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九年级数学二次函数单元测试卷(含答案解析)

九年级数学二次函数单元测试卷（含答案解析）

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．在平面直角坐标系中，抛物线2

2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，

与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的

时，请直接写出线段AM 的长．【答案】（1）2

2y x x =-++；（2）存在，（

23，209）或（10

3，529

-）；（3）10

或2 【解析】【分析】

（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；

（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出

∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；

（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解．【详解】

解：（1）∵抛物线2

2(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），

则44220422a b a b -=-+??=++?，解得：11a b =-??=?

，

∴抛物线的解析式为22y x x =-++；（2）存在，理由是：

在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，在2

2y x x =-++中，令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B 坐标为（-1，0）， ∴点E 坐标为（1，0），可知：点B 和点E 关于y 轴对称， ∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ， ∵D （0，2），

∴=，在△BDE 中，有

12×BE ×OD=1

×BD ×EF ，

即2×EF ，解得：EF=5

，

∴5

，

∴tan ∠BDE=

EF DF =4

3，若∠PBC=2∠BDO ，则∠PBC=∠BDE ，

∵BE=2，则BD 2+DE 2＞BE 2， ∴∠BDE 为锐角，当点P 在第三象限时， ∠PBC 为钝角，不符合；当点P 在x 轴上方时，

∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++），过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ，则BG=c+1，PG=22c c -++，

∴tan ∠PBC=

PG BG =221

c c c -+++=4

3，解得：c=

，

∴22c c -++=

209

， ∴点P 的坐标为（

23，209

）；

当点P 在第四象限时，

同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，

tan ∠PBC=PG BG =221

c c c --+=4

3，

解得：c=

， ∴22c c -++=529

， ∴点P 的坐标为（

103，529

-），综上：点P 的坐标为（

23，209）或（10

3，529

-）；

（3）设EF 与AD 交于点N ，

∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ，

则422m n n -=-+??=?，解得：3

2m n =??=?

，

∴直线AD 表达式为y=3x+2，设点M 的坐标为（s ，3s+2），

∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，

则11114202m n m n -=-+??=+?，解得：11

12m n =??=-?，

∴直线AC 表达式为y=x-2，令x=0，则y=-2， ∴点E 坐标为（0，-2），可得：点E 是线段AC 中点， ∴△AME 和△CME 的面积相等，由于折叠，

∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ，由题意可得：

当点F 在直线AC 上方时，

∴S △MNE =14

S △AMC =12S △AME =1

2S △FME ，

即S △MNE = S △ANE = S △MNF ， ∴MN=AN ，FN=NE ，

∴四边形FMEA 为平行四边形，

∴CM=FM=AE=

AC=12

∵M （s ，3s+2），

解得：s=4

-或0（舍）， ∴M （45-

，2

-），

∴

当点F 在直线AC 下方时，如图，同理可得：四边形AFEM 为平行四边形， ∴AM=EF ，

由于折叠可得：CE=EF ， ∴AM=EF=CE=22，

综上：AM 的长度为10

或22 【点睛】

本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．

2．如图，抛物线()2

50y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点

C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值．（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线

AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求

点N 的横坐标．

【答案】（1）2

65y x x =-+- （2）2t =；2（3）

5412或4或541

【解析】【分析】

（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；

（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d 为

()2

4542

d BP sin t =??=

-，则12PBE

BE d =??)()122244222

t t t =??-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值；

（3）先求出2

454222

AM AB sin =??=?

=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ 是平行四边形，得到22NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角

形，求得22884NH NQ HQ =

+=+=；设()

,65N m m m -+-，则(),0G m ，

(),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况

解答即可．

【详解】

解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -

∴抛物线2

5y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，

∴250505a b an bn n +-=??--=??-=?，解得51,6n a b =-??

=-??=?

所以抛物线的解析式为265y x x =-+-．

()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -

∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形， ∴45,ABC ∠=

由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE

的距离()4542

d BP sin t =??=- 所以1

PBE

BE d =??

)()1244222

t t t t =??-=-； ∵二次函数(

)()42

f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴04

t +=

=时， ∴()(

)(

)22422

max f t f ==??-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值

为

()3

由题意得454AM AB sin =??== 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，

∴NQ AM ==

过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H ∵:5BC l y x =-，

∴NQH 为等腰直角三角形，

∴22884,NH NQ HQ =+=+=

设()

,65N m m m -+-，则(),0G m ，(),5H m m -，

①点N 在x 轴上方时，此时()()2

655,NH m m m =-+---

∴()

()2

6554m m m -+---=，即()()140,m m --=

解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；

②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2

565,NH m m m =---+- ∴()(

)

5654m m m ---+-=，即2

540,m m --=

解得54152m -=

<（舍）或541

m +=

③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2

565,NH m m m =---+- ∴()(

)

5654m m m ---+-=，即2

540,m m --=解得5412m -=

或541

m +=（舍）

综上所述，5414,2m m +==

，541

m -=符合题意，即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为

541-或4或541+．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键

3．如图1，抛物线2

:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正

半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线

()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于

点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题：（1）填空：1a = ，1b = ；（2）求出2C 与3C 的解析式；

（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；

②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.

【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，231

y x x =-；（3）①()2

12123

n n y x x n -=

-≥?，②20182019y y ＞. 【解析】【分析】

（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值；（2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；

（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物

线C n 解析式．

②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小．【详解】

解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），

由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（

12b ，12b ），D 1（12b ，12

-）， ∵B 1在抛物线c 上，则

12b =(12

b )2

，解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），

把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1，故答案为1，2；

（2）当20y =时，有()220a x x b -=，解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，

222,22b b B ??∴ ???，22

2,22b

b D ??- ???

. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ??∴

=- ???

. 解得24b =或20b =（不合舍去），

()22,2D ∴-

2D 在抛物线2C 上，

()22224a ∴-=-.

解得21

a =

. 2C ∴的解析式是()2142y x x =

-，即221

y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=，解得3x b =，或0x =.

()33,0A b ∴.

由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，

333,22b b B ??∴ ???，333,2

b D ??- ???.

3B 在抛物线2C 上，

333122222

b b b

??∴=-? ???. 解得312b =或30b =（不合舍去），

()36,6D ∴-

3D 在抛物线3C 上，

()366612a ∴-=-.解得31

a =

. 3C ∴的解析式是()31126y x x =

-，即231

y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()22

2123

n n y x x n -=-≥?. ②由①可得2

201820161223y x x =

-?，220192017

1223

y x x =-?. 当0x ≠时，2

2018201920162017

111

0233y y x ＞??-=

???

， 20182019y y ∴＞.

【点睛】

本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标?把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．

4．如图，抛物线y=﹣x 2+mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．

【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2

(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）

(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．

【解析】

试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；

（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；

（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；

（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，

∴抛物线的对称轴是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．

作CH⊥x轴于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

，

解得：，

∴直线BC 的解析式为：y=﹣

x+2．

如图2，过点C 作CM ⊥EF 于M ，设E （a ，﹣a+2），F （a ，﹣

a 2+

a+2），

∴EF=﹣

a 2+

a+2﹣（﹣

a+2）=﹣a 2+2a （0≤x≤4）． ∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =BD?OC+

EF?CM+

EF?BN ， =+

a （﹣

a 2+2a ）+

（4﹣a ）（﹣

a 2+2a ），

=﹣a 2+4a+

（0≤x≤4）．

=﹣（a ﹣2）2+

∴a=2时，S 四边形CDBF 的面积最大=，

∴E （2，1）．

考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值

5．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点

F 旋转180?，得到新的抛物线'C ．

()1求抛物线C的函数表达式:

()2若抛物线'C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．()3如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线'C上的对应点P'，设M是C上的动点，N是'C上的动点，试探究四边形'

PMP N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

【答案】()1214

y x

=-+；()2222

<<()3四边形'

PMP N可以为正方形，6

m=【解析】

【分析】

（1）由题意得出A,B坐标，并代入,,

A B D坐标利用待定系数法求出抛物线C的函数表达式；

（2）根据题意分别求出当C'过点()

0,4

D时m的值以及当C'过点()

22,0

B时m的值，并以此进行分析求得；

（3）由题意设(),

P n n ，代入解出n，并作HK OF

⊥，PH HK

⊥于H，利用正方形性质以及全等三角形性质得出M为()

2,2

m m

--，将M代入2

C y x

=-+即可求得答案.

【详解】

解：()142

AB=

(),

22,0)

2,0

A B

∴-

将,,

A B D三点代入得2

y ax bx c

=++

820.

a b c

?-+=

++=

解得

y x

∴=-+；

()2如图2

1:42

C y x =-

+．

关于(),0F m 对称的抛物线为

()2

1:242

C y x m '=

-- 当C '过点()0,4D 时有()2

140242

m =-- 解得:2m =

当C '过点()22,0B 时有()

022242

m =-- 解得:22m =

222m ∴<<；

()3四边形'PMP N 可以为正方形由题意设(),P n n ，

P 是抛物线C 第一象限上的点 21

n n ∴-+=

解得:122,2n n ==-(舍去)即()2,2P 如图作HK OF ⊥，PH

HK ⊥于H ，

MK HK ⊥于K

四边形PMP N '为正方形易证

PHK FKM ≌

2FK HP m ∴==-

2MK HF ==

M ∴为()2,2m m --

∴将M 代入21: 42

C y x =-+得

()2

12242

m m -=-

-+ 解得:126,0m m ==(舍去)

∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.

【点睛】

本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.

6．如图1，抛物线2

1:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．

（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．

（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段

MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1

C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．

（3）如图2，将抛物线1C 向下平移7

个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在

直线2y x =-上，求m 的值．

【答案】（1）2

1y x =+；（2）251|n -；（3）14m =-

或12

m =- 【解析】

【分析】

（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式；（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2

B C ''

并进行化简，由1n q -≤<且12,

n <-得21n q -<，则当()

max

B C

?????

?时，取min 2q q n ==-，带入()2B C ''，即可求得

()

max

B C '

；

（3）依题意将抛物线1C 向下平移

个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ??+ ???，得到2

22218OM m m ??=++ ??

?，由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：2111,22

28m OM m ??

??++ ?

?????，设Q y k =，则

2111228k OM m ??=

++ ???，化简得到22211084k m k m ?

?++-= ??

?，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到2

31048m m -

+=，解得14m =-或12

m =-．【详解】

解：（1）将()0,1A 带入抛物线2

1:C y x b =+，得b=1，则2

1:1C y x =+，

（2）设(),0B q ，则()2,0C q -， ∴(

)

222

(2)(2)B C

q q q q ''

??=--+--??

2204020q q =-+

()2

201q =-，

∵1n q -≤<且12,q n <-

21n q -<∴，

∴()2

max

B C

?????

时，min 2q q n ==-，

即()

2220(21)20(1)B C n n ''

=--=-，

∴()

max

1|B C n ''

=-，

（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移

个单位长度得到抛物线2C ，

∴2

21:8

C y x =+， ∴2

1,8M m m ??+

， ∴2

218OM m m ??=++ ??

?，

∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：

2111,22

28m OM m ??

??++ ?

?????，设Q y k =，则2111228k OM m ??

++ ???

， ∴2

22111428OM k m ??

??=-+ ??????

?，化简上式得：2

11084

k m k m ?

?++

-= ??

?， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-， ∴k m =-为上述方程的一个解， ∴分析可知1()04k m k m ??

= ???

， 21148

m m m -=+∴，

∴2

048

m m -

+=，解得：114m =-，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程2

31048

m m -+=的

解），

故14m =-

或1

m =-．【点睛】

本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．

7．已知抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -．（1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；

（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，

()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，

OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ?有一个内

角为60，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：

PA 平分MPN ∠．

【答案】（1）21b a =-；（2）22y x =-；（3）见解析. 【解析】【分析】

（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案．（2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ?为等腰三角形，结合其有一个60?的内角可得出ABC ?为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；

（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，2

12)x -+、点N 的坐标为2(x ，

2)x -+，由O 、M 、N 三点共线可得出21

x x =-

，进而可得出点N 及点'N 的坐标，由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠．【详解】

解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得

2420c a b c =-?

-+=?

．所以21b a =-．

（2），如图1，

九年级二次函数单元测试卷附答案

九年级二次函数单元测试卷附答案一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式：（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2 y x2x3 =-++；3 y x =-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【解析】【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得 930 10 b c b c -++= ? ? --+= ? ， ∴ 2 3 b c = ? ? = ? ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3， ∴点C的坐标是（0，3），把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1 1 30 3 k b b += ? ? = ? ， ∴ 1 1 3 k b =- ? ? = ? ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；

(完整版)初三数学二次函数所有经典题型

初三数学二次函数经典题型二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是，当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向平移个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线相同，又过原点，那么a ＝，b ＝，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是，当函数值0y <时，对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=

12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ．都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ．都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-m D ． 2->m 16、函数2 21y x x =--的图象经过点( ) A 、（－1，1） B 、（1 ，1） C 、（0 , 1） D 、(1 , 0 ) 17、抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A 、2 3(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+-C 、23(1)2y x =++ D 、2 3(1)2y x =-+ 18、已知h 关于t 的函数关系式2 12 h gt = （ g 为正常数，t 为时间）如图，则函数图象为 ( ) 19、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是（） A 、2 32y x x =-+ B 、25y x =- C 、2 2y x x = -+ D 、2 44y x x =-+ 20、已知二次函数2 y ax bx c =++，若0a <，0c >，那么它的图象大致是（） 21、根据所给条件求抛物线的解析式：（1）、抛物线过点（0，2）、（1，1）、（3，5）（2）、抛物线关于y 轴对称，且过点（1，－2）和（－2，0） 22．已知二次函数c bx x y ++=2 的图像经过A （0，1），B （2，－1）两点. (1)求b 和c 的值； (2）试判断点P （－1，2）是否在此函数图像上？ 23、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边

初三数学二次函数单元测试题及答案

远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩：一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()

9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线上的点，且-1

(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)

22．1二次函数的图像和性质（一）一、学习目标 1．知识与技能目标：（1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。三、教学过程（一）创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）自主探究、合作交流：问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。问题5：什么是二次函数？形如。问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？

（三）尝试应用：例1．关于x 的函数是二次函数，求m 的值．注意：二次函数的二次项系数必须是的数。例2．已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5，求这个二次函数的解析式．（五）小结： 1．二次函数的一般形式是。2．会用法求二次函数解析式。（六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二）一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=

二次函数单元测试卷(含答案)

二次函数单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ．1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根 C ．有两个相等の实数根 D ．没有实数根

初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．

人教版九年级上册数学九年级二次函数综合测试题及答案

二次函数单元测评一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1