=----+-- ???-，根据函数单调性证明即可 .
第十八讲 统计与统计案例 A 组 一、选择题 1．某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为（ ） A ．①②③ B ．②③ C ． ③④ D ．①④ 【答案】B 【解析】由题意得，从男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生，该抽样应该是简单的随机抽样，其中男生被抽到的概率为13 5 P =，女生被抽到的概率为22 5 P = ，所以只有②③是正确的，故选B. 2.如下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位： 分）。已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为（ ） A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 【答案】C 【解析】由中位数的定义可知5=x ，因8.16524930)85(?=+++++y ，故8=y ，应选C 。 3．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的结果，认为0H 成立的可能性不足1%，那么2 K 的一个可能取值为( ) A ．7.897 B.6.635 C. 5.024 D. 3.841 【答案】A 【解析】由题这种血清能起到预防感冒的作用为99%的有效率，显然0 6.635,k >所以选A. 4．下列说法正确的是 （ ）
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优突破二 压轴大题24分提高练(二) 20．(12分)某车床生产某种零件的不合格率为p(0 记f (p )＝(1－p )4(1＋4p )，0 0，f (x )<1e x －1 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ax e x －(ax ＋1)(e x ＋x e x )(x e x )2 ＝－ax 2－x －1x 2e x . 当a ≥0时，f ′(x )＝－ax 2－x －1x 2e x <0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 当a <0时，对于方程－ax 2－x －1＝0，Δ＝1－4a >0，方程－ax 2－x －1＝0 有两个不相等的实数根，记为x 1，x 2，解方程得x 1,2＝1±1－4a －2a ，不妨令x 1＝1－1－4a －2a ，x 2＝1＋1－4a －2a ，易知x 1<0，x 2>0，令f ′(x )>0，则x >x 2，令f ′(x )<0，则0 高三数学第一轮总复习讲义（培优版） 供理科生使用 第一讲等差数列及其性质与前n项和 第二讲等比数列及其性质与前n项和 第三讲数列的通项公式与前n项和的求法 第四讲数列的综合问题 第一讲 等差数列及其性质与前n 项和 【教学目标】 1、 掌握等差数列的概念及通项公式； 2、 理解并能应用等差数列的性质； 3、 熟练掌握各种方法求等差数列的通项公式及前n 项和以及应用等差数列解决实际问题。 【重点难点】 1、应用等差数列的性质解题； 2、等差数列前n 项和公式理解、推导及应用; 3、理解等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，会利用等差数列求和公式来研究n S 最值; 【命题趋势】 1、题型以选择题和解答题为主; 2、选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用; 3、解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n 项和与函数、不等式的综合问题。 【教学过程】 一、知识要点 1. 等差数列的判定方法： （1）d a a n n =-+1（常数）{}n a ?是等差数列； （2）)(2 2 1*++∈+= N n a a a n n n {}n a ?是等差数列； （3）b k b kn a n ,(+=是常数）{}n a ?是等差数列； （4）B A Bn An s n ,(2+=是常数，)1≥n {}n a ?是等差数列. 2. 等差数列的性质. 由等差数列{}n a 的通项公式d n a a n )1(1-+=可以推出许多性质,如: ①{}n a d ,0时>递增; {}n a d ,0时<递减; {}n a d ,0时=为常数列. ②),()(* ∈-+=N n m d m n a a m n . ③ ),(*∈=--N n m d n m a a n m ; ④若,s r q p +=+则,s r q p a a a a +=+特别地,k n k n n a a a +-+=2, 若{}n a 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的和相等,且等于首末两项的和; 培优点十八 离心率 1．离心率的值 例1：设1F ，2F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴 上，若1230PF F ∠=?，则椭圆的离心率为（ ） A B C ．13 D ． 16 【答案】A 【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=?，则直角三角形12PF F △ 中，1212::2PF PF F F = 且122a PF PF =+，122c F F = ，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+A ． 2．离心率的取值范围 例2：已知F 是双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直 线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．()1,2 C ．(1,1 D ．(2,1 【答案】B 【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ?? ∠∈ ??? 即 可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2 b AF a =，FE a c =+， 所以()()222tan 1112AF b c a c a AEF e FE a a c a a c a --== 高三数学(文科)培优辅导(一) 三角函数专题之一 09.2.20 例1. 求函数x x x y cos 1sin 2sin -= 的最小值. 练习: 1. 求函数x x y cos 2)3 cos(2++=π 的最大值. 2. 已知?? ? ??-∈0,2πθ,,51cos sin =+θθ求 θθtan 1tan 1-+的值. 例2. 若022sin 2cos 2<--+m x m x 对R x ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 练习: 1. 若,cos 2sin αα=求α αcos sin 1 的值. 2. 已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合,始边在x 轴正半轴上,终边经过点 )2,1(-P ,求)4 2cos(2π α- 的值. 3. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数,,若)(x f 的最小正周期是π, 且当?? ? ???∈2,0πx 时,x x f sin )(=,求)35(πf 的值. 高三数学(文科)培优辅导(二) 三角函数专题之二 09.2.26 例1. 已知53)4sin(=+π α, 求α α αtan 1sin 22sin 2--的值. 练习: 1. 已知41log )sin(8=-απ,且),0,2 (π α-∈则)tan( πα+的值为( ) A. 25- B. 25 C. 25 ± D . 5 2- 2. 已知ααcos ,sin 是方程022=--m x x 的两根,则=m _____________; 3. 已知1tan 2sin )(++=x b x a x f ,且5)3(=-f ,则=+)3(πf _________; 4. 函数)23 sin(32)2316cos()2316cos( )(x x k x k x f ++--+++=π ππ ),(Z k R x ∈∈的值域是____________;最小正周期是____________. 培优点六 三角函数 1．求三角函数值 例1：已知π3π044βα<< << ，π3 cos 45 α??-= ???，3π5sin 413β??+= ???，求()sin αβ+的值． 【答案】 5665 【解析】∵3πππ442 αββα??+= +--- ???， ()3ππ3πsin sin πcos π44244αββαβα???? ????∴+=+---=-+-- ? ? ? ????????? 3ππ3ππ=cos cos sin sin 4444βαβα?? ????????-+-++- ? ? ? ? ?????????? ? ∵π3π044βα<< <<，ππ024α∴-<-<，3π3π π44 β<+<， π4sin 45α?? ∴-=- ???，3π12cos 413β??+=- ???， ()1234556sin 13551365 αβ??∴+=--?-?= ???． 2．三角函数的值域与最值 例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??? ???=-+-+ ? ? ???? ???， （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间ππ,122?? -???? 的值域． 【答案】（1）πT =，对称轴方程：()ππ 32k x k = +∈Z ； （2）3?????? ． 【解析】（1）()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??? ???=-+-+ ? ? ???? ??? 132222 cos 2222x x x x x x ?=++?????? 2012届上砂中学高三培优理科数学强化训练5 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为 A ．2- B ．1- C ．0 D ．2 2．已知全集U =R ，函数y = A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合 B ，则集合() U A B = e A ．()2,1-- B ．(]2,1-- C ．(),2-∞- D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ? ? =+ ??? ()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12 D ．24 4．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直 线l 与圆O 的位置关系是 A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不确定 5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ?=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =， 则?a b 的值为 A ．8- B ．6- C ．8 D ．6 7．在△ABC 中，60ABC ∠= ，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的 概率为 A ． 16 B ．13 C ．12 D ．23 8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的 坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A ．252 B ．216 C ．72 D ．42 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分 （一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ． 10．已知()2 1 1d 4kx x +? 2≤≤，则实数k 的取值范围为 ． 正(主)视图 侧(左)视图 1 大题专项练(三) 立体几何 A 组 基础通关 1. 如图,在三棱锥A-BCD 中,△ABC 是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,点P 是AC 的中点,连接BP ,DP. (1)证明:平面ACD ⊥平面BDP ; (2)若BD= ,且二面角A-BD-C 为120°,求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值. △ABC 是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,所以Rt △ABD ≌Rt △CBD ,可得AD=CD. 因为点P 是AC 的中点,则PD ⊥AC ,PB ⊥AC , 因为PD ∩PB=P ,PD ?平面PBD ,PB ?平面PBD ,所以AC ⊥平面PBD.因为AC ?平面ACD , 所以平面ACD ⊥平面BDP. :如图,作CE ⊥BD ,垂足为E ,连接AE.因为Rt △ABD ≌Rt △CBD , 所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120°,知 ∠AEC=120°. 在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=AE, 因为△ABC是等边三角形,则AC=AB, 所以AB=AE. 在Rt△ABD中,有AE·BD=AB·AD,得BD=AD,因为BD=,所以AD=. 又BD2=AB2+AD2,所以AB=2. 则AE=,ED=.由CE⊥BD,AE⊥BD可知BD⊥平面AEC,则平面AEC⊥平面BCD. 过点A作AO⊥CE,交CE的延长线于O,则AO⊥平面BCD.连接OD,则∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角.在Rt△AEO中,∠AEO=60°,所以AO=AE=1,sin∠ADO=. 所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为. 方法二:如图,作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.因为Rt△ABD≌Rt△CBD, 所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角. 由已知二面角A-BD-C为120°,知∠AEC=120°. 2 高三理科数学培优提分方案 经过三年的数学学习，学生的数学能力的三级分化已基本定型，针对高中教育的特点，当下我们的教学重点应该在中间层级的学生和特优层级的学生的身上下功夫了，所以我们的课堂设计，题目的选择都必须针对这两个层级的学生。如果我们能在最后六十多天的冲刺过程能让中间层级的学生数学成绩稳定保持在90-130之间，特优学生的成绩保持在140-150之间，我们今年的一本升学率和理科学生冲击清华北大目标的完成就将是一个大概率事件，当然这也是我们高三数学备课组奋斗目标。成也数学（理科）败也数学，我们的压力也很大！ 为了完成这一愿望，在我们在集体备课时多次讨论达成了两个方案：特优学生培养方案和中间层级学生提分方案。 一、特优学生培养方案 1、成立理科攻坚组。以实验班科任老师XXX老师为主力，重点班科任老师XXX，XXX，为辅助的攻坚组团队； 2、确定特优学生：XXX、XXX，XXX，XXX，XXX，XXX，XXX，为培养对象； 3、特优生的培养措施：（1）课任老师要从平时的课堂，作业，测试中找中学生在哪个版块的知识点上存在问题，有针对性的进行个体训练，目前我们的肖老师就将特定的问题交给特定的优生承担讲解，迫使该优生在讲解前自己必须下功夫去钻研承担的讲解问题，使得优生逐步有了攻克难题的能力。（2）每周集体备课时攻坚组成员在平时试题讲解中收藏推荐经典好题，在套题中筛选特优生值得练习的题目 反馈给XXX为主的攻坚组，让我们的特优学生少做已经会做的基础题目，减少重复无效的学习，把他们从题海中解脱出来，去强化提升中高难度的题目，让他们练习更加高效，能刷更多的套题提升做题的速度和质量。（3）每周星期天早晨自习时间由理科攻坚组成员（每周安排一位）到优生自习室进行专题指导或心理疏导，给他们鼓劲，加油，让他们保持良好的心态，并能持续发力，力争特优生成绩在140分以上，向清北名校奋进。 二、中间层级学生提分方案 中间层级学生提分主要通过我们的三段突破方案实现： 第一段（XX月初结束）以大二轮复习资料中的八个回扣专题为线索，主要目的是回归教材梳理知识点，强化公式定理理解与应用，让我们的中间层级的学生在脑海中形成知识网络体系，提升基础题型得分-----（重点针对选择题与填空题，力争特优生选择填空保持满分80分，中间层级学生保持60分左右）。 第二段（XX月初~XX月XX日三周时间）进行高考试题的的考点分项练，注重强化三角函数，数列，立体几何，解析几何，概率与统计，函数与导数。（以复习资料步步高为载体+组内精选题为第二段复习的主要策略）----（重点针对六类解答题，力争特优学生得分在60分以上，中间层级学生前三个解答题做到基本不失分，后三个争取每题的4-5分，总计得分保持40分左右） 第三段（XX月XX日-XX月XX日约六周时间）进行高考模拟套题练习，进一步利用套题覆盖整个考点，巩固进一步利用答题卡规范答高三数学第一轮总复习培优版讲义(理)
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