第十七章 多元函数微分学习题课
一 疑难问题与注意事项
1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义：
1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0
()
lim
0o ρρρ
→=；
2）00000
[(,)(,)]
lim
0x y z f x y x f x y y ρρ
→?-?+?=；
3）,
y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()()
()()
,0,0,0,0lim
lim 0x y x y αβ??→??→=
=．
2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结：
答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）：
0000000
(,)(,)
(,)lim
x x f x x y f x y f x y x
?→+?-=?，
0000000
(,)(,)
(,)lim
y y f x y y f x y f x y y
?→+?-=?.
2）转化为一元函数的导数：
()0
000,(,)x x x
df x y f x y dx ==，()
000,(,)y y y df x y f x y dy ==
.
例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 ()
()211
,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx
====
=.
3）先求偏导函数，在代值，即
()0
00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0
00(,)
(,)(,)y y x y f x y f x y =.
3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结：
答 1）求
z
x
??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导.
2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出
z x ??，只要在z
x
??把x 换成y ， y 换成x ，
就得到
z y
??. 3）类似一元函数的求导法则：
()()f f x x ??'=??W W W ；()uv u v v u x x x ???=+???；2u u v v u v x x x v ?????- ?????=?；2
1v
v x x v ??
??- ????=?.
4）利用微分的形式不变性和微分四则运算法则先求出全微分，然后得到偏导数. 微分的形式不变性:设(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ?ψ===有连续偏导数，无论,u v 是中间变量还是自变量都有u v dz z du z dv =+，这个结论对于一元函数，三元等其它的多元函数也成立．
微分四则运算法则：设以下所设函数都可微
()()2
,()(),(),(),()df f d d cu cd u d u v du dv u vdu udv d uv vdu udv d v v '==±=±-=+=
W W W .
5）利用复合函数求导的链式法则.
（1）设函数()u t ?=，()v t ψ=在点t 处可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数[(),()]z f t t ?ψ=在点t 处可导，并且有
d d d d d d z z u z v
t u t v t
??=+
?? 函数结构图是
u t
z
v t
从函数结构图中可以看到：一方面，从z 引出两个箭头指向中间变量u 、v ，表示z 是u 、v 的函数，同理u 和v 都是t 的函数；另一方面，由z 出发通过中间变量到达t 的链有两条，这表示z 对t 的导数是两项之和，而每条链由两个箭头组成，表示每项由两个导数相乘而得，
例如z u t 表示d d z u u t ??，z v t 表示d d z v v t
??，因此d d d d d d z z u z v
t u t v t ??=+??． 注意这里u 和v 都是t 的一元函数，u ，v 对t 的导数用记号d d u t ，d d v
t
表示，z 是u ，
v 的二元函数，其对应的导数是偏导数，用记号z u ??，z
v ??表示，函数经过复合之后，最终z
是t 的一元函数，故z 对t 的导数用记号d d z t 表示，称d d z
t
为全导数，公式（1）称为全导
数公式．
（2）若(,)u x y ?=，(,)v x y ψ=在点(,)x y 处都存在偏导数，(,)z f u v =在对应点
(,)u v 处可微，则复合函数[(,),(,)]z f x y x y ?ψ=在点(,)x y 处存在偏导数，且有
z z u z v x u x v x ?????=+
?????，z z u z v
y u y v y
?????=+????? ． 函数结构图为
x
u z
y
x
v y
我们可以借助函数结构图，直接写出公式（3）和（4），例如z 到x 的链有两条，即z
x
??为两项之和，z u x 表示z u u x ????，z v x 表示z v v x ????，因此z z u z v
x u x v x
?????=+
?????． （3）设函数()u x ?=在点x 处可导，(,)v x y ψ=在点(,)x y 处存在偏导数，而
(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，
则复合函数[(),(,)]z f x x y ?ψ=在点(,)x y 处存在偏导数，且有
d d z z u z v
x u x v x
????=+
????，
z z v y v y
???=???． 函数结构图为 u x z x v y
（4）设(,,)z f u x y =具有连续偏导数，而(,)u x y ?=具有偏导数，则复合函数
[(,),,]z f x y x y ?=在点(,)x y 处存在偏导数，且有
z f u f x u x x
????=+????，
z f u f y u y y
????=+????． 函数结构图为 x u y z x x y y
注：为了避免混淆，公式右端的z 换成了f ，要注意
z x ??和f x ??是不同的，f x
??是把(,,)f u x y 中的u 及y 看成不变而对x 求偏导数，
z
x
??是把复合函数[(,),,]z f x y x y ?=中的y 看成不变而对x 求偏导数．
注 复合函数求偏导数过程中必须搞清楚几点：
1）搞清楚函数的复合关系．自变量是哪几个？中间变量是哪几个？正确的设置中间变量可以使函数的复合结构更加清晰，也可以画出函数的复合关系图，更加直观地表示复合关系．求复合函数的偏导数时可根据复合关系图运用“连线相乘，分线相加”的方法写出相应的公式，避免漏项．也就是在关系图中函数到达自变量的路线有几条，偏导数就由几项相加而成，而每一项有由一条路线中各连线的偏导数相乘得到．
2）要注意若是偏导数用
x ??表示，若是一元函数的导数用d dx
表示． 3）求复合函数的高阶偏导数，是按指定的顺序先求一阶偏导数再求二阶偏导数．但是
要注意一阶偏导数仍然是以原自变量为自变量，以原中间变量为中间变量的复合函数．
4）利用某个变换=x ),(),,(t s y t s ψφ=，将一个含有2222,,,,,y
u
x u y u x u y x ????????等的微分
式子（或方程）变换成含有2222,,,,
,t
u
s u t u s u t s ????????等的微分式子（或方程）一般只需根据变换，将新变量视为中间变量，原自变量仍为自变量，代入原式计算、整理、化简即可．
4.如何证(,)z f x y =在()00,x y 可微？
答：1）利用可微性定义，（尤其适用于证分段点的可微性） （1）先求偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y ； （2）求
()(
,0,0,,(,)(,)lim
x y f x x y y f x y f x y x f x y y
??→+?+?--?-?，
若极限为0，则(,)z f x y =在()00,x y 可微，否则(,)z f x y =在()00,x y 不可微．
2）证(,)z f x y =在()00,x y 的偏导数连续．（适用于初等函数不含分段点） 5.如何求函数(,)z f x y =的全微分?
答：1）先求偏导数，再求全微分；2）利用微分的形式不变性和微分四则运算法则来做． 6.函数(,)f x y 连续，偏导数存在，可微有什么关系？
答：函数(,)f x y 连续，偏导数存在，可微的关系可用下图表示：
偏导数连续
连续
反例1）证明22
221(sin ()(00)(,) 0 ()(00)x y x y x y f x y x y ?+≠?
+=?
?=?)，，，，，，，，
在点(0,0)处可微，但在点(0,0)处偏导数不连续．
证 20
0(0,0)(0,0)1
(0,0)lim
lim sin 0()
x x x f x f f x x x ?→?→+?-==?=??， 由于函数关于自变量是对称的，则(0,0)0y f =．于是
[(0,0)(0,0)]
lim
x y z f x f y ρρ
→?-?+?
22220(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)]
lim
1
[()()]sin
[()()]
lim x y f x y f f x f y x y x y ρρρρ
→→+?+?--?+?=?+??+?=
22
1
sin
lim
0ρρρρ
→==，
所以函数(,)f x y 在点(0,0)处可微．
当(,)(0,0)x y ≠时，由2
2
22
1
(,)(sin
f x y x y x y
=++)有 222222
121
(,)2sin
cos x x f x y x x y x y x y =-+++，
222222(,)(0,0)
(,)(0,0)121lim
(,)lim 2sin cos x x y x y x f x y x x y x y x y →→??
=
- ?+++??
， 当点(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)时，由于
222(,)(0,0)
0 0
11
lim
2sin
lim 2sin 0x y x y x x x y x
→→===+， 22222(,)(0,0)0 0
2121
lim
cos lim cos x y x y x x y x y x x →→==++不存在，所以(,)(0,0)lim (,)x x y f x y →不存在，即(,)x f x y 在点(0,0)处不连续，同理(,)y f x y 在点(0,0)处也不连续．
反例2 函数
22
()(00)() 0 ()(00)xy
x y x y f x y x y ?≠?+=??=?，，，，，，，，，
在点(0,0)处偏导数存在，但不可微．
证 点(0,0)是函数(,)f x y 的分界点，类似于一元函数，分段函数分界点处的偏导数 要用定义去求．
0(0,0)(0,0)00
(0,0)lim
lim 0x x x f x f f x x
?→?→+?--===??， 又由于函数关于自变量x ，y 是对称的，故(0,0)0y f =．
因为在点(0,0)处有(0,0)0x f =，(0,0)0y f =，所以
3
222
[(0,0)(0,0)]
(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)]
[()()]
x y z f x f y f x y f f x f y x y x y ρ
?-?+?+?+?--?+?=
??=?+?，
如果考虑点(,)x y ??按照y x ?=?的方式趋向于点(0,0)，这时有
233(,)(0,0)0
223
2
2
()lim
lim
[()()]
2()x y x y x
x y x x y x ??→?→?=????==∞?+??，
即0
[(0,0)(0,0)]
lim
x y z f x f y ρρ
→?-?+?不存在，则由可微性定义有(,)f x y 在点(0,0)处不可
微．
反例3 函数
()(00)() 0 ()(00)x y f x y x y ≠==?，，，，，，，，
在点(0,0)处偏导数存在且在点(0,0)处连续，但不可微．
证 点(0,0)是函数(,)f x y 的分界点，类似于一元函数，分段函数分界点处的偏导数 要用定义去求．
0(0,0)(0,0)00
(0,0)lim
lim 0x x x f x f f x x
?→?→+?--===??， 又由于函数关于自变量x ，y 是对称的，故(0,0)0y f =．
()2(,)(0,0)
(,)0cos sin lim (,)lim
lim 00,0x y x y r r f x y f r θθ
→→→=
===
即在点(0,0)处连续．
因为在点(0,0)处有(0,0)0x f =，(0,0)0y f =，所以
22
[(0,0)(0,0)]
(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)]
()()
x y z f x f y f x y f f x f y x y
x y ρ
?-?+?+?+?--?+?=
??=
?+?，
如果考虑点(,)x y ??按照y x ?=?的方式趋向于点(0,0)，这时有
()2
222222(,)(0,0)0 lim lim ()()()()1x y x y k x
k x x y k
x y x k x k ??→?→?=????==?+??+?+，因极限值与k 有关，因此 0
[(0,0)(0,0)]
lim
x y z f x f y ρρ
→?-?+?不存在，则由可微性定义有(,)f x y 在点(0,0)处不可
微．
反例4 二元函数
22
()(00)() 0 ()(00)xy
x y x y f x y x y ?≠?+=??=?，，，，，，，，，
在点(0,0)处的偏导数存在，但不连续因而不可微．
证 当点(,)x y 沿着直线y
kx =趋于(0,0)时，有
2222222(,)(0,0) 0 lim lim 1x y x y kx
xy kx k
x y x k x k →→===+++． 其值因k 而异，这与极限定义中当(,)P x y 以任何方式趋于000(,)P x y 时，函数(,)f x y 都
无限接近于同一个常数A 的要求相违背，因此当(,)(0,0)x y →时，22
(,)xy
f x y x y
=+的极限不存在．则()f x y ，在点(0,0)处不连续． 注 当函数()f x y ，不连续，则()f x y ，不可微． 反例5
函数(,)f x y =(0,0)处连续，但偏导数不存在．
证 因为
(,)f x y =
2R 是一个区域，而
2(0,0)R ∈，因此(,f x (0,0)处连续．
但0
0(0,0)(0,0)
(0,0)lim
lim x x x x f x f f x
x ?→?→?+?-==??不存在．由函数关于自变量的对称性知，(0,0)y f 也不存在．
注 当偏导数不存在，显然不可微．
7．证明()f x y ，在()00,x y 不可微的方法： 答 1）当偏导数有一个不存在，则函数不可微； 2）当函数()f x y ，不连续，则()f x y ，不可微； 3）
()(
,0,0,,(,)(,)lim
x y f x x y y f x y f x y x f x y y
??→+?+?--?-?或存在不为0．
8．1）可微与方向导数有什么关系？ 2）连续与方向导数有什么关系？ 3）偏导数与方向导数有什么关系？
答 1）可微是方向导数存在的充分条件不是必要条件；
反例 二元函数(),f x y
=()0,0处的两个偏导数不存在，当然不可微，但函数(),f x y 在点()0,0处沿任意射线l 的方向导数都存在.
设在点()0,0处沿任意射线l 的方向余弦是()cos ,cos αβ，在射线l 上任取一点(),x y
()cos ,cos ραρβ=，其中ρ是点(),x y 到原点()0,0的距离.根据方向导数的定义，有
()()00cos ,cos 0,0lim lim 1f f f l ρρραρβρρ
ρ++→→-?===?，
即在点()0,0处沿任意射线l 的方向导数都是1.
2）连续不是方向导数存在的充分条件也不是必要条件.
反例 设()21,0
,0,y x x f x y ?<<-∞<<∞=??
，其余部分
这个函数在原点不连续（当然也不可微），但在任何始于原点的任何射线上，都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上f 的函数值恒为零.于是由方向导数定义，在原点处沿任何方向l 都有
()
0,00f
l
?=
?.
反例 ()(00)() 0 ()(00)x y f x y x y ≠=?=?，，，，，，，，
在点(0,0)处连续，但函数在此点沿任何方向的方向导数不存在.
证 设在点()0,0处沿任意射线l 的方向余弦是()cos ,cos αβ，在射线l 上任取一点(),x y
()cos ,cos ραρβ=，其中ρ是点(),x y 到原点()0,0的距离.根据方向导数的定义，有
()()001
sin cos ,cos 0,0lim lim f f f
l ρρρραρβρ
ρ
ρ
++
→→-?==?
不存在.
3）当函数
(,)f x y 在点000(,)P x y 沿任何方向的方向导数存在时，(,)f x y 在点
000(,)P x y 的偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 不一定存在.例如二元函数(
),f x y 在点()0,0处的两个偏导数不存在，当然不可微，但函数(
),f x y 在点()0,0处沿任意射线l 的方向导数都存在.
当函数
(,)f x y 在点000(,)P x y 的偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在时，则函数
(,)f x y 在点0P 处沿着x 轴正向，y 轴正向的方向导数都存在，且其值依次为00(,)x f x y ，00(,)y f x y ，函数(,)f x y 在点0P 处沿着x 轴负向，y 轴负向的方向导数也都存在，且其
值依次为00(,)x f x y -，00(,)y f x y -．但函数在此点沿任何方向（除去x 轴，y 轴）的方向导数不一定存在.
反例(),00,
,1,x y x y f x y +==?=?
?或其它点
有()()0,00,01x y f f ==，但函数f 在此点沿任
何方向（除去x 轴，y 轴）的方向导数不存在.
反例()0,0,
,1,0
xy f x y xy =?=?
≠?有()()0,00,00x y f f ==，但函数f 在此点沿任何方向（除
去x 轴，y 轴）的方向导数不存在.
9.混合偏导数2z x y ???，2z
y x
???一定相等吗？
答 不一定，反例函数
()222
222
22,0,, 0, 0.x y xy x y f x y x y x y ?-+≠?=+??+=?
它的一阶偏导数为（对分段点用偏导数定义，对其它点直接求偏导，对x 求偏导，把y 看作常数 0
(0,0)(0,0)
(0,0)lim
0x x f x f f x
?→+?-==?，
(0,0)(0,0)
(0,0)lim
0y y f y f f y
?→+?-==?，
()()()4224222
2222
4,0,, 0, 0,x y x x y y x y f x y x y x y ?+-?+≠?=?+?+=?? ()()()4224222
2222
4,0,, 0,0,
y x x x y y x y f x y x y x y ?--?+≠?=?+?+=?? 进而求f 在()0,0处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数，得
()()(),1lim 0,0,0lim
0,000
-=??-=?-?=→?→?y y
y
f y f f y x x y xy ()()()
1lim
0,00,lim
0,000
=??=?-?=→?→?x
x
x
f x f f x y y x yx ．
由此看到，这里的()y x f ,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关. 注：若()()y x f y x f yx xy ,.,.和都在点连续，则()()0000,,y x f y x f yx xy =.
10.若),(y x f z =在点),(000y x P 处满足0000(,)(,)0x y f x y f x y ==，则点),(000y x P 为),(y x f z =的极值点对吗？反之，若),(000y x P 为),(y x f z =的极值点，则必有
0000(,)(,)0x y f x y f x y ==，对吗？
答：不对，偏导数存在的函数的极值点必定是稳定点，但反过来，稳定点未必是极值点．如函数(,)h x y xy =
，显然有(0,0)0x h =，(0,0)0y h =，即点(0,0)为稳定点，但
点(0,0)
却不是极值点．函数
(,)f x y =在在点(0,0)处的偏导数不存在，即
(0,0)点不是稳定点，但该函数在点(0,0)处有极小值．
二 典型例题
1.求下列函数在某一点的偏导数： 1
）2
(,)(1)arcsin
f x y x y =+-(1,1)x f ； 2）z
x u y ??
= ???
，求(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)x y z u u u ；
3）()0,0
,1,0
xy f x y xy =?=?
≠?，求(0,0)x f ，(0,0)y f ．
解 1）()2
1
1,1(1,1)2x x x df x dx f dx dx
====
=．
2）先求偏导函数1
z x z x u y y -??
= ?
??
，1
2z y xz x u y y -??
=- ?
??，ln z
z x x
u y y ??= ???
，因此
(1,1,1)1,(1,1,1)1,(1,1,1)0x y z u u u ==-=．
3）0
(0,0)(0,0)
(0,0)lim
0x x f x f f x
?→+?-==?，
(0,0)(0,0)
(0,0)lim
0y y f y f f y
?→+?-==?，或用轮换性(0,0)0y f =．
注 (),f x y 在点(0,0)不连续，不可微． 因为沿x 轴()0y =，有()00
lim ,0x y f x y →==，
沿直线y x =，有
()()
()(),0,00
lim
,lim ,1x y x y x
f x y f x x →→===，
即函数(),f x y 在点(0,0)不存在极限，从而不连续，于是(),f x y 在点(0,0)也不可微． 2.求偏导数．
1）设(0,0)y
x
z x y x y =+>>，求
z x ??，z
y
??； 2）设arctan
x z y =，求z x ??，z y
??； 3
）设z =
z x ??，z
y
??； 4）设22
t
z u v e =+，sin u t =，cos v t =，求
d d z t
； 5）设函数x z f y ??= ???
，其中f 可微，求z z
x y x y ??+??； 6）设(,)y
z f xy x
=，其中
f 具有连续偏导数，求z z y y
????，．
解 1)
1ln y x z
yx y y x
-?=+?（把y 看作常数，对x 求导）． 由轮换性，
1ln x y z
xy x x y
-?=+?．
2）利用
()()f f x x
??'=??W W W ，
2
2211z y y x
x y x y ?==
?+??+ ???
，2
2
22
1x z
x
y y
x y x y -
?-=
=
?+??+ ???
．
3）利用2u u v v u v x x x v
??
???- ?????=?，
()
3
32
22
z y x
x
y
?==
?+，
利用轮换性有()
3
32
22
z
x y
x
y
?=
?+．
4）函数的结构图为
u t
z v t
t t 于是
d d d dt
d d d d z z u z v z t u t v t t t
???=++
??? 2
2
2cos 2(sin )1t
uv t u v t e =?+?-+?
332sin cos 2sin cos 1
sin 4.2
t
t t t t t e t e =-+=+
5）令x
u y
=
，则()z f u =，其函数的结构图为 x z u y 于是
22d 11
()()d d ()()d z z u x f u f x u x y y y
z z u x x x f u f y u y y y y ??''===??????''==-=- ?????，，
()()0z z x x x x
x
y f f x y y y y y
??''+=-=??． 6）引进中间变量，函数可看作如下的复合函数(,),z f u v =,y u xy v x
==
而由函数结构图
x
u z
y
x
v y 可得
2()u v z f u f v y f y f x x u x v x
?????=+=?+?-?????，
1u v
f u f v z f x f y x
u y v y ?????=+=?+??????．
为了避免引进中间变量的麻烦，通常用记号1f 表示对第一个中间变量的偏导数，即
1u f f =，而用2f 表示对第二个中间变量的偏导数，即2v f f =，同样引用记号12uv f f =,2122,vu vv f f f f ==等等，引用这些记号，直接对未引进中间变量的函数
),(x
y
xy f z =求偏导数，就有
122()y z f y f x x ?=?+-?,12
1z f x f y
x ?=?+??．
3.设(,)z f x y xy =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求z
x ??，2z x y
???．
解 令u x y =+，v xy =，则(,)z
f u v =，于是
u v z f u f v f yf x u x v x
?????=+=+?????， 再求二阶偏导数时注意到u f 及v f 仍是u ，v 的函数，而u ，v 是x ，y 的函数，且函
数结构图为
x x u u
u f
y x v f y x
v v
y y 应用多元复合函数的求导法则得
2() ()()()() ()()u v u v u v v u u v
z z f yf x y y x y
f yf f f y f y y y y u v f f f u
y v y ????
??==+ ????????????
=+=++??????
????=++ ???????
()()(1)()() .
v v uu uv v vu vv uu uv vv v u v y f f u
y v y f f x f y f f x f x y f xyf f ??
????++ ?
??????=?+?+++?=++++ 这里因为
f 具有二阶连续偏导数，故有uv vu f f =，因此可以合并()uv vu uv xf yf x y f +=+． 为方便起见，有时用自然数1，2的顺序分别表示函数(,)f u v 中的两个中间变量u ，
v ，这样f u ??，f
v ??，2f u v ???，22f u
??和22f v ??分别用1f ，2f ，12f ，11f 和22f 来表示，则有
12z
f yf x
?=+?， 212122()()()????
=+=++?????z f yf f f y f x y y y y
1112221221112222()().
=++++=++++f xf f y f xf f x y f xyf f
4.已知),(y x x f z =，其中f 对各变量具有一阶、二阶偏导数，求.,,22222y
z
y x z x z ???????
解
,)(,1222221f y
x
y x f y z f y f x z -=-?=??+=?? )1(2122f y f x x z +??=??11122122111()()f f f f y y y =+?++,1
11222211211f y
f y f y f +++= ,1223221222f y x f y f y x y x z ?-?-?-=???.22242
2322f y
x f y x y z +?=??
注 试讨论下面做法是否正确
（1）2111221
f y f x
z +=??
上面把21,f f 看成仅仅是x 的函数，显然是错误的，因为21,f f 是1(,)x
f x y ，2(,)x f x y
． 求二阶偏导数时应该再用复合函数求导法则．
（2）.1
2111222
121122*********f y
f y f f y f y f y f x f ++=+++=?? 上式是错误的．因为只有在二阶混合偏导数连续的条件下，才可以交换次序． 5.设,
x y z f xy g y x ????=+ ? ???
??，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求2z
x y
???． 解
1221z y y yf f g x y x x ???'=+- ????
， 2111122212222223111z x x y y y f y xf f f xf f g g x y y y y y x
x x x ?????????'''=+--+--- ? ? ? ??????????? 由f 具有二阶连续偏导数，则1221=f f ，则
2121122232311=z x y y y f f xyf f g g x y y y x x x x ?????
'''-+--- ? ???????
． 6.已知22
2
2220u u u u x y x y x y x y
????+++=????，利用变换t
s e y e x ==,化简原方程． 解 t
s e y e x ==,即.ln ,ln y t x s ==把,s t 看作中间变量，,s t 是,x y 的函数，故
,1s
u
x x t t u x s s u x u ??=?????+?????=?? 1,u u s u t u y s y t y y t
??????=?+?=?????? 22221111u u u u u s u t x x s x x s x s x s s x t s x ?????????????
??????=-+=-++ ? ? ??????????????????????
2222
11u u x s x s ??=-+??
.1122222
2t
u
x t u y y u ??+??-=?? 代入所给方程，得.02222=??+??t
u
s u
7．设函数arctan
x
z y
=， 1）求dz ，求z x ??，z y
??． 2）()
1,1dz
．
3）求arctan
x z y =在1,1,4π??
??
?的切平面与法线．
解 1）法1：根据()()df f d '=W W W
，得 22222
1
111x ydx xdy ydx xdy dz d y y x y x x y y ??--=
== ?+????
??++ ? ?????
， 因此
22z y x x y ?=?+，22
z x
y x y ?-=?+． 法2：
2
22
11z y y x
x y x y ?==
?+??+ ???
，2
2
22
1x
z
x
y y
x y
x y -
?-==
?+??+ ???
，22ydx xdy dz x y -=+． 2）
()1,112z x ?=?，
()
1,112z
y ?=-?，()1,11122dz dx dy =-． 3）切平面()()11114
22z x y π
-
=
---，法线11411122
z x y π
-
--==--
． 8．设(,,)u f x y t =，(,)x s t ?=，(,)y s t ψ=，利用全微分形式的不变性，求
u
s
??，u t
??． 解 由全微分形式的不变性，有
d d d d f f f
u x y t x y t
???=
++???， 又因为
d d d x s t s t ????=
+??，d d d y s t s t
ψψ??=+??， 所以
d d d d d d +d d .f f f u s t s t t x s t y s t t
f f f f f s t x s y s x t y t t ??ψψ?ψ?ψ???????????=
++++ ?
?????????????????????????=+++ ?
?????????????
?
从而
+u f f s x s y s ?ψ
?????=?????， u f f f t x t y t t
?ψ??????=++??????． 9.证明：若二元函数f 在点()00,x y 的某邻域()U P 的偏导数x f 与y f 有界，则f 在
()U P 连续．
证 因为0000(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-
00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+?+?-+?++?- 010002(,)(,)x y f x x y y x f x y y y θθ=+?+??++??
又因为x f 与y f 有界，因此
()()
,0,0lim
0x y z ??→?=，因此f 在()U P 连续．
10．设二元函数f 在区域[][],,D a b c d =?上连续，若在int D 内有0x y f f =≡，则f 在D 上有何特性．
解 因为()()
()()()().,,,0000,0y y x f x x y f y x f y x f y x -+-=-ηξ
又因为在int D 内有0x y f f =≡，则有()()
0,0,f x y f x y ≡，即f 在D 上为常值函数． 11．求函数23u xy yz =+在点0(2,1,1)P -处的梯度及沿方向22-=+l i j k 的方向导
数．
解 因为
2u y x ?=?，32u
xy z y
?=+?，23u yz z ?=?，
于是
(2,1,1)1u x -?=?，(2,1,1)3u y -?=-?，(2,1,1)
3u
z -?=-?，
所以(2,1,1)
33u -=--grad i j k ．
又因为22-=+l
i j k 的单位向量为0221
333
=
=+-l l i j k l ，所以 0(2,1,1)(2,1,1)
2
211(33)3333f
u l
--???=?=--?+-=- ????grad l i j k i j k ．
12．求函数2y z xe =在点0(1,0)P 处沿着从点0(1,0)P 到点(2,1)P -的方向的方向导
数．
解 这里方向l 即向量{
}01,1P P =-u u u r
的方向，因此l 的方向余弦为
cos α==
cos β=
= 又因为
2y z e x ?=?，22y z
xe y ?=?，于是(1,0)1z x ?=?，
(1,0)2z y ?=?， 所以
(1,0)
(1,0)(1,0)cos cos 122z z z l
x y αβ????=
+=+?=- ????
． 13．求函数
33(,)3f x y xy x y =--的极值．
解 先解方程组
2
2
(,)330(,)330x y f x y y x f x y x y ?=-=??=-=??，
，
求得驻点为(0,0)和(1,1)．
再求函数
33(,)3f x y xy x y =--的二阶偏导数：
(,)6xx f x y x =-，(,)3xy f x y =，(,)6yy f x y y =-，
在点(0,0)处，0A =，3B =，0C =，290A B
AC B B C
?=
=-=-<， 所以，函数在点(0,0)处没有极值．
在点(1,1)处，6A =-，3B =，6C =-，2270A B
AC B B C
?=
=-=>， 所以，函数在点(1,1)处有极值，且由60A =-<知，函数在点(1,1)处有极大值(1,1)1f =．
14．求223(,)332f x y x y x =+-在区域22{(,)2}D x y x y =+≤上的最大值与最
小值．
解 解方程组2
(,)660(,)60x y f x y x x f x y y ?=-=??==??，
，
得驻点(0,0)与(1,0)，两驻点在D 的内部，且
(0,0)0f =，(1,0)1f =．
下面求函数223(,)332f x y x y x =+-在边界222x y +=上的最大值与最小值．由
方程2
22x
y +=
解出222(y x x =-≤≤，代入(,)f x y 可得
3()62g x x =-
，x ≤≤
因为2
()60g x x
'=-≤，于是3()62g x x =-
在??上单调减少，所以()g x
在
x =0y =）
处有最大值(6g =+()g x
在x =0y =）
处有最小值6g =-，即(,)f x y
在边界上有最大值(6f =+，
最小值
6f =-
将
(,)f x y 在D 内驻点处的函数值及边界上的最大值与最小值比较，得(,)f x y 在区
域D
上的最大值为(6f =+(0,0)0f =．
第七章多元函数的微分学 一、多元函数微分学网络图 二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。
4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件， 了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值， 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法 （1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则 注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。 （3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零， 而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而 由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法 （1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。
注意： 与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限， 我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。 例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是 由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在， 但二重极限存在，但我们有下面的结论。 定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。 （2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数
第十七章 多元函数微分学习题课 一 疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结： 答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结： 答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为
6 ．函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全 第五部分 多元函数微分学( 1) (x,y) (0,0) 在点 (0,0)处 ( ) (x,y) (0,0) xuv 3．设函数 u u(x, y), v v(x, y) 由方程组 2 2 确定，则当 u y u 2 v 2 4．设 f (x, y)是一二元函数， (x 0,y 0) 是其定义域的一点， 则下列命题中一定正确的是 ( ) (A) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 连续，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)可导。 (B) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)连续。 (C) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)可微。 (D) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 可微，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)连续。 答：D 3 x 2 y 2 z 2 在点 (1, 1,2) 处的梯度是 ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 (A) ( , , ) (B) 2( , , ) (C) ( , , ) (D) 3 3 3 3 3 3 9 9 9 答：A [ 选择题 ] x 3y 2z 1 0 1 ．设有直线 及平面 2x y 10z 3 0 容易题 1— 36，中等题 37—87，难题 88— 99。 。 (C) 垂直于 4x 2y z 2 0 ，则直线 L ( ) (A) 平行于 。 (B) 在上 答：C (D) 与 斜交。 (A) 连续，偏导数存在 (B) (C) 不连续，偏导数存在 (D) 答：C 连续，偏导数不存在 不连续，偏导数不存在 (A) x (B) v (C) u (D) uv uv uv 答：B y uv 2．二元函数 f (x,y) xy , 2 2 , xy 0, 5．函数 f(x,y,z) x ( )
多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
第五章多元函数微分学习题 练习5.1 1.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(422 2 椭圆抛物面z y x =+ (2) 圆锥面）(4222z y x =+ (3) 椭球面）(19 164222=++z y x (4) 圆柱面）(12 2=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --= 解：?? ?≥-≥0 y x y 即?? ? ??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{ }y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),( (2) z =解：0≥-y x {}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为 3. ()y x f ,对于函数= y x y x +-,证明不存在),(lim 0y x f x → 分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所 得极限值不同即可。 证明： ①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时， (,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→=== ②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k k f x y f x y k x kx k k →→---= ==≠≠+++
综合①②可知函数极限不存在，证毕。 练习5.2 1.求下列函数的偏导数 ①;,,33y z x z xy y x z ????-=求 解： 23323,3xy x y z y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(y z x z xy z ????=求 解：[]1 211ln() 2z xy y x xy -?=??=? []1 211ln() 2z xy x y xy - ?=??=? ③222ln(),,z z z x x y x x y ??=+???求 解： 1ln()z x y x x x y ?=++??+ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x z x x z ++= +-+++=+++??=????=?? 222 1()(ln())()()z z x x y x y x y y x y x y x y x y x y ????==++=-=?????++++ ④;,3z y x u e u xyz ????=求 解；2 2,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y ??==+=+??? 3222()(())(12)()xyz xyz xyz u u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z ????==+=+++???????
第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及 偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.
3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,
不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:
Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证
习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。
. 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ）
. 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题：
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。
多元函数微分学复习题及答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22 y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =， 2222 2 lim lim 0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）- 14 （B ）14 （C ）-12 （D ）1 2
第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>， 椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数， 记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数 值，函数值的集合称为值域。 多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式 的一切点(,)P x y D ?，都有
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
多元函数微分学复习题 及答案 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????110 00，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
第十七章多元函数微分学 教学目的： 1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系； 2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18 学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2 ．全微分: 例 1 考查函数在点处的可微性. P107 例 1 二. 偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17 —1.
3.求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P109 —110 例 2 , 3 , 4 . 例 5 . 求偏导数. 例 6 . 求偏导数. 例7 . 求偏导数, 并求. 例8 . 求和. =. 例9 证明函数在点连续, 并求和. . 在点连续.
三. 可微条件 : 1. 必要条件 : Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可微 和 存在 , 且 . （ 证 ） 由于 , 微分记为 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法 例 10 考查函数 2. 充分条件 : 不存在 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分 . 在原点的可微性 [1]P110 例 5 .
Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在 点处连续. 则函数在点可微. （证） P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 则函数在点可微. . 即在点可微. 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件. 验证函数在点可微, 但和在点处不连续. （简证, 留为作业） 证