第七章 共形映射
教学课题：第三节 黎曼存在定理
教学目的：1、充分理解黎曼存在定理极其重要意义；
2、充分了解边界对应定理；
3、了解线性变换的不动点；
4、掌握线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性。
教学重点：线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性 教学难点：线性变换的保交比性、保对称点性 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：由于线性变换的保形性、保圆性、保交比性和保对称点性，它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。 教学过程： 8、实例：
在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。 例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1，Im z >0保形映射成上半平面。 解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数
1
1
'-+=
z z w ， 把-1及+1分别映射成w'平面上的0及∞两点，于是把|z|=1及Im z =0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。
由于分式线性函数中的系数是实数，所以z 平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z =0映射成w'=-1，半圆的直径AC 映射成w'平面上的负半实轴。
平面-z O
)
1(-B )(i D -)
0(A C
平面-'w C
)1(-D )
1(B )0(A C
平面
-w
显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z =i 映射成i i i w -=-+=1
1
'，
半圆ADC 映射成w'平面上的下半虚轴。
根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC 的左方，因此它是第三象限2
'arg π
π<
最后作映射 2'w w =， 当w'在第三象限中变化时，arg w'在π2及π3之间变化。因此w'平面上的第三象限就映照成w 平面上的上半平面。 因此，所求单叶函数为： 2 2 )1 1('-+==z z w w 。 例2、求作一个单叶函数，把z 平面上的带形π< z e w ='， 把z 平面上的已给带形保形映射成w'平面上的上半平面。 取 w' 平面上 关于 实轴的对称点-i 及i ，那么函数 i w i w w +-='', O i -i 平面-' w 把的w'平面上的上半平面保形映射成w 平面上的单位圆|w|<1。 因此，我们得到 i e i e w z z +-=. 例3、求作一个单叶函数，把扩充z 平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成扩充w 平面上去掉割线0Im ,1Re 1=≤≤-w w 而得的区域。 解：容易验证，分式线性函数 1 1 '-+= w w w ， 把割线0Im ,1Re 1=≤≤-w w 保形映射成 w'平面上的负实轴，把扩充w 平面上已给区域保形映射成w'平面上除去负实轴（包括0）而得的区域。 另一方面，分式线性函数 1 1-+= z z ζ， 把圆|z |=1保形映射成 ζ平面上的 虚轴。由于它把z=2映射成3=ζ，可见它 把扩充z 平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成 ζ平面上的右半平面。显然 2'ζ=w ， 平面 -z O 平面 -ζC 平面 -w 1 -1 平面 -'w O 把ζ平面上的这一部分保形映射成w'平面上除去负实轴而得的区域。 因此我们得到 2 1111?? ? ??-+=-+z z w w 由此可得函数 ) 1(21z z w += 即为所求函数。 例4、求作一个单叶函数，把z 平面上半带域0,2/2/><<-y x ππ保形映 射成w 平面上的上半平面，并且使得 0)0(,1)2/(=±=±f f π。 解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用指数函数做映射，我们求得函数 iz e w ='， 把上述半带域映射成w'平面上的半圆盘。 把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用例1中的映射，得到函数 2 11'1'? ? ? ??-+=iw iw w ， 因此，我们得到把以给半带域保形映射成1w 平面的上半平面的单叶函数，不过 这时2/,0,2/ππ-=z 分别被映射成0,1,1-∞=w 。作分式线性函数， 把0,1,1 -∞=w 映射成1,0,1+-=w ： 1 111-+-=w w w ， 最后得到所求的单叶函数： z e e i iw w iw iw iw iw w iz iz sin )(21'21')1'()1'()1'()1'(22 222=-=-=--+-++-=-。 例5、在z 平面的上半平面上，沿虚轴作一长h 为的割线。求作一个单叶函数，把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成w 平面上的上半平面。 解：首先作映射，把割线去掉，使已给区域的全部边界都变到w'平面的实轴上。为此，用在上述区域内的单叶解析函数 2'z w =， ) 1(-A ) 1(C )0(B 平面 -w 平面-z 平面 -'w ) (∞A ) 0(C )1(-B 平面 -1w 把z 平面的第一及第二象限分别映射成w'平面的上半平面及下半平面。这时射线AD 被映射成w'平面上正实轴的上沿，DC 被映射成从0到2h 的线段的上沿，CB 被映射成这条线段的下沿，BA 被映射成正实轴的下沿，于是z 平面上已给区域 被保形影射成w'平面除去射线2'Re ,0'Im h w w -≥=而得的区域。 显然，函数 21'h w w +=， 把w'平面的上述区域映射成1w 平面上除去正实轴所得的区域；而函数 1w w =， 又把这一区域映射成w 平面上的上半平面，其中1w 应理解为在正实轴的上沿 取正值的一个解析分支。 结合以上讨论，我们得到所求的单叶函数是： 2221'h z h w w w +=+==。 x y O 平面 -z A A B )(hi C D 平面 -'w ) (∞A ) (∞A ) 0(D ) 0(B ) (2h C -平面 -1w ) (∞A ) (∞A ) (2h D ) (2h B ) 0(C 平面 -w ) (∞A ) (A ) (h B -) (h D )0(C 复变函数练习题第三章复变函数得积分 系专业班姓名学号 §1 复变函数积分得概念§4原函数与不定积分 一.选择题 1.设为从原点沿至得弧段,则[ ] (A) (B) (C) (D) 2、设就是,从1到2得线段,则[ ] (A) (B) (C) (D) 3.设就是从到得直线段,则[ ] (A) (B)(C)(D) 4.设在复平面处处解析且,则积分[ ] (A) (B) (C) (D)不能确定 二.填空题 1．设为沿原点到点得直线段,则 2 。 2．设为正向圆周,则 三.解答题 1.计算下列积分。 (1) (2) (3) (4) 2.计算积分得值,其中为正向圆周: (1) (2) 3.分别沿与算出积分得值。 解:(1)沿y=x得积分曲线方程为 则原积分 (2)沿得积分曲线方程为 则原积分 1 20 1 1 3224300 [()](12)3112 [32(1)][()]2.2233I i t it it dt t t i t dt t t i t t i =--+=--+-=--+-=-+?? 4.计算下列积分 (1) ,C:从到得直线段; C 得方程: 则原积分 (2) ,C:上沿正向从1到。 C 得方程: 则原积分 复变函数练习题 第三章 复变函数得积分 系 专业 班 姓名 学号 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理得推广－复合闭路定理 一、选择题 1． 设在单连通区域内解析,为内任一闭路,则必有 [ ] (A) (B) (C) (D ) 2.设为正向圆周,则 [ ] (A) (B ) (C) (D) 3.设在单连通域内处处解析且不为零,为内任何一条简单闭曲线,则积分 [ ] (A) (B) (C ) (D)不能确定 二、填空题 1.设为正向圆周,则 2.闭曲线取正方向,则积分 0 。 三、解答题 利用柯西积分公式求复积分 (1)判断被积函数具有几个奇点; (2)找出奇点中含在积分曲线内部得, 若全都在积分曲线外部,则由柯西积分定理可得积分等零; 若只有一个含在积分曲线内部,则直接利用柯西积分公式; 若有多个含在积分曲线内部,则先利用复合闭路定理,再利用柯西积分公式、 1.计算下列积分 (1) 、 第一章 复数与复变函数 教学课题：第二节 复平面上的点集 教学目的：1、理解关于平面点集的几个基本概念； 2、理解区域与约当曲线这两个重要概念； 3、了解约当定理和区域的连通性。 教学重点：平面点集的几个基本概念 教学难点：区域与约当曲线 教学方法：启发式教学 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：理解关于平面点集的几个基本概念、掌握区域与约当曲线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通，对于学好该门课程具有重要的作用。 教学过程： 1、平面点集的几个基本概念： 定义1.1 设),0(, +∞∈∈r C a ，a 的r -邻域),(r a U 定义为 },,|| |{C z r a z z ∈<- 称集 },,|| |{C z r a z z ∈≤- 为以a 为中心，r 为半径的闭圆盘，记为),(r a U 。 定义1.2设C a C E ∈?,， 若E r a U r ?>?),(,0中有无穷个点，则称a 为E 的极限点； 若0>?r ，使得E r a U ?),(，则称a 为E 的内点； 若E r a U r ?>?),(,0中既有属于E 的点，又有不属于E 的点，则称a 为E 的边界点； 集E 的全部边界点所组成的集合称为E 的边界，记为E ?； E E ??称为E 的闭包，记为E ； 若0>?r ，使得}{),(a E r a U =?，则称a 为E 的孤立点（是边界点但不是聚 点）； 定义1.3 开集：所有点为内点的集合； 闭集E ：或者没有聚点，或者所有聚点都属于E ；则任何集合E 的闭包E 一定是闭集； 定义1.4如果0>?r ，使得),0(r U E ?，则称E 是有界集，否则称E 是无界集； 复平面上的有界闭集称为紧集。 例1、圆盘),(r a U 是有界开集；闭圆盘),(r a U 是有界闭集； 例2、集合}|||{r a z z =-是以a 为心，半径为r 的圆周，它是圆盘),(r a U 和闭圆盘),(r a U 的边界。 例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。 例4、集合}||0|{r a z z E <-<=是去掉圆心的圆盘。圆心E a ?∈，它是E ?的孤立点，是集合E 的聚点。 无穷远点的邻域：0>?r ，集合},|||{∞∈>C z r z z 称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。 ∞C 我们也称为C 的一点紧化。 2、区域、约当（Jordan ）曲线： 定义1.5复平面C 上的集合D ，如果满足： （1）、D 是开集； （2）、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D 。 则称D 是一个区域。 结合前面的定义，有有界区域、无界区域。 性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。 区域D 内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。 扩充复平面∞C 上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C 《复变函数》教学大纲 说明 1．本大纲适用数学与应用数学本科教学 2．学科性质： 复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数几何理论的基本概念。；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。 3．教学目的： 复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。 4．教学基本要求： 通过本课程的学习，要求学生达到： 1．握基本概念和基本理论； 2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数 的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映 照等）； 2．固和加深理解微积分学的有关知识。 5．教学时数分配： 本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表： 教学时数分配表 以上是二年制脱产数学本科的教学时数。函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。 教学内容 第一章复数与复变函数 复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。 （一）教学内容 第三章 复变函数的积分习题与解答 3.1 如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系？ 【答案 单连通 无关，复连通 有关】 3.2 计算积分 ||z ? 【答案 0】 3.3 计算积分 22d L z z a -? :其中0a >．设 L 分别为 （1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+= 【答案 (1)0；（2）πi a ； (3)πi a -】 3.4 计算积分 Im d C z z ?，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段； （２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-； （３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向） 【答案 2(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】 3.5 计算积分 d ||C z z z ? 的值， (1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】 3.6 计算积分的值 π2i 0 cos d 2z z +? 【答案 1/e e +】 3.7计算下列积分的值 （1） ||1d cos z z z =? ；（2）2||2d z ze z =? 21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++?? 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi 4i +】 3.8 计算 2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z z z z z e z z z z z ==-===-=--+--+?????? 【答案 （1）0；（2）0；（3）πicosi -；（4）3πi 2-；（5）πi 12（6）π8-】 3.9 计算积分 （1）π61i i 000(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z --??? 【答案 13(1)s i n 1c o s 1; (2)i ; (3)1c o s 1i [s i n (1)1]- -+-】 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332 3 30 2 33 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 0330 2 3 2 33 131=??? ???==?? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 0233 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 202 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02 32 3113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 2 30 2 13 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 姓名 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设C 为从原点沿2 y x =至1i +的弧段，则2()C x iy dz +=? [ ] （A ） 1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）15 66 i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C zdz =? [ ] （A ） 4 π （B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i + 3．设C 是从0到12 i π+的直线段，则z C ze dz =? [ ] （A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12 ei π - 4．设()f z 在复平面处处解析且 ()2i i f z dz i ππ π-=?，则积分()i i f z dz ππ--=? [ ] （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题 1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则 2C zdz =? 2 。 2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则22 32 (4) C z z dz z -+=-? 10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。 （1） 323262121 ()02i z i i z i i i e dz e e e ππππππ---= =-=? （2） 2 2222sin 1cos2sin 222 4sin 2.244i i i i i i zdz z z z dz i e e e e i i i i ππππππππππ ππππ------?? ==- ????? --=-=-=+ ?? ? ?? （3） 1 1 0sin (sin cos )sin1cos1. z zdz z z z =-=-? （4） 20 222 cos sin 1sin sin().2 22 i i z z dz z i ππππ= =?=-? 2．计算积分 ||C z dz z ?的值，其中C 为正向圆周： （1） 第一章复数与复变函数 教学课题：第二节复平面上的点集 教学目的：1、理解关于平而点集的儿个基本概念； 2、理解区域勾约当曲线这W个重要概念； 3、了解约当定理和区域的连通性。 教学重点：平血点集的几个基木概念 教学难点：区域与约当曲线 教学方法：启发忒教学 教学手段：多媒体与板15相结合教材分析：理解关于〒面点集的儿个基本概念、掌握区域与约当llh线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通，对于学好该门课程具有重要的作用。 教学过程： 1、平面点集的几个基本概念： 定义1.1 设6/ e C,r G (0,+oo), tz 的r-邻域［/(fz，r)定义为 {z\\z-a\< r,zeC}, 称集 {z\\z-a\ 若3/、〉0,使得= 则称6/为￡的孤立点(是边界点但不是聚 点）; 定义1.3开集：所冇点为内点的集合； 闭集或者没冇聚点，或者所冇聚点都展于￡;则任何集合￡的闭包互一定是闭集； 定义1.4如果3r〉0，使得￡c=t/（O，r），则称￡是有界集，否则称￡是无界 集； 复平面上的宥界闭集称为紧集。 例1、岡盘［/（^，r）是有界开集；闭闢盘fGz，r）是宥界闭集； 例2、集合｛z||z- p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0，其中C取单位圆周|z| = 1． 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析，故 C1/(z+ 2)dz= 0． 设C: z()= ei ，[0, 2]． 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d = [0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d． 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期，故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0；因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数，故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析，,是D内两点，试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz． 【解】因f(z),g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关．[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ + 第三章 教学课题：第三节 柯西积分公式及其推论 教学目的：1、充分掌握柯西积分公式以及其解析函数的平均值定理； 2、了解柯西高阶导数分公式； 3、切实掌握解析函数的无穷可微性； 4、理解柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画。 教学重点：柯西积分公式； 教学难点：柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画 教学方法：启发式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：柯西积分公式是解析函数的积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式。 教学过程： 1、柯西积分公式： 定理3.11设f (z )在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，则有 其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，这就是柯西积分公式。它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。 证明：设D z ∈，显然函数在z f -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析。 以到z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC 。在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD 。在ρD 上，ζ的函数)(ζf 以及z f -ζζ)(解析，所以有 其中，沿曲线C 的积分是按关于D 的正向取的，沿ρC 的积分是按反时针方向取的。因此，结论成立。 说明：f(z)沿C 的积分为零。考虑积分 则有：（1）被积函数在C 上连续，积分I 必然存在； （2）在上述闭圆盘上0 )(z z z f -不解析，I 的值不一定为0，例如i I z f π21)(=≡时，； 现在考虑f (z )为一般解析函数的情况。作以为 0z 心，以)0(0ρρρ<<为半径的圆ρC ，由柯西定理，得 因此，I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关。令θρi e z z =-0， 则有 由于I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关，与ρ无关，由f (z )在点0z 的连续性，应该有)(20z if I π=，即 事实上，当ρ趋近于0时，有 由于由f (z )在点0z 的连续性，所以)(0,00ρδδε≤>?>?，使得当ρδρC z ∈<<,0时，ε<-|)()(|0z f z f ，因此 即当ρ趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而i dz z z C πρ210 =-?，因此，结论成立。 注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。 2、解析函数的无穷可微性 定理3.12 设D 是以有限条简单闭曲线C 为边界的有界区域。设f (z )在D 及C 所组成的闭区域D 上解析，那么f (z )在D 内有任意阶导数 ,...)3,2,1( )()(2!)(1 )(=-=?+n d z f i n z f C n n ζζζπ, 证明：先证明结论关于n =1时成立。设D h z ∈+是D 内另一点。 只需证明，当h 趋近于0时，下式也趋近于0 现在估计上式右边的积分。设以z 为心，以2d 为半径的圆盘完全在D 内，并且 《复变与积分变换教案》 第二次课 1教学目标：使学生熟练二维平面图形的复形式，熟练掌握复变函数的分量处理法，重温二元微积分，并赋以复的外衣而导出复变量，复数列，复变函数增量和复积分等知识。 2讲课段落： 平面曲线(定向)和区域；复变函数的分量处理法；二维平面图形的复形式；复变量，复数列，复变函数的极限和连续性; 复变函数的增量； 复积分定义和计算，复积分的性质。 3知识要点: 无重点的按段光滑闭曲线简称为简单闭曲线。数学上可证明任 条在平面上有确定的始端和终端的简单曲线是可求长的，特别是 任一条简单闭曲线总是有有限长度的。 对给定点P (x o,y o)和正数0，称 u (P) (X, y)J(x X o)2 (y y。)2 为P的一个邻域。 平面上的区域D为可用折线连通的开集. 本课程中经常出现的多连域D为有限条简单闭曲线C0,C i,C2, ,C m按以下 方式围成的区域：设D O,D1,D2, , D m分别为C o,C1,C2, ,C m的内部区域, m 1 j k m, (3) C j C k 满足(1) D j D o, (2) D j D k j 1 m 称此多连域D为复围线：C o'GG'L ,C m围成的区域,即D D O D j。 j 1 w f (z) u u(x,y) V v(x,y) max max a n max U x x o , y y o X o , b n f Z o X o , y o iv x Z o X X o y o y o Z n Z o a n X o b n y o x o ,y o U y x o ,y o iV y X o ,y o E u iE v f 1 z u x x o ,y o iv x X o ，y o U y X o ，y o iV y X o ，y o C: F(x,y) 0, 经变换 若平面曲线参数方程为 则其复数表示为 z z(t): x(t) iy(t), 所以一个复变函数相当于两个二元函数，即 也称为D 的边界。而数学上称D 0 m D j 即D 连同C o ,G,C 2, ,C m 一起的 j 1 集合为多连域D 的闭包，也记为D 。 而复围线 ：C o ,C 1,C 2, ,C m 的正向 定义为，在C o 上取逆时针方向，而在 C 1,C 2, , C m 上都取顺时针方向。 得到C 的复数表示 z z 2i X y (t) (t). 《复变函数》教案 目录 第一次课………………复数 第二次课………………复平面上的点集 第三次课………………复变函数复球面与无穷远点 第四次课………………解析函数的概念与柯西-黎曼方程 第五次课………………初等解析函数 第六次课………………初等多值函数 第七次课………………复积分的概念及其简单性质 第八次课………………柯西积分定理 第九次课………………柯西积分公式及其推论 第十次课………………解析函数与调和函数的关系 第十一次课……………复级数的基本性质 第十二次课……………幂级数 第十三次课……………解析函数的泰勒展式 第十四次课……………解析函数零点的孤立性及惟一性定理 第十五次课……………解析函数的洛朗展开式 第十六次课……………解析函数的孤立奇点 第十七次课……………孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚 纯函数的概念 第十八次课……………留数 第十九次课……………用留数计算实积分 第二十次课……………辐角原理及其应用 第二十一次课…………解析变换的特性 第二十二次课…………分式线性变换 第二十三次课…………某些初等函数所构成的共形映射关于共 形映射的黎曼存在定理和边界对应定理 第二十四次课…………总复习 第一次课：复数 一．教学目的： 1．掌握复数的四则运算及共轭运算； 2．熟练掌握复数的各种表示法； 3．熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。 二．教学重点：复数的三角表示和复数的乘方与开方。 三．教学难点：用复数形式方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题的方法。四．教学方法：启发式、讨论式 五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等。 六．教学过程： [引言]：（约10分钟）简述复分析的发展历史、复变函数的主要内容及其应用背景以及学习该课程应该注意的方法，引入本课主题。 ●复数的基本概念（约5分钟） 1．虚数单位。 2．实部与虚部。 3．共轭复数。 ●复数的四则运算（约20分钟） 1．复数的加、减、乘和除法运算。 2．复数运算的性质。 举例并让学生穿插进行练习。 ●复数的几何表示（约20分钟） 1．复平面。 2．复数的模与幅角。 3．复数模的三角不等式。 利用几何图形直观地解释。 ●复数的三角表示（约25分钟） 1．复数的三角表示 2．用复数的三角表示作乘除法。 3．复数的乘方与开方 举例并让学生穿插进行练习。 七．课程小结（约5分钟）八．布置作业和预习内容（约5分钟） 第二次课：复平面上的点集 一. 教学目的： １．了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念； ２．理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念。 二. 教学重点：正确理解区域、单连通域与多连通域、简单曲线等概念 三. 教学难点：求复平面上曲线的复方程。 四．教学方法：启发式、讨论式 五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等 六．教学过程： [引言]：（约5分钟） 第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点 教学课题：第一节解析函数的洛朗展式 教学目的：1、了解双边幕级数在其收敛圆环内的性质； 2、充分掌握洛朗级数与泰?勒级数的关系； 3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数 教学重点：掌握洛朗级数的展开方法 教学难点：掌握洛朗级数的展开方法 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：洛朗级数是推广了的幕级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。 教学过程： 1、双边基级数 在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数 00 + （Z - Z（）+ 0_2（Z - Z（）尸 + ??? + 0_〃（Z-Z（））-" +??? 其屮堤复常数。此级数可以看成变量丄的幕级数；设这幕级 z_z° 数的收敛半径是心如果ovRv+oe,那么不难看出，此级数在|z-z01>丄内绝 R 对收敛并且内闭一致收敛，在|Z-Z O |<1内发散。同样，如果/? = +oo,那么此级 R 数在|z-z（） |> 0内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果/?二0,那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在z = z。没有意义。于是根据定理2.3,按照不同情形，此级数分别在 | z-z0 |>^ = 7?,（0< /?<4-OO）及I z-Zo |>0 内收敛于一个解析函数。 R 2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数 工0“（Z-Zo）", 这里勺,爲3=0±口2…是复常数。当级数 乞伏（z - z°y及乞仇d - 川=0 /?=-! +8 都收敛吋，我们说原级数￡A（Z-Z0）W收敛，并且它的和等于上式屮两个级数的”=-oo 和函数相加。设上式中第一个级数在|z-z0\ 第七章 共形映射 教学课题：第三节 黎曼存在定理 教学目的：1、充分理解黎曼存在定理极其重要意义； 2、充分了解边界对应定理； 3、了解线性变换的不动点； 4、掌握线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性。 教学重点：线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性 教学难点：线性变换的保交比性、保对称点性 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：由于线性变换的保形性、保圆性、保交比性和保对称点性，它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。 教学过程： 8、实例： 在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。 例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1，Im z >0保形映射成上半平面。 解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数 1 1 '-+= z z w ， 把-1及+1分别映射成w'平面上的0及∞两点，于是把|z|=1及Im z =0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。 由于分式线性函数中的系数是实数，所以z 平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z =0映射成w'=-1，半圆的直径AC 映射成w'平面上的负半实轴。 平面-z O ) 1(-B )(i D -) 0(A C 平面-'w C )1(-D ) 1(B )0(A C 平面 -w 显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z =i 映射成i i i w -=-+=1 1 '， 半圆ADC 映射成w'平面上的下半虚轴。 根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC 的左方，因此它是第三象限2 'arg π π< 《复变函数》教案 目录 第一次课………………复数 第二次课………………复平面上的点集 第三次课………………复变函数复球面与无穷远点 第四次课………………解析函数的概念与柯西-黎曼方程 第五次课………………初等解析函数 第六次课………………初等多值函数 第七次课………………复积分的概念及其简单性质 第八次课………………柯西积分定理 第九次课………………柯西积分公式及其推论 第十次课………………解析函数与调和函数的关系 第十一次课……………复级数的基本性质 第十二次课……………幂级数 第十三次课……………解析函数的泰勒展式 第十四次课……………解析函数零点的孤立性及惟一性定理 第十五次课……………解析函数的洛朗展开式 第十六次课……………解析函数的孤立奇点 第十七次课……………孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚 纯函数的概念 第十八次课……………留数 第十九次课……………用留数计算实积分 第二十次课……………辐角原理及其应用 第二十一次课…………解析变换的特性 第二十二次课…………分式线性变换 第二十三次课…………某些初等函数所构成的共形映射关于共 形映射的黎曼存在定理和边界对应定理第二十四次课…………总复习 第一次课：复数 一．教学目的： 1．掌握复数的四则运算及共轭运算； 2．熟练掌握复数的各种表示法； 3．熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。 二．教学重点：复数的三角表示和复数的乘方与开方。 三．教学难点：用复数形式方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题的方法。 四．教学方法：启发式、讨论式 五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等。 六．教学过程： [引言]：（约10分钟） 简述复分析的发展历史、复变函数的主要内容及其应用背景以及学习该课程应该注意的方法，引入本课主题。 ●复数的基本概念 （约5分钟） 1．虚数单位。 2．实部与虚部。 3．共轭复数。 ●复数的四则运算（约20分钟） 1．复数的加、减、乘和除法运算。 2．复数运算的性质。 举例并让学生穿插进行练习。 ●复数的几何表示（约20分钟）1．复平面。 2．复数的模与幅角。 3．复数模的三角不等式。 利用几何图形直观地解释。 ●复数的三角表示（约25分钟）1．复数的三角表示 2．用复数的三角表示作乘除法。 3．复数的乘方与开方 举例并让学生穿插进行练习。 七．课程小结（约5分钟） 八．布置作业和预习内容（约5分钟） 第二次课：复平面上的点集 一. 教学目的： １．了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念； ２．理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念。 p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5. 由积分?C1/(z + 2) dz之值证明?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = 0，其中C取单位圆周| z | = 1． 【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析，故?C1/(z + 2) dz = 0． 设C : z(θ)= e iθ，θ∈[0, 2π]． 则?C1/(z + 2) dz = ?C1/(z + 2) dz = ?[0, 2π] i e iθ/(e iθ + 2) dθ = ?[0, 2π] i (cosθ + i sinθ)/(cosθ + i sinθ + 2) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ + i (1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ)/(5 + 4cosθ) dθ+ i ?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ． 所以?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)以2π为周期，故?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0；因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)为偶函数，故 ?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = (1/2) ?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z), g(z)在单连通区域D内解析，α, β是D内两点，试证 ?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 【解】因f(z), g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’的积分都与路径无关． ?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ?[α, β] ( f(z)g’(z)dz + g(z) f’(z))dz = ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz． 而f(z)g(z)是( f(z)g(z))’在单连通区域D内的一个原函数，所以 ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz = f(β)g(β) -f(α)g(α) = ( f(z)g(z))|[α, β]． 因此有?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β]， 即?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 13. 设C : z = z(t) (α≤t≤β)为区域D内的光滑曲线，f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ≠ 0，w = f(z)将曲线C映成曲线Γ，求证Γ亦为光滑曲线． 【解】分两种情况讨论． (1) 当z(α) ≠z(β)时，C不是闭曲线．此时z(t)是[α, β]到D内的单射，z(t)∈C1[α, β]，且在[α, β]上，| z’(t) |≠ 0． 因Γ是曲线C在映射f下的象，所以Γ可表示为w = f(z(t)) (α≤t≤β)． ?t∈[α, β]，z(t)∈D．因f于区域D内解析，故f在z(t)处解析， 因此f(z(t))在t处可导，且导数为f’(z(t))z’(t)． 显然，f’(z(t))z’(t)在[α, β]上是连续的，所以f(z(t))∈C1[α, β]． 因为f(z)于区域D内是单叶的，即f(z)是区域D到 的单射，而z(t)是[α, β]到D 内的单射，故f(z(t))是[α, β]到 内的单射． 因在D内有f’(z) ≠ 0，故在[α, β]上，| f’(z(t))z’(t) |= | f’(z(t)) | · |z’(t) |≠ 0． 所以，Γ是光滑曲线． (2) 当z(α) = z(β)时，C是闭曲线．此时z(t)∈C1[α, β]；在[α, β]上，有| z’(t) |≠ 0；z’(α) = z’(β)；?t1∈[α, β]，?t2∈(α, β)，若t1 ≠t2，则z(t1) ≠z(t2)．第三章 复变函数得积分(答案)
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第三章 复变函数的积分习题与解答
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