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贵州省贵阳市2019年初中毕业生学业（升学）考试
数 学
（本试卷满分150分,考试时间120分钟）
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的) 1.23可表示为
( ) A .32?
B .222??
C .33?
D .3+3 2.如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是
( )
A
B
C
D 3.选择计算()()
2222 4343xy x y xy x y -++的最佳方法是
( ) A .运用多项式乘多项式法则 B .运用平方差公式 C .运用单项式乘多项式法则
D .运用完全平方公式
4.如图，菱形ABCD 的周长是4 cm ，60ABC =?∠，那么这个菱形的对角线AC 的长是
( )
A .1 cm
B .2 cm
C .3 cm
D .4 cm
5.如图，在33?的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是
( )
A
.19
B .16
C .29
D .13
6.如图，正六边形ABCDEF 内接于O e ，连接BD ，则CBD ∠的度数是
( )
A .30?
B .45?
C .60?
D .90?
7.如图，下列是甲乙两位党员使用“学习强国APP ”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，
正确的是 ( )
A .甲比乙大
B .甲比乙小
C .甲和乙一样大
D .甲和乙无法比较
8.数轴上点A ，B ，M 表示的数分别是a ，2a ，9，点M 为线段AB 的中点，则a 的值是
( )
A .3
B .4.5
C .6
D .18
9.如图，在ABC △中，AB AC =，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点B ，D 为圆心，大于1
2
BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
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线CM 交AB 于点E .若2AE =，1BE =，则EC 的长度是
( )
A .2
B .3
C .3
D .5
10.在平面直角坐标系内，已知点()1,0A -，点()1,1B 都在直线11
22
y x =
+上，若抛物线()210y ax x a =-+≠与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是
( )
A .2a -≤
B .9
8
a ＜ C .
9
18
a
≤＜或2a -≤
D . 928
a -≤＜
第Ⅱ卷(非选择题 共120分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填写在题中的横线上)
11.若分式22x x
x
-的值为0，则x 的值是 .
12.在平面直角坐标系内，一次函数11y k x b =+与22y k x b =+的图象所示，则关于x ,y
的方程组1122,
y k x b y k x b -=??-=?
的解是 .
13.一个袋中装有m 个红球，10个黄球，n 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m 与n 的关系是 .
14.如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若
2OA =，则四叶草的周长是 .
15.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，=30DCA ?
∠，点F 是对角线AC 上的一个动点，
连接DF ，以DF 为斜边作30DFE =?∠的直角三角形DEF ，使点E 和点A 位于DF 两侧，点F 从点A 到点C 的运动过程中，点E 的运动路径长是 .
三、解答题(本大题共10小题,共100分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（本小题满分8分）
如图是一个长为a ，宽为b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形.
（1）用含字母a ，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积； （2）当3a =，2b =时，求矩形中空白部分的面积.
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17.（本小题满分10分）
为了提高学生对毒品危害性的认识，贵阳市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评.为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号.为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下： 收集数据：
90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88 （1）根据上述数据，将下列表格补充完整.
得出结论：
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为 分； 数据应用：
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由. 18.（本小题满分10分）
如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长AD 至点E ，使DE AD =，连接BD . （1）求证：四边形BCED 是平行四边形； （2）若2DA DB ==，1
cos 4
A =
，求点B 到点E 的距离.
19.（本小题满分10分）
为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设.某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生、一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等.
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ；
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率.
20.（本小题满分10分）
某文具店最近有A ，B 两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A 款销售数量是15本，B 款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A 款销售数量是20本，B 款销售数量是10本，销售总价是280元. （1）求A ，B 两款毕业纪念册的销售单价；
（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A 款毕业纪念册.
21.（本小题满分8分）
如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP 为下水管道口直径，OB 为可绕转轴O 自由转动的阀门.平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中.若阀门的直径100 cm OB OP ==，OA 为检修时阀门开启的位置，且
-------------在
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毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
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OA OB =.
（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中POB ∠的取值范围； （2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB 位置时，在点A 处测得俯角
67.5CAB ∠=?，
若此时点B 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度.（结果保留小数点后一位）
1.41≈，sin67.50.92?≈，cos67.50.38?≈，tan67.5
2.41?≈，sin22.50.38?≈，cos22.50.92?≈，tan22.50.41?≈）
22.（本小题满分10分）
如图，已知一次函数28y x =-+的图象与坐标轴交于A ，B 两点，并与反比例函数
8
y x
=
的图象相切于点C . （1）切点C 的坐标是； （2）若点M 为线段BC 的中点，将一次函数28y x =-+的图象向左平移()0m m ＞个单位后，点C 和点M 平移后的对应点同时落在另一个反比例函数k
y x
=的图象上时，求k 的值.
23.（本小题满分10分）
如图，已知AB 是O e 的直径，点P 是O e 上一点，连接OP ，点A 关于OP 的对称点C 恰好落在O e 上.
（1）求证：OP BC ∥；
（2）过点C 作O e 的切线CD ，交AP 的延长线于点D ，如果=90D ?∠，1DP =，求O e 的直径.
24.（本小题满分12分）
如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且关于直线1x =对称，点A 的坐标为()1,0-. （1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC ，若点P 在y 轴上时，BP 和BC 的夹角为15?，求线段CP 的长度； （3）当1a x a +≤≤时，二次函数2y x bx c =++的最小值为2a ，求a 的值.
25.（本小题满分12分）
（1）数学理解：如图1，ABC △是等腰直角三角形，过斜边AB 的中点D 作正方形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，求AB ，BE ，AF 之间的数量关系； （2）问题解决：如图2，在任意直角ABC △内，找一点D ，过点D 作正方形
DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，若AB BE AF =+，求ADB ∠的度数；
（3）联系拓广：如图3，在（2）的条件下，分别延长ED ，FD ，交AB
于点
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M ，N ，求MN ，AM ，BN 的数量关系.
贵州省贵阳市2019年初中毕业生（升学）考试
数学答案解析
一、选择题 1．【答案】C
【解析】23=33?，∴23可表示为33?，故选C ． 【考点】乘方的意义 2．【答案】B
【解析】根据已知几何体，从正面看，得到的平面图形是
，即为该几何体的主
视图，故选B ． 【考点】几何体的主视图 3．【答案】B
【解析】∴原式()()()(
)
2
2
222222343434x y xy x y xy x y
xy =-+=-，满足平方差公式，∴计
算的最佳方法是运用公式，故选B ． 【考点】平方差公式 4．【答案】A
【考点】在菱形ABCD 中，AB BC CD AD ===，∴菱形ABCD 的周长是4 cm ，∴
=1 cm AB BC =，又∴=60ABC ?∠，∴ABC △是等边三角形，∴1 cm AB BC AC ===，故选A ．
【解析】菱形的性质、等边三角形
5．【答案】D
【解析】由图知共有6个小正方形可以涂色，其中有如图两种涂法都能使灰色部分的图
形是轴对称图形，∴概率21
63
P =
=，故选D ．
【考点】轴对称图形的概念、随机事件的概率 6．【答案】A
【解析】由多边形的内角和可知，正六边形的内角和为720?，∴正六边形的六个内角都
相等，所以======120A ABC C CDE E F ?∠∠∠∠∠∠，又∴正六边形的边长相等，∴BC CD =，∴()1
==
180120302
CBD CDB ?-?=?∠∠，故选A ． 【考点】正六边形的性质、等腰三角形的性质 7．【答案】A
【解析】从条形统计图可知，甲党员一天的学习时间为60分钟，其中学习“文章”15分
钟，∴甲党员学习“文章”时间所占一天学习时间的百分比为
15
100%=25%60
?；从扇形统计图可知，乙党员学习“文章”时间占一天学习时间的百分比为20%，∵
25%20%＞，∴甲比乙大，故选A ．
【考点】条形统计图、扇形统计图 8．【答案】C
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【解析】根据题意，可得方程
292
a a
+=，解得6a =，故选C ． 【考点】中点的定义、用数轴表示数 9．【答案】D
【解析】由作图可知，CM 是线段BD 的垂直平分线，
∴90AEC BEC ∠=∠=?，∴2AE =，1BE =，∴3AB =，∴=3AC ，在Rt AEC △中，由勾股定理
得
EC =
D ．
【考点】基本作图、垂直平分线的性质、勾股定理 10．【答案】C
【解析】∴直线与抛物线有两个交点，∴方程
211
122
x ax x +=-+有两个不同的交点，整理得22310ax x -+=，∴=980a ?-＞，解得9
8a ＜，又当抛物线经过点A 时，
011a =++，解得2a =-，当抛物线经过点B 时，111a =-+，解得1a =，∴抛物
线的对称轴为1
2x a
=，又抛物线过点()0,1，∴当1112a -＜＜，抛物线与线段AB 有
两个不同的交点，∴2a -≤或9
18
a ≤＜，故选C ．
【考点】抛物线的图象与性质、函数与方程的关系 二、非选择题 11．【答案】2
【解析】若分式22x x
x
-的值为0，则220x x -=，解得10x =，22x =，当0x =时，分
式无意义，∴2x =．
【考点】分式有意义的条件、解分式方程
12．【答案】2
1x y =??=?
【解析】由图象可知，两条直线的交点坐标是()2,1，∴原方程组的解是2
1
x y =??=?．
【考点】函数与方程的关系 13．【答案】10m n +=
【解析】∴任意从袋中摸出一球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，∴袋中黄球的
数量与红球、白球的数量和相同，即10m n +=． 【考点】频率与概率的关系 14．
【答案】
【解析】如图，由题意可知，AOB △是等腰直角三角形，∴2OA =，
∴AB =，由图
可知，四叶幸运草的周长为直径为AB 的两个圆的周长，
∴2?，即四
叶幸运草的周长是．
【考点】等腰直角三角形的性质、求圆的周长 15．
【解析】如图，当点F 从点A 运动到点C 时，点E 运动到E '，∴点E 的运动路径为线
段EE '，∴四边形ABCD 是矩形，∴=90B ?∠，DC AB ∥，∴=30ACD CAB =?∠∠，在Rt ABC △中，=4AB ，
∴tan304BC AB =?==
g ，
∴AD =Rt DEF △中，30DAE =?∠，
∴12DE AD ==，在Rt CDE '△中，4DC AB ==，
=30DCE '?∠，∴1
22
DE DC '==，∴=90ADC ?∠，60ADE =?∠，
∴30CDE =?∠，又=60CDE '?∠，∴=90EDE '?∠，在Rt EDE '△中，由勾股定理
得
EE '==，即点E
．
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【考点】矩形的性质、特殊角的三角函数、勾股定理 三、解答题
16．【答案】解：（1）()()=11S a b --空或=1S ab a b --+空．
（2）当3a =，2b =时，()()=31212S --=空或=323212S ?--+=空．
【解析】（1）根据图中数据，用代数式表示出空白部分的长和宽，利用矩形的面积公式
用含a ，b 的代数式表示出空白部分的面积；（2）将字母的值代人（1）中的代数式，求出空白部分的面积．
【考点】列代数式、求代数式的值、矩形的面积 17．【答案】（1）5，3，90 （2）91
（3）估计评选该荣誉称号的最低分为97分
理由：因为2030%6?=，前六名的最低分为97分，所以最低分定为97分
【解析】（1）根据收集的数据统计出90分和97分的人数，填入表格；根据统计表，人
数最多的分数即为这组数据的众数；（2）根据中位数确定分数填空即可；（3）根据选取的总人数，求出前30%的人数，再根据统计表高分段人数确定前30%人数中的最低分数即可。 【考点】统计知识的综合运用
18．【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD BC ∥，AD BC =，又∵点E 在AD 的延长线上，且DE AD =， ∴DE BC ∥，DE BC =，
∴四边形BCED 是平行四边形。
（2）∵2DA DB ==，且四边形ABCD 是平行四边形， ∴2DA DB BC ===，
由（1）知四边形BCED 是平行四边形， ∴四边形BCED 是菱形，
连接BE ，∴BE DC ⊥，BE AB ⊥， 在Rt ABE △中，∵24AE DA ==，1
cos =
4
A ， ∴1
cos 414
AB AE A ==?
=，
BE =.
∴BE =．
【解析】（1）根据平行四边形的性质得一组对边平行且相等，再根据已知条件证明线段
DE BC =，利用一组对边平行且相等即可判定四边形BCED 为平行四边形；
（2）根据已知线段的长得平行四边形BC 边的长，利用一组邻边相等判定平行四边形
BCED 是菱形，连接对角线BE ，得对角线互相垂直平分，根据已知的锐角三角函
数值求得AB 的长，再根据勾股定理求出BE 的长．
【考点】平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定、锐角三角函数的应用、勾股定
理
19．【答案】解：（1）
1
2
（2）用1a ，2a 分别表示思政专业的研究生和本科生，用1b ，2b 分别表示历史专业的研
究生和本科生，
列表如下：
或画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2种，
所以，
21
=
126
P=
（选到一名思政研究生和一名历史本科生）．
【解析】（1）根据题意，共有2个专业，每个专业都有2名应聘者，根据概率公式可求出相应的概率；（2）先列表或画树状图，求出所有等可能的结果数，再确定选到一名思政研究生和一名历史本科生的结果数，代入概率公式，求出概率．
【考点】求随机事件的概率
20．【答案】解：（1）设A，B两款毕业纪念册的销售单价分别是x元，y元，根据题意，得
1510230
2010280.
x y
x y
+=
+=
?
?
?
，
解得
10,
8.
x
y
=
?
?
=
?
所以，A，B两款毕业纪念册的销售单价分别是10元，8元．
（2）设最多能够买A款毕业纪念册m本，
根据题意，得()
10860529
m m
+-≤，.
解得24.5
m≤．
因为m表示A款纪念册的数量，m取最大正整数，所以24
m=．
所以，最多能够买A款毕业纪念册24本．
【解析】（1）根据题意设未知数，列出方程组，求解即可；（2）设未知数，根据题意列出不等式，求出解集，取最大正整数即可．
【考点】列方程组和不等式解应用题
21．【答案】解：（1）阀门OB被下水道的水冲开与被河水关闭过程中，090
POB
?∠?
≤≤．（2）∵OA AC
⊥，=67.5
CAB?
∠，∴=22.5
BAO?
∠，
因为OA OB
=，∴22.5
BAO ABO
∠=∠=?，
∴45
BOD
∠=?，
过点B作BD OP
⊥于点D，
在Rt BOD
△中，∵100
OB OP
==，
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数学试卷 第17页（共24页） 数学试卷 第18页（共24页）
∴OD =
∴100PD =-．
所以，此时下水道内水的深度约为29.5（cm ）．
【解析】（1）根据OB 与下水道构成的角度可确定POB ∠的取值范围；（2）根据已知角
求出BAO ∠的度数，以OB 为斜边建立直角三角形OBD ，根据三角形的外角性质得等腰直角三角形，根据OB 的长求出OD 的长，从而求出PD 的长，即为下水道内水的深度．
【考点】解直角三角形的应用 22．【答案】解：（1）()2,4 （2）由（1）可知()2,4C ，
∵直线28y x =-+的图象与x 轴交于点B ， ∴()4,0B ，
∴线段BC 的中点()3,2M ， ∵直线AB 向左平移m 个单位， ∴点C 平移后对应点为()2,4m -， 点M 平移后对应点为()3,2m -．
∵平移后的对应点同时落在反比例函数k
y x
=的图象上，
∴()()23,42.
m k m k ?-=??-=?? 解得1,
4.m k =??=?
∴k 的值是4．
【解析】（1）将一次函数和反比例函数的解析式联立成方程组，可求出点C 的坐标；（2）
根据直线解析式求出点B 的坐标，结合点C 的坐标求出点M 的坐标，再表示出平移后的点C 和点M 的坐标，根据平移后的两点在同一个反比例函数的图象上，可列出方程组，进而求出m 的值以及k 的值．
【考点】一次函数和反比例函数的性质、平移后的点的坐标变化、解方程（组） 23．【答案】解：（1）证明：∵点A 关于OP 的对称点C 恰好落在O e 上，
∴?
?AP PC =，∴0A P POC ∠=∠， ∴1
2
AOP AOC ∠=∠， 又∵12
ABC AOC ∠=∠， ∴AOP ABC =∠∠，∴OP//BC ．
（2）连接PC ，∵CD 是O e 的切线， ∴90OCD ∠=?，
又∵90D ∠=?，∴AD OC ∥， ∴POC APO ∠=∠，
由（1）AOP POC ∠=∠，∴APO AOP ∠=∠， 又∵AO OP =，∴AOP △是等边三角形，
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又∵点A ，点C 关于OP 对称， ∴POC △是等边三角形， ∴60OCP ∠=?，∴30DCP ∠=?， 又∵1DP =，90D ∠=?，
∴22PC PD ==，∴2 4.AB PC ==
【解析】（1）根据对称得两条弧相等，等弧所对的圆心角相等，结合圆周角定理进行代
换，得同位角相等，从而判定两直线平行；
（2）连接PC ，根据圆的切线得90?角，结合已知90?角，利用同旁内角互补证明两条
直线平行，得内错角相等，结合（1）的结论代换得三角形POC 的两个内角相等，再结合圆的半径相等，证明得等边三角形POC ，根据60?角得直角三角形PDC 中
DCP ∠为30?角，结合已知线段的长，即可求出AB 的长．
【考点】轴对称的性质、圆的相关性质、平行线的判定及性质、切线的性质、等边三角
形的判定及性质、直角三角形的性质
24．【答案】解：（1）∵二次函数的对称轴是直线1x =， ∴121
b
-
=?，∴2b =-， 将()1,0A -代入22y x x c =-+中， 解得3c =-．
∴二次函数的表达式为：223y x x =--． （2）∵()1,0A -，对称轴是直线1x =， ∴()3,0B ，
又∵当0x =时，3y =-， ∴()0,3C -，
∴OB OC =，∴45OBC ∠=?， ①当点P 在点C 上方1P 的位置时， ∵115PBC ∠=?， ∴1
30PBO ∠=?， 在1
t R PBO △
中，1tan30OP OB =?=
∴13CP =，
②当点P 在点C 下方2P 的位置时， ∵215P BC ∠=?，∴260P BO ∠=?， 在2Rt P BO V
中，2tan60OP OB =?=
∴23CP =，
综上，CP
的长为3-
或3. （3）根据题意：
①当1a +在对称轴左边，11a +＜， 即0a ＜时，y 随x 增大而减小， 此时1x a =+，y 有最小值2a ， ()()221213a a a =+-+-，
解得：11a =+
21a =- ∵0a ＜
，∴1a =
②当a 与1a +分别在对称轴两侧，
11a a +≤≤，即01a ≤≤时，
此时1x =，y 有最小值4-， 即24a =-，2a =-，
∵01a ≤≤，∴2a =-不合题意舍去，
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数学试卷 第21页（共24页） 数学试卷 第22页（共24页）
③当a 在对称轴右边，1a ＞时，y 随x 增大而增大， 此时x a =，y 有最小值2a ，
2223a a a =--，
解得：12a =
22a = ∵1a ＞
，∴2a =，
综上，1a =
2a =
【解析】（1）根据对称轴和点A 的坐标，可求出二次函数的表达式；
（2）先根据点A 的坐标和对称轴求出点B 的坐标，再求出点C 的坐标，得OB OC =，
则三角形OBC 为等腰直角三角形，得45?角，根据点P 的位置分情况讨论，根据三角形的外角性质求出直角三角形中30?角，利用锐角三角函数求出CP 的长； （3）根据()1a +与对称轴的位置关系分情况讨论，利用函数的增减性，确定x 的值，从
而求出y 的最小值，代入二次函数表达式，求出方程的解，取符合题意的a 的值． 【考点】二次函数的图象及其性质、直角三角形中的锐角三角函数、函数与方程的关系 25．【答案】解：（1）∵在等腰直角ABC △内，过斜边中点D 作正方形DECF ，
∴AF FC CE EB DE FD =====， 在Rt AFD △和Rt BED △中，
AD =
，BD ，
∴)AB AD BD AF BE =+=+.
（2）∵四边形DECF 是正方形，∴DF DE =，
将ADF △以点D 为旋转中心，逆时针旋转90?得到'A DE △，
∴'AD A D =，'AF A E =，且'90ADA ∠=?， ∵AB BE AF =+，∴''AB BE A E A B =+=， 在ABD △和'A BD △中，
∵,
,,AD A D AB A B BD BD '=??
'=??=?
∴'ABD A BD ?△△，， ∴'ADB A DB ∠=∠， ∴36036090=13522
ADA ADB '?-?-?
∠=
=?∠
（3）由（2）得，AD ，BD 分别是CAB ∠和CBA ∠的角平分线， ∴MAD FAD ∠=∠，NBD EBD ∠=∠， 又∵分别延长ED ，FD ，交AB 于点M ，N ，
∴EM CA ∥，FN CB ∥，
∴MDA FAD ∠=∠，NDB EBD ∠=∠，
数学试卷 第23页（共24页） 数学试卷 第24页（共24页）
∴MDA MAD ∠=∠，NDB NBD ∠=∠， ∴AM MD =，ND BN =，
在Rt MDN △中，222MP MD ND =+， ∴222MN AM BN =+．
【解析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的边长相等证明图中的6条线段相等，根据
等腰三角形的边长关系证明三条线段的数量关系；
（2）根据正方形的边长相等，将ADF △旋转得到'A DE △，得对应边相等，从而证明
'ABD A BD ?△△，得对应角相等，根据圆周角360?以及旋转角90?，即可求出
ADB ∠的度数；
（3）由（2）得角的平分线AD ，BD 分得的角相等，作辅助线证明EM CA ∥，FN CB ∥，
得内错角相等，从而证明AM MD =，ND BN =，根据勾股定理得线段之间的关系，等量代换后可证明结论成立．
【考点】等腰直角三角形的性质、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性
质、勾股定理