分枝定界搜索算法
通过穷举法搜索进行的特征选择会导致计算量过高，而在分枝定界搜索算法帮助下，有可能不需要显示评估所有d 个特征的可能组合而确定最优特征集。此算法的应用需假定特征选择准则满足单调性。用()j x 表示含有j 个特征的候选特征集，单调性指的是对于具有下列嵌套关系的特征集()j x
()()()()12j D x x x x ???? 其准则函数()()j J x 应满足
()()()()()()12D J x J x J x ≤≤≤
这点由构造特征评判准则的定义可得到保证。
为引出分枝定界搜索算法的基本观点，考虑从5个特征中挑选2个特征值的问题。特征中所有可能组合如下图的树表示，顶称为根节点，底称为叶节点，中间称为枝节点，共有1D d -+层。
图 分枝定界搜索算法示意图
现假设自底向上，再由上向下的搜索方式从最右节点开始在树的每个节点评估特征，进行特征选择。设初始叶节点的J 为0J （为45x x
的准则函数），在每个节点处，将节点的准则函数值和目前最优特征集的J 值进行比较，如果节点准则函数值大于0J ，则还有发现更佳特征集的机会，而且必须继续沿着最右边的未勘探分枝搜索。如果到达了树底的叶节点且相应准则值大于0J ，则此结点定义了当前新的最佳特征集，而0J 则作为相应更新。
另一方面，如果在某节点的准则函数值小于0J ，则以此节点为起始点的分支就不需勘探。因为根据单调性，再往下的特征组合将导致准则函数值的进一步减小。如此按这一规律，由底向上，再自上而下，从右向左搜索全树，可获得最佳的二特征组合。此搜索算法特别快捷有效。 12x 13235x 45342414251535
整数规划分支定界算法matlab通用源程序 %整数规划分支定界算法matlab通用源程序 %各参数的意义同matlab优化工具箱的线性规划函数linprog %调用前，输入参数要化成matlab的标准形式 [x,val]=kfz-f-3(n,f,a,b,aeq,beq,lb,ub) x=zeros(n,1); x1=zeros(n,1); m1=2; m2=1; [x1,val1]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub); if (x1==0) x=x1; val=val1; elseif (round(x1)==x1) x=x1; val=val1; else e1={0,a,b,aeq,beq,lb,ub,x1,val1}; e(1,1)={e1}; zl=0; zu=-val1; while (zu~=zl) for c=1:1:m2 if (m1~=2) if (cell2mat(e{m1-1,c}(1))==1) e1={1,[],[],[],[],[],[],[],0}; e(m1,c*2-1)={e1}; e(m1,c*2)={e1}; continue; end; end; x1=cell2mat(e{m1-1,c}(8)); x2=zeros(n,1); s=0; s1=1; s2=1; lb1=cell2mat(e{m1-1,c}(6)); ub1=cell2mat(e{m1-1,c}(7)); lb2=cell2mat(e{m1-1,c}(6)); ub2=cell2mat(e{m1-1,c}(7)); for d=1:1:n if (abs((round(x1(d))-x1(d)))>0.0001)&(s==0) s=1;
期末考试《运筹学》B 卷 一、单项选择题（在下列每题的四个选项中，只有一个选项是符合试题要求的。请把答案填入答题框中相应的题号下。每小题2分，共20分） 1．单纯形迭代中，出基变量在紧接着的下一次迭代中（ ）立即进基。 A ．会 B ．不会 C ．有可能 D ．不一定 2．线性规划的约束条件为 X 1 + X 2 + X 3 = 3 ，2X 1+ 2X 2+ X 4= 4，X i ≥0（i=1-4）,则基本可行解是（ ） A ．（0，0，4， 3） B ．（0，0，3，4） C ．（2，1，0，-2） D ．（3，0，0，-2） 3．普通单纯形法的最小比值定理的应用是为了保证（ ） A ．使原问题保持可行 B ．使对偶问题保持可行 C ．逐步消除原问题不可行性 D ．逐步消除对偶问题的不可行性 4. 原问题与对偶问题都有可行解，则有（ ） A ．原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解 B ．原问题与对偶问题可能都没有最优解 C ．可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解 D ．原问题与对偶问题都具有最优解 5. 求解整数规划问题的分支定界法中，有（ ） A ．最大值问题的目标值是各分支的上界 B ．最大值问题的目标值是各分支的下界 C ．最小值问题的目标值是各分支的上界 D ．以上结论都不对 6．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目 （ ） A ．等于 m+n B ．等于m+n-1 C ．小于m+n-1 D ．大于m+n-1 7．若运输问题的单位运价表的某一行元素分别加上一个常数k ，最优调运方案将（ ）。 A ．发生变化 B ．不发生变化 C ．A 、B 都有可能 D. 都不对 8．在产销平衡运输问题中，设产地为m 个，销地为n 个，那么解中非零 变量的个数（ ）。 A ．不能大于(m+n-1) B ．不能小于(m+n-1) C ．等于(m+n-1) D ．不确定 9．在运输问题中，每次迭代时，如果有某非基变量的检验数等于零，则该运输问题（ ）。 A ．无最优解 B ．有无穷最优解 C ．有唯一最优解 D ．出现退化解 10．动态规划问题中最优策略具有性质：（ ）。 A ．每个阶段的决策都是最优的 B ．当前阶段以前的各阶段决策是最优的 C ．无论初始状态与初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略 D ．它与初始状态无关 二、判断题（每题1分,共10分）
分支限界法的研究与应用 摘要： 分支限界法与回溯法的不同:首先,回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。其次，回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则一般以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。再者，回溯法空间效率高；分支限界法往往更“快”。 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 常见的分支限界法有：队列式分支限界法，按照队列先进先出原则选取下一个结点为扩展结点。栈式分支限界法，按照栈后进先出原则选取下一个结点为扩展结点。优先队列式分支限界法，按照规定的结点费用最小原则选取下一个结点为扩展结点（最采用优先队列实现）。 分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。所谓分支是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。 关键词： 分支限界法回溯法广度优先分支搜索法
目录 第1章绪论 (3) 1.1 分支限界法的背景知识 (3) 1.2 分支限界法的前景意义 (3) 第2章分支限界法的理论知识.................. 错误!未定义书签。 2.1 问题的解空间树 ............................................... 错误!未定义书签。 2.2 分支限界法的一般性描述 (6) 第3章作业分配问题 (7) 3.1 问题描述 (7) 3.2 问题分析 (7) 3.3 算法设计 (8) 3.4 算法实现 (10) 3.5 测试结果与分析 (12) 第4章结论 (13) 参考文献 (14)
function [x,y]=lpint(f,G,h,lb,ub,x,n,id) % 整数线性规划分枝定界法，可求解线性全整数或线性混合整数规划% 此程序基于Matlab优化工具箱的lp函数写成 % 此程序为GreenSim团队原创作品，转载请注明 % 欢迎访问GreenSim团队的主页https://www.doczj.com/doc/419136077.html,/greensim % y = min f'x subject to: Gx <= h x为整 % x % 用法 % [x,y]=lpint(f,G,h) % [x,y]=lpint(f,G,h,lb,ub) % [x,y]=lpint(f,G,h,lb,ub,x) % [x,y]=lpint(f,G,h,lb,ub,x,n) % [x,y]=lpint(f,G,h,lb,ub,x,n,id) % 参数说明 % x: 最优解列向量 % y: 目标函数最小值 % f: 目标函数系数列向量 % G: 约束条件系数矩阵 % h: 约束条件右端列向量 % lb: 解的的下界列向量(Default: -inf) % ub: 解的的上界列向量(Default: inf) % x: 迭代初值列向量 % n: 等式约束数(Default: 0) % id: 整数变量指标列向量。1-整数，0-实数(Default: 1) % 举例 % min Z=x1+4x2 % s.t. 2x1+x2<=8 % x1+2x2>=6 % x1, x2>=0且为整数 %先将x1+2x2>=6化为 - x1 - 2x2<= -6 %》[x,y]=lpint([1;4],[2 1;-1 -2],[8;-6],[0;0]) % Y. MA & L.J. HU 1999 global upper opt c N x0 A b ID; if nargin<8, id=ones(size(f));end if nargin<7|isempty(n), n=0;end if nargin<6, x=[];end if nargin<5|isempty(ub), ub=inf*ones(size(f));end if nargin<4|isempty(lb), lb=zeros(size(f));end
分枝定界搜索算法 通过穷举法搜索进行的特征选择会导致计算量过高，而在分枝定界搜索算法帮助下，有可能不需要显示评估所有d 个特征的可能组合而确定最优特征集。此算法的应用需假定特征选择准则满足单调性。用()j x 表示含有j 个特征的候选特征集，单调性指的是对于具有下列嵌套关系的特征集()j x ()()()()12j D x x x x ???? 其准则函数()()j J x 应满足 ()()()()()()12D J x J x J x ≤≤≤ 这点由构造特征评判准则的定义可得到保证。 为引出分枝定界搜索算法的基本观点，考虑从5个特征中挑选2个特征值的问题。特征中所有可能组合如下图的树表示，顶称为根节点，底称为叶节点，中间称为枝节点，共有1D d -+层。 图 分枝定界搜索算法示意图 现假设自底向上，再由上向下的搜索方式从最右节点开始在树的每个节点评估特征，进行特征选择。设初始叶节点的J 为0J （为45x x 的准则函数），在每个节点处，将节点的准则函数值和目前最优特征集的J 值进行比较，如果节点准则函数值大于0J ，则还有发现更佳特征集的机会，而且必须继续沿着最右边的未勘探分枝搜索。如果到达了树底的叶节点且相应准则值大于0J ，则此结点定义了当前新的最佳特征集，而0J 则作为相应更新。 另一方面，如果在某节点的准则函数值小于0J ，则以此节点为起始点的分支就不需勘探。因为根据单调性，再往下的特征组合将导致准则函数值的进一步减小。如此按这一规律，由底向上，再自上而下，从右向左搜索全树，可获得最佳的二特征组合。此搜索算法特别快捷有效。 12x 13235x 45342414251535
1、概念： 分支定界算法(Branch and bound，简称为BB、B&B, or BnB)始终围绕着一颗搜索树进行的，我们将原问题看作搜索树的根节点，从这里出发，分支的含义就是将大的问题分割成小的问题。大问题可以看成是搜索树的父节点，那么从大问题分割出来的小问题就是父节点的子节点了。分支的过程就是不断给树增加子节点的过程。而定界就是在分支的过程中检查子问题的上下界，如果子问题不能产生一比当前最优解还要优的解，那么砍掉这一支。直到所有子问题都不能产生一个更优的解时，算法结束。 2、例子： 用BB算法求解下面的整数规划模型 因为求解的是最大化问题，我们不妨设当前的最优解BestV为-INF，表示负无穷。 1.
首先从主问题分出两支子问题： 通过线性松弛求得两个子问题的upper bound为Z_LP1 = 12.75，Z_LP2 = 12.2。由于Z_LP1 和Z_LP2都大于BestV=-INF，说明这两支有搞头，继续往下。 2. 3.
从节点1和节点2两个子问题再次分支，得到如下结果： 子问题3已经不可行，无需再理。子问题4通过线性松弛得到最优解为10，刚好也符合原问题0的所有约束，在该支找到一个可行解，更新BestV = 10。 子问题5通过线性松弛得到upper bound为11.87>当前的BestV = 10，因此子问题5还有戏，待下一次分支。而子问题6得到upper bound为9<当前的BestV = 10，那么从该支下去找到的解也不会变得更好，所以剪掉！ 4.
对节点5进行分支，得到： 子问题7不可行，无需再理。子问题8得到一个满足原问题0所有约束的解，但是目标值为4<当前的BestV=10，所以不更新BestV，同时该支下去也不能得到更好的解了。 6.
1、实现0/1背包问题的LC分枝—限界算法，要求使用大小固定的元组表示动态状态空间树，与0/1背包问题回溯算法做复杂性比较。 2、实现货郎担问题的分枝—限界算法并与货郎担问 题的动态规划算法做复杂性比较比较。 3、实现带有期限的作业排序的分枝—限界算法并与 带有期限的作业排序贪心算法做复杂性比较。 （任选一个完成）
实验六分枝—限界算法 实验目的 1.掌握分枝—限界的基本思想方法； 2.了解适用于用分枝—限界方法求解的问题类型，并能设计相应动态规划算法； 3.掌握分枝—限界算法复杂性分析方法，分析问题复杂性。 预习与实验要求 1.预习实验指导书及教材的有关内容，掌握分枝—限界的基本思想； 2.严格按照实验内容进行实验，培养良好的算法设计和编程的习惯； 3.认真听讲，服从安排，独立思考并完成实验。 实验设备与器材 硬件：PC机 软件：C++或Java等编程环境 实验原理 分枝—限界算法类似于回溯法，也是一种在问题的解空间树上搜索问题解的算法。但两者求解方法有两点不同：第一，回溯法只通过约束条件剪去非可行解，而分枝—限界法不仅通过约束条件，而且通过目标函数的限界来减少无效搜索，也就是剪掉了某些不包含最优解的可行解；第二，在解空间树上，回溯法以深度优先搜索，而分枝—限界法则以广度优先或最小耗费优先的方式搜索。分枝—限界的搜索策略是，在扩展节点处，首先生成其所有的儿子结点（分支），然后再从当前的活结点表中选择下一个扩展结点。为了有效地选择下一扩展结点，以加速搜索进程，在每一活结点处，计算一个函数值（限界），并根据这些已计算出的函数值从当前活结点表中选择一个最有利的结点做为扩展，使搜索朝着解空间树上最优解的分支推进，以便尽快找出一个最优解。 分枝—限界法常以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索问题的解空间树（问题的解空间树是表示问题皆空间的一颗有序树，常见的有子集树和排序树）。在搜索问题的解空间树时，分枝—限界法的每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，那些导致不可行解或非最优解的儿子结点将被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表取出下一结点成为当前扩展结点，并重复上述扩展过程，直到找到最优解或活结点表为空时停止。
Linprogdis子程序: function [x,fval,exitflag,output,lambda]=... linprogdis(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) %Title: % 分支定届法求解混合整数线性规划模型 % %初步完成：2002年12月 %最新修订: 2004-03-06 %最新注释：2004-11-20 %数据处理 [t1,t2] = size(b); if t2~=1, b=b';%将b转置为列向量 end %调用线性规划求解 [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options); if exitflag<=0,%如果线性规划失败，则本求解也失败 return end %得到有整数约束的决策变量的序号 v1=find(ifint==1);%整数变量的index tmp=x(v1);%【整数约束之决策变量】的当前值 if isempty(tmp), %无整数约束，则是一般的线性规划，直接返回即可 return end v2=find(checkint(tmp)==0);%寻找不是整数的index if isempty(v2), %如果整数约束决策变量确实均为整数，则调用结束 return end %第k个决策变量还不是整数解 %注意先处理第1个不满足整数约束的决策变量 k=v1(v2(1)); %分支1：左分支 tmp1=zeros(1,length(f));%线性约束之系数向量 tmp1(k)=1; low=floor(x(k)); %thisA 分支后实际调用线性规划的不等式约束的系数矩阵A %thisb 分支后实际调用线性规划的不等式约束向量b if ifrowinmat([tmp1,low],[A,b])==1 %如果分支的约束已经存在旧的A，b中，则不改变约束 thisA= A; thisb= b;
整数规划分支定界法MATLAB程序 1.这种方法绝对能都解出答案，而且答案正确 function [x,val]=fzdj(n,f,a,b,aeq,beq,lb,ub) x=zeros(n,1); x1=zeros(n,1); m1=2; m2=1; [x1,val1]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub); if (x1==0) x=x1; val=val1; elseif (round(x1)==x1) x=x1; val=val1; else e1={0,a,b,aeq,beq,lb,ub,x1,val1}; e(1,1)={e1}; zl=0; zu=-val1; while (zu~=zl) for c=1:1:m2 if (m1~=2) if (cell2mat(e{m1-1,c}(1))==1) e1={1,[],[],[],[],[],[],[],0}; e(m1,c*2-1)={e1}; e(m1,c*2)={e1}; continue; end; end; x1=cell2mat(e{m1-1,c}(8)); x2=zeros(n,1); s=0; s1=1; s2=1; lb1=cell2mat(e{m1-1,c}(6)); ub1=cell2mat(e{m1-1,c}(7)); lb2=cell2mat(e{m1-1,c}(6)); ub2=cell2mat(e{m1-1,c}(7)); for d=1:1:n if (abs((round(x1(d))-x1(d)))>0.0001)&(s==0) s=1; lb1(d)=fix(x1(d))+1;
第5 章分枝定界 任何美好的事情都有结束的时候。现在我们学习的是本书的最后一章。幸运的是，本章用到的大部分概念在前面各章中已作了介绍。类似于回溯法，分枝定界法在搜索解空间时，也经常使用树形结构来组织解空间（常用的树结构是第1 6章所介绍的子集树和排列树）。然而与回溯法不同的是，回溯算法使用深度优先方法搜索树结构，而分枝定界一般用宽度优先或最小耗费方法来搜索这些树。本章与第1 6章所考察的应用完全相同，因此，可以很容易比较回溯法与分枝定界法的异同。相对而言，分枝定界算法的解空间比回溯法大得多，因此当内存容量有限时，回溯法成功的可能性更大。 算法思想 分枝定界（branch and bound）是另一种系统地搜索解空间的方法，它与回溯法的主要区别在于对E-节点的扩充方式。每个活节点有且仅有一次机会变成E-节点。当一个节点变为E-节点时，则生成从该节点移动一步即可到达的所有新节点。在生成的节点中，抛弃那些不可能导出（最优）可行解的节点，其余节点加入活节点表，然后从表中选择一个节点作为下一个E-节点。从活节点表中取出所选择的节点并进行扩充，直到找到解或活动表为空，扩充过程才结束。 有两种常用的方法可用来选择下一个E-节点（虽然也可能存在其他的方法）： 1) 先进先出（F I F O）即从活节点表中取出节点的顺序与加入节点的顺序相同，因此活节点表的性质与队列相同。 2) 最小耗费或最大收益法在这种模式中，每个节点都有一个对应的耗费或收益。如果查找一个具有最小耗费的解，则活节点表可用最小堆来建立，下一个E-节点就是具有最小耗费的活节点；如果希望搜索一个具有最大收益的解，则可用最大堆来构造活节点表，下一个E-节点是具有最大收益的活节点。 例5-1 [迷宫老鼠] 考察图16-3a 给出的迷宫老鼠例子和图1 6 - 1的解空间结构。使用F I F O分枝定界，初始时取（1，1）作为E-节点且活动队列为空。迷宫的位置（ 1 , 1）被置为1，以免再次返回到这个位置。（1，1）被扩充，它的相邻节点（1，2）和（2，1）加入到队列中（即活节点表）。为避免再次回到这两个位置，将位置（1，2）和（2，1）置为1。此时迷宫如图1 7 - 1 a所示，E-节点（1，1）被删除。 节点（1，2）从队列中移出并被扩充。检查它的三个相邻节点（见图1 6 - 1的解空间），只有（1，3）是可行的移动（剩余的两个节点是障碍节点），将其加入队列，并把相应的迷宫位置置为1，所得到的迷宫状态如图17-1b 所示。节点（1，2）被删除，而下一个E-节点（2，1）将会被取出，当此节点被展开时，节点（3，1）被加入队列中，节点（3，1）被置为1，节点（2，1）被删除，所得到的迷宫如图17-1c 所示。此时队列中包含（1，3）和（3，1）两个节点。随后节点（1，3）变成下一个E-节点，由于此节点不能到达任何新的节点，所以此节点即被删除，节点（3，1）成为新的E-节点，将队列清空。节点（3，1）展开，（3，2）被加入队列中，而（3，1）被删除。（3，2）变为新的E-节点，展开此节点后，到达节点（3，3），即迷宫的出口。 使用F I F O搜索，总能找出从迷宫入口到出口的最短路径。需要注意的是：利用回溯法找到的路径却不一定是最短路径。有趣的是，程序6 - 11已经给出了利用F I F O分枝定界搜索从迷宫的（1，1）位置到（n，n）位置的最短路径的代码。 例5-2 [0/1背包问题] 下面比较分别利用F I F O分枝定界和最大收益分枝定界方法来解决如下背包问题：n=3, w=[20,15,15], p=[40,25,25], c= 3 0。F I F O分枝定界利用一个队列来记录活节点，节点将按照F I F O顺序从队列中取出；而最大收益分枝定界使用一个最大堆，其中的E-节点按照每个活节点收益值的降序，或是按照活节点任意子树的叶节点所能获得的收益估计值的降序从队列中取出。本例所使用的背包问题与例1 6 . 2相同，并且有相同的解空间树。 使用F I F O分枝定界法搜索，初始时以根节点A作为E-节点，此时活节点队列为空。当节点 A展开时，生成了节点B和C，由于这两个节点都是可行的，因此都被加入活节点队列中，节点A被删除。下一个E-节点是B，展开它并产生了节点D和E，D是不可行的，被删除，而E被加入队列中。下一步节点C成为E-节点，它展开后生成节点F和G，两者都是可行节点，加入队列中。下一个E-节点E生成节点J和K，J不可行而被删除，K是一个可行的叶节点，并产生一个到目前为止可行的解，它的收益值为4 0。 下一个E-节点是F，它产生两个孩子L、M，L代表一个可行的解且其收益值为5 0，M代表另一个收益值为1 5的可行解。G是最后一个E-节点，它的孩子N和O都是可行的。由于活节点队列变为空，因此搜索过程终止，最佳解的收益值为5 0。 可以看到，工作在解空间树上的F I F O分枝定界方法非常象从根节点出发的宽度优先搜索。它们的主要区别是在F I F O
实用运筹学习题选详解 Revised as of 23 November 2020
运筹学判断题 一、第1章线性规划的基本理论及其应用 1、线性规划问题的可行解集不一定是凸集。（×） 2、若线性规划无最优解则其可行域无界。（×） 3、线性规划具有惟一的最优解是指最优表中非基变量检验数全部非零。（√） 4、线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域的一个顶点。（√） 5、若线性规划模型的可行域非空有界，则其顶点中必存在最优解。（√） 6、线性规划问题的大M法中，M是负无穷大。（×） 7、单纯形法计算中，若不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量为负。（√） 8、对于线性规划问题的基本可行解，若大于零的基变量数小于约束条件数，则解是退化的。（√）。 9、一旦一个人工变量在迭代过程中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯性表中删除，且这样做不影响计算结果。（√） 10、线性规划的目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正值。（×） 11、对一个有n个变量，m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点 C。（×） 恰好为个m n 12、线性规划解的退化问题就是表明有多个最优解。（×） 13、如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。（√） 14、单纯型法解线性规划问题时值为0的变量未必是非基变量。（√） 15、任何线性规划问题度存在并具有唯一的对偶问题。（√）
16、对偶问题的对偶问题一定是原问题。（√） 17、根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解；反之，当对偶问题无可行解时，其原问题为无界解。（×） 18、若原问题有可行解，则其对偶问题也一定有可行解。（×） 19、若原问题无可行解，其对偶问题也一定无可行解。（×） 20、若原问题有最优解，其对偶问题也一定有最优解。（√） 21、已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*0i y >，说明在最优生产计划中，第i 种资源一定有剩余。（×） 22、原问题具有无界解，则对偶问题不可行。（√） 23、互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解。（√） 24、某公司根据产品最优生产计划，若原材料的影子价格大于它的市场价格，则可购进原材料扩大生产。（√） 25、对于线性规划问题，已知原问题基本解不可行，对偶问题基本解可行，可采用对偶单纯形法求解。（√） 26、原问题（极小值）第i 个约束是“≥”约束，则对偶变量0i y ≥。（√） 27、线性规划问题的原单纯形解法，可以看作是保持原问题基本解可行，通过迭代计算，逐步将对偶问题的基本解从不可行转化为可行的过程。（√） *28、运输问题不能化为最小费用流问题来解决。（×） 29、运输问题一定有最优解。（√） 30、若运输问题的可行解退化，则存在等于零的数字格。（√） 31、运输问题是特殊的线性规划问题，表上作业法也是特殊形式的单纯形法。（√）
整数规划分支定界法MATLAB 程序 1.这种方法绝对能都解出答案，而且答案正确function [x,val]=fzdj(n,f,a,b,aeq,beq,lb,ub) x=zeros(n,1); x1=zeros(n,1); m1=2; m2=1; [x1,val1]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub); if (x1==0) x=x1; val=val1; elseif (round(x1)==x1) x=x1; val=val1; else e1={0,a,b,aeq,beq,lb,ub,x1,val1}; e(1,1)={e1}; zl=0; zu=-val1; while (zu~=zl) for c=1:1:m2 if (m1~=2) if (cell2mat(e{m1-1,c}(1))==1) e1={1,[],[],[],[],[],[],[],0}; e(m1,c*2-1)={e1}; e(m1,c*2)={e1}; continue; end; end; x1=cell2mat(e{m1-1,c}(8)); x2=zeros(n,1); s=0; s1=1; s2=1; lb1=cell2mat(e{m1-1,c}(6)); ub1=cell2mat(e{m1-1,c}(7)); lb2=cell2mat(e{m1-1,c}(6)); ub2=cell2mat(e{m1-1,c}(7)); for d=1:1:n if (abs((round(x1(d))-x1(d)))>0.0001)&(s==0) s=1; lb1(d)=fix(x1(d))+1; if (a*lb1<=b) s1=0; end; ub2(d)=fix(x1(d)); if (a*lb2<=b) s2=0; end; end; end; e1={s1,a,b,aeq,beq,lb1,ub1,[],0}; e2={s2,a,b,aeq,beq,lb2,ub2,[],0}; e(m1,c*2-1)={e1}; e(m1,c*2)={e2}; end; m1=m1+1;
分枝定界算法应用小结 摘要 本文首先总结了分枝定界算法的总体内容。 然后，我们列举了6个分枝定界算法应用的实例，它们分别：（1）基于分枝限界法的公交换乘算法设计；（2）分枝定界算法用于有机混合物的分析；（3）求解最大割问题的分枝定界算法；（4）弱有效集上凹函数极大问题的分枝定界算法；（5）分枝定界算法在食品分析中的应用—水果中有机酸的同时定性定量分析；（6）基于分枝定界法的环肋圆柱壳优化研究。 我们得知，分枝定界算法是一种常用算法，属于枚举算法，能够系统地搜索解空间，分枝定界算法的应用非常广泛。 一、分枝定界算法总述 分枝定界算法也可以叫做分支限定法。分枝定界法是一个用途十分广泛的算法，运用这种算法的技巧性很强，不同类型的问题解法也各不相同。总的来说，“分支限定法求解问题的过程与图的广度优先方法类似。它是把问题的各个结点的解看作是解空间树上的各个分支结点，求解过程是在解空间树中进行官广度优先搜索的过程。”[1] 分枝定界算法的具体内容如下： “步骤一：如果问题的目标为最小化，则设定目前最优解的值Z=∞。 步骤二：根据分枝法则（Branching rule），从尚未被洞悉（Fathomed）节点（局部解）中选择一个节点，并在此节点的下一阶层中分为几个新的节点。 步骤三：计算每一个新分枝出来的节点的下限值（Lower bound，LB）。 步骤四：对每一节点进行洞悉条件测试，若节点满足以下任意一个条件，则此节点可洞悉而不再被考虑：此节点的下限值大于等于Z值。已找到在此节点中，具最小下限值的可行解；若此条件成立，则需比较此可行解与Z 值，若前者较小，则需更新Z值，以此为可行解的值。此节点不可能包含可行解。 步骤五：判断是否仍有尚未被洞悉的节点，如果有，则进行步骤二，如果已无尚未被洞悉的节点，则演算停止，并得到最优解。”[2] 二、分枝定界算法的有关应用 分枝定界算法是一种常用算法，属于枚举算法，能够系统地搜索解空间，分枝定界算法的应用非常广泛。以下列举几个具体应用实例。 1、基于分枝限界法的公交换乘算法设计[3] （1）问题陈述 伴随着经济的高速发展，公共交通问题成为解决城市拥挤，环境污染等问题 的重要手段。由于受计算机硬件及软件资源的制约，我们在对城市，特别是大型城市庞大的公交网络进行公交换乘问题求解时，不可能对每一种可能解进行计算。那该如何更好地解决该问题呢？ （2）该问题算法设计思想
分支定界(branchand bound)算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。 利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是： 1．产生当前扩展结点的所有孩子结点； 2．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点； 3．将其余的孩子结点加入活结点表； 4．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。 如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。 从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点，根据选择方式的不同，分支定界算法通常可以分为两种形式： 1．FIFO(First In First Out)分支定界算法： 按照先进先出原则选择下一个活结点作为扩展结点，即从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同。 2．最小耗费或最大收益分支定界算法： 在这种情况下，每个结点都有一个耗费或收益。如果要查找一个具有最小耗费的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最小耗费的活结点；如果要查找一个具有最大收益的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最大收益的活结点。 又称分支定界搜索法。过程系统综合的一类方法。该法是将原始问题分解，产生一组子问题。分支是将一组解分为几组子解，定界是建立这些子组解的目标函数的边界。如果某一子组的解在这些边界之外，就将这一子组舍弃（剪枝）。
分支定界法原为运筹学中求解整数规划(或混合整数规划)问题的一种方法。用该法寻求整数最优解的效率很高。将该法原理用于过程系统综合可大大减少需要计算的方案数日。 分支定界法的思想是： 首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。 在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。这时，我们就必须采用搜索算法来解决问题。 搜索算法按搜索的方式分有两类，一类是深度优先搜索，一类是广度优先搜索。 我们知道，深度搜索编程简单，程序简洁易懂，空间需求也比较低，但是这种方法的时间复杂度往往是指数级的，倘若不加优化，其时间效率简直无法忍受；而广度优先搜索虽然时间复杂度比前者低一些，但其庞大的空间需求量又往往让人望而却步。 所以，对程序进行优化，就成为搜索算法编程中最关键的一环。 本文所要讨论的便是搜索算法中优化程序的一种基本方法棗“剪枝”。 什么是剪枝 相信刚开始接触搜索算法的人，都做过类似迷宫这样的题目吧。我们在“走迷宫”的时候，一般回溯法思路是这样的： 1、这个方向有路可走，我没走过 2、往这个方向前进 3、是死胡同，往回走，回到上一个路口 4、重复第一步，直到找着出口
整数线性规划之分支定界法 摘要 最优化理论和方法是在上世纪 40 年代末发展成为一门独立的学科。1947年，Dantaig 首先提出求解一般线性规划问题的方法，即单纯形算法，随后随着工业革命、计算机技术的巨大发展，以及信息革命的不断深化，到现在的几十年时间里，它有了很快的发展。目前，求解各种最优化问题的理论研究发展迅速，例如线性规划、非线性规划以及随机规划、非光滑规划、多目标规划、几何规划、整数规划等，各种新的方法也不断涌现，并且在军事、经济、科学技术等方 面应用广泛，成为一门十分活跃的学科。 整数规划（integer programming）是一类要求要求部分或全部决策变量取整数值的数学规划，实际问题中有很多决策变量是必须取整数的。本文主要介绍求解整数线性规划问题的分支定界法及其算法的matlb实现。 关键词：整数线性规划；分支定界法；matlb程序；
1．引言 1.1优化问题发展现状 最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所讨论的问题是怎样在众多的方案中找到一个最优的方案.例如，在工程设计中，选择怎样的设计参数，才能使设计方案既满足要求又能降低成本；在资源分配中，资源有限时怎样分配，才能使分配方案既可以满足各方面的要求，又可以获得最多的收益；在生产计划安排中，怎样设计生产方案才能提高产值和利润；在军事指挥中，确定怎样的最佳作战方案，才能使自己的损失最小，伤敌最多，取得战争的胜利；在我们的生活中，诸如此类问题，到处可见.最优化作为数学的一个分支，为这些问题的解决提供了一些理论基础和求解方法. 最优化是个古老的课题.长期以来，人们一直对最优化问题进行着探讨和研究.在二十世纪四十年代末，Dantzig 提出了单纯形法，有效地解决了线性规划问题，从而最优化成为了一门独立的学科。目前，有关线性规划方面的理论和算法发展得相当完善,但是关于非线性规划问题的理论和算法还有待进一步的研究，实际应用中还有待进一步的完善。传统的非线性全局最优化方法只能求出问题的局部最优解，但由于许多问题的局部最优解不一定是全局最优解，使得传统的非线性最优化方法不能直接成功地应用于求解非线性全局最优化问题。另外，没有一个固定的评判标准来判断得到的局部最优解是否为全局最优解。随着科学技术的发展和计算机计算能力的提高，最优化理论在最近这几年来得到了迅速的发展，涌现出了许多新的算法, 如打洞函数法,填充函数法，lagrangian 乘子函数方法，信赖域方法，虑子方法等。 本文主要介绍求解整数线性规划问题的分支定界法及其算法的matlb实现。 1.2整数线性规划及其数学模型 整数规划主要有以下三大类： （1）全整数规划（all integer programming）：所有的决策变量都取整数值，也称为纯整数规划（pure integer programming）； （2）混合整数规划（mixed integer programming）：仅要求一部分决策变量取整数值； （3）0-1规划（zero-one integer programming）：该类问题的决策变量只能取0或1. 本文主要讨论的整数线性规划问题模型为：
数据结构和算法设计与分析 谈到计算机方面的专业课程，我觉得数据结构算是一门必不可少的课了，它是计算机从 业和研究人员了解、开发及最大程度的利用计算机硬件的一种工具。数据结构与算法分析是 两门紧密联系的课程，算法要靠好的数据结构来实现，二者的关系是密不可分的，谈到算法不得不讲数据结构，谈数据结构也不可避免的要了解算法，好的算法一定有一个好的数据结构，很多算法实际上是对某种数据结构实行的一种变换，研究算法也就是研究在实行变换过程中 数据的动态性质。这两门课程分别是我在大二和研一的时候学的，因为它们密切的联系，这 里将其放在一起总结如下。 什么是数据结构呢？研究数据的逻辑结构和存储结构（物理结构）以及它们之间的关系， 且为该结构定义相应的运算设计相应的算法。这里的数据是指可输入到计算机能被程序处理 的符号的集合。其中，数据的逻辑结构是指数据之间逻辑关系的描述，逻辑结构的分类有线 性结构、树形结构和图结构。数据的存储结构是指数据在计算机中存储结构，也称为物理结构，它有4类基本的存储映射方法：1?顺序的方法；2.链接的方法；3.索引的方法；4.散列的方法。在程序设计语言中，数据结构直接反映在数据类型上，比如一个整型变量就是一个 节点，根据类型给他分配内存单元。抽象数据类型：一组值以及在这些值上定义的操作集合，它是描述数据结构的一种理论工具，其特点是把数据结构作为独立于应用程序的一种抽象代 数结构。 线性表结构：由一系列元素组成的有序的序列，除了第一个元素和最后一个元素外，每个元素都只有一个直接前趋和直接后继，元素的个数称为线性表的长度。它的存储方式有顺 序存储和链式存储。顺序存储方式它的优点是存储单元是连续的，适合快速访问元素内容，链表的特点是动态申请内存空间，并通过指针来链接结点，按照线性表的前驱关系把一个个 结点链接起来，这样可以动态地根据需要分配内存空间，经常用于插入新结点或删除节点的 需要，链表还可以根据结点中指针个数分为单链表、双链表、循环链表等。在线性表结构中 有两类特别的线性表：栈和队列。栈是一种限制访问端口的线性表，常称为后进先出表。正是这种特殊的性质使得栈的用途非常广泛，比如在计算表达式的值时处理运算符的先后次序， 另外一个大的用处就是递归了，hanoi塔就是最典型的用了递归的思想，在算法中，也有很 多运用递归思想的例子。队列也属于限制访问点的线性表，它的特点就是加入和删除元素都 只能在队列的一端进行，即队列首出，队列尾进，最大的特点是先来先服务，先进先出。因
分支定界法Matlab 程序实现与验证 为了更深入理解分支定界法计算流程，从而决定花费几天时间仔细学习该算法，并编写出该算法的Matlab 计算程序。同时为了后面个人的借鉴学习，编写本文档。在进行分支定界法计算程序编写过程中，通过网络搜索，发现了Matlab2014版之后嵌入了混合整数线性规划求解函数intlinprog，从而也将该函数的使用方法撰写下来。 1 整数规划问题简介 在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常有要求解答必须是整数的情形(称为整数解)。例如：所求解是机器的台数、完成工作的人数或装货的车数等，分数或小数的解答就不合要求。为了满足整数解的要求，初看起来，似乎只要把已得到的带有分数或小数的解经过“舍入化整”就可以了。但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解；或虽是可行解，但不一定是最优解。因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。人们称这样的问题为整数规划(Integer Programming，IP)，整数规划是最近几十年发展起来的规划论中的一个分支。 整数规划中如果所有的变数都限制为(非负)整数，就称为纯整数规划(Pure Integer Programming，PIP)或称为全整数规划(All Integer Programming，AIP)；如果仅一部分变数限制为整数，则称为混合整数计划(Mixed Integer Programming，MIP)。整数规划的一种特殊情形是0-1规划，该规划中变量的取值仅限于0或1，指派问题就是一类典型的0-1规划问题。 现举例说明用前述单纯形法求得的解不能保证是整数最优解。 例1：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物, 每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表1所示。问两种货物各托运多少箱, 可使获得利润为最大? 表1 货物托运示例数据 货物 体积（m3/箱） 重量（百公斤/箱）利润（百元/箱） 甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运限制 24（m3） 13百公斤 设1x 、2x 分别为甲、乙两种货物的托运箱数（为非负整数），列该问题的纯 整数规划模型如下： 12max 2010z x x =+
一．线性规划 1.问题背景：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人 们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源. 线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 2.求解方法： a.单纯形法： 适用的问题：约束条件全部为≤，右边常数全部为非负，对目标函数的系数没有要求。 min z=3x1-2x2 s.t. x1+2x2≤12 2x1+ x2≤18 x1,x2≥0 求解步骤： STEP 0 将线性规划问题标准化 STEP 1 是否有明显的初始基础可行解，如果有，转STEP 3，否则，转STEP 2。 STEP 2 构造辅助问题，用两阶段法求解辅助问题。如果辅助问题最优解的目标函数值大于0，原问题无可行解，算法终止。否则转STEP 3。 STEP 3 写出单纯形表，将基变量在约束条件中的系数消为单位矩阵，将基变量在目标函数中的系数消为0。转STEP 4。 STEP 4 如果所有非基变量的检验数全为负数或0，则已获得最优解，算法终止。否则，选择检验数为正数并且绝对值最大的非基变量为进基变量。转STEP 5。 STEP 5 如果进基变量在约束条件中的系数全为负数或0，目标函数无界，算法终止。否则根据右边常数和正的系数的最小比值，确定离基变量。转STEP 6。 STEP 6 进基变量列和离基变量行交叉的元素称为主元。对单纯形表进行行变换，将主元变为1，将主元所在列的其他元素变为0。转STEP 4。 b.对偶单纯形法： 适用的问题:约束条件中至少有一个是≥，相应的右边常数为非负，目标函数系数全部为非负。 min z=3x1+2x2 s.t. x1+2x2≥12 2x1+ x2≤18 x1,x2≥0 求解步骤： 步骤1 确定原问题（L）的初始基B，使所有检验数，即是对偶可行解，建立初始单纯形表。 步骤2 检查基变量的取值，若≥0，则已得最优解，计算停；否则求确定单纯形表第L行对应的基变量为旋出变量。 步骤3 若所有,则原问题无可行解，计算停；否则，计算确定对应的为旋入变量。 步骤4 以为主元作（L，K）旋转变换，得新的单纯形表，转步骤2。可以证明，按上述方法进行迭代，所得解始终是对偶可行解。 二．运输问题 1.问题背景：一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产 地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案。