一、线线平行的证明方法：
1、利用平行四边形。
2、利用三角形或梯形的中位线。
3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
（线面平行的性质定理）
4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）
5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理）
6、平行于同一条直线的两条直线平行。
7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。（需证明）
二、线面平行的证明方法：
1、定义法：直线与平面没有公共点。
2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平
行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）
3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。
三、面面平行的证明方法：
1、定义法：两平面没有公共点。
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）
3、平行于同一平面的两个平面平行。
4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。
5、垂直于同一直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法：
1、勾股定理。
2、等腰三角形。
3、菱形对角线。
4、圆所对的圆周角是直角。
5、点在线上的射影。
6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理，需证明）
8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线逆定理，需证明）
9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直的证明方法：
1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。
2、点在面内的射影。
3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）
4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）
5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。
6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。
7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。
8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。
9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。
六、面面垂直的证明方法：
1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。
2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）
3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。
4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。
一．选择题（共27小题）
1．（2010浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）
A．若l⊥m，mα，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，mα，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
2．（2006湖南）过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（）
A．4条B．6条C．8条D．12条
3．“直线l与平面α无公共点”是“l∥α”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知m，n表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：
①∥n；②∥α；③；④．
其中正确命题的序号是（）
A．①②B．②④C．②③D．①④
5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1、CD、B1C1的中点，则下列中与直线AE有关的正确命题是（）
A．A E丄CG B．A E与CG是异面直线
C．四边形ABC1F是正方形D．A E∥平面BC1F
6．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）
A．一条直线不相交B．两条直线不相交
C．任意一条直线都不相交D．无数条直线不相交
7．α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（）
A．α⊥β，且a⊥βB．α∩β=b，且a∥b C．a∥b，且b∥αD．α∥β，且aβ
8．已知两条直线a，b，两个平面α，β，则下列结论中正确的是（）
A．若aβ，且α∥β，则a∥αB．若bα，a∥b，则a∥α
C．若a∥β，α∥β，则a∥αD．若b∥α，a∥b，则a∥α
9．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）
A．①、③B．①、④C．②、③D．②、④
10．设α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β；③若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β；④若a、b 在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b．其中正确命题是（）
A．③B．④C．①③D．②④
11．已知两条直线a，b和平面α，若bα，则a∥b是a∥α的（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
12．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是（）
A．存在一条直线b，a∥b，bαB．存在一条直线b，a⊥b，b⊥α
C．存在一个平面β，aβ，α∥βD．存在一个平面β，a⊥β，a⊥β
13．已知α，β表示平面，a，b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（）
A．a⊥β，α⊥βB．a⊥β=b，a∥b C．a∥b，b∥αD．α∥β，aβ
14．A，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题
①a∥b ②a∥b ③α∥β
④α∥β ⑤α∥a ⑥α∥a
其中正确的命题是（）
A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④
15．下列说法正确的是（）
A．垂直于同一平面的两平面也平行
B．与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂直于同一直线的两平面平行
16．已知两条直线m 、n 与两个平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A ． 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
B ． 若m ∥α，m ∥β，则α∥β
C ． 若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β
D ． 若m ⊥n ，m ⊥β，则n ∥
β
17．已知直线a ，b ，平面α，β，则a ∥α的一个充分条件是（ ）
A ． a ⊥b ，b ⊥α
B ． a ∥β，β∥α
C ． b α，a ∥b
D ． a ∥b ，b ∥α，aα
18．A 是平面BCD 外一点，E ，F ，G 分别是BD ，DC ，CA 的中点，设过这三点的平面为α，则在直线AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，DC 中，与平面α平行的直线有（ ）
A ． 0
B ． 1条
C ． 2条
D ． 3条
19．（2010山东）在空间，下列命题正确的是（ ）
A ． 平行直线的平行投影重合
B ． 平行于同一直线的两个平面平行
C ． 垂直于同一平面的两个平面平行
D ． 垂直于同一平面的两条直线平行
20．（2008湖南）设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A ． 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
B ． 若mα，nα，m ∥β，n ∥β，则α∥β
C ． 若α⊥β，mα，则m ⊥β
D ． 若α∥β，m ⊥β，mα，则m ∥α
21．（2008福建）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
22．（2008安徽）两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A ． 若m ∥，n ∥，则m ∥n
B ． 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C ． 若m ∥α，m ∥β，则α∥β
D ． 若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥
n
23．（2007辽宁）若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ． 若mβ，α⊥β，则m ⊥α
B ． 若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m ∥n ，则α∥β
C ． 若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
D ． 若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β
24．（2007江苏）已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m ∥n ，m ⊥αn ⊥α②α∥β，mα，nβm ∥n
③m ∥n ，m ∥αn ∥α④α∥β，m ∥n ，m ⊥αn ⊥β
其中正确命题的序号是（）
A．①③B．②④C．①④D．②③
25．（2002北京）已知三条直线m、n、l，三个平面a、b、g，下列四个命题中，正确的是（）A．B．C．D．
26．已知直线m平面α，直线n平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n”是“直线c⊥平面α”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
27．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与平面α的位置关系是（）
A．一定平行B．不平行C．平行或相交D．平行或在平面内
二．填空题（共3小题）
28．如图：点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②A1P∥面ACD1；
③DP⊥BC1；
④面PDB1⊥面ACD1．
其中正确的命题的序号是
_________．
29．考察下列三个命题，在“﹣﹣”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l，m为不同的直线，α、β为不重合的平面），则此条件为_________．
①l∥α，②l∥α，③l∥α
30．在正四面体PABC中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点．给出下面四个结论：
①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC，
其中所有不正确的结论的序号是_________．
1.分析：根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：
由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．
解答：解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；
C：l∥α，mα，则l∥m或两线异面，故不正确．
D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．
B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正
确．
故选B
2.
：解：如图，过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，
其中与平面DBB1D1平行的直线共有12条，
故选D．
3
解：若“直线l与平面α无公共点”成立，则“l∥α”
即“直线l与平面α无公共点”“l∥α”为真命题
反之，当“l∥α”时，“直线l与平面α无公共点”
即“l∥α”“直线l与平面α无公共点”也为真命题
根据充要条件的定义可得：
直线l与平面α无公共点”是“l∥α”的充要条件
故选C
4：①m∥n，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故①正确．
②n∥α，由m⊥α，m⊥n得n∥α或nα，故②不正确．
③m∥n，由m∥α，n∥α，则m，n可能平行、可能相交、可能异面．故③不正确．
④，则m，n可能相交、可能异面，根据异面直线所成的角，可知m⊥n．故④正确．
故选D．
5根据正方体的几何特征，可以判断出AE与CG相交，但不垂直，由此可以判断出A，B的真假，分析四边形ABC1F 中各边的长度，即可判断C的真假，由线面平行的判定定理，可以判断出D的真假，进而得到答案．
解：由正方体的几何特征，可得AE丄C1G，
但AE与平面BCB1C1不垂直，
故AE丄CG不成立；
由于EG∥AC，故A，E，B，C四点共线
∴AE与CG是异面直线错误；
四边形ABC1F中，AB≠BC1，故四边形ABC1F是正方形错误；
而AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F
故选D
6解答：解：∵直线与平面平行，由其性质可知：
∴这条直线与平面内的任意一条直线都不相交，
A一条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故A错误；
B、两条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故B错误；
D、无数条直线不相交，说明有其它直线与其相交，无数不是全部，故D错误；
故选C．
点评：此题考查直线与平面平行的判断定理：
公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上
公理三：三个不共线的点确定一个平面
推论一：直线及直线外一点确定一个平面
推论二：两相交直线确定一个平面，
这些知识要熟练掌握．
7解答：解：A、还可能有aα，所以不正确
B、因为a不一定在β内，所以不正确
C、还可能有aα，所以不正确
D、α∥β，且aβ由面面平行的性质定理可知是正确的．
故选D
点评：本题主要考查线线，线面，面面的平行及垂直间的相互转化，一定要注意常见结论的严密性．
8解答：解：A、∵α∥β，又aβ，∴a∥α故A正确；
B、∵bα，a∥b，若aα，则a不可能与α平行，故B错误；
C、∵a∥β，α∥β，若aα，则结论不成立，故C错误；
D、∵b∥α，a∥b，若aα，则结论不成立，故D错误；
故A正确；
点评：此题考查直线与平面平行的判断定理：
公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上
公理三：三个不共线的点确定一个平面
推论一：直线及直线外一点确定一个平面
推论二：两相交直线确定一个平面，
这些知识要熟练掌握．
9分析：对于①，可以构造面面平行，考虑线面平行定义；对于②，考虑线面平行的判定及定义；对于③，可以用线面平的定义及判定定理判断；对于④，用线面平行的判定定理即可．
解答：解：对图①，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面MNP，由线面平行的定义可得AB∥平面MNP．
对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP；
对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；
故选B．
点评：本题考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面平行的性质解决问题．
10解答：解：①a与b可以相交，故①错误；
②∵α与β可以垂直，故②错误；
③∵a⊥α，b⊥β，a⊥b，α⊥β，故③正确；
④∵a、b在平面α内的射影互相垂直，a与b不一定是垂直的，有可能斜交，故④错误；故选A．
点评：此题考查直线与平面平行的判断定理：
公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面
推论一：直线及直线外一点确定一个平面
推论二：两相交直线确定一个平面，
这些知识要熟练掌握．
11解答：解：当bα是
若a∥b时，a与α的关系可能是a∥α，也可能是aα，即a∥α不一定成立，故a∥ba∥α为假命题；
若a∥α时，a与b的关系可能是a∥b，也可能是a与b异面，即a∥b不一定成立，故a∥αa∥b也为假命题；
故a∥b是a∥α的既不充分又不必要条件
故选D
点评：本题考查的知识点是充要条件，直线与平面平行关系的判断，先判断a∥ba∥α与a∥αa∥b的真假，然后利用充要条件的定义得到结论是证明充要条件的常规方法，要求大家熟练掌握．
12解答：解：A、直线a在α内时，不正确
B、直线a在α内时，不正确
C、面面平行的性质定理知正确
D、直线a在α内时，不正确
故选C
点评：本题主要考查在应用定理或常见结论时一定要条件全面，提醒学生做题量考虑要具体全面．
13解答：解：选项A，a⊥β，α⊥βa∥α或aα
选项B，a⊥β=b，a∥ba∥α或aα
选项C，a∥b，b∥αa∥α或aα
A、B、C三个选项都不能排除aα，
选项D，根据线面平行的性质可知正确故选D
14解答：解：根据平行公理可知①正确；
根据面面平行的判定定理可知④正确；对于②错在a、b可能相交或异面．
对于③错在α与β可能相交，
对于⑤⑥错在a可能在α内．
故选：C
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定，同时考查了对定理、公理的理解，属于综合题．
15分析：垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，若交于三个点则共面，过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，得到结论．
解答：解：垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故A不正确，
与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，若交于三个点则共面，故B不正确，
过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，故C不正确，垂直于同一直线的两个平面平行，正确，
故选D．
16解答：解：对于A，若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交，也可以异面，故不正确；对于B，若m∥α，m∥β，则当m平行于α，β的交线时，也成立，故不正确；
对于C，若m⊥α，m⊥β，则m为平面α与β的公垂线，则α∥β，故正确；
对于D，若m⊥n，m⊥β，则n∥β，n也可以在β内
故选C．
点评：本题考查空间中直线和平面的位置关系．涉及到两直线共面和异面，线面平行等知识点，在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．
17解答：解：A：a⊥b，b⊥α，则a与平面平行或在平面内，不正确．B：a∥β，β∥α，则a与平面平行或在平面内，不正确．C：bα，a∥b，则a与平面平行或在平面内，不正确．
D：由线面平行的判定理知，正确．
故选D
点评：本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题
18
解答：解：取AB的中点H，连接HE、EF、FG、GH
∴平面HEFG为平面α
其中AB、BD、CD、AC都与平面α相交
∵E、F是BD、CD的中点
∴EF∥BC，
而EFα，BCα
∴BC∥平面α
同理可证AD∥平面α
故选C
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于基础题．
19解答：解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．
平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．
垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．
故选D．
20分析由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C．
解答：解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；
故选D．
点评：本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题．
21分：由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算．
解答：解：连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．
在△AC1A1中，sin∠AC1A1===．
故选D．
22分析：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，若m∥，n∥，m，n可以相交也可以异面，故A不正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，则α、β可以相交也可以平行，故B不正确；若m∥α，m∥β，则α∥β，则α、β可以相交也可以平行，故C不正确；m⊥α，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；故D答案正确；分析即可得到结论．
解答：解：m，n均为直线，其中m，n平行α，m，n可以相交也可以异面，故A不正确；
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，则α、β可以相交也可以平行，故B不正确；
若m∥α，m∥β，则α∥β，则α、β可以相交也可以平行，故C不正确；
m⊥α，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；
故选D．
23分析：对于选项A直线m可能与平面α斜交，对于选项B可根据三棱柱进行判定，对于选项C列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于D根据面面垂直的判定定理进行判定即可．
解答：解：对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m ∥n，又m⊥β，故n⊥β，且nα，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β．
故选D
点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定定理，同时考查了推理能力，属于基础题．
24解答：解：用线面垂直和面面平行的定理可判断①④正确；
②中，由面面平行的定义，m，n可以平行或异面；
③中，用线面平行的判定定理知，n可以在α内；
故选C．
点评：本题考查了线面垂直和面面平行的定理，及线面、面面位置关系的定义，属于基础题．
25分析：利用墙角知A不对，线面平行和垂直的定理知B不对，由面面平行的判定定理和线面垂直的性质定理来判断出C和D．
解答：解：A、α与β可能相交，如墙角，故A错误；
B、可能lβ，故B错误；
C、由面面平行的判定定理知，m、n可能相交，故C错误；
D、由线面垂直的性质定理知，故D正确．
故选D．
点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了定理的运用能力和空间想象能力．
26
：由线面垂直的定义，当直线c⊥平面α时，c与α中的任意一条直线都垂直，即“直线c⊥平面α”“直线c ⊥m，直线c⊥n”为真命题，但反之，当“直线c⊥m，直线c⊥n”时，直线c⊥平面α不一定成立，根据充要条件的定义，易得答案．
解答：解：若直线c⊥m，直线c⊥n成立
则当m，n相交时，直线c⊥平面α成立，当m，n平行时，直线c⊥平面α不一定成立
故“直线c⊥m，直线c⊥n”“直线c⊥平面α”为假命题
若直线c⊥平面α成立
则C垂直平面α的每一条直线
故“直线c⊥平面α”“直线c⊥m，直线c⊥n”为“直线c⊥m，直线c⊥n”真命题
故“直线c⊥m，直线c⊥n”是“直线c⊥平面α”的必要而不充分条件
故选B
点评：判断充要条件的方法是：①若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q的关系．
27分由直线a∥直线b，且a∥平面α，知直线b∥平面α或直线b在平面α内．
解答：解：∵直线a∥直线b，且a∥平面α，
直线b∥平面α或直线b在平面α内．
故选D．
点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
28分析：如右图，对于①，容易证明AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，以P为顶点，平面AD1C为底面，易得；对于②，连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；
对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1平面，若DP⊥BC1，则DC与DP重合，与条件矛盾；对于④，容易证明PDB1⊥面ACD1，从而可以证明面面垂直．
解答：解：对于①，容易证明AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变；正确；
对于②，连接A1B，A1C1容易证明A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，
所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；正确；
对于③由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1平面，若DP⊥BC1，则DC与DP重合，与条件矛盾；错误；
对于④，连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知：正确．
故答案为：①②④
点评：本题考查三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．
29分析：根据线面平行的判定定理，我们知道要判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线，线线平行，分析已知中的三个命题，即可得到答案．
解答：解：①体现的是线面平行的判定定理，
缺的条件是“l为平面α外的直线”，
即“lα”．
它同样适合②③，
故填lα．
故答案为：lα
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，熟练掌握直线与平面平行判断的方法及必要的条件是解答本题的关键．
30专
题：
综合题。
分析：正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是正三角形，应该联想到“三线合一”．平面条件为空间问题提供素材．
解答：解：①由DF∥BC可得BC∥平面PDF，①故正确．
②BC⊥PE，BC⊥AEBC⊥面PAE，
DF∥BC∴DF⊥平面PAE，②正确
③根据正四面的定义P点在底面的射影是底面△ABC的中心O，
有平面几何知识，O点不在DF上，故③错．
④在②的基础上，DF面ABC，由面面垂直的判定定理，④正确
故答案为：③．
点评：本小题考查空间中的线面关系，用到了正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力，平面问题空间问题相互转化的能力．
E D C B A 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证： （Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 12 1 中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； （第1题图） A B C D E F G M
(4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且 SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥中，底面，，PB=BC=CA ， 为的中点，为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求证：平面；
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结 1、 多面体（棱柱、棱锥）的结构特征 （1）棱柱： ①定义：有两个面互相平行，其余各面都是 四边形，并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行，由这些面所围 成的几何体叫做棱柱。 棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱； 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是正多边形 侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面
棱长都相等 四棱柱正方体。 ②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形；Ⅱ、两底面是全等多边形； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形； Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 （2）棱锥： ①定义：有一个面是多边形，其余各面是有 一个公共顶点的三角形，由这些面 围成的几何体叫做棱锥； 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥； ②性质： Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似， 截面的边长和底面的对应边边长的比 等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的 比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与 原棱锥的高的平方比；
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的 比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高 的立方比； Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三 角形；通过四个直角三角形POH Rt ?，POB Rt ?， PBH Rt ?，BOH Rt ?实现边，高，斜高间的换算 2、 旋转体（圆柱、圆锥、球）的结构特征 A B C D O H P
（2）性质： ①任意截面是圆面（经过球心的平面，截得 的圆叫大圆，不经 过球心的平面截得 的圆叫 小圆） ②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且 2d 2 =，其中R为球半径，r为截 r- R 面半径，d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
① 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ； （２）若2,CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积． 练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 求证：AC 1∥平面CDB 1； 2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。（1）求证： //1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积. 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。 （1）证明：//PA BDE 平面； （2）求PAD ?以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。 A 1 C _ H _ G _ D _ A _ B _ C E F
G P A B C D F E A B C D E F 例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形） 练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。求证：AF ∥平面PCE ； ②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 中点。求证：//PAD MN 平面 P A B C D M N ③ 如图，已知AB 平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ； 的交点.求证：//1O C 面 ④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线11 AB D ． D 1C 1 B 1 A 1
必修2 第一章 空间几何体知识点总结 一.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 二.空间几何体的直观图 斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450 （或1350 ） ③画对应图形 在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘ 轴，且长度保持不变； 在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘ 轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：4 2S ?=原图形直观图S 三.空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 h S V ?=柱体h S V ?= 3 1锥体() 1 3 V h S S S S =+?+下下 台体上上 球的表面积和体积 32 3 44R V R S ππ= =球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。 第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结 一. 平面基本性质即三条公理 公理1 公理2 公理3 图形语言 文字 语言 如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线 在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号 语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈????∈∈? ,,,,A B C A B C α ?不共线确定平面 ,l P P P l αβαβ=?∈∈??∈? 作用 判断线在面内 确定一个平面 证明多点共线 公理2的三条推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 二．直线与直线的位置关系 共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交） 三．直线与平面的位置关系有三种情况： 在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α 相交——有且只有一个公共点 符号 a ∩α= A 平行——没有公共点 符号 a ∥α 说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 1．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号： ////a b a a b ααα ?? ?????? 2．直线和平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行，则线线平行. 符号: a a a b b α βαβ??=? ???? 3．直线与平面垂直 ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
1.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 2.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 3.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量 分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2 π ]， 直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ????，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0， π ]． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的， 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以 下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面 ，设 ∩ ＝OA ， ∩ ＝OB ，则∠AOB ＝ ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线 AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－； (4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥ ，垂足为B ，AC ⊥ ，垂足为C ，则∠BAC ＝ 或 ∠BAC ＝－； (5) 利用面积射影定理，设平面 内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面 内的射影图形
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角
面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
高中数学立体几何知识点总结 一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各 个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 （二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱 四棱柱 平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体 性质： Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形
1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 （1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积： 1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：1 3 V Sh = 棱椎（S 为底面积，h 为高） 正四面体： 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H
1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
高考立体几何知识点总结 一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 （二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四 边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成 的几何体叫 做棱柱。 1.2 棱柱的分类 棱柱 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质： Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是 高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 （1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的底面是四边形 底面是平行四边形 侧棱垂直于底面 底面是矩形 底面是正方形 棱长都相等 图1-1 棱柱
1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。
（一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==?? ?? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 面面∥面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论：
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①???????? →???????→?? ?? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的
平方和；【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式： 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高） 2.圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式： S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=2 22rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2 r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各 面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质： ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。 侧面 母线 B
立体几何方法归纳小结 一、线线平行的证明方法 1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。 2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。 3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。 4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。 二、线面平行的证明方法 1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。 2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。(用相似三角形或平行四边形) 3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。 三、面面平行的证明方法 1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。 2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。 或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。 3、垂直同一直线的两平面平行。 4、平行同一平面的两平面平行。 四、两直线垂直的证明方法 1、根据定义,证明两直线所成的角为90° 2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条. 3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线. 4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线). 五、线面垂直的证明方法 1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面. 2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面. 3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个. 4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面. 5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 六、面面垂直的证明方法 1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。 2、根据面面垂直的判定定理，一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直。 3、一平面垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个。 七、两异面直线所成角的求法 1、根据定义，平移其中一条和另一条相交，然后在三角形中求角。
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定
一、线线平行的证明方法: 1、利用平行四边形。 2、利用三角形或梯形的中位线。 3、如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就与交线平行。 (线面平行的性质定理) 4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行的性质定理) 5、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。(线面垂直的性质定理) 6、平行于同一条直线的两条直线平行。 7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。(需证明) 二、线面平行的证明方法: 1、定义法:直线与平面没有公共点。 2、如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。(线面平行的判定定理) 3、两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 三、面面平行的证明方法: 1、定义法:两平面没有公共点。 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。(面面平行的判定定理) 3、平行于同一平面的两个平面平行。 4、经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。 5、垂直于同一直线的两个平面平行。 四、线线垂直的证明方法: 1、勾股定理。 2、等腰三角形。 3、菱形对角线。
4、圆所对的圆周角就是直角。 5、点在线上的射影。 6、如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线就与这个平面内任意的直线都垂直。 7、在平面内的一条直线,如果与这个平面一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直。(三垂线定理,需证明) 8、在平面内的一条直线,如果与这个平面一条斜线垂直,那么它也与这条斜线的射影垂直。(三垂线逆定理,需证明) 9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,则另一条也垂直于这条直线。 五、线面垂直的证明方法: 1、定义法:直线与平面内任意直线都垂直。 2、点在面内的射影。 3、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。(线面垂直的判定定理) 4、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(面面垂直的性质定理) 5、两条平行直线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面。 6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则必垂直于另一个平面。 7、两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面交线垂直于第三个平面。 8、过一点,有且只有一条直线与已知平面垂直。 9、过一点,有且只有一个平面与已知直线垂直。 六、面面垂直的证明方法: 1、定义法:两个平面的二面角就是直二面角。 2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。(面面垂直的判定定理) 3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行,那么这两个平面互相垂直。 4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直。
（二）立体几何证明方法汇总 1、线线平行判定定理 一个平面 点 平行于同一条直线的两条直线的 两条直线平行 线面平行性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 面面平行的性一个平面与两个平行平面相交 则交线平行 线面垂直的性垂直于同 行
两条直线所成的角是 线面垂直的性质一条直线垂直于一个平面任何一条直线 一条直线垂直三角形两边则垂直一条直线垂直于三角形的两条边 第三边 三垂线定理 个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直 三垂线定理逆定三垂线逆定理 这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直
一条直线与平面没有交点 线面平行判两个平面平行， 平行于另一个平面 如果一条直线垂直于平面内的任何一条 直线，则直线与平面垂直。 的一条直线垂直于平面内两条相交直线， 则平行于这个平面。 的推一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 的若二平面垂直，那么在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面
如果两个平面没有公共点，则两个平面平行。 面面平行的如果一个平面内有两条相交直线平行于另一 个平面，那么这两个平面平行 面面平行的判定定理推如果两个平面内两条相交直线平行于另一个平面内两条相交直线，则两个平面平行。 线面垂直的 垂直于同一直线的两个平面平行 两个平面相交， 这两个平面垂直。 面面垂直的判如果平面经过另一个平面的一条垂线， 面垂直。
公理 么这条直线上的所有点都在这个平面内。（ （ 公理 它公共点，这些公共点的集合是一条直线（ （ 公理 个平面。 干个点共面的依据 推论 有一个平面。 （ （ 推论 推论
E B C D A P ① 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ； （２）若2,42CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积． 练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 求证：AC 1∥平面CDB 1； 2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。（1）求证：//1BD 平面 DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积. 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。 （1）证明：//PA BDE 平面； （2）求PAD ?以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。 E A 1 B 1 C 1 D 1D C B A _ H _ G _ D _ A _ B _ C E F
G P A B C D F E A B C D E F 例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形） 练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。求证：AF ∥平面PCE ； ②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 中点。求证：//PAD MN 平面 P A B C D M N ③ 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ； ④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：//1O C 面11 AB D ． D 1 C 1B 1A 1
收集整理:宋氏资料 ２０1６－1-１ 201６高考立体几何知识点总结 一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 ２ 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 （二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 １.2 棱柱的分类 棱柱 四棱柱平行六面体 直平行 六面体长方体 正四棱柱正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧（c 是底周长,h 是高） S 直棱柱表面 ＝ ｃ·h+ 2S 底 V 棱柱 ＝ S 底 ·ｈ? 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 （1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形 图1-1 棱柱
所围成的几何体叫做棱锥。 (2）正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.２ 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积:1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎（S 为底面积，h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 对棱间的距离为 a 2 (正方体的边长） 正四面体的高 a 6(正方体体对角线l 3 2 =） 正四面体的体积为 32a （正方体小三棱锥正方体V V V 3 1 4=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1(正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61= ） 3 、棱台的结构特征 3．1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 ３.2 正棱台的结构特征 （1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形; （2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (３)正棱台的对角面也是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点。 ４ 、圆柱的结构特征 A B C D P O H
立体几何证明方法总结及典例 例1：平行类证明 【平行类证明方法总结】 线线平行的证明方法： 三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱 柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。 线面平行的证明方法： 面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等 面面平行的证明方法： 面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。 【例】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ. 求证：PQ∥面BCE. 证法一： 如图（1），作PM∥AB交BE于M， 作QN∥AB交BC于N,连接MN, 因为面ABCD∩面ABEF=AB, 则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN, ∴ PM =PE , QN =BQ . AB AE DC BD ∴ PM =QN . AB DC ∴PM∥QN.
四边形PMNQ为平行四边形. ∴PQ∥MN. 又∵MN ?面BCE，PQ ?面BCE， ∴PQ∥面BCE. 证法二： 如图(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK. ∵AD∥BC, ∴ DQ =AQ . QB QK 又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ， ∴ AQ =AP .则PQ∥EK. QK PE ∴EK ?面BCE，PQ ?面BCE. ∴PQ∥面BCE. 例2：垂直类证明 【垂直类证明方法总结】 证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等 【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G ． 求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD ． 证明：∵ SA ⊥平面ABCD， ∴ SA ⊥BC ． ∵ AB ⊥BC ，
__________________________________________________ 立体几何平行证明题常见模型及方法 证明空间线面平行需注意以下几点： ①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。 平行转化：线线平行 线面平行 面面平行； 类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法） （1） 方法一：中位线法 以锥体为载体 例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中， 点E 是PD 的中点. 求证：PB ∥平面AEC ； 变式1：若点M 是PC 的中点，求证：PA||平面BDM ； 变式2：若点M 是PA 的中点，求证：PC||平面BDM 。 变式3如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形， , 点M 是SD 的中点，求证：//SB 平面ACM _ B _ C S P A B C D E
__________________________________________________ (2)以柱体为载体 例2 在直三棱柱111ABC A B C -,D 为BC 的中点，求证：1A C ||平面1AB D 变式1 在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是CD 的中点，求证：1B D ||平面1BC E 变式2在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是CD 的中点，求证：1B D ||平面1BC E 变式 3 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=5，AC=BC=2，∠C=90°，点D 是A 1C 1的中点. 求证：BC 1//平面AB 1D ； 方法2：构造平行四边形法 例1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 、F 分别为AB SC ,的中点．证明○1EF ∥平面SAD ○2BF ∥平面SDE 变式1：若E 、F 分别为AD SB ,的中点．证明EF ∥平面SCD 变式2 若E 、F 分别为SD B ,A 的中点．证明EF ∥平面SCB 例2 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, F E S A B C D E C E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D