2.2 平方根(一)
教学目标：
(一)教学知识点
1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.
3.了解算术平方根的性质.
(二)能力训练要求
1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.
2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.
(三)情感与价值观要求
1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.
2.训练学生动脑、动口、动手能力.
教学重点：
了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.
教学难点：
了解算术平方根的概念、性质.
教学过程：
Ⅰ.新课导入
上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］在讲新课之前，我们先回忆一下勾股定理，请同学们回答.
［生］勾股定理就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.
［师］下面请大家根据勾股定量，结合图形完成填空. 根据下图填空
x2=_________y2=_________z2=_________w2=_________
［师］请大家思考后回答.
［生］x2=2,y2=3,z2=4,w2=5.
［师］请大家再分析一下，x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？
［生］x，y，w是无理数，z是有理数.
［师］为什么呢？
［生］因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x，y，z不是有理数，而22=4，所以z=2.
［师］这位同学分析得非常正确，那么大家能不能把上图中的x，y，z，w表示出来呢？请大家仔细看
书后回答.
［生］x =
2,y =3,z =4,w =5.
［师］若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作
“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即
0=0.
［师］下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根. ［例1］求下列各数的算术平方根： (1)900；(2)1；(3)
64
49；(4)14.
解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，即900=30；
(2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即
1=1；
(3)因为,64
49
)87(
2=所以
6449的算术平方根是
8
7
，即
8
76449=；
(4)14的算术平方根是
14
.
通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？ ［生］是通过平方来求的.
［师］对.由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.而且我们在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示互相补充的做法，目的是让大家明白算术平方根的概念，以及从计算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步骤中可以简化.
［例2］自由下落的物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为h =4.9t 2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解：将h =19.6代入公式h =4.9t 2得 t 2=4,所以t =
4=2(秒)
即铁球到达地面需要2秒.
［师］下面大家再观察一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特点. ［生甲］算术平方根是整数或分数，即为有理数. ［生乙］不对，那
14
是不是有理数？若是则是，分数还是整数？
［生丙］因为没有任何一个整数或分数的平方等于14，所以14
不是有理数，而是无理数.
［师］大家的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑. ［生甲］噢，算术平方根是正数，如
14
,5,3,2，2.
［生乙］不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术平方根为零. ［师］非常正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若(－2)2=4.则4=－2对吗？或者4-=－2
对吗？
［生甲］不对.因为算术平方根的定义是一个正数的x 的平方等于a ，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，所以算术平方根不可能是负数.
［师］由此看来，定义中的a 和x 都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为
a (a ≥0)为非负数，这是算术平方根的性质.
Ⅲ.课堂练习 (一)P 32随堂练习1、2题. (二)补充练习. 一、填空题 1.若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.
2.
9
4
的算术平方根是_________. 3.正数_________的平方为9
7
1,25144的算术平方根为_________.
4.(－1.44)2的算术平方根为_________.
5.
81的算术平方根为_________，04
.0=_________
二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来： (1)(7.4)2；(2)(－3.9)2；(3)2.25；(4)2
4
1. Ⅳ.课时小结
本节课学习了算术平方根的概念，理解了求一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算，求一个非零数的算术平方根，以及算术平方根的性质，即算术平方根是非负数.
Ⅴ.课后作业 P 33习题1、3. Ⅵ.活动与探究
1.一个正方形的面积变为原来的n 倍时，它的边长变为原来的多少倍？
2.一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍？ 解：设原来的正方形边长为a ，面积为S 1，后来的正方形面积为S 2. 1.S 1=a 2，S 2=na 2(n a )2
∴后来的边长(
n a )为原来边长的n 倍.
2.S 1=a 2，S 2=100a 2=(10a )2
∴后来的边长10a 为原来边长的10倍. 板书设计：
一、算术平方根的定义算术平方根的性质 二、举例 三、练习 四、作业 教学反思：
2.2 平方根(二)
教学目标： (一)教学知识点
1.了解平方根的概念、开平方的概念.
2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.
3.进一步明确平方与开方是互为逆运算. (二)能力训练要求
1.加强概念形成过程的教学，让学生不仅掌握概念，而且知晓它的理论数据.
2.提倡学生进行自学，并能与同学互相交流与合作，变学会知识为会学知识.
3.培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到P X 们的共同点和不同点. (三)情感与价值观要求
通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培养大家的团队精神，以及认真仔细的学习态度，为学生将来走上社会而做准备，使他们能在工作中保持严谨的态度，正确处理好人际关系，成为各方面的佼佼者.
教学重点：
1.了解平方根、开平方的概念.
2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.
3.了解平方根与算术平方根的区别与联系. 教学难点：
1.平方根与算术平方根的区别与联系.
2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因. 教学方法： 讨论比较法.
即主要靠大家讨论得出结论，同时对相似的概念进行比较.这样不仅能正确区分这些概念，还能使学生学得更扎实.
教学过程：
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
上节课我们学习了算术平方根的概念，性质.知道若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a .则x 叫a 的算术平方根，记作x =
a ，而且a 也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但
是(－2)2=4，则－2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.
Ⅱ.讲授新课
1.平方根、开平方的概念 ［师］请大家先思考两个问题.
(1)9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？ (2)平方等于
25
4的数有几个？平方等于0.64的数呢？
［生］－3的平方也是9.
52的平方是25
4，－
52的平方也是25
4
，即平方等于
25
4
的数有两个.
［生］平方等于9的数有两个，平方等于
25
4的数有两个，由此可知平方等于0.64的数也有两个.
［师］根据上一节课的内容，我们知道了是9的算术平方根，
52是25
4
的算术平方根，那么－3，－
5
2
叫9、
25
4的什么根呢？请大家认真看书后回答.
［生］－3，－
52分别叫9、25
4的平方根.
［师］那是不是说3叫9的算术平方根，－3也叫9的算术平方根，即9的算术平方根有一个是3，另一个是－3呢？
［生］不对.根据平方根的定义，一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个x 就叫a 的平方根(square root)，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，9的算术平方根只有一个是3.
［师］由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？请分小组讨论后选代表回答.
［生］平方根的定义中是有一个数x 的平方等于a ，则x 叫a 的平方根，x 没有肯定是正数还是负数或零；而算术平方根的定义中是有一个正数x 的平方等于a ，则x 叫a 的算术平方根，这里的x 只能是正数.由此看来都有x 2=a ，这是它们的相同之处，而x 的要求不同，这是它们的不同之处. ［师］这位同学分析判断能力特棒，下面我再详细作一总结. 平方根与算术平方根的联系与区别
联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0的平方根，算术平方根都是0. 区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. (3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±
a ，正数a 的算术平方根表示为a .
(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个. ［师］什么叫开平方呢？
［生］求一个数a 的平方根的运算，叫开平方(extraction of square root )，其中a 叫被开方数. ［师］我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？请大家讨论后回答.
［生］我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.
2.平方根的性质
［师］请大家思考以下问题. (1)一个正数有几个平方根. (2)0有几个平方根? (3)负数呢？
［生］第一个问题在前面已作过讨论，一个正数9有两个平方根3和－3； 因为只有零的平方为零，所以0有一个平方根是零.
因为任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，例如－3没有平方根.
［师］太精彩了.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根. 3.讲解例题
［例］求下列各数的平方根. (1)64；(2)121
49
；(3)0.0004；(4)(－25)2；(5)11. 4.想一想
(1)(
64
)2等于多少？(
121
49)2等于多少？
(2)(
2.7)2等于多少？
(3)对于正数a ，(a )2等于多少？
Ⅲ.课堂练习 (一)随堂练习
1.求下列各数的平方根 1.44，0，8，49
100
，441，196，10－4
2.填空
(1)25的平方根是_________； (2)2
)5( =_________；
(3)(
5)2=_________.
(二)补充练习1.判断下列各数是否有平方根？并说明理由. (1)(－3)2；(2)0；(3)－0.01；(4)－52；(5)－a 2；(6)a 2－2a +2 2.求下列各数的平方根. (1)121；(2)0.01；(3)2
9
7；(4)(－13)2；(5)－(－4)3
Ⅳ.课时小结
本节课学了如下内容. 1.平方根的概念. 2.平方根的性质.
3.平方根与算术平方根的区别与联系.
4.求某些非负数的算术平方根和平方根. Ⅴ.课后作业 习题2.4. Ⅵ.活动与探究 1.对于任意数a ，2
a 一定等于a 吗？
2.
a 中的被开方数a 在什么情况下有意义，(a )2等于什么？
解：因为任意数的平方都是非负数，也就是非负数才有平方根，所以被开方数a 必须是正数或零，即非负数时有意义.
所以(
a )2=a (a ≥0)
板书设计：
§2.2.2 平方根(二)
一、平方根的定义；
平方根的性质；
平方根与算术；
平方根的区别与联系.
二、例题讲解
三、练习
四、小结
五、作业
教学反思：这节主要是算术平方根与平方根的区别与联系，其中表示方法，求式子的值都是很容易混淆的。大部分的学生还是能勉强的掌握。但还是要在以后的教学过程中再多让学生分清他们。
山东省枣庄市第四十二中学八年级数学第二章《平方根》教案北师大 版 教学目标： 1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根． 2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根． 3．了解算术平方根的性质． 教法与学法指导： 学生已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性． 课前准备： 制作课件，学生课前进行相关调查及预习工作. 教学过程 一．创设情境 1.我们已在上学期学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算。在这五种运算中那些是逆运算呢? a加法与减法互为逆运算； b乘法与除法互为逆运算 c那么乘方与谁互为逆运算呢？ 要剪出一张边长是5厘米的正方形纸片，它的面积是多少？ 这个问题实际上就是求: 我们把问题反过来，要做一张面积是25平方厘米的方桌面，它的边长是多少厘米？ 实际上就是要求出一个数，使它的平方等于25，即： 显然，括号里应是±5，但－5不符题意。 ∴方桌面的边长应是5厘米
如果这块正方形的面积为单位1，那么它的边长是多少？如果面积分别为9、16、36、呢？那么3呢？怎么求呢？怎么表示？ 二．自主探究合作交流 上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题。实际上是已知一个正数，求这个正数平方根的问题。 对于面积为3的直接求不出来，那么怎样准确的把它表示出来呢？ 阅读课本38页并回答以上问题。（找同学回答并说明理由） 问题1：你能叙术算术平方根的概念吗？ 一般地：如果一个正数的平方等于a，即=a，那么这个正数叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。 强调：书写时根号一定要把被开方数盖住。 问题2：表示什么意思？它的值是怎样的数？ 这里的被开方数a应该是怎样的数？ 问题3：0的算术平方根是多少？怎么表示？ 归纳：表示a的算术平方根。 算术平方根为非负数，即：0，被开方数为非负数，即a0,负数没有算术平方根，即：当a<0时，无意义。 三．巩固练习加深理解 （一）例题精讲 .例1：求下列各数的算术平方根。 900； 1； 49/64 ；14； 92 －9；0 学生活动：模仿教材例1的模式，注意语言的准确性和书写的规范性。 学生板演，全班同学做完后修改板演同学的错误，用彩笔改出来。 对于 92 －9；0 三个问题的设置加深对算术平方根的非负性的理解，进一步提高语言表达的准确性和书写的规范性。 例2：下列各式表示什么意思？你能求出它们的值吗？
第一章三角形的证明 【单元分析】 本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。 【单元目标】 1.知识与技能 （1）等腰三角形的性质和判定定理； （2）直角三角形的性质定理和判定定理； 2.过程与方法 （1）会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题； （2）直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题； 3.情感态度与价值观 （1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力； （2）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。 【单元重点】 在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 【单元难点】 明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。 【教学思路】 1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。 2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。 3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。 4.作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。
平方根平方根的有关概念、性质 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根； 2、了解开发与乘法互为逆运算，会用开发运输求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根. 1．算术平方根 =，那么这个正数x叫做a的算术平方根. 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a a的算术平方根记为______，读作________，a叫做__________. 规定：0的算术平方根是_____. 2. 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. =，那么______叫做_________的平方根. 这就是说，如果2x a a的算术平方根记为______，读作________，a叫做__________. 求一个数a的平方根的运算，叫做_________. 1、解算术平方根 【例1】求下列各数的算术平方根 （1）100 （2）0.0001 练1.求下列各数的算术平方根 （1）0.0025 （2）121
练2.（2014春?________ 是__________. 2．利用计算器求算术平方根 【例2 练4.用计算器求下列各式的值. （1（2（精确到0.01） 2．比较大小 【例3】小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2.不知能否裁出来，正在发愁.小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 练5.12. 练6.（2015春?天一学校期中）要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米，求长和宽各是多少米？ 3．计算平方根 【例4】求下列各数的平方根： （1）100 （2）0.25. 练7． 11 1 25 的平方根是_______; 0的平方根是________.
北师大版八年级上册教学案 同庆初中教学设计 （导学模式） 学科：； 任课班级：； 任课教师：； 年月日 第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系?
以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么2 2c 2 a= + b 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。 3、分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长为13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立） 四、想一想 这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么呢？ 五、巩固练习 1、错例辨析： △ABC的两边为3和4，求第三边 解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边的c应满足2 24 2 c=25 = 3+ 即：c=5 辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题 △ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。 （2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足2 2 2c a= +，题目中并为 b 交待C 是斜边 综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。 2、练习P7 §1.1 1 六、作业 课本P7 §1.1 2、3、4 §1.1 探索勾股定理（二） 教学目标： 1．经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。 2．掌握勾股定理和他的简单应用 重点难点： 重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 难点：用面积证勾股定理 教学过程
1.1 不等关系 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2 )4 (l ，圆的面积可以表示 为2 2?? ? ??ππl 。 （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4 (2 ≤l ，即25162≤l 。 （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即 π 42 l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ，
4＜5.1，此时圆的面积大。 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。 （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想， 用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干 离地面1.5m 的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。 （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 410＜2 .0x 分析巩固练习： 用不等式表示： （1） a 的相反数是正数； （2） m 与2的差小于3 2； （3） x 的 3 1 与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0； （2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于 32”即是m-2＜3 2 ； （3）“x 的31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0； （4）“y 的一半”不是2 1 y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故 “y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2 1 y+2x ≥3。
北师大版八年级上册数学教案 北师大版八年级上册数学教案分享，一起来看看吧。 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法，但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强． 本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值． 为此本节课的教学目标是： 1．用数格子的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． 2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思
想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． 3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 4．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习． 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节：创设情境，引入新课 内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标： 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理． 意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育. 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情. 内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形： 问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗！ 学生通过观察，归纳发现：
2.2 平方根同步练习 一、选择题（共18小题） 1．16的平方根是（） A．4 B．±4 C．8 D．±8 2．25的算术平方根是（） A．5 B．﹣5 C．±5 D． 3．4的算术平方根是（） A．﹣2 B．2 C．﹣D． 4．4的算术平方根是（） A．±2 B．2 C．﹣2 D． 5．9的平方根是（） A．±3 B．±C．3 D．﹣3 6．下列说确的是（） A．|﹣2|=﹣2 B．0的倒数是0 C．4的平方根是2 D．﹣3的相反数是3 7．±2是4的（） A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根8．（﹣3）2的平方根是（） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 9．a2的算术平方根一定是（） A．a B．|a| C．D．﹣a 10．数5的算术平方根为（） A．B．25 C．±25 D．± 11．已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（） ①m是无理数；②m是方程m2﹣12=0的解； ③m满足不等式组；④m是12的算术平方根． A．①②B．①③C．③D．①②④ 12．的算术平方根是（）
A．﹣2 B．±2 C．D．2 13．己知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（）A．1dm B．dm C．dm D．3dm 14．9的算术平方根是（） A．﹣3 B．±3 C．3 D． 15．下列各式正确的是（） A．﹣22=4 B．20=0 C．=±2 D．|﹣|= 16．的算术平方根是（） A．2 B．±2 C．D．± 17．8的平方根是（） A．4 B．±4 C．2 D． 18．）的平方根是（） A．±3 B．3 C．±9 D．9 二、填空题（共12小题） 19．81的平方根为． 20．4是的算术平方根． 21．实数4的平方根是． 22．的算术平方根是． 23．4的平方根是；4的算术平方根是．24．4的平方根是． 25．16的平方根是． 26．9的平方根是． 27．计算：25的平方根是． 28．求9的平方根的值为． 29．9的算术平方根是． 30．的平方根是．
最新八年级下册北师大版数学全册教案 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系. 从问题中来，到问题中去. 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆. （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2)4(l ，圆的面积可以表示为2 2?? ? ??ππl . （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4 (2 ≤l ，即25162≤l . （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即 π42 l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ， 4＜5.1，此时圆的面积大. 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大. （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l ㎝ 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m 的地方 作为测量部位.某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240. （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 4 10
平方根练习题 一.填空题 (1) 121 4的平方根是_________； (2)(－41)2的算术平方根是_________； (3)一个正数的平方根是2a －1与－a +2，则a =_________，这个正数是_________； (4)25的算术平方根是_________； (5)9－2的算术平方根是_________； (6)4的值等于_____，4的平方根为_____； (7)(－4)2的平方根是____，算术平方根是_____. (8)若9x 2－49=0,则x=________. (9)若12+x 有意义，则x 范围是________. (10)已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x=________,y=________. (11)如果a ＜0,那么2a =________,(a -)2=________. 二.选择题 (1)2 )2(-的化简结果是（ ） A.2 B.－2 C.2或－2 D.4 (2)9的算术平方根是（ ） A.±3 B.3 C.±3 D. 3 (3)(－11)2的平方根是 A.121 B.11 C.±11 D.没有平方根 (4)下列式子中，正确的是（ ） A.55-=- B.－6.3=－0.6 C.2)13(-=13 D.36=±6 (5)7－2的算术平方根是（ ） A.71 B.7 C.4 1 D.4 (6)16的平方根是（ ） A.±4 B.24 C.±2 D.±2 (7)一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是（ ） A.a +2 B.a －2 C.a +2 D.a 2+2 (8)下列说法正确的是（ ）
A.－2是－4的平方根 B.2是(－2)2的算术平方根 C.(－2)2的平方根是2 D.8的平方根是4 (9)16的平方根是（ ） A.4 B.－4 C.±4 D.±2 (10)169+的值是（ ） A.7 B.－1 C.1 D.－7 （11）下列各数中没有平方根的数是（ ） A.－(－2)3 B.3－3 C.a 0 D.－（a 2+1） (12)2a 等于（ ） A.a B.－a C.±a D.以上答案都不对 （13）如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ） A.a 2=±m B.a =±m 2 C.a =±m D.±a =±m (14)若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ） A.S 的平方根是a B.a 是S 的算术平方根 C.a =±S D.S =a 三、要切一块面积为36 m 2的正方形铁板，它的边长应是多少？ 四.已知一个正方形ABCD 的面积是4a 2 cm 2,点E 、F 、G 、H 分别为正方形ABCD 各边的中点，依次连结E 、F 、G 、H 得一个正方形. (1)求这个正方形的边长. (2)求当a =2 cm 时，正方形EFGH 的边长大约是多少厘米？（精确到0.1cm ） 五.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数. 六.甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案： 甲：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1. 乙：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5. 哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？ 立方根练习题 一.判断题 (1)如果b 是a 的三次幂，那么b 的立方根是a .（ ） (2)任何正数都有两个立方根，它们互为相反数.（ ） (3)负数没有立方根.（ ） (4)如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0.（ ） 二.填空题 1.如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________. 2.327 1-=________， (38)3=________
北师大八年级数学教案 第一章勾股定理 2.一定是直角三角形吗 一、学生知识状况分析 二、学习任务分析 本节课是北师大版数学八年级(上)第一章《勾股定理》第2节。教学任务有：探索勾股定理的逆定理，并利用该定理根据边长判断 一个三角形是否是直角三角形，利用该定理解决一些简单的实际问题;通过具体的数，增加对勾股数的直观体验。本节课的教学目标是： 1.理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念; 2.能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形; 教学重点 理解勾股定理逆定理的具体内容。 三、教法学法 (2)从学生活动出发,通过以旧引新,顺势教学过程; (3)利用探索,研究手段,通过思维深入,领悟教学过程。 2.课前准备 四、教学过程设计 本节课设计了七个环节。第一环节：情境引入;第二环节：合作 探究;第三环节：小试牛刀;第四环节：登高望远;第五环节：巩固提高;第六环节：交流小结;第七环节：布置作业。 第一环节：情境引入 内容：
情境：1.直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系? 2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否 就是直角三角形呢? 意图：通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情。 效果：从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础。 第二环节：合作探究 内容1：探究 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a,b,c，①5，12，13;②7，24，25;③8，15，17;并回答这样两个问题： 1.这三组数都满足吗? 2.分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?学生分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。 意图：通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长A B D，满足AFCBE，则 这个三角形是直角三角形”这一结论;在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。 效果：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足a2b2c2，可以构成直角三角形;②7，24，25满足a2b2c2，可以构成直角三角形;③8，15，17满足a2b2c2，可以构成直角三角形。 从上面的分组实验很容易得出如下结论：
2.2.1《平方根》教学设计 （一）创设情境，引入新知 活动一：复习旧知 问题1：老师手中有一正方形图片，若已知边长是3时，同学们说其面积是多少呢？ 生：32=9 并在黑板上写出. 问题2：以上算式属于我们学过的什么运算？在此算式中存在几个量？分别是什么？ 生：乘方运算；存在三个量；底数、指数和幂. 问题3：乘方运算是知道了哪些量求哪个量的运算？ 生：底数、指数求幂的运算. 活动二：探究新知 问题4：若正方形的面积是9时，同学们说其边长是多少呢？ 师：同学们我们比较这两种运算，有什么区别？ 生：第一种运算,是知道了底数、指数求幂的运算即乘方运算；第二种运算，是知道了幂、指数求底数的运算. 师：很好，第二种运算就是今天我们要学习的一种新运算---求一个正数的算术平方根的运算. （板书1）§2.2算术平方根 设计意图：通过利用旧知，引入新知.学生乐于去做，敢于发言，同时，让学生感受到，通过自己的探究，“玩”出了很多意想不到的收获，使数学课不再枯燥.注重了用数学的方法去研究问题，从数学的角度去思考问题，使数学课更具有数学味，同时，也揭示了本节课的教学重点. 问题5：若正方形的面积是3时，同学们说其边长m又是多少呢？ 3 m 师：通过上节课的学习我们知道它的范围是多少？它具体是多少，你知道吗？ 生：1.7＜m＜1.8，1.73＜m＜1.74，…；是无限不循环小数. 师：同学们，这是我们在小学遇到过“π”的基础上，又一次遇到不能准确的去表示一个数，为了能 精确的表示它，我们引进一个新的记号“”，读作“根号”.我们就用3来表示m，这就好比小学中我们学过的圆周率3.1415926…，它就是一个无限不循环小数，为了能表示它，就用一个符号“π”来表示一样的道理. 设计意图：通过自主探索，让学生亲身体验概念的形成过程, 感受到概念引入的必要性，充分体现了
第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系? 3、从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结： 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么2 2 2c + b a=
《平方根》 ◆教材分析 “平方根”是“实数”的第一节内容。由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，完成了初中阶段数的扩展。运算方面，在乘方的基础上以引入了开方运算，使代数运算得以完善。因此，本节课是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础。 ◆教学目标 【知识与能力目标】 1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根. 2.根据求一个数的算术平方根与平方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非正负数的算术平方根. 3.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算. 4.会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别与联系. 【过程与方法目标】 1经历求一个数的算术平方根与平方的互逆关系，提高学生逆向思维方法. 2经历求一个数的平方根与平方互为逆运算的过程，培养学生求同和求异的思维方法，能从相似的事件中找到它们的共同点和不同点.
【情感态度价值观目标】 学生动脑、动口，积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲. 【教学重点】 1了解算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根. 2了解平方根、开平方的概念，会利用互逆运算关系求某些非负数的算术平方根与平方根. 3平方根与算术平方根的区别和联系. 【教学难点】 1理解算术平方根的概念、性质． 2平方根与算术平方根的区别和联系. 3负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算. 一、创设情境，引出课题 上节课我们学习了无理数、 了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a 2=2中，2是有理数，而a 是无理数.在前面我们学过若x 2=a ，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题. 【教学说明】从平方入手，为学生下面学习算术平方根找到了突破口，让他们对算术平方根的求法与开平方这种互逆的关系形成了初步认识. 二、探索新知 算术平方根的概念和求法. 下面请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： ◆ 教学过程 ◆ 教学重难点 ◆
第一章三角形的证明
①等腰三角形的两底角相等。（“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）。 （2）判定： ①有两边相等的三角形是等腰三角形. ②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 考点2等边三角形的性质 1．边长为6 cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 ________． 2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且C G＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度． 【归纳总结】 （1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。 （2）性质： ①三个内角都等于60度，三条边都相等 ②具有等腰三角形的一切性质。 （3）判定： ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。 考点3 直角三角形 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD 的长是() A．20 B．10 C．5 D. 2．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AD＝6，则CD＝_____．
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是() A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 【归纳总结】 （1）性质:直角三角形的两锐角互余。 (2)定理：直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (3)定理：在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半. （3）判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形 考点4 勾股定理及其逆定理 2．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是() A．3，4，5 B．6，8，10 C.，2，D．5，12，13 【归纳总结】 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 考点5 角平分线的性质和判定 1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD ＝4，则点D到AB的距离是________．
典型例题：平方根 例1 说出一个正数的算术平方根与平方根的区别与联系． 解（1）一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根． （2）一个数的算术平方根与平方根的平方都等于这个数． 例2 如图，把12个边长为1cm 的正方形拼在一起． （1）算出A 点到B 、C 、D 、E 、F 之间的长度． （2）以图中A 、B 、C 、D 、E 、F 中的三个点为顶点的三角形中有没有等腰三角形？如果有写出这些三角形，并说明它们为什么是等腰三角形．“ 分析 利用勾股定理可以算出A 点与C 、D 、E 、F 各点的距离．（2）找到某一点到另外两个点的距离相等，就可以确定由这三个点为顶点的三角形是等腰三角形． 解 （1）3=AB cm ．171422=+=AC cm ． 5254202422=?==+=AD cm ． 5253422==+=AE cm ． 133222=+=AF cm ． （2）图中BEF CEF ??,是等腰三角形，因为2==EF EC cm ，因此CEF ?是等腰三角形． 又因为101322=+==BF BE cm ，因此BEF ?是等腰三角形． 例3 在直角三角形ABC 中，b a 、是两条直角边， c 为斜边，若46.13,23.9==b a ，求c 的长（精确到0.01） 分析 根据勾股定理222c b a =+，代入相关的数据，利用求平方根的方法可求出c 的值．
解 222c b a =+ ，且46.13,23.9==b a ， ∴32.163645.26646.1323.92222≈=+=+=b a c ． 例4 求下列各数的平方根． （1）9 （2）49223 （3）0.81 解：（1）∵ 9)3(2=± ∴9的平方根是3±，即39±=±． （2）∵4916949223 =，49169)713(2=±， ∴49169的平方根是7 13±，即.71349223±=± （3）∵81.0)9.0(2=± ∴0.81的平方根是9.0±，即9.081.0±=±． 说明：①命题目的：给出一个正数，会求出平方根． ②解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数． ③错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误． 例5 求下列各数的平方根和算术平方根． （1）0.0064 （2）4922 （3）2)13 12(1- （4）2)7(- 解答 （1）因为0064.0)08.0(2=±，所以0.0064的平方根是08.0±算术平方根是0.08． （2）因为491004922 =，而49100)710(2=±，所以4922的平方根是710±，它的算术平方根是7 10． （3）因为1692513144169)1312(122=-=-，而16925)135(2=±，所以2)13 12(1-的平方根是135±，它的算术平方根是13 5． （4）因为49)7(2=-，而49)7(2=±，所以2)7(-的平方根是7±，它的算术平方根是7．
2.2 平方根(一) 教学目标： (一)教学知识点 1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根. 2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根. 3.了解算术平方根的性质. (二)能力训练要求 1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平. 2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神. (三)情感与价值观要求 1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲. 2.训练学生动脑、动口、动手能力. 教学重点： 了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根. 教学难点： 了解算术平方根的概念、性质. 教学过程： Ⅰ.新课导入 上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题. Ⅱ.讲授新课 ［师］在讲新课之前，我们先回忆一下勾股定理，请同学们回答. ［生］勾股定理就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方. ［师］下面请大家根据勾股定量，结合图形完成填空. 根据下图填空 x2=_________y2=_________z2=_________w2=_________ ［师］请大家思考后回答. ［生］x2=2,y2=3,z2=4,w2=5. ［师］请大家再分析一下，x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？ ［生］x，y，w是无理数，z是有理数. ［师］为什么呢？ ［生］因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x，y，z不是有理数，而22=4，所以z=2. ［师］这位同学分析得非常正确，那么大家能不能把上图中的x，y，z，w表示出来呢？请大家仔细看
第二讲 平方根及算数平方根 【考纲要求】 掌握平方根及算数平方根的概念及运算 【教学重难点】 1.平方根、算术平方根的概念，体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，掌握它的表示方法； 2.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 【重难点命题方向】 （一）什么是平方根？ 【例1】问题1 要剪出一块面积为25 cm 2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2 已知圆的面积是16πcm 2，求圆的半径长． ★ 反思与小结：以上两个具体例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题： 已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x 2＝a ，求x 的值． 概括 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（也叫a 的二次方根）， 【举一反三】： 的平方=49,所以49的平方根是 的平方=1.21,所以1.21的平方根是 的平方= 2536,所以2536 的平方根是 建议:同学们把1—20的平方数记熟，以便求它们的平方根. 211= , 212= ,213= ,214= ,215= , 216= , 217= ,218= ,219= ,220= , （二）平方根有什么性质呢? 【例2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根：①100；②0.64；③0；④-1 归纳平方根的性质： 一个正数有 个平方根，它们 ；0有 个平方根，它是 ；负数 平方根． 【举一反三】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由． (1)－64；(2)0；(3)(－4)2 ．
★反思与小结：学习平方根，必须考虑两个问题：一个数有没有平方根？有几个？同学们 常在这两个问题上犯错误，其一错在：求一个正数的平方根时，只计算出了正的平方根；其二错在：误认为负数有平方根且是一个负数。 （三）一个非负数a 的平方根的表示法． 一个非负数a 的平方根的表示法．记作“2a ±”．这里，符号“2 ”，读作“二次根号”，“2a ”读作“二次根号a ”．当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如2a 记作a ，读作“根号a ”；2a ±记作a ±，读作“正负根号a ”．一般地，如果x 2＝a (a ≥0)，那么a 的平方根可以表示为x =a ±．例如，9的平方根记作9±，读作正负根号9． （四）求一个数的平方根——开平方运算 求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根． 【例3】列式求下列各数的平方根： 0.0001； 179； （–16）2，， 144 121， 15， 0.64， 410-， 0)65(． 解答： ★反思与小结：求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的 主要特征．另外，需注意 （1）求带分数的平方根时，要将带分数先化成假分数． （2）注意区分(–a )2与–a 2（a ≠0），(–a )2的平方根是±a ，而–a 2 是一个负数，它没有平方根． 【例4】针对训练： （1）4的平方根是（ ） A ． 2 B ．16 C ．2± D ．±16 （2）若3＋a 是25的平方根，則a 是（ ）的平方根． (A) 4 (B) 8 (C) 4或64 (D) 8或64 反思与小结：因为过去学到的运算其结果都是惟一的，所以刚开始接触平方根时，大家 对于一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，不大习惯．而本例的解决过程中连续两次用到平方根的意义，稍不注意便会出错，多数会错在仅得到a 的一个值，致使误选成A ． （五）什么是算术平方根？ 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．记作a ，读作“a 的算术平方根”．那么0的算术平方根是 ；负数的算术平方根