支持向量机（SVM ）简明学习教程
一、最优分类超平面
给定训练数据),(,),,(11l l y x y x ，其中n i R x ∈，}1,1{-∈i y 。
若1=i y ，称i x 为第一类的，I ∈i x ；若1-=i y ，称i x 为第二类的，II ∈i x 。
若存在向量?和常数b ，使得?????II
∈<-I
∈>-i i T i i T x if b x x if b x ,0,0?? （1），则该训练集可被超平面
0=-b x T ?分开。
（一）、平分最近点法
求两个凸包集中的最近点d c ,'，做d c ,'的垂直平分面x ，即为所求。
02
)(2
22
2
=--
-?-=-d
c x
d c x d x
c T
，则d c -=?，2
)
()(d c d c b T +-=
。 求d c ,，??
??
?≥==≥==∑∑∑∑-=-===.
0,1,
.
0,1,1
111
i y i
y i i i y i
y i i i i i i x d x c αα
ααα
α
所以2
1
1
2
∑∑-==-=
-i i y i
i
y i
i x
x d
c αα，只需求出最小的T l ),,(1ααα =。
算法：1）求解.
0,1,1..2121min 1
1
2
12
11≥===-∑∑∑∑∑-===-==i y i y i l
i i i i y i i y i i i i i i t s x y x x αααααα；2）求最优超平面0=-b x T ?。
（二）、最大间隔法
附加条件1=?，加上（1）式。记C x C i T x i >=I
∈??min )(1，C x C i T x i <=II
∈??max )(2。
使?????II ∈<-I
∈>-=-=
i i T
i i T
x if b x x if b x t s C C ,0,0,1..2
)
()()(max 21??????ρ （2） 可以说明在（2）下可以得到一个最优超平面，且该超平面是唯一的。
如何快速生成一个最优超平面？？？
考虑等价问题：求权向量w 和b ，使?????II
∈-<-I
∈>-i i T i i T x if b x w x if b x w ,1,1，且?最小。
这种写法已经包含最大间隔。
事实上b C C C x if C b x w x if C b x w i i T i i T
=+=??????II
∈=+- ∈=+>))()((21),(1),(121021????中心，而w w =?， 故w b C = ，w C C 1 2)()()(21=-=???ρ。 所以（2）式可以转化为求解： 1 )(..min ≥-b x w y t s w i T i （3） 总结，求最优超平面，只需求解： 1 )(..2 1)(min ≥-= Φb x w y t s w w w i T i T （QP1） 对（QP1）构造lagrange 函数： 令∑=---=l i i T i i b x w y w b w L 1 2]1)([21),,(αα，其中0),,(1≥=T l ααα 为lagrange 乘子。 下求L 的鞍点： 1 =i =i 1 将2）代入L 中，且目标改为)(αW 。 则∑∑∑===+-=l i i l i l j j T i j i j i x x y y W 1 1121)(αααα 所以，（QP1）的对偶问题为： , 0..)(max =≥∑i i y t s W ααα （DQP1） 由KKT 条件，0]1)([=--b x w y i T i i α。若存在0*>j α时，有01)(=--b x w y j T j ，此时， SV j ∈，则∑+-=+-=i j T i i i j j T j x x y y x w y b α* 几何意义：i x ，SV i ∈是与超平面距离最近的向量，称其为支持向量。他在构造超平面中起到及其重要的作用。 SVM 算法1（线性可分SVM 分类机） 1）、求解规划问题（DQP1） 2）、求∑==l i i i i x y w 1* α和∑+-=i j T i i i j x x y y b α*，得到分类超平面0**=-b x w T 。 3）、分类器：)()(**b x w sign x f T -=。 （三）、软间隔分类超平面 针对样本数据线性不可分的情况。此时02 ) ()()(21<-= ???ρC C 。 解决方案：软化约束（通过添加松弛因子）。i j T j b x w y ξ-≥-1)(，其中，0≥i ξ。 显然，当i ξ充分大时，软约束总是成立的，但i ξ不应该取太大。所以将i ξ加入到目标中，得到(QP2)： . 0, 1)(..21)(min ≥-≥-+= Φ∑i i i T i i i T b x w y t s C w w w ξξξ （QP2） 其中，C 为正的惩罚参数。 显然，QP2包含了QP1的，（取∞→C ）。另外，QP2的鲁棒性好（稳定性好） 同样，对（QP2）构造lagrange 函数： 令∑∑∑----+==i i l i i T i i i b x w y C w b w L ξβαξβαξ1 2 ]1)([21),,,,(。 1 =i =i 1 3）、C C C L i i i i ≤-=≤?=--?=?βαβαξ000。 代入L 中，得∑∑---+- )(2 12 i i i i i i C w ξβξαξα。 所以，（QP2）的对偶问题为：0 ,0..21min 111=≥≥-∑∑∑∑===i i l i i l i l j j T i j i j i y C t s x x y y ααααα （DQP2） 对于b ，由KKT 条件???=-=+--0 )(0 ]1)([C b x w y i i i i T i i αξξα。当0*>>j C α时，0=j ξ，则 ∑+-=+-=i j T i i i j j T j x x y y x w y b α*。 （四）、支持向量机 对于本质线性不可分问题，有两种方法：（1）构造非线性分类器；（2）将样本点射到高维特征空间，再用线性分类器。 例1：)}1,3(),1,1(),1,1{(--=T 不可分 映射：T x x x ),(2→，则)}1,93(),1,11(),1,11{(~ ???? ??-???? ?????? ??-=T 可分。 基本思想：Z x x x x T m ==→))(,),(()(1??? ，),(),(i i i i y Z y x → 例 2：对于圆0)()(212 22122221=++++?=-+-E Dx Cx Bx Ax r b x a x ，故 Z x x x x x x x x T ==→=)1,,,,()(),(212 22121?。但复杂性增大，如n R x ∈，则二次特征空间 n n n N ++=2/)1(。 （问题：推广性如何评价，技术上如何处理高维数据？？？） 1）、核函数 设Z X Z →:，n R X x ?∈?，N N T N R z z x Z x Z x Z ∈==),,())(,),(()(11 。（注N 可为无穷） 考虑在Hilbert 空间中内积的一个一般表达式：),()(i i x x K z z =?。 根据Hilbert-Schmidt 理论，),(i x x K 可以是满足下面一般条件的任意对称函数（Courant and Hilbert,1953） 定理（Mercer ）要保证2l 中的对称连续函数),(v u K 能以正的系数0>k a 展开成 ),()()(),(1 v u K v u a v u K k k k k ???=∑∞ =??正定。 （??>???0)()(),(v g u g v u K K 正定） 2）支持向量机 训 练 样 本 )} ,(,),,{(11l l y x y x T =， N n R x z R x ∈=→∈)(?，则 )}),((,),),({(~ 11l l y x y x T ?? =。 求Z ~上的超平面将T ~ 分开（若可分），则最大间隔超平面： 1 ))((..2 1)(min ≥-= Φb x w y t s w w w i T i T ? （QP3） 其对偶问题为： , 0..),(21min 111=≥-∑∑∑∑===i i l i i l i l j j i j i j i y t s x x K y y ααααα （DQP3） 设（DQP3）有解* α，则∑==l i i i i x y w 1 * * )(?α，∑+-=+-=i j i i i j j T j x x K y y x w y b ),()(*α?， （}0|{*>∈i i j α）。 从而，决策函数为 ))()(())(()(*1 * * *b x x y sign b x w sign x f l i T i i i T -=-=∑=??α? )),((*1 * b x x K y sign l i i i i -=∑=α。 算法（可分的SVM ） （1）、选样本)},(,),,{(11l l y x y x T =； （2）、选核函数，用Mercer 定理判断； （3）、计算*α，由（DQP3）； （4）、代入决策函数应用。（错误率高可转（2）重来） 同样，对特征映射后的样本点T ~ 线性可分难于判断，可引人松弛变量： . 0, 1)(..21)(min ≥-≥-+= Φ∑i i i T i i i T b x w y t s C w w w ξξξ （QP4） 其对偶问题为：0 ,0..),(21min 111=≥≥-∑∑∑∑===i i l i i l i l j j i j i j i y C t s x x K y y ααααα （DQP4） 则∑+-=+-=i j i i i j j T j x x K y y x w y b ),()(*α?，（}0|{*>>∈i C i j α）。 决策函数为)(x f )),((*1 * b x x K y sign l i i i i -=∑=α。 （存在问题：1、C 的选择；2、K 的选择？？？？） 3）常用的核函数 d 阶多项式核：d T y x y x K )1(),(+=； Gauss 核：}exp{)(),(2 y x r y x K y x K r --=-=； ))((),(c y x v S y x K T +=，其中)(u S 为Sigmoid 函数，但他不满足Mercer 定理。 二、估计实值函数的支持向量机 （一）、回归分析 已知)},(,),,{(11l l y x y x T =，R y R x i n i ∈∈,，最小二乘：εα+=),(x f y ，),0(2σεN ∈。其定义损失函数为：2)),(()),(,(ααx f y x f y L -=，使得经验风险最小： ∑-i i i x f y 2)),((min α。 但是如果N ?ε，则取|)),((|)),(,(ααx f y L x f y L -=，则对)(x f 的逼近更好。 1964年，Huber 提出一个理论：若噪声的密度是一个对称函数，取 |),(|)),(,(ααx f y x f y L -=；若噪声是由某种固定噪声（如正态噪声）与另一有对称连续密度 函数的任意噪声的混合，则取???????≤-->---=c x f y if x f y c x f y if c x f y c x f y L |),(|,|),(|2 1|),(|,2|),(|)),(,(22 ααααα。 为了对实值函数构造支持向量机，我们定义ε不敏感函数：?????>-≤=ε εεεu f u u if u ,, 0。则： （1）、线性ε不敏感函数：εαα|),(|)),(,(x f y x f y L -=；（2）、二次ε不敏感函数： 2 |),(|)),(,(ε ααx f y x f y L -=。 （二）、函数估计的SVM 考虑线性回归，b x w x f T +=),(α。 1）、硬ε带SVM （即全部样本点都落入ε带内） ?????≤+-≤-+ε ε)(..2 1min 2 b x w y y b x w t s w i T i i i T （QP5） 令∑∑-+-+--++= i i T i i i i i T i b x w y y b x w w b w L ))(()(21),,,(*2 *εαεααα。 则?????=-?=?-=?=?∑∑0 )(0)(0* * i i b i i i w L x w L αααα，代入L 中即得（DQP5）。 . ,0,0)(. .) ()())((21min ** * ***i i i i i i i i i i i i i j j T i j j i i t s y x x αααα ααααεαααα≤=---++--∑∑∑∑∑（DQP5） 由KKT 条件，若0>j α，得ε--=j T j x w y b ；若0*>j α，得 ε--=j j T y x w b 将),(j i j T i x x K x x →，可作非线性回归。 1）、软ε带SVM （并非所有的样本点都落入ε带内） 取∑--= i i T i b x w y l b w mp ε||1 ),(Re ，将（QP5）变形引入松弛变量。 ??? ??≥+≤+-+≤-+++∑0 ,)(..)(21min ** *2 i i i i T i i i i T i i i b x w y y b x w t s C w ξξξεξεξξ （QP6） 令 . ))(()()(21),,,,,(* ****2 **∑∑∑∑∑----+-+---++++=i i i i i i i i i T i i i i i i T i i i i b x w y y b x w C w b w L ξγξγξεαξεαξξγγαα 则?????????≤≤?=--?=?≤≤?=--?=?=-?=?-=?=?∑∑C C L C C L L x w L i i i i i i i i b i i i w i i *****0000000)(0)(0* αγααγαααααξξ，代入L 中即得（DQP6）。 . ,0,0)(. .) ()())((21min ** * ***C t s y x x i i i i i i i i i i i i i j j T i j j i i ≤≤=---++--∑∑∑∑∑αααα ααααεαααα（DQP6） 由KKT 条件，若0>>j C α，得ε--=j T j x w y b ；若0*>>j C α，得ε--=j j T y x w b 将),(j i j T i x x K x x →，可作非线性回归。 [说明：在求b 时必须要求C i i <<)(0*αα，因为若0*==i i αα，则),(i i y x 一定在ε带内或界上；若C i i <<=*0,0αα（或者反过来），则),(i i y x 一定在ε界上；若C i i ==*,0αα（或者反过来），则),(i i y x 一定在ε界上或界外（证明略）] 在这里,有三个参数控制着SVR 的性能，包括平衡参数C 、ε管道宽度和核参数K ，它们 都需要预先给定。其中ε定义了一个ε不敏感函数，并控制着支持向量的数目。如果ε管道宽度过大，那么支持向量的数目越少，其拟合函数将不能反映真实的函数特性；反之，如果ε管道宽度过小，那么SVR 的稀疏性将不能保证。 作业： 1、求下面规划问题的对偶问题： . 1)(..21)(min 2i i T i i i T b x w y t s C w w w ξξ-≥-+= Φ∑ 2、在区间]10,10[-上拟合函数x x x f ) sin(5)(= 。注：先自己产生100个带误差的数据点（误差形式自定），然后选择平衡参数C 、ε管道宽度和核参数K 进行支持向量回归。 -10 -8-6-4-20246810 支持向量机（SVM ）原理及应用 一、SVM 的产生与发展 自1995年Vapnik (瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。)，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。LIBSVM 是一个通用的SVM 软件包，可以解决分类、回归以及分布估计等问题。 二、支持向量机原理 SVM 方法是20世纪90年代初Vapnik 等人根据统计学习理论提出的一种新的机器学习方法，它以结构风险最小化原则为理论基础，通过适当地选择函数子集及该子集中的判别函数，使学习机器的实际风险达到最小，保证了通过有限训练样本得到的小误差分类器，对独立测试集的测试误差仍然较小。 支持向量机的基本思想：首先，在线性可分情况下，在原空间寻找两类样本的最优分类超平面。在线性不可分的情况下，加入了松弛变量进行分析，通过使用非线性映射将低维输 支持向量机（SVM ）简明学习教程 一、最优分类超平面 给定训练数据),(,),,(11l l y x y x ，其中n i R x ∈，}1,1{-∈i y 。 若1=i y ，称i x 为第一类的，I ∈i x ；若1-=i y ，称i x 为第二类的，II ∈i x 。 若存在向量?和常数b ，使得?????II ∈<-I ∈>-i i T i i T x if b x x if b x ,0,0?? （1），则该训练集可被超平面 0=-b x T ?分开。 （一）、平分最近点法 求两个凸包集中的最近点d c ,'，做d c ,'的垂直平分面x ，即为所求。 02 )(2 22 2 =-- -?-=-d c x d c x d x c T ，则d c -=?，2 ) ()(d c d c b T +-= 。 求d c ,，?? ?? ?≥==≥==∑∑∑∑-=-===. 0,1, . 0,1,1 111 i y i y i i i y i y i i i i i i x d x c αα ααα α 所以2 1 1 2 ∑∑-==-= -i i y i i y i i x x d c αα，只需求出最小的T l ),,(1ααα =。 算法：1）求解. 0,1,1..2121min 1 1 2 12 11≥===-∑∑∑∑∑-===-==i y i y i l i i i i y i i y i i i i i i t s x y x x αααααα；2）求最优超平面0=-b x T ?。 （二）、最大间隔法 附加条件1=?，加上（1）式。记C x C i T x i >=I ∈??min )(1，C x C i T x i <=II ∈??max )(2。 使?????II ∈<-I ∈>-=-= i i T i i T x if b x x if b x t s C C ,0,0,1..2 ) ()()(max 21??????ρ （2） 可以说明在（2）下可以得到一个最优超平面，且该超平面是唯一的。 如何快速生成一个最优超平面？？？ 考虑等价问题：求权向量w 和b ，使?????II ∈-<-I ∈>-i i T i i T x if b x w x if b x w ,1,1，且?最小。 这种写法已经包含最大间隔。 事实上b C C C x if C b x w x if C b x w i i T i i T =+=??????II ∈=+-))()((21),(1),(121021????中心，而w w =?， 故w b C = ，w C C 1 2)()()(21=-=???ρ。 所以（2）式可以转化为求解： 1 )(..min ≥-b x w y t s w i T i （3） 总结，求最优超平面，只需求解： 1 )(..2 1)(min ≥-= Φb x w y t s w w w i T i T （QP1） 对（QP1）构造lagrange 函数： 令∑=---=l i i T i i b x w y w b w L 1 2]1)([21),,(αα，其中0),,(1≥=T l ααα 为lagrange 乘子。 下求L 的鞍点： 模式识别课程大作业报告——支持向量机（SVM）的实现 ： 学号： 专业： 任课教师： 研究生导师： 容摘要 支持向量机是一种十分经典的分类方法，它不仅是模式识别学科中的重要容，而且在图像处理领域中得到了广泛应用。现在，很多图像检索、图像分类算法的实现都以支持向量机为基础。本次大作业的容以开源计算机视觉库OpenCV 为基础，编程实现支持向量机分类器，并对标准数据集进行测试，分别计算出训练样本的识别率和测试样本的识别率。 本报告的组织结构主要分为3大部分。第一部分简述了支持向量机的原理；第二部分介绍了如何利用OpenCV来实现支持向量机分类器；第三部分给出在标准数据集上的测试结果。 一、支持向量机原理概述 在高维空间中的分类问题实际上是寻找一个超平面，将两类样本分开，这个超平面就叫做分类面。两类样本中离分类面最近的样本到分类面的距离称为分类间隔。最优超平面指的是分类间隔最大的超平面。支持向量机实质上提供了一种利用最优超平面进行分类的方法。由最优分类面可以确定两个与其平行的边界超平面。通过拉格朗日法求解最优分类面，最终可以得出结论：实际决定最优分类面位置的只是那些离分类面最近的样本。这些样本就被称为支持向量，它们可能只是训练样本中很少的一部分。支持向量如图1所示。 图1 图1中，H是最优分类面，H1和H2别是两个边界超平面。实心样本就是支持向量。由于最优超平面完全是由这些支持向量决定的，所以这种方法被称作支持向量机（SVM）。 以上是线性可分的情况，对于线性不可分问题，可以在错分样本上增加一个惩罚因子来干预最优分类面的确定。这样一来，最优分类面不仅由离分类面最近的样本决定，还要由错分的样本决定。这种情况下的支持向量就由两部分组成：一部分是边界支持向量；另一部分是错分支持向量。 对于非线性的分类问题，可以通过特征变换将非线性问题转化为新空间中的线性问题。但是这样做的代价是会造成样本维数增加，进而导致计算量急剧增加，这就是所谓的“维度灾难”。为了避免高维空间中的计算，可以引入核函数的概念。这样一来，无论变换后空间的维数有多高，这个新空间中的线性支持向量机求解都可以在原空间通过核函数来进行。常用的核函数有多项式核、高斯核（径向基核）、Sigmoid函数。 二、支持向量机的实现 OpenCV是开源计算机视觉库，它在图像处理领域得到了广泛应用。OpenCV中包含许多计算机视觉领域的经典算法，其中的机器学习代码部分就包含支持向量机的相关容。OpenCV中比较经典的机器学习示例是“手写字母分类”。OpenCV中给出了用支持向量机实现该示例的代码。本次大作业的任务是研究OpenCV中的支持向量机代码，然后将其改写为适用于所有数据库的通用程序，并用标准数据集对算法进行测试。本实验中使用的OpenCV版本是2.4.4，实验平台为Visual Studio 2010软件平台。 OpenCV读取的输入数据格式为“.data”文件。该文件记录了所有数据样 SVM 支持向量机 目录 一、简介 (1) 二、线性分类器 (3) 三、分类间隔指标 (4) 四、线性分类器的求解 (8) 五、核函数 (9) 六、松弛变量 (11) 七、惩罚因子C (15) 八、SVM用于多类分类 (17) 九、SVM的计算复杂度 (19) 一、简介 支持向量机在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中。 支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础 上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度，Accuracy）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推广能力（或称泛化能力）。 以下逐一分解并解释一下：统计机器学习之所以区别于传统机器学习的本质，就在于统计机器学习能够精确的给出学习效果，能够解答需要的样本数等等一系列问题。与统计机器学习的精密思维相比，传统的机器学习基本上属于摸着石头过河，用传统的机器学习方法构造分类系统是一种技巧，一个人做的结果可能很好，另一个人差不多的方法做出来却很差，缺乏指导和原则。 VC维是对函数类的一种度量，可以简单的理解为问题的复杂程度，VC维越高，一个问题就越复杂。SVM关注的是VC维，和样本的维数是无关（甚至样本可以是上万维的，这使得SVM很适合用于解决文本分类的问题，也因此引入了核函数）。 结构风险最小：机器学习本质上就是对问题真实模型的逼近（我们选择一个我们认为比较好的近似模型作为假设），而真实模型是未知的。假设与问题真实解之间的误差，叫做风险（更严格的说，误差的累积叫做风险）。我们选择了一个假设（即分类器）之后，我们可以用某些可以掌握的量来逼近误差，最直观的方法就是使用分类器在样本数据上的分类的结果与真实结果（样本是已标注过的数据，即准确的数据）之间的差值来表示。这个差值叫做经验风险Remp(w)。 . . 实验报告 实验名称：机器学习：线性支持向量机算法实现 学员：张麻子学号： *********** 培养类型：硕士年级： 专业：所属学院：计算机学院 指导教员： ****** 职称：副教授 实验室：实验日期： . . 一、实验目的和要求 实验目的：验证SVM（支持向量机）机器学习算法学习情况 要求：自主完成。 二、实验内容和原理 支持向量机（Support V ector Machine, SVM）的基本模型是在特征空间上找到最 佳的分离超平面使得训练集上正负样本间隔最大。SVM是用来解决二分类问题的有监督学习算法。通过引入了核方法之后SVM也可以用来解决非线性问题。 但本次实验只针对线性二分类问题。 SVM算法分割原则：最小间距最大化，即找距离分割超平面最近的有效点距离超平面距离和最大。 对于线性问题： w T x+b=0 假设存在超平面可最优分割样本集为两类，则样本集到超平面距离为： ρ = min{|w T x+b| ||w|| }= a ||w|| 需压求取： max a ||w|| s.t. y i(w T x+b)≥a 由于该问题为对偶问题，可变换为： min 1 2 ||w||2 s.t. y i(w T x+b)≥1 可用拉格朗日乘数法求解。 但由于本实验中的数据集不可以完美的分为两类，即存在躁点。可引入正则化参数Ｃ，用来调节模型的复杂度和训练误差。 . . min 1 2||w||2+C ∑εi s.t. y i (w T x +b)≥1?εi , εi >0 作出对应的拉格朗日乘式： 对应的ＫＫＴ条件为： 故得出需求解的对偶问题： {min 1∑∑αi αj y i y j (x i T x j )?∑αi s.t. ∑αi y j = 0 , C≥αi ≥0, 本次实验使用python 编译器，编写程序，数据集共有２７０个案例，挑选其中70%作为训练数据，剩下30%作为测试数据。进行了两个实验，一个是取Ｃ值为１，直接进行ＳＶＭ训练；另外一个是利用交叉验证方法，求取在前面情况下的最优Ｃ值。 三、实验器材 实验环境：windows7操作系统+python 编译器。 东北大学 研究生考试试卷 考试科目：信号处理的统计分析方法 课程编号：09601513 阅卷人: 刘晓志 考试日期：2012年11月07日 姓名：赵亚楠 学号：1001236 注意事项 1.考前研究生将上述项目填写清楚. 2.字迹要清楚,保持卷面清洁. 3.交卷时请将本试卷和题签一起上交. 4.课程考试后二周内授课教师完成评卷工作,公共课成绩单与试卷交研究生院培养办公室, 专业课成绩单与试卷交各学院,各学院把成绩单交研究生院培养办公室. 东北大学研究生院培养办公室 目录 一、SVM的产生与发展3 二、支持向量机相关理论4 （一）统计学习理论基础4 （二）SVM原理4 1．最优分类面和广义最优分类面5 2．SVM的非线性映射7 3．核函数8 三、支持向量机的应用研究现状9（一）人脸检测、验证和识别9（二）说话人／语音识别10 （三）文字／手写体识别10 （四）图像处理11 （五）其他应用研究11 四、结论和讨论12 一、SVM 的产生与发展 自1995年Vapnik 在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support VectorMachines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support VectorMachine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。上述改进模型中，v-SVM 是一种软间隔分类器模型，其原理是通过引进参数v ，来调整支持向量数占输入数据比例的下限，以及参数ρ来度量超平面偏差，代替通常依靠经验选取的软间隔分类惩罚参数，改善分类效果；LS-SVM 则是用等式约束代替传统SVM 中的不等式约束，将求解QP 问题变成解一组等式方程来提高算法效率；LIBSVM 是一个通用的SVM 软件包，可以解决分类、回归以及分布估计等问题，它提供常用的几种核函数可由用户选择，并且具有不平衡样本加权和多类分类等功能，此外，交叉验证(cross validation)方法也是LIBSVM 对核函数参数选取问题所做的一个突出贡献；SVM-1ight 的特点则是通过引进缩水(shrinking)逐步简化QP 问题，以及缓存(caching)技术降低迭代运算的计算代价来解决大规模样本条件下SVM 学习的复杂性问题。 机器学习课程作业（1） 提交截止日期：2017年10月10日周二 1. 一个优化问题的原问题（Prime Problem ）与对偶问题（Dual Problem ）定义如下： 原问题 Minimize: ()f ω Subject to: ()0,1,2,...,i g i K ω≤= ()0,1,2,...,i h i M ω== 对偶问题 定义 ()()()()()()()11,,K M T T i i i i i i L f g h f g h ωαβωαωβωωαωβω===++=++∑∑ 对偶问题为： Maximize: ()(),inf ,,L ωθαβωαβ= Subject to: 0,1,2,...,i i K α≥= (a) 证明：如果*ω是原问题的解，*α，*β是对偶问题的解，则有：()()***,f ωθαβ≥ (b) 证明 (强对偶定理)：如果()g A b ωω=+,()h C d ωω=+，且()f ω为凸函数，即对任意1ω和2ω，有()()()()()121211f f f λωλωλωλω+-≤+-, 则有：()()*** ,f ωθαβ= 2. 求下列原问题的对偶问题 (a) (1l and 2l -norm SVM Classification) : Minimize: 221211 12N N i i i i C C ωδδ==++∑∑ Subject to: 0,1,2,...,i i N δ≥= ()1T i i i y x b ω?δ??+≥-?? (b) (SVM regression): Minimize: ()()2221211 12N N i i i i i i C C ωδζδζ==++++∑∑ Subject to: (),1,2,...,T i i i x b y i N ω?εδ+-≤+= (),1,2,...,T i i i y x b i N ω?εζ--≤+= 0i δ≥, 0i ζ≥ (c) (Kernel Ridge Regression): Minimize: 221 12N i i C ωδ=+∑ Subject to: (),1,2,...,T i i i y x i N ω?δ-== (d) (Entropy Maximization Problem): Minimize: ()1log N i i i x x =∑ Subject to: T x b ω≤ 11N i i x ==∑ 3. 如图所示，平面上有N 个点12{,,...,}N x x x ，求一个半径最小的圆，使之能包含这些点。 图1. 平面上N 个点，求最小的圆包含这些点。 (a) 写出这个优化问题的数学表达式。 (b) 写出(a)的对偶问题。 (c) 编写程序求解这个问题（选做）(完整版)支持向量机(SVM)原理及应用概述
支持向量机(SVM)简明学习教程
支持向量机(SVM)的实现
SVM支持向量机
机器学习SVM(支持向量机)实验报告
支持向量机SVM原理及应用概述
SVM支持向量机题目
相关主题
文本预览