第1章数学建模概述 (2)
§1.1从现实现象到数学模型 (2)
§1.2数学建模方法、步骤、特点与分类 (4)
§1.3怎样学习数学建模及组织数学建模竞赛 (8)
习题1 (10)
第1章数学建模概述
随着科学技术的发展，特别是计算机技术的飞速发展，数学建模作为一门用数学方法解决实际问题的学科越来越受到人们的重视。对于广大科技人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁.其实，“所谓高科技就是一种数学技术”，几乎所有学科发展到高级阶段都要引入数学，进行量化处理，甚至几乎所有科学理论都可看作数学模型，马克思说过“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。当今，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义：
（1）在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地，如机械、电机、土木、水利等；
（2）在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具，如通信、微电子、航天、自动化等；
（3）数学进入一些新领域，诸如经济、人口、生态、地质等。所谓非物理领域也为数学建模开辟了许多处女地，如计量经济学、人口控制论、数学生态学等。
本章为数学建模概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，使读者全面的、初步的了解数学建模，最后给出几点数学建模竞赛建议供读者参考。
§1.1从现实现象到数学模型
现实世界丰富多彩，变化万千。人们无时无刻都在运用自己的智慧和力量去认识、利用、改造世界，从而创造出更加多彩的物质文明和精神文明。博览会是集中展示这些成果的场所之一。工业展厅上，豪华、舒适的新型汽车令人赞叹不已；农业展厅上，硕大、娇艳的各种水果令人流连忘返；科技展厅上，大型水电站模型雄伟壮观，人造卫星模型高高耸立，讲解员深入浅出的介绍原子结构模型的运行机理，电影演播室里播放着一部现代化炼钢厂自动化生产的影片，其中既有火花四溅的炼钢情形，也有控制的框图、公式和程序。参加博览会，既有汽车、水果那些原封不动的从现实搬到展厅的实物，也有各种实物模型、照片、图表、公式……，这些模型在短短几个小时给大家的作用，恐怕置身现实世界很多天也无法做到。
与形形色色的模型相对应，它们在现实世界的原始参照物统称为原型，它们是人们现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型是为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、抽象、提炼而构成的原型替代物，也是所研究的系统、过程、事
物或概念的一种表达形式，也可指根据实验、图样放大或缩小而制作的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。这里特别强调构造模型的目的性，模型不是原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。一个原型，为了不同的目的可以有许多模型，如放在展厅里的飞机模型应该在外形上逼真，但不一定会飞，而参加航模竞赛的模型飞机要具有良好的飞行性能。
模型可以分为物质模型和理想模型，前者包括直观模型、物理模型，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
（1）直观模型指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常把原型的尺寸按比例放大或缩小，主要追求外观上的逼真。
（2）物理模型主要指科技工作者为了一定目的，根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且还可以用来进行模拟实验，间接研究原型的某些规律。物理模型可分为实物模型和类比模型。实物模型是指根据相似性理论制造的按原系统比例缩小（也可以是放大或与原系统尺寸一样）的实物，例如风洞实验中的飞机模型，水力系统实验模型，建筑模型，船舶模型等。类比模型是指：在不同的物理学领域（力学的、电学的、热学的、流体力学的等）系统中各自的变量有时服从相同的规律，根据这个共同规律可以制出物理意义完全不同的比拟和类推的模型。
（3）思维模型指通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存在大脑中，从而可以根据思维或直觉做出相应的决策，如汽车司机对方向盘的操作。
（4）符号模型指在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定的形式组合起来的描述模型，如地图、电路图等，具有简明、方便、目的性强及非量化等特点。
（5）数学模型是对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，并做出一些必要假设简化，进而运用适当数学工具得到的一个数学结构。简单地说就是系统某种特征本质的数学表达式，或是用数学术语对部分现实世界的描述，即用数学式子（如函数、图形、方程等）来描述所研究的客观对象或系统在某一方面存在的规律。
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践，即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解．需要强调的是，衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。如果对某个实际问题，我们可以用初等方法和高深方法建立了两个模型，而应用效果相差不多，那
么受欢迎的一定是前者，而不是后者。
数学建模与计算机技术的关系密不可分，一方面，像新型飞机设计、石油勘探、天气预报等数据处理中数学模型求解当然离不开巨型计算机，而微型计算机的普及使数学建模更快地进入人们的日常生活中。另一方面，以数字化为特征的信息正以爆炸之势涌入计算机，去伪存真，归纳整理，分析现象，显示结果，……，计算机需要人们给它以思维的能力，这些当然要求助于数学模型，所以把计算机技术与数学建模在知识经济中的作用比喻为如虎添翼，是恰如其分的。
§1.2数学建模方法、步骤、特点与分类
数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题时，就需要用数学的语言、方法去近似刻画该实际问题，这种刻划的数学表述就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程．数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能计算机的出现使数学建模方法如虎添翼似的得到了飞速发展，计算和建模是数学科学技术转化为生产力的主要途径。数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，可以培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力，那么，怎样才能建立一个理想的数学模型呢？
1．数学建模的一般方法
（1）机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义．
（2）测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型．测试分析方法也叫做系统辩识．
（3）将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法．
在实际过程中用哪一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定．一般而言，如果对研究对象了解深刻，掌握了一些机理知识，模型也要求具有反映内在特征的物理意义，一般可以机理分析方法为主。而如果对象的内在规律基本上不清楚，模型也不需要反映内在特性，如仅对于输出做预报，那么可以尝试用测试分析。
2．数学建模的一般步骤
在实际生活中发现问题，那就需要对问题进行分析，进而解决问题，一种常用的方法就是建立数学模型。建模经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题的
性质、建模目的等有关。
测试分析方法是一套完整的数学方法，以动态系统为主的测试分析称为系统辨识，主要表现为：动态数据对应的分析方法为时间序列分析；横截面数据对应的分析方法为多元统计分析。本书讲了大量测试分析方法，如回归分析、时间序列分析、聚类分析、主成份分析与因子分析，这也是本书的特色之一。
下面给出的是机理方法建立数学模型的一般过程：
图1.2.1机理方法建立数学模型的一般过程
（1）模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集建模必需的各种信息，如现象、数据等，尽量弄清对象的特征，由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.
（2）模型假设、构成：根据对象特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化。用精确的语言做出假设是建模的关键一步，一般来说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，就会导致模型失败或部分失败，这样就应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能会使你很难甚至无法继续下一步工作．通常作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化，经验在这里也常常起着重要模型准备
模型假设、构成
模型求解、分析
模型检验：用实际问题的实测数据等检验该模型
模型应用：交付使用，产生经济、社会效益
符合实际
否则
作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样。根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路，当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.
（3）模型求解、分析：可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是利用计算机技术．对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时要根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况都可能要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等．（4）模型检验：把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待．当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了．模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意．
（5）模型应用：应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面内容不是本书讨论的范围。
严格来说，建立数学模型的方法和步骤并没有固定模式，即并不是所有建模过程都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明，建模时不应拘泥于形式上的按部就班，只要建立的模型能吻合现实，预测未来，进而为决策提供有价值参考即可，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征，本书的建模实例就采取了灵活的表述方式。
3．数学模型的特点
数学建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段，得到的模型有很多优点，也有很多缺点。下面归纳数学模型的若干特点，以期读者在学习中慢慢体会：（1）模型的逼真性和可行性：一般来说，总是希望模型尽可能逼近研究对象，但一个非常逼真的模型在数学上往往难于处理，即实际上不可行。另一方面，越逼真的模型，越复杂，即使数学上可以处理，但所需要“费用”也是相当高的，而高的费用不一定与复杂模型产生的收益匹配，所以实际建模时，往往在逼真性和可行性，“费用”和效益之间做出妥协。
（2）模型的非预制性：虽然现在已有很多模型供大家使用，但实际问题千差万别，不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用，因此建模本身常常事先没有答案，在建模过程中甚至会伴随新的数学方法或数学概念的产生。
（3）模型的渐进性：稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过上一节描述建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型．在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高，各门学科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程。
（4）模型的条理性：从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具条理性，这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用的程度，对问题的研究也是有利的。
（5）模型的稳定性：模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测数据确定的，而观测数据是允许有误差的．一个好的模型应该具有下述意义的稳定性（强健性）：当观测数据(或其他信息)有微小改变时，模型结构和参数只有微小变化，并且一般也应导致模型求解的结果有微小变化。
（6）模型的技艺性：建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解法等是根本不同的，无法归纳出若干条普遍适用的准则和技巧．经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等起的作用往往比一些具体的数学知识更大。
（7）模型的可转移性：模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域．在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型，模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛性。
（8）模型的局限性主要体现在以下几个方面：
1）由于模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将模型的结论应用于实际问题，就回到了现实世界，那些被忽视、简化的因素必须考虑，于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的．
2）由于人们认识能力和科学技术包括数学本身发展水平的限制，还有不少实际问题很难得到有实用价值的数学模型。
3）有些领域中的问题今天尚未发展到用建模方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程，目前所谓计算机辅助诊断也是属于总结著名中医的丰富临床经验的专家系统．
4．数学模型的分类
依据不同的标准，数学模型可分为不同的类型。
（1）按研究方法和对象的数学特征可分为几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、概率模型、统计模型等．
（2）按研究对象的实际领域（或所属学科）可分为人口模型、交通模型、环
境模型、生态模型、城镇规划模型、污染模型、经济模型、社会模型等．（3）按照某些的表现特征又可分为
1）确定性模型与随机性模型，取决于是否考虑随机因素的影响；
2）静态模型与动态模型，取决于是否考虑时间因素引起的变化；
3）线性模型与非线性模型，取决于某些基本关系，如微分方程是否是线性的；
4）离散模型和连续模型，指模型中的变量取为离散还是连续的。
虽然从本质上说大多数实际模型是随机的、动态的、非线性的，但由于确定性、静态、线性模型容易处理，且往往可作为初步的近似来解决问题，所以在建模的时候时常先考虑确定性、静态、线性模型。连续模型便于利用数学理论做理论分析，而离散模型便于计算机做数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定。
（4）按建模目的可分为预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
（5）按了解程度可分为白箱、灰箱、黑箱模型。
白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的，如自由落体运动。灰色系统的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统各因素间具有不确定关系。黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过同外界的联系加以观察研究。对它们建立的模型，分别称为白箱、灰箱、黑箱模型。白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的．
§1.3怎样学习数学建模及组织数学建模竞赛
用数学建模解决实际问题，首先是用数学语言表述问题即构造模型，其次才是用数学工具求解构成的模型。数学建模不仅需要广博的知识和足够的经验，还特别需要丰富的想像力、洞察力、判断力及创造力。想象力是人在已有形象的基础上，在头脑中创造出新形象的能力。比如当你说起汽车，我马上就想像出各种各样的汽车形象来就是这个道理。A.Einstein有一句名言：想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力包括世界的一切，推动着进步，并且是知识的源泉。洞察力是指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，
舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用哪些方法解决面临的问题以及不同方法的优劣做出判断，通俗地讲，洞察力就是透过现象看本质。
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术，技术大致有章可循，艺术无法归纳成普遍适用的准则，那怎样才能学好数学建模呢？
（1）掌握基本数学理论与计算机软件，数学理论主要有：概率与统计、运筹学、常微分方程等；计算机软件主要有：Matlab、Excel、SPSS、SAS及Lingo软件。当然，术业有专攻，我们可结合自己特长，主攻某些方面。比如，对于统计专业人士，重点学习SPSS和SAS软件，尽量精通必备的统计学理论和随机模拟，了解优化理论和微分方程；对于其他专业，重点学习Matlab和SPSS软件。
（2）博学，具有一定的背景知识，比如物理、生物、交通等。
（3）学习、分析、评价、改进别人做过的模型，并亲自动手作几个实际题目。
（4）实战是最好的学习过程，相信自己，积极参加数学建模竞赛。如果您作为指导老师，则有机会多次参加数学建模竞赛。
目前，数学建模竞赛题目的数据量越来越大，对数据处理的能力越要越高。如果参加全国大学生数学建模竞赛，建议组建的团队要有互补性，三个参赛学生中，最好一个擅长数据分析，一个擅长理论分析，一个擅长写作，指导老师尽量能力全面且具有实战经验。以作者为例，虽然统计专业毕业，但求学阶段主要进行理论推导，故刚开始指导数学建模时，虽然熟悉统计理论，也知道用什么方法分析，但不会操作软件，不过经过几年自学数学软件和统计软件并加上平时练习，现在基本可以运用软件分析数据，胜任数学建模指导工作了。作者建议数学建模指导教师平时要结合自己专业进行知识积累，尤其要重试软件操作，最好任教《数学建模》，或《运筹学》，或《常微分方程》，或统计专业课，如多元统计分析、时间序列分析。作为数学建模任课老师或竞赛指导老师要平时加强对参赛学生的培训，不要平时不努力，到时抱佛脚，同时学院领导应从宏观上规划教学大纲，尽量不要将《数学建模》开在《运筹学》、《概率与统计》及《常微分方程》之前，在讲上述课程时尽量开设上机课，增强学生软件实现能力。
对于某些院校，指导老师和参赛学生为了各自利益，踊跃参加，结果导致参赛队伍水平层次不齐，大大降低了获奖概率。作为学校主管领导，一定要严格选拔参赛学生和指导老师，控制参赛队数，采用强强联合模式，而不是指导老师水平高，但参赛学生水平低，不客气说，就是参赛学生可有可无，竞赛题基本完全由指导老师分析，竞赛论文由老师代笔！作为校方主管部门，怎么才能更好组织学生呢？下面提供几个具有操作性建议：
（1）加强《数学建模》课程建设，比如，组织学院有经验老师编著适合自己的《数学建模》教材，尽量反映竞赛试题的实用处理方法，突出软件分析，因为
虽然目前市场上的《数学建模》教材类型繁多，各有特点，但很多教材陈旧，甚至是九十年代编写的，实用性不强。
（2）参赛学生尽量必修或选修《数学建模》课程，最好是刚升入大四的学生，因为低年级学生知识贮备少，当然为了培养新人，每个参数队伍可选取一位优秀的大三学生。任课老师尽量具有数学建模竞赛实战经验。
（3）组织学生进行选拔考试，成绩优秀者可参加数学建模竞赛。
（4）对参赛学生进行赛前针对性培训，由学院有经验的获奖作者进行专题培训，如：MATLAB软件基本操作，利用Excel软件进行数据初步处理，统计建模及软件实现，优化理论及Lingo实现，微分方程建模及软件实现，图论建模等。
（5）加大奖励力度，重赏之下必有勇夫.
数学建模竞赛的最终体现就是数学建模论文，论文是评价小组建模工作的唯一依据，而竞赛要求在三天时间内完成建模的所有工作，包括论文写作，因此时间是非常紧迫的，那怎样才能撰写出理想的数学建模论文呢？在写作论文时，建模小组的成员应齐心协力，既要各司其职，又要通力合作，要做在这一点，必须对整个建模工作加以分工，理清各部分工作的并行或先后顺序关系以及在整个工作中的地位和作用。负责各部分工作的成员，应将自己的工作完整记录下来。小组内应有一个主笔人，负责对文章的整体把握，包括拟定写作提纲和论文书写，论文写出后，小组内的其他成员必须参与论文的检查和修订工作，这是因为每个成员可以检验下自己的工作是否被准确无误地表达出来了，另一方面由于惯性思维，主笔人一般检查不出自己的错误。
虽然数学建模论文没有固定的格式，但根据作者多年的参加数学建模竞赛经验，在附录中给出了往年数学建模竞赛获奖作品供读者参考。数学建模论文的一般格式如下：
1．题目：论文题目是一篇论文的第一个重要信息，要求简短精炼，高度概括，准确得体，恰如其分。
2．摘要：摘要是非常重要的一部分，主要包括：问题、模型、方法、结果以及模型的检验和推广。论文摘要语言要简练、概括，尤其要突出论文优点，如巧妙的建模方法，快速有效的算法和合理的推广。
3．问题重述：撰写这部分内容时，不要照抄原题，应把握问题的实质，再用精炼的语言论述。
4．模型假设：要根据问题的特征和建模的目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，对问题进行必要简化，做一些合理假设。假设不合理或太简单，会导致错误或无用的模型；假设太详细，会导致工作很难或无法继续下去。
5．分析与建立模型：尽量采用简单的数学工具，使建立的模型易于被人理解，
对所用变量、符号、计量单位应做解释，特定的变量和参数应在整篇论文中保持一致，可借助适当的图形、表格来描述问题和数据。
6．模型求解：使用各种数学方法和软件求解模型，包括公式的推导、算法步骤和计算结果，计算机程序应尽量放在附录中。
7．模型检验：将求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性，如果结果与实际不符，应重新建立模型。
8．模型推广：将该模型推广到更多类似问题，或讨论更一般情况下解法，或指出可能深化、推广及进一步研究的建议。
9．参考文献
10．附录：附录是正文的补充，与正文有关而又不便编入正文的内容都收集在这里，包括：计算机程序、比较重要但数据较大的中间结果等。
思考：据了解，在某些院校，数学建模竞赛题基本上由指导老师做，可以说参赛学生可有可无。请问，在数学建模竞赛中，指导老师与参赛学生的作用各是什么，为什么有些指导老师会替参赛学生做题呢？怎么才能保证指导老师不越位？作为参赛组织方，怎么区分试题是指导老师和参赛学生做的呢？普通院校与重点院校的学生能一起参加比赛么？
习题1
1．举出两个例子，说明数学建模的必要性。包括实际问题的背景、建模目的，需要大体上建立什么样的模型以及怎样利用这种模型等。
2．怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要做些什么观察、试验及建立什么样的数学模型。
（1）估计一池塘内鱼的数量。
（2）估计一批日光灯的寿命。
（3）决定十字路口黄灯亮的时间。
3．为了培养想象力、洞察力和判断力，考虑对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考。请尽快回答下面问题。
（1）某甲早上8：00从山上旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿，次日早上8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店。某乙说，甲必须在两天中的同一时刻经过路径中的同一点。为什么？
（2）一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩奔向女孩，又从女孩奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多远？
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
数学建模方法模型 一、统计学方法 1 多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事: (1) 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) (2) 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程; (3)拟合回归参数; (4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5)进行后继研究(如:预测等)
2 聚类分析 1、方法概述 该方法说的通俗一点就是，将 n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取 m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离 Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas 软件或者 spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。这种模型的的特点是直观，容易理解。 2、分类 聚类有两种类型: (1) Q型聚类:即对样本聚类; (2) R型聚类:即对变量聚类; 通常聚类中衡量标准的选取有两种: (1) 相似系数法 (2) 距离法 聚类方法: (1) 最短距离法 (2) 最长距离法 (3) 中间距离法 (4) 重心法 (5) 类平均法 (6) 可变类平均法 (7) 可变法
工程技术中常用的数学建模方法概述 摘要对目前工程和管理研究领域所涉及的数学建模方法作了简要分析，指出不同的问题所需用到的建模方法，并通过举例说明建模的方法和步骤。 关键词数学建模；建模方法；模型；建模；数学应用 在现实社会生产实践中，随着科学研究的进步，多学科交叉运用越来越多。数学建模就是一种解决实际应用问题的有效方法，当然要在充分了解问题的实际背景的基础上，把实际问题抽象成数学问题，建立起数学模型，利用数学知识对数学模型进行分析探求，得到数学结果，得出应用问题的解。即通过对问题的数学化，模型构建和求解检验[1]。 其一般步骤可分成如下几点： （1）模型准备：了解问题的实际背景，搜集建模必需的各种信息，明确建模目的。 （2）建模：对问题进行必要合理的简化和假设，根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量（变量和常量）之间的关系或其他数学结构。 （3）求模：根据数学知识和方法，求解数学模型，得到数学问题的结果。求模时要注意灵活运用各种数学方法，包括matlab等工程软件[2]。 （4）回归：把数学问题的结果回归到实际问题中，通過分析，判断，验证，得到实际问题的结果。 下面谈谈几种常用的数学建模法，限于篇幅，不便举太多例子。 （1）建立函数模型法 有关成本最低，效益最大，用料或费用最省等应用问题，可考虑建立相应函数关系式，并把实际问题转化为求最值的问题。 （2）建立三角形模型法 有关涉及几何、测量、航海等应用问题可考虑转化为三角问题来解决[3]。 （3）建立数列模型法 对于一些产量增长，细菌繁殖，存款利率，物价调节，人口探测等应用问题，往往需要通过观察分析，归纳抽象，建立出数列模型，然后用数列的有关知识加
数学建模简介 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模的广泛应用 数学建模的应用逐渐变的广泛，数学建模大量用于一般工程技术领域，用于代替传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段；在高新科技领域，成为必不可少的工具，无论是在通信、航天、微电子、自动化都是创新工艺、开发新 产品的必要手段；在新的科研领域在用数学方法研究 其中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的 步骤和这些学科发展和应用的基础。 将计算机技术和数学建模进行紧密结合，使得原 本抽象的数学模型生动具体的呈现在研究者面前，使 得问题得到更好的解决。 数学建模的分支——数据挖掘 数据挖掘（Data Mining，DM）是目前人工智能和数 据库领域研究的热点问题，所谓数据挖掘是指从数据库 的大量数据中揭示出隐含的、先前未知的并有潜在价值 的信息的非平凡过程。数据挖掘是一种决策支持过程， 它主要基于人工智能、机器学习、模式识别、统计学、 数据库、可视化技术等，高度自动化地分析企业的数据， 做出归纳性的推理，从中挖掘出潜在的模式，帮助决策 者调整市场策略，减少风险，做出正确的决策。 数据挖掘是通过分析每个数据，从大量数据中寻找其规律的技术，主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤。数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集；规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来；规律表示是尽可能以用户可理解的方式（如可视化）将找出的规律表示出来。 数据挖掘的任务有关联分析、聚类分析、分类分析、异常分析、特异群组分析和演变分析，等等。
一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。 步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
第十三章线性规划与数学建模简介 【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤； 2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法. 【本章重点】线性规划问题. 【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】 本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。 §1 数学建模概述 一、数学建模 数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。 二、数学模型的概念 模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、 量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。 通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学 式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。 三建立数学模型的方法和步骤 建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1.建模准备 建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。 2．模型假设 作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的
数学建模试题 1．设某产品的供给函数)(p ?与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(, 43)(+-=+=kp p f p p ? 其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。 解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知： )()(1n n p f p =-? 2分 9431+-=+-n n kp p 即： k p k p n n 531+- =- 经递推有： k k p k k k k p k p n n n n n n 5 )3()3 (5 )53(31 1 02?-+ ?-=++-?-=-=-∑ 6分 0p 表示初始时的市场价格 :∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13 n p k 即k <<<- 。 10分 2．某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基 因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？ 依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手) 由遗传学原理有： ??? ? ? ???? ++?=?++=?+?+?=---------111111111210021000n n n n n n n n n n n n c b a c c b a b c b a a 4分 设向量T n n n n c b a x )..(= 1-?=n n X M x
式中 ??? ?? ?? ?????????=12100211 000M 递推可得：0X M X n n ?= 对M 矩阵进行相似对角化后可得： ???? ??????=Λ100021 0000 其相似对角阵 1111012001-=?? ?? ? ?????--=p p 从而 ?? ?? ? ?????-?? ??????????????--=?Λ=-111012001)21(111012001101 n n n p p M ??????? ?????????--=----1)21(1)21(10)21 ()21(0001111n n n n n M 10101010))2 1 (1())21(1(0 )2 1 ()21(0 b a c c b a b a n n n n n n n ?-+?-+=++==---- 8分 当∞→n 时，1,0,0→→→n n n c b a 。 10分 3．试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为 什么？ 解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M ，当前人口数量为N （t ），r 为比例系数。建立模型： )()) (1()(t N M t N r dt t dN ?-?= 00|N N t == 4分
第1章数学建模概述 (2) §1.1从现实现象到数学模型 (2) §1.2数学建模方法、步骤、特点与分类 (4) §1.3怎样学习数学建模及组织数学建模竞赛 (8) 习题1 (10)
第1章数学建模概述 随着科学技术的发展，特别是计算机技术的飞速发展，数学建模作为一门用数学方法解决实际问题的学科越来越受到人们的重视。对于广大科技人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁.其实，“所谓高科技就是一种数学技术”，几乎所有学科发展到高级阶段都要引入数学，进行量化处理，甚至几乎所有科学理论都可看作数学模型，马克思说过“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。当今，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义： （1）在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地，如机械、电机、土木、水利等； （2）在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具，如通信、微电子、航天、自动化等； （3）数学进入一些新领域，诸如经济、人口、生态、地质等。所谓非物理领域也为数学建模开辟了许多处女地，如计量经济学、人口控制论、数学生态学等。 本章为数学建模概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，使读者全面的、初步的了解数学建模，最后给出几点数学建模竞赛建议供读者参考。 §1.1从现实现象到数学模型 现实世界丰富多彩，变化万千。人们无时无刻都在运用自己的智慧和力量去认识、利用、改造世界，从而创造出更加多彩的物质文明和精神文明。博览会是集中展示这些成果的场所之一。工业展厅上，豪华、舒适的新型汽车令人赞叹不已；农业展厅上，硕大、娇艳的各种水果令人流连忘返；科技展厅上，大型水电站模型雄伟壮观，人造卫星模型高高耸立，讲解员深入浅出的介绍原子结构模型的运行机理，电影演播室里播放着一部现代化炼钢厂自动化生产的影片，其中既有火花四溅的炼钢情形，也有控制的框图、公式和程序。参加博览会，既有汽车、水果那些原封不动的从现实搬到展厅的实物，也有各种实物模型、照片、图表、公式……，这些模型在短短几个小时给大家的作用，恐怕置身现实世界很多天也无法做到。 与形形色色的模型相对应，它们在现实世界的原始参照物统称为原型，它们是人们现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型是为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、抽象、提炼而构成的原型替代物，也是所研究的系统、过程、事
数学建模是怎么回事 一提起数学竞赛，人们脑海里就会浮想起这样的场面：考场里鸦雀无声，监考老师警惕的目光扫视全场．年轻的数学尖子们坐在各自的书桌前，时而冥思苦想，时而奋笔疾书，希望能找到那一道道数学难题的正确答案．而那正确答案早已经由出题的专家们做出来，正锁在某—个保险柜里． 数学建模竞赛，或称数学模型竞赛，是不是也是这样的场面呢？你最好还是先到它的考场去见识见识吧．且慢！它并没有一个固定的考场．那么，参赛的选手们在哪里做题呢？到哪里去找他们呢？你可以到图书馆去试试，他们也许正在那里查阅资料，在那堆积如山的书堆中翻来翻去，希望从浩瀚的书海中打捞到自己需要的宝贝，你也可以到计算机房去看看，或许他们正在熟练地操纵着键盘，聚精会神地注视着计算机屏幕，屏幕上闪烁着的那些枯燥无味的数字和符号，简直就像侦探片、武打片或世界怀足球赛那样能抓住他们的心，让他们或欣喜若狂，或目瞪口呆，或颓丧万分．旁边居然还有一个选手在打瞌睡，小心别吵醒他，他已经连熬了两个通宵了！那边是谁在吵架？不，那是另外一队的选手在讨论问题，七嘴八舌，各有各的主意，要把这些互相冲突的意见统—在同一份答卷里可真是不容易，交卷的时间快到了，不再有争吵的声音，打印机均匀的嚓嚓声在选手们的耳朵里好像是世界上最美妙的音乐，他们打着哈欠检查着打印机吐出的—页页印刷精美的作品．你要是他们现在最想干的事情是什么，他们一定异口同声地回答：“睡觉！” 这像是考试吗？像数学竞赛吗？又是翻书查资料，又是相互讨论，到处跑来跑去也没人管，哪里还有一点考试的体统呢？不像考试像什么？也许你会想到，这有点像是一个科研课题组在突击完成一项任务．这算说对了．参赛选手们自己也这样说：“这不像是在考试，而像是在干活．”但它确实也是考试，是另一种形式的考试，姑且说是干活的考试吧，就是考一考谁千活干得更好．再来看一看竞赛的题目吧，看它出了些什么样的数学题．以1993年我国大学生数学建模竞赛为例，它出了两个题，让每个参赛队选作其中一个．一个题是要为我国12支甲级足球队排名次，做这个题的选手们面对这些足球劲旅的比赛成绩评头品足，俨然是国家体委的官员或体育界的专家．另一个题目是卫星通讯
1数学建模概述 ? 数学模型 ? 数学建模过程 ? 数学建模示例 ? 建立数学模型的方法和步骤 ? 数学模型的分类 1数学模型 模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。 直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。 物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。 思维模型，符号模型，数学模型 数学模型： 1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。 2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。 3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。 数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。 总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律： 结合开普勒三定律得出万有引力定律 航行问题： 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？ 用y x ,分别代表船速、水速，可以列出方程 解方程组，得 22 1r m m G F =ma F =?? ?=?-=?+75050)(75030)(y x y x 小时） （千米小时）（千米/5/20==y x
数学建模一周论文论文题目：化肥调拨优化问题 姓名1：余远锋学号： 姓名2：章贝学号： 姓名3：高永彪学号： 专业：自动化 班级： 指导教师：严兰兰
摘要 运输费用最低化是我们在现代社会经常会遇到的一个问题。在社会的经济生产活动中，企业与客户都会想方设法合理调拨资源、降低运输费用，实现双方利益最大化，完成资源优化配置。本文以使物流运费成本最低为研究对象，在供应量，需求量和单位运费都已确定的情况下，可用线性规划方法来解决运输中的组织调拨问题。在本文中，我们主要解决的是化肥配送最优的问题，即是使我们花费的总运费最少。我们运用系统的观点和方法，进行综合分析，发现问题，解决问题，使物流运输活动更加优化、物流运输成本更加合理化。根据题目中所给出的各约束条件，三个厂区的所在位置、每年可供应的化肥量不同，每个产粮区每年所需要的化肥量及运费也不同。针对题目中所给信息，三个厂每年可提供的化肥完全被四个产粮区接纳，并且无剩余。同时，四个产粮区地区的需求都得到了满足。基于这两个条件，我们建立了在满足各产粮区化肥需求情况下使用总运费最少的模型，并按需求给出了最优调拨策略。我们依据此模型得出的最优运输方案最终要能符合双方要求，实现化肥资源的合理优化配置。 关键词：化肥调拨优化线性规划运输优化问题运费最少
一、问题重述 运输功能是整个现代物流七大基本功能之一，占有很重要的地位，运输成本在整个物流系统中所占的比重也很大，运输成本的有效控制对物流总成本的节约具有举足轻重的作用。通过物流流程的改善能降低物流成本，能给企业带来难以预料的效益，影响运输成本的因素是多样化、综合性的，这就要求对运输成本的分析要采用系统的观点，进行综合分析。 由于影响物流运输成本的因素很多，控制措施既涉及运输环节本身，也涉及供应链的整个物流流程。要想降低物流运输成本，就必须运用系统的观点和方法，进行综合分析，发现问题，解决问题，使物流运输活动更加优化、物流运输成本更加合理化。 一般来讲，降低运输成本的方法有五种，即减少运输环节、合理选择运输工具、制定最优运输计划、注意运输方式和提高货物装载量。在本题案例中，涉及的问题主要为制定最优运输计划，以节约运输成本。在供应量，需求量和单位运费都已确定的情况下，可用线性规划技术来解决运输的组织问题；如果需求量发生变化，运输费用函数是非线性的，就应使用非线性规划来解决。属于线性规划性类型的运输问题，常用的方法有单纯形法和表上作业法。本文通过建立数学模型的方式通过MATLAB软件加以运算，找出最高效的运输方式以给出最优调拨策略，使总运费最小化。 按题目中所述，某地区有三个化肥厂，除供应外地区需要外，估计每年可供应本地区的数字为：化肥厂A—7万吨，B—8万吨，C—3万吨。有四个产粮区需要该种化肥，需要量为：甲地区—6万吨，乙地区—6万吨，丙地区—3万吨，丁地区—3万吨。已知从各化肥厂到各产粮区的每吨化肥的运价如下表所示： 二、问题分析 在本文中，我们主要解决的是化肥配送最优的问题。在这里的最优即是使我们的总运费花费的最少。根据题目中所给出的条件是有三个在不同位置的化肥厂，每个化肥厂每年可供应的化肥量不同。然而有四个产粮区需要化肥，每个产
一、数学建模概述 1.1 什么是数学建模 通常我们把现实问题的一个模拟称为模型，如交通图、地质图、航空模型等。利用数学的语言、公式、图、表、或符号等来模拟现实的模型称为数学模型。我们知道，对于一个现实问题的研究，一般不需要甚至不可能直接研究现实问题的本身，而是研究模拟该现实问题的模型。举个简单例子：某司机欲把某货物从甲地运往已地，应如何选择运输路线使总路程最短？该司机不会开着车去试探，而是利用交通图来确定自己的行车路线。从这个简单的例子中我们可以看到数学建模的重要性。 1.2 数学建模包含哪些步骤 数学建模主要包含模型建立、求解以及对结果的分析与检验等步骤。 模型建立 模拟现实问题建立数学模型，不仅要有一定的数学知识与技巧，还要有敏锐的洞察力与理解力，善于抓住问题的内在联系，作出合理的假设与简化，找出影响问题的各种因素及其相互关系。建立数学模型，不仅要有一定的数学知识与技巧，还要具备其他学科的一些知识，另外还要有一定的编程能力。 一般来说，模型建立的方法不止一种。如最短路线问题，可以用图论方法，也可以用线性规划方法，有时还可用动态规划的方法。 模型求解 在建立模型之后，就要求解模型，给出有效的计算方法。例如旅行推销员问题：一个推销员要到n 个城市去推销，如何安排行程？如果用简单的组合算法，其计算步骤是!n 的倍数，随着n 的增大，计算量之大以至无法得到结果。如30n ，即使以每秒以24 10 步的速度来计算，也需要8年多，况且现在的计算机还没有达到上述速度。 结果的分析与检验 有些问题需要对解的现实意义作出解释，检验模型的正确性，并对模型的稳定性进行分析。如种群的相互竞争问题需要对解的现实意义作出解释，并对模型的稳定性进行分析。 二、基本知识 微分方程在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。大量的实际问题需要用微分方程来描述。 首先，我们要对实际研究现象作具体分析，然后利用已有规律、或者模拟，或近似的得到各种因素变化率之间的关系，从而建立一个微分方程。一般地，利用以下三种方法建立一个微分方程模型。 1. 根据规律建模 在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践检验的规律和定律，如Newton 运动定律、物质的放射性规律、曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率，因而可根据相应的规律以及 变化率＝输入率－输出率 的思想，列出微分方程。 2. 微元法建模 在数学、力学、物理等许多教科书上会见到用微元分析法建立常微分方程模型的例子，它实际上是应用一些已知的规律或定理寻求某些微元之间的关系。 3. 模拟近似法 在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，由于我们对上述领域的一些现象的规律性目前还不是很清楚，了解并不全面，应用微分方程模型进行研究时，可根据已知
第四章数学建模与建模案例 第一节数学建模概论 一、数学建模的过程 数学建模，专家给它下的定义是：“通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些‘规律’建立起变量、参数间的确定的数学问题（也可称为一个数学模型），求解该数学问题，解释验证所得到的解，从而确定能否用于解决问题多次循环、不断深化的过程. ”简而言之，就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程. 数学建模过程概括的说，主要由三部分组成：1、适当的数学语言和方法，对实际问题的内在规律进行研究，分清问题的主要因素和次要因素，恰当地抛弃次要因素，提出合理的假设. 并用数字、图表或者公式、符号表示出来；2、用各种数学和计算机手段求解模型；３、对模型的求解结果进行检验. 这包括：从实际角度出发研究其可行性以及合理性；放宽建模的约束条件，研究其应用的广泛性；波动参数，观察模型的稳定性. 等等. 面对这样一个实际问题，我们首先是对问题进行重述与分析. 数学建模是在已有的已知条件及知识体系基础上的再创造过程. 要解决一个问题，就要了解实际问题的背景知识，明确所解决问题的目的要求，合理收集有关数据，查阅前人的相关工作. 然后来循求解决问题的方法. 1、进行合理假设 实际问题众多因素之间有主次之分. 如果面面俱到，无所不包，模型就会非常复杂，不易求解. 因此可通过合理假设将问题理想化、简单化、清晰化，抓住主要因素，暂不考虑次要因素，在相对简单的情况下，理清变量之间的关系，以便于进行数学描述. 合理假设包括简化问题假设及对所研究对象进行近似，使之满足建模所用数学方法必须的前提条件. 应注意的是对于一个假设，最重要的是是否符合实际情况. ２、符号的约定 要别人看懂你的论文，对论文中所用到的变量符号要给予说明（此文中略）. 3、建立数学模型 整个数学建模中最关键的部分，是从实际到数学的过程. 分析问题，采用适当的数学方法进行模型设计. 同一个问题所采用解题的数学方法也不是唯一的，因此其数学模型的形式也不是唯一的. 4、模型求解及结果分析 不同的模型要用到不同的数学工具求解. 我们可以编写计算机程序或运用计算机软件对模型进行求解. 数学建模的培训和实际参赛，使大学生运用计算机语言编程和使用数学软件得到一个非常好的实践机会. 对所求结果是否具有实际意义或满足实际要求，要进行细致的分析. 验证结果是切实可行的，并且是最优解. 5、模型的验证 111
1 数学建模概述
? ? ? ? ? 数学模型 数学建模过程 数学建模示例 建立数学模型的方法和步骤 数学模型的分类
1 数学模型
模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不 一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。矚慫润厲钐瘗睞枥。 直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。 物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模 拟试验，间接地研究原型的某些规律。聞創沟燴鐺險爱氇。 思维模型，符号模型，数学模型 数学模型： 1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。 2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。 3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化 和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。残骛楼諍锩瀨濟溆。 数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。 总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、 图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期： “数理是宇宙的基本原理” 。文艺复兴 时期：应用数学来阐明现象“进行尝试” 。微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、 符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间 最短的路径前进” 。牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：酽锕
极額閉镇桧猪。
F ? ma
结合开普勒三定律得出万有引力定律
F ?G
m1m2 r2
航行问题： 甲乙两地相距 750 千米，船从甲到乙顺水航行需 30 小时，从乙到甲逆水航行需 50 小时，问船速、水速各 多少？彈贸摄尔霁毙攬砖。 用 x , y 分别代表船速、水速，可以列出方程
解方程组，得
?( x ? y) ? 30 ? 750 ? ?( x ? y) ? 50 ? 750 x ? 20 （千米/小时） y ? （千米 5 /小时）
数学模型概述 2006年12月19日星期二下午 02:23 数学模型概述 数学是一切科学和技术的基础。数学教育改革关系到数学乃至科学的未来，努力使我国的数学教育面向21世纪，适应现代化建设的需要，已成为刻不容缓而又意义深远的任务。目前，数学的应用向着各个领域渗透，各行各业日益依赖于数学，甚至可以说当今的社会正日益数学化。从科学技术的角度来看，不少新的分支（交叉）学科出现了，特别是与数学相结合而产生的学科，例如数学化学、数学生物学、数学地质学、数学心理学、数理语言学、数学社会科学等。我国著名科学家钱学森教授也多次强调数学科学的重要性，并论述了他对“数学技术”的理解。而且象财务、会计专用软件包等都是大量应用了现有的相关的数学知识，开发数学模型以及应用数学技巧、方法的结果。然而多数人只是见到外在表现而没认识到所以能有这种外在表现的内在原因。因而人们对当今这个时代的日益数学化这一特点远没有取得共识。相反我们却看到一种矛盾的现象，一方面很容易“论证”数学的重要性，因为从小学一年级到大学一年级（甚至高年级、研究生阶段）每学期都要学习数学而且都是必修课，而任何其他学科都没有这么长的学习时间，因而“数学最重要”不是很显然了吗？然而认真地看一下对数学科研的资助在削弱，选学数学作为终身职业的学生数目锐减，甚至要求大量削减数学教学学时的“呼声”经常出现。不少有远见的科学家已经注意到这一问题的严重性。例如著名的Dvaid（美国数学界的权威）的报告中就指出“一方面，数学及数学的应用在科学、技术、商业和日常生活中所起的作用愈来愈大；在另一方面，一般公众甚至科学界对数学研究可以说是一无所知。”James G. Glimm在《数学科学，技术，经济竞争力》中指出“作为一种技术的数学科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工业竞争的推动力的极其重要性也未被认识到”，E.E.David Jr.在《 Notice of American Mathematical Society 》中肯定地指出“数学的重要性不是不言自明的，何况许多对此看法游移不定的人并没有认真地思考过（数学的重要性问题）。”他告诫数学界要作出更多的主动努力使人们更了解数学。众所周知，21世纪是人才竞争的时代，人才竞争的关键是人才的培养，大学作为人才培养的主要阵地，实施素质教育势在必行。 一、数学素质教育1、对数学地位和作用的再认识数学不仅是一切科学和技术的基础，而且是学习和攀登科学技术高峰的钥匙和先决条件。在信息社会里，由于计算机的广泛应用，加速了现代社会的“数学化”进程，因为越来越多的问题首先需要归结或表示为能用计算手段处理的数学问题，数学科学在社会发展中的地位空前提高，目前，人们把科学计算与理论研究、科学实验并列为科学研究的三种基本方法。在日常的经济与行政管理工作中，严谨的逻辑思维与定量思维是衡量一个人文化素质是否全面发展的一个重要标志。德国著名数学家H.G.Grassmann曾说过：“数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外，还有另一个训练全面考虑科学系统的头脑的开发功能”。而James在《数学科学·技术·经济竞争力》中指出：“数学的思考方式具有根本的重要性。简言之，数学为组织和构造知识提供了方法，以至于当用于技术时就能使科学家和工程师们生产出系统的、能复制的，并且是可以传播的知识。分析、设计、建模、模拟（仿真）及其具体实施就可能变成高效加结构良好的活动。”因此，“在经济竞争中数学科学是必不可少的，数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术”。 但是，众所周知，计算机并不是法力无边的，它不会自己建立模型，不会设计适当的方法，也不会自行编程序软件。计算机所擅长的只是按照人们编制的软件快速进行数学计算和符号演算。在这个意义是容易理解数学可以帮助人更好地驾驭计算机，计算机越发展越需要数学修养高的人。计算机正是借助于数学才获得了广泛的成功，甚至根本改变了许多技术领域的面貌。 综上所述，数学素质是素质的重要组成部分，实施以大学生数学素质教育为核心的数学教学改革势在必行。 2、高等院校数学教育的任务由于以计算机和通讯为代表的信息技术的迅猛发展，当前的数学教育面临两大问题：其一是信息革命对数学与数学教育提出了哪些新的要求，或者说数学教育应该进行哪些改革才能满足信息社会的需要；其二是现代教育技术对数学教学改革能发挥哪些作用，在新技术的支持下能否创设更理想的数学教育，以克服传统教育难以解决的哪些困难。一个不争的事实是：计算机革命的冲击力
1.贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？ (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？ (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？ (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是： (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： (1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即A N =0。 利用式子x =A 0r (1+r )N (1+r )N ?1=200000×0.006×(1+0.006)240 (1+0.006)240?1=1574.699=1574.70(元)， 即每个月还款1574.70元，共还款1574.70×240=377928.00(元)，共计付利息177928.00元。 (2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为A 60， 利用公式：A k =A 0(1+r )k ?x 1+r k ?1 1+r ?1 ， 所以，A 60=200000×(1+0.006) 60?1574.70× 1+0.006 60?10.006=173034.90(元) (3) A 60=173034.90元，即第六年初，贷款利率0.8%，所以余下的15年，每个月还款额为：x =A 60r (1+r )N (1+r )N ?1=173034.9×0.008×(1+0.008)180 (1+0.008)180?1=1817.33(元) (4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的12 ，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数：A 204=200000×(1+0.006)204?1574.70× 1+0.006 204?10.006=50847.64(元)。 对于条件(ii)佣金数：A 0×10%=20000(元) 分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率0.6%/月，17年的存款本息为20000× 1+0.006×204 =44480 元 <50847.64(元) 即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。