2008年振动力学期末考试试题
大学期末考试https://www.doczj.com/doc/3d15998083.html,
第一题（20分）
1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，
匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量
m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为
系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振
时的固有频率。
解：
系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。
AB转角：
系统动能：
m1动能：
m2动能：
m3动能：
系统势能：
在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：
上式求导，得系统的微分方程为：
固有频率和周期为：
2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘
上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量
为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平
弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自
弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固
有频率。
解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。
物体B动能：
轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能：
系统势能：
在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：
上式求导得系统的运动微分方程：
固有频率为：
第二题（20分）
1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，
每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运
动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，
建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。
解：
系统为二自由度系统。
当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k
当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k
因此系统刚度矩阵为：
系统质量矩阵为：
系统动力学方程为：
频率方程为：
解出系统2个固有频率：
，
2、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m，
弹簧的刚度系数均为k，刚杆AD的质量忽略不计，
杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，
试求：（1）以x1和x2为广义坐标，求系统作微
振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。
解：
系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移x1和
x2为系统的广义坐标。
当x1＝1，x2＝0时，AD转角为，
两个弹簧处的弹性力分别为和。对
D点取力矩平衡，有：；另外有。
同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：
，
因此，系统刚度矩阵为：
系统质量矩阵为：
系统动力学方程为：
频率方程为：
即：
第三题（20分）
在图示振动系统中，已知：物体
的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、
k2、k3、k4。（1）采用影响系数方法
建立系统的振动微分方程；（2）若
k1= k3=k4= k0，又k2=2 k0，求系统固
有频率；（3）取k0=1，m1=8/9，m2=1，
系统初始位移条件为x1(0)=9和
x2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。
解：
（1）系统可以简化为二自由度振动系统。
当x1＝1，x2＝0时，有：
k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2
当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。因此，系统刚度矩阵为：
系统质量矩阵为：
系统动力学方程为：
（2）当，时，运动微分方程用矩阵表示为：
频率方程为：
求得：
（3）当k0=1，m1=8/9，m2 =1时，系统质量阵：
系统刚度阵：
固有频率为：
，
主模态矩阵为：
主质量阵：
主刚度阵：
模态空间初始条件：
，
模态响应：
，
即：
，
因此有：
第四题（20分）
一匀质杆质量为m，长度为L，两端用弹簧支
承，弹簧的刚度系数为k1和k2。杆质心C上沿x
方向作用有简谐外部激励。图示水平位置为
静平衡位置。（1）以x和为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12，L=1，k1 =1，k2 =3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率为多少时，能够使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动？
解：
（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x、θ为广义坐标，x为质心的纵向位移，θ 为刚杆的角位移，如图示。
当、时：
，
当、时：
，
因此，刚度矩阵为：
质量矩阵为：
系统动力学方程：
（2）当m=12，L =，k 1 =1，k 2 =3时，系统动力学方程为：
频率方程为：
即：
求得：
（3）令，代入上述动力学方程，有：
由第二行方程，解得，代入第一行的方程，有：
，
要使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动，则需，因此。
《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω
1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。 图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =??? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。 求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++= k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω
1.转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k 、2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。 解： 系统的动能为 2 2 1?=θJ T 2k 和3k 相当于串联，则 32θθθ += 3322θθk k = 联立以上两式得 θθ3 23 2k k k += θθ3223k k k += 系统的势能为 ( )[]2 2 33222213 23 23212 1212121θ θθθk k k k k k k k k k U +++= ++= 利用θωθn =? 和U T =可得 () () 3232132n k k J k k k k k +++= ω 2.面积为S ，质量为m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为νμS F d 2=，S 2为薄板总面积，ν为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ，在粘性流体中自由振动的周期为d T 。求系数μ。
解： 平面在液体中上下振动时： 02=++? ? ?kx x S x m μ d n d n T T m k πξ ωωπω2-1,220==== k S m S m S n n 222,22μξωμξξωμ==?= k S k 2 22 --1μξ= 2020220 -2-22T T T ST m k S k T T T T d d d πμμ=?= 3.如图所示均匀刚性杆质量为1m ，求系统的频率方程。 解：
先求刚度矩阵。 令0x 1,==θ得： 22212111a k b k a a k b b k k +=?+?= b k 221-k = 令1,0==x θ得： a k k 212-= 222-k k = 则刚度矩阵为：?? ? ? ??+=2222221--k a k a k a k b k K 再求质量矩阵。 令0,1==? ?? ?x θ ，得： 0,3 1 212111==m a m m
《振动力学》习题集（含答案） 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： 系统的动能为： ()22 2 121x I l x m T &&+= 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2 212212236 16121x l m m x l m x ml T &&&+=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω=&和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω
质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 2222224321212 1θθθ&&&mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθ n =&和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω
转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统 的固有频率。 图 解： 系统的动能为： 22 1θ& J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()232323212 332222*********θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθ n =&和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω
… 2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角： 系统动能： % m 1动能： m 2动能： m 3动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ~ ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。 物体B 动能：2212 1 x m T = 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 21=，角速度为x R 21=ω，转过的角度为x R 21 = θ。轮子动能： )83 (21)41)(21(21)41(212121212221212212x m x R R m x m J v m T c =+=+=ω \ x
《振动力学》——习题 第二章 单自由度系统的自由振动 2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。 解： 2 22221v g W h W = ，gh v 22= 动量守恒： 122 122v g W W v g W +=，gh W W W v 221212+= 平衡位置： 11kx W =，k W x 1 1= 1221kx W W =+，k W W x 2 112+= 故： k W x x x 2 1120= -= ()2 121W W kg g W W k n +=+= ω 故： t v t x t x t x x n n n n n n ωωωωωωsin cos sin cos 12 000+ -=+-= x x 0 x 1 x 12 平衡位置
2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ 2a θ＝h α 2F ＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ 其中 1 2c o s s i n ≈≈θ αα h l ga p h a mg ml n 2 22 22304121==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。
振动力学期末考试试题和答案 振动力学(试题) 2008 一、填空(每空2分) 1、设周期振动信号的周期为，则其傅里叶级数的展开的基频为,T ,,, 2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子与阻尼系数的关系为,,, , 作用下系统响应的稳态振3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力ptsin,0 动的幅值为,,, 4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成,,,比。 5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为,,,,,, 6、写出多自由度系统再频率域的输入与输出之间的关系,,,,, 7、写出瑞利商的表达式,,,,,, r8、多自由度系统中共存在个主固有频率，其相应的主振型,,, 正交。 9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于M、K是 否正交,,,,(答是或否) 10、写出如图T-1所示梁的左端边界条件,,,,,,,,,, y L x K 图T-1 二、(20分)系统如图T-2所示，杆AB为刚性、均质，长度为,总L 质量为，弹簧刚度为，阻尼系数为。求系统的固有频率及阻mck
尼因子。 图T-2 三、系统如图T-3所示。求系统的固有频率与主振型。 k k k k k m m m X X X 123 图T-3 四、 五、(20分)简支梁如图T-5所示，弹性模量为E，质量密度为，, 横截面积为A，截面惯性矩为J。求梁在中央受集中弯矩M下的响应。(假设梁的初始状态为零)
图T-5 答案 一、填空(每空2分) 1、周期振动信号的周期为，则其傅里叶级数的展开的基频为 T2/,T 2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子与阻尼系数的关系为, c ,, 2mk 作用下系统响应的稳态振3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力ptsin,0 p10动的幅值为 ,,B222k,,,,，(1)(2) 4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成,正,比。 5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为加权(M,K)正交: 0()ij,0()ij,,,TTTT ,,,,M,K,,,ijijMij(),Kij(),pipi,, 6、写出多自由度系统在频率域的输入与输出之间的关系 21,其中 xHP()()(),,,,HKMiC()(),,,,,， TXKX7、写出瑞利商的表达式 ()RX,TXMX r8、多自由度系统中共存在个重固有频率，其相应的主振型,,加 权(M,K)正交。 MK9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于、是
上海交通大学2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。 AB转角： 系统动能： m1动能： m2动能： m3动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而 有： 上式求导，得系统的微分方程为：
固有频率和周期为： 2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过 定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求 系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。 物体B动能： 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：上式求导得系统的运动微分方程：
固有频率为： 第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解： 系统为二自由度系统。 当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为： 系统质量矩阵为： 系统动力学方程为： 频率方程为： 解出系统2个固有频率： ，
2008年振动力学期末考试试题 大学期末考试https://www.doczj.com/doc/3d15998083.html, 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1， 匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量 m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为 系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振 时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。 AB转角： 系统动能： m1动能： m2动能： m3动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：
上式求导，得系统的微分方程为： 固有频率和周期为： 2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘 上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量 为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平 弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自 弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固 有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。 物体B动能： 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能： 系统势能：
在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有： 上式求导得系统的运动微分方程： 固有频率为： 第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m， 每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运 动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标， 建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解： 系统为二自由度系统。 当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为： 系统质量矩阵为：
1、四个振动系统中，自由度为无限大的是（）。 A. 单摆； B. 质量-弹簧； C. 匀质弹性杆； D. 无质量弹性梁； 2、两个分别为c1、c2的阻尼原件,并连后其等效阻尼是（）。 A. c1+c2； B. c1c2/(c1+c2)； C. c1-c2； D. c2-c1； 3、（）的振动系统存在为0的固有频率。 A. 有未约束自由度； B. 自由度大于0； C. 自由度大于1； D. 自由度无限多； 4、多自由度振动系统中，质量矩阵元素的量纲应该是（）。 A. 相同的，且都是质量； B. 相同的，且都是转动惯量； C. 相同的，且都是密度； D. 可以是不同的； 5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统，激励频 率（）固有频率时，稳态位移响应幅值最大。 A. 等于； B. 稍大于； C. 稍小于； D. 为0； 6、自由度为n的振动系统，且没有重合的固有频率，其固有频率
的数目（A ）。 A. 为n； B. 为1； C. 大于n； D. 小于n； 7、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)和u(s)，u(r)T Mu(s)的值一定 （）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 小于0； D. 不能确定； 8、无阻尼振动系统的某振型u(r)，u(r)T Ku(r)的值一定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 小于0； D. 不能确定； 9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上，当激 励频率为无限大时，该集中质量的稳态位移响应一定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 为无穷大； D. 为一常数值； 10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统是 （）。 A. 杆的纵向振动； B. 弦的横向振动； C. 一般无限多自由度系统； D. 梁的横向振动； 11、两个刚度分别为k1、k2串连的弹簧,其等效刚度是（）。 A. k1+k2； B. k1k2/(k1+k2)；
2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角：L y /=? 系统动能： m 1动能：2112 1 y m T = m 2动能：2222222 22222)3 1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====? ω m 3动能：2322 32333)2 1(21))(21(2121y m R y R m J T ===ω 系统势能： 221)2 1 (21)21(y k y g m gy m V ++-= 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： E y k gy m gy m y m m m V T =++-++= +2212321)2 1 (2121)2131(21 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。 物体B 动能：2212 1 x m T =
西南交通大学2009－2010学年第( 1 )学期考试试卷 课程代码 6332200 课程名称 振动力学 考试时间 120 分钟 阅卷教师签字： 一、如图所示系统，设杆AB 为刚性杆，其对A 点的转动惯量为I =1 kgm 2，杆长L =1 m 。在B 端有一集中质量块，杆的中间和B 端分别有弹簧支承。已知质量块质量m =10 kg ，弹簧系数k 1=40 N/m ，k 2=100 N/m 。试以集中质量块的位移x 为参照，（1）求系统的等效质量和等效刚度；（2）系统的周期是多少？（3）建立系统的运动微分方程。 （15分） 班 级 学 号 姓 名 密封装订线 密封装订线 密封装订线 x
二、横截面面积为A、质量为m的圆柱形浮子，静止在密度为ρ的液体中。设从静平衡位置压低距离x0，然后无初速地释放，假定阻尼可以忽略不计。 （1）试建立浮子的运动方程； （2）给出浮子的固有频率及初始条件； （3）求浮子自由运动的响应。(15分)
三、如图所示滑轮系统，在运动过程中，假设不可伸长绳与滑轮之间无相对滑动。已知m1=9 kg，m2=8 kg，滑轮A的半径R A=0.1 m，对其转轴的惯性矩I A=0.01 kgm2，滑轮B的半径R B=0.2 m，对其转轴的惯性矩I B=0.08 kgm2，弹簧系数k1=k2= k3=1000 N/m。试求： （1）系统的运动方程； （2）系统的频率及振型； （3）验证振型关于质量阵加权正交。（20分） 1 m
四、图所示的弹簧质量系统，x 1为质量m 1的绝对位移，x 2为质量m 2的绝对位移， 取k k k k m m m =====32121,2,m 。已知系统的运动方程为： ?? ? ???=????????????+--++????????????0000213222212121x x k k k k k k x x m m （1） 采用瑞利商估算系统的基频； （2） 采用矩阵迭代法求系统的基频及振型。 （20分）
重庆大学 课程试卷 A卷 B卷 2011 ~2012 学年 第 2 学期 开课学院： 资环 课程号：24008020 考试日期：2012.5.18 考试方式： 开卷闭卷 其他 考试时间： 120 分钟 注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文推荐用小四号宋体；2.按A4纸缩小打印一、 如下图所示系统中, 均匀刚性杆AB 的质量为m ，长度为L ， A 端弹簧的刚度为K 、C 点为铰链支座，AC=nL(即AC 为杆长的n 倍。 （1）导出系统的自由振动微分方程，并求出系统 的固有频率。（2）C 点铰链支座放在何处时系统的固有频率最高。（20分） 二、 一质量m=2000Kg,以匀速度v=3cm/s 运动，与弹簧K ，阻 尼器C 相撞后一起作自由振动，如图所示.。已知，K=48020N/m ，C=1960 N.s/m ，问质量m 在相撞后多少时间达到最大振幅，最大振幅是多大？。(20分) 三、 在下图所示系统中， 已知m,c,k,ω和F, 用模态迭加法求系统的稳态响应。（20分）。 四、 如下图所示系统，已知m 和k 。 （1） 用邓克利法求系统的第一阶固有频率的近似值； （2） 用矩阵迭代法求系统的第一阶固有频率和模态的近似值 v 命 题人：蹇开林 组题人： 审 题人： 命 题时间： 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
（3）给出系统第一阶固有频率真实值所在的区间范围。（20分） 五、长度为L ,截面积为S的均直杆，材料的密度和弹性模 量为ρ和E。如下图所示。 （1）基于连续系统模型，求系统纵向振动的频率方程。（2）若采用有限单元法，将杆等长度划分为两个单元，求系统纵向振动的第一阶固有频率。（20分）
请打双面 习题与综合训练第一章 2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子 高h，视为无质量的弹性杆， 其抗弯刚度为EJ。求该房屋 作水平方向振动时的固有 频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知 = 则= 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 所以固有频率 2-2一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ θ＝hα 2F＝mg 由动量矩定理： 其中 2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分 别为k1和k3的弹簧，因此，k1 与k2串联，设总刚度为k1ˊ。 k 1 ˊ与k3并联，设总刚度为k2 ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度 为k。即为 ，， mg kδ =δ δ 3 24 mgh EJ = k3 24EJ h " m x kx =- 3 n 24 mh EJ p= 2 a a h a mg a mg Fa M ml I M I 8 2 2 cos sin 12 1 2 2 - = - ≈ ? - = == = α θ α θ&& 1 2 cos sin≈ ≈ θ α α h l ga p h a mg ml n2 2 2 2 2 3 4 12 1 = = ? +θ θ&& g h a l ga h l p T n 3 π2 3 π2 π2 2 2 = = = 1 k3k 2 1 2 1 1k k k k k + = ' 2 1 2 1 3 2k k k k k k + + = ' 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 4 2 1 4 3 2 4 2 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k + + + + + + = θ F sinα 2 θ α F h mg θ F
2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案 1. 圆筒质量m 。质量惯性矩o J ，在平面上在弹簧k 的限制下作纯滚动，如图所示，求其 固有频率。（10分） 解：令t A x t A x ωωωcos ,sin == t A x r J m x r J m r x J x m J x m T o o o o ωωθ22 2222 2222 2cos )(21)(21)(21212 121 +=+=+=+= t kA kx U ω2 22sin 2121== 2 2 2222max max /2 1)(21r J m k kA A x r J m U T o o += =+∴=ωω 2. 图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力t P t P ωsin )(0=的作用，求质量m 稳态响应的幅值。（10分） )(t 2 x x m 11x k (t P 22x k
解：设m 的位移为x ，则21x x x += (1) 其中,1x 为弹簧1k 的变形，2x 为弹簧2k 的变形 对m 列运动微分方程： 022=+x k x m (2) 对连接点列平衡方程： )(2211t P x k x k += (3) 由(3)式可以得出： 12 21)(k x k t P x += 将上式代入(1)式可得出： 2 112)(k k x k t P x ++-= 将上式代入(2)式可得出：0)(2 12 2121=+-++t P k k k x k k k k x m 令m k k k k k k e e e =+= ω,212 1，有 t k k k P t P k k k x k x m e ωsin )(2 120212 +=+=+ t k P t k k k k P x e e e ωωωωωωsin )(11sin )(11 12 102 2120-?=-??+= ∴ 3. 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。（10分） 解：对物体m 列运动微分方程，有： 0)(1=--+x x k x c x m 即： t kA kx x c x m ωsin =++ t A ωsin 1= x m )x -
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物 1W 2 W 从高度为h 处自由下落到上且无弹跳。试求下降的最大距离和两物体碰撞1W 2W 后 的运动规律。 图2-1 图2-22-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。 图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。已知杆的质量为 m ，A 、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
《振动力学》习题集（含答案） 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。 图 - 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 210212 0131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： [ ()()l m m g m m n 113223++= ω
质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： : 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 343422 += +=ω ：
转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统 的固有频率。 ， 图 解： 系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ] ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω ：
线订装封密线订装封密 西南交通大学2009—2010学年第（1 ）学期考试试卷课程代码6332200 课程名称振动力学考试时间120 分钟 一、如图所示系统，设杆AB为刚性杆，其对A点的转动惯量为1=1 kgm2，杆长L=1 m。在B 端有一集中质量块，杆的中间和B端分别有弹簧支承。已知质量块质量m=10 kg,弹簧系数k1=40 N/m，k2=100 N/m。试以集中质量块的位移x为参照，（1）求系统的等效质量和等效刚度；（2）系统的周期是多少？（3）建立系统的运动微分方程。（15分） L/2L/2 --------- —--- 予 线订装封密 题号-一一二二二-三四五六七八九十总成绩得分 阅卷教师签字：_________________________________________________________________
二、横截面面积为A、质量为m的圆柱形浮子，静止在密度为p的液体中。设从静平衡位置压低距离x o,然后无初速地释放，假定阻尼可以忽略不计。 （1）试建立浮子的运动方程； （2）给出浮子的固有频率及初始条件； （3）求浮子自由运动的响应。（15分） o
三、如图所示滑轮系统，在运动过程中，假设不可伸长绳与滑轮之间无相对滑动。已知m i=9 kg , m2=8 kg，滑轮A的半径R A=0.1 m，对其转轴的惯性矩|A=0.01 kgm2，滑轮B的半径R B=0.2 m，对其转轴的惯性矩I B=0.08 kgm2，弹簧系数k i=k2= k3=1000 N/m。试求： 1)系统的运动方程； (2)系统的频率及振型； (3)验证振型关于质量阵加权正交。(20分)
《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 210212 0131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω 1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θ θθ mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 22 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω 1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。求固有频率。 图E1.4 答案图E1.4 解： mg b a +2 x x 2
1.1质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1 所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2 10212 0131l m dx x l m x dx l m I l l ∫∫==?? ????=则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=?? +?=利用x x n ω= 和U T =可得：()()l m m g m m n 113223++= ω
1.2质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。 图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =?? ????+== ()[]()2 222 12θθa R k a R k U +=+?=利用θωθn = 和U T =可得：()m k R a R mR a R k n 343422 += += ω
1.3转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。 求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 3 32232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()232323212 332222*********θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得：() () 3232132k k J k k k k k n +++= ω
2 振动力学》习题集（含答案） 质量为 m 的质点由长度为 l 、质量为 m 1 的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如 图所 示。求系统的固有频率。 解： 系统的动能为： 1 2 1 2 T m xl I x 22 其中 I 为杆关于铰点的转动惯量： 利用x n x 和T U 可得： 3 2m m 1 g 2 3m m 1 l m l 1dx x 2 l m 1 x 2dx l m 1l 31 则有： 系统的势能为： 1 2 2 1 2 2 ml x m 1l x 2 6 1 1 2 2 3m m 1 l x 6 U mgl 1 cosx m 1g cosx 1 2 mglx 1 4 m 1glx 1 2m 4 m 1 glx 2 图
质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在 两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 CA=a的A 点系有 解： 如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 利用 1212 1 2 23 T I B mR2mR2 2mR 2B 224 1222 U2k Ra2 k R a 2 4k R a 2 3mR2R 3m 图 U 可 得：
n J k 2 k 3 转动惯量为 J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 k 1 ， k 2 和 k 3 的轴约束，如图所示。求系 统的固有频率。 k 2 解： 系统的动能为： 12 J 2 k 2和 k 3相当于串联，则有： 以上两式联立可得： 系统的势能为： k 2k 3 k 1 k 2 k 3 k 1 3 , k 2 k 2 k 3 k 3 k 2 k 2 k 3 利用 U 12 k 1 k 2 22 12 k 3 k 1 k 2 k 3 k 2k 3 2 k 2 k 3 n 和 T U 可得：
2.11 图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m ，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚 度为2 k 。 （1）求倒摆作微幅振动时的固有频率； （2）摆球质量m 为0.9 kg 时，测得频率()n f 为1.5 Hz ，m 为1.8 kg 时，测得频率为0.75 Hz ，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？ 图 T 2-1 答案图 T 2-11(1) 答案图 T 2-11(2) 解：（1） 2 222 121 θθ ml I T == ()() () 2 2 2 2 2 2 2 12 12 1 cos 121212θ θ θθθmgl ka mgl ka mgl a k U -= - =--?? ? ??? = 利用max max U T =，max max θωθn = ??? ? ??-= - = -= 12 2 22 2 mgl ka l g l g ml ka ml mgl ka n ω ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- （2） 若取下面为平衡位置，求解如下： 2 222 121 θθ ml I T == ()() mgl mgl ka mgl mgl ka mgl ka mgl a k U +-= - +=?? ? ? ? -+= +??? ??? =2 2 2 2 2 2 2 2 22 12 12 1 2sin 212 1cos 21212θ θ θθθθθ ()0= +U T dt d ，() 0222 2=-+θθθ θ mgl ka ml θ 零平衡位置