第一讲 相似三角形的判定及有关性质
3.4 直角三角形的射影定理
备课组：高二数学组 主备人：柴海斌 持案人： 授课班级： 授课时间：
教学目标
知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.
方法与过程： 通过问题设计，层层跟进，引导学生探索和发现射影定理。 情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。 教学重难点
重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；
教学过程
二、教学引入
点和线段的正射影简称为射影
（让学生复习并挖掘下图中的基本性质.）
已知：如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D.
(1)图中有几条线段? (答：6条，分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.)
(2)图中有几个锐角?数量有何关系?
(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?
由图中ΔACD ∽ΔCBD ∽ΔABC ，可分别写出三组比例式：
CD AD BD CD CB AC == (ΔACD ∽ΔCDB);AC
CD BC BD AB CB == (ΔCBD ∽ΔABC); CA
DA BC CD AB AC == (ΔACD ∽ΔABC). (4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例 中项的表达式?
只有三个比例中项的表达式，CD AD BD CD =，BC BD AB CB =，CA
DA AB AC = (5)由上可得到哪些等积式?
CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·BA ，AC 2=AD ·AB
（二）直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。
请同学们自己写出已知条件并证明。
已知：在RT △ABC 中，∠ABC=90。 ，CD ⊥AB 于D 。
求证：CD 2=AD*BD BC 2=BD*AB AC 2=AD*AB
证明：在RT △ABC 中，因为∠ABC=90。 CD ⊥AB
∠B+∠DCB=90o , ∠ACD+∠DCB=90o
A B A B
所以∠B=∠ACD ，故 △CBD ∽△ACD
所以 BD AD CD BD
CD CD AD ?=∴=2 在RT △ACB 与RT △BDC 中，B ∠Θ为公共角，
BCD ?∴∽AB BD BC AC
BC BC BD BCA *,,2==∴?即 同理，由BC D ?∽A BC ?，AB AD AC *2=
用勾股定理能证明射影定理吗？写出你的想法.
证明：
()
()AB
BD CB AB
AD AC mc m h m mc m c m mn h m c n DB AD CD mn
h n m h n h m h n a h m b c b a ?=?==+-=-?==-=?==+=+++∴+=+==+22222
222222222
22222222,,,同理：得又即：得Θ
二、当堂训练
1、如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D 。，，82==DB AD 求的长。和BC AC CD , 解：ACB ∠Θ是半圆上的圆周角，
ο90=∠∴ACB ,即ΔABC 是直角三角形。 又射影定理可得
.5480108;5220102;
4,1682222==?=?===?=?===?=?=BC AB BD BC AC AD AB AC CD BD AD CD ，解得，解得解得
2、如图，ΔABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且BD AD CD ?=2。
求证：ΔABC 是直角三角形。
证明： 在ΔCDA 和ΔBDC 中， BCD CAD BDC
CDA DB
CD CD AD DB
AD CD BDC CDA AB
CD D AB C ∠=∠∴??∴=∴?==∠=∠∴⊥∴ω::90,
2ΘΘο
又上的射影为在点
A
A B
为直角三角形。中在ABC ACB ACD BCD ACD BCD ACD CAD ACD ?∴=∠=∠+∠∴=∠+∠∴=∠+∠?ο
ο
ο
Θ909090
三、课堂小结与反思
四、课后检测
1．如图1—4—1中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD=3，BD=2，则AC ：BC 的值是(C )
A ．3：2
B ．9：4
C ．3：2
D ．2：3
2．在Rt △ACB 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD=1：4，则
tan ∠BCD 的值是(C )
A. 41
B. 31
C. 2
1 D.
2 3．下列命题中，正确的有(B )
①两个直角三角形是相似三角形；
②等边三角形都是相似三角形；
③锐角三角形都是相似三角形；
④两个等腰直角三角形是相似三角形．
A ．1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个
4．已知直角△ABC 中，斜边AB=5cm ，BC=2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE=( C )
A ．1.24 cm
B ．1.26 cm
C ．1.28cm
D ．1.3 cm
5．如图1—4—2，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E 。试说明：
(1)AB ·AC=AD ·BC ；
(2)AD 3=BC ·BE ·CF 。
解：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，
∴S △ABC =21AB ·AC=2
1BC ·AD ∴AB ·AC=BC ·AD 。
(2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理得BD 2=BE ·AB ．
同理CD 2=CF ·AC ，
∴BD 2·CD 2=BE ·AB ·CF ·AC ． *
又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC 图1—4—2
∴AD 2=BD ·DC ，
∴*式化为AD 4=BE ·CF ·AB ·AC ，即AD 3
=BE ·CF ·AB ·AC ·AD 1 由(1)知AB ·AC=BC ·AD ，代入上式得AD 3=BE ·CF ·BC ．
应用射影定理证明比例线段
6．如图1—4—3，已知：BD 、CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G 、H ，交CE 于F ，且∠H=∠BCF 。
求证：GD 2=GF ·GH 。
证明：∵∠H=∠BCE ，∠B=∠B ，CE ⊥BH ，
∴△BCE ∽△BHG
∴∠BGH=∠BEC=90°，∴HG ⊥BC
∵BD ⊥AC ，在Rt △BCD 中，由射影定理得，GD 2=BG ·CG ①
∵∠GFC=∠EFH ，
∴△FCG ∽△FHE ，∴∠FGC=∠FEH ，
∴∠FGC=∠BGH
∴△FCG ∽△BHG ，∴GH
CG BG FG = ∴BG ·GC=GH ·FG ． ②
由①②得，GD 2=GH ·FG ．
7．如图1—4—4，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：AE ·AB=AF ·AC 。
证明：∵AD ⊥BC ，∴∠BAD+∠B=90°
又∵DE ⊥AB ，∴∠BAD+∠EDA=90°．
∴∠B=∠EDA ，又∠BAD=∠DAE ，
∴△ABD ∽△ADE(两角相等的两个三角形相似)．
∴AE
AD AD AB =，即AD 2=AB ·AE 同理可证：AD 2=AF ·AC ，
∴AE ·AB=AF ·AC ． 综合·拓展练 综合运用，拓展知能
8．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，若
43AB AC =，则=CD
BD ( C ) A. 43 B. 34 C. 916 D. 16
9 9．如图1—4—5，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，在图中
的六条线段中，你认为只要知道( B )条线段的长，就可以求其他线段的
长。
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图1—4—6，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BD ，垂足为E ，
∠ABC=45°，过E 作AD 的垂线交AD 于F ，交BC 于G ，过E 作
AD 的平行线交AB 于H 。
求证：FG 2=AF ·DF+BG ·CG+AH ·BH 。
证明：因为EF 2=AF ·FD ，EG 2=BG ·CG ，
所以FG 2=(EF+EG)2=EF 2+2EF ·EG+EG 2
=AF ·FD+BG ·CG+2EF ·EG ．
因为∠ABC=45°，
所以2(EF+EG)2=(AH+BH)2
而EF=AHsin45°2
2=AH ， EG=BHsin45°=2
2BH ． 2EF 2=AH 2，2EG 2=BH 2
所以2EF ·EG=AH ·BH ．
所以FG 2=AF ·FD+BG ·CG+AH ·BH ．
11．△ABC 中，若角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，试用余弦定理证明以下射影公式。
(1)c=acosB+bcosA ；
(2)a=bcosC+ccosB ；
(3)b=ccosA+acosC 。
证明：（1）由余弦定理得ac
2b c a B cos 2
22-+= bc
2a c b A cos 2
22-+= A
cos b B cos a c c c
2a c b b c a c
2a c b c 2b c a bc 2a c b b ac 2b c a a A cos b B cos a 2
22222222222222222+=∴=-++-+=-++-+=-+?+-+?=+∴ 同理可证：
a=bcosC+ccosB ；b=ccosA+acosC
12．在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD ：BD=2：3，则△ACD 与△CBD 的相似比为( )
A ．2：3
B ．4：9
C ．6：3
D ．不确定
13．Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于点D ，AD=4，sin ∠ACD=
54，则BC=_______________，CD=________________。
答案解析
C
解析：如图D —1—23，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB
由射影定理得：CD 2=AD ·BD ，即CD BD AD CD = 又∵∠ADC=∠BDC=90° ∴△ACD ∽△CBD ．
又∵AD ：BD=2：3
令AD=2x ，BD=3x(x>0)
x 6CD ,x 6CD 22=∴=∴
易知△ACD 与△CBD 的相似比为36x
6x 2CD AD == 即相似比为3:6
13.
415，3
解析：54ACD sin ,4AD ,ACD Rt =∠=?中
由5AC AC AD ACD sin ==∠知
由射影定理知AB AD AC 2?=
∴425AD AC AB 2==
∴494425AD AB BD =-=-=
由射影定理知9494BD AD CD 2=?=?=
3CD =∴
又42549AB BD BC 2?=?= ∴4
15BC = 四、预习提纲
1、圆周角定理及证明
2、圆心角定理及证明
3、圆心角定理的推论
相似三角形之射影定理 1、已知直角三角形ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （ ） A 、1.24cm B 、1.26cm C 、1.28cm D 、1.3cm 2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、在Rt ABC 中，90BAC ∠= ，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD CD =（ ） A 、34 B 、43 C 、169 D 、9 16 4、如图1-2，在矩形ABCD 中，1 ,3DE AC ADE CDE ⊥∠=∠，则EDB ∠=（ ） A 、22.5 B 、30 C 、45 D 、60 【填空题】 5、ABC 中，90A ∠= ，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD= ，AC= ， 22:AB AC = 。 6、如图2-1，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥， AC=6，AD=3.6，则BC= ．
【解答题】 7、已知CD 是ABC 的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∽ 8、已知90CAB ∠= ，AD CB ⊥，ACE ，ABF 是正三角形，求证：DE DF ⊥ 9、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E 是垂足，求证： DE =
参考答案 1、C 2、B 3、C 4、C 5 、3,4:1 6、 8 7、证明：在Rt ADC 中，由射影定律得， 2CD CE AC = ，在R t B C 中， 2C D C F B C = ,CE BC CE AC CF BC CF AC ∴=∴ = 又ECF BCA ∠=∠ ，CEF CBA ∴ 8、证明：如图所示，在Rt BAC 中， 22,AC CD CB AB BD BC == AC CD AD AB AD BD ∴===== ,,AE AD AC AE AB AF BF BD ==∴ = 60,60,FBD ABD EAD CAD ABD CAD ∠=+∠∠=+∠∠=∠ 又 FBD EAD ∴∠=∠，,EAD FBD BDF ADE ∴ ∴∠=∠ 90FDE FDA ADE FDA BDF ∴∠=∠+∠=∠+∠= DE DF ∴⊥ 9、证明：在Rt AMB 和Rt ADE 中，AMB DAE ∠=∠，90ABM AED ∠=∠= 所以Rt AMB ～Rt ADE 所以AB AM DE AD = ，因为AB=a ，BC=b ，
相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A
【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C
A字形，A’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形 双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD 2=AD?BD ⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD?AB ⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD?AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得AB?CD=AC?BC→比例式证明等积式(比例式)策略 1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形三点定形法 2、间接法：⑴3种代换①等线段代换；②等比代换；③等积代换； ⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略： 遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。 （3）等比代换：若d c b a, , ,是四条线段，欲证 d c b a =，可先证得 f e b a =（f e,是两条线段）然 后证 d c f e =，这里把 f e 叫做中间比。 ①∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD ②△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形,求证：BD?CN=BM?CE． ③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。 求证：BP?PC=BM?CN D C A word.
相似三角形(二)（射影定理及角平分线的性质） 射影定理： 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt △ABC 中，∠C=90o，则 2 + 2 = 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是 ，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt △ABC 中，∠C=90o，CD ⊥AB 于D ，则 ① ∽ ∽ ②S △ABC = 2 2 ③射影定理： CD 2 = · AC 2= · BC 2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D ， S△ABC=20，AB=10。求AD 、BD 的长. B A
2、已知，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D 。（1）若AD=8，BD=2，求AC 的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。 【典型例题】 例1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。 求证：AE ·BF ·AB ＝CD 3 A M C D C
初三数学相似三角形知 识点归纳 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
初三数学《相似三角形》知识提纲 (孟老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作： c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质: bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： n m b a =
把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ，= ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A 型 X 型 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或.
相似三角形中的射影定 理 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= · AC2= · BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD 的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。B A
【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o ，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF A B M C N D C
直角三角形的射影定理 学习目标： 了解射影的概念，掌握射影定理,会用射影定理解决简单问题。 学习过程： 一、学习准备——什么叫“射影” 1．如图，太阳光垂直于l 照在A 点，留在直线l 上的影子应是点'A ，线段AB 留在MN 上的影子是线段''B A . 定义：过线段AB 的两个端点分别作直线l 的垂线，垂足'A ，'B 之间的线段''B A 叫做线段AB 在直线l 上的正射影，简称射影. 随堂练习一： 1.如图：CD 是直角三角形ABC 的斜边AB 上的高， 顶点C 在斜边AB 上的射影是：______， 直角边AC 在斜边AB 上的射影是：______， 直角边BC 在斜边AB 上的射影是：______. 2.画出图中各线段在直线MN 上的射影. 二、学习新知——“射影定理” 1.已知：如图，?=∠90ACB ，AB CD ⊥于D . (1) 图中有几对相似三角形?可写出几组比例式? (2) 观察第(1)题的结果，有几个带有比例中项的比例式? (3) 由上可得到哪些等积式? 能否用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式? 2.直角三角形的射影定理： 直角三角形斜边上的高是 的比例中项； 两直角边分别是 的比例中项. 请同学们自己写出已知条件并证明. 已知： 求证： 证明： M N A C
三、巩固新知——“射影定理”的使用 例1 已知：ABC Rt ?中，?=∠90C ，AB CD ⊥于D . ⑴若6=AD ，24=BD ，求CD ,AC ,BC ； ⑵若4=AC ，3=BC ， 求BD ,DA ,CD ； ⑶若23= AD ，2 5 =AC ，求AB ,BC ,CD . 随堂练习二： 1.如图，?=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ,已知6=AD ，4=BD ，则图中其他线段的长 CD =_______，AB =________，AC =_______，BC =_________. 2.如图，已知?=∠90BAC ，BC AD ⊥于D , 4=AB ，6=AC . 求BD 、DC 的长 .
相似三角形------射影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。 一、射影定理 射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高， 则有ＣD２＝ＢＤ?A D、 ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或 ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（证明略） 二、变式推广 １．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。 （证明略） ２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2）） 如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?A B；反之，若△ ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ， 可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。 （证明略） 三、应用 例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ， 求证：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ２ 分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠H B D，联想到射影定理变式 （2），可得ＢＤ２＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。 （证明略）
相似三角形 ――相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1直角三角形的性质: (1) 直角三角形的两个锐角 _____________ (2) Rt A ABC 中，/ C=90o ，贝U 2 + (3) 直角三角形的斜边上的中线长等于 2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。 精品文档 (4)等腰直角三角形的两个锐角都是 ，且三边长的比值为 (5)有一个锐角为30o 的直角三角形，30o 所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理 (只能用于选择填空题) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那 么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt A ABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则 ① S s ②射影定理： CD 2= ______ 【常规题型】 AC 2= _____ BC 2= ____ 1 已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90
【典型例题】 例1.如图所示，在厶ABC 中，/ ACB=90 BM 2=MN ? AM 。 例2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交 于F ,与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ? AF 【拓展练习】 1、已知：如图， AD 是厶ABC 的高，BE 丄AB , AE 交BC 于点F , AB ? AC=AD ? AE 。求证：△ BEF ACF ,AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ,求证: 例 3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CD 高，这时 DEF 和 CAB 是否相似？ AB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的 C B C F D
第一讲 相似三角形的判定及有关性质 3.4 直角三角形的射影定理 备课组：高二数学组 主备人：柴海斌 持案人： 授课班级： 授课时间： 教学目标 知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题. 方法与过程： 通过问题设计，层层跟进，引导学生探索和发现射影定理。 情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。 教学重难点 重点：直角三角形的射影定理的证明及应用； 教学过程 二、教学引入 点和线段的正射影简称为射影 （让学生复习并挖掘下图中的基本性质.） 已知：如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D. (1)图中有几条线段? (答：6条，分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.) (2)图中有几个锐角?数量有何关系? (3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式? 由图中ΔACD ∽ΔCBD ∽ΔABC ，可分别写出三组比例式： CD AD BD CD CB AC == (ΔACD ∽ΔCDB);AC CD BC BD AB CB == (ΔCBD ∽ΔABC); CA DA BC CD AB AC == (ΔACD ∽ΔABC). (4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例 中项的表达式? 只有三个比例中项的表达式，CD AD BD CD =，BC BD AB CB =，CA DA AB AC = (5)由上可得到哪些等积式? CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·BA ，AC 2=AD ·AB （二）直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。 请同学们自己写出已知条件并证明。 已知：在RT △ABC 中，∠ABC=90。 ，CD ⊥AB 于D 。 求证：CD 2=AD*BD BC 2=BD*AB AC 2=AD*AB 证明：在RT △ABC 中，因为∠ABC=90。 CD ⊥AB ∠B+∠DCB=90o , ∠ACD+∠DCB=90o A B A B
相似三角形----射影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中 应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三 角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广） ，而此结论又可作为证明其 它命题的预备定理及联想思路， 熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时, “柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。 一、 射影定理 射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项； 上的射影和斜边的比例中项。 如图（1） : R t △ABC 中，若CD 为高， 则有c D 2=BD ?AD BC 2 = BD ?AB 或 AC 2 = AD ?AB 。（证明略） 二、 变式推广 1 ?逆用 如图（1）:若AABC 中，CD 为高，且有DC 2 = AD 或AC 2 =AD ?AB 或BC 2=BD ?AB ，则有ZDCB = ZA 或/ACD = /B ，均可等到AAB C 为直角三角形。 （证明略） 2 ?—般化，若AABC 不为直角三角形，当点D 满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。 文简称：射影定理变式（2）） （证明略） 三、应用 例1 如图（3）,已知：等腰三角形ABC 中， AB-AC,高AD 、 BE 交于点H, 求证：4DH ?DA=BC 2 分析： 易证ZBAD = ZCAD =900- / C -Z HBD 联想到射影定理变式（2）,可得 BD 2 = DH ? DA,又BC-2BD ，故有结论成立。 （证明略） 例2 如图（4）:已知OO 中，D 为弧AC 中点，过点D 的弦BD 被弦AC 分为4和12 两部分， 如图（2） : △ABC 中， D 为 AB 上 一点，若 ZCDB = ZACB ，或/ DCB = ZA ，则有△CDBs^ACB ，可得BC 2 = BD ?AB;反之，若AA BC 中，D 为AB 上 一点，且有BC 2 = BD ?AB,则有△CDBs^ACB, 可得到ZCDB = ZACB ，或ZDCB = ZAo 且每条直角边都是它在斜边 （后 原 1 >
第27章相似三角形知识点 知识点1 有关相似形的概念 1、形状相同的图形叫相似图形， 2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形． 3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段， 简称比例线段 知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0） bc ad d c b a =?=::； a c a b c d b d b d ±±= ?= 知识点4 比例线段的有关定理 1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例 已知AD ∥BE ∥CF, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等. 知识点5 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 知识点6 三角形相似的判定方法 1、平行法： 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2、只看角法（AA ）： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两角对应相等，两三角形相似． 3、只看边法 (SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． (HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似． 4、边角组合法(SAS)： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 B
课堂探究 知能点一：求线段的长 直角三角形的射影定理在求解线段的长度时，往往需要创造应用射影定理 的条件，即构造垂直关系，可以构造直角三角形，也可以构造垂直关系． 【例1】如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC ． 由题意可得，△ABC 是直角三角形，AF 为斜边上的高线，CF 是直角边AC 在斜边上的射影，AC 为所求，已知BD ＝DC ＝1，即△BDC 是等腰三角形．因此，可以过D 作DE ⊥BC ．由于DE 、AF 均垂直于BC ，可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC ． 解：在△ABC 中，设AC 为x ， ∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，又FC ＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2. 再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1.∴AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E ， ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ． 又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF . ∴DE AF ＝DC AC . ∴DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x . 在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2， 即? ????x 2－1x 2＋??? ?x 222＝12，∴x 2 －1x 2＋x 44＝1. 整理得x 6＝4.∴x ＝32.∴AC ＝32. 1．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CD ＝6，AD ＋DB ＝5，则AD ＝__________. 答案：2或3 解析：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴CD 2＝AD ·DB ．
第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.4 直角三角形的射影定理 A 级 基础巩固 一、选择题 1．线段MN 在直线l 上的射影不可能是( ) A ．点 B ．线段 C ．与MN 等长的线段 D ．直线 解析：由射影的概念易知线段的射影不可能是直线． 答案：D 2．直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6 cm 和4 cm ，则斜边上的高是( ) A ．10 cm B ．2 cm C ．2 6 cm D ．24 cm 解析：由直角三角形的射影定理得，斜边上的高为 6×4＝26(cm)． 答案：C 3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BD CD 等于( ) A.34 B.43 C.169 D.916 解析：如图所示，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC.
所以AC 2AB 2＝CD BD ＝? ?????342，即CD BD ＝916 ， 所以BD CD ＝169 . 答案：C 4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 的相似比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.6∶3 D ．不确定 解析：如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ， 由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 即CD AD ＝BD CD . 又因为∠ADC ＝∠BDC ＝90°， 所以△ACD ∽△CBD. 又因为AD ∶BD ＝2∶3， 设AD ＝2x ，BD ＝3x(x>0)， 所以CD 2＝6x 2，所以CD ＝6x ， 易知△ACD ∽△CBD 的相似比为 AD CD ＝2x 6x ＝63＝6∶3.
相似三角形知识点总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于 d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AB AC 215-= ≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1）基本性质： ① bc ad d c b a =?=::；②2::a b b c b a c =?=?． （2）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （3）等比性质：如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成
几何证明 射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。 直角三角形射影定理 直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC， （2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。 证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠D AC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（A D）^2=BD·DC。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2 即（AB）2+（AC）2=（BC）2。 任意三角形射影定理 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a＝b·cosC＋c·cosB，
b＝c·cosA＋a·cosC， c＝a·cosB＋b·cosA。 注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。 证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。 1.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. 2．弦切角定理推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 进一步指出：由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论： 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论： 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个． (1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心．
1 相似三角形 经典模型 “平行型”: A 字型和8字型 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. 例1：如图，111EE FF MM ∥∥，若 AE EF FM MB ===， 则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 M 1F 1E 1M E F A B C 总结：相似比和面积比，周长比的关系是 例2:如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =， _____MN = M N A B C D E F
2 例3.已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = P H G F E D C B A 例4.已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ， 求 BF EF 的值 例5.已知：在ABC ?中，12AD AB = ，延长BC 到F ,使1 3 CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE = A B C D F E 7.如图，在ABC ?中，D 是AC 边的中点，过D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长线于F 求证：AE BF BE CF ?=? F E D C B A F E D C B A
相似三角形---射影定理的运用
相似三角形------射影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。 一、射影定理 射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ 为高， 则有ＣD２＝ＢＤ?AD、 ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或 ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（证明略） 二、变式推广 １．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。 （证明略） ２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。 （后文简称：射影定理变式（2）） 如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ 上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠Ｄ ＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ， 可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ 中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有△
ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。 （证明略） 三、应用 例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求 证：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ２ 分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C ＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ ２＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成 立。 （证明略） 例２如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。 分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故 有ＣＤ２＝ＤＥ?ＤＢ，易求得ＤＣ＝８ (解略) 例 3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中， ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交Ａ Ｂ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ， 求证：ＤＦ２＝ＣＦ?ＢＦ。 证明：连ＡＦ，∵ＦＨ垂直平分ＡＤ， ∴ＦＡ＝ＦＤ，∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，
2014级直升初二数学III 相似三角形应用——射影定理练习 姓名_________________教学班___________12.7 1．如图，菱形ABCD 中，顶点A 到边BC ，CD 的距离AE ，AF 都为5，EF=6，那么菱形ABCD 的边长为 ． 2．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a ，b 的正方形拼成一个大正方形．图中Rt △ABC 的斜边AB 的长等于 （用a ，b 的代数式表示）． 3．在Rt △ABC 中，C 为直角顶点，过点C 作AB 的垂线，若D 为垂足，若AC 、BC 为方程x 2﹣6x +2=0的两根，则AD?BD 的值等于 ． 4．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE 、BN 于点F 、C ，过顶C 作品AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD=CF ，求AE AD 的值． 5．已知：如图，等腰△ABC 中AB=AC ，高AD 、BE 交于点H ，求证：4DH?DA=BC 2 ． 6．已知CD 是△ABC 的高，DE CA ⊥，DF CB ⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∽．
7．如图，已知：BD 、CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G 、H ，交CE 于F ，且∠H=∠BCF ．求证：GD 2=GF·GH ． 8．如图，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E 是垂足， 求证：DE =． 9．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，1 3ADE CDE ∠=∠，求EDB ∠度数．
相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt △ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。B A 精品文档
精品文档 【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C
初三数学《相似三角形》知识提纲 (孟老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 3 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则…………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC n m b a =
的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割 点，其中AC= 21 5-AB ≈0.618AB， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线 段成比例. ，3 2 1 1 2 3 A型 X型
由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若 = . = ，= ，则AD∥BE∥CF 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. 11 用数学语言表述如下： ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
6：直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直 角三角形相似 （即：射影定理）. 2、 相似三角形的基本图 形