《有限元基础》期末测试 一、结构线性静力分析 如图所示的托架，其顶面承受2 lbf in的均匀分布载荷。托架通过有孔的表面 50/ ν=，托架尺固定在墙上，托架是钢制的，弹性模量6 =?，泊松比0.3 E psi 2910 寸如图，单位为英寸。试通过ANSYS求其变形图及von Mises应力分布图。 对题目分析。进行建模，网格划分 托架网格图
施加约束后，就可以对实体进行加载求解， 托架变形图 托架变形图输出的是原型托架和施加载荷后托架变形图的对比，
虚线部分即为托架的原型，托架变形图可看出，由于载荷的作用，托架上面板明显变形了，变形最严重的就是红色部分，这是因为其离托板就远，没有任何物体与其分担载荷，故其较容易变形甚至折断。这是我们在应用托架的时候应当注意的。 节点位移图
托架von Mises 应力分布图
上面两个图为托架的应力分布图，由图可看出主要在两孔处出现应力集中，也就是说这些地方所受的应力的最大的，比较容易出现裂痕。我们在应用托架的时候，应当注意采取一些设施，以便减缓其应力集中。特别是在施加载荷时，绝对不能够超过托架所能承受的极限，否则必将导致事故的发生。 二、动力分析 如图1有一梁板结构，板的四角由四根梁固定支撑，板质量集中于中央。梁板材料相关参数为弹性模量112210/E N m =?，泊松比0.3ν=，密度 337.810/kg m ρ=?。板的厚度0.02t =，板长2000L mm =，宽1000B mm =，板的质量100M kg =。梁长1000h mm =，截面面积为42210A m -=?，惯性矩为 84210J m -=?，现在板的表面施加均匀压力载荷如图2。试研究该梁板结构的瞬 态动力响应。 图 1 图2
有限元知识点归纳 1.、有限元解的特点、原因？ 答：有限元解一般偏小，即位移解下限性 原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。 2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49 (1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0; (2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续； (3)应包含完全一次多项式； (4)应满足∑Ni=1 以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。 4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131） 答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。即： 为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即： 其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。称前者为母单元，后者为子单元。 还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。 5、单元离散？P42 答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。每个部分称为一个单元，连接点称为结点。对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。这种单元称为常应变三角形单元。常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。 6、数值积分，阶次选择的基本要求？ 答：通常是选用高斯积分 积分阶次的选择—采用数值积分代替精确积分时，积分阶数的选取应适当，因为它直接影响计算精度，计算工作量。选择时主要从两方面考虑。一是要保证积分的精度，不损失收敛性；二是要避免引起结构总刚度矩阵的奇异性，导致计算的失败。
一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（） 二．单项选择题（共20分，每小题2分） 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ________________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是______完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进 行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 3、简述有限单元法的收敛性准则。
有限元知识点汇总 第一章 1、何为有限元法？其基本思想是什么？ 》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。 》基本思想：化整为零，化零为整 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值； 》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。 3、单元、节点的概念？ 》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。 》节点：网格间相互连接的点称为节点。 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？ 》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。 》本课程讲授的：位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移} 》几何方程——{描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程} 》物理方程——{描述应力分量与应变分量之间的关系} 》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程} 》弹性矩阵特点——{ } 7、何为平面应力问题和平面应变问题？ 》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用} 》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力} 第二章 7、形函数的特点？ 》1形函数Ni再节点i处等于1，在其他节点上的值等于0，对于Nj、Nm也有同样的性质。》2在单元内任一点的各形函数之和等于1，即Ni+Nj+Nm=1 8、单元刚度矩阵的性质？ 》1 K^e中每个元素都有明确的物理意义，每个元素都是一个刚度系数，他是单位节点位移分量所引起的节点力分量 》2 k^e是对称矩阵，具有对称性。 》3 K^e的每一行或每一列元素之和为零，是奇异矩阵
《汽车有限元基础》2009-2010二学期考试试卷
《汽车有限元基础》2009-2010第二学期考试试卷 一、填空题 1. 有限元法的基本思想是用个单元的集合来代替原来具有个自由 度的连续体。 2. 单元刚度矩阵K中元素K ij的物理意义：当单元第j个自由度产生而其它自由度固定时，在第i个自由度产生的。 3．按照各杆轴线及外力作用线在空间的位置，杆系结构可分为： 和。4．平面刚架中各单元发生轴向拉压变形及面内的弯曲变形，而且这两种变形相互独立，因此刚架单元可以看成是由单元和单元叠加而成。因此，平面刚架单元的节点位移应包含个平动分量和个转动分量。 5．工程中常用的薄板单元有：单元和单元。6．有限元分析的主要步骤先后为：(1) 网格划分, (2) , (3) 。 7. 单元特性分析的主要内容先后为：(1) 、(2) 、(3) 应力或内力、(4) 、(5) 单元节点载荷。 8．对于弹性变形体，承受的外载荷共有三种：集中载荷、和。在有限元法中，对于没有作用在节点上的这些外载荷，是按照的原则将其移置到节点上。 9．工程中任一平板，若其厚度为t，板面宽度为b，当t/b小于时可以认为是薄板。常用的薄板单元有：单元和单元。10．薄壳单元中的应力可看成平面应力问题和问题中两种应力的叠加。 11．求解结构系统的动力响应时，常用的两种求解方法为：和 12．在有限元分析中，为了描述几何模型和有限元模型，需要用到几种坐标系： (1) (2) (3) 和(4)
《汽车有限元基础》2009-2010第二学期考试试卷 二、 问答题 1．某一薄板矩形单元的节点编号按照逆时针依次为i 、j 、m 和p 。假设该单元每个节点的位移表示为{}{}T yi xi i i w θθδ=， (i, j, m, p )；该单元每个节点的载荷表示为{}{}T iy ix i i T T Z F θθ=，(i, j, m, p )。请写出该单元的单元节点位移列阵和单元 节点载荷列阵。 2．请写出使用有限元分析软件时，进行数据前处理的主要工作内容。 3．右下图为一典型三节点三角形平面单元，节点按照逆时针依次编号为i 、j 和m ，节点的坐标依次为(x i ，y i )，(x j ，y j )、（x m ，y m ）。假设单元内任意一点的两个位移分量分别表示u 和v 。请写出该单元位移模式的多项式形式，并简述待定常数个数的确定理由。 4. 请简述针对动力问题的有限元分析的基本步骤。
一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （×）10单元位移函数包括了常应变和刚体位移，则该单元一定是完备协调单元。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为{}{}[][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
第一章实体建模 第一节基本知识 建模在ANSYS系统中包括广义与狭义两层含义，广义模型包括实体模型和在载荷与边界条件下的有限元模型，狭义则仅仅指建立的实体模型与有限元模型。建模的最终目的是获得正确的有限元网格模型，保证网格具有合理的单元形状，单元大小密度分布合理，以便施加边界条件和载荷，保证变形后仍具有合理的单元形状，场量分布描述清晰等。 一、实体造型简介 1．建立实体模型的两种途径 ①利用ANSYS自带的实体建模功能创建实体建模： ②利用ANSYS与其他软件接口导入其他二维或三维软件所建立的实体模型。 2．实体建模的三种方式 (1)自底向上的实体建模 由建立最低图元对象的点到最高图元对象的体，即先定义实体各顶点的关键点，再通过关键点连成线，然后由线组合成面，最后由面组合成体。 (2)自顶向下的实体建模 直接建立最高图元对象，其对应的较低图元面、线和关键点同时被创建。 (3)混合法自底向上和自顶向下的实体建模 可根据个人习惯采用混合法建模，但应该考虑要获得什么样的有限元模型，即在网格划分时采用自由网格划分或映射网格划分。自由网格划分时，实体模型的建立比较1e单，只要所有的面或体能接合成一体就可以：映射网格划分时，平面结构一定要四边形或三边形的面相接而成。 二、ANSYS的坐标系 ANSYS为用户提供了以下几种坐标系，每种都有其特定的用途。 ①全局坐标系与局部坐标系：用于定位几何对象(如节点、关键点等)的空间位置。 ②显示坐标系：定义了列出或显示几何对象的系统。 ③节点坐标系：定义每个节点的自由度方向和节点结果数据的方向。 ④单元坐标系：确定材料特性主轴和单元结果数据的方向。 1．全局坐标系 全局坐标系和局部坐标系是用来定位几何体。在默认状态下，建模操作时使用的坐标系是全局坐标系即笛卡尔坐标系。总体坐标系是一个绝对的参考系。ANSYS提供了4种全局坐标系：笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系、Y-柱坐标系。4种全局坐标系有相同的原点，且遵循右手定则，它们的坐标系识别号分别为：0是笛卡尔坐标系(cartesian)，1是柱坐标系 (Cyliadrical)，2是球坐标系(Spherical)，5是Y-柱坐标系(Y-aylindrical)，如图2-1所示。
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
一、命令流 举例： 有一长为 100mm 的矩形截面梁，截面为 10X1mm ，与一规格为 20mmX7mmX10mm 的实体连接， 约束实体的端面， 在梁端施加大小为 3N 的 y 方向的压力， 梁与实体都为一材 料，弹性模量为 30Gpa ，泊松比为 0.3 。本例主要讲解梁与实体连接处如何利用耦合及约束 方程进行处理。 命令流如下： FINI /CLE LSEL,S,LOC,X,21,130 ! 选择梁线 LATT,1,2,2 ! 指定梁的单元属性 LESIZE,ALL,,,10 !指定梁上的单元份数 LMESH,ALL !划分梁单元 VSEL,ALL !选择所有实体 VATT,1,1,1 ! 设置实体的单元属性 ESIZE,1 !指定实体单元尺寸 MSHAPE,0,2D ! 设置实体单元为 2D MSHKEY,1 !设置为映射网格划分方法 VMESH,ALL ! 划分实体单元 ALLS !全选 FINI !退出前处理 /FILNAME,BEAM_AND_SOLID_ELEMENTS_CONNECTION ! 定义工作文件名 /TITLE,COUPLE_AND_CONSTRAINT_EQUATION ! 定义工作名 /PREP7 ET,1,SOLID95 ET,2,BEAM4 MP,EX,1,3E4 MP,PRXY,1,0.3 R,1 R,2,10.0,10/12.0,1000/12.0,10.0,1.0 BLC4,,,20,7,10 WPOFFS,0,3.5 WPROTA,0,90 VSBW,ALL WPOFFS,0,5 WPROTA,0,90 VSBW,ALL WPCSYS,-1 K,100,20,3.5,5 K,101,120,3.5,5 L,100,101 !进入前处理 !定义实体单元类型为 SOLID95 ! 定义梁单元类型为 BEAM4 !定义材料的弹性模量 !定义泊松比 !定义实体单元实常数 !定义梁单元实常数 !创建矩形块为实体模型 !将工作平面向 Y 方向移动 3.5 !将工作平面绕 X 轴旋转 !将实体沿工作平面剖开 !将工作平面向 Y 方向移动 !将工作平面绕 X 轴旋转 !将实体沿工作平面剖开 90 度 5 90 度 !将工作平面设为与总体笛卡儿坐标一致 !创建关键点 !创建关键点 !连接关键点生成梁的线实体
1. 诉述有限元法的定义 答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2. 有限元法的基本思想是什么 答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些 答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。 4. 有限元法有哪些优缺点 答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。 缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。 5. ?梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定 答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度 6. ?简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义 答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵 单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1，其他节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。 7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么 答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），整个结构的节点位移列阵，结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。 8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么 答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。 9. ?简述整体刚度矩阵的性质和特点 答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。 11. 简述整体坐标的概念 答：单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X’Y’Z’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。 13. 简述平面钢架问题有限元法的基本过程 答：力学模型的确定，结构的离散化，计算载荷的等效节点力，计算各单元的刚度矩阵，组集整体刚度矩阵，施加边界约束条件，求解降价的有限元基本方程，求解单元应力，计算结果的输出。 14. 弹性力学的基本假设是什么。 答：连续性假定，弹性假定，均匀性和各向同性假定，小变形假定，无初应力假定。 15.弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么不同。 答：研究对象：材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。研究方法：弹性力学和材料力学
1.针对下图所示的3个三角形元,写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 ２.如下图所示,求下列情况的带宽: a)4结点四边形元; b)2结点线性杆元。 ３、对上题图诸结点制定一种结点编号的方法,使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下,单元的带宽分别就是多大? 4、下图所示,若单元就是2结点线性杆单元,勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽就是多大?按一右一左重新编号(即6变成3等)后,重复以上运算。
５. 设杆件1-2受轴向力作用,截面积为Ａ,长度为Ｌ,弹性模量为Ｅ,试写出杆端力Ｆ１,F 2与杆端位移21,u u 之间的关系式,并求出杆件的单元刚度矩阵)(][e k 6、设阶梯形杆件由两个等截面杆件＼o ＼a ｃ(○,1)与错误!所组成,试写出三个结点1、2、3的结点轴向力F 1,F 2,Ｆ3与结点轴向位移321,,u u u 之间的整体刚度矩阵［K]。 7. 在上题的阶梯形杆件中,设结点3为固定端,结点1作用轴向载荷F 1=Ｐ,求各结点的轴向位移与各杆的轴力。 8、 下图所示为平面桁架中的任一单元,y x ,为局部坐标系,ｘ,y 为总体坐标系,x 轴与x 轴的夹角为 。 (1) 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k (2) 求单元的坐标转换矩阵 ［T]; (３) 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k
９.如图所示一个直角三角形桁架,已知27/103cm N E ?=,两个直角边长度cm l 100=,各杆截面面积210cm A =,求整体刚度矩阵［K ］ 。 10. 设上题中的桁架的支承情况与载荷情况如下图所示,按有限元素法求出各结点的位移与各杆的内力。
一．是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（×）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（√）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（√）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（×）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（×）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（√）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（×）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（×）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（√）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（√） 二．单项选择题（共20分，每小题2分）C B B C B C D C C C 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ____C__________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B____的结点和______的插值函数。（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_____B______相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般______C_____。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是__B____完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式，因此，不用 进行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________D________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，______C____会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的____C______。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 （1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布
第一章结构分析及有限元分析基础知识 注：摘自《NX知识工程应用技术——CAD/CAE篇》 洪如瑾编译 清华大学出版社 [目标] 本章将简述结构分析及有限元分析的基础知识，为学习与应用结构分析做好准备，包括： ※ 结构与结构分析定义 ※ 结构的线性静态分析 ※ 材料行为与故障 ※ 有限元分析的基本概念 ※ 有限元模型 1.1结构分析基础知识 1.1.1结构基本概念 1.结构定义 结构可以定义为一个正承受作用的载荷处于平衡中的系统。平衡条件意味着结构是不移动的。一个自由的支架不是一个结构，它未被连接到任一物体上并无载荷作用与它。仅当它附着到外部世界，并且有作用力、压力或力矩时，支架成为一个结构。 例如横跨江面的大桥就是一个普通的结构，一个支架通过它的支撑连接到地面上，桥的重量是在结构上的一种载荷（力）。当汽车通过桥时，附加的力作用于桥的不同位置。 一个好的结构必须满足以下标准： （1） 当预期的载荷作用时，结构必须不出现故障。这个似乎是显而易见的，并意味着结构必须是“强度足够的”。故障意味着结构破裂、分离、弯曲，以及支撑作用载荷失败。 注意：考虑到意外的载荷，通常在设计中提供安全余量。余量常常利用安全因素来描述。例如，如果在结构上期待载荷是10 000磅，规定安全因素是2.0，则结构将设计成能经受住20 000磅载荷。 （2） 当载荷作用时，结构必须不产生过分变形。这意味着结构必须“刚度足够”。 变形可接受的极限（弯曲度、挠度、拉伸等）取决于特定情况。例如，在通常住宅中的地板由足够的吊带支撑，以防止当人在地板岸上行走时有“柔软”的感觉。 （3） 在它的服务生命周期，结构的行为应不会恶化。这意味着结构必须“足够耐用”，必须考虑环境影响和“磨损与破裂”。如果一座桥假定维持50年，则桥的设计必须提供整个50年寿命的结构完整性与充分的安全余量。2.结构分析 结构分析是用于决定一个结构是否将正确完成任务的工程分析过程。结构将在某些方式中进行模拟和求解描述它的行为的数学方程。分析可以人工方法或用计算机方法来完成。 结构分析的结果（答案）用于评估性能，摘要如下： （1）“强度足够吗？”：应力必须是在一可接受的范围内。 （2）“刚度足够吗？”：位移必须是在一可接受的范围内。 （3）“耐用度足够？”：对一个长的疲劳周期应力必须足够低。
有限元分析及其应用-2010；思考题： 1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？ 答：基本思想：几何离散和分片插值。 基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？ 区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试 1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件； 2）构造其泛函形式； 3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。 5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？ 答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷：作用于节点上的外载
6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？ 答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？ 答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0； 单元内任一点的形函数之和恒等于1； 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？ 答：基本变量：外力、应力、应变、位移 基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？ 答：应力：lim△Q/△A=S △A→0 应变：物体形状的改变 位移：弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？答：强弱的区分在于是否完全满足物理模型的条件。所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。也
1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 2．如下图所示，求下列情况的带宽: a)4结点四边形元； b)2结点线性杆元。 3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大？ 4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大？按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。
5． 设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A ，长度为L ，弹性模量为E ，试写出杆端力F 1，F 2与杆端位移21,u u 之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(][e k 6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○ 1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的结点轴向力F 1，F 2，F 3与结点轴向位移321,,u u u 之间的整体刚度矩阵[K]。 7． 在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1=P ，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。 8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为 。 （1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]； （3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 ) (][e k
9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ?=，两个直角边长度 cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。 10． 设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的内力。
一、 简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已 知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点 和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。（2）杨氏模量、弹性 模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 2. 如图2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷 F=20KN/m ，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分） 学院 专业 学号 姓名 y 图1
图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。 图3
一、简答题 1. 答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由 其它单元形变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所 有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相 等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元 位移协调。 3. 答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4. 答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和
太原理工大学有限元复习题 一、简答题 1、弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？ 答：材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚 至是三维物体等。因此，弹性力 学的研究对象要广泛得多。 2、理想弹性体的五点假设？ 答：连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、 各向同性假定、小位移和小变形 的假定。 3、什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为 什么？ 答：如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载 荷都对称于某一根轴，那么弹性 体所有的位移、应变和应力也都对称于这根轴， 这类问题称为轴对称问题。对于 轴对称问题，采用圆柱坐标比采用直角坐标方便 得多。当以弹性体的对称轴为Z 轴时，则所有的应力分量，应变分量和位移分量 都只与坐标r、z有关，而与θ无关。 4、梁单元和杆单元的区别？ 答：梁单元和杆单元在形状上没有多大区别，其 截面可以是任何形状，有一方向的长度远远大于 另外两个方向。主要区别是受力不同，梁单元主 要承受弯矩，杆单元主要承受轴向力。杆单元通 常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上可 以适用于各种情况。 5、薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？ 答：平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何 形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且 沿厚度均布载荷，变形发生在板面内；后者受力 特点是当承受垂直于板面的载荷时，板在弯曲应 力和扭转应力作用下将变成曲面板。 6、有限单元法结构刚度矩阵的特点？ 答：主对称元素总是正的；对称性；稀疏性；奇 异性；非零元素呈带状分布。 7、有限单元法的收敛性准则？ 答：完备性要求，协调性要求。 完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶 导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元 内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。或 者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为
《有限元分析》课程教学大纲 一、课程与任课教师基本信息 课程名称：有限元分析课程类别：必修课□选修课■ 学时学分：其中实验（实训、讨论等）学时： 授课时间：周三、节授课地点： 任课教师姓名：孟宪铸职称：副教授 所属院（系）：机械工程学院适用专业班级：机械设计本、班 联系电话： 答疑时间、地点与方式：课前、课后，教室，交流 二、课程简介 本本课程是机械设计制造及其自动化专业的学科选修课。它的教学目的和任务是使学生掌握有限元法基本原理，为进一步应用有限元法解决复杂的工程问题打下基础。 三、课程目标 结合专业培养目标，提出本课程要达到的目标。这些目标包括： 、知识与技能目标 了解有限元法的特点及利用有限元分析结构的基本步骤；理解杆、梁、板单元刚度矩阵的推导方法；理解常用非节点载荷的处理方法；学会将一般的工程问题归结为有限元力学模型的方法，并能上机计算。 、过程与方法目标 保留了传统教学手段“粉笔黑板模型”的合理内核，同时积极开发、利用多媒体资源，形成全方位的立体化的教学手段，从而达到“减压增趣”、“提智扩能”的教学目标。 、情感、态度与价值观发展目标 有限元分析属学科选修课。根据世纪教育教学改革“宽口径、厚基础、高素质、强能力”的原则，学生应有较好的素质结构、较全面的知识结构。有限元分析理论性强，与各类工程技术有着密切的联系，因此处理工程问题的能力是学习该课程学生的必备素质。学生应重视本课程在素质培养中的作用，本着对自己、对社会高度负责的态度搞好课程学习。体现在学习中，具体要做到：明确学习目标，端正学习态度，培养学习兴趣，认真完成每个学习环节。同时，积极落实人才培养计划，使自己成为出色的、受社会所欢迎的工程技术人才。 四、与前后课程的联系
江西理工大学研究生考试试卷 一、 简答题（共4 0分， 每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1.一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已知：杆件材 料的杨氏模量2721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =，2 275.3in A =，长度 in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点和C 点位移。备注：（1）1lbf （磅力，libraforce ）=。（2）杨氏模量、弹性模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10 分） 2.如图2 t=1m ，载荷F=20KN/m ，设泊松比μ=015分） 3.图示结点三角形单元的q ，单元厚度为t ，求单元的等效结点荷载。 学院专业学号姓名 y
图3
一、简答题 1.答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2.答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形 变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所有点都具有 相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。 3.答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4.答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和边界条件，但变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，因而进一步扩大了有限单元法的应用领域。 三十多年来，有限单元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由