接下来我们就开始学习高等数学了，也许在学习的过程中我们会感到枯燥无味，但是我相信只要我们努力，我们一定能达到成功的彼岸。
常量与变量
变量的定义
我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。
注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。
变量的表示
如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。
在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：
[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；
(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；
(-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞
注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。邻域
设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
函数
函数的定义
如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x 叫做自变量，y叫做因变量。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的.
注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。
函数的表示
a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2
b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：
函数的简单性态
函数的有界性
如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
函数的单调性
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及
x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及
x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；
如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。
注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式
对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tanx是以π为周期的周期函数。
反函数
反函数的定义
设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义
域内必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.
这个函数用来表示，称为函数的反函数.
注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。
反函数的存在定理
若在(a，b)上严格增(减)，其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).
注：严格增(减)即是单调增(减)
例题：y=x2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得
x=±.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，
函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=
就是y=x2在要求x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减).
反函数的性质
在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。
例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所示：
复合函数的定义
若y是u的函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的
全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函
数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。
注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。
例题：函数与函数是不能复合成一个函数的。
因为对于的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），
使都没有定义。
初等函数
基本初等函数
我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：
a为任意实数
(正弦函数)
(反正弦函
初等函数
由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.
例题：是初等函数。
我们再来学习一下工程技术中常用的函数——双曲函数及反双曲函数
双曲函数及反双曲函数
双曲函数
在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)
我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：
双曲函数也有和差公式：
反双曲函数
双曲函数的反函数称为反双曲函数.
a)：反双曲正弦函数 其定义域为：(-∞,+∞)；
b)：反双曲余弦函数 其定义域为：[1,+∞)；
c)：反双曲正切函数 其定义域为：(-1,+1)；
数列的极限
我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。
数列
若按照一定的法则，有第一个数a 1，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数a n ，那末，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列.
数列中的每一个数叫做数列的项。第n 项a n 叫做数列的一般项或通项.
注：我们也可以把数列a n 看作自变量为正整数n 的函数，即：)(n f a n ，它的定义域是全体正整数
极限
极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。
例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。
设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A 1；
再作圆的内接正十二边形，其面积记为A 2；
再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A 3；
依次循下去(一般把内接正6×2n-1边形的面积记为A n )可得一系列内接正多边形的面积：A 1，A 2，A 3，…，An ，…，它们就构成一列有序数列。
我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An 也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列A 1，A 2，A 3，…，An ，… 当n→∞(读作n 趋近于无穷大)的极限
注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。
数列的极限
一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存
在正整数N ，使得对于n ＞N 时的一切不等式ε<-a x n 都成立，那末就称常数a 是数列的
极限，或者称数列收敛于a .
记作：或
注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式ε<-a x n 才能表达出与a 无限接近的意思。
且定义中的正整数N 与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。 注：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。
数列极限为a 的一个几何解释：
将常数a 及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a 的ε邻域即开区间(a-ε，a+ε)，如下图所示：
因不等式ε<-a x n 与不等式等价，故当n ＞N 时，所有的点都落在开区
间(a-ε，a+ε)内，而只有有限个(至多只有N 个)在此区间以外。
注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。
数列的有界性
对于数列，若存在着正数M ，使得一切都满足不等式││≤M，则称数列是有界的，若正数M 不存在，则可说数列是无界的。
定理：若数列收敛，那末数列一定有界。
注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。 例：数列 1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，… 是有界的，但它是发散的。
函数的极限
前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取 1→∞内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.
函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x 0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A ，就叫做函数存在极值。
我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢 ?
下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!
函数的极限(分两种情况)
a):自变量趋向无穷大时函数的极限
定义：
设函数，若对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数X ，使得对于适合不等式
的一切x
，所对应的函数值都满足不等式
那末常数A
就叫做函数当x→∞时的极限
，记作：
下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：
存在数列与常数
的所有
都满足＜则称数列当记： 存在函数与常数对于适合的一切都满足
函数当记：
从上表我们发现了什么 ？？试思考之
b):自变量趋向有限值时函数的极限
我们先来看一个例子.
例：函数，当x→1时函数值的变化趋势如何？
函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:
从中我们可以看出x→1时，→2.而且只要x 与1有多接近，就与2有多接近.
或说：只要与2只差一个微量ε，就一定可以找到一个δ，当＜δ
时满足＜δ
定义：
设函数在某点x0的某个去心邻域内有定义，且存在数A，如果对任意给定的ε(不论其多么小)，总存在正数δ，当0＜＜δ时，＜ε
则称函数当x→x0时存在极限，且极限为A，记：
注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？
这是因为我们只讨论x→x0的过程，与x=x0出的情况无关。
此定义的核心问题是：对给出的ε，是否存在正数δ，使其在去心邻域内的x均满足不等式。
有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？
a):先任取ε＞0；
b):写出不等式＜ε；
c):解不等式能否得出去心邻域0＜＜δ，若能；
d):则对于任给的ε＞0，总能找出δ，当0＜＜δ时，＜ε成立，
因此
下面我们来学习函数极限的运算法则和函数极限的存在准则
函数极限的运算规则
前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。
函数极限的运算规则
若已知x→x0(或x→∞)时，.
则：
推论：
在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。
例题：求
解答：
例题：求
此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子
和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。
解答：
注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。
函数极限的存在准则
学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。
我们先来看一个例子：
例：符号函数为
对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.
为此我们定义了左、右极限的概念。
定义：如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数
当时的左极限.记：
如果x仅从右侧(x＞x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为
函数当时的右极限.记：
注：只有当x→x0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在x→x0时有极限
函数极限的存在准则
准则一：对于点x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的
一切x)有≤≤，且，，那末存在，且等于A。
注：此准则也就是夹逼准则.
准则二：单调有界的函数必有极限.
注：有极限的函数不一定单调有界
两个重要的极限
一：
注：其中e为无理数，它的值为：e=2.718281828459045...
二：
注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.
注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.
例题：求
解答：令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞，
则
注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代换1/x，则t→0.
无穷大量和无穷小量
无穷大量
我们先来看一个例子：
已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋
向无穷大。
为此我们可定义如下：
设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意
大的数)，总可找到正数δ，当时，成立，则称函数当
时为无穷大量。记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）
同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：
设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，
总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记
为：
无穷小量
以零为极限的变量称为无穷小量。
定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满
足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量.
记作：(或)
注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。
无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.
无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.
关于无穷小量的两个定理
定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是
当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。
定理二：无穷小量的有利运算定理
a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；
c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.
无穷小量的比较
通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？
好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
定义：设α，β都是时的无穷小量，且β在x0的去心领域内不为零，
a)：如果，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；
b)：如果，则称α和β是同阶无穷小；
c)：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)
例：因为，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；
因为，所以当x→0时，x2是3x的高阶无穷小；
因为，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。
等价无穷小的性质
设，且存在，则.
注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。
例题：1.求
解答：当x→0时，sin ax∽ax，tan bx∽bx，故：
例题： 2.求
解答：
注：
注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。
函数的一重要性质——连续性
在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性
在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量
设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量，记为：△x，即：△x=x2-x1。增量△x可正可负.
我们再来看一个例子：函数在点x0的邻域内有定义，当自变量x在领域内从
x0变到x0+△x时，函数y相应地从变到，其对应的增量为：
这个关系式的几何解释如下图：
现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当△x趋向于零时，函数y对应的增量△y
也趋向于零，即：那末就称函数在点x0处连续。
函数连续性的定义：
设函数在点x0的某个邻域内有定义，如果有称函数
在点x0处连续，且称x0为函数的的连续点.
下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：
设函数在区间(a,b]内有定义，如果左极限存在且等于，
即：=，那末我们就称函数在点b左连续.
设函数在区间[a,b)内有定义，如果右极限存在且等于，
即：=，那末我们就称函数在点a右连续.
一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。
注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.
注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。
通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点
函数的间断点
定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点.
它包括三种情形：a)：在x
0无定义；
b)：在x→x0时无极限；
c)：在x→x0时有极限但不等于；
下面我们通过例题来学习一下间断点的类型：
例1：正切函数在处没有定义，所以点是函数的
间断点，因，我们就称为函数的无穷间断点；
例2：函数在点x=0处没有定义；故当x→0时，函数值在-1与+1之间变动
无限多次，我们就称点x=0叫做函数的振荡间断点；
例3：函数当x→0时，左极限，右极限
，从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点x=0是不存在极限。
我们还可以发现在点x=0时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点称为跳跃间断点；
我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下:
间断点的分类
我们通常把间断点分成两类：如果x0是函数的间断点，且其左、右极限都存在，
我们把x0称为函数的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.
可去间断点
若x0是函数的间断点，但极限存在，那末x0是函数的第一类
间断点。此时函数不连续原因是：不存在或者是存在但≠。我们
令，则可使函数在点x0处连续，故这种间断点x0称为可去间断点。
连续函数的性质及初等函数的连续性
连续函数的性质
函数的和、积、商的连续性
我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论：
a)：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数；
b)：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；
c)：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零)；
反函数的连续性
若函数在某区间上单调增(或单调减)且连续，那末它的反函数也在对应的区间上单调增(单调减)且连续。
例：函数在闭区间上单调增且连续，故它的反函数在闭区间[-1,1]上也是单调增且连续的。
复合函数的连续性
设函数当x→x0时的极限存在且等于a，即：.而函数
在点u=a连续，那末复合函数当x→x0时的极限也存在且等于.即：
例题：求
解答：
注：函数可看作与复合而成，且函数
在点u=e连续，因此可得出上述结论。
设函数在点x=x0连续，且，而函数在点u=u0连续，那
末复合函数在点x=x0也是连续的
初等函数的连续性
通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：
基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的.
下面我们再来学习一下——闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质，下面我们来学习一下：
最大值最小值定理
在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。(在此不作证明)
例：函数y=sinx在闭区间[0，2π]上连续，
则在点x=π/2处，它的函数值为1，且大于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值；
则在点x=3π/2处，它的函数值为-1，且小于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值
介值定理
在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。即：，，μ在α、β之间，则在[a，b]间一定有一个ξ，使
推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。
导数的概念
在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。
例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速度？
我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：
.
若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。
我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，
即：质点在t0时的瞬时速度=
为此就产生了导数的定义，如下：
导数的定义
设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x 也在该邻域内)时，相应地
函数有增量
，
若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。
记为：还可记为：，
函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。
若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这
时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就
构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。
注：导数也就是差商的极限
左、右导数
前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。
若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。
若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。
注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件
函数的和、差求导法则
函数的和差求导法则
法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).
用公式可写为：。其中u、v为可导函数。
例题：已知，求
解答：
例题：已知，求
解答：
函数的积商求导法则
常数与函数的积的求导法则
法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用
公式可写成：
例题：已知，求
解答：
函数的积的求导法则
法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二
个因子的导数。用公式可写成：
例题：已知，求
解答：
注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。
函数的商的求导法则
法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘
积，在除以分母导数的平方。用公式可写成：
例题：已知，求
解答：
复合函数的求导法则
在学习此法则之前我们先来看一个例子!
例题：求=?
解答：由于，故这个解答正确吗?
这个解答是错误的，正确的解答应该如下：
我们发生错误的原因是是对自变量x求导，而不是对2x求导。
下面我们给出复合函数的求导法则
复合函数的求导规则
规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变
量的导数。用公式表示为：，其中u为中间变量
例题：已知，求
解答：设,则可分解为,因此
注：在以后解题中，我们可以中间步骤省去。
例题：已知，求
解答：
反函数求导法则
根据反函数的定义，函数为单调连续函数，则它的反函数,它也是单调连续的.
为此我们可给出反函数的求导法则，如下(我们以定理的形式给出)：
定理：若是单调连续的，且，则它的反函数在点x可
导，且有：
注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。
注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。
即：是对y求导，是对x求导
例题：求的导数.
解答：此函数的反函数为，故则：
例题：求的导数.
解答：此函数的反函数为，故则：
高阶导数
我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：
，而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：
，或。这种导数的导数叫做s对t的二阶导数。下面我们给出它的数学定义：
定义：函数的导数仍然是x的函数.我们把的导数叫做
函数的二阶导数，记作或，即：或.
相应地，把的导数叫做函数的一阶导数.
类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，…，一般地(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数.
分别记作：，，…，或，，…，
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。
例题：已知，求
解答：因为=a，故=0
例题：求对数函数的n阶导数。
解答：，，，，
一般地，可得
隐函数及其求导法则
我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.
若函数y可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数
大多都是显函数.
一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就
说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.
??????????????????????精品自学考试资料推荐?????????????????? 全国 2019 年 7 月高等教育自学考试 高等数学（工专）试题 课程代码： 00022 一、单项选择题（本大题共30 小题， 1— 20 每小题 1 分， 21— 30 每小题 2 分，共 40 分）在每 小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。 （一）（每小题 1 分，共 20 分） 1.函数y x 2 4x 3 的定义域是（） A. , 3 B. , C. ,1 , 3, D.（ 1， 3） 2.函数 y=xsinx+cos2x+1 是（） A. 奇函数 B. 偶函数 C.周期函数 D.非奇非偶函数 3.数列有界是数列收敛的（） A. 充分条件 B. 必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件 4. lim (1 n) 3 （）n 3 5n 2 1 n A.0 1 C.1 6 B. D. 5 5 5.曲线 y=sinx 在点, 3 处的法线斜率是（） 3 2 3 1 2 D. -2 A. B. C. 3 2 2 6.设 y=arcsinx+arccosx, 则 y′ =（） A.0 2 C. 2 2 B. x 2 x 2 D. 1 1 1 x 2 7.函数 f(x)=x 2+1 在0,1 上使拉格朗日中值定理结论成立的 c 是（） A.1 1 1 D.-1 B. C. 2 2 1
8.曲线 y e x 2 （ ） A. 仅有垂直渐近线 B. 仅有水平渐近线 C.既有垂直渐近线又有水平渐近线 D.无渐近线 9.一条处处具有切线的连续曲线 y=f (x) 的上凹与下凹部分的分界点称为曲线的（ ） A. 驻点 B. 极大值点 C.拐点 D.极小值点 10. （ 1+2x ） 3 的原函数是（ ） A. 1 (1 2x ) 4 B. (1 2x )4 8 C. 1 (1 2x )4 D. 6(1 2x ) 2 4 11. 1 （ ） x 2 dx 4 A. arcsin x B. x C arcsin 2 2 C. ln x x 2 4 D. ln x x 2 4 C 12. 广义积分 xe x 2 dx （ ） 1 A. 1 B. 1 2e 2e C.e D.+∞ 13. 2 cos 3 xdx （ ） 2 A. 2 B. 2 C. 4 4 3 3 3 D. 3 14. 设物体以速度 v=t 2 作直线运动， v 的单位为米 / 秒，物体从静止开始经过时间 T （ T>0 ）秒 后所走的路程为（ ） A.Tt 2 米 B. T t 2 米 C. T 3 米 D. T 3 米 2 3 2 15. 直线 x 1 y 2 z 3 位于平面（ ） 2 1 A.x=1 内 B.y=2 内 C.z=3 内 D.x-1=z-3 内 16. 设函数 f (x,y)=(x 2-y 2)+arctg(xy 2 )，则 f x (1,0) （ ） A.2 B.1 C.0 D.-1 17. 函数 z 2 x 2 y 2 在点（ 0， 0）（ ） 2
2006年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学（工专）试题 （课程代码 0022） 自考，成教，网教，电大咨询或更多资料请加qq ：8514--92821 一、单项选择题（本大题共30小题，1—20每小题1分，21—30每小题2分，共40分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 （一）（每小题1分，共20分） 1.函数x x y sin =在其定义域内是（ ） A.有界函数 B.周期函数 C.无界函数 D.奇函数 2.函数2x 1x 1y --=的定义域是（ ） A.[)(]1,0,0,1- B.[)0,1- C.(][)+∞-∞-,1,1, D.(]1,0 3.函数2 e e y x x --=是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.周期函数 4.设|q|<1，则n n q lim ∞→=（ ） A.不存在 B.-1 C.0 D.1 5.若函数f(x)在点x 0处可导且0)x (f 0≠'，则曲线y=f(x)在点（x 0, f(x 0)）处的法线的斜率等于（ ） A.)x (f 0'- B.) x (f 10'- C. )x (f 0' D. )x (f 10' 6.设y=x 4+ln3，则y '=（ ）
A.4x 3 B.31 x 43+ C.x 4lnx D. x 4lnx+31 7.设y=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3，则y '''=（ ） A.6 B.a 3 C.0 D.6a 3 8.设???-=+=t 1y t 1x ，则=dx dy （ ） A.t 1t 1-+ B.- t 1t 1-+ C. t 1t 1+- D.- t 1t 1+- 9.函数f(x)=arctgx 在[0，1]上使拉格朗日中值定理结论成立的c 是（ ） A. ππ-4 B.-ππ -4 C.ππ-4 D.- ππ -4 10.函数y=x+tgx 在其定义域内（ ） A.有界 B.单调减 C.不可导 D.单调增 11.函数2x e y -=的图形的水平渐近线方程为（ ） A.y=1 B.x=1 C.y=0 D.x=0 12.?x dx =（ ） A.C x 2+ B.2x C.23x 32 D. 2 3 x 32 +C 13.设?=Φ1 x tdt sin )x (，则)x (Φ'=（ ） A.sinx B.-sinx
做试题,没答案?上自考365,网校名师为你详细解答! 2009年10月自考高等数学(工专)试题 课程代码：00022 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为( ) A. f (x )=e -x (-∞,+∞) B. f (x )=cot x (0,π) C. f (x )=sin x 1 (0,+∞) D. f (x )= x 1 (0,+∞) 2.函数y =lg(x -1)的反函数是( ) A.y =e x +1 B.y =10x +1 C.y =x 10-1 D.y =x -10+1 3.级数∑∞ =+1 )1(1 n n n 的前9项的和s 9为( ) A.9001 B.32 C.0.9 D.1 4.下列无穷限反常积分收敛的是( ) A.?+∞dx x 21 1 B.?+∞dx x 11 C. ?+∞ xdx ln 1 D. ?+∞ dx e x 1 5.设矩阵???? ? ?????=z y x A 000000,则行列式|-2A |的值为( ) A.2xyz B.-2xyz C.8xyz D.-8xyz 二、填空题(本大题共10小题,每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.=+∞→x x x arctan lim _______. 7.设f (x )=????? ??>=<+. 0,2sin ,0,, 0,1x x x x k x e x 在x =0处连续,则常数k =______.
高等数学（工专）教学大纲 一、课程的目的和要求 本课程是计算机专业的重要的基础理论课，通过本课程的学习，为以后学习电工电子技术，自动控制技术及计算机技术，可编程序控制器等课程提供必要的数学基础。要求学生掌握微积分学及常微分方程的基本知识等。 二、课程的基本内容及要求： （一）函数： 常量、变量、函数概念、反函数、复合函数、函数关系的建立等。 （二）极限概念，函数的连续性 数列的极限，函数的极限，无穷小量与无穷大量 函数的连续性，连续函数的性质，初等函数的连续性等。 （三）导数与微分 导数的定义，几个基本初等函数的导数公式，函数的可导性与连续性关系，函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数求导，反函数求导，高阶求导，隐函数及对数求导，微分等。 （四）微分学应用 微分学中值定理，函数增减性的判定，函数的极限，函数的最大、最小值及其应用问题，函数的作图举例，平面曲线的曲平等。 （五）不定积分概念与积分法 原函数与不定积分，换元积分法，分部积分法，有理函数和可化为有理函数的积分，积分表的使用。 （六）定积分及其应用 定积分概念和基本性质，积分的基本定理，广义积分定积分的应用等。 （七）空间解析几何 空间直角坐标系，方向余弦与方向数，平面与空间直线，曲线与空间曲线，二次平面举例。 （八）多元函数微积分 多元函数的极限与连续，偏导数及其几何意义，全微分，多元复合函数的求导法，多元函数的极值。 （九）多元函数积分学 二重积分的概念及性质，二重积分的计算法，三重积分及其计算法，重积分在力学中的应用。 （十）常微分方程 基本概念，可分离变量的一阶方程与齐次方程，一阶线性方程，可降阶的高阶方程，线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性方程的解法，二阶常系数非齐次线性方程的解法。 (十一) 无穷级数 常数项级数的基本概念及主要性质，正项级数及其审验准则，任意项级数的收敛问题，幂级数及其性质，函数的幂级数展开式。三、学时分配 四、教材： 高等数学（工专）（2000年版）陆庆乐等编，高教出版社
自考00023《高等数学（工本）》历年真题集电子书
目录 1. 目录 (2) 2. 历年真题 (5) 2.1 00023高等数学（工本）200404 (5) 2.2 00023高等数学（工本）200410 (7) 2.3 00023高等数学（工本）200504 (9) 2.4 00023高等数学（工本）200507 (11) 2.5 00023高等数学（工本）200510 (14) 2.6 00023高等数学（工本）200604 (15) 2.7 00023高等数学（工本）200607 (18) 2.8 00023高等数学（工本）200610 (21) 2.9 00023高等数学（工本）200701 (24) 2.10 00023高等数学（工本）200704 (26) 2.11 00023高等数学（工本）200707 (28) 2.12 00023高等数学（工本）200710 (29) 2.13 00023高等数学（工本）200801 (34) 2.14 00023高等数学（工本）200804 (35) 2.15 00023高等数学（工本）200807 (36) 2.16 00023高等数学（工本）200810 (38) 2.17 00023高等数学（工本）200901 (39) 2.18 00023高等数学（工本）200904 (40) 2.19 00023高等数学（工本）200907 (42) 2.20 00023高等数学（工本）200910 (43) 2.21 00023高等数学（工本）201001 (45) 2.22 00023高等数学（工本）201004 (46) 2.23 00023高等数学（工本）201007 (47) 2.24 00023高等数学（工本）201010 (49) 2.25 00023高等数学（工本）201101 (50) 2.26 00023高等数学（工本）201104 (52) 2.27 00023高等数学（工本）201107 (54) 2.28 00023高等数学（工本）201110 (55) 2.29 00023高等数学（工本）201204 (57) 3. 相关课程 (59)
2010年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(工本)试题 课程代码：00023 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在空间直角坐标系中,方程122 2222=++c z b y a x 表示的图形是( ) A.椭圆抛物面 B.圆柱面 C.单叶双曲面 D.椭球面 2.设函数z =x 2y ,则 =??x z ( ) A.212-y yx B.x x y ln 2 C.x x y ln 22 D.()12-y yx 3.设Ω是由平面01=-+-z y x 及坐标面所围成的区域,则三重积分=???Ω dxdydz ( ) A.8 1 B. 61 C.31 D.21 4.已知微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( ) A.2C 1x +C 2cos x B.2Cx +cos x C.cos x +C (2x -cos x ) D.C (2x -cos x ) 5.设幂级数∑∞--1)3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数y x y z cos sin =,则=??x z .
7.已知dy e dx e y x y x +++是某函数()y x u ,的全微分,则()=y x u , . 8.设∑是上半球面()01222≥=++z z y x ,则对面积的曲面积分??∑ =dS . 9.微分方程x y 2sin =''的通解为y= . 10.无穷级数∑∞ =0!2n n n 的和为 . 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 11.求过点P (3,-1,0)并且与直线0 321-=-=z y x 垂直的平面方程. 12.设函数()y x x f z -=,3,其中f 是可微函数,求 x z ??,y z ??. 13.设方程x y x ln =确定函数()y x z z ,=,求全微分dz. 14.求函数()22,xy y x y x f +=在点(1,-1)沿与x 轴正向成30°角的方向l 的方向导数. 15.求空间曲线t z t y t x ===,sin ,cos 在点???? ??4,22,22π处的切线方程. 16.计算二重积分()dxdy e I D y x ??+-=22,其中区域D ：.0,422≥≤+y y x 17.计算二次积分?? =2 0 2 sin ππy dx x x dy I . 18.计算对弧长的曲线积分 ()?+-L ds y x 132,其中L 是直线2-=x y 上从点(-1,-3)到点(1,-1)的直线段. 19.计算对坐标的曲线积分 ?+L ydx xdy 其中L 是抛物线2x y =上从点(-2,4)到点(2,4)的一段 弧. 20.求微分方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解. 21.判断级数()∑∞=-+-131321n n n n 是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛? 22.设函数()? ??<≤<≤-=ππx x x x f 0,0,0的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a ,求系数b 7. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
第一章函数 §1.1实数 一、实数与数轴 二、区间与邻域 三、绝对值 习题1.1 §1.2函数的定义及其表示法 一、常量与变量 二、函数的定义 三、常用的函数表示法 习题1.2 §1.3函数的几种特性 一、有界性 二、单调性 三、奇偶性 四、周期性 习题1.3 §1.4反函数和复合函数 一、反函数 二、复合函数 习题1.4 §1.5初等函数 一、基本初等函数 二、初等函数 三、非初等函敷的例子 四、初等函数定义域的求法 五、建立函数关系举例 习题1.5 §1.6本章内容小结与学习指导 一、本章知识结构图 二、内容小结— 三、常见题型— 四、典型例题解析 第二章极限与连续 §2.1数列及其极限 一、数列的概念 二、数列的极限 三、收敛数列的性质 四、数列极限的运算法则及存在准则 习题2.1 §2.2数项级数的基本概念 一、数项级数的定义及敛散性 二、级数的摹本性质和级数收敛的必要条件 三、正项级数的敛散性判别
习题2.2 §2.3函数的极限 一、自变量趋于无穷大时函数f(x)的极限 二、自变量趋于有限值x时函数f(z)的极限 三、函数极限的性质 四，函数极限的运算法则及存在准则 五，两个重要极限 习题2.3 §2.4无穷小量与无穷大量 一、无穷小量的概念 二，无穷小量的性质 三、无穷小量的比较 四、无穷大量 习题2.4 §2.5函数的连续性 一、函数连续性的概念 二、函数的间断点及其分类 三、函数连续性的物理意义 四、连续函数的运算与初等函数的连续性 五，闭区间上连续函数的性质 习题2.5 §2.6本章内容小结与学习指导 一、本章知识结构图 二、内容小结 三，常见题型 四、典型例题解析 第三章导数与微分 §3.1导数的概念 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义和物理意义 四、可导与连续的关系 习题3.1 §3.2导数的运算 一、基本初等函数的求导公式 二、导数的四则运算法则 三、反函数的求导法则 四、复合函数的求导法则 习题3.2 §3.3几类特殊函数的求导方法 一、幂指函数的求导方法 二、隐函数的求导方法 三、参数式函数的求导方法 习题3.3
绝密 ★ 考试结束前 全国2013年4月高等教育自学考试 高等数学（工专）试题和答案 课程代码：00022 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1．函数22log (9)y x =-的定义域是 A.(3,+∞) B ．（-∞，-3) (3,+∞) C ．（-∞，-3） D ．（-∞，-3] [3,+∞） 2．设()sin(1)f x x =+，则()f x 为 A ．偶函数 B ．周期为2π-1的周期函数 C ．奇函数 D ．周期为2π的周期函数 3．如果级数的一般项恒大于0.002，则该级数 A ．一定收敛 B ．可能收敛 C ．一定发散 D ．部分和有界 4.若()2sin ,()2x f x dx C f x =+=?则 A ．cos 2 x C + B ．2sin 2x C ．2cos 2x C + D.cos 2 x 5．设1111A ??=? ?--??,B =1111-????-??则AB = A.0000?????? B.1111-????-??
C.2212??? ?--?? D.2222--?????? 非选择题部分 注意事项： 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 ．已知函数()1ln ,()1f x x g x =+=,则[()]f g x =______. 7．极限10limcos[(1)]x x x →+=______. 8．设9(102)y x =-，则y '=______. 9．设函数arctan(3)y x =-，则dy =______dx . 10．函数cos y x x =+单调增加的区间是______. 11. π 2π2 2sin 1x dx x -=+?______. 12．行列式321 315323 =______. 13．由参数方程sin 1cos x t t y t =-??=-?，所确定的函数(),π2 dy y y x dx t ==则=______. 14．无穷限反常积分21x xe dx +∞-=?______. 15．设矩阵132013001A ????=-?????? ，则其逆矩阵1A -=______. 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 16．求极限0lim x →31 x x e -. 17．求微分方程x y y '=-的通解． 18．求由方程9y e xy +=所确定的隐函数()y y x =的导数 dy dx . 19．求曲线x y e =在点(0,1)处的法线方程．
全国2010年4月高等教育高等数学(工专)自考试题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设函数y=f (x)的定义域为[0, 1]，则f (x+2)的定义域为( ) A.[0, 1] B.[-1, 1] C.[-2, 1] D.[-2, -1] 2.当x→0时，下面无穷小量中与x等价的无穷小量为( ) A.3x B.sin x C.ln (1+x2) D.x+sin x
2010年7月自考毛思、邓小平理论和三个代表试题 一、单项选择题(本大题共30小题，每小题1分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.毛泽东思想形成的时代背景是( ) A.革命与独立
B.战争与革命 C.和平与发展 D.科技与创新 2.首次把邓小平理论确定为党的指导思想并写入党章的是( ) A.党的十三大 B.党的十四大 C.党的十五大 D.党的十六大 3.党的十六大提出，贯彻“三个代表”重要思想的关键在于坚持( ) A.与时俱进 B.求真务实 C.立党为公 D.执政为民 4.1930年5月，毛泽东在《反对本本主义》中提出的著名论断是( ) A.没有调查，就没有发言权 B.农民问题是中国革命的中心问题 C.枪杆子里面出政权 D.全心全意为人民服务 5.中国革命统一战线最根本的问题是( ) A.革命纲领问题 B.领导权问题 C.同盟军问题 D.策略问题
6.中国新民主主义革命的主力军是( ) A.无产阶级 B.农民阶级 C.城市小资产阶级 D.民族资产阶级 7.党在过渡时期总路线的主体是逐步实现( ) A.社会主义工业化 B.对农业的社会主义改造 C.对手工业的社会主义改造 D.对资本主义工商业的社会主义改造 8.邓小平理论的首要的基本理论问题是( ) A.什么是社会主义，怎样建设社会主义 B.建设什么样的党，怎样建设党 C.如何把坚持改革开放与坚持四项基本原则结合起来 D.如何把提高效率与促进社会公平结合起来 9.在当代，对经济发展起第一位变革作用的是( ) A.生产工具 B.劳动对象 C.科学技术 D.劳动者 10.社会主义初级阶段是( ) A.任何国家搞社会主义都必须经历的阶段 B.资本主义向社会主义的过渡时期
1 全国2018年4月自考试题高等数学（工专）试卷 课程代码：00022 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列函数中是奇函数的为（ ） A ．y =ln(x 2+1)-sec x B ．y =3x +1 C ．y =ln x x +-11 D ．y =? ??≥+<-.0,1,0,1x x x x 2．若级数 ∑∞ =1 n n u 发散，则（ ） A ．可能∞ →n lim u n =0,也可能∞ →n lim u n ≠0 B ．必有∞ →n lim u n =0 C ．一定有∞ →n lim u n =∞ D ．一定有∞ →n lim u n ≠0 3．无穷大量减去无穷大量（ ） A ．仍为无穷大量 B ．是零 C ．是常量 D ．是未定式 4．曲线y =3x 的点（0，0）处的切线（ ） A ．不存在 B ．为y = 3 3 1x C ．为y =0 D ．为x =0 5．在下列矩阵中，可逆的矩阵是（ ） A ．??????????100010000 B ．??????????101111001 C ．???? ??????121110011 D ．???? ??????100122011
2 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6．∞→n lim ??????++++n )21(81 4121Λ=_________. 7．设2)1(x x f =+,则=)(x df ________. 8．设)(x f 是可导函数，y =)(x f ,则 dx dy =___________. 9．设)(x f =ln(1+x ),则='')0(f _________. 10．设由参数方程x =a (t -sin t ),y =a (1-cos t )(其中a >0为常数)确定的函数为),(x y y =则 dx dy =___________. 11．曲线y =x 3的拐点为___________. 12．函数y=2 11 x +在区间[]1,0上的平均值为____________. 13．不定积分? =dx x x 2 cos 12 _________. 14．设A 为3阶方阵，且A 的行列式│A │=a ≠0，则A 的伴随矩阵*A 的行列式│*A │=______. 15．设矩阵A =???? ??????--110231012 ，B =??????????---521342101，则=-'B A 2___________. 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 16．求极限)112(lim 22n +---+∞ →n n n n . 17．设y = +2 x e x ln3,求y '. 18．求由方程x -y + 21 sin y =0所确定的隐函数y =y (x )的一阶导数dx dy . 19．求微分方程x y y x 32=+'的通解 20．求函数y =x -ln(1+x )的单调区间和极值. 21．求不定积分? xdx ln .
1 全国2018年7月高等教育自学考试 高等数学（工专）试题 课程代码：00022 一、单项选择题（本大题共30小题，1—20每小题1分，21—30每小题2分，共40分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 （一）（每小题1分，共20分） 1．函数f(x)=arcsin 23 x -的定义域是（ ） A ．（-1，1） B ．[1，5] C ．（-∞，0） D ．（2，4） 2．函数y=是121 2x x +-（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．周期函数 D ．非奇非偶函数 3．函数f(x)=|sinx|的周期是（ ） A ．2π B ．π23 C ．π D ． 4 π 4．=→x 2x arcsin lim 0x （ ） A ．∞ B ．不存在 C ．0 D ．2 1 5．f(x)在点x 0可导是f(x)在点x 0可微的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件 6．曲线y=e x 上点（0，1）处的切线方程为（ ） A ．y-1=e x ·x B ．y=x-1 C ．y-1=-x D ．y=x+1 7．设y=arcsinx 2,则dy=（ ）
2 A ． dx x 1x 24 - B ． 4 x 1x 2- C ． dx x 1x 24 + D ． 4 x 1x 2+ 8．设? ??==2 t y t 2x ，则=dy dx （ ） A ．t B ．t 1 C ．2t D ．2 9．函数f(x)=x 2+1的单调减区间是（ ） A ．（-∞，0] B ．（0，+∞） C ．（-∞，+∞） D ．（-1，+∞） 10．函数y=x-ln(1+x 2)的极值是（ ） A ．0 B ．1-ln2 C ．-1-ln2 D ．不存在 11．曲线y=1+ 2 )2x (x 36+（ ） A ．只有一条水平渐近线 B ．只有一条垂直渐近线 C ．有一条水平渐近线及一条垂直渐近线 D ．无渐近线 12．曲线y=2 x 2 e -的拐点有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 13．某运动物体的速度函数为υ（t ）=sec 2t ·tgt ，则路程与时间的关系为（ ） A ．-t tg 212 B ． C t tg 2 12+ C ．t sec 21 2 D ．C t sec 3 1 3+ 14．已知f(x)=? ='+2 x 2)1(f ,dt t 2则（ ） A ．-3 B ．63- C ．36- D ．3 15．广义积分 ? -1 1 2 dx x 1（ ）
2020年自考高等数学（工专）考试题库及答案 第一章（函数）之内容方法 函数是数学中最重要的基本概念之一。它是现实世界中量与量之间的依赖关系在数学中的反映，也是高等数学的主要研究对象。本章主要阐明函数的概念，函数的几个简单性态，反函数，复合函数，初等函数及函数关系的建立等。重点是函数的概念与初等函数，难点是复合函数。 1－2 函数的概念 函数的定义：y=f(x)(x∈D),其中x是自变量，f为对应法则，y为因变量，D是定义域。?（对任意）x∈D,?!(有唯一)y与x对应。y所对应的取值范围称为函数的值域。 当自变量x取平面的点时，即x=(x1,x2)时，f(x)是二元函数；当x取空间中的点x=(x1,x2,x3)时，f(x)是三元函数。 函数的表示法主要有两种。其一是解析法，即用代数式表达函数的方法。例如y=f(x)=e x,符号函数 ， 其中后者是分段函数。其二是图示法。如一元函数可表示为平面上的一条曲线，二元函数可表示为空间中的一张曲面等。 给定一个函数y=f(x)，则会求函数的定义域，值域，特殊点的函数值等是最基本的要求。应综合考虑分母不能为0，偶次根式中的表达式应大于等于0，对数函数的真数应大于0等情形。 1－3 函数的简单性态 1．单调性：称函数f(x)在区间I（含于定义域内）单调增，若?x1,x2∈I,当x1 接下来我们就开始学习高等数学了，也许在学习的过程中我们会感到枯燥无味，但是我相信只要我们努力，我们一定能达到成功的彼岸。 常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。 注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 函数的定义 如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x 叫做自变量，y叫做因变量。 注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 1 全国2018年4月高等教育自学考试 高等数学(工专)试题 课程代码：00022 一、单项选择题(本大题共30小题，1—20每小题1分，21—30每小题2分，共40分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题干的括号内。错选、多选或未选均无分。 (一)（每小题1分，共20分） 1．函数f(x)=arccos x 2的定义域是( ) A ．（-1，1） B ．[0，21 ] C ．（0，1） D ．（0， 2 1） 2．函数f(x)=1x 2e 31 +是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．有界函数 D ．单调增函数 3．=∞→x arctgx lim x ( ) A ．∞ B ．1 C ．0 D ．不存在 4．曲线y=x 1在点（2,21 ）处的切线的斜率为( ) A ．-4 B ．- 4 1 C ． 4 1 D ．4 5．设y=ln(secx+tgx), 则dy=( ) A ．tgx x sec 1 + B ．secx C ． tgx x sec 1 +dx D ．secxdx 6．设???=+=arctgt y )t 1ln(x 2 , 则=dx dy ( ) A ． t 21 B ．1 2 C ．2t D ． 2 1 7．设函数f(x)在点x 0处具有二阶导数且0)x (f 0='，那末当0)x (f 0<''时( ) A ．函数f(x)在点x 0处取得最小值 B ．函数f(x)在点x 0处不取得极值 C ．函数f(x)在点x 0处取得极大值 D ．函数f(x)在点x 0处取得极小值 8．曲线y=3x ( ) A ．的渐近线为x=0 B ．的拐点为x=0 C ．没有拐点 D ．的拐点为（0，0） 9．曲线y=x 2+x 1 的垂直渐近线是( ) A ．y=0 B ．x=0 C ．y=1 D ．x=1 10．若? +=C 2 x sin 2dx )x (f ，则f(x)=( ) A ．cos C 2x + B ．cos 2x C ．2cos C 2x + D ．2sin 2 x 11． ? -dx x 2x 2 =( ) A ．2x 2- B ．2x 2-+ C C ．-2x 2-+C D ．-2x 2- 12．广义积分? +∞ ∞-+ dx x 1x 22( ) A ．发散 B ．收敛 C ．收敛于π D ．收敛于 2 π 13．过点（1，1，-1）且与平面x+2y-3z+2=0垂直的直线方程为( ) A ．31z 21y 11x +=-=- B ．31z 21y 11x -= +=+ C ． 3 1 z 21y 11x --= +=+ D ． 3 2 z 21y 1x --= += 14．设z=e x sin(x+y), 则dz|(0,π)=( ) A ．-dx+dy B ．dx-dy C ．-dx-dy D ．dx+dy 高数（工专）学习心得与经验 之前我对高数（工专）特别没有信心，觉得一点基础都没有，听到别人传说的难度，再看到教材确实也有难度。但经过这次的学习，我对考试有把握通过，也不会再没有信心。所以写下些心得体会，希望对其它朋友有所帮助。主要有以下几点：1，逐步树立信心。高数（工专）对以前的基础要求很少，三角公式在教材里就可查到。所以，像我一样，从“0”开始，一样可以过高数。2，迈出重要的、关键的、决定性的第一步。多花些时间，着重先学透前三章，选做一些练习；第三章的“导数”，是后继内容“微分”、“积分”、“二重积分”的基础，也可以举一反三。学完了“导数”，自己能计算题目了，就会信心倍增。3，紧扣大纲，但又要区分主次；可先适当跳过应用难题和难点。学习每一章之前，都要先看大纲；我分别用4种符号，在教材的各节中标记出大纲的4 种要求，这样就一目了然。另外，有些大纲的要求是“简单应用”、“综合应用”，比如“二次方程”等，但以往的试卷中并没有出题，可以缩减学习时间。我始终都没仔细学“微分学应用”这一章（注意会出题目），这样可以节省时间和精力。4，把“例题”，当成“习题”，自己先做一遍，可以事半功倍。因为当你看到例题时，已经看过了相关的教材内容。有的人看书确实很认真，但不重视通过做习题来逆向检验和加深记忆，考试效果比较差。看了教材，会做题目了，这样还不行；像“导数”、“积分”这些最基本、也是最重要的章节，要能够非常熟练的解题；所以，只有通过大量的习题，才能达到熟练的程序。往后学习才会觉得更容易，更有感觉。5，通过以往试卷真题的练习，是复习和检验的重要环节。高数需要多些时间，不能像有些公共政治课程一样临时抱佛脚。如果你看到了这里，说明我的帖子有点参考价值，回帖是美德哦！（不 自考《高等数学（工专）》课后习题答案 详解 《高等数学(工专)》真题：积分的性质 单选题 正确答案：A 答案解析：本题考查积分的性质。 由于在[0，1]上，根号x大于x，所以I1>I2。 《高等数学(工专)》真题：微分概念 单选题 《高等数学(工专)》真题：驻点的概念 单选题 1.函数f(x，y)=x2+xy+y2+x-y+1的驻点为()。 A.(1，-1) B.(-1，-1) C.(-1，1) D.(1，1) 正确答案：C 答案解析：本题考查驻点的概念。对x的偏导数为2x+y+1，对y的偏导数为x+2y-1，由于求驻点，也就是偏导数为0的点，所以2x+y+1=0，x+2y-1=0，得到x=-1，y=1。 《高等数学(工专)》真题：矩阵逆的求法 单选题 1.如果A2=10E，则(A+3E)-1=()。 A.A-2E B.A+2E C.A+3E D.A-3E 正确答案：D 答案解析：本题考查矩阵逆的求法。A2-9E=E，(A+3E)(A-3E)=E，(A+3E)-1=A-3E 《高等数学(工专)》真题：连续的概念 单选题 A.f(x)在(-∞，1)上连续 B.f(x)在(-1，+∞)上连续 C.f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上连续 D.f(x)在(-∞，+∞)上连续 正确答案：C 答案解析：本题考查连续的概念。 《高等数学(工专)》真题：矩阵的计算性质 单选题 1.设A是k×l阶矩阵，B是m×n阶矩阵，如果A·CT·B有意义，则C是()矩阵。 A.k×n B.k×m C.l×m D.m×l 正确答案：D 答案解析：本题考查矩阵的计算性质。首先我们判断CT是l×m阶矩阵，所以C是m×l阶矩阵。 2018 年 10 月自考 高等数学 (工专 )试题 课程代码： 00022 一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分 ) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。 1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为 ( ) -x (- ,+ ) B. f(x)=cot x (0,π ) A. f(x)= e C. f( x)=sin 1 ) 1 (0,+ ) (0,+ D. f(x)= x x 2.函数 y=lg( x-1) 的反函数是 ( ) A. y=e x +1 B. y=10 x +1 C.y=x 10-1 D.y=x -10+1 3.级数 1 A. 900 1 的前 9 项的和 s 9 为 () n 1 n( n 1) 2 B. 3 C.0.9 D.1 4.下列无穷限反常积分收敛的是 ( ) 1 1 A. 1 x 2 dx B. 1 x dx C. ln xdx D. e x dx 1 1 x 0 0 5.设矩阵 A 0 y 0 ,则行列式 |-2A|的值为 ( ) 0 0 z A.2 xyz B.-2 xyz C.8xyz D.-8xyz 二、填空题 (本大题共 10 小题 ,每小题 3 分，共 30 分 ) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6. lim arctan x _______. x x e x 1, x 0, 7.设 f( x)= k, x 0, 在 x=0 处连续 ,则常数 k=______. sin 2x 0. , x x 1高等数学工专讲义
4月全国自考高等数学(工专)试题及答案解析
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