第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系. 一、斯托克斯公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、三元函数的全微分求积 四、环流量与旋度★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 五、斯托克斯公式的向量形式， 向量微分算子
内容要点
一、斯托克斯公式
定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ???? ????-??+??? ????-??+???? ?
???-????∑.?++=L
Rdz Qdy Pdx (7.1)
公式(7.1)称为斯托克斯公式.
为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：
???
Γ∑
++=??
????Rdz Qdy Pdx R
Q P z
y x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成
.c o s c o s c o s ???
Γ∑
++=??
????Rdz Qdy Pdx dS R
Q P z
y x γβα
二、环流量与旋度
设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A
++=
则沿场A
中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分?++=ΓC
Rdz Qdy Pdx
称为向量场A
沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数
?
??
?????-????-????-??y P x Q x R z P z Q y R ,,称为向量场A 的旋度，记为A rot ，即
.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ???
? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=
旋度也可以写成如下便于记忆的形式：
R
Q P
z y x k j i A rot ??????=
. 例题选讲利用斯托克斯公式计算
例1 (E01) 计算曲线积分,?Γ
++ydz xdy zdx 其中Γ是平面1=++z y x 被三坐标面所截
成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.
解 按斯托克斯公式，有
,???∑
++=++Γ
dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx
由于
∑
的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:
,3????=∑
++xy
D d dxdy dzdx dydz σ所以 .23
=++?Γydz xdy zdx 例 2 计算曲线积分
,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-?
Γ
其中Γ是平面
2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向
看法，取逆时针方向.
解 取
∑
为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,
3}
3,1,1{=n
即,31
cos cos cos ===λβα原式dS y x x y z y z y x z
??
∑
---??
????=
2
2
22
22
3
13131
??∑++-
=dS z y x )(34
.29
3322334-=-=∑?-=????xy
D dxdy dS 例3 (E02) 计算,)()()(222222?+++++C
dz y x dy z x dx z y 式中C 是
).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x 此曲线是顺着如下方向前进的: 由它
所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方 解 由斯托克斯公式，有 原式??∑
-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2
γβα
dS R z y x R y x z R x z y ??∑?????
?-+-+??? ??--=
)()(1)( ??∑-=dS y z )(2(利用对称性)????∑=∑=dS R zdS γcos ..2
22
2
R r
d R Rdxdy rx
y x πσ==∑
=
????≤+
例4 求矢量场k z j xy i x A 2
22+-=在点()2,1,10M 处的散度及旋度. 解 A div z
A y A x A z y x ??+??+??=
z x x 2)2(2+-+=.2z =故0M A div
.4= A rot k y A x A j x A z A i z A y A x y z x x z ???
? ????-??+??? ????-??+???? ????-??= k y j i
)02()00()00(--+-+-= .2k y -=故0
M A
rot .2k -=
例5 (E03) 设,32222yz xy y x u -+= 求grad u div(grad u )；rot(grad u ). 解 g r a d u ?
??
?????????=
z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -= div(gradu)?
??
????-?+??+??=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=
rot(gradu).,,222222?
??
??????-??????-??????-???=x y u y x u z x u x z u y z u z y u
因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故
rot(gradu).0=
注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A
=grad u 为势量场或保守场，而
u 称为场A
的势函数.
例6 (E04) 设一刚体以等角速度k j i z y x
ωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v
的旋度.
解 取定轴l 为z 轴(见图10-7-4)，点M 的内径r
OM =,k z j y i x ++= 则点M 的线速度
v r
?=ωz
y
x k
j
i z y
x ωωω =,)()()(k x y j z x i y z y x x z z y
ωωωωωω-+-+-= 于是v rot x y z x y z z y x k
j i y x x z z y ωωωωωω---??
????=
)(2k j i z y x ωωω++=.2ω =
即速度场v 的旋等于角速度ω
的 2 倍.
课堂练习
1. 计算,)()()(222?
-+-+-AmB
dz xy z dy xz y dx yz x 其中AmB 是螺线
π
?
??2,sin ,cos h z a y a x ===从)0,0,(a A 到),0,(h a B 的一段曲线. 2. 物体以一定的角速度ω依逆时针方向绕Oz 轴旋转, 求速度v 和加速度w
在空间点),,(z y x M 和已知时刻t 的散度和旋度.
§1.4 矢量场的环量及旋度 1、环量 先从变力作功问题引入矢量场环量的概念。 i i i i i i l F A l F ??=?≈?θcos ? ∑ ?=??==→?∞ →l N i i i l N A l F l F d )( lim 1 0一段积分路径及其细分 θi Δl i F i b a ‘‘‘‘ ‘ ‘‘l
若将F (r )看成是任意的矢量场，上述积分则代表矢量场F (r )沿路径l 的标量线积分。矢量场的环量是上述矢量场线积分概念推广应用于闭合路径的结果，因此，F (r )的环量为 ? ?=l C l F d 环量不为零的矢量场叫做旋涡场，其场源称为旋涡源，矢量场的环量有检源作用。 F n F t F 环量的计算
水流沿平行于水管轴线方向流动C=0，无涡旋运动 流体做涡旋运动C ≠0，有产生涡旋的源 例：流速场 在直角坐标系中，设 F (x,y,z )=F x (x,y,z )e x +F y (x,y,z )e y +F z (x,y,z )e z d l =d x e x +d y e y +d z e z 则环量可写成 ? ?++=?=l z y x l z F y F x F C ) d d d (d l F
过P 点作一微小有向曲面?S ,它的边界曲线记为l ,曲面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系。当?S →点P 时,存在极限 S S C l S ??=? →?l F d lim d d 0 上式称为环量密度 过点P 的有向曲面?S 取不同的方向，其环量密度将会不同。 2、旋度（1）环量密度 面元法向矢量与周界循行方向的右手关系。 P l ?S n ' e
§3 高斯公式与斯托克斯公式 1.应用高斯公式计算下列曲面积分; (1),S yzdydz zxdzdx xydxdy ++??ò其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧; (2)222,S x dydz y dzdx z dxdy ++??ò其中S 是立方体0,,x y z a ≤≤表面的外侧; (3)222,S x dydz y dzdx z dxdy ++??ò其中S 是锥面222x y z +=与平面z h =所围空间区域(0z h ≤≤)的表面,方向取外侧; (4)333,S x dydz y dzdx z dxdy ++??ò其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧; (5),S xdydz ydzdx zdxdy ++??ò其中S 是上半球面z =.
3.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分: (1)222222()()(),L y z dx x z dy x y dz +++++??其中L 为1x y z ++=与三坐标面的交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧; (2)23,L x y dx dy zdz ++??其中L 为221,y z x y +==所交的椭圆的正向; (3)()()(),L z y dx x z dy y x dz -+-+-??其中L 为以(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B a C a 为 顶点的三角形沿ABCA 的. 4.求下列全微分的原函数: (1);yzdx xzdy xydz ++
(2)222(2)(2)(2).x yz dx y xz dy z xy dz -+-+- 5.验证下列线积分与路线无关,并计算其值: (1)(2,3,4)23(1,1,1);xdx y dy z dz -+-? (2)222 111(,,)(,,) x y z x y z ?其中()()111222,,,,x y z x y z 在球面2222x y z a ++=上.
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系. 一、斯托克斯公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、三元函数的全微分求积 四、环流量与旋度★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 五、斯托克斯公式的向量形式， 向量微分算子 内容要点 一、斯托克斯公式 定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ???? ????-??+??? ????-??+???? ? ???-????∑.?++=L Rdz Qdy Pdx (7.1) 公式(7.1)称为斯托克斯公式. 为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式： ??? Γ∑ ++=?? ????Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成 .c o s c o s c o s ??? Γ∑ ++=?? ????Rdz Qdy Pdx dS R Q P z y x γβα 二、环流量与旋度 设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ++= 则沿场A 中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分?++=ΓC Rdz Qdy Pdx 称为向量场A 沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数 ? ?? ?????-????-????-??y P x Q x R z P z Q y R ,,称为向量场A 的旋度，记为A rot ，即
1、利用高斯公式计算曲面积分 1）求()22222 234I x dydz y dxdz z x y dxdy ∑ = ++-?? ，其中∑ 为z =与2z =围成的立体的表面，取外侧。 解：利用高斯公式可得 ()246I x y z dxdydz Ω =++??? )2224 246x y dxdy x y z dz +≤= ++?? ()(()2 2 22424234x y x y x y +≤??= ++--??? ? ?? ()()22 233 0022cos 4sin 123d r r r r dr π θθθ??=-++-???? 20816cos sin 122433d πθθθπ?? =++= ??? ? 2）利用高斯公式计算曲面积分 ()()2 81214y xdydz y dxdz yzdxdy ∑ ++--??，其中∑是由 曲线()130 z y x ?=?≤≤? =?? 绕y 轴旋转一周所成曲面，它的法向量与y 正方向夹角 恒大于 2 π 。 解：曲面∑为()2 2 113x z y y +=-≤≤，并取左侧。 作辅助曲面221:3 2y x z ∑=+≤，并取右侧，利用高斯公式可得 ()()2 81214y xdydz y dxdz yzdxdy ∑ ++--?? ()()()1 2814481214y y y dxdydz y xdydz y dxdz yzdxdy Ω ∑=+---++--????? ())2 2 22223 23 10 2 2 1632232x z x z x z dxdydz dxdz dxdz dz d r r dr ππθπ ++Ω +≤+≤=- -=+=-+??????? ? ?34π= 3）设函数()f u 由一阶连续的导数，计算曲面积分 ()()222232113I f xy dydz f xy dzdx x z y z z dxdy y x ∑ ? ?=-+++ ?? ??? 式中∑时下半球面2 2 2 1(0)x y z z ++=≤的上侧。
第三章 旋转椭球的斯托克斯（Stokes ）问题 地球的大地水准面接近旋转椭球，旋转椭球有两个参数．它的赤道半径和极半径或扁率。选择参数适当的旋转椭球，使得大地水准面相对椭球面起伏的平方在旋转椭球面上的积分最小。这种旋转椭球称为参考椭球。实践表明．当参考椭球的赤道半径取为6378147m 、扁率的倒数取为298.26时，大地水准面相对参考椭球面的起伏的幅度不超过110m ．即起伏的幅度约为参考椭球赤道半径的10-5量级。本章讨论旋转椭球的斯托克斯问题，即讨论如何计算以固定旋转角速度旋转的旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力场。 3.1 斯托克斯定理 斯托克斯定理表述为：假若有一物体以一定的旋转角速度ω绕固定在物体内部的旋转轴O Ω旋转，则此物体的总质量M 、旋转角速度ω和外部重力等位面的形状∑，唯一地确定此物体在其表面上和物体的外部空间产生的重力场。这一定理是斯托克斯于1849年导出的。在数学上，根据物体的总质量M 、绕固定轴旋转轴旋转角速度ω和其外重力等位面的形状∑这三个条件，计算此物体在其表面上和外部空间产生的重力场称为求解此物体的斯托克斯问题。现将斯托克斯定理证明如下。 如图3.1.1所示，假若总质量M 、旋转角速度ω和外部重力等位面形状∑给定的某一物体在其表面上和外部空间产生两个不同的重力位12(),()W W r r ，若能证明12(),()W W r r 在物体的表面上和外部空间恒等，则斯托克斯定理得到了证明。物体的重力位由它的引力位和
离心力位两部分组成；用12(),()V V r r 分别表示重力位12(),()W W r r 中的引力位部分，因为物体在某点的离心力位只决定于物体的旋转角速度和该点在物体上的位置，因而两个重力位 12(),()W W r r 中的离心力位部分相同。用()Q r 表示它们的离心力位，则根据斯托克斯定理 的三个条件，有 12,C C 为两个不同的常数，且 其中，12,ρρ分别为与12,W W 相对应的物体内部的密度分布。用()T r 表示重力位1()W r 和重力位2()W r 的差，则根据（3.1.1）~（3.1.3）式，有 只要能够证明函数()T r 在∑上和它的外部恒等于0，也就证明了斯托克斯定理。为此， 引入矢量函数()a r ，令 将上式代入下述格林公式
斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式 斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面∑上的曲面积与沿着∑的边界曲线Γ的曲线积分联系起来。 我们首先介绍有向曲面∑的边界曲线Γ的正向的规定，然后陈述并证明斯托克斯公式。 【定理】设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在包含曲面∑在内的一个空间区域具有一阶连续偏导数，则有 ???Γ∑++=??-??+??-??+??-??Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()( (1) 公式(1)叫做斯托克斯公式。 证：先假定∑与平行于z 轴的直线相不多于一点，并设∑为曲面),(y x f z =的上侧，∑的正向边界曲线Γ在xoy 面上的投影为平面有向曲线C ，C 所围成的闭区 域为xy D 。 我们设法把曲面积分 ??∑??-??dxdy y P dzdx z P
化为闭区域xy D 上的二重积分，然后通过格林公式使它与曲线积分联系。 根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系，有 ????∑∑γ??-β??=??-??dS y P z P dxdy y P dzdx z P )cos cos ( (2) 由第8.6节知道，有向曲面∑的法向量的方向余弦为 221cos y x x f f f ++-= α，221cos y x y f f f ++-=β，2 211 cos y x f f ++=γ 因此γβcos cos y f -=，把它代入(2)式得 ????∑∑γ???? ????-???-=??-??dS y P f z P dxdy y P dzdx z P y cos 即 ????∑∑γ???? ????+??-=??-??dS y P f z P dxdy y P dzdx z P y cos (3) 上式右端的曲面积分化为二重积分时，应把),,(z y x P 中的z 用),(y x f 来代替，因为由复合函数的微分法，有 y f z P y P y x f y x P y ???+??=??)],(,,[ 所以，(3)式可写成 ????∑??-=??-??xy D dxdy y x f y x P y dxdy y P dzdx z P )],(,,[ 根据格林公式，上式右端的二重积分可化为沿闭区域xy D 的边界C 的曲线积分 ???=?? -xy D c dx y x f y x P dxdy y x f y x P y )],(,,[)],(,,[ 于是 ???∑=??-??c dx y x f y x P dxdy y P dzdx z P )],(,,[ 因为函数)],(,,[y x f y x P 在曲线C 上点),(y x 处的值与函数),,(z y x P 在曲线Γ上 对应点),,(z y x 处的值是一样的，并且两曲线上的对应小弧段在x 轴上的投影也是一样，根据曲线积分的定义，上式右端的曲线积分等于曲线Γ上的曲线积分 ? Γ dx z y x P ),,(,因此，我们证得 ???∑Γ=??-??dx z y x p dxdy y P dzdx z P ),,( (4) 如果∑取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那末(4)式两端同时改变符号，因此(4)式仍成立。 其次，如果曲面与平行于z 轴的直线的交点多于一个，则可作辅助曲线把曲面分成几部分，然后应用公式(4)并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲
3高斯公式与斯托克 斯公式
第二十二章曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式 授课章节：ch22---§3-高斯公式与斯托克斯公式（P290--297） 教学目的：1）掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用 教学重点：定理22.3, 定理22.4 教学难点：定理22.3,定理22.4 教学方法：讲练结合． 教学程序：1．引导 2．定理22.3,定理22.4 3．例题及部分习题练习 4．作业．P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。 一高斯公式 格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯（Gauss）公式。 定理22.3设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成。若函数P，Q，R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则 ?Skip Record If...?，（1） 其中S取外侧。（1）式称为高斯公式。 证下面只证 ?Skip Record If...? 读者可类似地证明 ?Skip Record If...?
这些结果相加便得到了高斯公式（1）。 先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面 ①若S为封闭曲面，则曲面积分的积分号用?Skip Record If...?表示。 ?Skip Record If...? 及以垂直于?Skip Record If...?的边界的柱面?Skip Record If...?组成（图22－6），其中?Skip Record If...?。于是按三重积分的计算方法有 ?Skip Record If...? 其中?Skip Record If...?都取上侧。又由于?Skip Record If...?在xy平面上投影区域的面积为零，所以 ?Skip Record If...? 因此 ?Skip Record If...? 对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论。详细的推导与格林公式相似，这里不再细说了。▌高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。 例1计算 ?Skip Record If...? 其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧（即上节习题1（1））。 解应用高斯公式，所求曲面积分等于 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?▌ 若高斯公式中P＝x,Q=y,R=z,则有 ?Skip Record If...? 于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积公式 ?Skip Record If...? 二斯托克斯公式
第二十二章 曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式 授课章节：ch22---§3-高斯公式与斯托克斯公式（P290--297） 教学目的：1）掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用 教学重点：定理22.3, 定理22.4 教学难点：定理22.3,定理22.4 教学方法：讲练结合． 教学程序：1．引导 2．定理22.3,定理22.4 3．例题及部分习题练习 4．作业．P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。 一 高斯公式 格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯（Gauss ）公式。 定理22.3 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成。若函数P ， Q ，R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则 ?????++=???? ????+??+??S V Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ， （1） 其中S 取外侧。（1）式称为高斯公式。 证 下面只证 .?????=??S V Rdxdy dxdydz z R 读者可类似地证明 .,??????????=??=??S V S V Qdzdx dxdydz y Q Pdydz dxdydz x P 这些结果相加便得到了高斯公式（1）。 先设V 是一个xy 型区域，即其边界曲面S 由曲面 ①若S 为封闭曲面，则曲面积分的积分号用 ?? 表示。 ()()()()xy xy D y x y x z z S D y x y x z z S ∈=∈=,,,:,,,,:1122 及以垂直于xy D 的边界的柱面3S 组成（图22－6），其中()()y x z y x z ,,21≤。于是按三重积分的计算方法有
斯托克斯定理: 斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。 当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。 斯托克斯粘滞公式: 斯托克斯公式具有广泛的用途．本文就两个具体实例来加以讨论：1斯托克斯公式由于流体的粘滞性，固体在流体中运动会受到两种阻力，一种是由于层流体附着在固体表面，层流体和邻层流体间的内摩擦力；另一种是为压强阻力，压强阻力的实质是尾随运动着的固体后面的流体中，有涡旋产生．固体相对于流体的速度小时涡旋还未形成，压强阻力可被忽略，这时，阻力可视为只有前一种． 公式应用条件：层流液体，无限宽广无限深度，物理下沉速度稳定时较小，雷诺数Re<0.1 中文名称：斯托克斯粘滞公式 英文名称：Stokes viscocity formula 定义及摘要： 斯托克斯粘滞公式
斯托克斯公式（数学公式）: 斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系. 纳维-斯托克斯方程: 纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。简称N-S方程。粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。