复旦大学高等数学A 期末考试试卷
2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =r ，(4,1,10)b =-r
，c b a λ=-r r r ，且a c ⊥r r ，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11
(1)n
p n n
∞
=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是
（ ）
A ．2x y Ce =
B ．22x y Ce =
C ．22y y e Cx =
D ．2y e Cxy = 2．求极限
(,)(0,0)lim x y →= （ ）
A ．
14 B ．12- C ．1
4
- D ．12
3
．直线:
327
x y z
L ==-和平面:3278
0x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π
D ．直线L 与平面π斜交
4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，
则D
σ= （ ）
A ．33()2
b a π
- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-
5．下列级数收敛的是 （ ）
A ．11(1)(4)n n n ∞
=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D
．1
n ∞
=
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
2. 计算二重积分22
D
x y
dxdy x y
++??
，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y
??+??。
4.求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-?，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针方
向。
5.
计算D
y ??，其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
6
．判断级数1(1)1
n n n n ∞
=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
7．将函数1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
2. 求幂级数1
(1)(1)!n n
n nx n ∞
=-+∑的和函数。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=????，
求()f x 和()g x 。
参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．2{(,)|210}x y y x -+> 2．3
3．920y z --= 4．1ln ln yz yz yz yzx dx zx xdy yx xdz -++ 5．01p <≤ 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C 2．C 3．C 4．B 5．A
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
解：先求'0y y +=的通解，得1x y C e -=………………2分
采用常数变易法，设()x y h x e -=，得''()()x x y h x e h x e --=-………3分 代入原方程得'()()()x x x x h x e h x e h x e e ----+=………………4分
得21
()2
x h x e C =+………………5分
故通解为1
2
x x y e Ce -=+………………6分
将初始条件0x =，2y =带入得3
2
C =，故特解为1322x x y e e -=+…………7分
2. 计算二重积分22
D
x y
dxdy x y
++??
，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 解：设cos ,sin x r y r θθ==………………1分
则1
0,
12
sin cos r π
θθθ
≤≤
≤≤+………………3分
所以12
12220sin cos cos sin D
x y r r dxdy d rdr x y r π
θθθθθ+++=+????………………5分 20
(sin cos 1)d π
θθθ=+-?………………6分
42
π
-=
………………7分
3. 设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z
x y
??+??。
解：设(,,)432sin(23)F x y z x y z x y z =-+-+-………………1分
12cos(23),44cos(23),36cos(23)
x y z F x y z F x y z F x y z =-+-=--+-=++-………………4分
2cos(23)14cos(23)4
,3[12cos(23)]3[12cos(23)]y x z z F F z x y z z x y z x F x y z y F x y z ?+--?+-+=-==-=
?++-?++-……6分 所以
1z z x y
??+=??………………7分
4. 求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-?，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针
方向。
解：圆的参数方程为：cos ,
sin (0)2
x a t y a t t π
==≤≤
……………1分
220
()()(cos sin (cos sin )cos )sin L
x y dx x y dy a t a t da a t a t da t t π
π
++-=+-+??
?……3分
2
20
(cos 2sin 2)a
t t dt π
=-?
………………4分
2
2
0[sin 2cos 2]2
a t t π
=+………………6分 2a =-………………7分
（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）
5.
计算D
y ??，其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
解：{(,)|1,11}D x y y x =≤≤-≤≤………………1分
1
1
1
D
y dx y -=???………………2分
312621
12[(1)63x y -=-?+-?………………4分
1
311(||1)9x dx -=--?………………5分
1
302(1)9x dx =--?………………6分
1
6=………………7分
6.
判断级数1
(1)1n n n n ∞
=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
解：(1)11n n n n n -=++1分
)n →∞:
………………3分 所以级数发散。………………4分 又
(1)1(1)(111n n n n n -=--++5分
1
n n +=………………6分
显然，交错级数1n n ∞
=
1n
n ∞
=都收敛，所以原级数收敛。因此是条件
收敛。………………7分
7. 将函数
1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。
解：
111
(1)(2)12x x x x
=-----………………2分
而
1
,||11n n x x x ∞
==<-∑………………3分 211[1()](||2)2222x x
x x =+++<-L ………………4分 所以
22111[1()](1)(2)222
x x
x x x x =+++-+++--L L ………………5分
10
1(1)2
n
n n x ∞
+==-
∑………………6分 成立范围||1x <………………7分
四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上任一点P 的坐标为(,,)P x y z ，P 点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222x y z ++，………………1分 构造拉格朗日函数
22222()(1)F x y z x y z x y z λμ=++++-+++-………………2分
2222022020
010
x y
z
F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ=++=??=++=??=-+=??=+-=?=++-=??………………4分
解得1
(12
x =-………………5分
得两个驻点为12
1111(2(22222P P =---=---- …………………6分
………………7分
2. 求幂级数1
(1)(1)!n n
n nx n ∞
=-+∑的和函数。
解：因为0!n x
n x e n ∞
==∑，所以0
(1)!n n x
n x e n ∞-=-=∑，………………1分
00
(1)(1)(11)()(1)!(1)!n n n n
n n nx n x S x n n ∞
∞
==--+-==++∑∑………………2分
00
(1)(1)!(1)!n n n n
n n x x n n ∞
∞==--=-+∑∑………………3分
(1)!n n
x n x e n ∞
-=-=∑………………4分 110010
010(1)(1)!11(1)1(11(1)1)(1)!(1)!1(1)1(1)1!1!!n n n n n n n n n n n n n n n n n x n x x x n x n x x x x n x e x x n x x
n x n ∞
+++∞∞==∞∞=∞-===--=-++??--=-=--????=-=+--=-∑∑∑∑∑∑ (0)x ≠…………5分
所以
1
()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠
故1
()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠……6分
当0x =时，()0S x =。………7分
另解：
当0x ≠时，11110(1)1(1)1(1)(1)!(1)!(1)!n n n n x n n n n n n x x n x n x n x n d x +∞
∞∞===??
---==??++-??
?∑∑∑ 1111
001(1)1(1)(1)!(1)!n n n x n n n x x n x n x x dx x dx -∞∞==-??????--??==-??????--???????
???∑∑ 001(1)!
n x n n x n x x dx ∞=-=-∑?
00
11x
x x x
x dx e x
d e x x --=-=
??
()1
1x x e e x x
--=
+- 11x x e e x x --=+-
当0x =时，()0S x =。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=????，
求()f x 和()g x 。 解：由格林公式得
['()'()]()D
D
yf x g x x dxdy yg x dxdy +-=????………………2分
即['()'()()]0D
yf x g x x yg x dxdy +--=??………………3分
由于区域的任意性，'()'()()0yf x g x x yg x +--=………………4分 又由于y 的任意性，有'()()f x g x =，'()g x x =……………5分
又由(0)1f =，(0)0g =得， 2
()2x g x =………………6分
所以3
()16
x f x =+………………7分
2014年浙江大学研究生入学考试高等代数试题 1. 00n n E A E ??= ???，{}2()n L B M R AB BA =∈=。证明L 为2()n M R 的子空间并计算其维数。 2. 00n n E A E ??= ???，请问A 是否可对角化并给出理由。若A 可对角化为C ，给出可逆矩阵P ，使得1P AP C -=. 3.方阵A 的特征多项式为32()(2)(3)f λλλ=-+，请给出A 所有可能的Jordan 标准型。 4. 1η，2η，3η为0AX =的基础解系，A 为3行5列实矩阵。求证：存在5R 的一组基， 其包含123ηηη++，123ηηη-+，12324ηηη++。 5．X ，Y 分别为m n ?和n m ?矩阵，n YX E =，m A E XY =+，证明A 相似于对角矩阵。 6. A 为n 阶线性空间V 的线性变换，1λ，2λ，…，m λ为A 的不同特征值，i V λ为其特征子空间。证明：对任意V 的子空间W ，有1()()m W W V W V λλ=?⊕???⊕?. 7.矩阵A ，B 均为m n ?矩阵，0AX =与0BX =同解，求证A 、B 等价。若A 、B 等价，是否有0AX =与0BX =同解？证明或举反例否定。 8.证明：A 正定的充分必要条件是存在方阵i B （1,2,,i n =???），i B 中至少有一个非退化，使得1n T i i i A B B ==∑。 9.定义ψ为[0,1]到n 阶方阵全体组成的欧式空间的连续映射，使得(0)ψ为第一类正交矩阵，(1)ψ为第二类正交矩阵。证明：存在0(0,1)T ∈，使得0()T ψ退化。 10.设g ，h 为复数域C 上n 维线性空间V 的线性变换，gh hg =。求证g ，h 有公共的特征向量。若不是在复数域C 上而是在实数域R 上，则结论是否成立？若成立，给出理由；不成立举出反例。
浙江大学远程教育学院模拟试题卷 高等数学（2）（专本） 一、判断题（正确的填A ，不正确的填B ） 1） 设x x f +=+1)1(，则x x f =)( （ ） 2) 极限 e x x x =-+∞ →)1 1(lim 。 ( ) 3）初等函数在定义域内是连续函数。 ( ) 4）若0)(lim =→x f a x ，则称a x →时，)(x f 是无穷小量。 ( ) 5）函数)(x f y =, 在点0x x =连续, 则在点0x x =一定可导。 ( ) 6) 设函数x x f sin 2)(-=, 则x x f cos )(-='。 ( ) 7）设 x y ln = , 则x dy 1= 。 ( ) 8) 若)(x f 在0x 点取极值，则0)(0='x f 。 ( ) 9）3 23sin 2lim = ∞ →x x x （ ） 10）设 x y 2cos = , 则xdx dy 2sin 2-= （ ） 11）设x x x f ln )(= , 则2 ln 1)(x x x f -= ' （ ） 12）设x y ln =，则n 阶导数n n n x n y --=!)1()( （ ） 13）函数)(x f y =，若0)(0=''x f ，则0x x =是)(x f y =的拐点。 ( ) 14) x d dx x ln 1 =。 ( ) 15) 不定积分具有性质： ??+=+c dx x f dx c x f )(])([。 ( ) 16) 定积分 2 10 21 02)()(2dx x f dx x xf ? ?= 。 ( ) 17) 定积分 2 ln |1|ln 2ln 121 =--=?-dx x 。 ( ) 18）设? = x tdt x f 0 )(，则 x x f =')(。 ( ) 19) 广义积分?∞ +1 1dx x 收敛。 ( )
1。解：由题意可知 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++= 故()323p x x x x =--+ 2。证明：由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。如果()f x 有重数大于2的非零根，在()f x '有重数大于1的非零根，根据()f x '的表达式可知()f x '没有非零重根，从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。解：由于()111n n k j k k k j n D x x x =≤<≤=-∏∏，又可知 从而知()() () ()1 11 1 111n n i n i i i i i j k k j n D y x x y δ+-----≤<≤-=--∏即()1n i i j k k j n D x x δ≤<≤=-∏，从 而知 4。解；由于11T T A E XY Y X α=+=+=+从而 ()1当1α≠时，A 可逆 ()2由于当1α=时()()() 1 11n T T E E XY E XY λλλλ--+=--=-，从而A 的特 征 多 项 式 为 () 1 1n λλ--故 ()1 rank A n =-， 又 ()()()1T T rank A E rank X Y rank YX -=== 从而()()rank A rank A E n =-=，从而2A A =，故A 的最小多项式()m λ能整除()1λλ-，从而()m λ无重根，从而A 可对角化 5。证明：若1n =时，11A a =显然满足。若2n =时，由于2 112212A a a a =-，由于A 为正定矩阵，从而0A >，即2112212a a a >，从而1122A a a ≤等号成立时， 12210a a ==，即A 为对角矩阵时候成立显然为充要条件 若小于n 时成立，且等号成立时候充要条件A 为对角矩阵。令 11 nn A b A b a ??=???? ，则11A 为1n -阶正定矩阵，从而1 11A -存在且也为正定矩阵。又
2008年浙江大学高等代数试题解答
1。解：由题意可知1123212233131231,1,1δλλλδλλλλλλδλλλ=++=-=++=== 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++= ()()()()()()2212233121312312122324231 g g g g g g λλλλλλδδδδδδδδδδ++=-+-+-+++=-()()()22123311223313212213g g g λλλδδδδδδδδδδδ=++++--++=- 故()323p x x x x =--+ 2。证明：由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。如果()f x 有重数大于2的非零根，在()f x '有重数大于1的非零根，根据()f x '的表达式可知 ()f x '没有非零重根，从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。解：由于()111n n k j k k k j n D x x x =≤<≤=-∏∏，又可知 ()()12 1 11111 121111********* 1 1211111 1n n i i i i i n n n n k j k i i i i i k k j n n n i i i i i n n n n n n n n n x x x x y x x x x y y x x x x x x x y x x x x y x x x x y -------=≤<≤-+++++--=--∏∏ 从而知()()() ()1 11 1 111n n i n i i i i i j k k j n D y x x y δ+-----≤<≤-=--∏即()1n i i j k k j n D x x δ≤<≤=-∏，从而 知 ()111n n n i i j k i i k j n D x x δ==≤<≤????=- ? ????? ∑∑∏ 4。解；由于11T T A E XY Y X α=+=+=+从而 ()1当1α≠时，A 可逆
高等数学基础试题类型 高等数学基础试题类型分为单项选择题、填空题、计算题和应用题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；计算题或应用题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。四种题型分数的百分比为：单项选择题20%，填空题20%，计算题44%，应用题16%。 期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。 高等数学基础模拟题 一、单项选择题 1.函数2 e e x x y -=-的图形关于（A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 2.在下列指定的变化过程中，（C ）是无穷小量． (A) )(1 sin ∞→x x x (B) )0(1 sin →x x (C) )0()1ln(→+x x (D) )(e 1∞→x x 3.设)(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h 2) ()2(lim 000 （C ）． (A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '- 4.若 ? +=c x F x x f )(d )(，则? =x x f x d )(ln 1 （B ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x +)(ln 1 (D) c x F +)1 ( 5.下列积分计算正确的是（D ）． (A) 0d sin 1 1 =? -x x x (B) 1d e 0 =?∞ --x x (C) πd 2sin 0 =?∞ -x x (D) 0d cos 1 1 =?-x x x 6.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（A ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点 7.当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． (A) x 1 (B) x x sin (C) 1e -x (D) 2x x 8.设 x x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x ) 1()1(lim （B ）． (A) e 2 (B) e (C) e 41 (D) e 2 1 9. =?x x xf x d )(d d 2 （A ）． (A) )(2 x xf (B) x x f d )(21 (C) )(2 1 x f (D) x x xf d )(2 10.下列无穷限积分收敛的是（B ）．
浙江大学2001级期末考试微积分上试题浙江大学2001级微积分（上）期终考试试卷 系__________ 班级__________ 学号__________ 姓名__________ 考试教室__________ 一二三四五六七八总分复核题 号 得 分 评卷人 一、选择题：（每小题2分，共8分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中 1.设，其中，，，互不相等， 且，则的值等于（）. （A）.（B）.（C）.（D）. 2.曲线，当时，它有斜渐进线（）. （A）.（B）.（C）.（D）. 3.下面的四个论述中正确的是（）. （A）.“函数在上有界”是“在上可积”的必要条件；（B）.函数在区间内可导，，那末是在处取到极值的充分条件； （C）.“函数在点处可导”对于“函数在点处可微”而言既非充分也非必要； （D）.“函数在区间上连续”是“在区间上原函数存在”的充要条件.
4.下面四个论述中正确的是（）. （A）.若，且单调递减，设，则；（B）. 若，且极限存在，设，则；（C）. 若，则； （D）. 若，则存在正整数，当时，都有. 二、填空题：（每空格2分，共12分）只填答案 1. =____________；=____________. 2.函数可导，，则=____________. 3. =____________. 4. =____________；=____________. 三、求极限：（每小题7分，共14分） 1.数列通项，求. 2.求. 四、求导数：（每小题7分，共21分）
1. ，求. 2. 求，. 3.函数由确定，求 五、求积分：（每小题7分，共28分） 1.求. 2.求. 3.求. 4.计算. 六、（6分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第1题，未学常微分方程的专业做第2题. 1.求解常微分方程： 2.有一半径为4米的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高6米的水箱内，问至少要做多少功？ 七、（6分）
复旦大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3 ．直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。
浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题 考试科目：高等代数 科目代号：341 注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！ {} ,(,)0(,)0(,)0(,)0,0(,) i i i A B B A B A A B rankA rank A b xA x A b x A B x A b i xA rankA rank A B =?=?==?=??=?===：一、(15分)矩阵具有相同的行数，把的任意一列加到得到矩阵秩不变，证明:把的所有列同时加到上秩也不变.: 法一：取的列向量的极大线性无关组，那么知道的任何列都可以由这些向量线性表（行出，从而得结论。法二秩 列秩矩阵证的秩） 明而 11121212221211121212221..................... (2)..................n n n n nn n n n x a x a x a x a x a x a x D a x a x a x D a x a x a x a x a x a x D a ++++++= +++++++++=+二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按的幂次排列的多项式 把行列式的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余 子式之和不变.)证明： (1111212111 2212 212111212 111 1212111 2212 2121 11 2212 21111 212 1..................... .................................n n n n nn n n nn n n n n n n n n nn n a x a x a x a a a a a a x a x a x a a a a a a a a a x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++---= ++---------=+---111 212121112212211,111 212 1............ 11...1.................. (),n n nn n n n ij i j n n n nn n ij n n ij ij a a a a a a a a a a a a A x A x A a a a a a a A a A A a ≤≤?------=+=+---=∑ 为中的代数余子式。
1. 已知z= 5cos3y+3e^(4xy), 则x=0,y=1时的全微分dz=（） A. 12dx+15cos3dy B. 12dx-15sin3dy C. 12dx-15cos3dy D. 12dx+15sin3dy 2. 设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇( 0 ) = ( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 3. 设函数f(x)={x+1,当0≤x＜1},{x-1,当1≤x≤2}则，F(x)=∫f(t)dt,{积分区间是a->x}，则x=1是函数F(x)的（） A. 跳跃间断点 B. 可去间断点 C. 连续但不可导点 D. 可导点 4. 设F(x)=∫e^(sint) sint dt,{积分区间是x->x+2π},则F（x）为（） A. 正常数 B. 负常数 C. 正值，但不是常数 D. 负值，但不是常数 5. 微分方程dx-sinydy=0的一个特解是( ) A. x+cosy=0 B. x-cosy=0 C. x+siny=0 D. x+cosy=C 6. 微分方程dy/dx=1+y/x+y^2/x^2 是（） A. 一阶齐次方程，也是伯努利方程 B. 一阶齐次方程，不是伯努利方程 C. 不是一阶齐次方程，是伯努利方程 D. 既不是一阶齐次方程，也不是伯努利方程 7. 曲线y=f(x)关于直线y=x对称的必要条件是( ) A. f(x)=x B. f(x)=1/x C. f(x)=-x D. f[f(x)]=x 8. 已知f(x)的一个原函数是e^(-x),则∫xf"(x)dx等于（）
A. xe^(-x)+e^(-x)+C B. xe^(-x)-e^(-x)+C C. -xe^(-x)-e^(-x)+C D. -xe^(-x)+e^(-x)+C 9. 计算y= 3x^2在[0,1]上与x轴所围成平面图形的面积=（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. ∫{(e^x-1)/(e^x+1)}dx 等于( ) A. (e^x-1)/(e^x+1)+C B. (e^x-x)ln(e^x+1)+C C. x-2ln(e^x+1)+C D. 2ln(e^x+1)-x+C 11. 微分方程y"+y=x+1的一个特解是（） A. x+y=0 B. x-y=0 C. x+y=1 D. x-y=1 12. 已知函数y= 2xsin3x-5e^(2x), 则x=0时的导数y"=（） A. 0 B. 10 C. -10 D. 1 13. 设f(x)=e^(2+x),则当△x→0时，f(x+△x)-f(x)→( ) A. △x B. e2+△x C. e2 D. 0 14. 已知z= 2sin3x-5e^y, 则x=0,y=1时的全微分dz=（） A. 6dx-5edy B. 6dx+5edy C. 5edy D. -5edy 15. 函数在一点附近有界是函数在该点有极限的( ) A. 必要条件 B. 充分条件
浙 江 大 学 二〇〇〇年攻读硕士研究生入学考试试题 考试科目：高等代数 一、（20分）()f x 是数域P 上的不可约多项式 （1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一个公共复根，证明()|()f x g x ； （2）若c 及1 c 都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根，证明1 b 也是()f x 的根. 二、（10分）计算行列式2100001 21000 0001210 1 2 n D = . 三、（20分） （1） A 是正定阵， C 是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵P 使得 1 1 ,P AP P C P --同时为对角形； （2） A 是正定阵，B 是实矩阵，而A B 是实对称的，证明：A B 正定的充 要条件是B 的特征值全大于0. 四、（20分）设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B 与 A 可交换的充要条件是 B 是2 1 ,,,,n E A A A - 的线性组合，其中E 为恒等变换. 五、（10分）证明：n 阶幂零指数为1n -的矩阵都相似. （若10n A -=，20n A -≠而称A 的幂零指数为1n -） 六、（20分）设,A B 是n 维欧氏空间V 的线性变换。对任意,V αβ∈，都有 ((),)(,()) A B αβαβ=。证明：A 的核等于B 的值域的正交补. 浙 江 大 学 二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题 考试科目：高等代数 一、（12分）设两个多项式()f x 和()g x 不全为零。求证：对于任意的正整数n ，有 ((),())((),())n n n f x g x f x g x =。 二、（12分）设1 2,(0,1,2,)k k k n n S k x x x = + ++ = ；2(,1,2,,)ij i j a S i j n +-== 。
6 定积分及其应用 习题6.1 1. （1）e 1- （2） 13 （3）12 2. （1）24R p （2）7 2 （3）0 3. （1） 1 2 01 d 1x x +ò （2）10ò （3）（i ）1 0d ()x a b a x +-ò 或 11d b a x b a x -ò （ii ）[]1 ln ()d e a b a x x +-ò 或 1ln d e b a x x b a -ò 习题6.2 1. （1）1 1 2 3 00 d d x x x x >蝌 （2）5 5 3 2 33(ln )d (ln )d x x x x >蝌 （3）2222 00 sin sin d d x x x x x p p >蝌 2. （1[]22 2,0,1 x x ? （2）提示：分析函数2 ()1x f x x = +在[]0,2上的最大（小）值. 3. 提示：取()()g x f x = 4. 提示：利用积分中值定理或定积分的定义证明. 5. 提示：令()()F x xf x =对()F x 在1 0,2 轾犏犏臌上用罗尔定理。 6. 提示：证明在[] 0,p 内至少存在两点12,x x 使12()()0f f x x ==. 习题6.3 1. （1）(2)sin 2x x - （2）6 233e cos()x x x - （3）[][] sin ln 1sincos cos 1sinsin x x x x -+-+ （4）2 221 ()d 2()x f t t x f x +ò （5） 1 ()d x f t t ò 2. （1）2 3 （2）1 （3）1 （4）24p （5）1 3. 提示：利用夹逼定理. 4. 4 ()sin 21 f x x p =--. 5. 提示：2()y f x ⅱ = 6. 提示：利用 2 [()()]d 0b a f x t g x x -?ò，其中t 为任意常数.
6定积分及其应用 习题6.1 1.（1）e 1（2）13（3）12 2.（1）24R （2）7 2 （3）0 3.（1） 1 2 1 d 1x x （2） 10 2 3x （3）（i ）1 d ()x a b a x 或 1 1 d b a x b a x （ii ）1 0ln ()d e a b a x x 或1ln d e b a x x b a 习题6.2 1.（1） 11 2 3 d d x x x x （2）5 5 3 2 33(ln )d (ln )d x x x x （3）2222 00 sin sin d d x x x x x 2.（12 22,0,1 1x x x （2）提示：分析函数2 () 1x f x x 在0,2上的最大（小）值. 3.提示：取() ()g x f x 4.提示：利用积分中值定理或定积分的定义证明. 5.提示：令() ()F x xf x 对()F x 在1 0, 2上用罗尔定理。 6.提示：证明在 0, 内至少存在两点 1 2 , 使12()()0f f . 习题6.3 1.（1）(2)sin 2x x （2）6 233e cos()x x x （3）sin ln 1sincos cos 1sinsin x x x x （4） 2221 ()d 2()x f t t x f x （5） 1 ()d x f t t 2.（1）2 3 （2）1（3）1（4）2 4（5）1
3.提示：利用夹逼定理. 4.4()sin 2 1 f x x .5.提示：2()y f x 6.提示：利用2 [()()]d 0b a f x t g x x ，其中t 为任意常数. 7.（1） 74 (221)6(21) 33（2）2（3）1 4 3 （4）326（5）14（6）1 2 （7）24e 8.提示：利用泰勒公式() 2 2a b a b f x f f x ，位于x 与2 a b 之间. 习题6.4 1.（12663（2）2（3）1 6 （4）（53 （6）121e （7）24（8）3（9）3 52 e 27 27（10）13ln 3 2 （11） 3 （12） 8 （13） 433 （14） 3 ln 232 （15）3e 15 （16）1 3 （提示：222101110111x x x x x x x e dx dx dx e e e ----=++++???） （17）1（18） 4 π （提示：作变换2x t π=-）（1920） 1 3 （21）34（22）当n 为偶数时：131222n n n n ；当n 为奇数时：13 112 3 n n n n （23） ln 28 2.713e 3.提示： 22 ()d ()d ()d a b b b a b a a f x x f x x f x x ，对 2 ()d b a b f x x 作变换()x a b t . 4.若f 是连续偶函数，()()d x a F x f t t 不一定为奇函数.例如：23 1 1() d 13 x F x x x x 5. 1n （提示：对10 ()d x n n n t f x t t 作变换n n x t u ，用洛必达法则或导数的定义.） 6.1 cos113 （提示：用分部积分法）7.提示：用分部积分法8.(0)2f .
浙江大学级微积分（上）期终考试试卷 系班级学号 姓名考试教室 一、选择题：（每小题分，共分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请 把正确那项的代号填入空格中 .设()()()()() f x x a x b x c x d =----，其中a，b，c，d互不相等， 且'()()()() f k k a k b k c =---，则k的值等于（）. （）.a（）.b（）.c（）.d .曲线y=x→-∞时，它有斜渐进线（）. （）.1 y x =+（）.1 y x =-+（）.1 y x =--（）.1 y x =- .下面的四个论述中正确的是（）. （）.“函数() f x在[],a b上有界”是“() f x在[],a b上可积”的必要条件； （）.函数() f x在区间(),a b内可导，() , x a b ∈，那末 '()0 f x=是() f x在 x处取到极值的充分条件； （）.“函数() f x在点 x处可导”对于“函数() f x在点 x处可微”而言既非充分也非必要；（）.“函数() f x在区间E上连续”是“() f x在区间E上原函数存在”的充要条件. .下面四个论述中正确的是（）. （）.若0 n x≥(1,2,) n=，且{}n x单调递减，设lim n n x a →+∞ =，则0 a>； （）. 若0 n x>(1,2,) n=，且lim n n x →+∞ 极限存在，设lim n n x a →+∞ =，则0 a>； （）. 若lim0 n n x a →+∞ =>，则0 n x≥(1,2,) n=； （）. 若lim0 n n x a →+∞ =>，则存在正整数N，当n N >时，都有 2 n a x>.
目 录2012年浙江大学601高等代数考研真题 2011年浙江大学601高等代数考研真题及详解2010年浙江大学360高等代数考研真题 2009年浙江大学360高等代数考研真题 2008年浙江大学724高等代数考研真题及详解2007年浙江大学741高等代数考研真题及详解2006年浙江大学341高等代数考研真题及详解2005年浙江大学341高等代数考研真题 2004年浙江大学341高等代数考研真题 2003年浙江大学344高等代数考研真题 2002年浙江大学365高等代数考研真题 2001年浙江大学359高等代数考研真题 2000年浙江大学226高等代数考研真题 1999年浙江大学高等代数考研真题及详解
2012年浙江大学601高等代数考研真题浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：高等代数（601） 考生注意： 1．本试卷满分为150 分，共计10道题，每题满分15分，考试时间总计180 分钟； 2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。 一、设是阶单位矩阵，，矩阵满足，证明 的行列式等于. 二、设是阶幂零矩阵满足， .证明所有的都相似于一个对角矩阵，的特征值之和等于矩阵的秩. 三、设是维欧氏空间的正交变换，证明最多可以表示为个镜面反射的复合. 四、设是阶复矩阵，证明存在常数项等于零的多项式使得是可以对角化的矩阵，是幂零矩阵，且.
五、设. 当为何值时，存在使得为对角矩阵并求出这样的矩阵和对角矩阵； 求时矩阵的标准型. 六、令二次型. 求次二次型的方阵； 当均为实数，给出次二次型为正定的条件. 七、令和是域上的线性空间，表示到所有线性映射组成的线性空间.证明：对，若，则和在中是线性无关的. 八、令线性空间，其中是的线性变换的不变子空间. 证明； 证明若是有限维线性空间，则； 举例说明，当时无限维的，可能有，且.
浙江大学2012-2013学年秋冬学期 微积分I 期末试卷 1. 设4(sin 2)(arcsin 2)x y x x =+，求 dy dx ； 2. 设函数()f u 可导，()y y x =是由方程3()ln(1sin )y f xy x =++所确定的可导函数，求 dy dx ； 3. 设()y y x =是由参数方程2 032(3t x t y u ?=+? ?= ?? ?4. 计算定积分1 -?； 5. 计算反常积分1+∞?； 6. 求极限011 lim ln(1sin )ln(1sin )x x x →? ?+ ?+-?? （1） 存在(0,1)ξ∈使得以曲线()y f x =为顶在区间[0,]ξ上的曲边梯形 面积等于以()f ξ为高，以区间[,1]ξ为底的矩形面积； （2） 若增设()f x 可导且()0f x '<，则（1）中的ξ是唯一的。
13. 设()f x 在区间()0,+∞内可导且()0f x '<，11 121 () ()()x x f u F x xf u du du u =+?? . （1） 求()F x ''（当0x >）； （2） 讨论曲线()y F x =在区间()0,+∞内的凹凸性并求其拐点坐标。 14. 设40tan n n a xdx π =?，2n ≥， （1） 计算2n n a a ++ （2） 证明级数2 (1)n n n a ∞ =-∑
浙江大学2011-2012学年秋冬学期《微积分Ⅰ》课程期末试卷 一、求导数。 1、（7分）设12 2 3 3 =+--+xy y x y x ，求。)1,1(),(|),1,1(),(|22==y x dx y d y x dx dy 2、（7分）设 y 3、（7分）设(?二、求极限。 1、（7分）求x lim 0→2、（7分）求x lim 0→三、求积分。 2、（6分）确定级数 ∑+∞ =-++222 ) 1(1n n n n x x 的收敛范围与和函数。 3、（6分）设曲线s 的方程为 10,)(32)(232 ≤≤?? ? ? ?-=-=t t t t y t t t x ，求s 的弧长。
高数（上）试题库 一、判断题 1、集合{}0为空集。 （ ） 2、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}1,2,3,4A B =。 （ ） 3、函数y x =与函数y = 是相同的函数。 （ ） 4、函数()cos f x x x =是奇函数。 （ ） 5、函数arcsin y x =的定义域是(),-∞+∞。 （ ） 6、函数arcsin y u =和2 2u x =+可以复合成函数2 arcsin(2)y x =+。 （ ） 7、函数()sin f x x =是有界函数。 （ ） 8、函数()cos f x x =，()g x = （ ） 9、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。 （ ） 10、如果数列n x 无界，则n x 必是发散数列。 （ ） 11、如果)(0x f =6，但00(0)(0)5,f x f x -=+=则)(lim 0 x f x x →不存在。 （ ） 12、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0 x f x x →存在的充分条件但非必要条件 。 （ ） 13、0 lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=是)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。 （ ） 14、100000 x 是无穷大。 （ ） 15、零是无穷小。 （ ） 16、在自变量的同一变化过程中，两个无穷小的和仍为无穷小。 （ ） 17、1sin lim =∞→x x x 。 （ ） 18、当0x →时，sin ~~tan x x x ，则330tan sin lim lim 0sin x x x x x x x x →∞→--==。 （ ） 19、)(x f 在0x 有定义，且0 lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在0x 连续。 （ ） 20、)(x f 在0x x =无定义，则)(x f 在0x 处不连续。 （ ） 21、)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上有界。 （ ） 22、若)(x f 在0x 处不连续，则0()f x '必不存在。 （ ）
诚信考试 沉着应考 杜绝违纪 浙江大学2009–2010学年 秋冬 学期 《 高等数学 》课程期末考试试卷 开课学院： 理学院 ，考试形式： 闭 卷，允许带___________入场 考试时间： 2010 年 1 月 23 日,所需时间： 120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ______ 题序 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得分 评卷人 一、填空题（每个空格3 分，共33 分） 1.设函数???<+≥-=0 ,0 ,1)(2x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。 2.计算极限：11 lim 21--→x x x = ；)sin 11(lim 0x x x -→= 。 3.设函数x x y sin =，则=dx dy ； =22dx y d 。 4.设1=-y xe y ，则==0|x dx dy 。 5.5 001.1的近似值为 。 6.函数)1ln(+-=x x y 的单调增加区间为 。 7.设矩阵???? ? ??-=1 2 4 16 5 2 2 4 2 2 1 A ，则A 的秩为 。 8.假设有100件产品，其中有70件为一等品，30件为二等品。从中一次随机地抽取3件，则恰好有2件一等品的概率为 。 9.甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，则甲、乙二人至少有一人投中的概率为 。
二、（本题 6分）欲造一个容积为250m 3的圆柱形无盖蓄水池，已知池底的单位面积造价是周围的单位面积造价的两倍。要使水池造价最低，问其底半径与高应是多少？ 三、计算不定积分与定积分（每小题 5分，共 15分） 1.?+dx x x 2 1 2.?xdx x 2sin 3.?-2 2sin 1π dx x 四、（本题5分）求由直线x y =与曲线2 x y =所围成平面图形的面积。 五、矩阵与行列式计算（每小题6分，共 12分） 1.求与矩阵???? ? ?-=1 10 1 A 可交换的矩阵 B 。 2.计算行列式： 3 1 2 1 4 0 21 5 4 0 3 2 3 1 2- 六、（本题 8分）求解线性方程组?? ? ??-=-++--=++--=++-8 42 32 32 65 32 432143214321x x x x x x x x x x x x 七、随机事件概率计算（每小题7分，共 14分） 1. 甲、乙、丙三厂向某商场供应某种商品，分别占该商场总进货量的40%，35%和25%。又已知甲、乙、丙三厂该种产品的次品率分别为0.02，0.03，0.04。现某人购一件该种产品发现是次品，则三厂家应承担多大责任？ 2. 某彩票每周开奖一次，每注获大奖的机会为十万分之一，若某人每周买一注彩票，坚持十年（每年按52周计算），问该人十年中一次都未中大奖的概率。 八、（本题 7分）如果电源电压在不超过200V 、200～240V 之间和超过240V 三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别是0.1、0.001和0.2，设电源电压 )25,220(~2N X ，求该电子元件损坏的概率（其中7881.0)8.0(≈Φ）。
学院 专业 班级 学号 姓 密封线内不要答题 密封线内不要答题 浙 江 大 学 2015－2016学年第1学期 高等数学A1课程试题( A )卷 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 已知函数 2(cos )ln y x x =，则dy = 2. 已知2sin 20ln(1) ()320 x x x f x x x k x ?
4. 反常积分 2 x xe dx +∞ -? （ ） () A 发散 () B 收敛于1 () C 收敛于12 () D 收敛于1 2 - 5. 函数()f x 在[,]a b 上有定义，其导数()f x '的图形如右图所示，则（ ） 12() ,A x x 都是极值点 1122() (,()), (,())B x f x x f x 都是拐点 1() C x 是极值点，22(,())x f x 是拐点 11() (,())D x f x 是拐点，2x 是极值点 三、计算下列各题（每小题5分，共25分） 1. 求极限 0 1 1lim()1 x x x e →- - 2. 求极限 21 32lim ( )31 x x x x -→+∞ +-
1. 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? ()3,4,3A -4,()4,3B -; 3,43(),C --; 3()3,4,D --- 解 A 在第四卦限, B 在第二卦限, C 在第六卦限, D 在第七卦限. 2. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: ()0,4,1A ;()1,0,3B ; ()0,2,0C ; 0,0(,1)D - 解 在xOy 面上的点的坐标为(,,0)x y ; 在yOz 面上, 的点的坐标为(0,,)y z ; 在zOx 面上, 的点的坐标为(,0,)x z . 在x 轴上的点的坐标为(,0,0)x ; 在y 轴上的点的坐标为(0,,0)y , 在z 轴上的点的坐标为(0,0,)z . A 在yOz 面上, B 在xOz 面上, C 在y 轴上, D 在z 轴上. 3. 求点(,,)x y z 关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(,,)x y z 关于xOy 面的对称点为(,,)(,,)x y z x y z -; 点称点(,,)x y z 为(,,)(,,)x y z x y z --; 点(,,)x y z 关于z 轴的对称点为(,,)x y z --. (3)点(,,)x y z 关于坐标原点的对称点为(,,)x y z ---. 4. 过()01,2,3M 分别作平行于x 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？ 解 过0M 且平行于x 轴的直线上点的坐标,其特点是，它们的纵坐标均为2，它们的竖坐标均为3。 过0M 且平行于xOy 面的平面上点的坐标，其特点是，它们的横坐标均为1. 5. 求点5,4( ,3)M -到各坐标轴的距离. 解 点M 到x 轴的距离就是点5,4( ,3)M -与点(5,0,0)之间的距离, 即 5x d ==. 点M 到y 轴的距离就是点5,4( ,3)M -与点0,4)( ,0-之间的距离, 即