第二章 轴对称小结与复习
轴对称是图形的重要变换方式之一，它是一种全等变换，也是探索一些图形的性质，认识、描述图形形状和位置关系的必要手段之一.
考点呈现
考点1 轴对称图形的识别
例1 （2013年日照市）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是 （ ）
解析：根据轴对称图形的定义，可知选项B,C,D 的图形无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，而选项A 中的图形沿底边中线所在的直线折叠，直线两旁的部分能够重合.
故选A.
点评：判断一个图形是不是轴对称图形，关键看能否找到一条直线，若沿该直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形.
考点2 确定轴对称图形的对称轴
例2（2013年绵阳市）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是 （ ）
解析：由轴对称图形的概念，可以判断四个选项中，选项B 的数字不是轴对称图形，而选项C,D 的数字的对称轴都有两条，只有数字3的对称轴仅有一条.
故选A.
点评：确定轴对称图形的条数，可依据轴对称图形的概念，画出直线，然后动手折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么所画的直线就是一条对称轴，在数轴对称图形的条数时，要特别注意不要遗漏.
考点3 轴对称的性质
例3（2013年成都市）如图1，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，
使点C 和点
C'重合，若AB=2，则C'D 的长为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由题意可知△BCD 与△B C'D 关于直线BD 成 轴对称，根据轴对称的性质，可得C'
D=CD=AB=2.
图
1
故选B.
点评：与图形的折叠有关的问题，一般都可以转化为轴对称 问题，再利用轴对称的性质，借助已知条件，综合分析解决.
考点4 等腰三角形的性质
例4 如图2，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． 试说明：BE=CE.
解析：由等腰三角形三线合一的性质，可得∠BAE=∠CAE.在△ABE 与△ACE 中，AB=AC ，∠BAE=∠CAE ，AE=AE ，所以△ABE ≌△ACE ，所以BE=CE. 点评：“三线合一”是等腰三角形最重要的性质，要能熟练应用.
点评：当三角形中给出两边相等时，要充分利用等腰三角形的两个底角相等的性质，进行综合分析.
考点5 线段垂直平分线的性质
例5 （2013年十堰市）如图3，将△ABC 沿直线DE 折叠后， 使得点B 与点A 重合，已知AC=5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ， 则BC 的长为（ ）
A ．7 cm
B ．10 cm
C ．12 cm
D ．22 cm
解析：由题意可知，直线DE 是线段AB 的垂直平分线，所以AD=BD,所以BC=BD+CD=AD+CD.又因为AC=5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ，所以AD+CD=17-5=12(cm),所以BC=12 cm.
故选C.
点评：条件中如果出现线段垂直平分线，那么常常要利用“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”来解决问题.
考点6 角平分线的性质
例6（2013年丽水市）如图4，在Rt △ABC 中，∠A=90°，
∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是__________
解析：如图5，过点D 作DE ⊥BC,垂足为E.因为BD 平分∠ABC ，DA ⊥AB ，DE ⊥BC,所以DE=DA=3.因为BC=10，所以S △BDC =2
1
BC ·DE= 2
1
×10×3=15. 故填15.
点评：条件中如果给出角平分线，常常过角平分线上一点，
向角的两边作垂线，然后利用角平分线的性质解题. 考点7 利用轴对称设计图案
例7 （2013年平顶山模拟）如图6所示，在3×3的正方
图5
形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有 （ ）
A ．3种
B ．4种
C ．5种
D ．6种 解析: 利用轴对称的性质以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴得到不同的图案即可．如图7所示，将标有数字的小正方形分别涂黑，均可得到轴对称图形.
故选C ．
点评：本题考查利用轴对称设计图案，先找出对称轴，依据对称轴考虑设计办法.
误区点拨
误区1 混淆轴对称图形与轴对称的概念
例1 轴对称图形与轴对称是同一个概念，你认为这种说法正确吗？ 错解：正确.
剖析：错解的原因是基本概念掌握不牢固，轴对称图形与轴对称是两个概念，它们有着本质的区别，轴对称图形描述的是一个图形的特性，而轴对称描述的是两个图形之间的特殊位置关系.
正解：这种说法是不正确的.
误区2 没有理解、掌握对称轴的概念
例2 下列说法：①等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；②角的对称轴为角平分线；③正方形的对角线所在的直线是正方形的一条对称轴；④线段的对称轴为线段的垂直平分线.其中正确的有_____________.
错解：①②③④ 剖析：由轴对称图形的对称轴的概念可知，对称轴是一条直线.而①中顶角的平分线为线段；②中的角平分线是射线.所以①②都是错误的.
正解：③④
误区3 忽略分类讨论
例3 若等腰三角形的两边长为3和4，则该三角形的周长为 （ ） A.10 B.11 C.10或11 D.10或12 错解：选A 或B.
剖析：对于等腰三角形，若条件中没有给定底边和腰时，要确定三角形的周长，此时应结合三角形的三边关系，采用分类讨论的方法进行解决.
当腰长为3，底边长为4时，三角形的周长为3+3+4=10； 当腰长为4，底边长为3时，三角形的周长为4+4+3=11. 所以三角形的周长为10或11. 正解：选C.
误区4 不理解“三线合一”的内涵
例4 在等腰三角形中，角平分线、中线和高三线合一，这种说法正确吗？ 错解：正确.
剖析：在等腰三角形中，“三线合一”指的是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高这样的三条线段重合，并不是所有的这样三条线段都重合.
正解：这种说法不正确
.
图6
图7
方法点击
方法1 排除法
例1 下列图形不是轴对称图形的是 （ ）
解析：根据轴对称图形的定义，选项A,B,C 三个图形沿一条直线折叠，两旁的部分都能重合，所以它们都是轴对称图形.故选D.
点击：排除法是指当所给的四个选项中仅有一个是正确的（或错误的）的时候，若排除了三个是错误的（或正确的），则余下的一个选项就是正确的答案. 方法2 构造法
例2 如图，在△ABC
中，AB=AC,BD ⊥AC,试说明∠DBC=
2
1
∠BAC. 解析：由要说明的问题，我们易想到构造等腰三角形的顶角平分
线，这样可以把问题转化为说明两个角相等.
如图，作AE ⊥BC 于点E,因为AB=AC,AE ⊥BC,所以∠CAE=
2
1
∠BAC. 因为BD ⊥AC,AE ⊥BC ，所以∠AEC=∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C,∠CAE=90°-∠C ，所以∠DBC=∠CAE=
2
1
∠BAC. 点击：构造法就是根据题意的要求，在解决问题时通过作辅助线，使其出现所需要的图形，从而使条件与结论紧密地联系起来.巧妙地使用构造法，可使问题简化.
中考链接
1.（2013年
咸宁）下列学习用具中，不是轴对称图形的是
（ ）
2.（2013年广安）等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A. 25 B. 25或32 C. 32 D. 19
3. （2013年南充） 如图，△ABC 中，AB=AC,∠B=70°，则∠A 的度数是（ ）
A.70°
B. 55°
C. 50°
D. 40° 参考答案：1. C 2. C 3. D
跟踪训练
1.下列图形不是轴对称图形的是 （ ）
2.下列轴对称图形中对称轴条数最多的是 （ ） A.正方形 B.线段 C.等边三角形 D.长方形
3.下列说法正确的是 （ ） A.全等的两个图形一定成轴对称 B.钝角三角形一定不是轴对称图形
C.角平分线上的点与角两边上的点所连的线段相等
D.等边三角形每个角的平分线、对边的中线、高都互相重合 4.如图1，在△ABC 中，△ACD 的周长为8 cm ，BC 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，则AB+AC 的长度为_____cm.
5.如图2，△ABC 内有一点O ，且D ，E ，F 是O 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点，则∠ADB+∠BEC+∠CFA=________°.
6.如图3，已知线段AB.
（1）用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线l （保留
A
B
C
图
1 图 3
图2
作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）中所作的直线l 上任意取两点M ，N （线段AB 的上方），连接AM ，AN ，BM ，BN ，试说明∠MAN=∠MBN.
7. 如图4，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上.连接BE 并延长，交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，若AF=BF ，则△AEF 与△BCF 全等吗？简单说明理由.
跟踪训练参考答案
1.B
2.A
3.D
4.8
5.360
6.解：（1）作图如图1所示. （2）根据题意作图如图2所示.
因为点M ，N 在线段AB 的垂直平分线上，所以AM=BM ，AN=BN. 又因为MN=MN ，所以△AMN ≌△BMN ，所以∠MAN=∠MBN ．
7.解：因为AB=AC ，点D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC,所以∠ADC=90°， 所以∠EAF+∠C=90°.
因为BF ⊥AC ，所以∠AFE=∠BFC=90°，所以∠CBF+∠C=90°.所以∠EAF=∠CBF. 在△AEF 与△BCF 中，因为∠AFE=∠BFC ，AF=BF ，∠EAF=∠CBF ，所以△AEF ≌△BCF.
图
1
图 2
图4
第2章图形的轴对称 复习课 学习目标： 1、理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质. 2、掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用. 3、理解等腰三角形的性质并能够简单应用. 4、理解等边三角形的性质并能够简单应用. 5、能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏 设计简单的轴对称图案. 重点：掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.难点：轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用 复习过程： 【课前准备】 1、什么叫轴对称图形？ 2、什么叫做两个图形关于某一条直线成轴对称？ 3、“轴对称图形”与“两个图形关于某一条直线成轴对称”有什么区别？ 4、什么叫做线段的垂直平分线？线段的垂直平分线有什么性质？如何用尺规作 出线段的垂直平分线？ 5、角的平分线具有什么性质？如何做角平分线？ 6、等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？已知哪些条件，可以用尺规做出等 腰三角形？ 7、如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形具有什么性质？ 如何画一个图形关于某条直线对称的图形？ 【课内探究】 知识点整理： 1、如果一个图形沿着某条直线折叠．．后，直线两旁的部分能够互相重合．．，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴. 轴对称图形是—个具有特殊性质的图形. 常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、
正方形、等腰梯形、正n边形、圆形. 2、把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它们的对称轴. 而两个图形中的各自的相对应点叫做关于这条直线的对称点. (1)轴对称是指两个图形之间的位置关系； (2)关于某条直线对称的两个图形是互相重合的； 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连的线段的垂直平分线. 牛刀小试：下面几种图形，一定是轴对称图形的是（） 3、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 巩固训练：(1)已知△ABC中，AB = AC，其周长为18cm，AB = 5cm，则BC = . (2)已知等腰三角形的腰长为4cm，底边长为6cm，则它的周长为. (3)已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则它的周长是. (4)已知等腰三角形一边长为3，另一边为5，则它的周长是. 4、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两个底角相等； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；(三线合一) ③等腰三角形是轴对称图形， 它的对称轴是顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 巩固训练：(1) 已知△ABC中，AB = AC，∠C = 50°，则∠B = . (2) △ABC中，AB = AC，若AD⊥BC于D，则∠1 ∠2，BD CD. (3) 已知等腰三角形的一个底角为45°，则它的顶角为. (4) 已知等腰三角形的一个角是70°，则其余两个角的度数是. (5) 已知等腰三角形的一个角是120°，则其余两个角的度数是.
轴对称图形复习课 学习目标 1、回顾和整理本章所学知识，用自己喜欢的方式进行总结和归纳，构建本章知识结构框架，使所学知识系统化。 2、进一步巩固和掌握轴对称性质和简单的轴对称图形-----线段、角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形的性质，并能运用这些性质解决问题。 学习重点：轴对称图形的性质，以及运用于解题 教学难点：有条理地表达，熟练地运用已知结论解决问题 学习过程 一、知识点网络 轴对称一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形______,那么就说这两个图形成轴对称。这条直线就是______.两个图形中的对应点叫做 . 轴对称图形一个图形沿着某条直线对折,如果直线两旁的部分能够完全_____ ,那么就称这个图形是轴对称图形。 轴对称与轴对称图形之间有什么区别?又有什么联系? 轴对称的性质 1、关于轴对称的图形全等。 2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 3、轴对称图形中，两条成轴对称的线段的“走向”只有两种可能：互相平行或它们所在直线的交点在对称轴上。 设计轴对称图案 图案的对称不但要求图形对称外，有时颜色也“对称”。 线段的对称轴 线段是轴对称图形，它有两条对称轴：它的垂直平分线与它本身所在的直线。线段垂直平分线的性质 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 线段垂直平分线的判定 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 角的对称轴
角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边距离相等。 角平分线的判定 角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 二、专题复习 专题一 轴对称的性质 【例1】如图（1）所示，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线MN 对称，△A ″B ″C ″和△A ′B ′C ′关于直线EF 对称. (1)画直线EF 。 (2)用全等符号写出与△ABC 全等的三角形。 (3)连接ＡA ′,CC ′,ＡA ′与直线MN 有什么位置关系？ＡA ′与CC ′有什么位置关系？ 专题二 线段的轴对称性 【例2】如图，在△ABC 中, ∠ACB=900,AB 的垂直平分线交BC 于E,垂足为D,∠CAE:∠EAB=2:1,则∠B=___ ． A B C A B C A B C 图 M N
第二章《轴对称图形》单元测试 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题：（每题3分，共24分） 1．若等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为( ) A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°2．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( ) A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点 3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（） A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点4．若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形 5把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（） A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行 6．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（）
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点 B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC、AB两边上的高的交点 D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（） A．①⑤B．②④C．③⑤D．②⑤ 二、填空题（每题3分，共24分） 9．已知以下四个汽车标志图案： 其中是轴对称图形的图案是（只需填入图案代号）． 10．星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针（粗）与分针（细）的位置如图所示，此时时针表示的时间是时分．（按12小时制填写）
第五章生活中的轴对称小结与复习 【教学目标】 知识与技能 1.进一步认识轴对称及其基本性质. 2.进一步了解基本图形的轴对称性. 3.按要求能够作出简单平面图形经过轴对称后的图形. 4.能利用轴对称进行一些图案设计. 过程与方法 、 1.通过回顾进一步认识轴对称及它的基本性质.掌握对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质. 2.通过回顾进一步了解基本图形（线段、角、等腰三角形）的轴对称性及其相关性质. 3.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴. 4.能欣赏现实生活中的轴对称图形，利用轴对称能进行一些图案设计. 情感态度与价值观 1.通过回顾与思考的活动，让学生进一步了解轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，并且增进学生学习数学的兴趣. 2.通过回顾与思考的活动，进一步发展空间观念和审美意识. 【教学重难点】 / 重点：轴对称的基本性质，欣赏并体验轴对称在现实生活中的广泛应用. 难点：欣赏并体验轴对称在现实生活中的广泛应用. 【导学过程】 【知识回顾】
【新知探究】 （一）基础知识 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，则称这个图形是轴对称图形。 : 成轴对称：如果两个图形沿一条直线对折后，它们能完全重合，则称这两个图形成轴对称。 对称轴：这一条直线叫对称轴 常见图形的对称轴 角：1条。（角平分线所在的直线） 线段：2条。（线段的垂直平分线和它本身） 等腰三角形：1条。（底边上的中线或高或顶角平分线） 等边三角形：3条。（三边上的“三线合一”） 长方形（矩形）：2条。（对边中点所在直线） ' 正方形：4条（两对边中点和两对角线所在直线） 正n边形：n条 圆：无数条 （二）轴对称的性质 1、对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2、对应线段相等，对应角相等 （三）常见轴对称图形的性质 1、线段垂直平分线性质 。 （1）线段的垂直平分线是线段的一条对称轴 （2）线段垂直平分线上的点到这条线段的两端距离相等 （四）、角平分线性质 （1）角平分线所在直线是角的对称轴 （2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等 3、等腰三角形 （1）等腰三角形是轴对称图形 [
轴对称 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ. 轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. Ⅱ. 作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这
些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2.用坐标表示轴对称 点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）. Ⅲ. 等腰三角形 1.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°. （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. Ⅳ. 最短路径
轴对称与轴对称图形 一、知识点： 1．什么叫轴对称： 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 2．什么叫轴对称图形： 如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 3．轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别： ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一 个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个 图形的特性。 联系： ①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴 对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两 个部分图形就成轴对称。 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰 三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。 4．线段的垂直平分线： （也称线段的中垂线） 5．轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形全等。 ⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。6．怎样画轴对称图形： 画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。 二、举例： 例1：判断题： ①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线； （）
②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴； （） ③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形； （） ④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。 （） 例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形. 例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形： 例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。 方法1 方法2 方法3
高一数学《第二章小结与复习》 教学目标 （一）知识与技能目标 1.知识的网络结构. 2.重点内容和重要方法的归纳. （二）过程与能力目标 1.熟练把握本章的知识网络结构及相互关系. 2.明白得映射、函数的概念. （三）情感与态度目标 培养学生归纳、整理所学知识的能力，从而激发学生的学习爱好、求知欲望，并培养良好的学习品质. 教学重点 本章知识的网络结构，及知识间的相互关系. 教学难点 知识间的相互关系及应用. 教学过程 一、本章知识框架： —函数的概念 _——函数的图象 -- 函数的性质 —反函数 对应---- ?映射 --- ?函数一 一二次函数——一 指数函数 —对数函数 二、本章的要紧概念： 1、映射 2、函数 3、函数的单调性 4、反函数 5、分数指数幕与根式 6、指数函数 7、对数 8、对数函数 三、本章的要紧方法： 1、相同函数的判定方法： ①泄义相同：②值域相同；③对应法那么相同. 2、函数解析式的求法： ①换元法；②配方法；③待泄系数法：④方程组法. 3、反函数的求法： ①求解x：②互换的位置：③注明反函数的泄义域. 4、函数泄义域的求法：（通常考虑以下六个方面） ①分式中分母不为零：②偶次方根被开方数（式）非负：③2中xHO： ④对数中貞?数大于零；⑤指、对数函数中底数大于零且不等于1:⑥实际咨询题要考虑实际意义. 5、函数值域的求法： ①观看法：②配方法；③图象法；④分离常数法：⑤反函数法；⑥判不式法：⑦换元法. 6、函数单调性的判泄法：证明的步骤：①取值：②作差：③泄号④作结论. 7、解应用题的一样步骤：①审题：②建模；③求模；④还原. 8、图象的变换规律： ①平移变换SO）
授课内容；轴对称，勾股定理，实数总复习 授课知识：1.轴对称是针对两个图形，两个图形能够完全重合 2.轴对称图形是针对一个图形 常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆 3.镜面对称问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果 4.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE 5. 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． 性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 6. 等腰三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线 7.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． 性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 8.．含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 9.最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点．
初二数学上册第二章轴对称知识点|初二数学轴 对称知识点 一、定义 1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。我们也说这个图形关于这条直线[成轴]对称。 2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对应点。 3、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 4、有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 5、三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 二、重点 1、把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 2、把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。
3、垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 4、垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 5、做对称轴：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。因此，我们只要找到一对再对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这个图形的对称轴。同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。 6、轴对称图形的性质：对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化。由个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状，大小完全相等。新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 7、等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等[等边对等角]等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合[三线合一][等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(，底边上的高，顶角平分线)所在直线就是它的对称轴。 等腰三角形两腰上的高或中线相等。 等腰三角形两底角平分线相等。 等腰三角形底边上高的点到两腰的距离之和等于底角到一腰的距离。
轴对称知识梳理 1 2 一、基本概念 3 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图4 5 形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 6 2.线段的垂直平分线 7 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 8 3.轴对称变换 9 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 10 4.等腰三角形 11 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰12 所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 13 5.等边三角形 14 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 15 二、主要性质 16 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 17 或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 18 2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 19 20 3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.
21 （2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）. 22 4.等腰三角形的性质 23 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 24 （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. 25 （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是26 它的对称轴. 27 （4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. 28 （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 29 （6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 30 5.等边三角形的性质 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 31 32 （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. 33 （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 三、有关判定 34 35 1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 36 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 37 3.三个角都相等的三角形是等边三角形. 38 4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 39 40
章节测试题 1.【答题】如图，四个图标中是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念解答． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 选C． 2.【答题】第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项正确； 选D． 3.【答题】下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项正确； 选D．
4.【答题】下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】将选项中的图形沿着某条直线对折，折痕两侧的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形． 【解答】A、是中心对称图形，A不符合题意； B、是中心对称图形，B不符合题意； C、是轴对称图形，C符合题意； D、是中心对称图形，D不符合题意． 故答案为：C． 5.【答题】下列四个图形中，不是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案． 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
轴对称知识点总结新 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
轴对称知识点总结 1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 （2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 5、线段的垂直平分线： （1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 （2）判定： 与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 6、等腰三角形： （1）定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。。 （2）性质。等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。等边对等角。三线合一。 （3）判定。有两条边相等的三角形是等腰三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。 7、等边三角形： （1）定义。三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。 说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （2）性质。 等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。 三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。 等边三角形的三个内角都等于60°。 （3）判定。 三条边都相等的三角形是等边三角形。 三个内角都相等的三角形是等边三角形。 有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）重要结论。在Rt△中，30°角所对直角边等于斜边的一半。 8、平面直角坐标系中的轴对称：图 7
第二章《轴对称图形》提高练习题 1．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程． 2．如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论： （1）AG=AD；（2）DF=EF；（3）S△DGF=S△ADG+S△ECF． 3．在菱形ABCD中，∠B=60°，AC是对角线． （1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF． ①求证：△ABE≌△ACF；②求证：△AEF是等边三角形． （2）若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论（图2备用）．
4．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED． 5．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）当∠BQD=30°时，求AP的长； （2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由． 6．如图，△ABC是等边三角形，过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D，连接AD，过点C作∠BCE=∠BAD，交AB的延长线于点E． （1）求证：BD=BE；（2）若CD=4，求AD的长．
7．如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP． （1）如图②，若M为AD边的中点， ①△AEM的周长=cm；②求证：EP=AE+DP； （2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由． 8．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF； （2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．
2.1轴对称与轴对称图形 姓名_______学号_______班级_______ 学习目标: 1.欣赏生活中的轴对称现象和轴对称图案,探索它们的共同特征,发展空间观念. 2.通过具体实例了解轴对称概念,了解轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形的区别和联系. 学习重点: 了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值. 学习难点: 能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念． 学习过程: 一、创设情境 观察如下的图案, 它们有什么共同的特征? 二、探索活动 活动一折纸印墨迹 问题1.你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？
问题2.两边墨迹的位置与折痕有什么关系？ 概念：把一个图形沿着___________________翻折，如果它能够与另一个图形__________，那么称这两个图形____________________对称,也称这两个图形成______________. 这条直线叫做________________，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点． 如图，△ABC和△DEF关于直线MN对称， 直线MN是对称轴，点A与点D、点B与点E、 点C与点F都是关于直线MN的对称点. 活动二切藕制作成轴对称的两个截面 联系实际，你能举出一些生活中图形成轴对称的实例吗？ 活动三
把_________图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是_______________，这条直线就是_____________. 请你找出图1-5中的各图的对称轴. 联系实际，你能举出一个轴对称图形的实例吗？ 活动五轴对称与轴对称图形的区别和联系 三、课堂练习 1. 分别画出下列轴对称型字母的对称轴以及两对对称点. 2.画出下列各轴对称图形的对称轴.
D C B A 第二章. 三角形及全等寒假复习济宁学院附属中学李涛 点一、轴对称图形定义、性质考点二、中垂线、角平分线考点三、等腰三角形 轴对称图形复习（二） 一、选择题（本大题共12小题） 1、如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为（） A、40°，40° B、100°，20° C、50°，50° D、40°，40°或100°，20° 3.在平面直角坐标系中，点A（－3，－2）关于y轴的对称点的坐标是 A. （－2，3） B. （3，－2 ） C. （2，－3 ） D.（－3，－2） 4.如右图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,则下列结论中不正确的是 A.∠B=∠C B. AD平分∠BAC C. AB=2BD D. AD⊥BC 5.下列图形：①角；②两相交直角；③圆；④正方形。其中轴对称图形有（） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.到△ABC的三个顶点距离相等到的点是( ) A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D三条边的垂直平分线的交点 7．将一张等腰三角形纸片按图①所示的方式对折，再按图②所示的虚线剪去一个小三角形，将余下纸片展开得到的图案是( ) 8．下列右侧四幅图中，平行移动到位置M后能与N成轴对称的是( ) . 9、如图3，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（） A．30o B．40o C．45o D．36o B C ② ①
（A ） （B ） （C ） （D ） 10、如图4，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线DE 交 AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 11．李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是（ ） 12. 如图2:在△ABC 中,DE 垂直平分AB,AE 平分∠BAC, 若∠C=900 ,则∠B 的度数为（ ） A.30 B.200 C.400 D.250 二、填空题（本大题共7小题，把答案填在题中横线上） 13、若点P 在∠BAC 的平分线上，它到AB 的距离为3cm,则它到AC 的距离为________cm. 14 、如果等腰三角形的顶角为70°，那么它的一个底角为_______. 15、已知等腰三角形的一边为3㎝，另一边长为7㎝，则它的周长为 ㎝。 16、如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ，且△ABC 的周长为24，则AB+BD = . 17、如图，?ABC 中，AC 的垂直平分钱交AC 于E ，交BC 于D ，?ABD 的周长为12， AE=5，则?ABC 的周长为_____. 18则该摩托车的车牌是_＿＿_____． 19.如图:有一张长方形纸片ABCD,AB=3,AD=1.8,将纸片折叠,使AD 边落在AB 边上,折痕为AE, 再将△AED 以DE 为折痕向右折叠,AE 与BC 相交于点F,则CF 的长为__________. 三、解答题（解答应写出文字说明，?证明过程或演算步骤） 20.作图题（保留作图痕迹，不写作法） ⑴ 如图，作出线段AB 的垂直平分线。 ⑵ 如图，把这个图形补成关于直线MN 对称的图形. (3)要在公路MN 上修一个车站P ，使得P 向A ，B 两个地方的距离和最小， 请在图中画出P 的位置。 A D E B C A D 16题 A B C D A B D E C 第17题 A B M N A D B C A D B C E A C F E D B M N A B
第二章 轴对称小结与复习 轴对称是图形的重要变换方式之一，它是一种全等变换，也是探索一些图形的性质，认识、描述图形形状和位置关系的必要手段之一. 考点呈现 考点1 轴对称图形的识别 例1 （2013年日照市）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是 （ ） 解析：根据轴对称图形的定义，可知选项B,C,D 的图形无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，而选项A 中的图形沿底边中线所在的直线折叠，直线两旁的部分能够重合. 故选A. 点评：判断一个图形是不是轴对称图形，关键看能否找到一条直线，若沿该直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形. 考点2 确定轴对称图形的对称轴 例2（2013年绵阳市）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是 （ ） 解析：由轴对称图形的概念，可以判断四个选项中，选项B 的数字不是轴对称图形，而选项C,D 的数字的对称轴都有两条，只有数字3的对称轴仅有一条. 故选A. 点评：确定轴对称图形的条数，可依据轴对称图形的概念，画出直线，然后动手折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么所画的直线就是一条对称轴，在数轴对称图形的条数时，要特别注意不要遗漏. 考点3 轴对称的性质 例3（2013年成都市）如图1，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠， 使点C 和点 C'重合，若AB=2，则C'D 的长为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由题意可知△BCD 与△B C'D 关于直线BD 成 轴对称，根据轴对称的性质，可得C' D=CD=AB=2. 图 1
故选B. 点评：与图形的折叠有关的问题，一般都可以转化为轴对称 问题，再利用轴对称的性质，借助已知条件，综合分析解决. 考点4 等腰三角形的性质 例4 如图2，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． 试说明：BE=CE. 解析：由等腰三角形三线合一的性质，可得∠BAE=∠CAE.在△ABE 与△ACE 中，AB=AC ，∠BAE=∠CAE ，AE=AE ，所以△ABE ≌△ACE ，所以BE=CE. 点评：“三线合一”是等腰三角形最重要的性质，要能熟练应用. 点评：当三角形中给出两边相等时，要充分利用等腰三角形的两个底角相等的性质，进行综合分析. 考点5 线段垂直平分线的性质 例5 （2013年十堰市）如图3，将△ABC 沿直线DE 折叠后， 使得点B 与点A 重合，已知AC=5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ， 则BC 的长为（ ） A ．7 cm B ．10 cm C ．12 cm D ．22 cm 解析：由题意可知，直线DE 是线段AB 的垂直平分线，所以AD=BD,所以BC=BD+CD=AD+CD.又因为AC=5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ，所以AD+CD=17-5=12(cm),所以BC=12 cm. 故选C. 点评：条件中如果出现线段垂直平分线，那么常常要利用“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”来解决问题. 考点6 角平分线的性质 例6（2013年丽水市）如图4，在Rt △ABC 中，∠A=90°， ∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是__________ 解析：如图5，过点D 作DE ⊥BC,垂足为E.因为BD 平分∠ABC ，DA ⊥AB ，DE ⊥BC,所以DE=DA=3.因为BC=10，所以S △BDC =2 1 BC ·DE= 2 1 ×10×3=15. 故填15. 点评：条件中如果给出角平分线，常常过角平分线上一点， 向角的两边作垂线，然后利用角平分线的性质解题. 考点7 利用轴对称设计图案 例7 （2013年平顶山模拟）如图6所示，在3×3的正方 图5
轴对称章节知识点总结复习 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对 称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称 图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图 形是全等形，并且成轴对称． 线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线 段的中垂线）．
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． 轴对称变换的性质 （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称 点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点． （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 关于坐标轴对称 点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y） 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y） 关于原点对称
轴对称知识梳理 一、基本概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3.轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 5.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）. （2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）. 4.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. （4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 （6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5.等边三角形的性质 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 三、有关判定 1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 3.三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！