专题3.2 复杂数列的求和问题
一．方法综述
数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略
类型一 数列求和中的新定义问题
【例1】【2018届广东省中山市第一中学高三月考】定义
12n
n
p p p ++
L 为n 个正数1p ， 2p ， L ， n
p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为
1
21n +，又14
n n a b +=，则
12233420172018
1111
b b b b b b b b ++++=L （ ） A.
20152016 B. 20162017 C. 20172018 D. 1
2017
所以
1223342017201811111111
112017112232017201820182018b b b b b b b b ??????++++=-+-++-=-= ? ? ???????
L L ，
故选C ． 【答案】C
【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 2.解决此类问题的一些技巧：
（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路
（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.
（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.
【举一反三】【2018安徽省巢湖市柘皋中学第三次月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S
，定义1
1n
i i S n =∑为
数列{}n a 前n 项的叠加和，若2016项数列1232016,,,a a a a L 的叠加和为2017，则2017项数列1220161,,,a a a L 的叠加和为( )
A. 2017
B. 2018
C. 22017
D. 22018
故选A ． 【答案】A
类型二 子数列中的求和问题
【例2】【河南省南阳市2018届高三上学期期中质量评估】已知有穷数列{}n a 中， 1,2,3,,729n =L ，且()()
1
211n n a n +=--，从数列{}n a 中依次取出2514,,,a a a L 构成新数列{}n b ，容易发现数列{}n b 是以-3
为首项，-3为公比的等比数列，记数列{}n a 的所有项的和为S ，数列{}n b 的所有项的和为T ，则（ ） A. S T > B. S T = C. S T < D. S 与T 的大小关系不确定 【
解
析
】
因为
()728
13572
7291127292
s =-+-++?-=+?
=L ，
()()
()1
33372921n n
n b -=--=-≤?-，所以6n ≤，当6n =时， 6729b =是n a 中第365项，符合题意，
所以()()
(
)()
6
31354613T ---=
=--,所以S T >，选A.
【答案】A
【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法. 【举一反三】【安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学2018届高三第四次考试】已知*n N ∈，集合
135
21,,,,248
2n n n M -??=????L ，集合n M 的所有非空子集的最小元素之和为n T ，则使得80n T >的最小正整数
n 的值为（ ）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
∴n T =S 1+S 2+S 3+…+S n =212
n -+223
7531......222442n n --++++=则21802n -> 的最小正整数n 为13 故选B 【答案】B
类型三 奇偶性在数列求和中的应用
【例3】【江苏省淮安中学2018届高三数学月考】已知函数()()2
cos f n n n π=，且()()1n a f n f n =++，
则123a a a ++++L 100a =__________．
【解析】n 为偶数时， ()2
2121n a n n n =-+=-- ； n 为奇数时， ()2
2121n a n n n =-++=+ ；
123a a a ++++L 100a = 3579199201250100-+-++-=-?=-L
【答案】-100
【指点迷津】数列求和中遇到n
)1(-，πn sin ，πn cos 都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如,{
2,n n n n a n =为奇数为偶数
）及符号型（如()21n
n a n =- ）
【举一反三】【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中考试】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知
22a =,()
1
211n n n a a -++-=,则40S =______
【答案】240
类型四 周期性在数列求和中的应用
【例4】【2018陕西西安长安区五中二模】数列{}n a 满足12sin
122n n n a a n π
+??=-+ ???
，则数列{}n a 的前100项和为__________．
【答案】5100
【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有sin
2n π ，于是考虑到三角函数的周期性，构造()sin 2
f n n π
=?，周期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 【举一反三】已知数列{}n α满足2
21221,2,1cos sin ,2
2n n
n n a a a a ππ+?
?===++ ??
?
则该数列的前21项的和为__________．
【解析】n 为奇数时， 2
2cos 0sin 122
n n ππ
==，； n 为偶数时， 22cos 1sin 022
n n ππ
==，；
所以n 为奇数时有21n n a a +=+； n 为偶数时22n a n +=; 即奇数项为等差数列，偶数项为等比数列. 所以
()()()(
)
()
10
2
10
112113521246202212111S 12311222
611222112
221
a a a a a a a a -?=+++++++=++++++++=+=?+-=-L L L L .
【答案】2112
类型五 数列求和的综合问题
【例5】【2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟】数列{}n a 满足
()
2*114
,13
n n n a a a a n N +==-+∈，则122017111a a a +++
L 的整数部分是__________． 【答案】2
【指点迷津】本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为
1111
1
1n n n
a a a +=
---，再借助数列的单调性是解答的关键.
【举一反三】【2017福建外国语学校高三月考】已知数列{}n x 满足21||n n n x x x ++=-（*n N ∈），若11x =，
2x a =（1a ≤，0a ≠），且3n n x x +=对于任意正整数n 均成立，则数列{}n x 的前2015项和2015S 的值
为 ．（用具体的数字表示）
【答案】1344 三．强化训练
1．【江西省新余市第一中学2017届高三高考全真模拟考试】数列{}n a 是以a 为首项， q 为公比的等比数列
，
数
列
{}
n b 满足
()
1211,2,n n b a a a n =++++=L L ，数列
{}
n c 满足
()1221,2,n n c b b b n =++++=L L ，若{}n c 为等比数列，则a q +=（ ）
25【答案】B
【解析】由题意，
1
n n a ab
-=，则
(
)111111n n
n a b a ab b b
b b
-=+
=+
----，得
()
121?111n
n b b a a C n b b b -?
?=++- ?---?? ()()
122
12111n ab b a ab n b b b +-+=-++---,要使{}n C 为等比数列，必有()
2
20
1{
101ab
b b a
b
-=--+=-，得1
{
,32
a a
b b =+==，故选B.
2.【江西省赣州市南康中学2018届高三月考】已知数列： 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,...，即此数列
第一项是0
2，接下来两项是0
1
2,2，再接下来三项是0122,2,2，依此类推，……，设n S 是此数列的前n 项
的和，则2017S =（ ）
A. 64
6
22- B. 63
6
22- C. 64
5
22- D. 63
5
22- 【答案】A
【解析】将数列分组：第一组有一项0
2；第二组有二项0
1
2+2；第n 项有n 项0
1
1
2+22
21n n -+=-，前63
项组共有
6364
20162
?=，
()()
0010120150201722+2...2+2...22S ∴=++++++
()()()
12630
2121...212=-+-++-+
()
()26322...21+1+1...11=+++-++
(
)63
64
646212622
642212
-=
-=-=--，故选A.
3.【2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模】已知数列{}n a 的通项公式为
()()()
*121?cos
1N 2
n
n n a n n π
=--+∈，其前n 项和为n S ，则60S =（ ） A. 30- B. 60- C. 90 D. 120 【答案】D
4.【福建省福州第一中学2017届高三5月质检】已知数列满足，（，
），则的整数部分是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 【答案】B
【解析】121111
,,222
n n n a a a a a +-===+Q ，所以可得111111*********i i i i i i i i i a a a a a a a a a -+-+-+????=-=- ? ?????，
2017
211
1223233420152016201620171220162017201620172016201711111111
111
111...
=4222222i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+??????=-+-++-=--=-< ?
? ??????
?∑ 2017
2
12i =∴<
<∑ ， 2017211
1
i i i a a =-+∑
的整数部分是1 ， 故选B.
5.【2017届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试数学】已知函数()()2
cos f n n n π=，且
()()1n a f n f n =++，则12100a a a ++?+=（ ）
A. 100-
B. 0
C. 100
D. 10200 【答案】A
6.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】数列
满足
，且
，记为数列
的前项和，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】由
得
,所以数列
为等差数列，因此
,因此
,,选D.
7.【2018届安徽池州一中月考】在数列{}n a 中，若存在非零整数T ，使得m T m a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期，若数列{}n x 满足
11||(2,)n n n x x x n n N +-=-≥∈，如121,x x a ==（,0a R a ∈≠），当数列{}n x 的周期最小时，该数列的
前2016项的和是（ ）
A ．672
B ．673
C ．1342
D ．1344 【答案】
D
8.【湖南省长沙市长郡中学
2018
届高三第三次月考】已知函数
()()[)()
[)1
12,2,21,
2
{
122,21,22,
2
n
n x
sin n x n n f x x
sin
n x n n ππ+-+∈+=-++∈++（N n ∈）
，若数列{}n a 满足()()
*N m a f m m =∈，数列{}m a 的前m 项的和为m S ，则10596S S -=（ ） A. 909 B. 910 C. 911 D. 912 【答案】A
【解析】函数()()[)
()
[)
1
12,2,212
{
,122,21,222
n
n x
sin n x n n f x n N x
sin
n x n n ππ+-+∈+=∈-++∈++，数列
{}
n a 满足
()()
*m a f m m N =∈，
105969798105...S S a a a ∴-=+++=
4849522482249 (2522222)
sin
sin sin πππ
-+?+-+?+++?+= 909 ，故选A. 9.【贵州省遵义市遵义四中2018届高三第三次月考】在数1和2之间插入n 个正数，使得这2n +个数构
成递增等比数列，将这2n +个数的乘积记为n A ，令2log n n a A =， *
n N ∈，
2446222tan ?tan tan ?tan tan ?tan n n n T a a a a a a +=+++=L ______．
【答案】
()tan 2tan2
n tan1
n +--
10.【安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试】设()A n 表示正整数n 的个位数， ()
()2,n a A n A n A =-为数列{}n a 的前202项和，函数()1x
f x e e =-+，若函数()
g x 满足()11x Ax f g x A -?
?
-
=????
，且()()
*N n b g n n =∈，则数列{}n b 的前n 项和为__________．
【答案】23
32
n
n n +-+ 【
解
析
】
由
题
意
得
，
1234560,2,6,2,0,0
a a a a a a ======，
7891011122,4,8,0,0,2a a a a a a ==-=-===，…, 可得{}n a 是周期为10的周期数列， 12310...0a a a a ++++=，前202项和为122a a +=，即2A =， ()1x f x e e =-+Q 单调递增，且
()()1
11,1Ax f g x Ax
-=∴-
=， ()()2121
1,122n
x n
x n g x b g n --=
+==+， ()2111
13...21,
222
n n S n n =?+?++-?+，
设
()2111
13 (21222)
n n
T n =?+?++-?，
()()2111111
13 (23212)
2222
n n n T n n +=?+?++-?+-?， 相式()21111112...22122222n n n T n +=+?++?--?，可得23233,322n n n n T S n n n ++=-=-+，故答案为
2332n n n
+-+.
11.【四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，
1831,3a a a ==，则
31241223341
n n n a a a a
S S S S S S S S ++++++=L _____________. 【答案】()
2
1
11n -
+
12.【河南省中原名校（豫南九校）2018届高三上学期第四次质量考评（期中）】已知数列{}n a 满足11a =，
122n n n a a a +=+.记2n
n n
C a =，则数列{}n C 的前n 项和12...n C C C +++=__________．
【答案】2n n ?
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
专题4.4 立体几何中最值问题 一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。 二．解题策略 类型一距离最值问题 AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2 ⊥，则边CG长度的最小值为（） 使得GP BP A. 4 B. 43 C. D. 23 【答案】D
又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.2 2ax ax BP x GP x a ???? =--=-- ? ?????u u u r u u u r () 24022ax ax PB PG x x a ?? =-++-= ??? u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以22 1642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]2 20,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23. 故选D. 【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP u u u r u u u r 与的坐标， 根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式22 16 42a x x = --，利用函数求其最值。 举一反三 1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是_____。 【答案】 3254 2?? ??
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
数列求和的若干常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。 一、分组求和法 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311* +∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n。 解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ， 两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同， ,21=∴+n n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222 121322211 2101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴-- =.12222 121-+=+--n n n n 例2．已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：. 242n a a a +++ 解析：首先由31452 91010110=?=??+=d d a S 则：6223221)21(232)222(32 2323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法
2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ） 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型， 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；
专题4.2 与球相关的外接与内切问题 一．方法综述 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体。 与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径。 二．解题策略 类型一构造法（补形法） 【答案】 9 【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解。长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。 【例2】一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） 【答案】A 【解析】
【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可。 【举一反三】 1、如图所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝3，若AD＝R(R为球O的半径)，则球O的表面积为( ) A．πB．2πC．4πD．8π 【答案】D 【解析】因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB＝AC＝3，所以AE＝6，AD＝R，DE＝2R，则有R2＋6＝(2R)2，解得R＝2，所以球的表面积S＝4πR2＝8π.故选D。 2、如图所示，已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝3，BC＝2，CD＝5，则球O的表面积为( ) A．12π B．7π C．9π D．8π 【答案】A
用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】 高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S 4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)
历年高考数学压轴题集锦
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]