课时作业(一)
第1课时集合的含义
一、选择题
1. 下列各组集合，表示相等集合的是( )
①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；
②M＝{3,2}，N＝{2,3}；
③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．
A. ①
B. ②
C. ③
D. 以上都不对
答案：B
解析：①中M表示点(3,2)，N表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.
2. 设不等式3－2x<0的解集为M，下列准确的是( )
A. 0∈M,2∈M
B. 0?M,2∈M
C. 0∈M,2?M
D. 0?M,2?M
答案：B
解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，所以只需判断0和2是不是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0?M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.
3．已知2a∈A，a2－a∈A，若集合A含2个元素，则下列说法中准确的是( )
A．a取全体实数
B．a取除0以外的所有实数
C ．a 取除3以外的所有实数
D ．a 取除0和3以外的所有实数 答案：D
解析：根据集合中的元素具有互异性知，2a ≠a 2－a ，∴a ≠0，a ≠3.故应选D.
4. 由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值能够是( )
A. 1
B. －2
C. 6
D. 2
答案：C
解析：由题设知，a
2,
2－a,4互不相等，即?????
a 2≠2－a ，
a 2
≠4，
2－a ≠4，
解得a ≠
－2，a ≠1，且a ≠2.当实数a 的取值是6时，三个数分别为36，－4,4，能够构成集合，故选C.
5. 已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |
xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断准确的是( )
A. 4∈M
B. 2∈M
C. 0?M
D. －4?M
答案：A
解析：当x ，y ，z 都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选A.
6. 已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )
A. 2
B. 2或4
C. 4
D. 0
答案：B
解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；若a ＝4∈A ， 则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0?A .故选B. 二、填空题
7. 设集合A 是由1，－2，a 2－1三个元素构成的集合，集合B 是由1，a 2－3a,0三个元素构成的集合，若A ＝B ，则实数a ＝________.
答案：1
解析：由集合相等的概念得?????
a 2－1＝0，
a 2－3a ＝－2，
解得a ＝1.
8. 已知集合A 由方程(x －a )(x －a ＋1)＝0的根构成，且2∈A ，则实数a 的值是________．
答案：2或3
解析：由(x －a )(x －a ＋1)＝0得x ＝a 或x ＝a －1. 又∵2∈A ，
∴当a ＝2时，a －1＝1，集合A 中的元素为1,2，符合题意； 当a －1＝2时，a ＝3，集合A 中的元素为2,3，符合题意． 综上可知，a ＝2或a ＝3.
9. 如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．
答案：x ≠0,1,2，1±5
2
解析：由元素的互异性：x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x 解得：x ≠0,1,2，1±5
2.
10. 设a ，b ∈R ，集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有三个元素0，b
a ，
b ，且A ＝B ，则a ＋b ＝________.
答案：0
解析：因为B 中元素是0，b
a ，
b ，故a ≠0，b ≠0. 又A ＝B ，∴a ＋b ＝0.
11. (2014·重庆高一检测)由实数t ，|t |，t 2，－t ，t 3所构成的集合M 中最多含有________个元素．
答案：4
解析：因为|t |至少与t 和－t 中的一个相等，故集合M 中至多有4个元素，如当t ＝－2时，t ，－t ，t 2，t 3互不相同，集合M 含有4个元素．
三、解答题
12. 已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .
解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－ 32.
则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．
当a ＝－32时，a －2＝－7
2，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－3
2.
13. 设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？
解：∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11. 由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 14. 设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x . 解：(1)由集合元素的互异性可得 x ≠3，x 2－2x ≠x 且x 2－2x ≠3， 解得x ≠－1，x ≠0且x ≠3.
(2)若－2∈A ，则x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 因为x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 所以x ＝－2. 尖子生题库
15．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a 1－a ∈M (a ≠±1且a ≠0)．已
知3∈M ，试把由此可确定的M 的元素求出来．
解：∵a ＝3∈M ，∴1＋a 1－a ＝1＋3
1－3＝－2∈M ，
∴1－21＋2
＝－13∈M ，从而1－13
1＋13＝12∈M ， ∴1＋121－12
＝3∈M . ∴集合M ＝?
??
?
??3，－2，－13，12.
第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时集合的含义 A级基础巩固 一、选择题 1．已知集合A中的元素x满足－5≤x≤5，且x∈N*，则必有() A．－1∈A B．0∈A C.3∈A D．1∈A 解析：－5≤x≤5，且x∈N*， 所以x＝1，2，所以1∈A. 答案：D 2．下列各对象可以组成集合的是() A．中国著名的科学家 B．2017感动中国十大人物 C．高速公路上接近限速速度行驶的车辆 D．中国最美的乡村 解析：看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合． 答案：B
3．由x2，2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是() A．0 B．－2 C．8 D．2 解析：根据集合中元素的互异性，验证可知a的取值可以是8. 答案：C 4．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是() A．1 B．0 C．－2 D．2 解析：因为a∈M，且2a∈M，又－1∈M， 所以－1×2＝－2∈M. 答案：C 5．由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是() A．1 B．－2 C．6 D．2 解析：因A中含有3个元素，即a2，2－a，4互不相等，将选项中的数值代入验证可知答案选C. 答案：C 二、填空题 6．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)． ①不超过10的所有正整数； ②高一(6)班中成绩优秀的同学； ③中央一套播出的好看的电视剧； ④平方后不等于自身的数． 解析：①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合．
§集合的概念与运算 【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力． 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解． 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2.
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况． 3．正确区分?，{0}，{?} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?.
第一课时 集合的概念 制作者：刘新岩 时间_____ 姓名______ 一．教学目标： 1.知识目标：元素集合概念与关系，元素特征，集合表示方法； 2.能力目标：能够正确恰当表示元素集合关系，选择集合表示方法 能够熟练准确理解集合符号所表达的数学内容 二．教学设计： 环节一：引入新知 数学是一门用符号作为语言的学科，小学初中我们已经学习了一些重要的数学对象的符号表示，完成下列问题： 表示怎样的数学对象? 求解： 作图： 0322=--x x 73<-x 32-=x y 从前我们孤立地看待方程或不等式的解、函数图像上的点，这节课我们将用整体的观点看待研究对象，如方程或者不等式所有的解、函数图像上的所有点，或者86中学全体高一同学，或者地球上的四大洋，它们形成了一个一个的集合。 环节二：探究新知 概念 集合表示方法 一般地，我们把研究对象统称为______;简记为：______ 以实数作为研究对象 1）方程0322 =--x x 的所有实数根组成了一个集合，如 何表示这个集合呢？ 2）不等式7-3<-x 的所有实数根组成了一个集合，如何表示这个集合呢？ 以平面上的点作为研究对象 3）函数32 -=x y 图像上的所有点组成了一个集合，如何表示这个集合呢？ 将上述三个集合分别计为A,B,C ，判断3是否是三个集合中的元素？ 元素a 与集合A 的关系:____________或______________ 把一些元素组成的总体称为 _________;简记为：_______
环节三：概念辨析 补充知识： 2表示下列集合： （1）小于10的所有实数组成的集合；（2）小于10的所有自然数组成的集合； (3)和10差不多的所有自然数组成的集合； 思考1：通过前面的探究，你能说出列举法和描述法的优点和缺点吗？ 优点缺点 列举法 描述法 思考2：（3）的元素有哪些个可以确定吗？(类似的说法还有：我国的小河流，我们班比较高的同学等等)能够构成集合的元素必须有哪些特征呢？
模块纵览 课标要求 1.知识与技能 认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的能力. 2.过程与方法 通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法. 3.情感、态度与价值观 教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观. 内容概述 本模块共三章:第一章集合与函数概念;第二章基本初等函数(Ⅰ);第三章函数的应用. 本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等;然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念;进而又给出了函数的性质:单调性、最值、奇偶性,这也是对函数的深化;接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数,继续认识函数,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现,也是进一步巩固函数的概念,更加强了数学应用. 概括地说,本模块的核心内容是“函数”.函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带,是学生进一步学习的准备,是未来公民的必需,因此,整个模块以函数作为中心,以函数思想作为指导思想. 本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律.对方程的认识和研究,也是从函数出发,把它与两个函数相结合,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识,方程则被看成是包含于函数的局部. 教学建议 教师,对数学应该有自己深入的想法,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师,对于教学也应该有自己的想法,唯其有自己的想法,才能发挥自己的特长,教出具有独到想法的学生. 1.抓住核心,重点突破 由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学,向学生贯彻函数的数学思想,逐步让学生掌握学会函数,更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数,构建函数的一般定义.要注意：①构成函数的要素和相同函数的含义,②函数的三种表示法的联系、区别与适用性,③分段函数的意义,④映射的概念和判断.教学中应强调对函数概念本质的理解,在求函数定义域、值域时,要控制难度. 2.用课本教,而非教课本 《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要(试行)》的指导下编写的,是数学学科教育目标的具体化,体现数学学科对学生最起码的要求,是编制高考大纲的依据,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性.《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标:知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观.在这种教学过程中,课本仅仅是一种学习工具,是课程标准的具体化,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体,并不要求学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化,高考数学
北师大版小学数学三年级上册 《看日历》教学设计 教学内容： 北师大版小学数学三年级上册第七单元第67页《看日历》。 教材分析： 《看日历》是北师大版三年级上册第七单元的内容，属于数与代数的范畴，这节课之后安排学习《认识平年和闰年》和《认识24时记时法》。与时、分、秒相比，年、月、日之间的关系更加复杂，虽然学生在日常生活中有一些感性的认识和经验，但是缺乏清晰的认识和数学思考的过程。所以教科书为学生设计了自主学习和自主建构的学习过程，从回顾入手展开学习活动，通过填表、整理、思考，发现规律，让有关年、月、日之间的知识，更加系统地纳入自己的知识结构中。 学生分析： 对于三年级的学生来说，他们在日常生活中积累了日历方面的一些感性的认识和经验，有自主观察、探究日历，发现时间规律的基础，但是他们获得的知识不是特别的系统，甚至个别地方可能不一定准确，也缺乏清晰的认识和数学思考的过程。 教学目标： 1、结合生活经验，使学生认识时间单位年、月、日，了解他们之间的关系，知道大月、小月、平年、闰年。 2、在回顾、整理、观察活动中，能发现一些简单的规律，发展观察、判断和推理能力。 3、经历与他人合作交流解决问题的过程，能倾听别人的意见，感受数学学习的快乐。 教学重点：认识时间单位年、月、日，掌握它们之间的相互关系，知道大月、小月的月份。 教学难点：在回顾、整理、观察活动中，发现规律。 教学准备：2019年的年历卡片、统计表。 教学过程： 一、师生交流，导入课题。
猜谜语：有个宝宝真稀奇，身穿三百多件衣。每天都要脱一件，年底只剩一张皮。（打一物）日历。今天老师就和你们一起看日历。板书课题：看日历 二、探究新知 1、找一找说一说 （1）找一找今天的日期，并说一说是怎么找的 （2）师：关于“年、月、日”的知识你都知道了什么？ 生回答。老师可以根据学生的回答有选择地板书。 （2）提出质疑 师：关于“年、月、日”的知识你们知道得还真多。那么，关于“年、月、日”，你还有什么疑问？ 学生质疑。 2、看日历填表 小组合作填表， 观察附页1，把2013~2014年各月份的天数记录在表格中。 学生观察并填表，老师巡视指导。 学生填完后，指名口述，教师在课件上填写各月份的天数，完成表格。 （4）你发现了什么？ 仔细观察表格，你发现了什么？把你的发现和同桌同学交流交流。 学生可能会发现有的月份是31天，有的是30天，而2月有时是28天，有时是29天。 引导学生有序地观察，汇报，老师利用课件演示，并完成板书。
1 集合的概念与运算（一） 目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题 2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质， 3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法． 重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用; 2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 基本知识点： 知识点1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 知识点2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N * 或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {} 数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N * 或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 知识点3、元素与集合关系（隶属） （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写 知识点4、集合中元素的特性 （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
课题：1.1集合－集合的概念（1） 教学目的： （1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 （2）使学生初步了解“属于”关系的意义 （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在 教具：多媒体个结论，他写成论文提交给法国科、实物投影仪 内容分析：当时的数学家S．K．泊松为了理 1．集合是中学数已证明的一个结果可以表明伽罗华学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初议科学院否定它1832年5月30日中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对造福人类1832年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识，他死后14年，法国数学家刘维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是于刘维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程： 一、复习引入： 1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数； 2．教材中的章头引言； 3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；
第一章 集合与简易逻辑——第1课时：集合的概念 1 集合的概念 一．课题：集合的概念 二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规 处理方法． 三．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法； 3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个． （二）主要方法： 1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验； 4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）例题分析： 例1．已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+， {|1}G x x =≥，则 （ D ） ()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G = 解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简． 例2．设集合{},,P x y x y xy =-+，{} 2222 ,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ． 解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈． （1）若0x y +=或0x y -=，则22 0x y -=，从而{} 22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性 矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠； （2）若0xy =，则0x =或0y =． 当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-， 由P Q =得22 0y y y y y -=??=-?≠?? ① 或220 y y y y y -=-??=?≠?? ② 由①得1y =-，由②得1y =， ∴{01x y ==-或{ 01 x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-． 例3．设集合1{|,}24k M x x k Z == +∈， 1 {|,}42 k N x x k Z ==+∈，则 （ B ） ()A M N = ()B M N ?≠ ()C M N ? ()D M N φ= 解法一：通分；
集合 1．1.1 集合的含义与表示 第一课时集合的含义 [新知初探] 1．元素与集合的概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． (4)元素的特性：确定性、无序性、互异性． [点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一
些物． 2．元素与集合的关系 [点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明 (1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a ∈A”与“a?A”这两种结果． (2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 3．常用的数集及其记法 [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合．( ) (2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．( ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( ) 答案：(1)√(2)×(3)× 2．下列元素与集合的关系判断正确的是( ) A．0∈N B．π∈Q C.2∈Q D．－1?Z 答案：A 3．已知集合A中含有两个元素1，x2，且x∈A，则x的值是( ) A．0 B．1 C．－1 D．0或1 答案：A 4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素． 答案：2
§1.1集合的概念与运算
1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 A B(或 B A) 3. (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个． (2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×) (2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(√) (4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×) (5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.(√) (6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则?U P＝{2}．(√) 1．(2014·课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于() A．[－2，－1]B．[－1,2) C．[－1,1]D．[1,2) 答案 A 解析∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}， ∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A. 2．(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于() A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1} C．{0,1} D．{－1,0} 答案 A 解析因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A. 3．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．5 D．9 答案 C
2019-2020学年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案新人教版必 修1 【考点透视】 1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2．了解空集和全集的意义. 3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题. 5．注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如 A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论. 【例题解析】 题型1．正确理解和运用集合概念 理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（） A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1} 思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集． 解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D． 点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组 21, 1. y x y x ?=+ ? =+ ? 0, 1, x y = ? ? = ? 得 1, 2. x y = ? ? = ? 或 从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的． 例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（） A．P B．Q C． D．不知道 思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了． 解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y ≥0},Q={y|y≥1}，知Q P，即P∩Q=Q．∴应选B． 例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（） A．P∩Q=? B．P Q C．P=Q D．P Q
集合的概念及相关运算教学设计 一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。 二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的
基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的
课题：教学目标：集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的 常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 教学过程： （一）主要知识：1.集合、子集、空集的概念；两个集合相等的概念. 2.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法； 3.若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个， 非空真子集有22n -个． 4.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 5.若A B B C ??，，则A C ? 6.,,.A A B A B A A B A B ??? 7.A B A B B ??= ;A B A B A ??= . （二）主要方法： 1.解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析法的掌握． 2.弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3.抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验； 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）典例分析： 问题1：已知集合{}3,M x x n n Z ==∈，{}31,N x x n n Z ==+∈， {}31,P x x n n Z ==-∈，且a M ∈，b N ∈，c P ∈，设d a b c =-+，则 .A d M ∈ .B d N ∈ .C d P ∈ .D d M N ∈ 问题2：设集合{}2 24A x x a a ==++，{}2 47B y y b b ==-+. ()1若a R ∈，b R ∈，试确定集合A 与集合B 的关系； ()2若a N ∈，b R ∈，试确定集合A 与集合B 的关系.
一．课题：集合的概念 二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题 的常规处理方法． 三．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法； 3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个． （二）主要方法： 1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验； 4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）例题分析： 例1．已知集合2 {1}P y x ==+，2 {|1}Q y y x ==+，2 {|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则 （ D ） ()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G = 解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简． 例2．设集合{},,P x y x y xy =-+，{} 2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ． 解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈． （1）若0x y +=或0x y -=，则2 2 0x y -=，从而{} 22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠； （2）若0xy =，则0x =或0y =． 当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，2 2 {,,0}Q y y =-， 由P Q =得22 0y y y y y -=??=-?≠?? ① 或220 y y y y y -=-??=?≠?? ② 由①得1y =-，由②得1y =， ∴{01x y ==-或{ 01 x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-． 例3．设集合1{|,}24k M x x k Z == +∈， 1 {|,}42 k N x x k Z ==+∈，则 （ B ） ()A M N = ()B M N ?≠ ()C M N ? ()D M N φ=I 解法一：通分；
课时作业(一) 第1课时集合的含义 一、选择题 1. 下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}； ②M＝{3,2}，N＝{2,3}； ③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}． A. ① B. ② C. ③ D. 以上都不对 答案：B 解析：①中M表示点(3,2)，N表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2. 2. 设不等式3－2x<0的解集为M，下列准确的是( ) A. 0∈M,2∈M B. 0?M,2∈M C. 0∈M,2?M D. 0?M,2?M 答案：B 解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，所以只需判断0和2是不是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0?M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M. 3．已知2a∈A，a2－a∈A，若集合A含2个元素，则下列说法中准确的是( ) A．a取全体实数 B．a取除0以外的所有实数
C ．a 取除3以外的所有实数 D ．a 取除0和3以外的所有实数 答案：D 解析：根据集合中的元素具有互异性知，2a ≠a 2－a ，∴a ≠0，a ≠3.故应选D. 4. 由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值能够是( ) A. 1 B. －2 C. 6 D. 2 答案：C 解析：由题设知，a 2, 2－a,4互不相等，即????? a 2≠2－a ， a 2 ≠4， 2－a ≠4， 解得a ≠ －2，a ≠1，且a ≠2.当实数a 的取值是6时，三个数分别为36，－4,4，能够构成集合，故选C. 5. 已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz | xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断准确的是( ) A. 4∈M B. 2∈M C. 0?M D. －4?M 答案：A 解析：当x ，y ，z 都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选A. 6. 已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( ) A. 2 B. 2或4
§1.1集合的概念与运算 【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力． 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．
1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2. (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况． 3．正确区分?，{0}，{?} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?. 题型一集合的基本概念 例1(1)下列集合中表示同一集合的是(B)
1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义 A 级 基础巩固 一、选择题 1．解析：－5≤x ≤5，且x ∈N *， 所以x ＝1，2，所以1∈A . 答案：D 2．解析：看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A ，C ，D 选项没有一个明确的判定标准，只有B 选项判断标准明确，可以构成集合． 答案：B 3．解析：根据集合中元素的互异性，验证可知a 的取值可以是8. 答案：C 4．解析：因为a ∈M ，且2a ∈M ，又－1∈M ， 所以－1×2＝－2∈M . 答案：C 5．解析：因A 中含有3个元素，即a 2，2－a ，4互不相等，将选项中的数值代入验证可知答案选C. 答案：C 二、填空题 6．解析：①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合． 答案：①④ 7. 解析：因为方程x 2－2x －3＝0的解是x 1＝－1，x 2＝3，方程x 2－x －2＝0的解是x 3＝－1，x 4＝2，所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素． 答案：3 8．解析：因为－2∈M ，所以a －3＝－2或2a ＋1＝－2.若a －3＝－2，则a ＝1， 此时集合M 中含有两个元素－2，3，符合题意；若2a ＋1＝－2，则a ＝－32，此
时集合M 中含有两个元素－2、－92，符合题意；所以实数a 的值是1、－32. 答案：1、－32 三、解答题 9．解：因为A ＝B ，所以－1，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的解． 则???－1＋3＝－a ，－1×3＝b ，解得???a ＝－2，b ＝－3. 10．解：因为－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3， 所以a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3，2a 2＋5a ＝－3，集合A 不满足元素的互异性，所以a ＝－1舍去． 当a ＝－32时，经检验，符合题意．所以a ＝－32. B 级 能力提升 1．解析：若a ＝2，则6－2＝4∈A ； 若a ＝4，则6－4＝2∈A ； 若a ＝6，则6－6＝0?A .故选B. 答案：B 2．解析：当x ，y ，z 都是正数时，a ＝4，当x ，y ，z 都是负数时a ＝－4，当x ，y ，z 中有1个是正数另2个是负数或有2个是正数另1个是负数时，a ＝0.所以以a 的值为元素的集合中有3个元素． 答案：3 3．证明：(1)若a ∈A ，则 11－a ∈A . 又因为2∈A ，所以 11－2＝－1∈A . 因为－1∈A ，所以11－（－1） ＝12∈A . 因为12∈A ，所以11－12 ＝2∈A . 所以A 中另外两个元素为－1，12.
第一篇集合与常用逻辑用语 专题1.1 集合的概念与运算 【考纲要求】 1. 了解集合的含义、元素与集合的属于关系． 2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. 【命题趋势】 1. 利用集合的含义与表示求集合的元素或元素的个数． 2．根据集合间的关系求集合子集的个数、参数的取值或范围． 3．考查数集的交集、并集、补集的基本运算． 4．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合问题． 5．以集合为载体结合其他数学知识考查新概念、新性质、新法则的创新问题的应用.1.元素与集合【核心素养】 本讲内容主要考查数学抽象和数学运算的核心素养. 【素养清单?基础知识】 1．集合的有关概念 (1) 集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2) 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3) 元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (4) 五个特定的集合及其关系图： N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系
(1) 子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B (或B ?A )． (2) 真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A ?B 或B ùA . A ? B ? ? ???? A ? B ， A ≠ B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3) 集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元 素的特性． (4) 空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3．集合间的基本运算 (1) 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． (2) 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }． (3) 补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . 【素养清单?常用结论】 (1) 子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2) 交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3) 并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4) 补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5) 含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6) 等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 【真题体验】