八年级上册压轴题期末复习试卷专题练习(word版
一、压轴题
1.(1)在等边三角形ABC中,
①如图①,D,E分别是边AC,AB上的点且AE=CD,BD与EC交于点F,则∠BFE的度数是度;
②如图②,D,E分别是边AC,BA延长线上的点且AE=CD,BD与EC的延长线交于点F,此时∠BFE的度数是度;
(2)如图③,在△ABC中,AC=BC,∠ACB是锐角,点O是AC边的垂直平分线与BC的交点,点D,E分别在AC,OA的延长线上,AE=CD,BD与EC的延长线交于点F,若
∠ACB=α,求∠BFE的大小.(用含α的代数式表示).
2.在平面直角坐标系xOy中,若P,Q为某个矩形不相邻的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.图1为点P,Q的“相关矩形”的示意图.已知点A的坐标为(1,2).
(1)如图2,点B的坐标为(b,0).
①若b=﹣2,则点A,B的“相关矩形”的面积是;
②若点A,B的“相关矩形”的面积是8,则b的值为.
(2)如图3,点C在直线y=﹣1上,若点A,C的“相关矩形”是正方形,求直线AC的
表达式;
(3)如图4,等边△DEF 的边DE 在x 轴上,顶点F 在y 轴的正半轴上,点D 的坐标为(1,0).点M 的坐标为(m ,2),若在△DEF 的边上存在一点N ,使得点M ,N 的“相关矩形”为正方形,请直接写出m 的取值范围.
3.已知三角形ABC 中,∠ACB =90°,点D (0,-4),M (4,-4).
(1)如图1,若点C 与点O 重合,A (-2,2)、B (4,4),求△ABC 的面积; (2)如图2,AC 经过坐标原点O ,点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间,AB 分别与x 轴,直线DM 交于点G ,F ,BC 交DM 于点E ,若∠AOG =55°,求∠CEF 的度数; (3)如图3,AC 经过坐标原点O ,点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间,N 为AC 上一点,AB 分别与x 轴,直线DM 交于点G ,F ,BC 交DM 于点E ,∠NEC+∠CEF =180°,求证∠NEF =2∠AOG .
4.如图1,直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ,∠1与∠2互补. (1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ,EP 与CD 交于点G ,点H 是MN 上一点,且GH ⊥EG ,求证:PF ∥GH ;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接PH ,K 是GH 上一点使∠PHK =∠HPK ,作PQ 平分∠EPK ,求∠HPQ 的度数.
5.在平面直角坐标系中,点A 、B 在坐标轴上,其中()0,A a 、(),0B b 满足
|21|280a b a b --+-=.
(1)求A 、B 两点的坐标;
(2)将线段AB 平移到CD ,点A 的对应点为()2,C t -,如图1所示,若三角形ABC 的面积为9,求点D 的坐标;
(3)平移线段AB 到CD ,若点C 、D 也在坐标轴上,如图2所示.P 为线段AB 上的一动点(不与A 、B 重合),连接OP 、PE 平分OPB ∠,2BCE ECD ∠=∠.求证:
3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠.
6.已知:ABC 中,过B 点作BE ⊥AD ,=90=,∠?ACB AC BC .
(1)如图1,点D 在BC 的延长线上,连AD ,作BE AD ⊥于E ,交AC 于点F .求证:
=AD BF ;
(2)如图2,点D 在线段BC 上,连AD ,过A 作AE AD ⊥,且=AE AD ,连BE 交AC 于F ,连DE ,问BD 与CF 有何数量关系,并加以证明;
(3)如图3,点D 在CB 延长线上,=AE AD 且AE AD ⊥,连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ,若=3AC MC ,请直接写出
DB
BC
的值.
7.(1)填空
①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在
1B M 或1B M 的延长线上,那么EMF ∠的度数是________;
②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠,B 点与M 点重合,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上,那么EMF ∠的度数是_______. (2)解答:①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧,且80EMF ∠=?,求11C MB ∠的度数; ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠,B 点与M 点重合,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧,且60EMF ∠=?,求11C MA ∠的度数.
(3)探究:把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠,EB ,FB 为折痕,设
ABC α∠=?,EBF β∠=?,11A BC γ∠=?,求α,β,γ之间的数量关系.
8.如图,在边长为2的等边三角形ABC 中,D 点在边BC 上运动(不与B ,C 重合),点E 在边AB 的延长线上,点F 在边AC 的延长线上,AD DE DF ==. (1)若30AED ∠=?,则ADB =∠______. (2)求证:BED CDF △≌△.
(3)试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中,BED 的周长l 是否发生变化?若不变,请求出l 的值,若变,请求出l 的取值范围.
9.在《经典几何图形的研究与变式》一课中,庞老师出示了一个问题:“如图1,等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ,2l ,3l 上,90BAC ∠=?,且每两条平行线之间的距离为1,求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中,同学们提出了很多想法:
(1)小明说:我只需要过B 、C 向1l 作垂线,就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. (2)小林说:“我们可以改变ABC 的形状.如图2,AB AC =,120BAC ∠=?,且每两条平行线之间的距离为1,求AB 的长.”
(3)小谢说:“我们除了改变ABC 的形状,还能改变平行线之间的距离.如图3,等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ,2l ,3l 上,且1l 与2l 之间的距离为1,2l 与3l 之间的距离为2,求AB 的长、”
请你根据3位同学的提示,分别求出三种情况下AB 的长度.
10.如图已知ABC 中,,8B C AB AC ∠=∠==厘米,6BC =厘来,点D 为AB 的中点.如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段
CA 上由C 点向A 点运动,设运动时间为t (秒). (1)用含t 的代数式表示线段PC 的长度;
(2)若点,P Q 的运动速度相等,经过1秒后,BPD △与CQP 是否全等,请说明理由; (3)若点,P Q 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使BPD △与
CQP 全等?
(4)若点Q 以(3)中的运动速度从点C 出发,点v 以原来的运动速度从点B 同时出发,都顺时针沿三边运动,求经过多长时间,点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇?
11.在Rt ABC 中,90ACB ∠=?,30A ∠=?,BD 是ABC 的角平分线,DE AB ⊥于点E .
(1)如图1,连接EC ,求证:EBC 是等边三角形;
(2)如图2,点M 是线段CD 上的一点(不与点,C D 重合),以BM 为一边,在BM 下方作60BMG ∠=?,MG 交DE 延长线于点G .求证:AD DG MD =+;
(3)如图3,点N 是线段AD 上的点,以BN 为一边,在BN 的下方作60BNG ∠=?,
NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ,DG 与AD 数量之间的关系. 12.直角三角形ABC 中,90ACB ∠=?,直线l 过点C .
(1)当AC BC =时,如图1,分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ,BE ⊥直线l 于点
E ,ACD 与CBE △是否全等,并说明理由;
(2)当8AC cm =,6BC cm =时,如图2,点B 与点F 关于直线l 对称,连接
BF CF 、,点M 是AC 上一点,点N 是CF 上一点,分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ,NE ⊥直线l 于点E ,点M 从A 点出发,以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动,终点为C ,点N 从点F 出发,以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动,终点为F ,点,M N 同时开始运动,各自达到相应的终点时停止运动,设运动时间为t 秒,
当CMN △为等腰直角三角形时,求t 的值.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、压轴题
1.(1)①60°;②60°;(2)∠BFE =α. 【解析】 【分析】
(1)①先证明△ACE ≌△CBD 得到∠ACE=∠CBD ,再由三角形外角和定理可得
∠BFE=∠CBD+∠BCF ;②先证明△ACE ≌△CBD 得∠ACE=∠CBD=∠DCF ,再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA ;
(2)证明△AEC ≌△CDB 得到∠E=∠D ,则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α. 【详解】 (1)如图①中,
∵△ABC 是等边三角形, ∴AC=CB ,∠A=∠BCD=60°, ∵AE=CD , ∴△ACE ≌△CBD ,
∴∠ACE=∠CBD,
∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°.
故答案为60.
(2)如图②中,
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=CB,∠A=∠BCD=60°,
∴∠CAE=∠BCD=′120°
∵AE=CD,
∴△ACE≌△CBD,
∴∠ACE=∠CBD=∠DCF,
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°.
故答案为60.
(3)如图③中,
∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点,
∴OC=OA,
∴∠EAC=∠DCB=α,
∵AC=BC,AE=CD,
∴△AEC≌△CDB,
∴∠E=∠D,
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.
【点睛】
本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.
2.(1)①6;②5或﹣3;(2)直线AC的表达式为:y=﹣x+3或y=x+1;(3)m的取
值范围为﹣3≤m≤﹣2m≤3.
【解析】
【分析】
(1)①由矩形的性质即可得出结果;
②由矩形的性质即可得出结果;
(2)过点A(1,2)作直线y=﹣1的垂线,垂足为点G,则AG=3求出正方形AGCH的边长为3,分两种情况求出直线AC的表达式即可;
(3)由题意得出点M在直线y=2上,由等边三角形的性质和题意得出OD=OE=1
2
DE=
1,EF=DF=DE=2,得出OF OD
①当点N在边EF上时,若点N与E重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(﹣3,2)或(1,2);若点N与F重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则
点M的坐标为(﹣2);得出m的取值范围为﹣3≤m≤﹣或2﹣
≤m≤1;
②当点N在边DF上时,若点N与D重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M 的坐标为(3,2)或(﹣1,2);若点N与F重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,
则点M的坐标为(22);得出m的取值范围为2≤m≤3或2﹣
≤m≤1;即可得出结论.
【详解】
解:(1)①∵b=﹣2,
∴点B的坐标为(﹣2,0),如图2﹣1所示:
∵点A的坐标为(1,2),
∴由矩形的性质可得:点A,B的“相关矩形”的面积=(1+2)×2=6,
故答案为:6;
②如图2﹣2所示:
由矩形的性质可得:点A,B的“相关矩形”的面积=|b﹣1|×2=8,
∴|b﹣1|=4,
∴b=5或b=﹣3,
故答案为:5或﹣3;
(2)过点A(1,2)作直线y=﹣1的垂线,垂足为点G,则AG=3,
∵点C在直线y=﹣1上,点A,C的“相关矩形”AGCH是正方形,
∴正方形AGCH的边长为3,
当点C在直线x=1右侧时,如图3﹣1所示:
CG=3,
则C(4,﹣1),
设直线AC的表达式为:y=kx+a,
则
2
14
k a
k a
=+
?
?
-=+
?
,
解得;
1
3
k
a
=-
?
?
=
?
,
∴直线AC的表达式为:y=﹣x+3;
当点C在直线x=1左侧时,如图3﹣2所示:CG=3,
则C(﹣2,﹣1),
设直线AC的表达式为:y=k′x+b,
则
2
12
k b
k b
=+
?
?
-=-+
'
'
?
,
解得:
k1 b1
=
?
?
=
'
?
,
∴直线AC的表达式为:y=x+1,
综上所述,直线AC的表达式为:y=﹣x+3或y=x+1;
(3)∵点M的坐标为(m,2),
∴点M在直线y=2上,
∵△DEF是等边三角形,顶点F在y轴的正半轴上,点D的坐标为(1,0),
∴OD=OE=1
2
DE=1,EF=DF=DE=2,
∴OF=3OD=3,
分两种情况:如图4所示:
①当点N在边EF上时,若点N与E重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(﹣3,2)或(1,2);
若点N与F重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,
则点M的坐标为(﹣2+3,2)或(2﹣3,2);
∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+3或2﹣3≤m≤1;
②当点N在边DF上时,若点N与D重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(3,2)或(﹣1,2);
若点N与F重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,
则点M的坐标为(2﹣3,2)或(﹣2+3,2);
∴m的取值范围为2﹣3≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+3;
综上所述,m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+3或2﹣3≤m≤3.
【点睛】
此题主要考查图形与坐标综合,解题的关键是熟知正方形的性质、一次函数的图像与性质及新定义的应用.
3.(1)8;(2)145°;(3)详见解析.
【解析】
【分析】
(1)作AD⊥ x轴于D,BE⊥x轴于E,由点A,B的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;
(2)作CH∥x轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出
∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;
(3)证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论.
【详解】
解:(1)作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图1,
∵A(﹣2,2)、B(4,4),
∴AD=OD=2,BE=OE=4,DE=6,
∴S△ABC=S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE=1
2
×(2+4)×6﹣
1
2
×2×2﹣
1
2
×4×4=8;
(2)作CH // x轴,如图2,
∵D(0,﹣4),M(4,﹣4),
∴DM // x轴,
∴CH // OG // DM,
∴∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,
∴∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,
∴∠DEC=90°﹣55°=35°,
∴∠CEF=180°﹣∠DEC=145°;
(3)证明:由(2)得∠AOG+∠HEC=∠ACB=90°,
而∠HEC+∠CEF=180°,∠NEC+∠CEF=180°,
∴∠NEC=∠HEC,
∴∠NEF=180°﹣∠NEH=180°﹣2∠HEC,
∵∠HEC=90°﹣∠AOG,
∴∠NEF=180°﹣2(90°﹣∠AOG)=2∠AOG.
【点睛】
本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键.
4.(1)AB∥CD,理由见解析;(2)证明见解析;(3)45°.
【解析】
【分析】
(1)利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补,所以易证AB ∥CD ;
(2)利用(1)中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°;然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°,即EG ⊥PF ,故结合已知条件GH ⊥EG ,易证PF ∥GH ; (3)利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得
90902KPG PKG HPK ??∠=-∠=-∠;然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知
1
452
QPK EPK HPK ?∠=∠=+∠;最后根据图形中的角与角间的和差关系求得
∠HPQ =45°. 【详解】
(1)AB ∥CD , 理由如下:
∵∠1与∠2互补, ∴∠1+∠2=180°,
又∵∠1=∠AEF ,∠2=∠CFE , ∴∠AEF +∠CFE =180°, ∴AB ∥CD ;
(2)由(1)知,AB ∥CD ,∴∠BEF +∠EFD =180°. 又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ,
∴1()902
FEP EFP BEF EFD ?
∠+∠=∠+∠=
∴∠EPF =90°,即EG ⊥PF . ∵GH ⊥EG , ∴PF ∥GH ;
(3)∵∠PHK =∠HPK , ∴∠PKG =2∠HPK . 又∵GH ⊥EG ,
∴∠KPG =90°﹣∠PKG =90°﹣2∠HPK , ∴∠EPK =180°﹣∠KPG =90°+2∠HPK . ∵PQ 平分∠EPK ,
∴1452
QPK EPK HPK ?
∠=∠=+∠,
∴∠HPQ =∠QPK ﹣∠HPK =45°. 答:∠HPQ 的度数为45°. 【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质.解题过程中,注意“数形结合”数学思想的运用.
5.(1)A ,B 两点的坐标分别为()0,2,()3,0;(2)点D 的坐标是141,3??
- ???
;(3)证明见解析
【解析】 【分析】
(1)根据非负数的性质得出二元一次方程组,求解即可;
(2)过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ,C 作x 轴的平行线交于点N ,点M ,过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ,根据三角形ABC 的面积=长方形
CMNT 的面积-(三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积)列
出方程,求解得出点C 的坐标,由平移的规律可得点D 的坐标;
(3)过点E 作//EF CD ,交y 轴于点F ,过点O 作//OG AB ,交PE 于点G ,根据两直线平行,内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠,同样可证OGP OPE ∠=∠,由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠,最后根据
CEP CEF FEP ∠=∠+∠,通过等量代换进行证明. 【详解】
解:(1)
210a b --=,
又∵|21|0a b --≥0,
|21|0a b ∴--=
0=,即210
280a b a b --=??+-=?,
解方程组2128a b a b -=??+=?得2
3a b =??=?
,
A ∴,
B 两点的坐标分别为()0,2,()3,0;
(2)如图,过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ,C 作x 轴的平行线交于点N ,点M ,过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ,
∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-(三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积),
根据题意得,1
1195(2||)232(2||)5||222t t t ??=?+-??+
??++??????
, 化简,得
3
||42t =, 解得,8
3
t =±,
依题意得,0t <,
83t ∴=-,即点C 的坐标为82,3?
?-- ??
?,
∴依题意可知,点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度,再向下平移
14
3
个单位长度得到的,从而可知,点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度,再向下平移
14
3
个单位长度得到的,
∴点D 的坐标是141,3??-
???
;
(3)证明:过点E 作//EF CD ,交y 轴于点F ,如图所示, 则ECD CEF ∠=∠,
2BCE ECD ∠=∠,
33BCD ECD CEF ∴∠=∠=∠,
过点O 作//OG AB ,交PE 于点G ,如图所示, 则OGP BPE ∠=∠,
PE 平分OPB ∠, OPE BPE ∴∠=∠, OGP OPE ∴∠=∠,
由平移得//CD AB ,
//OG FE ∴, FEP OGP ∴∠=∠,
FEP OPE ∴∠=∠,
CEP CEF FEP ∠=∠+∠, CEP CEF OPE ∴∠=∠+∠, CEF CEP OPE ∴∠=∠-∠,
3()BCD CEP OPE ∴∠=∠-∠.
【点睛】
本题综合性较强,考查非负数的性质,解二元一次方程组,平行线的性质,平移的性质,坐标与图形的性质,第(3)题巧作辅助线构造平行线是解题的关键. 6.(1)见详解,(2)2BD CF =,证明见详解,(3)
23
.
【解析】 【分析】
(1)欲证明BF AD =,只要证明BCF ACD ???即可;
(2)结论:2BD CF =.如图2中,作EH AC ⊥于H .只要证明ACD EHA ???,推出CD AH =,EH AC BC ==,由EHF BCF ???,推出CH CF =即可解决问题;
(3)利用(2)中结论即可解决问题; 【详解】
(1)证明:如图1中,
BE AD ⊥于E ,
90AEF BCF ∴∠=∠=?, AFE CFB ∠=∠, DAC CBF ∴∠=∠,
BC AC =,
BCF ACD ∴???(AAS ),
BF AD ∴=.
(2)结论:2BD CF =.
理由:如图2中,作EH AC ⊥于H . 90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=?,
90DAC ADC ∴∠+∠=?,90DAC EAH ∠+∠=?,
ADC EAH ∴∠=∠,AD AE =,
ACD EHA ∴???,
CD AH ∴=,EH AC BC ==,
CB CA =, BD CH ∴=,
90EHF BCF ∠=∠=?,EFH BFC ∠=∠,EH BC =, EHF BCF ∴???,
FH FC ∴=,
2BD CH CF ∴==.
(3)如图3中,作EH AC ⊥于交AC 延长线于H . 90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=?,
90DAC ADC ∴∠+∠=?,90DAC EAH ∠+∠=?,
ADC EAH ∴∠=∠, AD AE =,
ACD EHA ∴???,
CD AH ∴=,EH AC BC ==,
CB CA =, BD CH ∴=,
90EHM BCM ∠=∠=?,EMH BMC ∠=∠,EH BC =, EHM BCM ∴???,
MH MC ∴=, 2BD CH CM ∴==.
3AC CM =,设CM a =,则3AC CB a ==,2BD a =,
∴
22
33
DB a BC a ==.
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.另外对于类似连续几步的综合题,一般前一步为后一步提供解题的条件或方法. 7.90?,45?;20?,30?;2a γβ+=,2a γβ-=. 【解析】 【分析】
(1)①如图①知1112EMC BMC ∠=
∠,111
2
C MF C MC ∠=∠得 ()111
2
EMF BMC C MC ∠=
∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()111
2
EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.
(2)①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠,可推出
11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠,即可求出解.
②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠,可推出
()
112906090A MC ???-+∠=,即可求出解.
(3)如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知,a ββγ-=-、a ββγ-=+,即可求得
2a γβ+=、2a γβ-=.
【详解】
解:(1)①如图①中,
1112EMC BMC ∠=∠,111
2C MF C MC ∠=∠,
()111111
180022
9EMF EMC C MF BMC C MC ??∴∠=∠+∠=
∠?=+∠=, 故答案为90?. ②如图②中,
111111
,22
EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠,
()111111
904522
EBF EBC C BF ABC C BC ??∴∠=∠+∠=
∠+∠=?=, 故答案为45?.
(2)①如图③中由折叠可知,
11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠, 1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠, 11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠, 11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠, 111808020C MB ???∴-=∠=;
②如图④中根据折叠可知,
11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠, 112290CMF ABE A MC ?∠+∠+∠=, 112()90CMF ABE A MC ?∴∠+∠+∠=,
()
1129090EMF AMC ??
∴-∠+∠=,
()1
1
2906090AMC ?
?
?
∴-+∠=,
1130A MC ?∴∠=;
(3)如图⑤-1中,由折叠可知,a ββγ-=-,
2a γβ∴+=;
如图⑤-2中,由折叠可知,a ββγ-=+,
2a γβ∴-=.
【点睛】
本题考查了图形的变换中折叠属全等变换,图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题,突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力,本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.
8.(1)90°;(2)证明见解析;(3)变化,234l +≤<. 【解析】 【分析】
(1)由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°,由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°,由三角形内角和定理可求解;
(2)根据等腰三角形的性质,可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ,由此可利用“ASA”证明全等;
(3)根据全等三角形的性质可得l =2+AD ,根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围. 【详解】
解:(1)∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=AC=BC=2,∠ABC=∠ACB=60°, ∵AD=DE
∴∠DAE=∠DEA=30°,
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°, 故答案为:90°; (2)∵AD=DE=DF ,
∴∠DAE=∠DEA ,∠DAF=∠DFA , ∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°, ∴∠DEA+∠DFA=60°, ∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°,
∴∠EDB=∠DFA ,
∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°, ∴∠CDF=∠DEA , 在△BDE 和△CFD 中
∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠??
=??∠=∠?
, ∴△BDE ≌△CFD (ASA ) (3)∵△BDE ≌△CFD , ∴BE=CD ,
∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD , 当D 点在C 或B 点时, AD=AC=AB=2,
此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形,2+AD=4; 当D 点在BC 的中点时, ∵AB=AC , ∴BD=
1
12
BC =
,AD ==
此时22l AD =+=
综上可知24l +≤<. 【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定,勾股定理,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理.(1)掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键;(2)中注意角之间的转换;(3)中注意临界点是否可取. 9.(1
2
3
【解析】 【分析】
(1)分别过点B ,C 向l 1作垂线,交l 1于M ,N 两点,证明△ABM ≌△CAN ,得到AM=CN ,AN=BM ,即可得出AB ;
(2)分别过点B ,C 向l 1作垂线,交l 1于点P ,Q 两点,在l 1上取M ,N 使
∠AMB=∠CNA=120°,证明△AMB ≌△CAN ,得到CN=AM ,再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值,得到AP ,最后在△APB 中,利用勾股定理算出AB 的长;
(3)在l 3上找M 和N ,使得∠BNC=∠AMC=60°,过B 作l 3的垂线,交l 3于点P ,过A 作l 3的垂线,交l 3于点Q ,证明△BCN ≌△CAM ,得到CN=AM ,在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ,从而得到PC ,结合BP 算出BC 的长,即为AB. 【详解】
解:(1)如图,分别过点B ,C 向l 1作垂线,交l 1于M ,N 两点,