相似三角形的判定和判定方法
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相似三角形的判定
1.两个三角形的两个角对应相等
2.两边对应成比例,且夹角相等
3.三边对应成比例
4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形的判定方法
根据相似图形的特征来判断。
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
绝对相似三角形
1.两个全等的三角形一定相似。
2.两个等腰直角三角形一定相似。
3.两个等边三角形一定相似。
直角三角形相似判定定理
1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
射影定理
三角形相似的判定定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
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(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽ △ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
相似三角形的性质与判 定讲义) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
相似三角形的性质与判定讲义 【知识点拨】 一、相似三角形性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方． (5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． (2)对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?． (3)传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽ C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''?． 三、三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ，（2）（AB ）2=BD ·BC ，（3）（AC ）2=CD ·BC 。 【例题精讲】： E D C B A
相似三角形的判定方法 证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。 方法一（预备定理） 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明） 方法二 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似 方法三 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似 方法四 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似 方法五（定义） 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 一定相似的三角形 1.两个全等的三角形一定（肯定）相似。 2.两个等腰直角三角形一定（肯定）相似 （两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） 3.两个等边三角形一定（肯定）相似。 直角三角形相似判定定理 1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 编辑本段三角形相似的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定和性质 知识讲解 1. 比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等， 即a c b d =（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项． 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项． 比例的性质 （1）基本性质 ①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c （2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： （4）合比性质： （5）等比性质： b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( 黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= AB 0．618AB c b b a =?a c b =?2 d b c a =?= d c b a a c b d =a b c d =c d a b d c b a =?=d d c b b a d c b a ±=±?=2 1 5- ≈
如图，若AB PB PA ?=2 ，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 2. 平行线分线段成比例定理： ① 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3． AB BC =DE EF ;AB AC =DE DF ; BC AC =EF DF . ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 4. 相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形． 5. 相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边的比相等； （2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方． 6. 相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似． 7. 相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
一、基础训练 １、如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，满足条件 时，△ADC ∽△ACB 。 E D C B A 第１题 第３题 第４题 第５题 10，则后一个三角形的面积2），如果点C 在X 轴上（C 与A 不重合）， B ，O ， C 组成的三角形与△ABC 相似。 ,CP:DP=3:4,则三角形APB 的面积:平行四边 ： ： ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值 是 二、例题精讲 1、如图，AB ∥EF ∥CD ，若AB=6cm ，CD=9cm ，求EF 的长。 ２、如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ， （1）△ABE 与△ECD 相似吗？为什么？ （2）设△ABE 的边BE 上的高为h 1，△ECD 的边CD 上的高为h 2，△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，求2 1 h h 的值及△BCE 的面积。 E F D C B A P D C B A O D C B A E D C B A
3、如图，已知直角三角形的铁片ABC 的两条直角边BC 、AC 的长分别为3、4，按图示所采用两种方法，各剪一块正方形的铁片，试比较哪一种方法剪出的正方形的面积较大； 4、如图，在△PAB 中，点C 、D 在边AB 上，PC=PD=CD ，∠APB=120°。 （1）△APC 与△PBD 相似吗？为什么？ （2）CD 是AC 与BD 的比例中项吗？ 5、如图，在ABC △中，1AB AC ==，点D ，E 在直线BC 上运动，设BD x =，CE y =． （1）如果30BAC ∠= ，105DAE ∠= ，试确定y 与x 之间的函数关系式； （2）如果BAC ∠的度数为α，DAE ∠的度数为β，当αβ，满足怎样的关系式时，（1）中y 与x 之间的函数关系式还成立，试说明理由． Ｂ Ｃ Ｅ Ａ Ｄ P D C B A
比例线段 知识要点： 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例 的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或，那么线段ｂ叫 做线段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质 (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 三、黄金分割 黄金分割的定义： 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ）. 如果 AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的 比叫做黄金比，其中 618.0≈AB AC . 四、平行线分三角形两边成比例 平行线分三角形两边成比例的性质：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例。
1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD，则或或或 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC。 基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB。 例1、已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。 例2、若, 求的值。 例3、如图,在□ABCD中,E为AB中点,,EF,AC相交于G,求。
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ； 知识点二、相似三角形的判定
判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． 符号语言： 拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。 （2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。 例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出 AD AE BD CE = 吗？请说明理由。（用两种方法说明） 例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D. 求证：（1）2AB BD BC =?；（2）2AD BD CD =?；（3）CB CD AC ?=2 例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则 BD BE AD AF =例题精讲 A E D B C A B C D
吗？说说你的理由. 例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C （1） 求证：△ABF ∽△EAD ； （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。 2分之3倍根号3 随练： 一、选择题 1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对 2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）C A D C B E F G F E D C B A
相似三角形专讲 【知识要点】 1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2．相似三角形的判定： ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 ②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 ③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 3．相似三角形具有下述性质： ①相似三角形对应角相等、对应边成比例； ②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4．熟悉如图中形如“A ”型，“X ”型，“子母型”等相似三角形。 5.射影定理 AC 2=AD ·BD BC 2=BD ·BA CD 2=AD ·BD 6.位似：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做 位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比. 【典型例题】 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36o，BD 平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD 相似 三角形是（ ）。 A ．△ABC B ．△DAB C ．△ADE D ．△BDC 2．如图2，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 3．如图3，已知在△ABC ，P 为AB 上一点，连结CP ，以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是（ ）。 A ．∠ACP ＝∠ B B ．∠AP C ＝∠ACB C ． AC AP ＝AB AC D ． AC AB ＝CP BC
（一）相似三角形 1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. ①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应边的比叫做相似比. ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 ?所以全等三角形是相似三角形的特例?其 区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例. ②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0 △ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1 ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小 的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出. 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ?/ DE // BC ,???△ ABC ADE ; ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的 应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似 （二）相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADE A （双A型）
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．
相似三角形复习 【知识要点】 1、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2、相似三角形的判定方法 1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一： 2. 两个角对应相等的两个三角形__________． 3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 4. 三边对应成比例的两个三角形___________． 性质： ? ? ? ? ? ? ? 比的平方 、对应面积比等于相似 比 、对应周长比等于相似 、对应边成比例 、对应角相等 4 3 2 1 判定： ? ? ? ? ? 、三边对应成比例 夹角相等 、两边对应成比例，且 、两角对应相等 3 2 1 1.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且 大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。全等三角形是相似三角形的特例。 2.相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。 ②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。 ③三边对应成比例，两三角形相似。 3.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。 ②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。 ③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
F E D C B A 【典型例题】 1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？ 2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________， 使得△ADE ∽△ABC ．并证明 3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ． （1）求证： BC AB EF DE =．(2)证明：BDE ?与EFC ?相似。 4、已知，如图，CD 是Rt ABC ?斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ， 说明：⑴ ADE ?∽FDB ?； ⑵DF DE CD ?=2． 5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。求：AM ：AC 。 A D B F
相似形（一） 一、比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.合比性质： d d c b b a d c b a ±= ±?=（分子加（减）分母,分母不变） ． 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 5.黄金分割： ○1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点 经典例题回顾： 例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值. 例题2．已知 111 x y x y +=+，求y x x y +的值。
板块二、新课讲解 知识点一、相似形的概念 概念：具有相同形状的图形叫相似图形． 谈重点： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况． ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 知识点二、平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ○推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ； 知识点三、相似三角形的判定 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． 符号语言： 拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
相似三角形的判定与性质以及应用 考点一：相似三角形的判定与性质 1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC． 2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值． 3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO． （1）已知BD=，求正方形ABCD的边长； （2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
4．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E． （1）求证：△ABD∽△CBE； （2）若BD=3，BE=2，求AC的值．
6．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC 于点G、E． （1）求证：BE2=EG?EA； （2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC． 动点问题： 1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t （秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
《相似三角形》判定与性质测试卷 一、细心填一填（共30分） 1．已知：如图，在ABC △中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于D 、E ，:1:3AD AB =．若2DE =，则BC =_________． 第１题图 第2题图 第6题图 第7题图 2.在□ABCD 中,E 为CD 上一点,连接AE 、BD,且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：AB=_________． 3.已知789x y z ==，则x y z x z +++的值为 . 4.在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的1cm 变成2cm ，那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的 . 5.已知,,,a b c d 是成比例线段，且3,6,15,a cm b cm c cm d ===则= . 6.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ）20米的A 处，则小明的影子AM 长为 米． 7.如图,∠DAB=∠CAE,请你再补充一个条件___ （写一个即可）使得△ABC ∽△ADE. 8.在ΔABC 中，AB ＝4，BC ＝9，AC ＝8，在AC 上取一点M ，当AM 的长为 时，ΔAMB∽ΔABC． 9.如图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中不成立的是 . (填序号及可) ① BC CE DF AD = ②AF BC BE AD = ③CE AD DF BC = ④CE BE DF AF = 第9题图 第11题图 第13题图 10.已知AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，且AB=15cm ，BD=9cm ，则AD= ，CD= . 二、选择题 (每题3分,共30分) 11.如图，在Rt △ABC 中，AD ⊥BC 与D ，DE ⊥AB 与E ，若AD=3，DE=2，则AC=（ ） A 、2 21 B 、215 C 、29 D 、15 12.下列三角形中，一定相似的是（ ） A ．两个等腰三角形 B ．两个直角三角形 C ．两个等边三角形 D ．两个钝角三角形
儒洋教育学科教师辅导讲义 一．知识梳理【相似三角形的判定】 要点1：相似三角形的判定定理（相似三角形与全等三角形判定方法的联系） 要点2：常见的相似三角形的解题思路： （1）、深刻理解并掌握“平行截比例”、“平行截相似”、“比例出平行”等平行与相似的关系； （2）、增强识图能力，能够从已知图形中找出全部相似三角形，从中列出所需比例式； （3）、确定“中间比”，“中间积”，方法是找到两组有联系的比例式或两对相似三角形； （4）、准确完成等积式与比例式的互化，并可以依据图形变化比例式； （5）、没有平行怎么办？运用相似三角形的判定定理，或添加平行线； （6）、一对相似三角形可写出一个连比例，应择需而用或同时运用； （7）、添辅助线要能够达到“一线两相似”，“一线两比例”并能与其它知识兼顾，这是辅助线特征“一举两得”在相似形中的体现； （8）、熟悉下图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形
例题讲解： 例1：基础训练 1. 如图,BD 、CE 是△ABC 的两条高，BD 、CE 相交于O ，则下列结论不正确的是（ ） （A ）△ADE∽△ABC （B ）△DOE∽△COB （C ）△BOE∽△C OD （D ）△BOE∽△BDE 2. 如图，O 是△ABC 的重心,29cm S ABC =?,则BCO S ?= . 3. 如图在矩形ABCD 中,AB=2,CB=1,E 是DC 上一点,∠DAE=∠BAC，则EC 的长为 . 图 相关练习： 1. D 、E 分别在△ABC 的边BA 、BC 上，BD=1.5，DA=0.5，BE?BC=3，∠A+∠B=?135 则∠BDE= 度. 2. 如图，Rt△ABC 中,∠ACB=?90，点E 是BC 的延长线的一点,EF⊥AB 于F,∠CGB=∠A.求证：CG?BE=EG?BG. 3．△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=?120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.
专题1 相似三角形判定与性质（10.23） 专题知识回顾 1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 2．三角形相似的判定方法: （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4．相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 专题典型训练题
一、选择题 1.（2019年广西玉林市）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（） A．3对B．5对C．6对D．8对 2.（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB ＝6，AC＝4，则AE的长是（） A．1B．2C．3D．4 3.（2019·广西贺州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE△BC，若 AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（） A．5B．6C．7D．8 4.（2019?广西贵港）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD ＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（） A．2B．3C．2D．5 5.（2019?黑龙江哈尔滨）如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，
《相似三角形的判定》教案 教学目标 1、经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的探索过程. 2、掌握“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法. 3、能运用上述两个判定方法判定两个三角形相似. 重点与难点 1、本节教学的重点是相似三角形的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”及其应用. 2、例题的解答首先要选择用什么判定方法，然后利用方格进行计算，根据计算结果来判断两个三角形的三边是否对应成比例，需要学生有一定的分析、判断和计算能力，是本节教学的难点. 知识要点 三角形相似的条件： 1、有两个角对应相等的两个三角形相似. 2、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. 3、三边对应成比例的两个三角形线相似. 教学过程 一、复习 1、我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？ C (1)平行于三角形一边直线定理 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC (2)判定定理1： ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴ △ABC∽△A′B′C′ (3)直角三角形中的一个重要结论
∵∠ACB =Rt ∠，CD ⊥AB ，∴△ABC ∽△ACD ∽△CDB 二、新课 1、合作学习: 下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似？ 我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS ”、“SSS ”判定方法，三角形相似还有两个判定方法，即判定定理2和判定定理3. 2、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.可以简单说成“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”. 已知：如图，△A ′B ′C ′和△ABC 中， ∠A ′=∠A ，A ′B ′∶AB =A ′C ′∶AC 求证：△A ′B ′C ′∽△ABC 定理的几何格式： ∵∠A =∠A ′ AB A ′B ′ ＝AC A ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′ 3、例题讲解 例：如图已知点D ，E 分别在AB ，AC 上，AD AB ＝AE AC 求证：DE ∥BC . 4、判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似. 几何格式 ∵AB A ′B ′ ＝AC A ′C ′ ＝BC B ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′ 三、探究活动： 在有平行横线的练习薄上画一条线段AB ，使线段A ，B 恰好在两条平行线上，线段AB 就 A B C A ′ B ′ C ′ A B C D E A B C A ′ B ′ C ′
相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案） 1．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD． （1）求证：=； （2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°． 2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足． （1）求证：AC2=AF?AD； （2）联结EF，求证：AE?DB=AD?EF． 3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC． （1）求证：△APC∽△ACB； （2）若AP=2，PC=6，求AC的长． 4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD； （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长． 5．已知：如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC． 求证：AB?BC=AC?CD． 6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF?BE=2S 的理由． 7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P． （1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数； ②若AE=2，试求AP?AF的值； （2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长． 8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=． 9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG?DF=DB?EF． 10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H 两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？
相似三角形的性质与判定 副标题 题号一二总分 得分 一、选择题（本大题共7小题，共分） 1.如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：； ；；，能满足与相似的条件是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对 进行判断． 【解答】 解：当，， 所以∽； 当，， 所以∽； 当， 即AC：：AC， 所以∽； 当，即PC：：AB， 而， 所以不能判断和相似． 故选D． 2.如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到 折痕AE，那么BE的长度为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】 根据对称性可知：，，又，所以 ∽，根据相似的性质可得出：，，在 中，由勾股定理可求得AC的值，，，将这些值代入该式求出BE的值．【解答】
解：设BE的长为x，则、 在中， ， ∽两对对应角相等的两三角形相似 ，， ， 故选：C． 3.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测 得一根长为1m的竹竿的影长是，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上如图，他先测得留在墙壁上的影高为，又测得地面的影长为，请你帮她算一下，树高是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x， 根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而， ， 树在地面的实际影子长是， 再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得， ， 树高是． 故选C． 此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高． 解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同． 4.如图，是在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若 的面积与的面积比是16：9，则OA：为( ) A. 4：3 B. 3：4 C. 9：16 D. 16：9 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了位似变换、位似图形和相似三角形的性质的知识点，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可 【解答】