（1）A
A I -≤
--11
)
(1
；
（2）A
A I A I -≤---1)(1
.
证明:(1)由于
A A I I A I 11)()(---+=-,
故
A A I I A A I I A I 111)()()(----+≤-+≤-,
即 A
A I -≤
--11
)(1
.
(2)因为
A I A I =-+)(,
两边右乘1
)(-+A I ,可得
11)()(--+=+-A I A A I I ,
左乘A ,整理得
11)()(--+-=+A I AA A A I A ,
则
111)()()(---++≤+-=+A I A A A A I AA A A I A ，
即 A
A I A I -≤
---1)(1
.
15.设C l k C
B A n
n ∈∈?,,,证明：
（1）A
l k kl
kA e
e e )(+=，特别地A A e e --=1
)
(;
（2）当BA AB =时，B
A A
B B
A e e e e e +==；
（3）
A e Ae e dt
d At At At
==； （4）当BA AB =时，B A B A B A sin cos cos sin )sin(±=±. 证明:(1)
∑∑∑∞
==-∞=+??????=+=000)()()(!1!)(n n m m n m m n n n n A
l k lA kA C n n A l k e
∑∑∑∑∞=∞=∞
=∞
=+++=+=-0000)()(!!)!()!
(1)()()!(1m l l m m l l
m m m l lA kA m l m l m l lA kA C m l l m n
lA kA l l m m m l l m e e kA l kA m lA kA m l =??
? ????? ??==∑∑∑∑∞
=∞=∞=∞
=0000)(!1)(!1)()(!!1.
又因为
A A A A O e e e e I --+===)(,
故
A A e e --=1)(.
(2)当BA AB =时,二项式公式
∑===+n
m m
m n m n n
B A
C B A 0)(
成立，故
∑∑∑∞
==-∞
=+??
? ??=+=000!1)(!1n n m m m n m n n n
B
A B A C n B A n e
∑∑∑∑∞=∞
=∞
=∞
=+=+=-00
00!!1)!(1m l m l m l m
l m m l B A m l B A C m l l m n
B
A m m l l e e
B m A l =??
? ????? ??=∑∑∞=∞=00!1!1 同理，有
A B l l m m B
A e e A l
B m e
=??
?
????? ??=∑∑∞=∞=+00!1!1, 故
B A A B B A e e e e e +==.
(3)由于幂级数
∑∞
=0
!1
n n
n t
A n 对给定的矩阵A ,以及任意的t 都是绝对收敛的,且
对任意的t 都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则
A l l
l n n n n n n At Ae l t A A n t A t A n dt d e dt d ==-=??? ??=∑∑∑∞
=∞=-∞=0
110!)!1(!1, 同理，有
A e A l t A e dt d A
l l
l At =???
? ??=∑∞=0
! 故
A e Ae e dt
d At At At
==. (4) 因为
Λ-+-+
+=4
32!41!31!21A iA A iA I e iA )!51
!31()!41!21(5342ΛΛ-+-+-+-=A A A i A A I
A i A sin cos +=
故
)(21sin iA iA
e e i
A --=
. 又当BA AB =时，
B A A B B A e e e e e +==,
则
()()
iB iA iB
iA B A i B A i e e e e i e e i B A --+-+-=-=
+2121)sin()()( )]sin )(cos sin (cos )sin )(cos sin [(cos 21
B i B A i A B i B A i A i
---++= B A B A sin cos cos sin += 同理，可得
B A B A B A sin cos cos sin )sin(-=-
16.求下列三类矩阵的矩阵函数2
,sin ,cos A e A A
（1）当A 为幂等矩阵(A A =2)时； （2）当A 为对合矩阵(I A =2)时； （3）当A 为幂零矩阵(O A =2
)时.
解:(1) A A =2,设矩阵A 的秩为r ,则A 的特征值为1或0, A 可对角化为
J O O O I AP P r =?
?
?
???=-1, 则
11
001
sin 1sin sin sin --?
?????????
?????
????
?==P P JP P A O
O A PJP )1(sin )1(sin 1==-，
11
111cos 1cos cos cos --??
??
?????
?
??????????==P P JP P A O O
110011cos 11cos 1111--?????????
?
??
??
?
?????--+????????????????????=P P P P O O O O A I PJP I )11(cos )11(cos 1-+=-+=-
11
112
2--????
?????
?
?????
????
?==P e
e P P Pe e J A O O
11001
1111
1
--?????????
?
????
?
????
?--+???????????????
????
?=P e e P P P O
O O O A e I PJP e I )1()1(1-+=-+=-
(2) 当I A =2时，矩阵A 也可对角化,A 的特征值为1或1-, A 可对角化为
J AP P =?
?????
?????????
?
???
?--=-11
11
1O
O , 其中1有m 个.
则
11
1sin 1
sin 1
sin 1
sin sin sin --?????????
?
?????
????
?--==P P JP P A O
O A PJP )1(sin )1(sin 1==-
1
1
1cos 1
cos 1
cos 1cos cos cos --??????????
?????
????
?==P P JP P A O
O I )1(cos = eI P e e e e
P P Pe e J A =?????????
??????
????
?==--1
1
2
2O
O (3)当O A =2
时, A 的特征值均为0,则存在可逆矩阵P ,使得
11,--==PJP A J AP P ,
其中????
?
????
?=m J J J O 1
, 又O A =2
,则
O P PJ A ==-122,
于是
O J J J m =???
?
???
??
?=22
12O
故Jordan 块k J 的阶数最多为2,不妨设
0=k J ),,1(r k Λ=,B J k =?
?
?
???=0010),,1(m r k Λ+=,
即 ?????????
?
?????
?
???
?=B B J O
O 00 则
1=k iJ e ,1=-k iJ e ),,1(r k Λ=;
??????=101i e k iJ ,??
?
???-=-101i e k iJ ),,1(m r k Λ+=.
故
=--k k iJ iJ e e 0),,1(r k Λ=,
B i
i e e k k iJ iJ 210020=?
?????=--),,1(m r k Λ+=, 则
2=+-k k iJ iJ e e ),,1(r k Λ=,
I e e k k iJ iJ 22002=?
?
?
???=+-),,1(m r k Λ+=, 因此
J i B B i e e iJ
iJ 210021=?????????
?
?????????
?=--O
O ,
I e e iJ
iJ 22222=?????????
?
?????????
?=+-O
O , 所以
A PJP i i P e e P i e e i A iJ iJ iA iA =?=-=-=
----11)2(21
)(21)(21sin , I PIP P e e P e e A iJ iJ iA iA =?=+=+=----1122
1
)(21)(21cos ,
I I e e O A ==2
.
17.若矩阵A 的特征值的实部全为负，则
O e At t =+∞
→lim .
证明: 设A 的特征值为0,1,<-=+=i i i i a j j b a λ,则存在可逆矩阵P ,
使得
11,--==PJP A J AP P ,
其中????
?????
?=m J J J O 1
,i
n
i i
i J ???????????
?=λλ11O
O O
则
11
21--?????
?
?
????
??
?==P e e e P P
Pe e
t J t
J t J Jt At
m O
,
其中?????
?
?
?
?????????
?-=-t t
t t
t i n t
t t
J e te
te e e n t te
e e
i i 111111
11)!1(λλλλλλλO
O O
M Λ 又
)sin (cos lim lim lim t b j t b e e e i i t a t t jb t a t t t i i i i +==∞
→+∞
→∞
→λ,
且0
→t
t i e
λ，因此O e t J t i =∞
→lim ,则O e At t =+∞
→lim .
18．计算At
e 和At sin ，其中：
（1）?????
?????=110010002A ； （2）??????????-=010101010A ； （3）??
??
??????---=6116100010A .
解:(1)设,21=J ??
????=11012J ,则
??
???
?=21
J J
A . 由于
????
?
?=t J t
At e e e 22,?????
?=t J t At 2sin 2sin sin , 且
2012矩阵论复习题
2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
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习题课答案 一 1). 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是(b )。 (a) 1 ||n A λ - (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ 2). 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( c )必成立. ()a A 的所有顺序主子式为非负数 ()b A 的所有特征值为非负数 ()c A 的所有顺序主子式大于零 ()d A 的所有特征值互不相同 3).设矩阵111 11A α αββ?? ?= ? ???与000010002B ?? ? = ? ??? 相似,则,αβ的值分别为( a )。 (a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 二 填空题 4)若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111 ,,,2345 ，则1B E --= 24 。 5)设532644445A -?? ?=- ? ?-?? ,则100 A = 10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)442232(31)2(31)2(13)231?? +---- ? +---?- ? ?--?-? ? 三 计算题 3.求三阶矩阵1 261 725027-?? ? ? ?--? ? 的Jordan 标准型 解 1261725027E A λλλλ+--?? ?-=--- ? ?+??,将其对角化为210001000(1)(1)λλ?? ? ? ?+-??.故A 的若 当标准形为100110001-?? ? - ? ??? .■
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《矩阵理论》第一二章 典型例题 一、 判断题 1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量， ||x |A x =定义, ||x ||x 则为向量 的范数. ( ) 2．设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是矩阵A 的特征值，则22 2 1 ||||n m i i A λ==∑ . ( ) 3. 如果m n A C ?∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||A A n - =. ( ) 4. 若设n x R ∈，则212||||||||||||x x x ≤≤. ( ) 5. 设m n A R ?∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则222 1 ||||n i i A σ==∑. ( ) 6. 设n n A C ?∈，且有某种算子范数||||?，使得||||1A <，则11||()||1|||| E A A --> -, 其中E 为n 阶单位矩阵. ( ) 7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2 ||||m A = ( ) 8. 设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ) 9.设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1 ||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ) 10. 设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞ =. ( ) 12. 如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则1||||m in i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ) 13. 设,n n A C ?∈则矩阵范数 m A ∞ 与向量的1-范数相容. ( ) 14、设n n A C ?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩 阵. ( )
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二
习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；
研究生矩阵论课后习题答案全习题三
习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10.
若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，
东南大学考博矩阵论复习题
2011矩阵论复习题 1.设+ =R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为y x y x ?=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =?问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ) ,(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2)1(,(2121x k k kx kx x k ?+ =?问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3 R 的子空间，并求S 的 一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)} ()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈=′=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5.设T 是2 R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)(j i j T ?=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e ?=1j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.敬告：本资源来自网络，如有侵权，请发邮件至liwdedy@https://www.doczj.com/doc/4d2441187.html, ，收到后立即删除，谢谢!
6.设T 是3 R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T ?=++)(i k j T =+)(k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数. 7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x ,(II):321,,y y y ,由基(I)到基(II)的过度矩阵为 ???? ????????=101010101C ,3R 上的线性变换T 满足 2 1321)32(y y x x x T +=++12323 (24)T x x x y y ++=+3 1321)43(y y x x x T +=++1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中 321)(x x x a x f +++=3221)(x x ax x f +++=3 2321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性. 9.在22R ×中求由基(I)12101A ??=????20122A ??=????32112A ???=????41312A ??=????到基(II)11210B ??=?????21111B ???=????31211B ???=????41101B ????=???? 的过渡矩阵. 10.已知1(1,2,1,0)α=2(2,1,0,1)α=?1(1,1,1,1)β=?2(1,1,3,7) β=?设1212(,)(,)V L L ααββ=∩,求线性空间V 的维数和基.
矩阵论练习题2
1．了解坐标变换和基变换，熟悉过度矩阵的概念，会求过度矩阵以及一个向量在不同基下的坐标。 例1 三维空间的一组基为I ：（1，0，0）、（1，1，0）、（1，1，1），另一组基为II ：（1，0，1）、（1，2，1）、（3，1，4），求由I 到II 的过度矩阵，并求向量（2，2，3）在这两组基下的坐标。并用过度矩阵检验你计算的正确性。 112113114A -?? ?=-- ? ??? （2，2，3）= 0（1，0，0）-1（1，1，0）+3（1，1，1） （2，2，3）=-1.5（1，0，1）+0.5（1，2，1）+（3，1，4） 例2 在4维线性空间22R ?中，向量组， 123401101111,,,11110110εεεε???????? ====???????? ???????? 与向量组 123410111111,,,00001011μμμμ???????? ====? ??????????????? 为其两组基，求从基 1234,,,εεεε 到基1234,,,μμμμ 的过渡矩阵，并求向 量 1234A ?? =?? ?? 在这两组基下的坐标。 2．熟悉子空间的和与交，会用子空间的基本概念来证明子空间的性质。 例1. 子空间的和与交都是子空间. 设1V 和2V 是数域P 上线性空间V 的任 意两个子空间，试证明 （1）{}1212,V V x x V x V =∈∈ （2）{}12121122:,V V x x x x x V x V +==+∈∈ 都是线性空间V 的子空间。 例2．向量组12,,,s ααα 和12,,,r βββ 都是线性空间V 中的向量，试证明 12121212(,,,)(,,,)(,,,,,,,)s r s L L L αααβββαααβββ+= 例3．判断矩阵 311201112A -?? ?= ? ?-?? 是否可以对角化？ 例4．试将λ-矩阵 22221()1A λλλλλ λλλλλ?? - ? =- ? ?+-?? 化成Smith 标准形。
矩阵论习题
1. 假设A,B 都是实正规矩阵, 证明A,B 可同时正交对角化(即存在正交矩阵Q,使得Q T AQ 和Q T BQ 都是对角矩阵)的充分必要条件是A,B 可交换(即AB=BA). 2. 证明矩阵AB 和BA 的特征值都相同, 而且非零特征值的代数重数也相同. 并利用这个结论证明: (1) tr(AB)=tr(BA), (2) det(I+xy T )=1+y T x, 其中x,y 都是n 维向量. 3. 假设A,B 都是实对称矩阵, 且A 正定, 证明A,B 可同时对角化, 即存在非奇异矩阵C,使得C T AC 和C T BC 都是对角矩阵. 4. 证明若矩阵X 满足AX-XB=0, 且矩阵A,B 没有相同的特征值, 则必有X=0. 5. 设H=A+iB 是一个正定Hermite 矩阵, 其中A,B 是n 阶实矩阵, 证明矩阵A B B A -?? ???? 是对称正定的. 6. 设n 阶矩阵A 满足A 3 =I, 试导出A 的Jordan 标准型可能具有的形状. 7. 证明矩阵F 范数与向量2范数相容, 即2 2 .F Ax A x ≤ 8. 设v 是n 维非零实向量, E 是n 阶实矩阵, 证明1 22 2 2 (()).F T F T T Ev v E E I v vv v v --=+ ‖‖‖‖ 9. 设200011,20 1A π??? ?= ?????? 证明2 20 0044sin 011.00 1A A A ππ ?? ??= -=?????? 10. 设6 222 20,0 2A ?? ? ? =-?????? 计算ln .A 11. 证明对任意n 阶矩阵A, 有2 1,sin(2cos(2))2sin cos . 2cos A A A A A =-= 12. 形如 (,)T k N y k I ye =-的矩阵称为Gauss-Jordan 变换, 其中y 是n 维实向量. (1) 假定 N(y,k)非奇异, 给出计算其逆的公式. (2) n 维实向量x 满足什么条件才能保证存在n 维实向量 y 使得N(y,k)x=e k . 13. 证明222x y x y +=+‖‖‖‖‖‖当且仅当x 与y 线性相关, 且 0.T x y ≥
矩阵论试题
2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一．判断题（每小题3分，共15分） 1．线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零， 即ker A =0。（ ） 2．实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。（ ） 3．设A 是n 阶方阵，则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)(4． 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间，求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 ， 。 5．设A 是复数域上的正规矩阵，则A 满足： ，并 写出常用的三类正规矩阵 。 三．计算题（每小题12分，共48分） 1．在3R 中，试用镜像变换（Householder 变换）将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量，写出变换矩阵。 。
矩阵论华中科技大学课后习题答案
习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?
矩阵论复习题
第二章 内积空间 一、基本要求 1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念． 2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质． 3、理解Hermite 二次型的定义． 4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系． 5、了解欧氏子空间的定义． 6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系． 7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系． 8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵． 二、基本内容 1、内积空间 设数域F 上的线性空间)(F V n ，若)(F V n 中任意两个向量βα,都有一个确定的数与之对应，记为),(βα，且满足下列三个条件 (1) 对称性：),(),(αββα=，其中),(αβ表示对数),(αβ取共轭； (2) 线性性：),(),(),(22112211βαβαβααk k k k +=+； (3) 正定性：0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα， 则称),(βα为向量α与β的内积．当R F =时，称)(R V n 为 欧氏空间；当C F =时，称)(C V n 为酉空间． 注意：在n R 中，),(),(βαβαk k =；在n C 中，),(),(βαβαk k =． 通常的几个内积： (1) n R 中，αββαβαT T n i i i y x ===∑=1),(
矩阵论题目
1. 证明：假设A 中模最大的元素不在对角线上，那么存在001i j n ≤≠≤，使得0 ,,||||i i i j a a <。取n x C ∈，其中000 00,,|| i j i i j a x a = ，0 1j x =，其余元素均为0。 这样，0 ||1i x =，0 ||1j x =。 0000000000000022,,,,11 ||||n n H ij i j i i i j j j i j i j j i j i i j x Ax a x x a x a x a x x a x x ====+--∑∑ 由于A 为Hermite 正定矩阵，因此,,,0,i i i j j i a a a >=，1,i j n ?≤≤。这样， 0000000000000000000000 0000000000,,,,,,,,,,,,,,,|| ||2||0 i j i j H i i j j i j i i j i i i j j i j i j i j i j i i j j i j a a x Ax a a a x a x a a a a a a a a a =+--=+--=+-< 这与A 正定矛盾！故结论得证！ 2. 补充知识介绍：对,m n A C ∈,,m n B C ∈，我们称()ij ij C a b =为矩阵,A B 的 Hadamard 积，记为C A B =。。关于两个Hermite 半正定的Hadamard 积， 有如下的不等式成立：设,A B 为Hermite 半正定矩阵，则0A B ≥。，并且 1det()det()n jj j A b A B =≤∏。 此定理称为O ppenheim 定理。定理的详细证明请参考陈公宁《矩阵理论与分析》。技巧较高，这里不详细论述了。 备注：刚查到可以用很初等的办法来解决这个问题，其证明方法令人
矩阵论答案习题 2.1
习题２.1 1. 证：由内积定义，易知 (u, v) 满足 ① (v, u)= == (u, v) ② (u, v)= =(u, v) , R ③设w=，则 ( (u+v), w)= = =(u, w)+ (v, w) ④ (u, u)= (当u时) 故V是欧氏空间. 2. 解：方法同上. 3. 解：（1）因为，当且时，，故该实数不是内积. （2）取，有，所以，故该实数不是内积. （3）设，则有 ==（） 当时，；当，存在使得，从而 故该实数为内积. 4. 解：（1）与（2）均不构成欧氏空间；（3）与（4）是. 5. 解：== . 6. 解：（1），， ，，， ，所以度量矩阵 （2），在基1，x，x2下的坐标为，，所以. 7. 解：(1) ( , ) =A=( , ) ( +, )=( +) A= (A)+(A) = ( , ) +(, ) 正定二次
(2) ( , )=A = 故该自然基在此特殊内积定义下的度量矩阵为A． (3) . 8. 证：由不等式 , 取 ，代入即得. 9.证：考察++= ,两端分别与 作内积得方程组 由于上述方程组仅有零解(意味着线性无关) 的充要条件是系数行列式det△，从而得证. 10. 证：设基（I）与基（II）的度量矩阵分别为A与B，向量在（I）与（II）下的坐标为X1与X2，向量在（I）与（II）下的坐标为Y1与Y2.需证明.设从基（I）至基（II）的过渡阵为C，因为X1=CX2，， 而C T AC=B，于是有 11. 解： (1) u=v , =0 由 , u与v必共线， 即成比例 u=v ,且 0 ; (2) u=v (0), = ，u与v必共线，且方向相反， 即 u=v ( ) . 12. 解： (1) ; (2) ， ; (3)
矩阵论课后习题 1.1
习 题 1.1 1. 解： 除了由一个零向量构成的集合{}θ可以构成线性空间外，没有两个和有限（m ）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（k α有无限多个，k ∈p 数域）. 2. 解：⑴是；⑵不是，因为没有负向量；⑶不是，因为存在两向量的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；⑷是；⑸不是，因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭. 3. 解：⑴ 不是，因为 当k ∈Q 或R 时，数乘k α不封闭；⑵ 有 理域上是；实数域上不是，因为当k ∈R 时，数乘k α不封闭.⑶ 是；⑷ 是；⑸ 是；⑹ 不是，因为加法与数乘均不封闭. 4. 解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相应常数组成，显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理. 5. 解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）. 6. 解：（1）设A 的实系数多项式()A f 的全体为 (){} 正整数m R a A a A a I a A f i m m , 1 ∈++=
显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间. （2）与（3）也都是线性空间. 7. 解：是线性空间.不难验证t sin ，t 2sin ，…，nt sin 是线性无关的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是V 中的一个组基.由高等数学中傅里叶（Fourier ）系数知 ? = π π 20 sin 1 itdt t c i . 8. 解：⑴ 不是，因为公理2)'不成立：设r=1, s=2, α=(3, 4), 则 (r+s) (3, 4)= (9, 4), 而 r (3, 4) ⊕ s (3, 4)=(3,4) ⊕(6, 4)= (9, 8), 所以 (r+s) α≠r α⊕s α. ⑵ 不是，因为公理1）不成立：设α= (1,2) , β= (3,4) , 则α⊕β=(1,2) ⊕ (3,4) = (1,2), β⊕α= (3,4) ⊕ (1,2) = (3,4) , 所以 α⊕β≠β⊕α. ⑶ 不是，因为公理2)'不成立：设 r=1, s=2, α=(3,4) , 则 (r+s) α=3 (3, 4)= (27, 36) 而 r α⊕s α=1 (3,4)⊕2 (3,4)=(3, 4)⊕(12, 16)= (15, 20), 于是 (r+s) α≠ r α⊕s α. ⑷ 是. 9. 证 若∈βα,V ，则 ()()()()()()()β βααββααββααβαβαβα+++=+++=+++=+++=+=+) 11(111111222
矩阵理论习题(整理版)
山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷 1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空 间和列空间. 2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是 左零空间。 3、 利用QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。 4、 通过矩阵 svd 分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。 5、 将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式 ???? ? ??101010001 6、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b 有无穷多解。 7、 所有的2×2实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是 ???? ?????? ?????? ?????? ??1000010000100001 8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR 分解。 9、 在选定一个基后，任何维数为n 的欧式空间与n R 同构。 10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m 行，n 列，则输入空间的维数是n 。 二、判断题 1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。（R ） 2、两个子空间的并集是一个子空间。（F ） 3、在线性方程组Ax=b ，当矩阵A 式列满秩的时候，无论向量b 是什么，方程组都有解。（F ） 4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。（R ） 5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。（F ） 6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。（F ） 7、任何N ×N 的实矩阵都可以对角化。（F ） 8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。（F ） 9、任何M ×N 实矩阵都有奇异值分解。（R ） 10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。（R ） 三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵） 设矩阵A 为 A=??? ? ??4242 1、求矩阵A 的四个基本子空间的基和维数 初等变换 ??? ? ??0042 dim R （A ）=dim R （T A ）=1 dim N （A ）=dim N （T A ）=1 R(A)的基 ???? ??22 R(T A )的基 ???? ??42 N(A)的基???? ??-12 N(T A )的基 ??? ? ??-11 2、画出矩阵A 的四个基本子空间的示意图。 自己画很好弄 3、写出投影到矩阵A 的列空间的正交投影矩阵，计算向量b=[0 1]T 在列空间上的投影矩阵。
矩阵论复习题
2010矩阵论复习题 1. 设+ =R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2)1(,(2121x k k kx kx x k -+ =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3 R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2 R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.
6. 设T 是3 R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++= 1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数. 7.设线性空间3 R 的两个基为(I):321,,x x x , (II):321,,y y y , 由基(I)到基(II)的过度矩阵为???? ? ??--=101010101C , 3R 上的线性变换T 满足 21321)32(y y x x x T +=++ 12323(24)T x x x y y ++=+ 31321)43(y y x x x T +=++ 1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中 321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++= 讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性. 9.在22R ?中求由基(I) 12101A ??= ??? 20122A ??= ??? 32112A -??= ??? 41312A ??= ??? 到基(II) 11210B ??= ?-?? 21111B -??= ??? 31211B -??= ??? 41101B --??= ???的过渡矩阵. 10.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=?, 求线性空间V 的维数和基.
矩阵论复习题
矩阵理论及应用证明题复习题 正规矩阵（包括Hermite 矩阵；Hermite 正定矩阵等） 1. 设()ij n n A a ?=是n 阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，且12n λλλ≥≥≥ ， 证明：（1）1H n H x Ax x x λλ≤≤ ；（2）{}11max n kk k n a λλ≤≤≤≤. 2.假设n 阶Hermite 矩阵A 是正定的。证明：(1)存在正定矩阵S 使得2 A S =； （2）对任意n 维列向量,X Y ，有2 H H H Y A X X A X Y A Y ≤，并且，等号成立当 且仅当,X Y 线性相关。 3.证明：设,A B 都是Hermite 矩阵，A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b ， 则A B +的特征值都大于a b +。
4.设A 为n 阶正定Hermite 矩阵，证明（1）H nn A G a ββ ?? = ??? 是正定的的充分必要条件为1H nn a A ββ->， （2）H nn A G a ββ ?? = ??? 正定时有不等式：nn G a A ≤. 5.A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：2 46A A I -+是正定Hermite 矩阵 6.A 、B 都为n 阶正定Hermite 矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定Hermite 矩阵 范数 1.设?为n n C ?上的矩阵范数，λ为复矩阵A 的特征值，证明：m m A λ ≤（m 为正整数） 2.设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，A 是A 的任意一种范数 证明：1 1 A λ -≥
