力矩平衡条件的应用
一、素质教育目标
(一)知识教学点
力矩平衡条件的应用
(二)能力训练点
1(进一步提高分析物体受力的能力(
2(应用力矩平衡条件解决实际问题的能力(
(三)德育渗透点
从力的转动作用出发，建立力矩的概念，培养学生科学抽象的能力(从转动平衡的实验研究，训练学生的科学思想方法(
(四)美育渗透点
通过应用教学，使学生把审美欣赏和审美操作用有机地结合，提高审美的感受力(
二、学法引导
通过典型例题的分析，进一步加深对力臂与力矩概念的认识，并帮助学生建立如何受力分析和建立平衡方程(
三、重点?难点?疑点及解决办法
1(重点
力矩平衡条件的应用
2(难点
物体受力分析
力矩平衡方程的建立
3(疑点
没有固定转动轴的物体平衡时，怎样选取转动轴(
4(解决办法
进一步提高学生分析物体受力的能力，画出受力图，标明力臂的长短，根据转动轴确定各力的转动效果(使物体顺时针转还是逆时针转)，再根据平衡条件列方程求解(
对于没有固定转动轴的物体的平衡，原则上可以任意选取过某点的直线为轴，而且对选定的转动轴来说，各力的力矩的代数和为零(在实际中，为了使问题简化和方便，常常选取过受力最多的点或含有未知力的点为转动轴，这样，就可使这些力的力臂为零，力矩也为零，列方程时就可以不考虑这些力的作用(
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
汽车的幻灯片、投影仪等(
六、师生互动活动设计
1(教师通过例题分析，总结解题的基本思路(
2(学生通过练习，加深对概念的认识，学会处理此类问题的基本方法(
七、教学步骤
(一)明确目标
力矩平衡条件的应用(
(二)整体感知
到现在为止，我们看到，在解决动力学问题中，在解决平衡问题中，都需要先分析物体的受力情况，再根据运动状态列方程(在以后的圆周运动，动量、机械能、机械振动的教学中，仍要贯彻物体的受力分析，使学生逐步领会物体的运动状态是由它的受力和初始状态决
定(并从而领会研究物体运动规律的基本方法(
(三)重点、难点的学习与目标宪成过程
[导入新课]
提问:有一个物体可绕过O点的轴转动，当它受到如图4,16四个力作用而处于静止时，作出这四个力的力臂，指出它们力矩的正负，平衡条件是什么?
图4,16
新课教学
【例1】一根均匀直杆AB长em，重量为G，它可以绕过O点的水平轴在竖直面内自由转动，O点到A端的距离为0.25m(现在A端施加一水平作用力F，杆静止时，杆的方向偏离竖直方向a角(a,90?)，如图4,17所示(求:
图4,17
(1)水平力F的大小;
(2)转轴O对杆的作用力的大小(
分析:直杆AB是一个有固定转动轴的物体，它除了交O点的作用力外，还受到重力G和水平力F的作用，在这两个力的力矩作用下处于平衡(设杆长为L，重力的力矩为
llG?，它可使杆绕O点逆时针转动;水平力F的力矩为F?，它可使杆绕
Osin,cos,44
点顺时针转动(平衡时，这两个力矩大小相等，由此可求出力F的大小(
在求力F时，转动轴O对杆的作用力可以不考虑，因为这个力对轴O的力矩为零(但是若要求轴O对杆的作用力时，显然就不能从转动效果来考虑了(当以杆为研究对象时，它受到重力G、水平力F和作用在轴O的力这三个力作用(这三个力不在一条直线上，而三个不在一条直线上的力平衡时，这三个力一定共点，因此求轴O对杆的作用力就变成一个共点力平衡问题了，应该用共点力的平衡来解答( 解:(1)以杆为研究对象，杆的受力如图4,18所示(根据有固定转动轴的物体的平衡条件，得:
图4,18
ll F?,G? cos,sin,44
由此得 F,Gtga(
(2)求轴O对杆的作用力时，可用平行四边形定则或正交分解两种方法求解(
方法一:因三力平衡时一定是共点力，由此可画出轴O对杆的作用力的方向如图4,19所示(而根据共点力的平衡条件可知，三力平衡时，其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反，而且在同一条直线上，即的大小一定等于F 和G这两个力的合力，F0
由平行四边形定则及勾股定理，可得
图4,19
22222F，G,Gtg,，G ,,Gsecα F0
方法二:轴O对杆的作用力的大小和方向最初不确定，但是我们可以将它分解成一个水平分力和一个竖直分力，如图4,20的所示(然后在水平方向和竖直方向列出物FFoyox
体的平衡方程，分别求出和，最后再求出和的合力，此即为轴O对杆的作FFFFoyoyoxox
用力(
在水平方向和竖直方向上应用平衡条件，可得
,F Fox
F,G oy
根据平行四边形定则，可得轴O对杆的作用力的大小
图4,20
2222 ,,Gsecα F，F,F，GFoaxay
431010 【例2】一辆汽车重1.2×N，使它的前轮压在地秤上，测得的结果为6.7×N，汽车前后轮之间的距离是2.7m(求汽车重心的位置(即求前轮或后轮与地面接触点到重力作用线的距离)(课本上例题)(
分析:严格地说，这是一个没有固定转动轴的平衡问题(但是汽车平衡时，既没有移动，也没有转动，因此既要满足合力为零的条件，也要满足合力矩为零的条件(而处于转动平衡时，各力对任意一条轴线的力矩和都应该为零，否则相对这条轴线就要转动起来(因此，在处理这种没有固定转动轴的平衡问题时，可以当作有固定转动轴的物体的平衡来处理(
在选择转动轴时，应尽量选含有未知力的点为轴，这样就可使未知力的力矩为零(本题中选后轮与地面的接触处作为转动轴就是这个理由(
310 思考:地面对后轮的支持力是多大?(答案:5.3×N)若以前轮与秤接触处作为转动轴，再解本题(
(四)总结、扩展
解力矩平衡问题的基本方法仍然是首先选取研究对象，然后分析物体的受力，选好转动轴，最后根据力矩平衡条件列方程求解(
在解一般物体的平衡问题时，要同时满足合力为零和合力矩为零的条件(
八、布置作业
练习二 (2)(3)(4)
九、板书设计
四、力矩平衡条件的应用
1(例题1
2(例题2
3(解题的基本步骤
十、背景知识与课外阅读
天平的秒用
天平本是测量物体质量的工具，假如我们结合其他的器材，可以解决许多实际的问题(
一、用平天称个数
总质量我们可以选称是N个物体的质量，然后称出总质量，则个数,N× N个的质量
二、用天平称长度
m 如测一团缠在一起的铜丝的长度，可以用天平称其质量，算其体积V,，再求其长,铜
V度 L,S
三、用天平测容积
如用天平分别测出装满水和空时瓶的质量，，则,,，则瓶的容积为mmmmm1212水
m,m12V, ,水
四、用天平测液体的密度用天平分别测出空烧杯和装满液体时的总质量，，再mm1满2
m,mm,m3121测出装满水时的总质量，则有 m,3,,水液
五、用天平称小石块的体积先称出小石块，装满水的容器的质量，，再将小石块mm12
m，m,m123放入容器中，测出其总质量为，则小石块的体积为V, m3,水
六、用天平秤面积
找一根与地图大小相近且厚薄均匀的硬纸板，将纸板覆盖在地图上治边缘剪出其形状同大的纸板，用天平称纸板质量，再取一已知面积S的地区重复上述步骤，称其对应纸板m1
m1质量为，则地图的面积,×S( m2m2
七、用天平分拣次品
如有九个质量较小的金属元件，已知其中一个是空心的次品，则我们可将9个元件分成三份，每份三个，然后用天平来称量，只需称量两次即可找出次品( 十一、随堂练习
1(图4,21所示是一个由轮轴和杠杆构成的速度控制装置，大轮半径为0.25m，小轮半径为0.20m，在小轮上绕有细绳，细绳下端挂有一重为500N的物体(在大轮上方有可绕A轴自由运动的细杆压在大轮边缘上(若AB,0.40m，BC,0.60m(细杆和大轮边缘的动摩擦因数为0.40，转动轴光滑，杆、轮、绳质量不计(要让物体匀速下落((1)细杆对大轮的摩擦力多大;(2)在C点应施加一个多大的竖直向下的力(
图4,21
2(一根均匀直棒一端靠在光滑墙壁上，一端搁在水平地面上，如图4,22所示(已知杆的重量为G，AB长4m，CD长3m，求墙对杆的支持力(
图14,22
3(如图4,23所示，要使圆柱体滚上台阶，则在圆柱体最高点作用的力中最省力的是( )
A(1 B(2 C(3 D(4
图4,23
R 4(如上题图所示，均质圆柱体重力G，半径为R，障碍物高h,，今要使圆柱体越2
过障碍物，且要求施加在圆柱体上的力最小，这个最小的力为_______(
5(如图4,24所示，均质杆AO可绕O轴转动，在用水平力使它缓缓抬起的过程中，重力对O轴的力矩变化情况是________，如果已知抬起过程中水平拉力力矩始终等于重力的力矩，则水平拉力F的变化情况是_________(
3 答案:1((1)400N;(2)400N 2(G 3(C 4(G,2 5(变大，变大 8
图4,24
力矩和力矩平衡 一．内容黄金组. 1．了解转动平衡的概念，理解力臂和力矩的概念。 2．理解有固定转动轴物体平衡的条件 3．会用力矩平衡条件分析问题和解决问题 二．要点大揭秘 1．转动平衡：有转动轴的物体在力的作用下，处于静止或匀速转动状态。 明确转轴很重要： 大多数情况下物体的转轴是容易明确的，但在有的情况下则需要自己来确定转轴的位置。如：一根长木棒置于水平地面上，它的两个端点为AB，现给B端加一个竖直向上的外力使杆刚好离开 地面，求力F的大小。在这一问题中，过A点垂直于杆的水平直线是杆的转轴。象这样，在解决问 题之前，首先要通过分析来确定转轴的问题很多，只有明确转轴，才能计算力矩，进而利用力矩 平衡条件。 2．力矩： 力臂：转动轴到力的作用线的垂直距离。 力矩：力和力臂的乘积。 计算公式：M＝FL 单位：Nm 效果：可以使物体转动 （1）力对物体的转动效果 力使物体转动的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩。①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用。②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂。需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离。 （2）大小一定的力有最大力矩的条件： ①力作用在离转动轴最远的点上； ②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线。 （3）力矩的计算： ①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL 如图中，力F的力臂为L F=Lsinθ 力矩M＝F?L sinθ ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解，平 行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的 力矩为该分力的大小与杆长的乘积。 如图中，力F的力矩就等于其分力F1产生的力矩，M ＝F sinθ?L 两种方法不同，但求出的结果是一样的，对具体的问题选择恰当的方法会简化解题过程。 3．力矩平衡条件： 力矩的代数和为零或所有使物体向顺时针方向转动的力矩之和等于所有使物体向逆时针方向转动的力矩之和。 ∑M=0或∑M 顺＝∑M 逆 F F2
第10单元：力矩平衡条件的应用 教学目标： 一、知识目标： 1：理解有固定转动轴的物体的平衡条件； 2：能应用力矩平衡条件处理有关问题。 二、能力目标： 1：学会用数学知识处理物理问题； 2：进一步熟悉对物体的受力分析。 三、德育目标： 使学生学会要具体问题具体分析 教学重点： 力矩平衡条件的应用 教学难点： 用力矩平衡条件如何正确地分析和解决问题 教学方法： 讲授法、归纳法 教学用具： 投影仪、投影片 教学步骤： 一、导入新课 1．用投影片出示下列思考题： （1）什么是力矩的平衡 （2）有固定准确轴的物体的平衡条件是什么 2、本节课我们继续学习运动有固定转动轴的物体的平衡求解问题的方法。 二、新课教学 （一）用投影片出示本节课的学习目标： 1：熟练应用力矩平衡条件解决有固定转动轴物体在转动平衡状态下的有关问题。 2：进一步提高受力分析的能力。 （二）学习目标完成过程： 1：用投影片出示例题1： 如图：BO 是一根质量均匀的横梁，重量G 1＝80N ，BO 的一端安在B 点，可绕通过B 点 且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳AO 拉着横梁保持水平，与钢绳的夹角o 30=θ，在横梁的O 点挂一个重物，重要G 2＝240N ，求钢绳对横梁的拉力F 1： a ：分析 （1）本题中的横梁是一个有固定转动轴的物体； （2）分析横梁的受力：拉力F 1，重力G 1，拉力F 2； （3）找到三个力的力臂并写出各自的力矩： F 1的力矩：θsin 1lc F G 1的力矩：2 1l G F 2 的力矩：l G 2 b ：指导学生写出解题过程：
c ：用投影片展示正确的解题过程如下： 解：据力矩平衡条件有： 02sin 21 1=--l G l G l F θ 由此得：N G G F 560sin 22211=+=θ d ：巩固训练： 如图所示，OAB 是一弯成直角的杠杆，可绕过O 点垂直于纸面的轴转动，杆OA 长30cm ， AB 段长为40cm ，杆的质量分布均匀，已知OAB 的总质量为7kg ，现在施加一个外力F ，使杆的AB 段保持水平，则该力作用于杆上哪一点，什么方向可使F 最小 2：用投影片出示例题2： 一辆汽车重×104N ，使它的前轮压在地秤上，测得的结果为×103N ，汽车前后轮之间的 举例是，求汽车重心的位置，（即求前轮或后轮与地面接触点到重力作用线的距离） （1）分析：汽车可看作有固定转动轴的物体，若将后轮与地面的接触处作为转动轴，则汽车受到以下力矩的作用：一是重力G 的力矩；二是前轮受到的地秤对它的支持力的力矩；汽车在两个力矩的作用下保持平衡，利用转动平衡条件即可求出重心的位置。 （2）注意向学生交代清： a ：地秤的示数指示的是车对地秤压力的大小； b ：据牛顿第二定律得到车前轮受到的支持力的大小也等于地秤的示数。 （3）学生写出本题的解题步骤，并和课本比较； （4）讨论：为什么不将前轮与地秤接触处作为转动轴 将前轮与地秤接触处作为转动轴，将会使已知力的力臂等于0，而另一个力（即后轮与地秤间的作用力）又是未知的，最后无法求解。 （5 ）巩固训练 一块均匀木板MN 长L ＝15cm ，G 1＝400N ，搁在相距D ＝8m 的两个支架A 、B 上，MA ＝NB ，重G 2＝600N 的人从A 向B 走去，如图：问人走过B 点多远时，木板会翘起来 三、小结： 本节课我们主要学习了运用力矩平衡条件解题的方法： 1：确定研究对象： 2：分析研究对象的受力情况，找出每一个力的力臂，分析每一个力矩的转动方向； 3：据力矩平衡条件建立方程[M 合＝0或M 顺＝M 逆] 4：解方程，对结果进行必要的讨论。 四、作业： 练习二③④ 五：板书设计：
郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义 第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心 【知识要点】 （一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 （二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。 （四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。 计算重心位置的方法： 1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。 3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系， 其重心C 位置由如下公式求得： i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。 【典型例题】 【例题1】如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。 y y y 2α β A B O
难点3: 力矩平衡条件及应用 力矩平衡以其广泛的实用性，再次被考纲列为考查的内容，且以此知识点为素材的高考命题屡次再现于近几年高考上海卷及全国理综卷中.其难点分布于：（1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型.（2）灵活恰当地选取固定转动轴.（3）将转动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等。 ●难点考场 1.（★★★★）如图3-1所示，一根长为L 的轻杆OA ，可绕水平轴O 在竖直平面内自由转动，左端A 挂一质量为m 的物体，从杆上一点B 系一不可伸长的细绳，将绳跨过光滑的钉子C 与弹簧K 连接，弹簧右端固定，这时轻杆在水平位置保持平衡，弹簧处于伸长状态，已知OB =OC = 3 2 L ，弹簧伸长量恰等于BC ，由此可知，弹簧的劲度系数等于______. 2.（★★★★★）（1997年上海，6）如图3-2所示是一种手控制动器，a 是一个转动着的轮子，b 是摩擦制动片，c 是杠杆，O 是其固定转动轴.手在A 点施加一个作用力F 时，b 将压紧轮子，使轮子制动.若使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是 A.轮a 逆时针转动时，所需的力F 较小 B.轮a 顺时针转动时，所需的力F 较小 C.无论逆时针还是顺时针转动，所需的力F 相同 D.无法比较F 的大小 ●案例探究 ［例1］（★★★★★）如图3-3所示，长为L 质量为m 的均匀木棒，上端用绞链固定在物体上，另一端放在动摩擦因数为μ的小车平台上，小车置于光滑平面上，棒与平台的夹角为θ，当： （1）小车静止时，求棒的下端受小车的支持力； （2）小车向左运动时，求棒的下端受小车的支持力； （3）小车向右运动时，求棒的下端受小车的支持力. 命题意图：题目出示的物理情境，来考查考生受力分析能力及力矩平衡条件的应用能力.B 级要求. 错解分析：对“车的不同运动状态使棒所受摩擦力大小方向的变化”理解分析不透，从而错列力矩平衡方程. 解题方法与技巧：（1）取棒为研究对象.选绞链处为固定转动轴，除转动轴对棒的作用力外，棒的受力情况如图3-4所示，由力矩平衡条件知： F N 1Lc os θ=mg 2 L c os θF N 1=21mg 图3—4 图3—5 （2）小车向左运动，棒另外受到一个水平向左的摩擦力F 1作用，受力如图3-5所示，则有2N F Lc os θ=mg 2 L cos θ+μ2N F L sin θ 所以2N F = ) tan 1(2θμ-mg ,则2N F ＞1N F （3）小车向右运动时，棒受到向右的摩擦力F 2作用，受力如图3-6所示，有 3N F L cos θ+μ3N F L sin θ=mg 2 L cos θ 解得3N F = ) tan 1(2θμ+mg 所以3N F ＜1N F 本题的关键点是取棒作为研究对象，由于车有不同的运动方向，故棒所受摩擦力的方向也不同，从而导致弹力的不同. ［例2］（★★★★★）（2002年上海卷）如图3-7所示，一自行车上连接脚踏板的连杆长R 1，由脚踏板带动半径为r 1的大齿盘，通过链条与半径为r 2的后轮齿盘连接，带动半径为R 2的后轮转动. 图3-1 图3-2 图3-3 图3—6
难点3力矩平衡条件及应用 力矩平衡以其广泛的实用性， 再次被考纲列为考查的内容， 且以此知识点为素材的高 构建有固定转动轴的物理模型 .(2)灵活恰当地选取固定转动轴 .(3) ?难点展台 1. (★★★★)如图 3-1所示，一根长为 L 的轻杆0A ,可绕水平 考命题屡次再现于近几年高考上海卷及全国理综卷中 .其难点分布于: (1)从实际背景中 轴0在竖直平面内自由转动，左端 A 挂一质量为 m 的物体，从杆上 图3-1 一点B 系一不可伸长的细绳，将绳跨过光滑的钉子 C 与弹簧K 连接, 弹簧右端固定，这 时轻杆在水平位置保持平衡，弹簧处于伸长状态，已知 OB=OC=-L 3 弹簧伸长量恰等于 BC,由此可知，弹簧的劲度系数等于 2. (★★★★★)如图 3-2所示是一种手控制动器, a 是一个转 动着的轮子，b 是摩擦制动片，c 是杠杆，0是其固定转动轴. 手在A 点施加一个作用力 F 时，b 将压紧轮子，使轮子制动 使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是 A.轮a 逆时针转动时，所需的力 F 较小 B ?轮a 顺时针转动时，所需的力 F 较小 C 无论逆时针还是顺时针转动，所需的力 F 相同 D.无法比较F 的大小 ?案例探究 [例1] (★★★★★)如图 3-3所示，长为L 质量为m 的均匀木棒，上端用绞链固定在物体上，另一端放在动摩擦 因数为卩的小车平台上，小车置于光滑平面上，棒与平台的 夹角为0,当: (1)小车静止时，求棒的下端受小车的支持力; (2 )小车向左运动时，求棒的下端受小车的支持力; (3 )小车向右运动时，求棒的下端受小车的支持力 命题意图：题目出示的物理情境， 来考查考生受力分析能力及力矩平衡条件的应用能 力.B 级要求. 错解分析：对“车的不同运动状态使棒所受摩擦力大小方向的变化”理解分析不透, 将转动模型从相关系统(连结体)中隔离分析等 ^^77777、
1．力矩 力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂(d )。 力与力臂的乘积称为力矩，记为M ，则M Fd =，如图1，O 为垂直于纸面的固定轴，力F 在纸面内。 力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该轴转动没有作用。若力F 不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分 量F ⊥和平行于轴的分量F ∥，F ∥对转动不起作用，这时力F 的力矩为M F d ⊥=。通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。 某个力的力矩定义为力臂与力的叉乘，即M r F =? 力矩M 是矢量，其方向通常按右手螺旋定则确定：力矩M 同时垂直于力臂r 与力F ，当右手螺旋从r 的方向转到F 的方向时大拇指的方向即为M 的方向. 叉乘a ×b =c c 称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量。叉积的大小：c =absinα，其中α为a 和b 的夹角。意义：c 的大小对应由a 和b 作成的平行四边形的面积。叉积的方向：垂直a 和b 确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图所示。显然，a ×b ≠b ×a ，但有：a ×b =－b ×a 【注意】转轴可以随意选取，力矩计算的核心技巧是巧选转轴，总的原则是 未知力作用线不能通过转轴，其次是其他未知力作用线尽量过轴。 通常不考虑形变的物体都称作刚体, 刚体平衡必须满足两个条件其 一：力的矢量和等于零，即0Fi ∑= 这就保证了刚体没有平动. 其二：作用于刚体的力对于矩心O 的合力矩也为零，即0Mi ∑= 知识点睛 10.1力矩平衡 第10讲 力矩平衡
难点3 力矩平衡条件及应用 力矩平衡以其广泛的实用性，再次被考纲列为考查的内容，且以此知识点为素材的高考命题屡次再现于近几年高考上海卷及全国理综卷中.其难点分布于：（1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型.（2）灵活恰当地选取固定转动轴.（3）将转 动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等. ●难点磁场 1.（★★★★）如图3-1所示，一根长为L 的轻杆OA ，可绕水平轴O 在竖直平面内自由转动，左端A 挂一质量为m 的物体，从杆上一点B 系一不可伸长的细绳，将绳跨过光滑的钉子C 与弹簧K 连接，弹簧右端固定，这时轻杆在水平位置保持平衡，弹簧处于伸长状态，已知OB =OC =32L ，弹簧伸长量恰等于BC ，由此可知，弹簧的劲度系数等于______. 2.（★★★★★）如图3-2所示是一种手控制动器，a 是一个转动着的轮子，b 是摩擦制动片，c 是 杠杆，O 是其固定转动轴.手在A 点施加一个作用力F 时，b 将压紧轮子，使轮子制动.若使轮子制动所 需的力矩是一定的，则下列说法正确的是 A.轮a 逆时针转动时，所需的力F 较小 B.轮a 顺时针转动时，所需的力F 较小 C.无论逆时针还是顺时针转动，所需的力F 相同 D.无法比较F 的大小 ●案例探究 ［例1］（★★★★★）如图3-3所示，长为L 质量为m 的均匀木棒，上端用绞链固定在物体上，另一端放在动摩擦因数为μ的小车平台上，小车置于光滑平面上，棒与平台的夹角为θ，当： （1）小车静止时，求棒的下端受小车的支持力； （2）小车向左运动时，求棒的下端受小车的支持力； （3）小车向右运动时，求棒的下端受小车的支持力. 命题意图：题目出示的物理情境，来考查考生受力分析能力及力矩平衡条件的应用能力.B 级要求. 错解分析：对“车的不同运动状态使棒所受摩擦力大小方向的变化”理解分析不透，从而错列力矩平 衡方程. 解题方法与技巧：（1）取棒为研究对象.选绞链处为固定转动轴，除转动轴对棒的作用力外，棒的受力情况如图3-4所示，由力矩平衡条件知： 图 3-1 图 3-2 图3-3
第四课时：力矩平衡条件的应用 教学目标： 一、知识目标： 1：理解有固定转动轴的物体的平衡条件； 2：能应用力矩平衡条件处理有关问题。 二、能力目标： 1：学会用数学知识处理物理问题； 2：进一步熟悉对物体的受力分析。 三、德育目标： 使学生学会要具体问题具体分析 教学重点： 力矩平衡条件的应用 教学难点： 用力矩平衡条件如何正确地分析和解决问题 教学方法： 讲授法、归纳法 教学用具： 投影仪、投影片 教学步骤： 一、导入新课 1．用投影片出示下列思考题： （1）什么是力矩的平衡？ （2）有固定准确轴的物体的平衡条件是什么？ 2、本节课我们继续学习运动有固定转动轴的物体的平衡求解问题的方法。 二、新课教学 （一）用投影片出示本节课的学习目标： 1：熟练应用力矩平衡条件解决有固定转动轴物体在转动平衡状态下的有关问题。 2：进一步提高受力分析的能力。 （二）学习目标完成过程： 1：用投影片出示例题1： 如图：BO 是一根质量均匀的横梁，重量G 1＝80N ，BO 的一端安在B 点，可绕通 过B 点且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳AO 拉着横梁保持水平，与钢绳的夹角o 30=θ，在横梁的O 点挂一个重物，重要G 2＝240N ，求钢绳对横梁的拉力F 1： a ：分析 （1）本题中的横梁是一个有固定转动轴的物体； （2）分析横梁的受力：拉力F 1，重力G 1，拉力F 2； （3）找到三个力的力臂并写出各自的力矩： F 1的力矩：θsin 1lc F G 1的力矩：2 1 l G F 2的力矩：l G 2
b ：指导学生写出解题过程： c ：用投影片展示正确的解题过程如下： 解：据力矩平衡条件有： 02sin 211=--l G l G l F θ 由此得：N G G F 560sin 22211=+=θ d ：巩固训练： 如图所示，OAB 是一弯成直角的杠杆，可绕过O 点垂直于纸面的轴转动，杆OA 长30cm ，AB 段长为40cm ，杆的质量分布均匀，已知OAB 的总质量为7kg ，现在施加一个外力F ，使杆的AB 段保持水平，则该力作用于杆上哪一点，什么方向可使F 最小？ 2：用投影片出示例题2： 一辆汽车重1.2×104N ，使它的前轮压在地秤上，测得的结果为6.7×103N ，汽车前后轮之间的举例是2.7m ，求汽车重心的位置，（即求前轮或后轮与地面接触点到重力作用线的距离） （1）分析：汽车可看作有固定转动轴的物体，若将后轮与地面的接触处作为转动轴，则汽车受到以下力矩的作用：一是重力G 的力矩；二是前轮受到的地秤对它的支持力的力矩；汽车在两个力矩的作用下保持平衡，利用转动平衡条件即可求出重心的位置。 （2）注意向学生交代清： a ：地秤的示数指示的是车对地秤压力的大小； b ：据牛顿第二定律得到车前轮受到的支持力的大小也等于地秤的示数。 （3）学生写出本题的解题步骤，并和课本比较； （4）讨论：为什么不将前轮与地秤接触处作为转动轴？ 将前轮与地秤接触处作为转动轴，将会使已知力的力臂等于0，而另一个力（即后轮与地秤间的作用力）又是未知的，最后无法求解。 （5）巩固训练 一块均匀木板MN 长L ＝15cm ，G 1＝400N ，搁在相距D ＝8m 的两个支架A 、B 上，MA ＝NB ，重G 2＝600N 的人从A 向B 走去，如图：问人走过B 点多远时，木板会翘起来？ 三、小结： 本节课我们主要学习了运用力矩平衡条件解题的方法： 1：确定研究对象： 2：分析研究对象的受力情况，找出每一个力的力臂，分析每一个力矩的转动方向； 3：据力矩平衡条件建立方程[M 合＝0或M 顺＝M 逆] 4：解方程，对结果进行必要的讨论。 四、作业： 练习二③④
课题力矩平 衡 课 型 新授 课 备 课 时 间 2014.10.10 教法 学法 教学 重点了解转动平衡的概念，理解力臂和力矩的概念教学 难点固定转动轴物体平衡的条件 上课时间检查人签 字 教学过程设计及知识点传授： 一、转动平衡：有转动轴的物体在力的作用下，处于静止或匀速转动状态。 明确转轴很重要： 大多数情况下物体的转轴是容易明确的，但在有的情况下则需要自己来确定转轴的位置。如：一根长木棒置于水平地面上，它的两个端点为AB，现给B端加一个竖直向上的外力使杆刚好离开地面，求力F的大小。在这一问题中，过A点垂直于杆的水平直线是杆的转轴。象这样，在解决问题之前，首先要通过分析来确定转轴的问题很多，只有明确转轴，才能计算力矩，进而利用力矩平衡条件。 二、力矩： 力臂：转动轴到力的作用线的垂直距离。 力矩：力和力臂的乘积。 计算公式：M＝FL 单位： Nm 效果：可以使物体转动 （1）力对物体的转动效果 力使物体转动的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩。①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用。②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂。需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离。转动平衡状态和平动平衡状态比较记忆
2）大小一定的力有最大力矩的条件： ①力作用在离转动轴最远的点上； ②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线。 （3）力矩的计算： ①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL 如图中，力F的力臂为L F=Lsinθ 力矩M＝F?L sinθ ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解， 平行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆 的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。 如图中，力F的力矩就等于其分力F1产生的力矩，M＝F sinθ?L 两种方法不同，但求出的结果是一样的，对具体的问题选择恰当的方法会简化解题过程 F L F θ L F θ L F2 F1 教学过程设计及知识点传授： 三、力矩平衡条件： 力矩的代数和为零或所有使物体向顺时针方向转动的力矩之和等于所有使物体向逆时针方向转动的力矩之和。 ∑M=0 或 ∑M顺＝∑M逆 1．解决实际问题的步骤； （a）确定研究对象——哪个物体； （b）分析状态及受力——画示意图； （c）列出力矩平衡方程： ∑M=0或∑M顺＝∑M逆； （d）解出字母表达式，代入数据； （e）作必要的讨论，写出明确的答案。教法学法
第三讲力矩平衡条件及应用（竞赛辅导—含答案） 一、力矩 1．力和转动轴之间的距离，即从转动轴到力的作用线的距离，叫做力臂。 2．力矩：定义力F与其力臂L的乘积叫做力对转动轴的力矩。用字母M表示。 表达式M＝FL。 二、物体平衡条件 力矩的平衡条件： 有固定转动轴物体的平衡条件是力矩的代数和等于零。 即M1＋M2＋M3＋ 0 或者：M合＝0 力矩平衡以其广泛的实用性， 其难点分布于：（1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型.（2）灵活恰当地选取固定转动轴.（3）将转动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等. 实际上一个物体的平衡，应同时满足F合=0和M合=0.共点力作用下的物体如果满足F合=0，同时也就满足了M合=0，达到了平衡状态；而转动的物体只满足M合=0就不一定能达到平衡状态，还应同时满足F合=0方可. 三、有固定转动轴物体平衡问题解题步骤 1.明确研究对象，即明确绕固定转动轴转动的是哪一个物体. 2.分析研究对象所受力的大小和方向，并画出力的示意图. 3.依题意选取转动轴，并找出各个力对转动轴的力臂，力矩的大小和方向. 4.根据平衡条件（使物体顺时针方向转动的力矩之和等于使物体逆时针方向转动的力矩之和）列方程，并求解. 【解题方法指导】 例1.一个重要特例：请分析杆秤上的刻度为什么是均匀的？ 例2. 如图所示，重G的均匀木杆可绕O轴在竖直平面内转动， 现将杆的A端放在光滑地面上的木块上面，杆与竖直方向的夹角为 30°，用水平力F＝G/20匀速拉动木块，求杆和木块间的动摩擦因 数。 【典型例题分析】 例1.如下图是半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在一起，可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳。开始时圆盘静止，质点处在水平轴O的正下方位置。现以水平恒力F拉细绳，使两圆盘转动，若恒力F＝mg，两圆盘转过的角度θ＝时，质点m的速度最大。
力矩平衡条件的应用 一、素质教育目标 (一)知识教学点 力矩平衡条件的应用 (二)能力训练点 1(进一步提高分析物体受力的能力( 2(应用力矩平衡条件解决实际问题的能力( (三)德育渗透点 从力的转动作用出发，建立力矩的概念，培养学生科学抽象的能力(从转动平衡的实验研究，训练学生的科学思想方法( (四)美育渗透点 通过应用教学，使学生把审美欣赏和审美操作用有机地结合，提高审美的感受力( 二、学法引导 通过典型例题的分析，进一步加深对力臂与力矩概念的认识，并帮助学生建立如何受力分析和建立平衡方程( 三、重点?难点?疑点及解决办法 1(重点 力矩平衡条件的应用 2(难点 物体受力分析 力矩平衡方程的建立 3(疑点
没有固定转动轴的物体平衡时，怎样选取转动轴( 4(解决办法 进一步提高学生分析物体受力的能力，画出受力图，标明力臂的长短，根据转动轴确定各力的转动效果(使物体顺时针转还是逆时针转)，再根据平衡条件列方程求解( 对于没有固定转动轴的物体的平衡，原则上可以任意选取过某点的直线为轴，而且对选定的转动轴来说，各力的力矩的代数和为零(在实际中，为了使问题简化和方便，常常选取过受力最多的点或含有未知力的点为转动轴，这样，就可使这些力的力臂为零，力矩也为零，列方程时就可以不考虑这些力的作用( 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 汽车的幻灯片、投影仪等( 六、师生互动活动设计 1(教师通过例题分析，总结解题的基本思路( 2(学生通过练习，加深对概念的认识，学会处理此类问题的基本方法( 七、教学步骤 (一)明确目标 力矩平衡条件的应用( (二)整体感知 到现在为止，我们看到，在解决动力学问题中，在解决平衡问题中，都需要先分析物体的受力情况，再根据运动状态列方程(在以后的圆周运动，动量、机械能、机械振动的教学中，仍要贯彻物体的受力分析，使学生逐步领会物体的运动状态是由它的受力和初始状态决
力矩平衡条件及应用 力矩平衡以其广泛的实用性，再次被考纲列为考查的内容，且以此知识点为素材的高考命题屡次再现于近几年高考上海卷及全国理综卷中.其难点分布于：（1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型.（2）灵活恰当地选取固定转动轴.（3）将转动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等. ●难点展台 1.（★★★★）如图3-1所示，一根长为L 的轻杆OA ，可绕水平轴O 在竖直平面内自由转动，左端A 挂一质量为m 的物体，从杆上 一点B 系一不可伸长的细绳，将绳跨过光滑的钉子C 与弹簧K 连接，弹簧右端固定，这时轻杆在水平位置保持平衡，弹簧处于伸长状态，已知OB =OC =3 2 L ，弹簧伸长量恰等于BC ，由此可知，弹簧的劲度系数等于______. 2.（★★★★★）如图3-2所示是一种手控制动器，a 是一个转动着的轮子，b 是摩擦制动片，c 是杠杆，O 是其固定转动轴.手在A 点施加一个作用力F 时，b 将压紧轮子，使轮子制动.若使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是 A.轮a 逆时针转动时，所需的力F 较小 B.轮a 顺时针转动时，所需的力F 较小 C.无论逆时针还是顺时针转动，所需的力F 相同 D.无法比较F 的大小 ●案例探究 ［例1］（★★★★★）如图3-3所示，长为L 质量为m 的均匀木棒，上端用绞链固定在物体上，另一端放在动摩擦因数为μ的小车平台上，小车置于光滑平面上，棒与平台的夹角为θ，当： （1）小车静止时，求棒的下端受小车的支持力； （2）小车向左运动时，求棒的下端受小车的支持力； （3）小车向右运动时，求棒的下端受小车的支持力. 命题意图：题目出示的物理情境，来考查考生受力分析能力及力矩平衡条件的应用能力.B 级要求. 错解分析：对“车的不同运动状态使棒所受摩擦力大小方向的变化”理解分析不透， 图 3-1 图 3-2 图3-3
四力矩平衡条件的应用 安徽省舒城中学（231300）吕贤年 【教学目标】 1、知识目标 (1)理解有固定转动轴的物体的平衡条件； (2)能应用力矩平衡条件处理有关问题。 2、能力目标 学会用数学知识处理物理问题，进一步熟悉对物体的受力分析。 3、德育目标 使学生学会要具体问题具体分析。 【教学重点】 力矩平衡条件的应用。 【教学难点】 用力矩平衡条件如何正确地分析和解决问题。 【教学方法】 讲授法、归纳法 【教具准备】 投影仪、投影片 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、导入新课 用投影片出示下列思考题： (1)什么是力矩的平衡？ (2)有固定转动轴的物体的平衡条件是什么？ 本节课我们将学习运用有固定转动轴的物体的平衡求解问题的方法。 二、新课教学 1、例题 【例题1】如图所示，BO是一根质量均匀的横梁，重量G1＝80N，BO的一端安在B点，可绕通过B点且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳AO拉着横梁保持水平，与钢绳的夹角θ＝30°，在横梁的O点挂一个重物，重量G2＝240N，求钢绳对横梁的拉力F1。 分析： 1 2 １
２ G 1，拉力F 2；F 1的力矩：F 1Lsin θ；G 1的力矩：G 1L/2；F 2的力矩：G 2L 。 (指导学生写出解题过程，用投影片展示正确的解题过程) 解：据力矩平衡条件有： F 1Lsin θ－ G 1L/2－G 2L ＝0 由此得：121G 2G F 560N 2sin +==q 【例题2】一辆汽车重 1.2×104N ，使它的前轮压在地秤上，如图，测得的结果为 6.7×103N ，汽车前后轮之间的距离是2.7m ，求汽车重心的位置（即求前轮或后轮与地面接触点到重力作用线的距离） 分析：汽车可看作有固定转动轴的物体，若将后轮与 地面的接触处作为转动轴，则汽车受到以下力矩的作用： 一是重力G 的力矩；二是前轮受到的地秤对它的支持力的力矩；汽车在两个力矩的作用下保持平衡，利用转动平衡条件即可求出重心的位置。 注意向学生交代清：地秤的示数指示的是车对地秤压力的大小；据牛顿第三定律得到车前轮受到的支持力的大小也等于地秤的示数。 (学生写出本题的解题步骤，并和课本比较。用投影片展示正确的解题过程) 解：选汽车后轮与地面接触处为转动轴，设重力G 对轴的力臂为x ，地秤对前轮支持力F 的力臂为L ，根据力矩平衡条件有 FL ＝Gx 可得 x ＝FL/G ＝1.5m 。 讨论与扩展： (1)为什么不将前轮与地秤接触处作为转动轴？ 将前轮与地秤接触处作为转动轴，将会使已知力的力臂等于0，而另一个力（即后轮与地秤间的作用力）又是未知的，最后无法求解。 (2)能否求出汽车后轮受到的地面对其的支持力？ 用竖直方向的合力为零，或以前轮为轴用力矩平衡都可求出后轮受到的支持力。 (3)若已知汽车的重心位置，能否用本例的方法测出汽车的总重？ 可以根据力矩平衡求出。 2、应用力矩平衡解题的一般步骤 (1)认真审题，确定研究对象； (2)分析研究对象的受力情况，明确转动轴的位置，找出每一个力的力臂，分析每一个力矩使物体的转动方向； (3)据力矩平衡条件M 合＝0或∑M 顺＝∑M 逆建立方程；
第三讲力矩平衡条件及应用（竞赛辅导） 一、力矩 1．力和转动轴之间的距离，即从转动轴到力的作用线的距离，叫做力臂。 2．力矩：定义力F与其力臂L的乘积叫做力对转动轴的力矩。用字母M表示。 表达式M＝FL。 二、物体平衡条件 力矩的平衡条件： 有固定转动轴物体的平衡条件是力矩的代数和等于零。 即M1＋M2＋M3＋ 0 或者：M合＝0 力矩平衡以其广泛的实用性， 其难点分布于：（1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型.（2）灵活恰当地选取固定转动轴.（3）将转动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等. 实际上一个物体的平衡，应同时满足F合=0和M合=0.共点力作用下的物体如果满足F合=0，同时也就满足了M合=0，达到了平衡状态；而转动的物体只满足M合=0就不一定能达到平衡状态，还应同时满足F合=0方可. 三、有固定转动轴物体平衡问题解题步骤 1.明确研究对象，即明确绕固定转动轴转动的是哪一个物体. 2.分析研究对象所受力的大小和方向，并画出力的示意图. 3.依题意选取转动轴，并找出各个力对转动轴的力臂，力矩的大小和方向. 4.根据平衡条件（使物体顺时针方向转动的力矩之和等于使物体逆时针方向转动的力矩之和）列方程，并求解. 【解题方法指导】 例1.一个重要特例：请分析杆秤上的刻度为什么是均匀的？ 例2. 如图所示，重G的均匀木杆可绕O轴在竖直平面内转动， 现将杆的A端放在光滑地面上的木块上面，杆与竖直方向的夹角为 30°，用水平力F＝G/20匀速拉动木块，求杆和木块间的动摩擦因 数。 【典型例题分析】 例1.如下图是半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在一起，可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳。开始时圆盘静止，质点处在水平轴O的正下方位置。现以水平恒力F拉细绳，使两圆盘转动，若恒力F＝mg，两圆盘转过的角度θ＝时，质点m的速度最大。
力矩和力矩平衡 一． 内容黄金组. 1．了解转动平衡的概念，理解力臂和力矩的概念。 2．理解有固定转动轴物体平衡的条件 3．会用力矩平衡条件分析问题和解决问题 二． 要点大揭秘 1． 转动平衡：有转动轴的物体在力的作用下，处于静止或匀速转动状态。 明确转轴很重要： 大多数情况下物体的转轴是容易明确的，但在有的情况下则需要自己来确定转轴的位置。如：一根长木棒置于水平地面上，它的两个端点为AB ，现给B 端加一个竖直向上的外力使杆刚好离开地面，求力F 的大小。在这一问题中，过A 点垂直于杆的水平直线是杆的转轴。象这样，在解决问题之前，首先要通过分析来确定转轴的问题很多，只有明确转轴，才能计算力矩，进而利用力矩平衡条件。 2． 力矩： 力臂：转动轴到力的作用线的垂直距离。 力矩：力和力臂的乘积。 计算公式：M ＝FL 单位： Nm 效果：可以使物体转动 （1）力对物体的转动效果 力使物体转动的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力 矩。①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用。②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂。需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离。 （2）大小一定的力有最大力矩的条件： ①力作用在离转动轴最远的点上； ②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线。 （3）力矩的计算： ①先求出力的力臂，再由定义求力矩M ＝FL 如图中，力F 的力臂为L F =Lsin θ 力矩M ＝F ?L sin θ ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解，平 行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。 如图中，力F 的力矩就等于其分力F 1产生的力矩，M ＝F sin θ?L 两种方法不同，但求出的结果是一样的，对具体的问题选择恰当的方法会简化解题过程。 3． 力矩平衡条件： 力矩的代数和为零或所有使物体向顺时针方向转动的力矩之和等于所有使物体向逆时针方向转 F F 2
力矩和力矩平衡 1．转动平衡：有转动轴的物体在力的作用下，处于静止或匀速转动状态。 明确转轴很重要： 大多数情况下物体的转轴是容易明确的，但在有的情况下则需要自己来确定转轴的位置。如：一根长木棒置于水平地面上，它的两个端点为AB，现给B端加一个竖直向上的外力使杆刚好离开 地面，求力F的大小。在这一问题中，过A点垂直于杆的水平直线是杆的转轴。象这样，在解决问 题之前，首先要通过分析来确定转轴的问题很多，只有明确转轴，才能计算力矩，进而利用力矩 平衡条件。 2．力矩： 力臂：转动轴到力的作用线的垂直距离。 力矩：力和力臂的乘积。 计算公式：M＝FL 单位：Nm 效果：可以使物体转动 （1）力对物体的转动效果 力使物体转动的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩。①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用。②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂。需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离。 （2）大小一定的力有最大力矩的条件： ①力作用在离转动轴最远的点上； ②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线。 （3）力矩的计算： ①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL 如图中，力F的力臂为L F=Lsinθ 力矩M＝F?L sinθ ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解，平 行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的 力矩为该分力的大小与杆长的乘积。 如图中，力F的力矩就等于其分力F1产生的力矩，M ＝F sinθ?L 两种方法不同，但求出的结果是一样的，对具体的问题选择恰当的方法会简化解题过程。 3．力矩平衡条件： 力矩的代数和为零或所有使物体向顺时针方向转动的力矩之和等于所有使物体向逆时针方向转动的力矩之和。 ∑M=0或∑M 顺＝∑M 逆 4．解决实际问题的步骤； （a）确定研究对象——哪个物体；（b）分析状态及受力——画示意图；（c）列出力矩平衡方程： F F2
2014级高一物理竞赛培训第一讲 力矩和力矩平衡 （两课时） 高一物理组 郭金朋 一：力矩的概念 力矩是改变转动物体的运动状态变化的物理量，门、窗等转动物体从静止状态变为转动状态或从转动状态变为静止状态时，必须受到力的作用。但是，我们若将力作用在门、窗的转轴上，则无论施加多大的力都不会改变其转动状态，可见物体的转动运动状态的变化不仅与力的大小有关，还与受力的方向、力的作用点有关。力的作用点离转轴越远，力的方向与转轴所在平面越趋于垂直，力使转动物体运动状态变化得就越明显。在物理学中力对转动物体运动状态变化的影响，用力矩这个物理量来表示，因此，力矩被定义为力与力臂的乘积。力矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律，力矩是改变转动物体运动状态的物理量。 力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量，是物体转动转动状态改变的原因。它等于力和力臂的乘积。表达式为：M=FL ，其中力臂L 是转动轴到F 的力线的（垂直）距离。单位：Nm 效果：可以改变转动物体运动状态。 转轴： 物体转动时，物体上的各点都沿圆周运动，圆周的中心在同一条直线上，这条直 线就叫转轴。 特点：1，体中始终保持不动的直线就是转轴。 2，体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。 3，转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。 大多数情况下物体的转轴是容易明确的，但在有的情况下则需要自己来确定转轴的位置。如：一根长木棒置于水平地面上，它的两个端点为AB ，现给B 端加一个竖直向上的外力使杆刚好离开地面，求力F 的大小。在这一问题中，过A 点垂直于杆的水平直线是杆的转轴。象这样，在解决问题之前，首先要通过分析来确定转轴的问题很多，只有明确转轴，才能计算力矩，进而利用力矩平衡条件。 作用于同一物体的同一力，由于所取转轴的位置不同，该力对轴的力矩大小可能发生相应的变化，对物体产生转动作用的方向（简称“转向”）也可能不同。例如如右图中的力F ，若以1o 为轴（即对1o 取矩）其力矩为M 1=FL 1，使物体逆时针转，若以2o 为轴（即对2o 取矩）其力矩为M 2=FL 2，使物体顺时针转，由图可知L 1< L 2，故M 1< M 2，且二者反
高中物理--力矩平衡 力矩平衡难点 （1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型 （2）灵活恰当地选取固定转动轴 （3）将转动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等 物体平衡条件注意点： 实际上一个物体的平衡，应同时满足F 合=0和M 合=0。 共点力作用下的物体如果满足F 合=0，同时也就满足了M 合=0，达到了平衡状态； 而转动的物体只满足M 合=0就不一定能达到平衡状态，还应同时满足F 合=0方可。 1、如图所示，一根长为L 的轻杆OA ，可绕水平轴O 在竖直平面内自由转动，左端A 挂一质量为m 的物体，从杆上一点B 系一不可伸长的细绳，将绳跨过光滑的钉子C 与弹簧K 连接，弹簧右端固定，这时轻杆在水平位置保持平衡，弹簧处于伸长状态，已知OB =OC = 32L ，弹簧伸长量恰等于BC ，由此可知，弹簧的劲度系数等于______ 解析： 本题中根据给的图确定C 点在O 的正上方，则已知OB =OC ，可以得到BC=OB 2 物体的重力产生的力矩M =G ×OA =mgL 已知弹簧伸长量Δx =BC ，则弹簧的弹力F =kΔx =L k 23 2? 光滑钉子C 的效果可以等效为光滑的滑轮，则绳子BC 的拉力就等于弹簧的弹力 绳子BC 的拉力的力臂为O 到BC 的垂直距离，即为L 3 2 则绳子BC 产生的力矩M =L k 232?×L 32=294kL 根据力矩平衡，得到29 4= kL mgL 则k =9mg /4L
2、如图所示是一种手控制动器，a 是一个转动着的轮子，b 是摩擦制动片，c 是杠杆，O 是其固定转动轴。手在A 点施加一个作用力F 时，b 将压紧轮子，使轮子制动。若使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是（ ） A 、轮a 逆时针转动时，所需的力F 较小 B 、轮a 顺时针转动时，所需的力F 较小 C 、无论逆时针还是顺时针转动，所需的力F 相同 D 、无法比较F 的大小 解析： 如图所示，若轮子a 逆时针转动，则此时轮子相对手柄b 点是向 上运动，则手柄的b 点会给轮子向下的摩擦力。 根据作用力和反作用力，轮子会给手柄一个向上的摩擦力f ’。 而手柄b 点还会受到轮子的弹力N 。 分析力矩，则f ’产生顺时针力矩，N 产生逆时针力矩，A 产生顺 时针力矩。 因此此时A 点施加的力F 较小。 反之，若轮a 顺时针转动，则轮a 对手柄b 的摩擦力向下，产生 逆时针力矩，而弹力N 始终产生逆时针力矩，因此此时需要的力F 较大。 故A 正确。 3、如图所示，长为L 质量为m 的均匀木棒，上端用绞链固定在 物体上，另一端放在动摩擦因数为μ的小车平台上，小车置于光 滑平面上，棒与平台的夹角为θ，当： （1）小车静止时，求棒的下端受小车的支持力； （2）小车向左运动时，求棒的下端受小车的支持力； （3）小车向右运动时，求棒的下端受小车的支持力。 解析： （1）取棒为研究对象.选绞链处为固定转动轴，除转动轴对棒的作用力外，棒的受力情况如图1所示，由力矩平衡条件知： F N 1Lc os θ=mgc os θ/2 得到F N 1=mg /2