实数基本概念
实数基本概念及应用
一、实数的定义与性质
1.1 实数的定义
实数是由有理数和无理数组成的数。其中，有理数包括整数和分数，无理数则是无法表示为有限小数或无限循环小数的数。
1.2 实数的性质
实数具有连续性、完备性、有序性等性质。连续性指实数在数轴上是可以无限接近的，没有间隙；完备性指实数可以表示为任意精确程度的有限小数或无限循环小数；有序性指实数可以按照大小进行比较，可以排序。
二、实数的表示方法
2.1 有限小数表示法
有限小数表示法是指用小数点后几位数字来表示实数的方法。例如，123.45表示为有限小数123.45。
2.2 无限小数表示法
无限小数表示法包括无限循环小数和无限不循环小数。无限循环小数是指小数点后的数字重复出现，例如1/3=0.3333……。无限不循环小数是指小数点后的数字不重复出现，例如π=3.141592……。
三、实数的运算
3.1 加法运算
实数的加法运算按照加法交换律和结合律进行。即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
3.2 减法运算
实数的减法运算按照加法交换律和结合律进行。即a-b=a+(-b)，a-b-c=a+(-b)+(-c)。
3.3 乘法运算
实数的乘法运算按照乘法交换律和结合律进行。即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。
3.4 除法运算
实数的除法运算按照乘法交换律和结合律进行。即a/b=c，则ac=bc，c/a=b，则ca=cb。
3.5 指数运算
实数的指数运算可以使用幂运算进行。即a^b=c，则log(a)c=b。
3.6 对数运算
实数的对数运算可以使用指数运算进行。即log(a)b=x，则a^x=b。
四、实数在生活中的应用
4.1 测量中的应用
实数在测量中有着广泛的应用。例如，长度、面积、体积等都可以用实数来表示。
4.2 工程中的应用
在工程中，实数被广泛应用于计算各种物理量。例如，物体的质量、速度、加速度等都可以用实数来表示。
4.3 经济中的应用
在经济学中，实数被广泛应用于衡量各种经济指标。例如，GDP、CPI、PPI等都可以用实数来表示。
五、实数的扩展概念
5.1 复数
复数是指具有虚部和实部的数。虚部表示的是纯虚数，即不具有实际意义的数。复数的实部和虚部分别表示为z=a+bi中的a和b。复数的加法、减法、乘法和除法运算都遵循一定的规则。复数的应用广泛存在于物理学、工程学、计算机科学等领域。
第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
实数基本概念 实数基本概念及应用 一、实数的定义与性质 1.1 实数的定义 实数是由有理数和无理数组成的数。其中，有理数包括整数和分数，无理数则是无法表示为有限小数或无限循环小数的数。 1.2 实数的性质 实数具有连续性、完备性、有序性等性质。连续性指实数在数轴上是可以无限接近的，没有间隙；完备性指实数可以表示为任意精确程度的有限小数或无限循环小数；有序性指实数可以按照大小进行比较，可以排序。 二、实数的表示方法 2.1 有限小数表示法 有限小数表示法是指用小数点后几位数字来表示实数的方法。例如，123.45表示为有限小数123.45。 2.2 无限小数表示法 无限小数表示法包括无限循环小数和无限不循环小数。无限循环小数是指小数点后的数字重复出现，例如1/3=0.3333……。无限不循环小数是指小数点后的数字不重复出现，例如π=3.141592……。 三、实数的运算 3.1 加法运算 实数的加法运算按照加法交换律和结合律进行。即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。 3.2 减法运算 实数的减法运算按照加法交换律和结合律进行。即a-b=a+(-b)，a-b-c=a+(-b)+(-c)。 3.3 乘法运算
实数的乘法运算按照乘法交换律和结合律进行。即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。 3.4 除法运算 实数的除法运算按照乘法交换律和结合律进行。即a/b=c，则ac=bc，c/a=b，则ca=cb。 3.5 指数运算 实数的指数运算可以使用幂运算进行。即a^b=c，则log(a)c=b。 3.6 对数运算 实数的对数运算可以使用指数运算进行。即log(a)b=x，则a^x=b。 四、实数在生活中的应用 4.1 测量中的应用 实数在测量中有着广泛的应用。例如，长度、面积、体积等都可以用实数来表示。 4.2 工程中的应用 在工程中，实数被广泛应用于计算各种物理量。例如，物体的质量、速度、加速度等都可以用实数来表示。 4.3 经济中的应用 在经济学中，实数被广泛应用于衡量各种经济指标。例如，GDP、CPI、PPI等都可以用实数来表示。 五、实数的扩展概念 5.1 复数 复数是指具有虚部和实部的数。虚部表示的是纯虚数，即不具有实际意义的数。复数的实部和虚部分别表示为z=a+bi中的a和b。复数的加法、减法、乘法和除法运算都遵循一定的规则。复数的应用广泛存在于物理学、工程学、计算机科学等领域。
实数的概念及性质 第六讲 数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的． 从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质： ．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的整数，且． ．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．例题求解 【例1】若a、b满足3=7，则S＝的取值范围是． 思路点拨运用、的非负性，建立关于S的不等式组． 注：古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象
都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死． 【例2】设是一个无理数，且a、b满足ab－a－b+1=0，则b是一个 A．小于0的有理数B．大于0的有理数c．小于0的无理数D．大于0的无理数 思路点拨对等式进行恰当的变形，建立a或b的关系式．【例3】已知a、b是有理数，且，求a、b的值． 思路点拔把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程组． 【例4】已知a、b为有理数，x，y分别表示的整数部分和小数部分，且满足axy+by2＝1，求a+b的值．设x为一实数，表示不大于x的最大整数，求满足=x+1的整数x的值． 思路点拨运用估算的方法，先确定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；运用的性质，简化方程．注：设x为一实数，则表示不大于x的最大整数，]又叫做实数x的整数部分，有以下基本性质：
实数的概念及性质 实数是由有理数和无理数组成的。× 属于正实数的数是大于0的实数。√ 数轴上的点和实数是一一对应的。√ 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1或0.√ 若x=2则x=2.√ 实数包括有理数和无理数两部分。其中，无理数是指无限不循环小数，而有理数可以化为分数。需要注意的是，不是所有带根号的数都是无理数，只有开不尽的XXX才是无理数。 另外，圆周率π及一些含π的数也是无理数。 实数可以分为正整数、负整数、有限小数或无限循环小数、正分数、负分数、正无理数、负无理数等七类。其中，有理数包括整数和分数，而无理数包括无限不循环小数。 实数具有一些基本性质，例如任何实数都有一个相反数，任何非零实数都有倒数，正实数的绝对值是它本身，负实数的
绝对值是它的相反数，零的绝对值是0.此外，实数可以与数轴上的点一一对应，即每个实数都可以在数轴上找到表示它的点。 对于无理数的大小比较，可以采用比较两个数的平方的大小、比较被开方数的大小、作差法、作商法等方法。需要注意的是，带根号的数不一定是无理数，一个实数的立方根只有一个，负数没有平方根。 综上所述，实数是数学中一个重要的概念，包括有理数和无理数两部分。对于实数的定义、分类和性质需要进行深入的研究和掌握。 C．坐标系中的点的坐标都是实数对。D．2是近似值， 无法在数轴上表示准确。 正确选项：C。 无需改写。 巩固3】下列实数7，，3.，8，327，12， 0.xxxxxxxx0……中无理数有（）。 正确选项：B。
需要改写为：在实数7，，3.，8，327，12，0.xxxxxxxx0……中，无理数的个数是3个。 例2】有下列说法： 1）无理数就是开方开不尽的数； 2）无理数是无限不循环小数； 3）无理数包括正无理数、零、负无理数； 4）无理数都可以用数轴上的点来表示。 其中正确的说法的个数是（）。 正确选项：B。 无需改写。 例3】若|x|33，则x＝______；若|x|31，则x＝______． 正确答案：x=33或x=-33；x=3-1或x=-3+1. 无需改写。
实数的概念 实数可以分为有理数与无理数两类，或代数数与超越数两类，或正实数，负实数与零三类。实数集通常用黑正体字母R 表示。而表示n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。 实数的运算法则 1、加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，与不变．即： ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，与不变．即： 2、减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)
3、乘法法则： （1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相 乘。 （2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：． ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即：。③分配律：一个数同两个数的与相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：．4、除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即 （3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方：所表示的意义是n个a相乘，即 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，
实数的知识点 实数是数学中一个基础概念，是指包括有理数和无理数的所有数的集合。在数学中，实数的研究是非常重要的，它涉及数学的各个领域，如数论、代数、几何、微积分等。本文将介绍实数的基本概念、性质及其在数学中的应用。 一、实数的基本概念 实数是指包含有理数和无理数的所有数的集合，用R来表示。其中有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数则不能表示成这种形式，如常见的$\pi$和$\sqrt{2}$。 实数集合R包括正实数、负实数、0等数。其中正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0是同时是正数和负数的唯一实数。 二、实数的性质 实数集合R具有如下性质：
1. 实数具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。 2. 实数有可加性，即对于任意的实数a、b，有a+b=b+a。 3. 实数有可乘性，即对于任意的实数a、b，有ab=ba。 4. 实数有结合律和分配律，即对于任意的实数a、b、c，有 a+(b+c)=(a+b)+c和a(b+c)=ab+ac。 5. 实数有数乘的结合律和分配律，即对于任意的实数a、b、c，有a(bc)=(ab)c和(a+b)c=ac+bc。 6. 实数有数乘的交换律，即对于任意的实数a、b，有ab=ba。 7. 实数有倒数和相反数，即对于任意的非零实数a，有a x 1/a=1和-a是相反数。 8. 实数有加法逆元，即对于任意的实数a，有a+(-a)=0。
9. 实数有乘法逆元，即对于任意的非零实数a，有a x 1/a=1。 三、实数的应用 实数在数学中的应用十分广泛，下面我们分别从代数、几何和微积分等方面来介绍它的应用。 1. 代数 在代数中，实数用于求解多项式方程。对于一元多项式 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，其中 $a_i(i=0,1,...,n)$是实数，其解为实数或虚数。在求解实数根时，可以用有理根定理求得多项式的整数根和分数根，然后利用余式定理计算余下的一元多项式，再用求根公式求解即可。 2. 几何 在几何中，实数用于描述平面和空间中点的位置和距离。如平面直角坐标系中，任一点的坐标都是实数。又如，设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点，它们的距离为：
实数的概念及例子 实数是数学中最基本的概念之一，它包含了所有的有理数和无理数。实数可以表示为有限小数、无限循环小数以及无限不循环小数。在实数的概念中，我们可以进行基本的数学运算，比如加减乘除，也可以进行比较大小。 首先，我们先来了解有理数。有理数是可以写成两个整数之比的数，其中分母不为零，例如：2、-3、1/2等。有理数是实数的子集，它们可以在数轴上找到对应的位置。比如，数轴上的0、1、-1、2等都是有理数。 除了有理数，实数中还包含了无理数。无理数是不能写成两个整数之比的数，它们的小数部分是无限不循环的。比如，√2、π、e等都是无理数。 举个例子来说明实数的概念。假设我们希望计算一个三角形的斜边长度，已知其底边长度为3，高为4。利用勾股定理，我们可以求得斜边的长度为√(3^2 + 4^2) = 5。这里的√2就是一个无理数，属于实数的范畴。 除了上述例子中的无理数，实数中还有一类特殊的无理数，称为超越数。超越数是无理数的一种特殊类型，它们不能成为代数方程的根（即不能成为多项式方程的解）。例如，圆周率π和自然对数的底e都是超越数。 另外，实数还可以用小数的形式表示。小数可以是有限的，也可以是无限的。有限小数是指小数部分有限位数的数，例如0.5、1.25等。无限小数是指小数部分
有无限位数的数，它们可以有循环和非循环两种形式。 一个经典的例子是圆周率π，它的小数表示是无限不循环的。π约等于3.14，在十进制下的表示是一个无限的小数：3.1415926535...，它没有重复的循环部分。另一个例子是根号2（√2），它也是一个无限不循环的小数。 另一种无限循环小数的例子是1/3，它可以表示为0.33333...。这种无限循环小数的特点是小数部分有一个周期性的循环，即3不断重复。 除了有限小数和无限小数，实数中还有一种特殊形式的无理数，被称为无限不循环小数。无限不循环小数的小数部分没有任何规律可言，无法用有限位数的小数表示。例如，针对黄金比例（φ），它可以表示为1.6180339887...，这个数字是无限不循环的。 综上所述，实数是包括有理数和无理数的数集。有理数可以表示为两个整数之比，包括整数、分数以及有限小数和循环小数。无理数是不能以两个整数之比表示的数，包括无限不循环小数和无限循环小数。实数的例子有很多，包括π、√2、e 等等。实数是数学中的基石，它们在代数、几何和分析等各个领域都有重要的应用。
实数的概念实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。实数集通常用黑正体字母R 表示。而表示n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。 实数的运算法则 1、加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即： 2、减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+（-b） 3、乘法法则： （1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 （2）n 个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n 个非0 的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：． ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即： ③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：． 4、除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即 （3）0除以任何数都等于0，0 不能做被除数。 5、乘方：所表示的意义是n个 a 相乘，即 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。实数计算的常见类型及方法 一、实数的运算 （1）加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加等于原数。 （2）减法a-b=a+（-b） （3）乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得 零．即
实数的基本概念 实数的基本 概念 实数指的是包括有理数和无理数在内的所有数的集合。在数学中，实数是最基本也是最常用的数系之一。实数的概念可以用来描述现实 世界中的各种量，如长度、时间、温度等。 有理数 •有理数是可以表示为两个整数的比值的数。 •有理数包括整数、分数和零。 •有理数可以用无限循环小数或无限非循环小数表示。 无理数 •无理数是不能表示为两个整数之比的数。 •无理数包括无限不循环小数，如π和e。 实数运算 实数运算包括加法、减法、乘法和除法等。 •加法：实数的加法遵循交换律和结合律。 •减法：实数的减法是加法的逆运算。
•乘法：实数的乘法也遵循交换律和结合律。 •除法：实数的除法是乘法的逆运算。 实数的顺序 实数可以进行大小比较，有以下顺序关系： •小于：a
实数的基本概念也在物理学、工程学和计算机科学等科学领域中有着重要的应用。 以上就是实数的基本概念及相关内容的简述。 实数的扩展 实数还可以通过扩展来引入更多数。常见的实数扩展包括无穷大和虚数。 •无穷大：无穷大是超过所有实数的数，可以分为正无穷大和负无穷大。 •虚数：虚数是不能表示为实数的数，其中最知名的虚数为i，满足i2=−1。虚数可以与实数相加、相减和相乘，得到复数。 复数 复数是由实数和虚数构成的数。 •复数的一般形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部。 •复数可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。 •复数的共轭，即将复数的虚部取负，可以求得复数的共轭。•复数的模，也被称为复数的绝对值，指的是复数离原点的距离。 复数的引入使得很多在实数范围内无法解决的问题得以解决，例如方程x2+1=0。
实数的基本概念 知识梳理 1．知识结构 2．知识要点 （1）数轴 数轴三要素：原点，正方向和单位长度；数轴上的点与实数是一一对应的. （2）相反数 实数a 的相反数是－a ； 若a 与b 互为相反数，则有a +b =0，反之亦然； 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等. （3）倒数 若两个数的积等于1，则这两个数互为倒数. （4）绝对值 代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0； 即：() ()() ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<-=>=000 0a a a a a a 所以 0≥a 几何意义：一个数的绝对值，就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离. （5）算术平方根 ()()() ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<-=>==000 02 a a a a a a a （6）科学记数法 n a 10⨯，其中1 101<≤a （7）近似数和有效数字 一个近似数，四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一 个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字叫这个数的有效数字. （8）实数大小的比较 利用法则比较大小；利用数轴比较大小 实数基本概念 实数的相关概念 数轴 相反数 绝对值 算术平方根 近似数和有效数字 实数的分类 实数大小的比较 倒数
（9）实数的分类 按定义分类： 按正负分类： 3．中考预测 实数的有关概念历来是中考考查的基本内容，涉及数轴、相反数、绝对值、无理数等概念，多以填空、选择题的形式出现，而科学记数法和近似数、有效数字往往与生产、生活及科技领域相联系，有较强的应用性，是近几年考查的热点和趋势． 解题指导 例1 在 －π，－2 ，cos45°，3． ) 0 中，有理数的个数是( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 分析：本题考查有理数和无理数的概念，要深刻理解这两个概念，关建在于对无理数的认识，应是无限不循环小数。 解答：－π是无理数，cos45°=2 2是无理数，其余－2 =2，，3． ) 0=1均 为有理数，共有4个，应选C 。 点评：区分有理数和无理数，只需抓住无理数是无限不循环小数这一点，而对于有理数，都可以化为分数，比较好判断。 拓广： （1 ）在下列实数 22,,3.14159,tan 60, 7 π ） 实数 有理数 无理数 整数 分数 零 负整数 正分数 负分数 自然数 有限小数或无限循环小数 正无理数 负无理数 无限不循环小数 实数 正实数 负实数 零 正整数 负整数 正分数 负分数 负有理数 负无理数 正有理数 正无理数
实数知识点归纳 数学作为一门重要的学科，包含着许多的知识点。其中一个关键的概念就是实数。实数是数学中的一种基本概念，它们是我们日常生活中经常使用的数字。本文将对实数的定义、性质以及实数的分类进行归纳和分析。 一、实数的定义和性质 实数是指包括正数、负数和零的所有有理数和无理数的集合。具体地说，实数是一个无穷的、密度很高的数轴。根据实数的定义，我们可以得出一些关键性质。 首先，实数集合是一个无限的集合。无论你选择多少个实数，总是可以找到更多的实数。这反映了实数的无穷性。 其次，实数集合是一个连续的集合。任意两个不相等的实数之间，总是可以找到无穷多个其他的实数。我们可以通过不断逼近来证明这一点。 最后，实数集合是一个稠密的集合。对于任意给定的两个实数，总是可以找到其他的实数位于它们之间。也就是说，实数在数轴上是无处不在的。 二、实数的分类 实数可以根据其性质和特点进行分类。常见的实数分类有有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的实数。有理数可以是正数、 负数和零。例如，整数、分数和循环小数都属于有理数的范畴。有理 数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。 无理数是无法用两个整数的比值表示的实数。无理数是无限不循环 的小数，它们无法精确表示为分数形式。例如，π和根号2就是无理数。无理数在数轴上是不可数的，即无法用有限个数字进行描述。 实数的分类还可以根据是否为代数数进行划分。代数数是满足代数 方程的实数，它是有理数和无理数的交集。而超越数是无理数中的一 类特殊数，它们不满足任何代数方程。例如，e和π就是超越数。 三、实数在实际应用中的意义 实数在数学中具有重要的作用，同时也广泛应用于实际生活中。 在几何学中，实数用于测量距离、长度和面积等概念。实数的连续 性以及实数的代数运算性质为几何学提供了基础。 在物理学中，实数用于描述运动、速度和力等物理量。实数在精确 计量和建立物理模型方面起着关键作用。 在经济学和金融学中，实数用于进行精确计算和分析。实数的性质 能够帮助我们理解市场的波动、经济现象的变化以及投资组合的构建。 综上所述，实数是数学中的一个重要概念，具有丰富的性质和分类。它们不仅存在于数学领域，也广泛应用于实际生活中的各个领域。对 实数的深入理解，对于我们掌握数学知识和应用数学解决实际问题具 有重要意义。
请往下翻页。 基本概念 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。分数可以分为正分数和负分数。无理数可以分为正无理数和负无理数。实数集合通常用字母R 或R^n 表示。而R^n 表示n 为实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
1）相反数（只有符号不同的两个数，他们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 扩展： 像-2和2这样，只有符号不同的两个数,绝对值相等叫做互为相反数。 若两个实数a和b满足b=﹣a。我们就说b是a的相反数。 此时，b的相反数为﹣b=﹣(﹣a)=a，那么我们就说“相反数具有互称性”； 两个互为相反数的实数a和b必满足a+b=0。 实数a相反数的相反数，就是a本身。 相反数不具有传递性，即如果x是y的相反数，y是z的相反数，那么x不一定是z的相反数(除非x=y=z=0)。 当a，b都等于0时，才有a=b，也就是说0的相反数是0。 在a≠b时，必有ab<0，|a|=|b|，即两个互为相反数的实数a和b其绝对值相等符号相反。互为相反数的两个实数在数轴上表示的两个点，分别在原点的两旁，与原点的距离相等，即关于原点对称。 注意： 1）互为相反数是成对出现的，不能单独存在，例如+3的相反数是-3，同时-3的相反数是+3 2）零的相反数是零 3）在数轴上，表示相反数（除零外）的两个点分别在原点0的两边，并且到原点的距离相等。 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
实数的相关概念 实数是一类抽象的数字，也就是所谓的有理数，包括正数、负数、零和有理小数。它们反映了实际生活中物体数量的变化，可以用来进行计算和解决实际问题。实数被广泛用于数学和计算机科学等领域，在日常生活中也被广泛使用，比如货币、温度、食物比重等。 实数可以分为大数、小数和有理数三类。大数是以10为基数的数，它们是无限长的，包括正数和负数。小数是以10的负幂表示的数，它们是有限的，但更加精确。有理数是由整数和分数组成的，在精度上比小数要小，但在使用上比大数方便。 实数有许多相关的概念，其中包括整数、分数、有理数、整除、取余和因式分解等。整数是实数中的一种，它们是不可分割的单位，不能有小数部分。分数是由一个分子和一个分母组成的，其中的分子代表分子的数量，而分母代表分母的数量。有理数是由整数和分数组成的，它们可以通过分式化简转换成最简形式。整除是指将一个实数整除另一个实数，得到的结果是整数，比如$3/2=1$。取余是指将一个实数除以另一个实数，得到的结果是一个实数，比如$3%2=1$。因式分解是把一个复杂的有理数分解成若干因子的乘积，比如 $12=2times2times3$。 实数还有一些经典的定理，包括阿贝尔定理、贝祖定理、佩雷拉定理、黎曼抱负定理等。阿贝尔定理是欧几里得给出的，它指出当两个整数的乘积是一个完全平方数，则有一对正负整数可以使这个乘积为一个完全平方数。贝祖定理是一个很有趣的定理，指出有理数都可
以写成一个连分数的形式，而连分数的分母与分子是不断连乘的形式。佩雷拉定理证明了欧几里得给出的完全平方拆分定理，指出任何正整数都可以用一系列正负整数的平方和来表示，而且只有一种表示方式。黎曼抱负定理是一个有趣的定理，它的内容是，如果一个整数不是完全平方数，那么它的连分数分母会有无穷个不同的因式分解形式，每个分母的因式分解只有两个因子。 实数的相关概念是数学的基础，它们是运用数学知识解决实际问题的基础。随着各类技术的发展，实数概念在现代生活中越来越重要，它们能帮助人们更好地理解世界、解决实际问题，为社会发展作出贡献。
实数的概念 （一）：【知识梳理】 1.实数的有关概念 (1)有理数: 和统称为有理数。 (2)有理数分类 ①按定义分: ②按符号分: 有理数 () ()0 () () () () ⎧⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎨⎩ ⎪ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ⎩ ；有理数 () () () () () () ⎧⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ⎩ （3）相反数：只有不同的两个数互为相反数。若a、b互为相反数，则。 （4）数轴：规定了、和的直线叫做数轴。 （5）倒数：乘积的两个数互为倒数。若a（a≠0）的倒数为1 a . 则。 （6）绝对值： （7）无理数：小数叫做无理数。 （8）实数：和统称为实数。 （9）实数和的点一一对应。 3.科学记数法、近似数和有效数字 （1）科学记数法：把一个数记成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整数）（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 （3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。 （二）：【课前练习】 1．|－22|的值是（） A．－2 B.2 C．4 D．－4 2．下列说法不正确的是（）
A ．没有最大的有理数 B ．没有最小的有理数 C ．有最大的负数 D ．有绝对值最小的有理数 3．在(0022sin 4500.2020020002273 π ⋅⋅⋅、、、这七个数中，无理数有（ ） A ．1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个 4．下列命题中正确的是（ ） A ．有限小数是有理数 B ．数轴上的点与有理数一一对应 C ．无限小数是无理数 D ．数轴上的点与实数一一对应 5．近似数0.030万精确到 位，有 个有效数字，用科学记数法表示为 万 二：【经典考题剖析】 1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已 知青少年宫在学校东300m 处，商场在学校西200m 处，医院在学校东500m 处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m ．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．： 2．下列各数中：-1，0，169，2π，1.1010016 .0, ,12-, 45cos ,- 60cos , 7 22 ,2, π -7 22. 有理数集合{ …}； 正数集合{ …}； 整数集合{ …}； 自然数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}； 绝对值最小的数的集合{ …}； 3. 已知(x-2)2=0，求xyz 的值．． 4．已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2求 32 122()2()m m a b cd m -+-÷ 的值
实数的概念及性质 篇一：实数的有关概念和性质以及实数的运算 实数的概念 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。实数集通常用黑正体字母R 表示。而表示n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。 实数的运算法则 1、加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即： ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即： 2、减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b) 3、乘法法则： （1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 （2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：． ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即：。 ③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：． 4、除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即 （3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方：所表示的意义是n个a相乘，即 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 实数计算的常见类型及方法 一、实数的运算
实数知识点总结 实数知识点总结 一、引言 实数是我们数学学习中的重要概念之一，它是有理数和无理数的总称。实数可以表示为小数或分数，在我们的日常生活中有着广泛的应用。本文将详细介绍实数的概念、性质和相关知识点，帮助读者更好地理解和掌握实数。 二、实数的定义与分类 实数可以根据其性质和定义进行分类。常见的分类方法包括有理数和无理数，有理数又可以分为整数和分数，而无理数则不能化为有限小数或无限循环小数。此外，实数还可以根据其正负性进行分类，分为正数、负数和零。 三、实数的性质 实数具有许多重要的性质，这些性质在数学和实际应用中都有着广泛的应用。例如，实数是封闭的，即加、减、乘和除四种运算在实数范围内都是封闭的；实数具有有序性，即每一个实数都可以用有序对表
示；实数还具有连续性，即在实数轴上没有“空隙”。 四、实数的运算 实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。加法和减法可以分别定义为绝对值的和与差，而乘法和除法可以分别定义为绝对值的积与商。此外，实数还可以进行开方运算，例如平方根和立方根等。 五、实数的应用 实数在数学和实际应用中都有着广泛的应用。例如，在物理学中，速度、密度和加速度等物理量都可以用实数表示；在计算机科学中，实数可以用于表示浮点数，实现精确的数值计算；在金融领域，利率、汇率和投资回报率等都可以用实数表示。 六、总结 本文详细介绍了实数的概念、性质、分类和运算等相关知识点，并通过举例说明了实数的实际应用。通过学习这些知识点，我们可以更好地理解和掌握实数，为后续的数学学习和实际应用打下坚实的基础。 实数知识点总结及练习 实数知识点总结及练习
一、知识点概述 实数是一种数的类型，包括有理数和无理数。有理数包括整数和分数，无理数则包括无限不循环小数和根式。实数可以表示为小数或分数，其意义可以理解为连续的数轴上的点，具有无数个元素。实数在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。 二、核心内容 1、实数的定义和性质 实数是有理数和无理数的统称，其定义可以通过十进制小数或分数来表示。实数具有连续性、有序性、完备性和稠密性等性质。连续性指实数在数轴上是连续的，没有间隙；有序性指实数可以按照大小进行排序；完备性指实数可以表示任何一个长度有限的区间内的所有数；稠密性则指任意两个不相等的实数之间一定存在另一个实数。 2、实数的运算和比较 实数的四则运算包括加、减、乘、除，其运算法则与有理数类似。在进行实数比较时，可以利用不等式来描述两个实数的大小关系，同时需要注意等号成立的条件。
第一讲 实数 一、实数的相关概念： 1.实数的分类： {} ⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 2. 偶数：为自然数）n n (2 奇数：为自然数） n n (12- 3. 相反数 →只有符号不相同的两个数（“0”的相反数是“0”） ①表示：表示一个数的相反数，就是在这个数的前面加“—”号 如：a −− →−相反数—a ；a —b −−→−相反数 —（a —b ）=b —a ②性质特征：互为相反数的两个数，和为零。 4. 倒数→乘积为“1”的两个数（“0”没有倒数） ①表示：a −−→−倒数a 1 ②特征：互为倒数的两个数积为“1” （若a 与b 互为倒数，则ab=1） 5. 绝对值→就是数轴上表示这个数的点到原点的距离. (互为相反数的两个数绝对值相等) ︱a ︱=︱—a ︱；︱a —b ︱=︱b —a ︱ ︱a ︱=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>000 0a a a a a ⎪⎩ ⎪⎨⎧⋅-⋅=)(0),(||||),(||||为零或异号同号b a b a b a b a b a ab 6.平方根、算术平方根、立方根： (1) 一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.(记作a ). (2) 一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根. (3) 正数有两个平方根（±a ），它们互为相反数；其中正的平方根（a ≥0）是它的算术平方根. (4) “0”的平方根只有一个，就是“0”;负数没有平方根. (5)完全平方数→平方根是整数的数 如：0，1，4，9，16，…… (6)立方根（3a ）,正数的立方根是正数; “0”的立方根是“0”;负数的立方根是负数 二、数轴: 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度 2.数轴上的点与实数一一对应;任意一个有理数在数轴上都有一个点与之对应,但数轴上的任