第四章 可测函数
教学目的：
1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质.
2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近.
3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点：
1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性.
2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.
3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式.
4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.
§4.1 可测函数及相关性质
由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——
Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.
设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 记
=α
D 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数.
我们知道,f 在D 上连续?R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数.
又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为
=)(x f )(x E λ???=0
1
E D x E x -∈∈
由于 {}αα>∈=)(:x f D x D
??
?
??=D E φ
0101<<≤≥ααα
是可测集,所以E λ是D 上的可测函数.即
定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的.
今后,在不致混淆时,将{}α>∈)(:x f D x 简记为{}α>f .类似, {}α≥f 、
{}α≥f 、{}α 定理4.1.2 设函数f 定义在可测集D 上,则下面四件事等价. (i)f 在D 上可测; (ii)对任何R ∈α,{}α≥f 可测; (iii)对任何R ∈α,{}α 其证明就是利用集合的运算. 证明: (i)?(ii) {}α≥f ? ??? ??->=∞ =n f n 11 α ,由(i), ? ??? ?? ->n f 1α可测,从而?????? ->∞ =n f n 11α 可测,即{}α≥f 可测. (ii)?(iii){}α (iii)?(iv){}α≤f ? ????? +<=∞=n f n 11α (iv)?(i) {}α>f -=D {}α≤f 定理4.1.3 设函数f 和g (i){}λ=f 、{}βα< 证明: (i)先设λ是实数,则{}λ=f {}λ≥=f {}λ>-f 是可测集; 若∞=λ,则{}∞=f {}n f n >=∞ =1 可测; 若-∞=λ,则{}-∞=f {}n f n -<=∞ =1 可测. 可见, 对任何广义实数λ,{}λ=f 是可测集. 对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算立即可得. (ii)分析:?>g f x ?,使)()(x g x f >,若∞=)(x f ,则∞≠)(x g ,可∞-,不 管怎样,f 、g 之间可以插进有理数.即:若{}1≥n n r 是有理数全体,则 {}g f >{}{}{}g r r f n n n >>=∞ = 1 再利用函数f 和g 都是可测函数,可得右侧为可测集,即{}g f >是可测集. 在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有一致收敛的连续函数列的极限 函数连续,否则未必. 如:n n x x f =)(,]1,0[∈x . )()(x f x f n →???=01 1 01<≤=x x 不连续.而可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越性. 定理 4.1.4 设{}1)(≥n n x f 是可测集D 上的一列可测函数,则函数)(sup 1 x f n n ≥、)(inf 1x f n n ≥、)(lim x f n n ∞ →、)(lim x f n n ∞ →都是可测函数. 证明:任取R ∈α,则})({sup 1 α>≥x f n n })({1 α>=∞ =x f n n 可测.(此等式表明 至少有一个α>)(x f n ,否则都α≤,就说明α为上界,由上确界是最小上界,便会得出α≤≥)(sup 1 x f n n ) })(inf {1 α<≥x f n n })({1 α<=∞ =x f n n 可测. (至少有一个α<)(x f n ,否则都α≥,α为下界,其最大下界α≥≥)(inf 1 x f n n ) 再由)(l i m x f n n ∞→)(s u p i n f 1x f k n k n ≥≥=、)(lim x f n n ∞ →)(inf sup 1 x f k n k n ≥≥=知)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞ →都是可测函数. (n x 的上极限k n k n n n x x ≥≥∞→=s u p i n f l i m 1 ,k n k x ≥sup ↓;n x 的下极限k n k n n n x x ≥≥∞ →=i n f s u p lim 1,k n k x ≥inf ↑) 实变函数的第一个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第 二个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第二个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭. §4.2 可测函数的其它性质 设D 是可测集,)(x p 是一个与D 中每一点有关的命题.若除了D 的 1 x y 一个零测子集E 外,使)(x p 对每一E D x -∈都成立,则称)(x p 在D 上几乎处处成立,用a.e.表示.(即almost everywhere). 例如,{}x n sin 在R 上几乎处处收敛于0或说0sin lim =∞→x n n a.e.在R(因为只有2 π π+=k x 时,极限不为0,其为可数集,当然为零测集);Cantor 集 上的特征函数0)(=x C λ a.e.在]1,0[(因为Cantor 集为零测集). 若说)(x f 在R 上a.e.有限,意即)(x f 不有限的点的集合为零测集. 为讲第二个“差不多” ,先讲连续函数, 数学分析中求R 积分时,把曲的变成直的, 并称其为阶梯函数,此处我们称为简单函数, 它是由特征函数决定的. 设f 是可测集D 上的一个函数,若)(D f 是由有限个实数1a ,2a ,…,n a 组成,并且 {}k k a x f D x E =∈=)(: n k ,,2,1 = 都是可测集,则我们称f 是D 上的一个简单函数.由此f 可以表示为 )()(1x a x f K E k n k λ=∑= 其中)(x k E λ可记作)(x k λ,为k E 上的特征函数. 由可测函数定义,简单函数都是可测的.(定理3.3.4至多可数个可测集之并可测). 易知,若f 、g 都是简单函数,则f λ、||f 、fg 、g f +、g f -等都是简单函数(因其值域是有限个实数),当然都是可测的. 下面说明可测函数一定是简单函数的极限. 定理4.2.1 设f 是可测集D 上的可测函数,则有D 上的简单函数列{}1≥k k ?,使对每一D x ∈,)()(x f x k →?,此外 (i)当0≥f 时,可使上述{}1≥k k ?满足对每一D x ∈,{}1≥k k ?单增收敛于)(x f ; (ii)当f 有界时, 可使上述{}1≥k k ?在D 上一致收敛于f . (即对任何0>ε,有K ,K k >?,有ε?<-|)()(|x f x k ) 提问:试举例说明,一列函数在每一点都收敛于)(x f ,但不一致收敛. 答:如k k x x f =)( ]1,0[=D ,则???=0 1)(x f 1 01 <≤=x x ,这时)(x f k 在每一 点都收敛,但不一致收敛.其原因是极限函数不连续. 上述定理说明,可测函数和简单函数“差不多”.通过上图,我们形象地描述一下上述定理的证明思路. 第一次:在-1和1之间取阶梯函数,每段长2 1; 第二次:在-2和2之间取阶梯函数,每段长 2 21 ,其中-1和1之间是将第一次的段分一半,分细了,这段的一部分向上移了,所以-1和1之间的第二个阶梯函数部分比第一个大……,即 )(1x ????? ???--=1 2111k 1 )(2)(211 )(11-<<≤-≥x f k x f k x f 2,1,0,1-=k (k 的取法可由中间一段得出,因此时)(x f 必在-1和1之间,左等右不等,由 1211-=-k 得1-=k ,由12 1 =k 得2=k ,所以2,1,0,1-=k .第二次k 的取法类似). )(2x ????? ???--=2 2122k 2 )(2)(212 )(22-<<≤-≥x f k x f k x f 8,,6,7 --=k 证明:对每一1≥n ,令 )(x n ????? ???--=n k n n 2 1 n x f k x f k n x f n n -<<≤-≥)(2)(21)(若若若 n n n n k 2,,12?+?-= (i)显然{}1≥n n ?是一列简单函数,现固定D x ∈. 若∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n =)(?,从而)()(x f x n →?; 若-∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n -=)(?,从而)()(x f x n →?; 最后,若)(x f 是一个实数,则当n 充分大时,存在唯一的n k ,使得 n n n n k n 212?≤≤+?-,并且 n n n n k x f k 2)(21<≤- 于是)(x n ?n n k 21-=,n n x x f 21 )()(0<-≤?.令∞→n ,即得)()(x f x n →?. 特别,设f 非负.由)(x n ?的构造方法(如图x 轴上方),易知:)(x n ?单 增. (ii)最后若f 有界,M 是||f 的一个上界,则当M n >时,{}n f ≥及 {}n f -<都是空集,从而对一切D x ∈,有n n x f x 21 )()(< -?,故{}1)(≥n n x ?一致收敛于)(x f . 注1.由可测函数的定义,f 在可测集D 上是否可测,与f 在D 上的一个零测子集上的值无关. f 可测?{}α>∈)(:x f D x R ∈?α 是可测集. 若0)(=E m ,D E ?,即使f 在E 上乱动,对{}α>∈)(:x f D x 可测没有影响.即只要f 在E D -上可测,就说f 在D 上可测(在E 上无定义也可). 说明:若)(1x f )(2x f = a.e.D ,则当1f ,2f 中有一个可测时,另一个也可测.而连续函数斤斤计较,动一点则不连续. 注 2.设是D 上的可测函数列, 0)(=E m ,D E ?.若对每一个E D x -∈, )()(x f x f n →,由定理4.1.4知f 在E D -上可测,从而由注1, f 在D 上可测.这个结论也可以说成“可测函数列{}1≥n n f 在D 上几乎处处收敛的极 限f 在D 上可测”. 注 3.设f 和g 都是D 上的可测函数,若对某D x ∈,∞=)(x f ,且-∞=)(x g 或-∞=)(x f 且∞=)(x g ,则)()(x g x f +就没有意义.但如果所有使)()(x g x f +没有定义的点x 的全体是零测集,则我们同样可以讨论g f +的可测性,对g f -也如此. 定理4.2.2 设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、 fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的. 证明思路.以f 为例.因f 是可测集D 上的可测函数,从而有简单函数列)()(x f x f n →,进而简单函数列)()(x f x f n →,所以极限函数f 可测.再如证fg 可测,由已知,因)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,)(x f n 、)(x g n 为简单函数列,所以)(x f n )(x g n 也是简单函数列,且)(x f n )(x g n )()(x g x f →,因此极限函数)()(x g x f 可测. 一定注意:可测与否与零测集无关. 例题4.2.1 ]1,0[上的实函数是否一定可测? 答:不一定.找]1,0[中的不可测子集E ,其上的特征函数不可测.即:取不可测集合]1,0[?E ,令 ? ??==01 )()(x x f E λ E x E x -∈∈]1,0[ 则{}α>∈)(:]1,0[x f x ?? ? ??=]1,0[E φ 0101<<≤≥ααα ——→不可测. 所以)(x E λ在]1,0[上不可测. 例题4.2.2 零测集上的实函数是否一定可测? 答:因{}E x f E x ?>∈α)(:,故也是零测集,从而零测集上的实函数一定可测. 例题 4.2.3 设D E ?,其中D 可测,0)(=E m .若f 在E D -上可测,是否f 在D 上可测? 答:{}α>∈)(:x f D x ={}α>-∈)(:x f E D x {}α>∈)(:x f D x 可测. 复述定理4.2.1 f 在D 上可测?有D 上的简单函数列)()(x f x f n →,D x ∈?且 (i)0≥f 时,)()(x f x f n ↑→ (ii)当f 有界时, )(x f n )(x f . 之后三个“注”说明可测函数与零测集无关.这样,若可测函数列)()(x f x f n → a.e.,则)(x f 是可测函数.可见,对可测函数来说,总的要求是宽的. 重复定理4.2.2 设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的. 什么叫g f +几乎处处有定义? 即{}( ∞=)(x f {})-∞=)(x g {}( -∞=)(x f {})∞=)(x g 是零测集. 其证明思路: ①可测函数一定是一列简单函数列处处收敛的极限. ②也可用定义.如{}αλ>f 由)0}({>>λλαf 或)0}({<<λλ αf 来证. 此处用方法①最清楚. 简单函数)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,则)()(x f x f n λλ→,)()(x f x f n →, )(x f n )(x g n )()(x g x f →,)(x f n +)(x g n )()(x g x f +→ a.e.D (简单函数是处处有定义的,有限个实数是其值域,无∞±的情况,简单函数不允许取∞±)g f +在E D -可测,0)(=E m ,由注1, g f +在D 可测(即例题3). 例题4.2.4 f 在D 上可测,f sin 在D 上是否可测? 答:因f 可测,则有简单函数列)()(x f x f n →D x ∈? 所以 )(sin )(sin x f x f n → 由于n f 是简单函数,取有限个实数,当然)(sin x f n 也取有限个实数,因而n f sin 也是简单函数,所以f sin 可测. 由此可见,不光可测函数的“＋、－、×、数乘、绝对值”可测,还有些复合函数也可测,但复合函数比较复杂.sin 连续故必可测.但若随便问))((x f g 可测吗?一下子说不清楚. f 、 g 可测,则有简单函数f f n →、g g n →,这时))((x f g n n 也是简单函数,但))((x f g n n →))((x f g ? g 若连续,有))(())((x f g x f g n → g 若不连续,则没有))(())((x f g x f g n →,更不用说))((x f g n n →))((x f g 了. 所以,连续函数的复合还连续,而可测函数的复合却不一定可测. 要点: 1.可测函数与零测集无关. 2.可测函数是简单函数列处处收敛的极限. §4.3 可测函数用连续函数来逼近 称F 是一个紧集,若F 的任何开覆盖存在有限子覆盖.其充分必要 条件是F 是有界闭集. 定理 4.3.1 设F 是一个紧集,{}1≥n n f 是一列沿F 连续的函数.若 {}1≥n n f 在F 上一致收敛于f ,则f 也沿F 连续(F x ∈?,)()(lim 00 x f x f F x x x =∈→). 前面曾提到n x →???01 1 01 <≤=x x ]1,0[∈x ,由极限函数不连续?n x 不一 致收敛.定理的证明思路与数学分析同. 问: 数分怎样证明“连续函数)(x f n 在],[b a 一致收敛?)(x f 连续?” 证明:],[0b a x ∈?,0>?ε,0>?δ,?),(0δx x ∈ =-)()(0x f x f )()()()()()(000x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+- )()(x f x f n -≤+)()(0x f x f n n -+)()(00x f x f n - 3 ε < 3 ε + 3 ε + ε= 若改为),(b a 也一样. 本节中非常重要的一个结果: 定理4.3.2(Egoroff)设f 和n f )1(≥n 都是测度有限的集D 上几乎处处有限的可测函数.若n f 在D 上几乎处处收敛于f ,则对任何0>ε,有D 的闭子集F,使ε<-)(F D m ,并且n f 在F 上一致收敛于f .(也称基本上一致收敛,有点象数分中的内闭一致收敛) 证明:令{} )()(lim )()(:1x f x f x f x f D x D n n n =∈=∞ →都有限且和,则由条件知,1D 是可测集且0)(1=-D D m .令 )(r n A 1D =??? ??????? ??<-∞=r x f x f k n k 1)()( ,2,1,=r n ()(r n A 是1D 里那样的点: ? ?? ???<-r x f x f k 1)()(与r k ,有关, r 不动,取 ∞+= ,1,n n k ,现在看这种集合有什么性质) 对每一1≥r ,{}↑→≥1) (n r n A 1D ,且每一个)(r n A 都可测.(首先,每一个) (r n A 都是1D 子集,由{} ↑≥1 ) (n r n A 知)(1 ) (lim r n n r n n A A ∞ =∞ ←= ,也就是要证1)(1 D A r n n =∞ = ),易见 )(1 r n n A ∞= 1D ?，这是因为每个1)(D A r n ?,现在对1D x ∈?,取 01 >r ,由) ()(lim x f x f n n =∞ →知N ?,N k >?,有 r x f x f k 1)()(< -,说明 }1)()({r x f x f x k N n <-∈∞ = ,当然1D x ∈}]1)()({[r x f x f k N n <-∞= ) (r N A =.所以) (1 r n n A x ∞=∈ ,因此?1D )(1 r n n A ∞= ,于是得到1) (1 D A r n n =∞ = .即1)(lim D A r n n =∞ ←. 由测度性质(定理3.3.6(i)) )(lim )(r n n A m ∞ →)lim () (r n n A m ∞ →=)(1D m = (1) 又∞<=)()(1D m D m ,所以对每一1≥r ,有r n ,使 )()()(1r n r A m D m -)() (1r n r A D m -=1 2+ (2) (对 (1)式利用极限定义,再根据测度的减法,∞ <)(A m 时,)()()(A m B m A B m -=-) 此时n f 在)(1 r n r r A E ∞ == 上一致收敛于f . (即0>?ε有N ,N n ≥?,E x ∈?,有ε<-)()(x f x f n (下证) 0>?ε ,有00>r ,使 ε<0 1r ,从而当0r n n >时,对一切) (00 r n r A x ∈,有ε<< -0 1)()(r x f x f n .显然) (00 r n r A E ?所以上述结论对E x ∈?都成立.即n f 在) (1 r n r r A E ∞ == 上一致收敛于f .) )(E D m -)(1E D m -= )() (1 1r n r r A D m ∞ =-= ))(()(11r n r r A D m -=∞ = (由 ) (1 1r n r r A D ∞ =- )() (11 r n r r A D -=∞ = ) )() (11r n r r A D m -∑<∞ = 1 1 2+∞ =∑ 2 ε = 此时有E 的闭子集F ,使2 )(ε <-F E m ,则n f 在F 上一致收敛于f 且 )]()[()(F E E D m F D m --=- )()(F E m E D m -+-≤ε<. 思路是:几乎处处收敛→处处收敛→一致收敛→闭集上 ↑ ↑ ↑ ↑ D ? 1D ? E ? F 注:上述定理中要求D 测度有限即∞<)(D m .此条件非常重要.若∞=)(D m ,则没有上述定理. 如:)()(),(x x f n n +∞=λ,)(0)(x f x f n =→)(∞→n .问:是否有闭集F 使1)(<-F R m ?而且n f 在F 上一致收敛于0? 这是不可能的.因为{}∞=≥∈1:n f R x m 做不到0→n f a.e.R 引理4.3.1 设F 是R 中的闭集,函数f 沿F 连续,则f 可以开拓成 R 上的连续函数*f ,并且)(sup *x f R x ∈)(sup x f F x ∈=. R 证明:此时),(1 n n n c b a F ∞ == ,其中(){}n n b a ,两两不交.(f 在F 上有定义, 不妨设在c F 上没有定义,故f 在端点n a ,n b 上有定义,在其内部无定义,重新定义:将端点连成线段即可) .(可能f 在c F 有定义不连续,同样重新定义) 今定义 ????? ??=) ()()()(*n n b f a f x f x f 线性 -∞ =∈∞=∈∈∈n n n n n n n n n n a b a x b b a x b a b a x F x 其中其中有限其中),,(),,(,),,( ???? ??---+)() ()()(n n n n n n a x a b a f b f a f f* a n n n b n 1 12 2k k 显然*f 是R 上的连续函数.它是f 的开拓,且=∈)(sup *x f R x )(sup x f F x ∈. 引理 4.3.2 设f 是可测集D 上的简单函数,则对任何0>ε,有沿D 连续的函数*f ,使{}()ε<≠*f f m . (是说简单函数和连续函数“差不多”,为可测函数与连续函数“差不多”作准备) 证明:设{}n k k a D f ≤≤=1)((因f 为简单函数),其中k a 都是实数且两两不同.令 {}k k k a f E == n k ,,2,1 =,则k E 可测,其中{}n k k E ≤≤1两两不相交,k n k E D 1== . 对每一k ,有闭集k k E F ?,使 F E m k k ε <-)((因可测集与闭集“差不多”) 则f 沿F F k n k ==1 连续. (对k n k F F x 1 0==∈? ?0 0k F x ∈ ?x 充分接近0x 时即 ?<),(0x x d ),(min 0,,2,10 k k k n k F x d ≠= ?0 k k E F x ?∈所以0 )(k a x f =. ?从而)()(lim 00x f x f F x x x =∈→. ?即f 沿F 连续.) 由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f . {}())(*F D m f f m -≤≠ )(1 1k n k k n k F E m ==-= )]([1 k k n k F E m -≤= )(1 k k n k F E m -∑≤= ε< (由第一章习题:-∞=n n A 1 n n B ∞=1 -?∞ =n n A (1 )n B ,由于在F 上,f f =*,所以可能不等的地方在F 外,即{}F D f f -?≠*). 定理 4.3.3(Lusin)设f 是可测集D 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε有沿D 连续的函数*f 使{}()ε<≠f f m *,并且≤∈)(s u p *x f D x )(s u p x f D x ∈. 证明:不妨设f 处处有限. 先设∞<)(D m (为了应用Egoroff 定理),此时有简单函数列{}n f ,使对任何D x ∈,)()(x f x f n →.现对每一个1≥n ,由引理4.3.2,存在沿D 连续的函数*n f ,使 {}() 1 *2+< ≠n n n f f m ε ,2,1=n 令{}*1 n n n f f E ≠=∞ = ,则 )(E m ∞ =∑≤1n { }()1 1 *2+∞ =∑ <≠n n n n f f m ε 2 ε = 此时对每一E D x -∈(即{}*1 n n n f f =∞= ),有 )()(*x f x f n n = ,2,1=n 从而对每一E D x -∈, )()(*x f x f n → (因∞<-)(E D m 故可用Egoroff 定理) 由Egoroff 定理,,有有界闭集E D F -?使 2 )(ε < --F E D m 而且*n f 在F 上一致收敛于f .由定理 4.3.1,f 在F 上连续,再由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .此时 {}()f f m ≠*)(F D m -≤ ()[]E F E D m --= )()(E m F E D m +--≤ ε< 这样我们在∞<)(D m 即D 有界的条件下证明了定理. 若∞=)(D m ,令 )1,[+=n n D D n ,2,1,0±±=n 则∞<)(n D m . 由已证,对每一n ,有n D 的闭子集n F ,使f 沿n F 连续,而且 2 ||2)(+< -n n n F D m ε ,2,1,0±±=n 此时,n n F F +∞-∞ == 是闭集而且f 沿n F 连续. (一般,可数个闭集的并不一定是闭集,称σF 集.如:]2,1[1n n ∞ = ]2,0(=.开集 是σF 集是由于]1 ,1[),(1n b n a b a n -+=∞ = .此处n n F F +∞ -∞== 是闭集是因 F x n ∈?,x x n →有F x ∈(下证)由于R x ∈,故)1,[00+∈n n x .现x x n →,故又 由F x n ∈,当n 充分大时0 n n F x ∈.由0 n F 闭且x x n →知F F x n ?∈0 .) 由引理4.3.1,f 作为F 上函数可以开拓成D 上的连续函数*f ,并且 {}()*f f m ≠)(F D m -≤ )(n n n n F D m ∞ -∞ =∞-∞=-= )]([n n n F D m -≤∞ -∞ = 2 ||2 +∞ -∞ =∑ ε< 对于)(sup *x f D x ∈)(sup x f D x ∈≤,由引理4.3.1)(sup *x f D x ∈)(sup x f F x ∈=)(sup x f D x ∈≤而得 (因D F ?). 记住:只有Egoroff 定理限定∞<)(D m . 推论:若f 是],[b a 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε,有],[b a 上的连续函数*f ,使{}()ε<≠*f f m ,并且)(max *] ,[x f b a x ∈)(sup ] ,[x f b a x ∈≤. 例:???=0 1)(x D 无理数 有理数x x 处处不连续.令0)(*≡x D ,则 {}() ε<=≠0)()(*x D x D m . 这提供了一种方法,研究可测函数命题可以先研究连续函数,二者“差不多”. 000 §4.4 测度收敛 )()(x f x f n D n ∞ →?→?已经学过三种,即 ()()()()?? ? ?? ? ?测度收敛一致收敛几乎处处收敛 逐点收敛4321 {}()ε δεδε<≥-?>??>?>???∈?>??>?=-∈?∈?f f m N n N f f D x N n N E m E D x D x n n ,,0,0,,,00 )(, 第四种即今天要学习的测度收敛. 设f 和n f )1(≥n 都是D 上几乎处处有限的可测函数.若对任何0>δ, {}()0→≥-δf f m n ()∞→n ,则称n f 在D 上测度收敛于f .记为f f n ?. 例 4.4.1.对每一1≥n ,把]1,0[n 等分,得到n 个小区间 ],1[ n k n k -,n k ,,2,1 =.令 0≡f 1)()(]1,0[1≡=x x f λ )()(]2 1,0[2x x f λ = )()(]1,2 1[3x x f λ= )()(]3 1,0[4x x f λ = )()(]3 2,31[5x x f λ= )()(]1,3 2[6x x f λ= ………………图形见演示文稿《测度收敛反例》 此时对任何0>δ {}()δ≥-f f m n {}()δ≥=n f m 0?→? ()∞→n .(因n 越大,n f 等于1的区间越小)即f f n ?.但对任何]1,0[∈x ,{}1)(≥n n x f 中有无穷项为1,无穷项为0,可见n f 不收敛. 例 4.4.2.对每一1≥n ,令)()(),[x x f n n ∞=λ,0)(≡x f ,R x ∈.此时对 ?R x ∈,)()(x f x f n →,但对 2 1= δ,})21|({|≥-f f m n })21 ({≥=n f m )),((∞=n m ∞=.所以n f ?f . 以上二例说明:测度收敛与几乎处处收敛和逐点收敛没有因果关 系.但还是有关系的.即 定理 4.4.1(Riesz)设f 和)1(≥n f n 都是可测集D 上的几乎处处有限的可测函数,则(i)若f f n ?,则{}1≥n n f 中有子列{}1≥k n k f 几乎处处收敛于f . (ii)若∞<)(D m ,并且n f 几乎处处收敛于f ,则f f n ?. 证明: (i)此时对每一1≥k ,})2 1 |({|k n f f m ≥ -)(0∞→→n ,因此有k n 使 k k n f f m k 21})21|({|<≥ - ,2,1=k <<< 1 f 1 f 2f 3 f 4 f 5f 6f 7 f 8f 9 f 10 令})2 1 |{|(1k n p k p f f E k ≥ -=∞ =∞= (即集合序列的上极限) 则对每一1≥p })2 1|{|()(k n p k f f m E m k ≥ -≤∞ = })2 1 |({|k n p k f f m k ≥-∑≤∞ = k p k 21∞=∑ < 12 1-=p 令∞→p 得0)(=E m .即E 为零测集. 此时 c E E D -=})2 1|{|(1k n p k p f f k ≥ -=∞ =∞ = 从而对每一E D E x c -=∈,必有10≥p 使∈x }2 1 |{|0 k n p k f f k < -∞ = ,即0p k ≥?有 k n x f x f k 21|)()(|< -. 也即)()(x f x f k n → )(∞→k . 说明k n f 在c E 上处处收敛于f ,也就是说k n f 在D 上几乎处处收敛于f . (ii) (注意条件∞<)(D m ,否则即使n f 处处收敛于f ,也未必f f n ?) 任给0>δ,0>ε,由于∞<)(D m ,由Egoroff 定理,有D 的可测子集E 使 ε<-)(E D m 并且n f 在E 上一致收敛于f .于是有N,使 δ<-|)(|f x f n E x ∈? N n >? 此时 {}δ≥-)()(x f x f n E D -? 故 {}()δ≥-)()(x f x f m n ()E D m -≤ε< N n > 即f f n ?. 例 4.4.3.设)()(x f x f n ?,)()(x g x f n ?,则)()(x g x f =在E 上几乎处处成立. 证明:由于 )()(x g x f -)()()()(x g x f x f x f k k -+-≤, 故对任何自然数 n ,}1 |:|{n g f E x ≥-∈?}21|:|{n f f E x k ≥ -∈ }21|:|{n g f E x k ≥-∈, 从 而 })1|:|({n g f E x m ≥-∈≤})21|:|({n f f E x m k ≥-∈})21 |:|({n g f E x m k ≥-∈+ 令∞→k ,即得})1|:|({n g f E x m ≥-∈0=. 但是 }:{g f E x ≠∈}1 |:|{1n g f E x n ≥-∈=∞ = 故0}):({=≠∈g f E x m ,即)()(x g x f = a.e.于E. 讲可测函数最重要的一条是其与连续函数“差不多”,即Lusin 定理.我们所说的“差不多”是{}()ε<≠f f m *而不是f f =* a.e . 不要混同. 第三章 可测函数的知识要点与复习自测 一、可测函数的定义的知识要点： ◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。 ◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。 ◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过 对值域区间作不交区间分解（即21 01 [0,]{[ ,)}[,]22 m m m m k k k m -=++∞=??+∞），再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即 2101 [0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=?≤ 函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象； （2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根． 第四章 可测函数 教学目的： 1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质. 2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近. 3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点： 1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性. 2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征. 3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. §4.1 可测函数及相关性质 由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数—— Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构. 设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 记 =α D 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数. 我们知道,f 在D 上连续?R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数. 又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为 =)(x f )(x E λ???=0 1 E D x E x -∈∈ 1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数 定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且 E X E ∈= R ， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。 特别地， 当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集； 当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集. 注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。 定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ?，f 是定义在E 上的有限实函数。若对一切实数c ，集 (){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈ 都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。特别地， 当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。 定理 1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ?上的有限实函数。则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集 ()E c f d ≤< 是可测集。 证 设f 是可测函数，由于 ()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以 ()E c f d ≤<是可测集。 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==； 基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x 主要内容 为了建立勒贝格积分理论的需要，本章专门讨论一类重要的函数一一可测函数。它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数，学习本章时应注意以下几点。 一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容。可测函数的定义及给出的一些充要条件（如定理等）是判断函数可测的有力工具，应该牢固熟练地掌握和应用它们。可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的。可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越和方便之处。 二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一。几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式。叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系。通过这个定理，可以把不一致收敛的函数列部分的“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。勒贝格定理（定理）告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。然而，黎斯定理（定理）指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列。 三、可测函数的构造是本章的又一重要内容。一般常见的函数，如连续函数, 单调函数等都是可测函数。然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的（如迪里克雷函数）。所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多。而鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函 数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论从而带来很大的方便。 四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的。如定理证明中的构造方 法是富有启发性的，读者应深入体会，叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法；鲁金定理证明中先考虑简单函数，然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到般的证明方法在许多场合都是行之有效的。 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以 ()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2 020=????? ? ?? ??==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1 sin lim 0 00=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1sin lim 0 →不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =??? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 0 0lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y = 的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x 1 =在0=x 处不连续 ∴函数()x f x 1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题： 1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）； （２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ?? ≠≠+∈??? ? ） ； （３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10< 第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2 x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f == ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ； 可测函数与连续函数 实变大作业 2011/4/27 可测函数与连续函数 【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。 【关键词】：可测函数、连续函数、关系 这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。 一、基本概念 1、几乎处处： 给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，m E?E1=0，且使得性质P 在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。 2、可测函数： 设E??是Lebesgue可测集，f是E上的实值函数。假如对于任意实数C E f>C=x∈E:f x>C 都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。 3、几乎处处有限的可测函数： 设E??是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1， m E?E1=0，f在E1上有限，假如对于任意实数C E f>C=x∈E:f x>C 都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数 4、连续函数： 设D??，f是定义于D的函数，x∈D，假如 lim y→x,y∈D f y=f x 则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。 5、预备定理、引理 定理2.2设 f 是一个紧集， { f n}n≥1是一列沿 F连续的函数。若f n在 F上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。 定理2.3（Egoroff）设 f 和f n(n≥1)都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。若f n在 D 上几乎处处收敛于 f，则对任何 ε>0，有 D 的闭子集 F，使 m D? F <ε，并且f n在 F 上一致收敛于 f。 引理2.1设 F 是 R中的闭集，函数 f 沿 F 连续，则 f 可以开拓成 R 上的连续函数f?，并且sup x∈R| f?x|=sup x∈R| f x|。 引理2.2设 f是可测集 D 上的简单函数。则对任何ε>0，有沿 D连续的函数f?使 m {f≠f?} <ε。 二、可测函数和连续的关系 1、连续函数的可测性 定理1可测集上的连续函数都是可测函数。 证明:对任意a∈R，设x∈E f>a，则由连续性假设，存在x的某邻域U x，使U x∩E?E f>a。因此，令G=U(x) x∈E(f>a)，则： G∩E=U(x) x∈E(f>a)∩E=U(x) x∈E(f>a) ∩(f>a) 反之，显然有E f>a?G，因此： E f>a?G∩E f>a?G∩E 从而： E f>a=G∩E f>a 但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交G∩E仍为可测集，即E f>a为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。 但可测函数不一定连续例例： 可测函数Dirichlit函数在0,1上处处间断 2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性 引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数f?，并且： sup x∈R f?(x)=sup x∈R f(x) 证明：此时F c=(a n,b n)是开集，其中开区间族(a n,b n)两两不相交。今定义 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。 五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。 六、 单选题 七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（ ） 八、 A 、无穷小 B 、无穷大 九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） 十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（ ） 十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、 求下列极限 二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 函数单元测试（A ） 一、填充题： 1、设的定义域为[]1,0，则)2(+x f 的定义域是________________。 2、1sin )(,)(2 +==x x q x x f ，则[]=)(x q f ________,()[]=x f q __________。 3、设()2212 ++=+x x x f ，则()=x f _____________。 4、 ()_________ )2(_________,)4(,1 ,01 ,sin =-=?????≥=ππf f x x x x f π。 5、已知函数()x f 是偶函数，且在()+∞,0上是减函数，则函数()x f 在()0,∞-上必 是____________函数。 6、设x v v u u y arccos , 1 ,3 =+==，则复合函数()_____________==x f y 。 7、______________,cos sin )(2 2其周期为设函数x x x f -=。 二、选择题： 1、函数??? ??? ? > ≤+=2,sin 2,)1ln()(ππx x x x x f 则) 4(π f 等于（ ） （A ） ) 41ln(π + （B ）22 （C ）2π （D ）4π 2、设x e x g x x f ==)(,)(2，则=)]([x g f （ ） （A ）2 x e （B ）x e 2 （C ）2 x x （D ）x e 3、设函数()x f 的定义域是]1,0[，则()2 x f 的定义域是（ ） （A ）[-1，1] （B ）[0，1] （C ）[-1，0] （D ）（- ∞，+∞） 4、函数()x x x f -+=1010是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函 数 （C ）非奇非偶函 （D ）既是 奇函数又是偶函数 5、函数()[]2 13arcsin +=x y 的复合过程是（ ） ()()13sin ,sin ,(D) 13,arcsin ,)(13,arcsin B) ( 13arcsin ,)(2222+===+===+==+==x v v u u y x v v u u y C x u u y x u u y A 6、3 4x y -=的反函数是（ ） ()()33334(D) 4C) ( 4(B) 4)(x y x y x y x y A -=-=-=-= 7、下列函数中为基本初等函数的是（ ） 1 23)()( )15arctan()()( 0,10 ,0)()( 1)ln()()(-=+=???≥=+=x x f D x x f C x x x f B x x f A π 第四章 复习题（一） 一、判断题 1、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，则 ()d E f x x ? 一定存在。（√ ） 2、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ） 3、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，且0()d E f x x ≤<+∞? ，则()f x 在E 上 勒贝格可积。（√ ） 4、设()f x 是可测集n E R ?上的非负可测函数，则 ()d E f x x ? 一定存在。（√ ） 5、设()f x 是可测集n E R ?上的非负可测函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ） 6、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，且0()d E f x x ≤<+∞? ，则()f x 在E 上 勒贝格可积。（√ ） 7、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，则 ()d E f x x ? 一定存在。（× ） 8、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则 ()d E f x x ? 一定存在。（√ ） 9、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E - ∈至少有一个 成立，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ） 10、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数， 若()()f x L E +∈且()()f x L E -∈，则() f x 在E 上勒贝格可积。（√ ） 11、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数， 若()()f x L E ∈，则()d E f x x -∞<<+∞? 。 （√ ） 12、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数， 若()()f x g x ≤且()()g x L E ∈，则 ()()f x L E ∈。（√ ） 13、若E 为零测集，()f x 为E 上的任何实函数，则()()f x L E ∈。（√ ） 14、若()()f x L E ∈，则[]0mE f =+∞=。（√ ） 15、若()()f x L E ∈，则()()f x L E ∈。（√ ） 极限和连续试题（A 卷） 1.选择题（正确答案可能不止一个）。 （1）下列数列收敛的是（ ）。 A. n n x n n 1) 1(--= B. n x n n 1)1(-= C. 2 sin πn x n = D. n n x 2= （2）下列极限存在的有（ ）。 A. x x sin lim ∞ → B. x x x sin 1lim ∞→ C. 121lim 0-→x x D. 121lim 2+∞→n n （3）下列极限不正确的是（ ）。 A. 2)1(lim 1=+-→x x B. 11 1lim 0=+→x x C. ∞=-→2124lim x x D. +∞=+→x x e 2 lim （4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（ ）。 A. )0(12 →--x x B. )0(sin →x x x C. )(+∞→-x e x D. )0()1sin 2(12→-+x x x x （5）如果函数.0;0;0,1sin ,,sin 1)(>= （1）)13(lim 231+-→x x x ； （2）)523(lim 2 2 -+-→x x x ； （3）)311(lim 0-+→x x ； （4）x x x x +-→223lim ； （5）38lim 23--→x x x ； （6）4 16lim 24--→x x x ； （7）121lim 221---→x x x x ； （8）2 2lim 2--→x x x ； （9）x x x 11lim 0-+→； （10）x x x cos lim ∞→； （11）x x x x x --+∞→33313lim ； （12）x x x x x --+∞→44513lim ； （13）x x x x x --+∞→43133lim ； （14）1 139lim 23--+∞→x x x x ； （15）x x x 33sin lim 0→. 3.设2320()21013(1)1x x f x x x x x - 第四章 可测函数（总授课时数 14学时） 由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构. §1 可测函数及其性质 教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质 教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好 的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征. 本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 1可测函数定义 定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >?∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数. 2可测函数的性质 性质1 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数 若1n i i E E ==? (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的 简单函数； 1()()i n i E i f x c x χ==∑ 其中1()0i i E i x E x x E E χ∈?=?∈-? 注：Dirichlet 函数是简单函数 性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续 00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ?>?>??若使得 对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续 0lim ()()x x f x f x →=若 函数极限与连续测验题 姓名 学号 计分 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1 ．(lim sin sin x →+∞ = 。 2．已知2 1 lim 31 x x bx c x →++=-，则常数b = ，c = 。 3．已知cos ,||1 ()2 |1|,||1x x f x x x π? ≤?=??->? ，则x = 为()f x 的间断点，且为第 类间断点。 4．已知函数sin ,0(),0x e x f x x x β α?+>? =??≤? 连续，则常数α= ，β= 。 5．当0x + → 是x 的 阶无穷小。 6．2 3 6 3 4 (21)(34) lim (61) x x x x →∞ --=+ 。 二、选择题（每小题2分，共20分） 1、在区间(,)-∞+∞内方程1 1 42||||cos 0x x x +-=（ ） （A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 2．设数列的通项为* 1 ,21(),2n n k x k N n n n k ?=+?=∈??=? ，则当n →+∞时，n x 为（ ） （A ）无穷小量 （B ）无穷大量 （C ）有界量 （D ）无界量 3．当0x →时，tan sin x x -是3x 的（ ） （A ）低阶无穷小 （B ）高阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）同阶无穷小 4．已知()f x 与()g x 在()x -∞<<+∞上连续，且()()f x g x <，则有（ ） （A ）()()f x g x ->- （B ）lim ()lim ()x x f x g x →∞ →∞ < 第一章 函数、极限与连续 第一讲：函数 一、是非题 1．2x y = 与x y =相同； （ ） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. )0(2 >=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ） 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ） 7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ） 8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。 （ ） 二、填空题 1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 对称； 2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2 +x f 的定义域是 ； 3.1 22+=x x y 的反函数是 ； 4.1)(+=x x f ，2 11 )(x x += ?，则]1)([+x f ?＝ ， ]1)([+x f ?＝ ； 5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数 和 复合而成； 6.1)(2 +=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝ ，___________)1(=a f ， ___________)]([=x f ?。 三、选择题 1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ） A 、x 3sin B 、13+x C 、x x +3 D 、x x -3 2.设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（ ） A 、有界函数 B 、周期函数 C 、奇函数 D 、偶函数 四、计算下列各题 1.求定义域5 23arcsin 3x x y -+-= 2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1 142++ -=x x y (3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg = 3.设2 )(x x f =，x e x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g x f f x f g x g f ； 第二章测度与可测函数 本章内容提要： 1.引进Lebesgue测度与抽象测度的概念，给出测度的主要性质 2.引进可测函数的概念，讨论可测函数的性质 3.讨论可测函数与连续函数之间的关系，给出可测函数的结构 4.讨论可测函数列的几种不同类型的收敛性概念及其相互关系 本章重点难点提示： 1.Lebesgue测度与抽象测度的概念及其性质 2.判定一个集合是否可测的方法 3.可测函数的几种等价定义 4.可测函数与连续函数之间的关系 5.可测函数列的几种收敛性之间的关系 第一节Lebesgue测度 2.1.1定理 存在集族L与集函数L，使它们具有以下两组性质 L. 若L，则L. 若L，则L. 若是开集，则L. . -可加性若L，互不相交，则 完备性若则L. 测度单位. 平移不变性若L，则L，且 逼近性质任给L，，存在闭集与开集，使 且. 证明见§2.5. 定义Th2.1.1中的称为一维Lebesgue测度，L中的集称为一维Lebesgue可测集.Th2.1.1中性质刻画了可测集族L的构成，而则表示测度的特征. 由Th2.1.1可得下列关于可测集与测度的性质 2.1.2命题 若L，，则L；若L，则L. 证明 L，L. 综合性质与命题2.1.2得出结论，可测集经过差运算及可数次并或交运算后仍为可测集.由性质进一步推出:开集经差运算及可数次并或交运算后仍为可测集(这种可测集叫Borel集，见§2.5)，特别地:型集与型集是可测集. 2.1.3命题 测度有以下性质L. ①单调性:若L，，则. ②可减性:若L，，则. ③次可加性:若L，则. ④下连续性:若L是一升列，则. ⑤上连续性:若L是一降列，且则 . 第四章 可测函数 习题4-1-P108 P108 1、证明E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数. 证明：设∑== i i k m k E i k i x c x 1 )()()()(χψ,2,1=i ,为E 上的两个简单函数, 那么∑∑∑∑======= 12 1 1 11 )1()1(1 )2(1 )1(m i m j j i m k k m k k E E E E E ,于是 ∑∑==+=+2 )2(1 )1(1 )2(1 )1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x j i χχψψ ∑∑∑∑====+=2 1 )2() 1(1 2 )2() 1(1 1 )2(1 1)1()()()()(m j m i E E j m i m j E E i x x c x x c j i j i χχ χχ ∑∑==+=12)2()1(11 )2()1()()()(m i m j E E j i x x c c j i χχ∑∑==+=12 )2()1(11 )2()1()()(m i m j E E j i x c c j i χ, ∑∑===2 )2(1)1(1 )2(1 )1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x j i χχψψ ∑∑∑∑======12 )2()1(12)2()1(11 )2()1(11 )2()1()()()(m i m j E E j i m i m j E E j i x c c x x c c j i j i χχχ, 所以)()(21x x ψψ+与)()(21x x ψψ都是E 上的简单函数. 2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈?a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,第三章可测函数的知识要点与复习自测
第二章极限习题及答案：函数的连续性
第四章 可测函数汇总
1.5 可测集与可测函数(讲义)
函数与极限测试题及答案(一)
(完整版)函数极限与连续习题含答案,推荐文档
实变函数与泛函分析基础(第三版)--------第四章_复习指导
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
函数及极限习题及答案
可测函数与连续函数
函数与极限测试题及答案一
函数极限连续单元测试与答案
实变函数第四章复习题及解答(1)
函数、极限和连续试题与答案
《实变函数》第四章 可测函数
函数连续极限测试题
函数极限与连续习题加答案(供参考)
第二章 测度与可测函数
可测函数(知识题)
相关主题
文本预览