2008年振动力学期末考试试题
第一题(20分)
1在图示振动系统中，已知：重物C的质量m i,匀
质杆AB的质量m2,长为L,匀质轮0的质量m3, 弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。
解:
系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y= 0, 此时系统的势能为零。
AB转角：即= y/L
系统动能：
-厶 1 ?2
m i 动能：T1m y
2
m2动能：T2 =中2圧=1gm2L2)?2W(1m2L2)(+)2=1(如为2
一 1 211 2 y 211
m3动能：T3 J3 3 ( m3R )( )
( m3)y
R
系统势能：
丄 1 丄1 1 2
V - -m1gy m2g( y) k( y)
2 2 2
在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能
守恒，因而有：
丄 1 丄1 丄1 -2 丄1 丄112 T V (m1m2m3)y - m1gy m2gy k( y) E
2 3 2 2 2 2
上式求导，得系统的微分方程为：
y
1 厂八E
4丽
m 2
m 3)
k
■ 4(g 3口2
2
mO
2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有 不可伸长的细绳并通过定滑轮 A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A , 绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用 能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统， 以重物B 的位移 x 作为系统的广义坐标， 在静平衡位置时 x = 0,此时系统 的势能为零。
1 物体B 动能：T 1
m 2x 2
1 . 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为 v c
x ，角速度为
2
1
为
x 。轮子动能: 2R
系统势能:
=丄 k （丄 xR ）2
=k
x
2 2R 8 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有:
k 2 x E 8
固有频率为:
2k
第二题（20分）
1、在图示振动系统中，重物质量为 m ,外壳质量为 2m ,每个 弹簧的刚度系数均为 k 。设外壳只能沿铅垂方向运动。 采用影响 系数方法：（1）以X 1和X 2为广义坐标，建立系统的微分方程； （2）求系统的固有频率。 解：
固有频率和周期为:
1 一 2R x
， 转过的角度
T 2
1 2
m ! V c
2
J 2
1“1 厂2、“ 1 (m R )( x 2 2 4R
-1m 1(1x 2
) 1
Cm^R 2” 2 4
J (3
m !
2 8
1 2 1 2 V kxC kCR)2
1 /3g
T V ( m 2)x
2
8 上式求导得系统的运动微分方程：
■- 2k
°
Tk
空打誉护#打da#
系统质量矩阵为:
系统动力学方程为:
o
o -kL
-
kL
kL
14
一
9
kL
系统为二自由度系统。
当 x1 = 1, x2 = 0 时，有：k11 = 2k , k21 = - 2k 当 x2 = 1, x2 = 1 时，有：k22= 4k , k12=- 2k 因此系统刚度矩阵为:
系统质量矩阵为:
系统动力学方程为:
2k -2k
I-2k 4k
m 0
0 2m
m 0 为 2k -2k 为 _ 0 ]o 2mjx‘2_ 2k 4k 』X 2__]0_
频率方程为:
-2k
-2k
2
4k 「2m ，
解出系统2个固有频率:
■： =(2 -、? 2)
k_
m
2 — k
■2
= (2 ?? 2)
—
2、在图示振动系统中，物体 A 、B 的质量均为m ,弹簧 的刚度系数均为 k ，刚杆AD 的质量忽略不计，杆水平 时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求： （1） 以X i 和X 2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2） 系统的固有频率方程。 解:
系统可以简化为二自由度振动系统，
以物体A 和B
在铅垂方向的位移 X 1和x 2为系统的广义坐标。
当Xi = 1, x2= 0时，AD 转角为V - 1/ 3L ,两个 弹簧处的弹性力分别为 kvL 和2kdL 。对D 点取
14
力矩平衡，有：k 11
kL ；另外有k 9
同理，当x2= 1 , x2= 1时，可求得：
k = kL , k = -kL 1 2 -kL
-kL h
t 3
因此，系统刚度矩阵为:
kL M -
k
kLkL
1—1
o m m o-
X1
D
k 1
14kL 9 -kL -kL
kL - m ，2
9m 2 / -23kmL .2 5k 2
L 2
二 0
第三题（20分）
在图示振动系统中，已知：物体的质量 m 「m 2及弹簧的刚度系数为 k 2、k 3、k 4。（1） 采用影响系数方法建立系统的振动微分方程； （2）若 k i = k 3=k 4= k o ，又 k 2=2 k o ，求系统固有 频率；（3）取 k o =1， m i =8/9， m 2 =1，系统初 始位移条件为X i （o ）=9和X 2（0）=0，初始速度都 为零，采用模态叠加法求系统响应。 解：
（1 ）系统可以简化为二自由度振动系统。 当 x1 = 1 , x2 = 0 时，有：
k11 = k1+k2+k4 , k21 = - k2
当 x2 = 1, x2= 1 时，有：k22 = k2+k3 , k12 = -k2。因此，系统刚度矩阵为:
系统质量矩阵为:
系统动力学方程为:
（2
）当& = k 3 = k 4二k °, k 2 = 2k °时，运动微分方程用矩阵表示为：
严 0〕［x 11+［4k 。 - 2阳［X 1 1= ［0〕
1_0 叫一殳2」］-2k 。 3k 。」h 」L 0_|
频率方程为：
2 2 2
（4k ° - m 「）（3k ° - m ?；：： ） - 4k ° 0
4
2
2
频率方程为:
即:
k 1 k 2 k 4
-k
2
_ k
2
k 2 k 3
mi
_0
0 人 k 1 k 2 k 4
m 2』x ；」［-k 2
X 1
X 2