第一章 误差和数据处理习题解答 1、指出下列情况属于随机误差还是系统误差： （1）视差； （2）天平零点漂移； （3）千分尺零点不准； （4）照相底版收缩； （5）水银温度计毛细管不均匀； （6）电表的接入误差。 解：（1）忽左忽右，属随机误差； （2）往单方向漂移属系统误差；随机漂移属随机误差； （3）属系统误差，应作零点修正； （4）属系统误差； （5）按随机误差处理； （6）属系统误差，可作修正。 2、说明以下因素的系统误差将使测量结果偏大还是偏小： （1）米尺因低温而收缩； （2）千分尺零点为正值； （3）测密度铁块内有砂眼； （4）单摆公式测重力加速度，没考虑θ≠0； （5）安培表的分流电阻因温度升高而变大。 解：（1）使结果偏大； （2）使结果偏大，属系统误差，修正时应减去这正零点值； （3）使密度值偏小； （4）使结果偏小： 当θ≠0时，单摆公式为： )2 sin 411(220θπ +=g l T 或 2220 2)2sin 1(4θπ+=T l g 若用θ=0的2 0204T l g π=近似，结果偏小； （5）分流电阻变大，分流变小，使结果偏大。 3、用物理天平（仪?=0.020g ）称一物体的质量m ，共称5次，结果分别为36.127g 、 36.122g 、36.121g 、36.120g 和36.125g 。试求这些数据的平均值、绝对不确定度和相对不确定度。 解：36.12736.12236.12136.12036.12536.12336.1230 m g +++++== m S =0.0026g ， 已知：仪? =0.020g ， 0.020u g ==?
第一章测量误差及数据处理 物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容，是不可分割的两部分。误差理论是一门独立的学科。随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发展。误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。 第一节测量与误差 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个组成部分。对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。比较的结果记录下来就叫做实验数据。测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。 国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。其它物理量的单位则是由以上基本单位按一定的计算关系式导出的。因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。如以上提到的速度以及经常遇到的力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 测量可以分为两类。按照测量结果获得的方法来分，可将测量分为直接测量和间接测量两类，而从测量条件是否相同来分，又有所谓等精度测量和不等精度测量。 根据测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流等，
误差理论与数据处理 误差习题 第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求 其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解： 射手的相对误差为： 多级火箭的射击精度高。 1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为 m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。 其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。 相对误差 0.01%110111±=± =mm m I μ 0.0082%11092±=± =mm m I μ %008.0150123±=± =mm m I μ 123I I I <<第三种方法的测量精度最高
“测量误差、不确定度和数据处理”作业参考答案（总分：40分） 1.(3分) 1 5 8 9 2 3 2. (3分) (1) 5位 1.08 (2) 5位 0.862 (3) 5位 27.0 (4) 6位 3.14 (5) 4位 0.00200 (6) 5位 4.52?103 3. (2分) A 正确，其他结果的平均值和不确定度的最后一位没有对齐； 4.(2分) (3) 5. (4分) (1) A=(1.70±0.01)?104km, P=95%； (2) B=(1.7±0.5)?10-3m, P=95%； (3) C=(1.08±0.02)?10cm, P=95%； (4) D=(9.95±0.02)?10?C, P=95%； 6. (4分) (1) 216.5-1.32=215.2 (2) 0.0221?0.0221=0.000488 (3) 55100.60.11000.66.1160.121500400?=?=-? (4) 15cm=1.5?102mm=1.5?105μm 7. (5分) (1) 98.754+1.3=100.0 (2) 107.50–2.5=105.0 (3) 27.6÷0.012=2.3?103 (4) 121×10= 1.2×103 (5) 00.20.3800.760.200.4000.76==- (6) 0.100 .11000.200.50)001.000.1)(0.3103()3.1630.18(00.50=??=+--? (7) ()()23101.20.11010 0.11000.10.110000.100.10.100.1000.110000.100.7700.78412.46.50.100?=+??=+??=+?-+? (8) 27.30 .47915680.4790.9436250.4790.943252==+=+ (9) 6630.148030.1410080.030.141005 .20.230.141005.23.213.23=-=-?=-?=-?- 8. (9分) 解：n=6，一般取置信概率P=95%，查表知t p =2.45 ()mm D D i i 836.9836.9837.9834.9838.9836.9835.96 16161=++++++==∑= ()()()()()mm mm D D t U i i p B A D 3366225 2估2 仪22222估2仪6122 2 10510241017108200010004030 101452166000100020002000010452166-----=?≈?≈?+?=++??=?+?+-++-+++-?=?+?+--=?+?=∑.......... 因此 ()mm D 005.0836.9±=, (P =95%) 9. (8分) 解： 3322485478520 9534214225444cm g cm g h D m .....==???==ππρ 3 3661022 222222222222222210510097410181106151062020901053420050414225400204-----?≈?≈?+?+?=+?+=++=?? ? ????+??? ????+??? ????==..........ln ln ln h U D U m U U h U D U m U E h D m h D m ρρρρρρ 32310252100974485cm g E U --?≈??==...ρρρ 因此()303.048.5cm g ±=ρ, (P =95%)或()302304785cm g ..±=ρ, (P =95%) 分析： 相对不确定度大的直接测量量D 对间接测量量ρ的不确定度贡献最大； 相对不确定度小的直接测量量m 对间接测量量ρ的不确定度贡献最小; 这是乘除表达式构成的间接测量量共同的规律。
第一章 测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。 本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1.1 测量与误差 1.1.1测量 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 1.1.2 误差 绝对误差 在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。测量的目的就是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。设测量值为N ，相应的真值为N 0，测量值与真值之差ΔN ΔN ＝N －N 0 称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。 误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验测量中不可缺少的一项重要工作。 相对误差 绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。用Ｅ表示： %1000 ??=N N E 由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用Ｎ代替0N 。在这种情况下，Ｎ可能是公认 值，或高一级精密仪器的测量值，或测量值的平均值。相对误差用来表示测量的相对精确度，相对误差用百分数表示，保留两位有效数字。 1.1.3 误差的分类
第 2 章误差及数据处理练习题及答案 一、基础题 1、下列论述中正确的是：（） A、准确度高，一定需要精密度高； B、精密度高，准确度一定高； C、精密度高，系统误差一定小； D、分析工作中，要求分析误差为零 2、在分析过程中，通过（）可以减少随机误差对分析结果的影响。 A、增加平行测定次数 B、作空白试验 C、对照试验 D、校准仪器 3、下列情况所引起的误差中，不属于系统误差的是（） A、移液管转移溶液之后残留量稍有不同 B、称量时使用的砝码锈蚀 C、滴定管刻度未经校正 D、以失去部分结晶水的硼砂作为基准物质标定盐酸 4、下列有关随机误差的论述中不正确的是 （A、随机误差是随机的； ） B、随机误差的数值大小，正负出现的机会是均等 的；C、随机误差在分析中是无法避免的； D、随机误差是由一些不确定的偶然因素造成的 5、随机误差是由一些不确定的偶然因素造成的、 2.050 × 10-2是几位有效数字（）。 A、一位 B 、二位 C 、三位D 、四位 6、用 25ml 移液管移出的溶液体积应记录为（）ml 。 A 、25.0B、 25 C、 25.00 D 、25.000 7、以下关于偏差的叙述正确的是（）。 A、测量值与真实值之差 B、测量值与平均值之差 C、操作不符合要求所造成的误差 D、由于不恰当分析方法造成的误差 8、分析测定中出现的下列情况，何种属于随机误差?() A、某学生几次读取同一滴定管的读数不能取得一致 B、某学生读取滴定管读数时总是偏高或偏低； C、甲乙学生用同样的方法测定，但结果总不能一致； D、滴定时发现有少量溶液溅出。 9、下列各数中，有效数字位数为四位的是（） A、c H 0.0003mol L 1 B、pH=10.42 C、 W(MgO ) 19.96% D、0. 0400
《误差理论与数据处理》练习题 参考答案 第一章 绪论 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的 绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。 相对误差= 0.3 100%0.3%100.5 -?≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2 （h 1 +h 2 ）/T 2 给定。今测出长度（h 1 +h 2 ）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。试求g 及其最大相对误差。如果（h 1 +h 2 ）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2 ，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1 +h 2 ）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。 由2 1224()g h h T π=+,得： 22 2 4 1.042309.81053(/)2.0480 g m s π=?= 当12()h h +有微小变化12()h h ?+、T 有T ?变化时，令12h h h =+ g 的变化量为： 22 12121223122 1212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h T h h T T T T h h h h T T πππ???=?++?=?+-+??+??= ?+-+
22 23224842()g g g h T h h T h T T T T h h T T πππ???=?+?=?-????=?- g 的最大相对误差为： 2 222 2 2 2212 4422[] []244() 0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.04230 2.0480 T T h h h h g h T T T T T g h T h h h T T ππππ???- ?-???== =-+±?±=-?≈± 如果12()h h +测出为（1.04220±0.0005）m ，为使g 的误差能小于0.001m/s 2，即：0.001g ?< 也即 21212242[()()]0.001T g h h h h T T π??=?+- +< 22 420.0005 1.042200.0012.0480 2.04800.0005 1.017780.00106 T T T π?±-?<±-?< 求得： 0.00055()T s ?< 1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的 示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ 【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。所以该电压表的引用误差为： 2 2%100 m m m U r U = == 由于： 2%<2.5% 所以该电压表合格。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解： 多级火箭的相对误差为： 射手的相对误差为： %001.000001.010000 1 .0==%002.00002.05001.0501===m m m cm
误差理论与数据处理 学号: ____________ 姓名: __________ 专业: _____________ 评分: _______ 上课时间: 第____周星期____上午[ ]下午[ ]晚上[ ] 请将1-24小题的答案对应地填在下表中 一、单选题（每小题3分，共36分）。 1.采用“四舍六入五单双”法，将下列各数据取为2位有效数字（修约间隔为0.1），其 结果正确的是： A. 2.750→2.7 B. 2.650→2.6 C. 2.65001→2.6 D. 2.6499→2.7 2.自然数6的有效数字位数为： A. 1位 B. 2位 C. 3位 D. 无穷位 3.L=0.1010m的有效数字位数为： A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位 4.V=2.90×103m/s的有效数字位数为： A. 3位 B. 5位 C. 6位 D. 7位 5.下列单位换算正确的是： A. 0.06m=60mm B. 1.38m=1380mm C. 4cm=40mm D. 5.0mm=0.50cm 6.用有效数字运算法则计算123.98－40.456+ 7.8，其结果正确的是： A. 91.324 B. 91.3 C. 91.32 D. 91 7.用有效数字运算法则计算271.3÷0.1和3.6×4.1，其结果正确的是： A. 3×103和14.8 B. 3×103和15 C. 2712和14.76 D. 2712和15 8.用有效数字运算法则计算 4.0345 +38.1 9.0121-9.011 ，其结果正确的是： A. 3705.827 B. 370.8273 C. 3705.8 D. 4×103
第二章误差和分析数据处理习题 一、最佳选择题 1. 如果要求分析结果达到0.1%的准确度，使用灵敏度为0.1mg的天平称取试样时，至少应称取（） A. 0.1g B. 0.2g C. 0.05g D. 0.5g 2. 定量分析结果的标准偏差代表的是（）。 A. 分析结果的准确度 B. 分析结果的精密度和准确度 C. 分析结果的精密度 D. 平均值的绝对误差 3. 对某试样进行平行三次测定，得出某组分的平均含量为30.6% ，而真实含量为30.3% ，则30.6%-30.3%=0.3% 为（） A. 相对误差 B. 绝对误差 C. 相对偏差 D. 绝对偏差 4. 下列论述正确的是：（） A. 准确度高，一定需要精密度好； B. 进行分析时，过失误差是不可避免的； C. 精密度高，准确度一定高； D. 精密度高，系统误差一定小； 5. 下面哪一种方法不属于减小系统误差的方法（） A. 做对照实验 B. 校正仪器 C. 做空白实验 D. 增加平行测定次数 6. 下列表述中,最能说明系统误差小的是( ) A. 高精密度 B. 与已知的质量分数的试样多次分析结果的平均值一致 C. 标准差大 D. 仔细校正所用砝码和容量仪器等 7. 用下列何种方法可减免分析测定中的系统误差（） A. 进行仪器校正 B. 增加测定次数 C. 认真细心操作 D. 测定时保证环境的湿度一致 8. 下列有关偶然误差的论述中不正确的是（） A．偶然误差是由一些不确定的偶然因素造成的； B．偶然误差出现正误差和负误差的机会均等； C．偶然误差在分析中是不可避免的； D．偶然误差具有单向性
9. 滴定分析中出现下列情况，属于系统误差的是：（） A. 滴定时有溶液溅出 B. 读取滴定管读数时，最后一位估测不准 C. 试剂中含少量待测离子 D. 砝码读错 10. 某一称量结果为0.0100mg, 其有效数字为几位？（） A . 1 位 B. 2 位 C. 3 位 D. 4 位 11. 测的某种新合成的有机酸pK a值为12.35，其K a值应表示为（） A. 4.467×10 -13； B. 4.47×10 -13； C.4.5×10 -13； D. 4×10 -13 12. 指出下列表述中错误的表述( A ) A. 置信水平愈高,测定的可靠性愈高 B. 置信水平愈高,置信区间愈宽 C. 置信区间的大小与测定次数的平方根成反比 D. 置信区间的位置取决于测定的平均值 13. 下列有关置信区间的描述中，正确的有：（ A ） A. 在一定置信度时，以测量值的平均值为中心的包括真值的范围即为置信区间 B. 真值落在某一可靠区间的几率即为置信区间 C. 其他条件不变时，给定的置信度越高，平均值的置信区间越宽 D. 平均值的数值越大，置信置信区间越宽 14. 分析测定中，使用校正的方法，可消除的误差是( )。 A. 系统误差 B. 偶然误差 C. 过失误差 D. 随即误差 15. 关于t分布曲线和正态分布曲线形状的叙述，正确的是：( ) A. 形状完全相同，无差异； B. t分布曲线随f而变化，正态分布曲线随u而变； C. 两者相似，而t分布曲线随f而改变； D. 两者相似，都随f而改变。 16. ) 457 .2 1. 17 /( ) 25751 .0 83 .2 5. 472 (+ ? ? = y的计算结果应取有效数字的位数是( ) A. 3位 B. 4位 C. 5位 D. 6位 17. 以下情况产生的误差属于系统误差的是( )。 A. 指示剂变色点与化学计量点不一致； B. 滴定管读数最后一位估测不准； C. 称样时砝码数值记错； D. 称量过程中天平零点稍有变动。 18. 下列数据中有效数字不是四位的是( )。 A. 0.2400 B. 0.0024 C. 2.004 D. 20.40 19. 在定量分析中,精密度与准确度之间的关系是( )。
第一章测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。 本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1.1 测量与误差 1.1.1测量 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 1.1.2 误差 绝对误差在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。测量的目的就 是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。设测量值为N，相应的真值为N0，测量值与真值之差ΔN ΔN＝N－N0 称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。 误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将
《误差理论与数据处理》(第六版)完整版 第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解： 射手的相对误差为： 多级火箭的射击精度高。 1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为 m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。 其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。 相对误差 0.01%110111±=± =mm m I μ 0.0082%11092±=±=mm m I μ %008.0150123±=±=mm m I μ 123I I I <<第三种方法的测量精度最高
《误差理论与数据处理》 第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结 果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件 的真实长度为多少？ 解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝， 测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－＝（mm） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得，该压力用更准确的办法测得为，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： －＝－（ Pa） 1-8在测量某一长度时，读数值为，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 1-9、解： 由 2 12 2 4() h h g T π+ =，得 对 2 12 2 4() h h g T π+ =进行全微分，令 12 h h h =+，并令g V，h V，T V代替dg，dh，dT得 2 180 20 00 180'' = -'' 'o o % 000031 .0 1 0000030864 .0 64800 2 06 60 180 2 180 2 ≈ = '' '' '' ? ? '' = '' ＝ o
《误差理论与数据处理》 第一章 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？ 解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。1-9、解： 由 2 12 2 4() h h g T π+ =，得 对 2 12 2 4() h h g T π+ =进行全微分，令 12 h h h =+，并令g，h，T代替dg，dh，dT得 2 180 20 00 180'' = -'' 'o o % 000031 .0 1 0000030864 .0 64800 2 06 60 180 2 180 2 ≈ = '' '' '' ? ? '' = '' ＝ o
物理实验中的测量误差与数据处理方法总结
物理实验中的测量误差与数据处理方法总结 作者：石皓昆李珩 指导教师：邓靖武 2014年4月17日
摘要：在学习物理的过程中，学习进行物理实验是不可忽略的一步。在笔者参加学校在北京大学物理实验教学中心学习的过程中，发现在实验结果处理中，应用了许多高中没有出现的方法。我们在这里对我们使用过、遇到过的方法进行总结。 关键词：基础物理实验误差分析不确定度数据处理 目录 一、引言 二、正文 1、测量误差与测量结果的不确定度 2、测量结果的书写规则 3、对测量数据进行处理的几种方法 三、结尾
一、引言：本文着重总结了测量误差与数据处理的几种方法，其中测量误差理论是重中之重。笔者认为进行一项物理实验始终与误差理论有密切的关系，不断减小测量误差即使我们进行试验时不断需要考虑的问题，亦可以帮助我们正确、有效地设计实验方案、进行实验操作、正确处理数据。 二、正文 1、测量误差与测量结果的不确定度 ①测量误差的定义 首先，需要明确测量误差的定义。当我们进行测量时，由于理论的近似性、实验仪器的局限性等，测量结果总不可能绝对准确。待测物理量的真值同我们的测量值之间总会存在某种差异。我们将测量误差定义为 测量误差=测量值-真值 ②测量误差的分类 其次，按照习惯的分类方法，根据误差的性质，误差又分为系统误差和随机误差。 ③系统误差 我们在这里讨论系统误差。系统误差指的是在相同条件下，多次测量同一物理量时，测量值对真值的偏离总是相同的误差。其造成原因大概分为三类：（1）、实验理论、计算公式的局限性（例：测量单摆周期中使用在摆角趋于0 的情况下的周期公式） （2）、仪器的使用问题 （3）、测量者的生理心理因素的影响 （4）、未定系统误差（例如仪器的允差） ④随机误差 与系统误差相对应，随机误差是由于偶然的、不确定的因素造成每一次测量值的无规律的涨落，这类误差我们称作随机误差。 随机误差的特点在于它的随机性。即如果在相同宏观条件下，对某一物理量进行多次测量，每次的测量结果都不相同。但当测量次数足够多时，我们一般认为大多数的随机误差近似符合正态分布。 不妨记随机误差为连续型随机变量x，其概率密度函数为(x) ρ。由“概率论”中对于随机变量的数字特征的定义 数学期望 ()() E x x x dx ρ +∞ -∞ =? 方差 2 D()[()]() x x E x x dx ρ +∞ -∞ =- ? 正态分布的概率密度函数 2 2 2 (x) x σ ρ- =（1.1）
《误差理论与数据处理》练习题 第一章 绪论 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的 绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。 相对误差=0.3 100%0.3%100.5-?≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2 （h 1 +h 2 ）/T 2 给定。今测出长度（h 1 +h 2 ）为（1.04230 ±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。试求g 及其最大相对误差。如果（h 1 +h 2 ）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2 ，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1 +h 2 ）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。 由2 1224()g h h T π=+,得： 22 2 4 1.042309.81053(/)2.0480 g m s π=?= 当12()h h +有微小变化12()h h ?+、T 有T ?变化时，令12h h h =+ g 的变化量为： 22 12121223122 1212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h T h h T T T T h h h h T T πππ???=?++?=?+-+??+??= ?+-+ 22 23224842()g g g h T h h T h T T T T h h T T πππ???=?+?=?-????=?- g 的最大相对误差为：
《误差理论与数据处理》 一、填空题（每空1分，共20分） 1．测量误差按性质分为_____误差、_____误差和_____误差，相应的处理手段为_____、_____和_____。 答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段 2．随机误差的统计特性为________、________、________和________。 答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性 3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，则测量的绝对误差为________，相对误差________。 答案：04″，3.1*10-5 4．在实际测量中通常以被测量的、、 作为约定真值。 答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值 5．测量结果的重复性条件包括：、、 、、。 测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境 6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为0.1mg，问该砝码的实际质量是________。 5g-0.1mg 7．置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和
_________来表示。 标准差 极限误差 8．指针式仪表的准确度等级是根据_______误差划分的。 引用 9．对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为100.2Ω,标准偏差为0.2Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为_______Ω，当置信因子K ＝3时，测量结果的置信区间为_______________。 0.2/sqrt(15),3*0.2/sqrt(15) 10．在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是_________ 。 平均值 11．替代法的作用是_________，特点是_________。 消除恒定系统误差，不改变测量条件 12.对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。已知被测电压的真值U 0 ＝79.83 V ，标准差σ（U ）＝ 0.02V ，按99%（置信因子 k = 2.58）可能性估计测量值出现的范围： ___________________________________。 79.830.02 V*2.58 13．R 1 ＝150 ， R 1 ＝ 0.75 ；R 2 ＝100 ， R 2 ＝ 0.4 ，则两电阻并联后总电阻的绝对误差为_________________。 36.0)100150(150)(16.0)100150(100)(222212122 2 221221=+=+=??=+=+=??R R R R R R R R R R R=R1*R2/(R1+R2), R=264.04.0*36.075.0*16.022 11±=+=???+???R R R R R R
基本概念题 1．误差的定义是什么？它有什么性质？为什么测量误差不可避免？ 答：误差＝测得值－真值。 误差的性质有： （1）误差永远不等于零； （2）误差具有随机性； （3）误差具有不确定性； （4）误差是未知的。 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，受人们认识能力所限，测量或实 验所得数据和被测量真值之间不可避免地存在差异，因此误差是不可避免的。 2．什么叫真值？什么叫修正值？修正后能否得到真值？为什么？ 答：真值：在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。 修正值：为消除系统误差用代数法加到测量结果上的值，它等于负的误差值。 修正后一般情况下难以得到真值。因为修正值本身也有误差，修正后只能得到较测得值更为准确的结果。 3．测量误差有几种常见的表示方法？它们各用于何种场合？ 答：绝对误差、相对误差、引用误差 绝对误差——对于相同的被测量，用绝对误差评定其测量精度的高低。 相对误差——对于不同的被测俩量以及不同的物理量，采用相对误差来评定其测量精度的高低。 引用误差——简化和实用的仪器仪表示值的相对误差（常用在多档和连续分度的仪表中）。4．测量误差分哪几类？它们各有什么特点？ 答：随机误差、系统误差、粗大误差 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差。 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。误差值较大，明显歪曲测量结果。 5．准确度、精密度、精确度的涵义分别是什么？它们分别反映了什么？ 答：准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。 准确度反映测量结果中系统误差的影响程度。精密度反映测量结果中随机误差的影响程度。精确度反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。