特殊的平行四边形专项训练
专训1?矩形性质与判定的灵活运用
名师点金：
矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质.它的性质可归结为三个方面：（1）从边看：矩形的对边平行li相等；（2）从角看：矩形的四个角都是直角；（3）从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等.
判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等.
利用矩形的性质与判定求线段的长（转化思想）
1.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A,点B落在点M处，点C,点D落在点
N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH = 3cm EF=4ce求AD的长.
利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系
2.如图，在AABC中，/A = 90。，D是AC ±的一点，BD=DC, P是BC ±的任意一点，PE _LBD,
D
C
B
E
PFXAC, E, F 为垂足.试判断线段PE, PF, AB 之间的数量关系，并说明理由.
利用矩形的性质与判定证明角相等
3. 如图，在QABCD 中，过点D 作DE1AB 于点E,点F 在边CD 上，DF=BE,连接AF, BF.(l) 求证：四边形BFDE 是矩形；(2)若CF=3, BF=4, DF=5,求证：AF 平分ZDAB.
利用矩形的性质与判定求面积
4. 如图，己知点E 是-ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F. (1) 连接AC,
BF,若ZAEC = 2ZABC,求证：四边形ABFC 为矩形；
(2)在(1)的条件下，若AAFD 是等边三角形，且边长为4,求四边形ABFC 的面积.
专训2.菱形性质与判定的灵活运用
名师点金：菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：（1）从边看：对边平行，四边相等；（2）从角看：对角相等，邻角互补；（3）从对角线看：对角线互相垂直平分，并旦每一条对角线平分一组对角.
判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等.
利用菱形的性质与判定求菱形的高
1.如图，在/?/AABC 中，ZACB = 90°, D 为AB 的中点，且AE〃CD, CE/7AB.
（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若ZB = 60°, BC = 6,求菱形ADCE的高.（计算结果保留根号）
利用菱形的性质与判定求菱形对角线长
2.如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC,交CG于D,交AF于B,交AC于0.连接AD, BC. （1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若E为AB的中点，DEJLAB,求ZBDC的度数；（3）在（2）的条件下，若AB=1,求菱形ABCD的对角线AC, BD的长.
A
B D E
C
利用菱形的性质与判定解决周长问题
3.如图，在R〃\ABC中，ZACB=90°, D, E分别为AB, AC边的中点，连接DE,将左ADE 绕点E 旋转180°,得到ACFE,连接AF.(l)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若BC = 8, AC = 6,求四边形ABCF的周长.
利用菱形的性质与判定解决面积问题
4.如图，在化△ABC中，ZBAC = 90°, D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC 交BE的延长线于点F.⑴求证：AAEF竺ADEB；
⑵证明四边形ADCF是菱形；(3)若AC=4, AB=5,求菱形ADCF的面积.
(2)当ZMAN 绕点A 旋转到如图③的位置时，线段BM, DN 和MN 之间有怎样的数量 关系？请写出你的猜想，
并证明.
专训3.正方形性质与判定的灵活运用 名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是 正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可.
利用正方形的性质解决线段和差倍分问题
1. 己知：在正方形ABCD 中，ZMAN=45。，ZMAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边 分别交CB, DC (或它们的延长线)于点M, N.
(1)如图①，当ZMAN 绕点A 旋转到BM = DN 时，易证：BM + DN = MN.当ZMAN 绕 点A
旋转到BM#DN 时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，清给予证明;
如果不成立，请说明理由.
利用正方形的性质证明线段位置关系
2. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC, BD 相交于点
O, E, F 分别在0D, 0C
上, 且
DE =
CF,连接DF, AE, AE 的延长线交DF 于点M.求证：AM_LDF.
正方形性质与判定的综合运用
① ②
3.如图，P, Q, R, S四个小球分别从正方形的四个顶点A, B, C, D同时出发，以同样的速度分别沿AB, BC, CD, DA的方向滚动，其终点分别是B, C, D, A.(l)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形.(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？
(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理巾.
专训4.特殊平行四边形性质与判定的灵活运用
名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对?角线三个方面进行区分；而判定主要从
建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定.
矩形的综合性问题矩形性质的应用
1.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B，的位置，AB，与CD 交于点E.(l)试找出一个与AAED全等的三角形，并加以证明；
(2)若AB = 8, DE=3, P为线段AC ±的任意一点，PG1AE于点G, PH1EC于点H,试求PG+PH的值.
b.矩形判定的应用
2. 如图，点0是菱形ABCD 对角线的交点，DE 〃AC, CE 〃BD,连接0E.求证：(1) 四边形OCED 是矩形；(2)OE = BC.
c.矩形性质和判定的应用
3. 如图①，在Z\ABC 中，AB = AC,点P 是BC ±任意一点(不与B, C 重合)，PE1 AB, PF±AC, BD±AC.垂足分别为 E, F, D.(l)求证：BD = PE+PF.
(2)当点P 在BC 的延长线上时，其他条件不变.如图②，BD, PE, PF 之间的上述关系还成 立吗？若
不成立，请说明理由.
菱形的综合性问题。?菱形性质的应用
4. 已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E, 连接 EC. (1)求证：AE=EC.
(2)当ZABC = 60°,匕CEF=60。时，点F 在线段BC ±的什么位置？并说明理由.
b.菱形判定的应用
5. 如图，在 7?zAABC 中，ZB=90°, BC = 50, ZC = 30°.点 D 从点 C 出发沿 CA 方 向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个
单位长的速度向点
B
B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E运动的时间是ts(t>0).
过点D作DF±BC于点F,连接DE, EF.(l)求证：AE = DF. ⑵四边形AEFD能够成为菱形吗？如果
能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由.(3) 当t为何值时，ADEF为直角三角形？请说明理由.
c.菱形性质和判定的应用
6.(1)如图①，纸片uABCD中，AD = 5, S『ABCD=15.过点A作AE1BC,垂足为E, 沿AE剪下AABE,将它平移至ADCE伯勺位置，拼成四边形AEE，D,则四边形AEED的形状为()A.平行四边
形B.菱形C.矩形O.正方形
(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE，D中，在EE，上取一点F,使EF=4,剪下ZiAEF, 将它
平移至ADEF的位置，拼成四边形AFFT).
①求证：四边形AFFT)是菱形；②求四边形AFFD的两条对角线的长.
①
正方形的综合性问题------- 正
方形性质的应用
7.如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG, DEJ_AG于E, BF〃 DE交AG 于点F,探究线段AF, BF, EF三者之间的数量关系，并说明理由.
b.正方形判定的应用
8.两个长为2 cm,宽为1 cm的矩形摆放在直线1上（如图①），CE=2 cm,将矩形ABCD 绕着点C顺时针旋转a角，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度.
（1）当旋转到顶点D, H重合时（如图②），连接AE, CG,求证：AAED竺ZkGCD；
（2）当a=45。时'（如图③），求证：四边形MHND为正方形.
答案
专训1
1.解：由折叠的性质知ZHEM=ZAEH, ZBEF=ZFEM, AZHEF=Z HEM+
（第8
题）
ZFEM=|x 180° = 90°.同理可得ZEHG=ZHGF= ZEFG = 90°, Z.四边形EFGH 为矩形.?.?HG〃EF, HG = EF.「?ZGHN=ZEFM,又?「ZHNG=ZFME = 90。，.?.△HNG￡Z\FME..??HN=MF.又?.?HN = HD, .??HD = MF....AD=AH + HD = HM + MF = HF.VHF =^EH2+EF2=^32+42 = 5(cm),「.AD = 5 cm.
点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN = MF,进而证明HD = MF,从而将AD转化为直角三角形EFH的斜边HF,进而得解，体现了转化思想.
2.解：PE+PF = AB.理由：过点P作PG1AB于G,交BD于O,如图所
示.VPG±AB, PF±AC, ZA=90°, A ZA= ZAGP= ZPFA=90°. A 四边形AGPF 是矩形.A AG = PF, PG^AC,/. ZC=ZGPB.又?.?BD = DC, AZC=Z DBP...? ZGPB = ZDBP. A OB=OP. V PG± AB, PE1BD,
AZBGO=ZPEO = 90°.
在中，
VBGO=ZPEO,
< ZGOB=ZEOP,
、OB = OP,
?.? ABGO^APEO.A BG = PE.
V AB = BG+AG=PE+PF.
3.证明：(I)：四边形ABCD是平行四边形，..?AB〃CD.
?.?BE〃DF.又?.?BE=DF,
.??四边形BFDE是平行四边形.
VDE±AB,
AZDEB = 90°.
.??四边形BFDE是矩形.
(2) V四边形ABCD是平行四边形，
?.?AB〃DC, AD = BC.
AZDFA=ZFAB.
= 2ji「?s
四边形ABFC =273x2=473.
由(1)易得ABCF为直角三角形，在^ABCF中，由勾股定理，得
BC=A/CF2+BF2=^/32+42=5, ???AD = BC = DF = 5.
AZDAF=ZDFA.
AZDAF=ZFAB, 即AF平分ZDAB.
4.(1)证明：?.?四边形ABCD为平行四边形，..?AB〃DC...?
ZABE=ZECF. 又..?点E为BC的中点，..?BE=CE.
在二
VABE=ZFCE,
?.?< BE=CE,
.ZAEB=ZFEC,
?..△ ABE 竺AFCE...? AB = CF.
又AB〃CF,.??四边形ABFC为平行四边形?「?AE = EF. L?匕AEC为AABE 的外角，.??ZAEC=ZABC+ZEAB.又：ZAEC = 2ZABC,「?ZABC= ZEAB. ?.?AE=BE..??AE+EF = BE+EC,即AF = BC.二四边形ABFC为矩形.
(2)解：?.?四边形ABFC是矩形，
DF ____ AAC1DF.XVAAFD 是等边三角形，A CF=CD=—=2. A AC = ^/42-22
专训2
1.(1)证明：\?AE〃CD, CE〃AB,.??四边形ADCE是平行四边形，又,: ZACB = 90°, D是AB的中点，.?.CD = BD = AD, .L平行四边形ADCE是菱形.
⑵解：如图，过点D作DFXCE,垂足为点F,则DF即为菱形ADCE的高, VZB = 60°, CD=BD, A ABCD 是等边三角形，A ZBCD = 60°. VCE//AB, .?.匕BCE = 180。一ZB= 120°,
AZDCE = 60°,又?.?CD=BC = 6,
..?在/?rACDF中，易求得DF = 3寸，即菱形ADCE的高为3出.
(第1题)
2.(1)证明：VBD 垂直平分AC, .??OA=OC, AD = CD, AB = BC.
?.?四边形AFCG是矩形，.\CG〃AF.
AZCDO=ZABO, ZDCO=ZBAO.
「?AC0D^AA0B(A4S).
?.? CD=AB...? AB = BC = CD = DA.
.??四边形ABCD是菱形.
(2)解：?.?E为AB的中点,DE1AB,
ADE垂直平分AB.?LAD = DB.
又?.?AD = AB,
A A ADB为等边三角形，
AZDBA = 60°.
VCD//AB, AZBDC=ZDBA = 60°.
(3)解：由菱形性质知，ZOAB=|ZBAD=30°.在危△OAB 中，AB=1,二
OB =3’ .L OA = 2 .
???BD=1, AC=V3.
3.⑴证明：..?将△ ADE绕点E旋转180。得到△ CFE, ?.?AE = CE, DE=FE. .??四边形ADCF是平行四边形?..?D, E分别为AB, AC边的中点，「.DE是左ABC 的中位线..??DE〃BC.?.?ZACB = 90。，A ZAED = 90°. ADF±AC. A 四边形ADCF是菱形.
(2)解：在/?rAABC 中，BC = 8, AC = 6,.?.AB= 10.L?点D 是AB 边的中点, ???AD=5.?.?四边形ADCF是菱形，.??AF=FC=AD = 5..??四边形ABCF的周长为8+10+5 + 5=28.
4.(1)证明：?「E是AD中点，.??AE = DE.
VAF/7BC, Z.ZFAE=ZBDE,
乂?「ZAEF=ZDEB, A AAEF^ ADEB(ASA).
(2)证明：由(1)知，AAEF^ADEB,则AF=DB,是BC 的中点，二DB = DC, .??AF = CD, XVAF//BC, A四边形ADCF是平彳亍四边形，V ZBAC = 90。，D 是BC的中点，.??AD=DC=!B C,.??四边形ADCF是菱形.
(3)解：设菱形ADCF的DC边上的高为h,则/?rAABC斜边BC上的高也
为h, VBC=A/52+42=V41，.??DC=?BC = B 4X5 20
.??菱形ADCF
2 ' h=W=面，
的面积为：DC ?h=
AAC1BD, OA=
专训3
1. 解：(1)仍有BM + DN = MN 成立.证明如下：如图(1),过点A 作AE _LAN,交 CB 的延长线于点 E,易证△ ABE^AADN, ADN = BE, AE=AN. 乂 VZMAN=45°, A ZEAM= ZNAM=45°, AM=AM, A AEAM^ ANAM.A ME = MN.VME = BE+BM = DN + BM , ABM + DN = MN .
(2)DN-BM = MN.证明如下：如图(2),在DN 上截取DE=BM,连接AE. ?四边形ABCD 是正方形， .\ZABM=ZD = 90°, AB=AD. 又?.?BM=DE,「.△ABMWADE.
???AM=AE, Z B AM = Z DAE. V Z DAB = 90°, AZ MAE = 90°.
VZMAN=45°,
?.? Z EAN=45。=匕 MAN.又 L AM=AE, AN=AN, ?.? AAMN 丝 AAEN. A MN = EN. * --------- D
??? DN = DE+EN = BM+MN. /
??? DN - BM = MN.
E -—
J
'c
(第1题)
2. 证明：VAC, BD 是正方形ABCD 的两条对角线, OD = OC = OB.VDE=CF, AOE=OF.
在 与/?zADOF 中，
OA=OD,
< ZAOE=ZDOF=90°, 、OE=OF,
A7?/AAOE^/?rADOF. A ZOAE=ZODF.V ZDOF = 90°, Z. ZDFO+Z FDO = 90°.A ZDFO+ZFAE = 90°.A ZAMF = 90°,即 AM1DF.
3. (1)证明：..?四边形ABCD 是正方形，A ZA= ZB= ZC= ZD = 90°, AB = BC=CD = DA.乂：不管滚动多长时间，AP=BQ = CR=DS, ASA = PB = QC = RD. A AASP^ ABPQ^ ACQR^ ADRS.
?.?PS=QP = RQ = SR, ZASP=ZBPQ.A 不管滚动多长时间，四边形PQRS
是菱形.又?: ZAPS+ZASP=90°,ZAPS+ZBPQ=90°.A ZQPS=180°-(Z APS + ZBPQ) =180°-90° = 90°.A 不管滚动多长时间，四边形PQRS 总是正方 形.
(2)解：当P, Q, R, S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就
???bc=da,“b=zd.
等于原正方形ABCD 的面积.
(3)解：当P, Q, R, S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面 积是原正方形ABCD 面积的一半.
理由：设原正方形ABCD 的边长为a.
当 PS 2=|a 2 时，在 /?rAAPS 中，AS=a-SD = a-AP. 由勾股定理，得 AS 2+AP 2 = PS 2, g|J(a-AP)2+AP 2=|a 2
, 解得AP=|a.同理可得BQ=CR=SD=；a.
..?当P, Q, R, S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的 面积为原正方形面积的一半.
专训4
1. 解：(1)Z\AED 竺△CEB 。
证明：..?四边形ABCD 是矩形,
由折叠的性质，
矢口 BC=B'C, ZB=ZB\ .??B'C = DA, ZB A =ZD.
a
n,
<
ZDEA=ZB ,EC,
< ZD=ZB\ 、DA=BC, 「?△AEDWCEB'.
(2)如图，延长HP 交AB 于点M,则PM1AB. VZ1 = Z2, PG±AB\ A PM = PG.
?「CD 〃AB, /. Z2=Z3, AZ1 = Z3, ?.?AE = CE = 8 — 3 = 5. 在 ^AADE 中，DE=3, AE=5, AAD=^52-32=4. ?「PH + PM = AD, .??PG + PH = AD=4. 2. 证明：(1)?「DE 〃AC, CE 〃BD, .??四边形OCED 是平行四边形. ..?四边形ABCD 是菱形，「.ACJLBD.
A
:.ZDOC = 90°.A四边形OCED是矩形.
⑵..?四边形ABCD是菱形，
???BC = CD.
..?四边形OCED是矩形，.?.OE=CD,
???OE = BC.
（第3题）
3.（1）证明：如图，过点B作BHJLFP交FP的延长线于点H.VBD1AC, PF±AC, BH±PF,..?四边形BDFH 是矩形.ABD = HF. V AB = AC, A ZABC = /C.?.?PEJLAB, PF1AC, A ZPEB = ZPFC = 90°. A ZEPB = ZFPC.又2
HPB=ZFPC, AZEPB=ZHPB.VPE±AB, PH±BH, A ZPEB= ZPHB = 90°.
又?「PB = PB, AAPEB^APHB.
A PE = PH, .??BD = HF = PF+PH = PF+PE.即BD = PE+PF.
(2)解：不成立，此时PE=BD + PF.
:B作BH±PF交PF的延长线于点H.与（1）同理可得PE=PH, BD
T + FP = BD+PF.
4.(1)证明：连接AC,如图.?「BD是菱形ABCD的对角线,
ABD是线段AC的垂直平分线，
???AE = EC.
(2)解：点F是线段BC的中点.
理由：..?四边形ABCD是菱形，
???AB = CB.
又VZABC = 60°,
「?△ABC是等边三角形，
AZBAC = 60°.
?「AE = EC,
AZEAC=ZACE.
VZCEF = 60°,
AZEAC = 30o,
A ZEAC=ZEAB.
?.?AF是AABC的角平分线.
???BF = CF.
..?点F是线段BC的中点.
5.(1)证明：在ADFC 中，ZDFC = 90°, ZC = 30°, DC = 2t,
???DF=t，又?「AE=t, .??AE=DF.
(2)解：能.理由如下:VAB1BC, DF1BC, .?.AE〃DF.
又..?AE=DF,..?四边形AEFD为平行四边形.
在/?rAABC 中，设AB = x,则由ZC = 30°,得AC = 2x,
由勾股定理，得AB2 + BC2=AC2,即X2+(5V3)2=4X2,解得x = 5(负根舍去), ???AB = 5.
???AC=2AB=10.
???AD=AC —DC=10 —2t.
由己知得点D从点C运动到点A的时间为10-2 = 5(5),点E从点A运动到点B的时间为5+l=5(s).
若使MEFD为菱形，则需AE=AD,艮Pt=10~2t,解得t=￥.符合题意.
故当t=^s时，四边形AEFD为菱形.
(3)解：①当匕EDF = 90。时，四边形EBFD为矩形.
在RrZXAED 中，ZADE=ZC = 30°,
?.?AD=2AE,艮P 10-2t=2t,解得t=：.符合题意.
%1当ZDEF = 90°时，
由(2)知EF//AD,
AZADE=ZDEF=90°.
VZA=90°-ZC = 60°,
AZAED = 30°.
?.?AE=2AD,艮P t=2(10-2t),解得t=4.符合题意.
%1当ZEFD = 90°时，ADEF不存在.
综上所述，当t=? s或4s 口寸，ADEF为直角三角形.
6.(1)C
(2)①证明:VAF^DFS
.??四边形AFF'D是平行四边形.
S MBCD=AD ■ AE =15, AD = 5,
???AE=3.
?.?AE=3, EF=4, ZE=90°,
??? AF=^/AE2+EF2=^32+42=5.
?「AD = 5, .??AD = AF,
.??四边形AFF'D是菱形.
②解：如图，连接AF, DF,
在RfZXAEF'中，AE=3, EF'=EF+FF'=4+5=9,
..?由勾股定理可得
在/?/ADFE,中，FE'=EE'—EF=5—4=1,
DE'=AE = 3,
..?由勾股定理得DF=V10,
.??四边形AFFD的两条对角线的长分别是3何和而.
（第6题）
7.解：线段AF, BF, EF三者之间的数量关系是AF = BF+EF,理由如下: ..?四边形ABCD是正方形，
?.?AB=AD, ZDAB=ZABC = 90°.
AZDAE+ZBAF = 90o.
VDE±AGTE, BF〃DE 交AG 于F,
?.? Z AFB =匕DEF =匕AED = 90。，
.?.ZADE+ZDAE=90°,
AZADE=ZBAF.
在中，
VBAF=ZADE,
< ZAFB=ZDEA,
、AB = DA,
「.△ABF 竺ZkDAE.
???BF=AE.
VAF=AE+EF,「?AF = BF + EF.
8.证明：（l）?.?CD = CE=DE=2cs, AZCDE=60°.
乂???四边形ABCD和四边形EHGF是矩形, AZADC=ZGDE=90°,
AD=GD, AZADE=ZGDC=150°.在AAED 和AGCD 中，5
ZADE=ZGDC,
、DE=DC,
「?△AED 竺ZXGCD.
(2)Va=45°,
AZNCE=ZNEC=45°,
AZCNE = 90°, CN=NE,
AZHND = 90°.
?.? ZH= ZD= ZHND = 90°,
.??四边形MHND是矩形.
又?「CD = HE, CN=NE, AHN=ND.
.??四边形MHND是正方形.