全等三角形证明条件归类
初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目
给定的条件来看分以下几种情况： 一是公共边是第三个条件
例1：如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ? 证明：△ABD 和△BAC 中：
∵ BD=AC
BC=AD
AB=BA(公共边)
∴ ABC ?≌ABD ?（SSS ）
二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件
例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ）
在△ABC 和△DEF 中
∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ）
例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。
∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ） ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE ≌△CDF （SSS ） ∴AF=DE
三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件
例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。
证明：∵DF=CE ，
∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ， 在△AED 和△BFC 中，
∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF
第2图
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
∴△AED ≌△BFC （SAS ）
四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件
例1：如图5，△ABC 和△CDE 都是等边三角形， 求证：△ACD ≌△BCE 。
证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形
∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠ACE =∠DCE+∠ACE （即∠BCE=∠ACD ） 在△ACD 和△BCE 中，
∵ AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE ， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）
五是添加辅助线与对应的线段相等是第三个条件
例1已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C
∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD
∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C
六是二次证全等找到对应的线段相等是第三个条件
例1已知：如图，∠A=∠D=90°，AE=DE ．求证：△ABC ≌△DCB ． 证明：∵∠A=∠D AE=DE ∠AEB=∠DEC （对顶角）
∴△AED ≌△ACD （ASA ） ∴EC=EB ∴EC+AE=EB+DE （即AC=DB ）
在Rt △ABC 和Rt △DCB 中
∵∠A=∠D=90° AC=DB BC=BC （公共边）
∴△ABC ≌△DCB (HL)
七是中点等分线段对应相等是第三个条件
例1，如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，
求证：△AED ≌△EBC ．
证明：∵DC ∥AB ∴∠CDE ＝∠AED
第5图
A
B
C D
E
O
E
D
C
B A
∵DE ＝DE ，DC ＝AE ∴△AED ≌△EDC ∵E 为AB 中点 ∴AE ＝BE ∴BE ＝DC ∵DC ∥AB ∴∠DCE ＝∠BEC
∵CE ＝CE ∴△EBC ≌△EDC ∴△AED ≌△EBC
八是其他情形
对应角相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：
一是公共角相等是第三个条件
例1． 如图，CA ⊥BF 于A ，BE ⊥CF 于E ，若AC =BE
求证：△AFC ≌△EFB
证明：∵CA ⊥BF BE ⊥CF ∴∠CAF=∠BEF =90° 在 △AFC 和△EFB 中
∵∠CAF=∠BEF ∠F=∠ F （公共角） AC =BE
∴△AFC ≌△EFB （AAS ）
二是对顶角相等是第三个条件
例1如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，∠CFM=∠E BE=CF 。
求证：△BEM ≌△CFM
证明：∵∠CFM=∠E ∠CMF=∠BME （对顶角） BE=CF
∴△BEM ≌△CFM （AAS ）
三是平行线截得的同位角或内错角相等是第三个条件
例1. 已知：∠1=∠2，EF//AB ，∠B=∠ACD CD=DE 求证：△EFD ≌△DAC 证明∵EF//AB
∴∠1=∠EFD ∠B=∠FED ∵∠1=∠2 ∠B=∠ACD ∴∠EFD=∠2 ∠FED=∠ACD 在△EFD 和△DAC 中
∵∠EFD=∠2 ∠FED=∠ACD CD=DE ∴△EFD ≌△DAC
四是同角（或等角）的余角（或补角）相等是第三个条件
例1．已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
B
A C
D F
2 1 E
M
F
E C
B
A
证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA
∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC
又∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
例2．在△ABC中，?
AD⊥
=
AC=，直线MN经过点C，且MN
∠90
ACB，BC
于D，MN
BE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①?≌CEB
?；
ADC
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠
BCE=90°．
∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．
（2）略
五是垂直相交的角是90°是第三个条件
例1：如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
求证：MB=MD，ME=MF
（1）∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．
在Rt△DEM和Rt△BFM中
∵∠DME=∠BMF ∠DEC=∠BFA DE=BF
∴RtCBFM （AAS ） ∴MB=MD ，ME=MF （2）略
六是角平分线分得的角对应相等是第三个条件
例1如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠1=∠2，
求证：△ABD ≌△ACD
证明：∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ， ∵∠1=∠2 AD=AD ∠BAD=∠CAD
∴△ABD ≌△ACD （ASA ）
七是相等对应角+公共角的和对应相等是第三个条件
例1．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：△ABF ≌△AEC ；
证明：∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ， ∴∠BAE=∠CAF=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ，即∠EAC=∠BAF
在△ABF 和△AEC 中，
∵AE=AB ，∠EAC=∠BAF ，AF=AC ， ∴△ABF ≌△AEC （SAS ）， 八是相等对应角+相等对应角和对应相等是第三个条件
例1如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC ≌△DCB
证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4（即∠ABC=∠DCB ） 在△AOB 和△DOC 中
∵∠ABC=∠DCB BC=BC ∠4=∠3 ∴△ABC ≌△DCB
九是等边三角形的三个角都等于60度（等腰三角形两底角相等）是第三个条件
例1：如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ， 求证：△CFD ≌△BED ．
证明：作CG ⊥AB,交AD 于H, 则∠ACH=45o,∠BCH=45o ∵∠CAH=90o-∠CDA, ∠BCE=90o-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45o ∴△ACH ≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45o CD=DB ∴△CFD ≌△BED
十是添加辅助线与对应的角相等是第三个条件
A E B
M C
F
.
3
4
21
D
C
B
A
十一是二次证全等找到对应的角相等是第三个条件
例1．AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 证明：在△ABD 与△ACD 中
∵AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）
∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中
∵BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD ≌△FCD
十二计算角的度数找到对应的角相等是第三个条件
例1．如图，已知在△ABC 内，0
60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且
AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：延长AB 至D ，使BD ＝BP ，连DP 在等腰△BPD 中，可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP ＝40°＝∠ACP
△ADP ≌△ACP （ASA ） 故AD ＝AC 又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC
BD ＝BP 从而BQ+AQ=AB+BP
例2 D 为等腰Rt ABC ?斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。 求证△CDE ≌△ADF
证明：连接D ，D 为等腰Rt ABC ?斜边AB 的中点，故有CD ⊥AB ，CD ＝DA
CD 平分∠BCA ＝90°，∠E CD ＝∠DCA ＝45°
由于DM ⊥DN ，有∠EDN ＝90°由于 CD ⊥AB ，有∠CD A ＝90° 从而∠CDE ＝∠FD A DE ≌△ADF （ASA ）
十三其他情形
无论是找对应边相等还是找对应角相等，难点中的难点是找出隐含的条件，像前面的公共边相等，公共角相等，对顶角相等这些类型，我们可以把已知条件和问题结合起来，先找到需要证明全等的三角形，在找证明全等的条件。
突破三角形全等证明这一难关，除了我们要加强联系，更重要的是我们在练习的时候要仔细看图，提高识别图形的能力。
全等三角形（一）SSS 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质： （1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如DEF ABC? ?与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”． 如图，在ABC ?和DEF ?中 ? ? ? ? ? = = = DF AC EF BC DE AB ABC ? ∴≌DEF ? 【典型例题】 例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B与点D是对应点， ? = ∠26 BAC，且? = ∠20 B，1 = ?ABC S，求 A C D D C A D∠ ∠ ∠, ,的度数及ACD ?的面积． 例2．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A5 , 9 , 50= = ? = ∠，求EDF ∠的度数及CF的长． A D
例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ 例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证： （1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF
全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。 ． A B C D E P D A C B M N
5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ） 2 1P F M D B A C E 6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． （1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ． 二、中点型 由中点应产生以下联想： E D C B A
全等三角形证明经典50题.doc 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 B C D F A D B C B C
已知：∠1=∠2，CD=DE，EF 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 8.已知：AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C A D B C B A C D F 2 1 E C D B D C B A F E A B C D A
10. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB 15．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交 AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 17．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若 AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由． P E D C B A D C B A 【第1部分全等基础知识归纳、?小结】 1、全等三?角形的定义：能够完全重合的两个三?角形叫全等三?角形。两个全等三?角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的 ?角叫对应?角。 概念深?入理理解： （1）形状?一样，?大?小也?一样的两个三?角形称为全等三?角形。（外观?长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三?角形称为全等三?角形。（位置变化） 2、 全等三?角形的表示?方法：若△ABC 和△A ′B ′C ′是全等的，记作“△ABC ≌△A ′B ′C ′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三?角形全等时，通常把表示对应顶点的字?母写在对应的位置上。 3、全等三?角形的性质： 全等是?工具、?手段，最终是为了了得到边等或?角等，从?而解决某些问题。 （1）全等三?角形的对应?角相等、对应边相等。 （2）全等三?角形的对应边上的?高，中线，?角平分线对应相等。 （3）全等三?角形周?长，?面积相等。 4、寻找对应元素的?方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三?角形全等，那么，以对应顶点为顶点的?角是对应?角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三?角形全等时，对应顶点的字?母都写在对应的位置上，因此，由全等三?角形的记法便便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找全等三?角形对应?角所对的边是对应边，两个对应?角所夹的边是对应边； 图3 图1图2 （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三?角形各种不不同位置关系的观察和分析，可以看出其中?一个是由另?一个经过下列列各种运动?而形成的；运动?一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三?角形的判定：（深?入理理解） ①边边边（SSS）②边?角边（SAS）③?角边?角（ASA）④?角?角边（AAS） ⑤斜边，直?角边（HL） 注意：（容易易出错） （1）在判定两个三?角形全等时，?至少有?一边对应相等（边定全等）； （2）不不能证明两个三?角形全等的是，㈠三个?角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中?一?角对应相等，即SSA。 全等三?角形是研究两个封闭图形之间的基本?工具，同时也是移动图形位置的?工具。在平?面?几何知识应?用中，若证明线段相等或?角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三?角形的知识。 6、常?见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平?行行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂?足为D ⑶延?长AB?至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点 同?一条辅助线，可以说法不不?一样，那么得到的条件、证明的?方法也不不同。 全等三角形题型归类及解析 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5， AC=8，求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF = D A E F C H G B 3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论。 4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的 全等三角形的证明 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 专题1、常见辅助线的做法 典型例题 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 全等三角形证明条件归类 初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况： 一是公共边是第三个条件 例1：如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ? 证明：△ABD 和△BAC 中： ∵ BD=AC BC=AD AB=BA(公共边) ∴ ABC ?≌ABD ?（SSS ） 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件 例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ） 在△ABC 和△DEF 中 ∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ） 例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 ∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ） ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE ≌△CDF （SSS ） ∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ， 在△AED 和△BFC 中， ∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF B F D 第F E D C B A F E D C B A 八年级全等三角形分类证明题 一．SAS 1、 如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。求证：△ABD ≌△ACD 。 2.如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。 求证：△ABC ≌△EDF 。 3.如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 4.如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。求证：（1）∠B=∠C ， （2）BD=CE 5.如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。求证：AC ⊥CE 6.如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。 求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。 7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中 点且BN=BC 。 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。 8、如图（13）△ABC ≌△EDC 。求证：BE=AD 。 9.如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。 （1）求证：AE=CD ，（2）若BD=5㎝，求AC 的长。 （图1）D C B A F E D C B A F E （图3）D C B A E （图4）D C B A E D B A G F E （图6）D C B A N M （图7） C B A E （图13）D C B A F E （图14） D C B A 八年级数学全等三角形的证明归类 初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相 等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：一是公共边是第三个条件 例1：如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ?证明：△ABD 和△BAC 中：∵ BD=AC BC=AD AB=BA(公共边)∴ ABC ?≌ABD ?（SSS ） 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件 例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ） 在△ABC 和△DEF 中∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE A 第2图 ∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ） 例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 ∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ） ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE ≌△CDF （SSS ）∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中， ∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED ≌△BFC （SAS ） 四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件 例1：如图5，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，求证：△ACD ≌△BCE 。 证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE （即∠BCE=∠ACD ）在△ACD 和△BCE 中， ∵ AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE ， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ） E F E D C B A B 九年级 相似三角形和全等三角形分类 相似三角形证明方法 方法一：直接寻求相似三角形 只要根据题目给定的条件寻找出线段成比例，或者角相等利用判定定理直接找出来. 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽△EGC ∽△EAB 。 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD 方法二：利用中间线段代换 当要证明的结论中的一条线段与其他线段之间的关系难以确定时我们可以利用等线段代换，从而容易找到相应的关系。 例1、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ?AC=BC ?FE 例2：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的 延长线于点D 。 求证：（1）MA 2 =MD ?ME ；（2）MD ME AD AE =2 2 （2）本例的关键是证明△MAE ∽△MDA ，这种具有特殊关系（有一个公共角和一条公共边）的三角形 的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解： 命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD ∽△ACB ，AB 2=AD ?AC 。 命题2 如图，如果AB 2=AD ? AC ，那么△ABD ∽△ACB ，∠1=∠2。 例3：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。 A B C D E F G 12 34A B C D E M 12 A B C D E F K A B C D 1 全等三角形经典题目精选 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：1 2CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF 如图，四边形 ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 8.已知：AB 知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C B A D B C C B A C D F 2 1 E C D B D C B A F E A 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 《全等三角形》证明题题型归类训练 题型1：全等+等腰性质 1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE . 2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ． 题型2：两次全等 1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF F D C B A 2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分 O C E B D A A B E O F D C 3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG 题型3：直角三角形全等（余角性质） 1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ． 2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程． 3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AE A F C B D E G A F D E 第三章全等三角形专题分类复习 一．考点整理 1.三角形的边角关系 2.三角形全等 3.三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质） 在三角形中，三角形的三线分别交于一点。 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳： （1） (2) __________D ∠= ___________D ∠= （3） __________D ∠= 3.尺规作图 （1）作满足题意的三角形 （2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题） 角：内角和180度，余角和90度 边：构成三角形三边的条件 （1）证三角形全等（SSS/ASA/AAS/SAS/HL ） （2）证边等或角等（证三角形全等、等量代换、证等腰三角形） （3）证“AE=BD+CE ”等（证线段之间的等量关系）类似问题（三角形全等证边等代换、截长补短） （4）证线段之间的位置关系（垂直或平行 方法：证明角等代换） A D B C A B C D A B C D 考点1：证明三角形全等 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 练习：已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD. （1）求证：△AGE ≌△DAB （2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连结AF ，求∠AFE 的度数. 考点2：求证线段之间的数量关系（截长补短） 例1:如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． D A B C G E F 【第1部分 全等基础知识归纳、小结】 1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 概念深入理解： （1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化） 2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质： 全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。 （1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。 （2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。 4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； 图 3 图 1 图2 （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三角形的判定：（深入理解） ①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS） ⑤斜边，直角边（HL） 注意：（容易出错） （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）； （2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点 同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。 全等三角形证明分类整理 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 全等三角形证明分类 【题型一】公共边类型的全等三角形 图形1 图形2 图形3 注意：隐含条件AD=AD 隐含条件AB=BA 隐含条件AC=CA 【例1】在ABC ?中，AB=AC,AD平分∠BAC，求证：ABD ?≌ACD ? 【例2】如图, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC,求证：AC=DB. 【例3】已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC． 【题型二】公共角类型的全等三角形 【例4】如图，AB=AC, AD=AE，BE和CD相交于P，PB=PC,求证：PD=PE. 【题型三】对顶角类型的全等三角形 图形1 图形2 【例5】如图1，已知：AB=CD，AD=CB.求证：∠B=∠D. 【例6】如图，两条直线AC,BD相交于O，BO=DO,AO=CO，直线EF过点O且分 别交AB、CD于点E,F，求证：OE=OF A B C D A B C D B C A D D C B A A B C D 3 4 【题型四】边加减类型的全等三角形 图形1 图形 2 图形3 图形4 【例7】已知点B,E,C,F 在同一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF. 求证：∠A=∠D. 【例8】如图，已知：.,,CF BE DE AC DF AB ===求证：DF AB //. 【例9】已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ， 求证：△ABC ≌△DEF ． 【例10】如图，已知：BF CE DF AE CD AB ===,,.求证：（1） DE AF =;(2)AE ∥DF. A D B E F C (A B F E C D ( A B FE D C (2 A B E F D C (∵ BE=CF ∵ BE=CF ∵ BE=CF ∵ BE=CF A D B E C F B C D E F A 尺规作图类型讲解 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法： （1）作射线AP； （2）在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： （１）分别以M、N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O． 则点O就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问：PQ与ＭＮ有何关系？） （怎样作线段的垂直平分线？） 题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3）作射线OP。 则射线OP就是∠AOB的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。 （请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法） 题目五：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法： （1）作线段AB = c； （2）以A为圆心b为半径作弧， 以B为圆心a为半径作弧与 前弧相交于C； （3）连接AC，BC。 则△ABC就是所求作的三角形。 题目六：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m，n, ∠α. 求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. 作法： （1）作∠A=∠α； （2）在AB上截取AB=m ,AC=n； （3）连接BC。 则△ABC就是所求作的三角形。 题目七：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β，线段m . 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法： （1）作线段AB=m； （2）在AB的同旁 作∠A=∠α，作∠B=∠β， ∠A与∠B的另一边相交于C。 则△ABC就是所求作的图形（三角形）。 知识点二：全等三角形的证明 类一：两次证全等 1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 2、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 3、如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，求证：AE ＝DE. 4、 如图，OE=OF ，OC=OD ，CF 与DE 交于点A ，求证： AC=AD 。 类二：有直角关系的 1、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。 F D C B A F E D C B A A B E C D F E D C A O 2、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ． 3、如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的理由。 （1）∠DBH=∠DAC ； （2）ΔBDH ≌ΔADC 。 4、如图，∠ABC=90°，AB=BC ，BP 为一条射线，AD ⊥BP ，CE ⊥PB ，若AD=4，EC=2.求DE 的长。 5、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ． F G E D C B A A B C D E H A B C D E F 类三：利用等腰三角形的性质 1、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 2、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD 3、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE . 类四：角平分线性质 1、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。 求证：DE =DF ． 2、已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． .3 4 21D C B A P D A C B M N 第三章全等三角形专题分类复习 角：内角和180度，余角和90度 边：构成三角形三边的条件 （1）证三角形全等（SSS/ASA/AAS/SAS/HL （2）证边等或角等（证三角形全等、等量代换、证等腰三角形） （3）证“ AE=BD+CE等（证线段之间的等量关系）类似问题（三角 形全等证边等代换、截长补短） （4 ）证线段之间的位置关系（垂直或平行方法：证明角等代换） D ___________ 3.尺规作图 （1）作满足题意的三角形 （2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题） 一.考点整理 3.三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性 质）在三角形中，三角形的三线分别交于一点。 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳： （1） 1.三角形的边角关系 2.三角形全等 考点 1: 证明三角形全等 例1.如图，A,F,E,B 四点共线，AC CE, BD DF , AE BF , AC BD。求证: ACF BDE 。 练习：已知，如图，△ ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG// BC,交AB于点G,在GD 的延长线上取点E,使DE= DC连接AE BD. (1)求证：△ AGE^A DAB (2)过点E作EF// DB交BC于点F,连结AF,求/ AFE的度数. 考点2:求证线段之间的数量关系(截长补短) 例1:如图所示，在Rt △ ABC中，/ C=90°, BC=AC AD平分/ BAC交BC于D,求证：AB=AC+CD E 例 2:如图，在△ ABC 中，/ ABC=60 , AD CE 分别平分/ BAG / ACB 求证：AC=AE+CD 练习：如图， AD// BC EA,EB 分别平分/ DAB,/CBA CD 过点E ,求证;AB = AD+BC 变式： 如图，已知在VABC 内， BAC 60 , C 分别是 BAC , ABC 的角平分线。求证: 400，P, Q 分别在BC, CA 上，并且AP, BQ BQ+AQ=AB+BP A B 精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号：年级：初二课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课类型T角平分线C专题精讲 授课日期时段 教学内容 N同步 J M f -S-_ 卑厂H I 匕kS‰> 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP ,射线OP即为所求. 如图所示，???PA 丄OM , PB 丄ON , PA = PB, ∕?∠ 1 = ∠ 2 （OP 平分∠ MON ）（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。 3. 角平分线性质及判定的应用 ① 为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ② 实际生活中的应用. 例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为 300米?在 F 图中标出工厂的位置，并说明理由. 【例题讲解】 1.在厶 ABC 中，AC ⊥ Bq AD 为∠ BAC 的平分线，DE l AB, AB= 7 cm, AC= 3 cm,求 BE 的长。 2 .如图：在△ ABC 中，∠ C=90° AD 是∠ BAC 的平分线，DEL AB 于 E , F 在 AC 上，BD=DF 求证：CF=EB 3.如图，P 为∠ AOB 内一点，OA=OB ,且△ OPA 与厶OPB 面积相等，求证∠ AoP= ∠ BOP. 比例尺1 : 20 00 A 4. 如图， AB=AC , AD=AE , BD、CE 交于0,求证Ao 平分∠ BAC. 【同步练习】 1.在Rt △ ABC中，BD平分∠ ABC DE⊥ AB于E,则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB= 10 , BC= 8, AC= 6, 求BE, AE的长和△ AED的周长 2. 已知，如图DABC中，AB=AC D是BC的中点。求证：D到AB AC的距离相等。 34ABC 中，∠ C=90° , AD 为角平分线，BC=64 , BD : DC=9 : 7,求D 到AB 的距离. D 精品文档 全等三角形证明分类 【题型一】公共边类型的全等三角形 图形1 图形2 图形3 注意：隐含条件AD=AD 隐含条件AB=BA 隐含条件AC=CA 【例1】 在ABC ?中，AB=AC,AD 平分∠BAC ，求证：ABD ?≌ACD ? 【例2】如图, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC,求证：AC=DB. 【例3】已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ． 【题型二】公共角类型的全等三角形 【例4】如图，AB=AC, AD=AE ，BE 和CD 相交于P ，PB=PC,求证：PD=PE. 【题型三】对顶角类型的全等三角形 图形1 图形2 【例5】如图1，已知：AB=CD ，AD=CB.求证：∠B=∠D. 【例6】如图，两条直线AC,BD 相交于O ，BO=DO,AO=CO ，直线EF 过点O 且分别交AB 、CD 于点E,F ，求证：OE=OF A B C D A B C D B C A D D C B A A B C D 精品文档 【题型四】边加减类型的全等三角形 图形1 图形2 图形3 图形4 【例7】已知点B,E,C,F 在同一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF. 求证：∠A=∠D. 【例8】如图，已知：.,,CF BE DE AC DF AB ===求证：DF AB //. 【例9】已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ， 求证：△ABC ≌△DEF ． 【例10】如图，已知：BF CE DF AE CD AB ===,,.求证：（1） DE AF =;(2)AE ∥DF. A D B E F C (1) A B F E C D (4) A B F E D C (2) A B E F D C (3) ∵ BE=CF ∴ BE-EF=CF-EF ∴ BF=CE ∵ BE=CF ∴ BE+EF=CF+EF ∴ BF=CE ∵ BE=CF ∴ BE+EF=CF+EF ∴ BF=CE ∵ BE=CF ∴ BE-EF=CF-EF ∴ BF=CE A D B E C F B C D E F A 1、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是 BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG 上，连接BE、DF，∠1=∠2 ，∠3=∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF的长. 【解析】 （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， 在△ABE和△DAF中，? ? ? ? ? ∠ = ∠ = ∠ = ∠ 3 4 1 2 DA AB ， ∴△ABE≌△DAF. （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1+∠4=90o ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90o ∴∠AFD=90o 在正方形ABCD中，AD∥BC, ∴∠1=∠AGB=30o 在Rt△ADF中，∠AFD=90o AD=2 , ∴AF=3 , DF =1, 由(1)得△ABE≌△ADF, ∴AE=DF=1, ∴EF=AF-AE= 1 3- . 2、如图， , AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠ 于点，，平分交于点 ，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以 证明． 【解析】 （1） ADB ADC △≌△、 ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、 BFD BFE △≌△、 ABE ACD △≌△（写出其中的三对即 可）. （2）以 △ADB≌ADC为例证明． 证明： ,90 AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠= Q°. 在Rt ADB △和Rt ADC △中， ,, AB AC AD AD == Q ∴Rt ADB △≌Rt ADC △. 3、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F为AB延长线上 一点,点E在BC上,且AE=CF. (1)求证:Rt△AB E≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=30o,求∠ACF度数. A C B D E F G 1 4 2 3全等三角形经典证明方法归类
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