平面向量基本定理
[学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
知识点一 平面向量基本定理
(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →
，
a .
答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →
＝4e 1－4e 2， GH →
＝－2e 1＋5e 2，HG →
＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1.
知识点二 两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角．
①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．
(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .
思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC →
的夹角为60°； ②AB →与CA →
的夹角为120°； ③BA →与CA →
的夹角为60°； ④AB →与BA →
的夹角为180°.
题型一 对向量的基底认识
例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝
λ(λ2e 1＋μ2e 2)；
④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③
解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)
答案 ①②④
解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2 ＝－2(e 1－2e 2)，
∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量
例2 如图所示，已知?ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →
＝b ，试以a 、
b 为基底表示DE →、BF →
.
解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →，
∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →
＝－12AB →＝－12a .
∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －1
2b ，
BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →
＝b －12
a .
跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →
＝
b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →
.
解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →
＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；
AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →
＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13
b ；
AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →
＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .
题型三 向量夹角问题
例3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.
解 如图，作OA →＝a ，OB →
＝b ，且∠AOB ＝60°， 以OA 、OB 为邻边作?OACB ， 则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →
＝a －b ， BC →＝OA →
＝a .
因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形， 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ， 即a －b 与a 的夹角β＝60°.
因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.
跟踪训练3 若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．
解 由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a 、b 为邻边的平行四边形两条对角线．
如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴∠BOA ＝60°.
又∵OC →
＝a ＋b ，且在菱形OACB 中， 对角线OC 平分∠BOA ， ∴a 与a ＋b 的夹角是30°. 题型四 平面向量基本定理的应用
例4 如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →
＝b ，点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 上靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →
. 解 OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →
)＝13a ＋23b ，
因为OP →与OM →共线，故可设OP →＝tOM →＝t 3a ＋2t
3b .
又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB →
＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝3
4(1－s )a ＋s b ， 所以?????
341－s ＝t
3
，
s ＝2
3t ，
解得?????
t ＝910，s ＝3
5.
所以OP →＝3
10a ＋35
b .
跟踪训练4 如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12
NC →
，BN 与CM 相交于E ，设
AB →
＝a ，AC →＝b ，试用基底a ，b 表示向量AE →
.
解 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝1
2
a ，
由N ，E ，B 三点共线，设存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋(1－m )AB →＝1
3m b ＋(1－m )a .
由C ，E ，M 三点共线，设存在实数n 满足：AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝1
2n a ＋(1－n )b .
所以13m b ＋(1－m )a ＝1
2n a ＋(1－n )b ，
由于a ，b 为基底，所以?????
1－m ＝1
2
n ，1
3m ＝1－n ，解得?????
m ＝35，n ＝4
5，
所以AE →＝25a ＋1
5b .
向量夹角概念不清致误
例5 已知OA →＝2a ，OB →＝2b ，OC →＝－a ＋3b ，求向量BA →与BC →
的夹角．
错解 由已知得，BA →＝OA →－OB →＝2a －2b ，BC →＝OC →－OB →＝(－a ＋3b )－2b ＝－a ＋b ，显然BA →
＝－2BC →，可见BA →与BC →共线，故BA →与BC →
的夹角为0°.
错因分析 两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，当两个向量同向共线时，其夹角为0°，当两个向量反向共线时，其夹角为180°.上面的解答没有注意到这个问题，导致出错．
正解 由已知得，BA →＝OA →－OB →＝2a －2b ，BC →＝OC →－OB →＝(－a ＋3b )－2b ＝－a ＋b .显然BA →＝－2BC →，可见BA →与BC →共线，且是反向共线，故BA →与BC →
的夹角为180°.
1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2
D ．e 1和e 1＋e 2
2．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →
等于( )
A ．a ＋34b a ＋34b
a ＋14
b a ＋14
b
3．在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝30°，则AC →与BA →
的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
4．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________.
5．如图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD →
＝
a ，AB →＝
b ，试用a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →
.
一、选择题
1．下列关于基底的说法正确的是( )
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A ．① B ．② C ．①③ D ．②③ 2．如图所示，矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →
等于( )
(5e 1＋3e 2) (5e 1－3e 2) (3e 2－5e 1)
(5e 2－3e 1)
3．如图，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →
＝b ，用a 、b 表示AG →
等于( )
a ＋14
b
a ＋13
b
a －14
b a ＋34
b
4．设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( )
A ．3
B ．4
C ．－14
D ．－34
5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →
，则3r ＋s 的值为( )
二、填空题
6．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．
7．如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →
＝________(用a 和b 表示)．
8．若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为________．
9．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.
10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，
λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
三、解答题
11．判断下列命题的正误，并说明理由：
(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；
(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、
e 1－e 2表示出来．
12．如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →
的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ、μ∈R )，求λ＋μ的值．
13．已知单位圆O 上的两点A 、B 及单位圆所在平面上的一点P ，OA →与OB →
不共线． (1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →
，求r ＋s 的值； (2)P 满足OP →＝mOA →＋OB →
(m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值．
当堂检测答案
1．答案 B
解析 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，
∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 2．答案 B
解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .
3．答案 D
解析 由向量夹角定义知，AC →、BA →
的夹角为150°. 4．答案 －74m ＋13
8
n
解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，
得?????
2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2
??????
x ＝－7
4，y ＝13
8.
5．解 连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴DC 綊FB .
∴四边形DCBF 为平行四边形． 依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝1
2b ，
BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →
＝a －12
b ，
EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →
＝－(a －12b )－12×12b ＝1
4
b －a .
课时精练答案
一、选择题 1．答案 C
解析 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．
2．答案 A
解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝1
2(5e 1＋3e 2)．
3．答案 D
解析 易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →
.
设CG →＝λCA →
，则由平行四边形法则可得 CG →
＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →
，
由于E ，G 、F 三点共线，则2λ＋2λ＝1， 即λ＝14，从而CG →＝14CA →
，
从而AG →＝34AC →＝3
4(a ＋b )．
4．答案 B
解析 因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2， 所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，
又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以???
??
3x －4y ＋7＝0，
10－y －2x ＝0，
解得???
??
x ＝3，
y ＝4，
故选B. 5．答案 C
解析 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →
， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)
＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45.
∴3r ＋s ＝125－45＝85.
二、填空题
6．答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)
解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．
a ＝e 1＋2e 2，
b ＝2e 1＋λe 2，
由a ≠k b 即得λ≠4.
7．答案 23a ＋1
3b
解析 设AO →＝λAC →
，
则AO →＝λ(AD →＋DC →)＝λ(AD →＋12AB →)＝λAD →＋12λAB →.
因为D ，O ，B 三点共线，所以λ＋12λ＝1，所以λ＝2
3，
所以AO →＝23AD →＋13AB →＝23a ＋1
3b .
8．答案 60°
解析 作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →
＝a －b ，∠AOB 为a 与b 的夹角，由|a |＝|b |＝|a －b |知△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝60°. 9．答案 4
3
解析 设AB →＝a ，AD →
＝b ， 则AE →＝12a ＋b ，AF →
＝a ＋12b ，
又∵AC →
＝a ＋b ，
∴AC →＝23(AE →＋AF →
)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.
10．答案 12
解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →
)＝－16AB →＋23AC →.
所以λ1＋λ2＝1
2.
三、解答题
11．解 (1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立．
(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线矛盾．
所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、
e 1－e 2表示出来．
12．解 如图，以OC 为对角线作?OMCN ，使得M 在直线OA 上，N 在直线OB 上， 则存在λ、μ，使OM →＝λOA →，ON →＝μOB →
， 即OC →＝OM →＋ON →＝λOA →＋μOB →.
在Rt△COM 中，|OC →
|＝23，∠COM ＝30°，∠OCM ＝90°， ∴|OM →|＝4，∴OM →＝4OA →. 又|ON →|＝|MC →|＝2，∴ON →＝2OB →， ∴OC →＝4OA →＋2OB →
，即λ＝4，μ＝2. ∴λ＋μ＝6.
13．解 (1)∵AP →＝2PB →，∴AP →＝23AB →
，
∴AP →＝23(OB →－OA →
)＝23OB →－23OA →，
又∵AP →＝rOB →＋sOA →，
∴r ＝23，∴s ＝－2
3，∴r ＋s 的值为0.
(2)∵四边形OABP 为平行四边形， ∴OB →＝OP →＋OA →， 又∵OP →＝mOA →＋OB →， ∴OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，
依题意OA →、OB →
是非零向量且不共线， ∴m ＋1＝0，解得m ＝－1.
平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为
平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为
2.3.1平面向量基本定理 学习目标： 1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角. 学习重点：平面向量基本定理 学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角. 课上导学： ［基础初探］ 教材整理1平面向量基本定理 阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题. 1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________ 2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一
组基底. 判断(正确的打“，错误的打“X” ) (1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底.() (2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.() (3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( ) 教材整理2两向量的夹角与垂直 阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题. 1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ = B叫做向量a与b的夹角.
平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .
思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一 对向量的基底认识 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)
平面向量的基本定理 各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教B版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析 一、说教材 1.关于教材内容的分析 （1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。 （2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它、也为平面向量坐标表示的学习打下基础。 （3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。 2.关于教学目标的确定 根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。 1、①了解平面向量基本定理及其意义,会做出由一组基地所表示的向量
②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式 2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力 3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。 3.重点和难点的分析 掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。 二、说教学方法与教学手段 结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。 此模式的流程为激发兴趣--发现问题，提出问题--自主探究，解决问题--自主练习， 采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。
2.3.1 平面向量基本定理 【学习目标】 （1）了解平面向量基本定理；理解向量夹角的定义； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【学习重点】平面向量基本定理. 【学习难点】平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程 一、学情分析，课前导入 前面我们学习过了向量的线性运算及共线向量定理。本节我们继续研究向量的其它性质，在学习之前我们来复习一下前面的内容， 二、提出问题，引入新课 师：如果向量a与非零向量b共线，那么a与b满足什么样的等式？ 生：a＝λb. 师：这就是我们上节课学习的共线向量定理（放幻灯片2） 结论：如果向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数λ，使a＝λb. (2)引导探究 师：如果a与b不共线，则上述结论还成立吗？ (学生讨论) 结论：不成立． 师：也就是说一个向量不能表示另一个与它不共线的向量，两个向量能不能表示出与它们不共线的向量呢？我们来看:（幻灯片3） 师：我平时没事的时候喜欢看一些军事新闻，元旦时我看到这一新闻：新华社(12月31日电），来自中国航天科工集团第四研究院的消息，我们快舟-11固体运载火箭将于2018年上半年首飞，可一次性实现星座的快速构建，大幅提升发射效率和降低运载成本，怎么样，这技术，利害了，我的国！你们看下面的这个图：（幻灯片4） 在物理中速度可以合成，也可以分解。合成即向量的加法，分解也可以推广到向量中来。 师：我们先分析一下向量加法过程 三、任务下达，课堂探究
一：学习目标：1：理解掌握平面向量基本定理；2：能用平面向量基本定理进行向量的合成与分解。 二：重点难点：平面向量基本定理 三：知识链接：1：向量的加法和减法运算： （1） 平行四边形法则的实施步骤： 先把两个向量的起点 ，然后 作平行四边形， 即为两个向量的和向量。 （2） 三角形法则的实施步骤： 先把两个向量首尾 ，由第一个向量的 指向第二个向量的 的向量即为两个向量的和向量。 减法可转化为加法运算。 2：向量的数乘运算：设λ为实数，则 λa 表示与a 的向量。 （1）当λ＞0时，λ与方向 ， = （2）当λ＜0时，λ与方向 ， = （3）当λ=0时，λ= 3：向量共线定理：非零向量与向量共线，当且仅当有唯一一个实数λ使 四：学习过程 ： 1：如图，在平面内任取一点O ，作=1e ,=2e ，=, 如何将 a 用1e 和2e 表示出来？（提示：用平行四边形法则将a 在1e 和2e 的方向上分解） A 2：讨论探究：是否平面内任一向量都能用 1e 和 2e 表示？ 3：平面向量基本定理的内容： ； 不共线的向量1e 和2e 称为 。讨论：同一平面的基底是否唯一？ 4：设=，=，则 为和的夹角，记为θ，范围是 ；当θ=00 时， ；当θ=1800时， ；当0，记作 。 讨论探究： 作出下列向量的夹角 （1） （2） 1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量 2.对于平面上的一个向量a ,有且只有一对实数x,y,使得a xi y j =+,我们把有序实数对),(y x 叫做 向量a 的坐标,记作 . 比如力的分解， 6题例分析：(1):已知向量1e 和2e ，求作向量-2.51e +32e （提示：利用平行四边形法则合成） 变式练习：在平面直角坐标系中，1e 和2e 分别是x 轴和y =6, ∠AOX=600 ,试用1e 和2e 表示 提示：将向1e ，2e 的方向上分解，把两个分向量用1λ1e 和 2λ2e 表示出来，关键是求1λ和2λ (2):已知ABCDEF 是正六边形，且=，=,试用，表示 (提示:画出图形，用平行四边形法则或三角形法则进行转化) x A y O 1 e 2 e
第六教时 教材：平面向量基本定理 目的：要求生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。[§§] 过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。 2．实数与向量的积 3．向量共线定理 二、由平行四边形想到： 1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ 2．对于平面上两个不共线向量 1 e，2e是不是平面上的所有向量都可以用它们表示？ ——提出课题：平面向量基本定理 三、新授：1．(P105-106) 1 e，2e是不共线向量，a 是平面内任一向量 OA=1e OM=λ11e OC=a =OM+ON=λ11e+ λ2 2 e = 2 e=λ22e 得平面向量基本定理：如果 1 e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ 2使a =λ 11 e+λ22e 注意几个问题：1? 1 e、2e必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 2?这个定理也叫共面向量定理 3?λ1，λ2是被a ， 1 e，2e唯一确定的数量 2．例一( P106例三)已知向量 1 e，2e求作向量-251e+32e。 [] 作法：1?取点O，作=-25 1 e =3 2 e 2?作 OAB，即为所求+ 例二、(P106例4)如图 ABD的两条对角线交于点M，且AB=a ， =b ， 用a ，b 表示，，和 解： 在 ∵ =+=a +b[] =-=a -b ∴ =- 2 1=- 2 1( a +b )=- 2 1 a - 2 1 b 1 e 2 e a C M 1 e 2 e O N A B M C M M C a
《平面向量基本定理》教学设计 一、内容和内容解析 1．内容：探索发现并证明平面向量基本定理，应用定理解决简单的问题．2．内容解析：平面向量基本定理是在平面向量的加法、减法、数乘向量三种线性运算的基础上，对向量运算的一个总结与提升，建立了“形”与“数”的联系，为继续学习平面向量的坐标表示建立了逻辑前提，也是向量法解决几何问题的重要理论基础，是平面向量学习中承上启下的一个重要知识，在中学数学中占有重要地位．平面向量基本定理本质上提出了可以用平面内两个不共线的向量来表示平面内的任意向量，实质上体现了平面向量的“二维性”，实现了向量的表示、运算与图形的有机结合与统一．本节教学重点是探索发现并证明平面向量基本定理，培养发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力． 二、目标和目标解析 1．目标：在具体的问题情境中，通过具体操作向量的分解发现并证明平面向量基本定理，结合“形”与“数”的联系指出平面向量基本定理的意义，并解决一些简单的问题，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养． 2．目标解析： 本节是规则课教学，达成上述目标的标志是：第一，在具体的问题情境中能根据要求将平面向量进行分解，经历给定的向量用两个不共线的向量（基底）来表示的作图过程，形成平面向量基本定理的直观认识；第二，基于作图过程和原有共线向量表示法唯一性的认识，能正确说明任意一个平面向量在给定基底下的表示法是唯一的，并在此基础上通过推理论证得到平面向量基本定理；第三，知道平面内不共线的两个向量都可以作为基底，表示平面内任意一个向量，能应用平面向量基本定理解决简单的问题，体会平面向量基本定理的作用．
三、教学问题诊断分析 学生经历了平面向量共线定理和向量的代数运算，对向量的表示与运算有一定的认识，这是本节教学的认知基础．但由于学生往往局限于图形的直观联系，很难从向量的分解中抽象出向量“可表示”与“唯一表示”关键内容，对“向量任意性”，“表示唯一性”，“基底不共线”等概念认识也不到位，加上平面向量基本定理的内容有高度的抽象性，证明定理需要严谨的逻辑性，成为学生学习的难点．此外，由于对定理的地位与意义认识不足，在定理的应用中无法正确选择合适的向量，建立向量与基底的联系，也是学生解决问题时的难点． 综上，本节的教学难点是平面向量基本定理的抽象概括与推理证明． 四、教学支持条件分析 为了更有效实现教学目标，突破教学难点，教学时应采用从特殊到一般的策略，让学生经历探索、发现、认识、理解平面向量基本定理的过程．为便于开展活动教学，可以运用多媒体平板电脑实现课堂师生互动，运用几何画板等软件实现平面向量基本定理的动态展示，以此加强对平面向量基本定理的理解，积累学生的基本活动经验，进而形成数形结合的思维认知，提升学生直观想象的核心素养． 五、教学过程设计 1．创设情境，激发思考 问题1：今天我们来研究平面内任意一个向量如何表示的问题． 之前，我们学习了平面向量的线性运算，如果一个非零向量a 与向量b 共线，我们可以如何表示向量b ？ 【师生活动设计】教师提出问题，学生思考后回答，师生共同得出：如果一个非零向量a 与向量b 共线，存在唯一的实数λ使得λ=b a . 【设计意图】通过复习平面向量共线，使学生明白两个向量共线的位置关系可以通过向量的数乘运算来进行代数表示，而且表示的结果是唯一的，这为下面引出平面向量基本定理提供研究问题的思路和方向．
平面向量基本定理 教材分析： 平面向量基本定理是学习向量的一个非常重要的内容，它是应用平面向量知识解决平面几何问题的一个重要而有效的工具．它可以由数乘向量的几何意义以及向量的矢量的合成与分解导出．同时，平面向量基本定理在几何中又有着及其重要的应用： 一方面，可以利用基本定理将任意一个向量代换成统一的基向量，从而进行几何运算与证明；另一方面，在向量的平面直角坐标系的建立方面更是一个理论基石，有了基本定理才有正交分解，才有单位正交基，才有直角坐标系，从而有了用代数法（坐标法）解决几何问题的可能．最后，从空间来看平面向量基本定理，它实际上又是空间向量共面的一种表达形式，即空间向量共面定理，从而提供了线共面与点共面的又一种证明方法——向量法． 平面向量基本定理还蕴含着数学中常用的两种基本思想：数形结合思想和转换与化归思想，有着广泛的应用空间．所以理解并掌握平面向量基本定理，是学好向量问题的基础，更是利用向量方法解决几何问题的重中之重，我们有必要学好它、掌握它、应用它． 教学目标： 1．通过作图法理解并掌握平面向量基本定理的内容及含义． 2．深刻理解向量的基底表示的意义及作用，会将平面内的任意一个向量用一组基底表示．2．理解平面上两个向量的夹角的概念及范围，掌握平面内两个向量的位置关系． 3．会用平面向量基本定理解决向量相互表示的问题． 教学重难点： 重点：平面向量基本定理的内容的形成过程和平面向量基底的不唯一性；让学生在例题中体会平面向量基本定理的应用价值，以达到自觉想学好基本定理的目的．难点：通过实应用平面向量基本定理证明平面几何中的平行关系，增强学生对平面向量基本定理的应用意识． 教学方法：CAI课件、图形模拟法、形成性归纳与总结． 从学生知识结构出发，先由已学过的数乘向量以及向量的平行四边形法则和三角形法则进行矢量作图，从实际作图中得出概念和结论，即形成性归纳与总结，这是符合学生认知规律的教学．用旧知识生成新知识，这是一个知识的再生与创造的过程，教学过程中让学生动
平面向量基本定理及坐标表示 一．知识点总结 1.平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任意向量a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r ．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作 为这一平面内所有向量的一组基底） （1）平面内用来表示一个向量的基底有无数组； （2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数21,λλ可以相同，也可以不同； （3）任意不共线的两个向量都可以作为基底。 2.向量的坐标表示与坐标运算: (1)平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ， 记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标 (2)．注意：①每一平面向量的坐标表示是唯一的;②设A(1x ,1y ) B(2x , 2y ) 则()1212,y y x x --= 结论：同理可得，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。 (3).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 (4).两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。 (5)．实数与向量积的坐标运算：已知a =(x, y)和实数λ，则λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa =(λx, λy) 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 3.向量平行的坐标表示: 结论：a //b (b ≠0)的充要条件是01221=-y x y x . 二．练习 1.在梯形ABCD 中，AB //CD ,CD AB 2=,F E ,是BA DC ,的中点，b AB a AD ==,,是以b a ,为基底表示EF BC DC ,,。
平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的： （1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问 题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |； （2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λμ)a =λa μa ， λ(a b )=λa λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、讲解新课： 1．思考：（1）给定平面内两个向量1e ，2e ，请你作出向量31e 22e ，1e 22e ， （2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e λ22e 的向量表示？ 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e λ22e . 2．探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 3．讲解范例： 例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e 32e 例2 本题实质是 4．练习1： 1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( D ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等 C.同一平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1μe 2(λ、μ∈R) D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1ue 2(λ、u ∈R) 2.已知向量a ＝ e 12e 2，b ＝2e 1e 2，其中e 1、e 2不共线，则ab 与c ＝6e 12e 2的关系（Ｂ ） A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 ３.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1λ2e 2，则a 与e 1不共线，a 与e 2不共线． (填共线或不共线). 5．向量的夹角:已知两个非零向量a 、b ，作a A O =，b B O =，则∠AOB ＝θ，叫向量a 、b 的 夹角，当θ=0°，a 、b 同向，当θ=180°，a 、b 反向，当θ=90°，a 与b 垂直，记作a ⊥b 。 6．平面向量的坐标表示 （1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。 （2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量， 如何表示呢？ 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一. ),R ( , OP OB OA t AB t AP 表示，用且不共线如图，∈ =. 1 , =++=n m n m AB P B A O 且上，则在直线若点三点不共线， 、、已知