承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：西北民族大学
参赛队员(打印并签名) ：1. 马璀云
2. 禹银春
3. 刘晓娟
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：肖艳萍王念一
日09 年9 月14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
医院眼科病床的合理安排优化模型
摘要：眼科病床的合理安排，既可以提高医院的经济效益，又可以减小患者的排队就医时间，以便达到双赢的目的。通过对医院现有的综合分析及优化得到如下问题的优化结
果：
问题一，给出了评价模型的指标：医院满意度即床位的周转率，患者满意度即等待
队长，及逗留时间；
问题二，通过对已有数据的统计分析整理，得出结论：患者的到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布。将医院的病床看做服务台，建立了排队系统的M M K∞∞模型，通过对模型的求解过程，给出了患者流和服务台的计算机模拟方////
法，进而给出了根据出院患者数来安排入住患者的方案。
问题三，结合问题二的模型，利用医院对每类患者的服务时间，服务效率以及服务
台的状态（病床的占用和空闲）来求的他们的平均等待时间，因而可预测病人的大致入院时间。
问题四，若周六，周日不安排手术，而白内障手术的手术时间间隔一定，通过顺延
的方法得出两种优化方案，并对两种方案通过类比的方法得出最优方案，即在周三，周
五安排白内障手术，而在周一，周二，周四安排其它手术。
问题五，从方便管理，医院效益最大以及患者逗留时间最短的前提出发，对医院现有的病床进行分配建立了规划模型，并通过对模型的求解最后给出了病床的分配方案：白内障单眼8张床位，白内障双眼18张床位，青光眼11张床位，视网膜疾病33张床位，外伤9张床位。
关键词：排队系统统计分析计算机模拟类比规划
一．问题重述
医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，我们考虑某医院眼科病床合理安排的数学建模问题，就要考虑医院资源的合理有效利用及患者的等待队长等因素。已知该医院目前情况如下：
1．该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张，眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
2．白内障手术较简单，而且没有急症，目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
3．外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。4．其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
5．该医院眼科手术条件比较充分，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，
现提出以下问题：
问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?
问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
二．符号说明
i —— 表示第i 类患者（i =1，2，3，4，5 分别表示白内障单眼；白内障双眼；青
光眼；视网膜疾病以及外伤患者）
k —— 表示服务台个数
in θ —— 表示第i 类患者中第n 个患者与第1n -个患者到达的间隔时间
in η —— 表示对第i 类患者中第n 个患者服务花费的时间
j
c —— 表示患者到来的时刻
j w —— 表示患者等待时间 j
b —— 表示患者开始接受服务（入院）时刻
j e —— 表示患者结束服务（出院）时刻
i λ —— 表示各类患者的到达速率
i μ —— 表示服务台的服务速率 ρ —— 表示服务强度
()N t —— 表示t 时间内到来患者的总数
()M t —— 表示t 时间内服务完（出院）的患者的总数 ()X t —— 表示t 时刻系统中的患者数
()L t —— 表示等待队长（排队等待的顾客数） ()L q —— 表示队长
()t ?—— 表示服务台的状态
三．问题的分析
1．背景分析
本问题的难点是同时考虑医院完善医院的管理制度，改进患者的安置情况，提高医院的经济和社会效益等诸多因素。如果仅考虑提高医院的经济效益，则只要提高医院病床的使用率，运用数据分析方法可以给出患者的安排情况；如果仅考虑患者的安置情况，需要增加病床，显然，这两种方案都不是最佳的。于是既要考虑医院的效益（即医院的满意度），又要考虑患者的等待时间最短（即患者的满意度）。
医院的满意度取决于病床的使用率及其服务强度，使用率和服务强度越高，医院的经济效益越好，医院的满意度越高；患者的满意度取决于排队的队长和等待时间的长短，等待时间越短患者的满意度越高。所以我们需要在两个因素之间找出一个合理的匹配关系使双方的满意度达到最高。 2．数据分析
通过数据分析，形成了如图所示的柱状图及其以下数据表：
010203040506070
246810121416
)病
通过柱状图可以比较清楚的看出，每天各类疾病的患者到达数量及所占比重：视网膜疾病患者最多，相当于青光眼和外伤的总和，其次是白内障（双眼）和白内障。从上图中还可以看出患者人数基本以每两周为一个循环周期。
利用SPSS软件验证门诊到达人数服从泊松分布。
Test Statistics
x
Chi-Squa
8.640
re(a)
df 4
Asymp.
.071
Sig.
a 5 cells (100.0%) have expected frequencies less than 5. The minimum expected
cell frequency is 1.8.
通过对数据的分析整理，利用SPSS得到上面的两表。由于显著性水平为0.05，而上表中所得显著性水平0.071>0.05且到达门诊的患者是随机的，所以到达门诊的患者人数服从泊松分布，认为理论分布是符合实际情况的。
四．模型的假设
1.患者的到达是随机的，且患者源是无限的。
2.忽略门诊时间及手术时间。
3.将病床看为服务台，总病床数即为服务台数。
4.同一天看病的患者到达间隔时间为零。
五．模型的建立与求解
问题一
评价性指标大致可以从患者的满意度和医院的满意度两个方面出发：
患者满意度方面：要求医院充分调动和利用现有的一切资源，使得到医院的每一位患者满意而归，这就要求医院的资源合理分配，使患者在医院停留的时间最短，因为服务时间一定，故只要求等待时间最短。
医院满意度方面：达到医院现有资源的充分利用，即效益最大，以服务更多的患者为宗旨，即要求患者的等待队长尽可能小。资源的利用率和服务强度尽可能高。
因此，该模型的评价指标体系是等待队长，等待时间，病床使用率，服务强度。 问题二
1．模型分析与建立
从所要解决的问题和对问题所做的假设出发，在前面的数据处理中我们确定了患者的到达率服从泊松分布，有K 个服务台，患者源的数量是无限的。因为患者到达的速率为i λ，每个服务台的服务速率为i μ，则整个系统的最大速率为K μ服务强度i i i K
λρμ=
，
显然，要使系统稳定运行，必须有1ρ<。该模型的特点在于整个系统的服务速率与系统中患者到达特点有关。如果系统中只有一个患者，则系统的服务率等于i μ，因为其他的服务台处于闲置状态，如果体统中有2个患者，则系统的服务速率等于2i μ，依次类推，如果系统中的患者有K 个，则系统的最大服务速率为i K μ，所有的服务台均投入服务；而当系统中的患者数目超过K 个时，多余的患者只能进入派对系统等待服务，此时系统的服务速率为i K μ。该模型的状态转移图如下：
（排队服务系统状态转移图） 通过状态转移图可得如下方程：
10i i p p μλ= （1）
11(1)()i n i n i i n n p p n p μλλμ+-++=+ (1)n K ≤≤ （2） 11()()i n i n i i n Ku p p K p n K λλμ+-+=+> （3）
而 0121K n p p p p p +++++++= 联立可解得：
1
100111()()(
)!!1K n K i i n i
i p n K λλμμρ--=??
=+??-??
∑ （4）
001()(1)!1()()!n
i i
n n i n K
i p n K n p p n K K K
λμλμ-?≤≤??=??>?? （5）
5
02
1
()!(1)
K
i i K i i
i p L q K λρμρ==
-∑
（6）
5
5
1
1
()i i i i i i
L L q λμ===
+
∑
∑
（7）
设排队队长为()L q ，当系统有n 个患者到达时，若n K >，则必有n K -个患者在排
队。这样的话，能求出每种病的等待时长，服务时长及停留的时间。而当n K <时，服
务台空闲个数为K n -，既有K n -个空病床，然后可以安排其他的患者入院。
从而建立如下的////M M K ∞∞模型：
1()max :m
j j N t m t θ=??
=≤????
∑ （8）
()max{:}m M t m e t =≤ （9） ()()()X t N t M t =-
（10）
()max{()1,0}L t X t =- （11） 1,()0()0,()0
i X t t X t ?>?=?
=? （12）
2．模型的模拟求解
2.1 病人流的模拟
由于已认定病人达到流服从泊松分布，在模拟的时候可以通过随机数生成函数来产生模拟病人的到达，基本算法如下：
步骤一：在泊松分布中，求出 X 取何值时，P(X=k)取最大值，设最大值为m ax
X
P ，
这相当于求解()!
k
f x k λ
=
在k 取何值时有最大值，可以通过一个循环来得到()f x 取最大
值时的整数自变量m ax X 。
步骤二：通过迭代，不断生成0-1区间上的随机数。当随机数小于m ax
X
P 时，则终止
迭代，否则重复步骤二。
步骤三：记录迭代过程的次数，即为所需要得到的符合泊松分布的随机量。 2.2 服务台的模拟
服务台可由随机数生成函数来模拟，其算法为： 令X 满足均匀分布的随机变量
ln(1)
x y λ
-=-
，0x ≥
Y 的概率是
ln(1)
()()(1)y
x P Y y P y P x e
λλλ
--<=-
<=<-，0x ≥
因为 x 是服从均匀分布的，所以它的概率分布函数是
()()()F x x a b a =--
当x 的范围在0-1之间的时候，概率分布函数即是X ，因此上式的结果是1y e λλ--，即为负指数分布。由此满足负指数分布的随机变量可以用ln(1)
x λ
--
得出。
（具体的计算机编程见附录1） 方案的给出
通过数据的统计和计算机的模拟可以给出病人出院后床位的空闲安置情况按照下面的原则：服务时间最短的优先考虑，即先安排白内障单眼患者入住，其次安排服务时间短（即住院时间短）的病人入住。该模型对于医院而言，极大地提高了医院病床的周转率，使得医院的效益达到最大。而对于患而言，医院的病床周转率提高了，服务的人多了，等待的队列就减短了，能满足大部分的患者满意，当然这样就牺牲了部分需要服务时间长的患者的利益。 问题三
根据题目所给的数据整理和统计，结合问题二的模型得出如下表表示的结果。
平均等待时间
在床等待时间 平均服务时间
白内障
11.24051 3.949367 5.236111111 白内障(双眼)
11.38462 2.778846 8.56097561 青光眼 11.35417 2.083333 10.48717949 视网膜疾病
9.984962
1.481203
12.54455446 外伤
1 1 7.036363636
由上表可以大致确定每种患者入院前的平均等待时间，具体如下表：
根据每种病在入院前的平均等待时间，只要确定了是那类患者，便可以估计其入院时间。白内障，青光眼患者大概在门诊后11天入院，视网膜疾病患者大概在门诊后10天入院，而外伤患者在门诊后的第二天就可以入院。
问题四
周六、周日不安排手术，故按照原有的方案，白内障病人手术在周一、周三进行，而其它的手术只能在周二、周四、周五进行，这样，以“1”表示白内障手术时间，“0”表示其它手术时间，“—”表示不进行手术，得下表：
从该表可以看出若在周六、周日不进行手术，则其它手术只能在周二、周四、周五进行，这样，本在周六、周日进行的手术只能在周二、周四、周五进行，这样，使得患者等待期间增加病床利用率较低。而从题目中给出的数据可以统计出周一到周五的各类患者的人数情况如下表：（具体数据见附录2）
现考虑白内障手术安排相隔时间一定，采取将白内障手术时间顺延的方法，得到如下两种方案，如图所示：
对于方案一，可以看出白内障病人在周二、周四进行，其它手术安排在周一、周三、周五，这样，周六、周日累积下来的病人要求在周一内做完，这样对医院、医生的负荷太大，否则要等到周三、周五来做，使患者的等待时间延长。而对于方案二，白内
障病人安排在周三、周五，其它病人安排在一、三、四三天进行。这样，周六、周日的病人可在周一、周二内做，较方案一而言，方案二的患者的等待时间较短，故医院应采用方案二。
问题五 1．分析：
通过数据的整理统计，病床在7月13号到9月11号安排的每类患者人数的 如下统计表：
根据上表做直方图如下（图中横坐标1，2，3，4，5分别代表上表中5种病）：
12
345
50100150
服务人数
12345
服务平均时间
1
2
3
4
5
500100015002000服务总时间
由直方图可以直观的看出每种病在医院接受服务的人数，服务的平均时间和服务的总时间的分布情况。
根据每类病人占用时间的比例，以及题目中所给的医院的目前现有的床位数，建立规划模型。设白内障（单眼），白内障（双眼），青光眼，视网膜疾病及外伤分配的床位数分别为12345,,,,x x x x x 。床位的服务效率分别为12345,,,,a a a a a 。
2.模型的建立 建立模型如下：
1122334455
max()z a x a x a x a x a x =++++
.s t 1234579x x x x x ++++≤
12345::::413.17:881.68:534.99:1642.72:443.52x x x x x = 12345,,,,0x x x x x ≥且为整数 模型的求解：
利lingo 软件求解得：
18,x =218x =，311x =，433x =，59
x =
故从便于管理的角度出发，将病床采取病人占用病床的比例可将医院现有病床按照各类病人的情况分为：白内障单眼8张，白内障双眼18张，青光眼11张，视网膜疾病33张，外伤9张。
六 模型的改进与评价
对医院的排队系统而言，要使医院在经济上获得最大效益，可以等价的转化为用时
间费用来衡量经济效益，将等待时间转化为等待费用。根据统计的资料估计，由于队列过长导致等待费用增加。因而该问题费用函数期望取最小的问题属于非线性规划问题。对于眼科这种类型的离散型随机变量，也可以用边际分析法进行求解。
该模型综合考虑了医院的满意度和患者的满意度，从双方互利的目的出发给出了病床的合理安排方案；还可以利用计算机模拟的方法由患者的就诊时间预测住院时间和出院时间。
该模型的不足在于：
1.没能用量化的方法准确给出指标体系；
2.忽略了一些偶然因素，导致结果与实际情况有一定的偏差； 但都不影响模型的实用性。
七 参考文献
【1】 郑阿奇，MA TLAB 实用教程，北京：电子工业出版社，2004。
【2】 李大潜，中国大学生数学建模竞赛，北京：高等教育出版社，1998。 【3】 卢向南，应用运筹学，杭州：浙江大学出版社，2005。 【4】 陈杰，MA TLAB 宝典，北京：电子工业出版社，2007。
【5】 吴建国，数学建模案例精编，北京：中国水利水电出版社，2005。 【6】 叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南：湖南教育出版社，2000。
附录1（算法模拟）
第一周期病床使用情况：
x =
117
L =
38
程序：
r=input('r=');
x=[13 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0];
tt=size(x,2);
y=[];
for i=1:1:tt
if i==1
y(i)=x(i);
else y(i)=x(i-1)+x(i);
end
if y(i)>r
break;
end
end
N=i-1;
d=[18 16 15 15 15 18 17 19 20 20 19 20 19 18 18 16 16 18 19 18 18 17 17 21 23 22 21 20 19 19];
e=[];
for i=1:1:tt
e(i)=y(i)+d(i);
if e(i)>r
break;
end
end
M=i-1;
X1=N-M;
x=[13 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 2 0 2 0];
tt=size(x,2);
y=[];
for i=1:1:tt
if i==1
y(i)=x(i);
else y(i)=x(i-1)+x(i);
end
if y(i)>r
break;
end
end
N=i-1;
d=[20 18 19 19 18 25 24 24 22 22 23 22 24 22 23 22 21 22 21 20 19 19 19 19 26 25 23 21 22];
e=[];
for i=1:1:tt
e(i)=y(i)+d(i);
if e(i)>r
break;
end
end
M=i-1;
X2=N-M;
x=[13 1 1 0 1 1 1 1 0 3 1 0 1 2 0];
tt=size(x,2);
y=[];
for i=1:1:tt
if i==1
y(i)=x(i);
else y(i)=x(i-1)+x(i);
end
if y(i)>r
break;
end
end
N=i-1;
d=[23 21 21 22 22 21 21 23 28 25 24 24 24 23 22];
e=[];
for i=1:1:tt
e(i)=y(i)+d(i);
if e(i)>r
break;
end
end
M=i-1;
X3=N-M;
x=[13 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0];
tt=size(x,2);
y=[];
for i=1:1:tt
if i==1
y(i)=x(i);
else y(i)=x(i-1)+x(i);
end
if y(i)>r
break;
end
end
N=i-1;
d=[26 22 29 23 25 26 23 28 25 26 25 26 24 22 24 21 24 26 26 20 23 24 25 27 26 26 28 25 27 31 26 29 26 24 28 26];
e=[];
for i=1:1:tt
e(i)=y(i)+d(i);
if e(i)>r
break;
end
end
M=i-1;
X4=N-M;
x=[13 3 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0];
tt=size(x,2);
y=[];
for i=1:1:tt
if i==1
y(i)=x(i);
else y(i)=x(i-1)+x(i);
end
if y(i)>r
break;
end
end
N=i-1;
d=[6 6 11 8 7 6 9 8 8 6 6 9 7];
e=[];
for i=1:1:tt
e(i)=y(i)+d(i);
if e(i)>r
break;
end
end
M=i-1;
X5=N-M;
x=X1+X2+X3+X4+X5
L=max(X-79,0)
输入 r=20,
第二周期病床使用情况：
x =
100
L =
21
程序：
r=input('r=');
x=[1 0 2 1 0 3 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2];
tt=size(x,2);
y=[];
for i=1:1:tt
if i==1
y(i)=x(i);
else y(i)=x(i-1)+x(i);
end
if y(i)>r
break;
end
end
N=i-1;
d=[18 17 16 16 14 20 18 17 16 15 15 14 14 17 20 21 20 21 19];
e=[];
for i=1:1:tt
e(i)=y(i)+d(i);
if e(i)>r
break;
end
end
M=i-1;
X1=N-M;
x=[27 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1];
tt=size(x,2);
y=[];
for i=1:1:tt
if i==1
y(i)=x(i);
else y(i)=x(i-1)+x(i);
end
if y(i)>r
break;
end
end
N=i-1;
d=[19 20 19 18 17 15 21 22 23 22 21 20 20 20 20 19 19 17 18 24 24 24 23 24 23 23 22 20];
e=[];
for i=1:1:tt
e(i)=y(i)+d(i);
if e(i)>r
break;
end
end
M=i-1;
X2=N-M;
x=[27 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 2 0 2 2 1];
tt=size(x,2);
y=[];
for i=1:1:tt
if i==1
y(i)=x(i);
else y(i)=x(i-1)+x(i);
end
if y(i)>r
break;
end
end
N=i-1;
d=[23 23 22 23 22 24 24 18 16 19 23 22 20 21 20 29 26];
e=[];
for i=1:1:tt
e(i)=y(i)+d(i);
if e(i)>r
break;
end
end
M=i-1;
X3=N-M;
x=[27 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0];
tt=size(x,2);
y=[];
for i=1:1:tt
if i==1
y(i)=x(i);
else y(i)=x(i-1)+x(i);
end
if y(i)>r
break;
end
end
N=i-1;
d=[26 27 28 28 27 27 23 26 21 24 28 25 27 28 22 21 27 23 25 26 23 23 26 27 25 23 24 19 26 23 26 26 26 29 22 24 25 30 29 22 21 28 26];
e=[];
for i=1:1:tt
e(i)=y(i)+d(i);
if e(i)>r
break;
end
end
M=i-1;
X4=N-M;
x=[27 0 1 0 2 0 1 0 1 0 0 3 2 1 0 1];
tt=size(x,2);
y=[];
for i=1:1:tt
if i==1
y(i)=x(i);
else y(i)=x(i-1)+x(i);
end
if y(i)>r
break;
end
end
N=i-1;
d=[6 9 9 8 12 7 7 9 9 8 7 9 9 9 5 6];
e=[];
for i=1:1:tt
e(i)=y(i)+d(i);
if e(i)>r
break;
end
end
M=i-1;
X5=N-M;
x=X1+X2+X3+X4+X5
L=max(x-79,0)
输入 r=31
附录2门诊汇总
2008-7-28 星期一 1 1 4 5 2 2008-8-18 星期一 1 4 4 1 1 2 2008-9-1 星期一 1 1 3 1 5 1 2008-7-14 星期一 1 1 3 1 4
2008-7-21 星期一 1 2 5 2 2008-8-25 星期一 1 3 2 1 2 1 2008-9-8 星期一 1 4 1 3 1 2008-8-4 星期一 1 1 3 1 1 2008-8-11 星期一 1 1 1 4
1 汇总16 23 9 25 10 2008-8-19 星期二
2 2 4 1 7
2008-7-15 星期二 2 3 2 2 3
2008-8-12 星期二 2 3 3 1
2008-8-26 星期二 2 2 1 2 2 2008-9-9 星期二 2 2 2 1 2 2008-7-22 星期二 2 3 1 1 1 2008-9-2 星期二 2 3 1 1 1 2008-7-29 星期二 2 1 1 2 1
2008-8-5 星期二 2 2 1 2
2 汇总21 12 9 19 6 2008-7-2
3 星期三 3 5 2 2 5 2 2008-8-6 星期三 3
4
5 4 1 2008-8-13 星期三 3 1 5 1 6
2008-8-20 星期三 3 2 1 4 2 2008-9-3 星期三 3 2 1 5 1 2008-9-10 星期三 3 4 3 1 1
2008-8-27 星期三 3 1 1 3 3 2008-7-16 星期三 3 1 2 1 2 1 2008-7-30 星期三 3 2 1 1 2
3 汇总22 21 5 31 12 2008-8-7 星期四
4 4 4 1 4 2 2008-9-4 星期四 4 1 3 4
5 2
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
一、问题重述 1、利用优化设计相关理论计算法，对某设计问题做优化设计。要求如下： ①列出优化数学模型; ②选择所用优化算法； ③画出程序框图； ④程序编写； ⑤程序调试运算结果。 现根据以上条件，结合生活实际，准备以铁板为材料设计一鱼缸，为了能使鱼儿有更大的生存空间，要求鱼缸容积最大。 现有边长为5米长的方形铁板，预备在四个角减去四个相等的方形面积，用以制成方形鱼缸，如何减能使鱼缸的容积最大。 二、问题分析 2.1、对于此问题，我采用的数学模型包括三部分，即设计变量、目标函数和约束条件。 模型如下： 其中，设裁去铁块的边长为：x(0 四、程序编写及函数图像 4.1求极值所用程序如下： function q=line_s(a,b) N=10000;r=0.01; a=0;b=1.5; for k=1:N; v=a+0.382*(b-a); u=a+0.618*(b-a); fv=-25*v+20*v^2-4*v^3; fu=-25*u+20*u^2-4*u^3; if fv>fu if b-v<=r u fu break; else a=v;v=u; u=a+0.618*(b-a); end else if u-a<=r v -fv break; else b=u;u=v; v=a+0.382*(b-a); end k=k+1 end end 4.2 函数曲线图程序如下: 如下曲线所得y值为负，前面（1*）已作解释。 x=0:0.1:2.5; y=-25*x+20*x.^2-4*x.^3; plot(x,y); 五、程序调试运行结果 5.1 如图所示： 当k执行5或7或10或12次时，均有x=0.8329时，有最大y=9.2593（函数中已做处理，变负为正，可以对照曲线图）。 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：0837 所属学校（请填写完整的全名）：哈尔滨工程大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 王蛟 2. 张艺馨 3. 朱庆飞 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：2009年09月14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：0837 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 眼科病床的合理安排 摘要 本文主要讨论某医院眼科病床的合理安排问题，建立一个眼科病床的合理安排模型解决了FCFS(先到先服务)规则引起等待入院队伍越来越长的问题。为了得到一个简单又高效的模型，我们首先制定了合理的模型评价指标——床位效率指数、患者等候时间和入院优先级，并用该评价指标对所建模型进行评价。 模型一提出了一种新的安排患者入住的优先级原则，根据病人优先级的高低确定应该安排哪些病人住院。当确定模型启动点后,依据病人的病情的轻重、疾病占总人数的比例高低、在队列中等待时间的长短以及医院不同疾病的手术安排时间设置的不同的权重系数。设置权重时我们采用层次分析法，对判断矩阵进行一致性检验后，将特征向量进行归一化处理，得到优先级表达式的权重系数。 模型二从方便管理的角度，应用排队论理论求得每类疾病的平均逗留时间，然后利用目标规划方法建立眼科病床比例分配模型，该模型以病人在系统内的平均逗留时间最小为目标函数，最后用Lingo软件计算后得到病床的最优比例为7：36：16：8：12（从左至右依次对应外伤、视网膜疾病、白内障（双眼）、白内障（单眼）和青光眼）。 本文的特点在于充分考虑到导致等待队伍越来越长的因素，根据合理的分析以及权系数来设定入院的优先级，建立了一个合理的眼科病床安排模型，具有床位效率指数高，等候时间相对较短的特点。 关键词：眼科疾病、病床安排、评价指标体系、层次分析法、排队论、数学规划模型、优先级 1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。 . . 资产最优组合 摘要 本文在充分分析数据的基础上，运用了模糊评价评估产品近期表现的优劣性，利用线性规划模型对多种金融产品进行组合，得到最优解，最后对模型进行评价。 问题一：基于模糊评价模型。本文使用累计收益率、本月平均涨幅、β系数（风险指标）3个指标，建立评估模型，来评估金融产品近期的优劣性表现。首先用层次分析法给出各项评估指标的权重并进行对指标一致性检验，再用熵权法对权重值进行修正；然后建立评估模型，利用模糊评价法得出景顺长城需增长、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币、工银货币、华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、*ST 中华A （ST 型）、国债⑺、万业债的模糊评估指标分别为 [] 0.00971 0.00484 0.00072 0.00090 0.34040 0.45785 0.17205 0.00332 0.01022通过以上数据比较可知，股票的表现明显优于债券和基金。 问题二：首先构建线性规划模型，通过收益最大目标函数和约束条件，求解出最优产品组合。其次求解收益对应的β系数，绘出收益和风险的折线图。根据图示，找到风险变化一单位得到最大收益处的值，得到最优解：选择华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、国债⑺、万业债、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币的投资量为：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636 问题三：本文在对选取的指标运用层次分析法赋予权重后，用熵权法对权值进行修正，使权值更为准确。同时，利用综合评价得出产品的近期优劣性表现。但是，本文β系数求解考虑较为单一，β系数的计算公式可以根据产品公司进行修改。 本文运用EXCEL 统计了大量数据，利用SPSS 软件进行数据分析，使用MATLAB 进行模型求解，使得模型更具合理性，可行性和科学性。 关键词：层次分析，一致性检验，熵值取权，模糊评价， 线性规划 数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合 适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要： 关于医院眼科病床的合理安排问题 摘要： 本文通过对近几个月医院病人信息的研究，综合分析影响医院病床安排的因素，建立适合的模型，最大程度提高对医院资源的有效合理利用，减少患者等待时间，尽快就医。 到医院就诊排队是一种司空见惯的现象，由于患者到达和医疗服务时间的随机性，患者来源数量在理论上是无限的，而医疗资源是有限的，如何在有限资源配置下，利用上述排队模型理论和计算机模拟，结合患者的服务记录获得的相关数据，对其做出定性、定量的数量指标，进而进行预测、分析和评价，通过优化设计，实施动态管理，根据医院的实力，完善设施和配备，合理增加医护人员的数量，提高医生的诊疗技术水平，有效缩短平均诊疗时间及其波动程度，提高效率，缩短等候时间，统一诊疗程序，为患者排忧解难。显然，应用排队论，一方面可以有效地解决医院服务系统中人员和设备的配置问题,为医院管理提供可靠的决策依据；另一方面通过系统优化,找出患者与医院两者之间的平衡点，既减少患者排队等待时间，又不浪费医院人力物力，从而获取最大的社会效益和经济效益。 我们面临的主要问题是医院病人排队的序列越来越长，而在不考虑医院的硬件条件，即手术条件充分的情况下，唯有提高医院资源的利用率，才能最大化的解决队列长的问题，而这其中，病床利用率是一想重要的指标。 床位工作效率是衡量医院卫生资源利用的指标，即要看床位的使用率，又要看床位周转次数，以避免高使用率，低周转次数的资源浪费；或是高周转，低使用率的另一种资源浪费（床位使用不充分）。 关键词： 排队论; 随机模型；医院病床合理安排；权重平均数；MATLAB 目录 1.问题重复与分析 2.模型假设 3 符号约定 4 模型建立与求解 4.1问题一的分析与求解 4.2模型一分析与求解 4.3问题三的分析与求解 4.4题四的分析与求解 4.5 模型二分析与求解 5 参考文献 薅§16.3建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 螁[学习目标] 蚀1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 蒆2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 羆3.能表述数学建模的分类； 蒃4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 葿5.培养建模的想象力和洞察力。 薆一、建立数学模型的方法和步骤 膃—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(SystemIdentification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 袁可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 膈建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 薆§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 薄图16-5建模步骤示意图 蚃模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 芁模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样． 工业中截断切割的优化设计 一摘要 本文讨论了加工业中截断切割的优化排序策略我们对于不同的切割 方式总数用穷举法得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策 并对所给出的算法进行了分析和检验 1.当e=0时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排 序准则的算法,同时证明 了e = 0 的情况下根据这种最优准则能够实现题目所要求的优化目标 2.对于e 1 0 时我们提出了实用准则 最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品) 在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用 和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域 二问题的重述、 在工业生产中，常需要采取将物理一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工费用取决于水平切割和垂直切割的截面面积，以及调整刀具时的额外费用。对本题所给出的问题我们首先面临的对加工次序的排序策略然后我们考虑当毛坯和产品位置不预定的时候如何采取策略以达到我们的优化目的 问题： 1> 需考虑的不同切割方式的总数。 2> 给出上述问题的数学模型和求解方法。 3> 试对某部门用的如下准则做出评价，每次选择一个加工费用最少的切割面进行切割。 4> 对于e=0 的情况有无简明的优化准则。 5> 用以下实例验证你的方法： 待加工长方体和成品长方体的长，宽，高分别为10，14.5,19 和3,2,4,两者左侧面，正面，底面之间的距离分别为6,7,5(单位为厘米，垂直切割费用为每平方厘米1 元，r 和e 的数据有 4 组： 1) r=1,e=0; 2) r=1.5,e=0; 3) r=8,e=0; 4) r=1.5, 2 ￡ e ￡15 ; 三模型的假设和符号说明 1 切割刀具为两个一个水平放置一个为垂直放置 2 目标长方体所在位置不与毛坯任一表面重合 3 水平方向只需平行移动水平刀具垂直方向只平行移动或调整后再平行 移动刀具因此调整费用e 是否付出仅取决于先后两次垂直切割是否平行而 不记是否穿插着水平切割 4毛坯与工作台接触的底面是事先指定的 眼科病床的合理安排 摘要 医院作为卫生体系的重要组成部分和医疗卫生服务的主要组织机构，要适应新时期卫生工作的要求，就必须加强全面质量管理。 首先，本文对影响病床安排的影响因素进行了一个全面客观地分析，肯定了目前安排的优劣。 针对问题一，通过对影响因素在病床安排中所占的比重以及专家的测定分别确定了病床平均有效利用率、病床的平均周转率和眼科病人的满意度的权重系数，进而建立起一个眼科病床的合理安排的评价指标。 针对问题二，选取问题中所给的部分数据建立了一个线性规划和0-1规划模型，以眼科病人入院到第一次手术的等待时间最小作为目标函数，通过此模型来解决根据第二天的拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些眼科病人住院，在此基础上利用已经确定的评价指标证明了此模型优于该医院目前的安排病床模型； 针对问题三，考虑到每种类型的眼科病人在医院的观察时间和医院所规定的手术时间，可以将每种类型的眼科病人分开进行讨论，利用正态分布的平均值和标准差分别确定当时医院条件下每种类型眼科病人门诊后的大致入院区间。 针对问题四，可以在问题二中所建的0-1规划模型的基础之上，对约束条件的部分系数进行重新的确定。根据求解的目标函数值的比较得出医院的手术安排时间需要相应的调整。 针对问题五，一定时期内，每种类型眼科病所有病人的病床使用总时长可直接反映这种病人对病床的需求程度，因此就可将每种疾病所有病人的病床使用总时长之间的比列来作为疾病的病床分配比列。 关键词: 病床合理安排权重系数评价指标0-1规划正态分布 一、问题重述 1.1 问题背景 1.2 目标任务 二、模型的假设 1、医院的每个医生都可以做任何一种眼科病的手术； 2、入院当天即为观察的第一天； 3、每天的病床全部用完（即79张病床全部用完）； 4、不考虑当天同一个病床的出院病人和入院病人之间的时间间隔； 5、假设每一次的手术都成功； 6、设病人一旦安排好入院时间，此病人就一定会入住。 三、符号说明 A ：病床合理安排评价指标； 1B ：床位的平均有效利用率； 2B ：病床的平均周转率； 3B ：病人平均满意度； )5,...1(=i X i ：第i 类眼科病人的平均恢复力（从第一次手术到出院的时间），5,,1?=i 分 别表示白内障，白内障（双眼），青光眼，视网膜疾病，外伤； )10,,1,5,,1(?=?=j i Y ij ：第i 类病人的第j 种恢复力； )10,,1,5,,1(?=?=j i Z ij ：第i 类病人的第j 种恢复力相同的总人数； )7,,1(?=i F i ：从门诊到入院的第i 种等待时间； )7,,1(i ?=i G ：从门诊到入院的第i 种等待时间的总人数； )7,,1,5,,1(?=?=j i C ij ：第i 类病人从入院到2x 手术的第j 种等待时间； 案例16 停车场的优化设计 随着城市车辆的增加，停车位的需求量也越来越大，停车困难已逐渐成为市民们头疼的问题。要解决停车难问题，除了尽可能的增加停车场以外，对停车场进行优化设计也能在一定程度上缓解这一供需矛盾。停车场的优化设计就是在停车场大小确定的情况下，对停车区域进行优化设计，以便容纳更多的车辆。本文的目的就是希望分析一下这一情况，找出缓解停车困难的有效办法。 假设某公共场所附近有一块空地，如果不考虑建设地下或多层结构，我们该如何有效的设计停车位置呢？一般来说，想尽可能的把车塞进停车场，最好的办法就是以垂直停靠的方式将车一辆挤一辆地排成行，但是这样停放的后果就是车辆不能自由出入，只有后进入的车辆全部先出去了，先进入的车才可以离开停车场，显然不符合实际的需求。因而，为了使汽车能够自由地出入停车场，必须设立一定数量具有足够宽度的通道，并且每个通道都应该有足够大的“转弯半径”， 而通道越宽越多，就会使得容纳的车辆数越少。所以我们的问题就是要确定在满足车辆能够自由进出的实际需求下，如何进行停车位置和车行通道的设计，才能够停放更多的车辆，从而做到既方便停车又能获得最大的经济效益。 我们先来看看生活中非货运车辆大小的种类。根据实际调查和经验数据，这类车辆一般可分为小轿车，中型客车和大型客车三类。其中小轿车约占九成，大型客车约占一成，而中型客车一般不多于1%。根据这样的情况，我们可以免去对中型客车的车位设计，即便有中型客车停车的需要，可以使用大型车的车位，这也符合现实生活中绝大多数停车场的车位设计情况。我们设小轿车所占的比例为0.9α=,大型客车所占的比例为10.1α-=，当然现实中也有不少全为小轿车设计的停车场，例如小区的地下车库。 再来看看车位的大小。根据实际的调查，城市内比较普通的小轿车长度一般不超过4.7米，宽度一般不超过1.7米，而一般大型客车长度不超过12米，宽度不超过2.2米。另外，经实际考察可知，停车场中标志线的宽度大约为0.1米，所以我们可以假设停车场中停放轿车需要的车位长5L C =米，宽 2.5W C =米，这其中包括了0.1米的标志线宽度和至少0.3米的汽车间的横向间距。设停放大客车需要长12.5L B =米，宽3W B =米，其中包括0.1米的标志线宽度和必要的汽 第9章 多目标函数的优化设计方法 Chapter 9 Multi-object Optimal Design 在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。 9.1 多目标最优化模型 9.1.1 问题举例 例9-1 生产计划问题 某工厂生产n （2≥n ）种产品：1号品、2号品、...、n 号品。 已知：该厂生产)...,,2,1(n i i =号品的生产能力是i a 吨/小时； 生产一吨)...,,2,1(n i i =号品可获利润i α元； 根据市场预测，下月i 号品的最大销售量为)...,,2(n i b i =吨； 工厂下月的开工能力为T 小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。 问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少； 工厂获得最大利润； 满足市场对1号品尽可能多地要求。 为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i 号品的时间为)...,,1(n i x i =小时。 9.1.2 基本概念 如图9.1所示，两个目标函数f 1,f 2中的若干个设计中，3，4称为非劣解，若 )(min{)(*x f x f j j ≤ S.t ．0)(≤x g u u=1,2,………….m 成立，则称* x 为非劣解。若不存在一个方向，同时满足： 0)(*≤*?s x f (目标函数值下降0)(*≤*?s x g (不破坏约束) 图9.1 则称* x 为约束多目标优化设计问题的K-T 非劣解。这样，多目标优化设计问题的求解过程为：先求出满足K-T 条件的非劣解，再从众多的非劣解确定一个选好解。 多目标优化的数学模型： T r x f x f x f X F V )](),........(),([)(m in 21=-- 最优化问题的数学模型及其分类 例1.1.1 产品组合问题 某公司现有三条生产线用来生产两种新产品，其主要数据如表1-1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？ 表1-1 设每周生产的产品一和产品二 的产量分别为1x 和2x ，则每周的生产利润为：2153x x z +=。由于每周的产品生产受到三条生产线的可用时间的限制，因此1x ，2x 应满足以下条件： ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 故上述问题的数学模型为 2153max x x z += . .t s ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 其中max 是最大化（maximize ）的英文简称，??t s 是受约束于（subject to ）的简写。 例1.1.2 把一个半径为１的实心金属球熔化后，铸成一个 实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则该问题的数学模型为： ??? ??=? ?+=ππππ3 422min 22 h r t s r rh S 其中min 是最小化（minimize ）的简写。 通过以上二例，可以看出最优化问题的数学模型具有如下结构： （１） 决策变量（decision variable ）：即所考虑问题 可归结为优选若干个被称为参数或变量的量 n x x x ,,,21 ，它们都取实数值，它们的一组值构 成了一个方案。 （２） 约束条件（constraint condition ）：即对决策 变量n x x x ,,,21 所加的限制条件，通常用不等式或等式表示为： ()(),,,2,1, 0,,,,,2,1, 0,,,2121l j x x x h m i x x x g n j n i ===≥ （３） 目标函数（objective function ）和目标：如使 利润达到最大或使面积达到最小，通常刻划为极大化（maximize ）或极小化（minimize ）一个实值函数()n x x x f ,,21 因此，最优化问题可理解为确定一组决策变量在满足约束条件下，寻求目标函数的最优。 注意到极大化目标函数()n x x x f ,,21相当于极小化 ()n x x x f ,,21-，因此，约束最优化问题的数学模型一般可 表示为： () ()()()?? ? ??===≥??l j x x x h m i x x x g t s x x x f n j n i n ,,2,1,0,,,1.1.1,,2,1,0,,,,,min 212121 若记()T n x x x x ,,21=，则（1.1.1）又可写成： 建立数学模型的一般方法 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义. 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样． 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种 第2章 优化设计的数学模型及基本要素 Chapter 2 Mathematical Modeling for Optimization 2-1 数学模型的建立 (mathematical modeling) 建立数学模型，就是把实际问题按照一定的格式转换成数学表达式的过程。数学模型建立的合适、正确与否，直接影响到优化设计的最终结果。 建立数学模型，通常是根据设计要求，应用相关基础和专业知识，建立若干个相应的数学表达式。如机械结构的优化设计，主要是根据力学、机械设计基础等专业基础知识及机械设备等专业知识来建立数学模型的。 当然，要建立能够反映客观实际的、比较准确的数学模型并非容易之事。数学模型建的过于复杂，涉及的因素太多，数学求解时可能会遇到困难；而建的太简单，又不接近实际情况，解出来也无多大意义。因此，建立数学模型的原则：抓主要矛盾，尽量使问题合理简化。Principle ：The problem is simplified as much as possible. 由于设计对象千变万化，即使对同一个问题，由于看问题的角度不同，数学模型建的可能也不一样。建立数学模型不可能遵循一个不变的规则，本课也不准备把大量的时间花在数学模型的建立上。仅想以几个例子来演示一下数学模型的建立过程，使学生从中得到一些启发。 Exp. 2-1 例2-1 用宽度为cm 24，长度cm 100的薄 铁皮做成cm 100长的梯形槽，确定折边的尺寸 x 和折角θ（如图 2-1所示） ，使槽的容积最大。 解: 由于槽的长度就是板的长度，槽的梯形 截面积最大就意味着其容积最大。因此，该问题 就由，求体积最大变成求截面积最大。槽的梯形 截面积为： 图 2-1 ?= 2 1S 高 ?（上底边+下底边） 其中，上底边=x 224-；下底边=θcos 2224x x +-；高=θsin x 定义：该优化设计问题的目标函数是槽的梯形截面积S ，设计变量为θ,x 。问题可以简单地归结为：选择适当的设计变量θ,x ，在一定的限制条件下，使目标函数S 达到最大，限制条件为: 120,20<<< 第六章 最优化数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类 1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划 §4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题 第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。 （3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设 C题面试时间问题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队(即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的)。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示(单位：分钟)： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司．假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司? 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于 n 位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 (1) （一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析 问题的约束条件主要有两个：一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试(同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束)，二是每个阶段同一时间只能有一位面试者(不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行 )。 对于任意两名求职者P、Q，不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1.我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2.面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3.参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4.假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5.面试者及各考官都能在8：00准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2，3，4；j=1,2,3)为求职者i在j阶段参加面试所需的时间甲乙丙丁分别对应序号i=1，2,3，4 2. xij （i=1,2，3，4；j=1,2,3) 表示第i名同学参加j阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00记为面试的0时刻） (2) 眼科病床的合理安排 摘要 本文通过研究某医院眼科病床的合理安排问题，建立了合理的评价指标体系指导医院眼科病床的安排，旨在改善该医院眼科病人等待入院的队列越来越长的问题，使得医院和病人的利益达到“双赢”。 针对问题一，由于附表所给数据存在缺失，本文采用均值填补法对缺失数据进行填补。由于不同类型病人的入住时间对医院床位的影响程度不同，在确定评价指标体系时，将病人分为急症型(外伤)、白内障型(双眼)、白内障型(单眼)、视网膜型疾病及青光眼型五类。利用YAAHP层次分析软件建立层次结构模型结合每类病人的最短和最长住院时间确定四个等级，即优、良、中、差作为该医院眼科病床的合理评价指标体系，并得出医院采用FCFS规则不合理的结论。 针对问题二，由于医院的病床空余数量受各类病人的手术难度、术前准备时间、术后恢复及观察时间等因素的影响，因此以白内障型病人的手术时间为分段标准，将一个星期的时间分为三段，一方面保证医院当天安排的各类入院病人的比例与各类来诊病人的比例满足正相关的关系，另一方面通过合理分配不同类病人入院人数控制医院床位的流动速度，从而减轻医院的病床不足的压力，以此建立双目标线性规划模型，并通过MATLAB解得了三个阶段的最优结果。 针对问题三，首先将病人按类型分类，根据问题二中的求解结果，结合等待入院病人的统计情况确定各类病人所需的平均最短及最长时间，确定各类病人的大致入住时间区间。 针对问题四，以问题二的算法为基础，通过MATLAB编程计算出在目前该医院手术安排时间下，医院每天安排的不同类病人数的平均入院到出院时间，并通过问题一中的评价指标体系进行评价，评价结果处于优等，得出医院不需要对手术时间再进行调整的结论。 针对问题五，要使得平均逗留时间最短，那么各类病人的术前准备时间相应的也要最短。根据题意可知白内障病人及外伤病人的术前准备时间为1天，青光眼、视网膜疾病病人的术前准备时间为2天，并且平均逗留时间等于等待入院时间与住院时间之和。以平均逗留时间为目标函数，建立了线性规划模型，并利用LINGO软件求出五类病人的病床分配比例为外伤：白内障(单眼)：白内障(双眼)：青光眼：视网膜疾病=11：14：19：9：26。 本文利用多种软件进行数据处理，尽最大可能的挖掘了隐含信息的规律。最后对模型进行了优化，通过SPSS线性回归拟合对缺失数据进行回归填补，并对回归方程利用ANOVA变异数分析进行了显著性差异的F检验。 关键词：层次分析法；多目标规划；线性规划；均值填补；回归填补眼科病床的合理安排分析
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试卷试题 眼科病床的合理安排数学建模竞赛试题
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