西工大附中2020高考数学文模拟题含答案(四)
第Ⅰ卷 选择题(共50分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.设全集{}1,2,3,4,5,6,U =集合{}1,2,3,4P =,集合{}3,45=Q ,,则()U P C I Q =( )
A.{}1,2,3,4,6
B.{}1,2,3,4,5
C.{}1,2,5
D.{}1,2
2.设复数2
1z i
=+
(其中i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 等于( ) A .1+2i B .12i - C .2i - D .2i
3.已知条件p :1>x ,条件q :
11
,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件 4.如右图的程序框图所示,若输入3,2a b ==,则输出的值是( ) A.12 B.1 C.1 3 D. 2 5.若抛物线x y 42 =上一点P 到y 轴的距离为3,则点P 到抛物线的焦 点F 的距离为( ) A .3 B .4 C .5 D .7 6.公差不为零的等差数列第2,3,6项构成等比数列,则这三项的公比为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 7.已知||2,a b =r r 是单位向量,且a b r r 与夹角为60°,则()a a b ?-r r r 等于( ) A .1 B .23- C .3 D .43- 8.已知函数()f x 对任意x R ∈,有()()0f x f x +-=,且当0x >时,()()ln 1f x x =+,则函数()f x 的大致图象为( ) 9.设函数 246,0()6,0 x x x f x x x ?-+≥=? +,则不等式 ()(1)f x f >的解集是( ) A .(3,1)(3,)-+∞U B .(3,1)(2,)-+∞U C .(1,1)(3,)-+∞U D .(,3)(1,3)-∞-U 10.一个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何 体的体积为( ) A .13 B . 3 C .1 D .3 3 第Ⅱ卷 非选择题(共100分) 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分25分,把答案填写在答题卡相应的位置) 11.若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+,则(4)(4)f f '-= . 12.若椭圆的短轴为AB ,它的一个焦点为F ,则满足ABF ?为等边三角形的椭圆的离心率是 . 13.已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤?? +≥??-≤? ,则3z x y =+的最大值为 ; 14.若tan 2,α=则sin cos αα= ; 15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A (选修4—4坐标系与参数方程)已知点A 是曲线2sin ρθ=上任意一点,则点A 到直线3sin()4πρθ+=的距离的最小值是 ; B (选修4—5不等式选讲)已知2 2 ,,33,x y R x y ∈+≤则23x y +的最大值是 .; 直线MN 切C(选修4—1几何证明选讲)如图,ABC ?内接于O e ,AB AC =, O e 于点C ,//BE MN 交AC 于点E .若6,4,AB BC ==则AE 的 长 为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分) 16.(本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:w_w*w.k_s_5 u.c*o*m . k#s5_u.c (Ⅰ)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名? (Ⅱ)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.w_w*w 17.(本小题满分12分)在ABC ?中,角A,B,C 的对边分别为a ,b,c,且满足sin 3cos a C c A =, 2AB AC ?=u u u r u u u r . (Ⅰ)求ABC ?的面积; (Ⅱ)若1b =,求边c 与a 的值. 18.(本小题满分12分)各项均为正数的等比数列{}n a 中,1231,6a a a =+=. (Ⅰ)求数列{}n a 通项公式; (Ⅱ)若等差数列{}n b 满足1244,b a b a ==,求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 19.(本小题满分12分)已知ABCD 是矩形,2AD AB =,,E F 分别是线段,AB BC 的中点,PA ⊥平面ABCD . (Ⅰ)求证:DF ⊥平面PAF ; (Ⅱ)在棱PA 上找一点G ,使EG ∥平面PFD ,并说明 理由. 20.(本小题满分13分)已知函数x x g x m mx x f ln 2)(,)(=- =. (Ⅰ)当2=m 时,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; (Ⅱ)当1=m 时,判断方程)()(x g x f =在区间()1,+∞上有无实根. (Ⅲ)若(]e x ,1∈时,不等式2)()(<-x g x f 恒成立,求实数m 的取值范围. 21.(本题满分14分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上, 离心率2 e =,且点(2,0)P -在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)已知A 、B 为椭圆C 上的动点,当PA PB ⊥时,求证直线AB 恒过一个定点.并求出该定点的坐标. 数学(文科) 参考答案与评分标准 一、选择题: B 二、填空题 11.3 12. 2 13.11 14.25 15.A 52; B C .10 3 三、解答题 16.(本小题满分12分) 【解】:在100名电视观众中,收看新闻的观众共有45人,其中20至40岁的观众有18人,大于40岁的观众共有27人。 故按分层抽样方法,在应在大于40岁的观众中中抽取 32745 5 =?人. ……4分 (2)抽取的5人中,年龄大于40岁的有3人,分别记作1,2,3;20岁至40岁的观众有2人,分别高为b a ,,若从5人中任取2名观众记作),(y x ,……6分 则包含的总的基本事件有:),(),,3(),,3(),,2(),,2(),3,2(),,1(),,1(),3,1(),2,1(b a b a b a b a 共10个。…8分 其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有:),3(),,3(),,2(),,2(),,1(),,1(b a b a b a 共6个. ……10分 故P (“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=5 3 106=; ……12分 17. (本小题满分12分) 【解】:(Ⅰ)由正弦定理得sin sin cos A C C A =,……2分 sin A A =,tan A =60A =o ,……6分 由2AB AC ?=u u u r u u u r 得4b c ?=,ABC ?……8分 (Ⅱ)因1b =,故4c =,……10分 由余弦定理得a =……12分 18.(本小题满分12分)由条件知2 0,62q q q q >+=∴=……………………2分 12n n a -∴= ………… 4分 (2)设数列{}n b 公差为d ,则112,38,2b b d d =+=∴=,2n b n ∴=…………6分 2n n n a b n =? 12312 3 4 1 122232(1)222122232(1)22 n n n n n n S n n S n n -+=?+?+?++-?+?= ?+?+?++-?+?L L 2341222222n n n S n +∴-=+++++-?L ……………………8分 12(21)2n n n +=--? ……………………10分 1(1)22n n S n +∴=-+ ……………………12分 19.(本小题满分12分) 【解】:证明:在矩形ABCD 中,因为AD=2AB,点F 是BC 的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°. 所以∠AFD=90°,即AF ⊥FD . ……………………4分 又PA ⊥平面ABCD,所以PA ⊥FD .所以FD ⊥平面PAF . ……………………6分 (Ⅱ)过E 作EH//FD 交AD 于H, 则EH//平面PFD,且 AH =1 4 AD . 再过H 作HG//PD 交PA 于G , ……………………9分 所以GH//平面PFD,且 AG= 1 4 PA . 所以平面EHG//平面PFD . ……………………11分 所以EG//平面PFD . 从而点G 满足AG=1 4 PA . ……………………12分 20.(本小题满分13分) 【解】:(1)2=m 时,()x x x f 22- =,()()41',2 2'2=+=f x x f ,切点坐标为()0,1, ∴切线方程为44-=x y …………………… 3分 (2)1=m 时,令()()()x x x x g x f x h ln 21 -- =-=, ()01211)('2 2 2≥-=-+=x x x x x h ,()x h ∴在()+∞,0上为增函数…………………… 5分 又0)1(=h ,所以)()(x g x f =在()1,+∞内无实数根 ……………………7分 D (3)2ln 2<-- x x m mx 恒成立, 即()x x x x m ln 2212+<-恒成立, 又012>-x ,则当(]e x ,1∈时,1 ln 222 -+ x x m 恒成立,……………………9分 令()1 ln 222-+=x x x x x G ,只需m 小于()x G 的最小值, ()() 2 2 21) 2ln ln (2'-++-= x x x x x G ,…………………… 11分 e x ≤<1Θ,0ln >∴x ,∴ 当(]e x ,1∈时()0' 42-= e e e G , 则m 的取值范围是?? ? ??-∞-14,2 e e ……………………13分 21.(本小题满分14分) 【解】:(1)椭圆C 的方程是2 214 x y +=…………………………4分 (2) 当直线l 不垂直于x 轴时,设AB :y kx m =+ 11(,)A x y 22(,)B x y 2244x y y kx m ?+=?=+?得222(14)84(1)0k x kmx m +++-= ………………………6分 1222121212(2)(2)(1)(2)()4PA PB x x y y k x x km x x m =+++=++++++u u u r u u u r g =22 2 22 4(1)8(1)(2)401414m km k km m k k --+++++=++ …………………… 8分 22125160k m km ∴+-= 即 (65)(2)0k m k m --=6 25 m k m k ∴= =或……………10分 当65m k = 时,6 :5 AB y kx k =+恒过定点6(,0)5- 当2m k =时,:2AB y kx k =+恒过定点(2,0)-,不符合题意舍去… 12分 当直线l 垂直于x 轴时,若直线AB :65x =- 则AB 与椭圆C相交于64(,)55 A --,64(,)55 B -24444444 (,)(,)()()()05555555 PA PB ∴=-=+-=u u u r u u u r g g ,PA PB ⊥Q ,满足题意 综上可知,直线AB 恒过定点,且定点坐标为6 (,0)5 -……………… 14分 高考模拟数学试卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页,选择题部分1至2页,非选择题部分2至4页.满分150分,考试时间120分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. (命题老师:周浙柳 审题老师:徐芳芳 命题时间:) 选择题部分(共50分) 参考公式: 柱体的体积公式:V Sh = 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式:1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 台体的体积公式:)(312211S S S S h V ++= 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高 球的表面积公式:24S R π= 球的体积公式:33 4R V π= 其中R 表示球的半径 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( ) A .(,0][1,)-∞+∞U B .(1,0)- C .[1,0]- D .(,1)(0,)-∞-+∞U 2.若整数x ,y 满足不等式组 0,2100,0, x y x y y ?->? --+- 则2x +y 的最大值是( ) A .11 B .23 C .26 D .30 3.下列命题中错误.. 的是( ) A. 如果平面⊥α平面γ,平面⊥β平面γ,l =βαI ,那么γ⊥l B. 如果平面⊥α平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β C. 如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D. 如果平面⊥α平面β,过α内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于β 4 .已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于 2 π ,若将函数()y f x =的图象向左平移 6 π 个单位得到函数()y g x =的图象,则()y g x =是减函数的区间为( ) A .(,)43ππ B . (,)44ππ- C . (0,)3π D .(,0)3π - 5.在平面斜坐标系xoy 中0 45=∠xoy ,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x +=(其中21,e e 分别 为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且 俯视图 侧(左)视图 正(主)视图动点),(y x M 满足12MF MF =u u u r u u u r ,则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( ) A .0x = B .0x += C 0y -= D 0y += 6.身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形,则甲丁不相邻的不同的排法共有 ( ) A .12 B .14 C .16 D .18 7.数列{}n a 满足143 a =,2* 11(N )n n n a a a n +=-+∈,则122013111m a a a =+++L 的整数部分是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 8.在△ABC 中,已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ??==?=u u u r u u u r ,P 为线段AB 上的点,且 ,|||| CA CB CP x y xy CA CB =?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则的最大值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 非选择题部分(共100分) 二、填空题:本大题共7小题,9-12每小题6分,13-15每小题4分,共36分. 9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥体积是 ▲ ,四个面的面积中最大的是 ▲ . 10.已知实数a b c ,,满足2a b c +=,则直线 : 0l ax by c +=-恒过定点 ▲ ,该直线被圆 229x y +=所截得弦长的取值范围为 ▲ 11.已知向量1(sin cos 1),(1,2cos ),,(0,).52 a b a b π αααα=+=-?=∈r r r r ,,sin α= ▲ 、αcos = ▲ ,设函数∈+-=x x x x f (2cos )2cos(5)(αR ),)(x f 取得最大值时的x 的值是 ▲ . 12.复数1i 2i a +-(,i a R ∈为虚数单位)为纯虚数,则复数i z a =+的模为 ▲ .已知 231 (1)()()n x x x n N x *+++∈的展开式中没有常数项,且28n ≤≤,则n = ▲ . 13.将函数1112122y x x = -+-+的图像绕原点顺时针方向旋转角02 πθθ≤≤()得到曲线C .若对于每一个旋转角θ,曲线C 都是一个函数的图像,则θ的取值范围是 ▲ . 14.已知数列{}n a 满足:n n n a a a a +== +2 11,2 1,用[x]表示不超过x 的最大整数,则 12201211111 1a a a ?? +++??+++??L 的值等于 ▲ . 15.三棱锥O ABC -中,,OA OB OC ,两两垂直且相等,点P ,Q 分别是BC 和OA 上的动点,且满足 1233BC BP BC ≤≤,12 33 OA OQ OA ≤≤,则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是 ▲ . 三、解答题:本大题共5小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分14分)已知函数.3 cos 33cos 3sin )(2x x x x f += (Ⅰ)求函数)(x f 图象对称中心的坐标; (Ⅱ)如果ABC Δ的三边c b a ,,满足ac b =2,且边b 所对的角为B ,求)(B f 的取值范围。 17.(本题满分15分)如图,已知平面ABC ⊥平面BCDE , DEF ?与ABC ?分别是棱长为1与2的正三角形, AC //DF ,四边形BCDE 为直角梯形,DE //BC , ,1BC CD CD ⊥=, 点G 为ABC ?的重心,N 为AB 中点, (,0)AM AF R λλλ=∈>u u u u r u u u r , (Ⅰ)当2 3 λ= 时,求证:GM //平面DFN (Ⅱ)若直线MN 与CD 所成角为3 π ,试求二面角M BC D --的余弦值。 18.(本题满分15分)设直线l 与抛物线2 2x y =交于,A B 两点,与椭圆22 143 x y +=交于C ,D 两点,直线,,,OA OB OC OD (O 为坐标原点)的斜率分别为1234,,,k k k k ,若OA OB ⊥. (1)是否存在实数t ,满足1234()k k t k k +=+,并说明理由; (2)求OCD ?面积的最大值. 19.(本题满分15分)已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=23 12ln 23 (Ⅰ)若2=x 为()x f 的极值点,求实数a 的值; (Ⅱ)若()x f y =在[)+∞,3上为增函数,求实数a 的取值范围; (III )当2 1 -=a 时,方程()()x b x x f +-= -3113 有实根,求实数b 的最大值. 20.(本题满分15分)已知数列{}n a ,0≥n a ,01=a ,)(12121? ++∈=-+N n a a a n n n .记 n n a a a S +++=Λ21.11212111 1(1)(1)(1)(1)(1) n n T a a a a a a = +++++++++L L 求证:当*∈N n 时 (Ⅰ)101<<≤+n n a a ; (Ⅱ)2->n S n ; (Ⅲ)3n T < 数学试卷 参考答案 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 二、填空题(本大题共7小题,9-12每小题 6分,13-15每小题4分,共36分) 9.1 10.11,22??- ??? ;?? 11. 43,55 ,8 k k π π+∈. 1213.[0, )4 π 14.1 15.1[3 三、解答题(本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.解:(Ⅰ)2 3)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=πx x x x x x f 由)3 32sin( π +x =0即Z k π,213)∈(π3π32∈= =+k x z k k x 得 即对称中心为Z k π,0),2 1 -3( ∈k (Ⅱ)由已知b 2 =ac ,2 1 2-2≥2-2-cos 22222=+=+= ac ac ac ac ac c a ac b c a B 2 31≤)3π32sin(3∴1≤)3π32sin(3πsin ∴|2π-9π5||2π-3π|9 π 5≤3π323π3π≤01cos ≤21∴++<+<>+<< 即)(B f 的范围是]23 1,3(+。 17.(本题满分15分) 解:(Ⅰ)连AG 延长交BC 于P , 因为点G 为ABC ?的重心,所以 2 3 AG AP = 又23AM AF =u u u u r u u u r ,所以 2 3 AG AM AP AF ==,所以GM //PF ; 因为AC //DF ,DE //BC ,所以平面ABC //平面DEF , 又DEF ?与ABC ?分别是棱长为1与2的正三角形, N为AB中点,P为BC中点, NP//AC,又AC//DF, 所以NP//DF,得,,, P D F N四点共面 GM ∴//平面DFN (Ⅱ)平面ABC⊥平面BCDE,易得平面DEF⊥平面BCDE, 以P为原点,PC为x轴,PE为y轴,PA为z轴建立空间直角坐标系, 则 11 (1,0,0),(1,1,0),((1,0,0),(, 22 C D A F B N --,设(,,) M x y z,, AM AF λ = u u u u r u u u r Q(,) 2 M λ λ ∴, 1 (,)) 2 NM λ λλ + =- u u u u r ,(0,1,0) CD= u u u r 因为MN与CD所成角为 3 π ,所以 1 cos60 2 NM CD NM CD ? === ? o u u u u r u u u r u u u u r u u u r,得2 210 λλ +-=, 1 2 λ ∴= , 11 (, 42 M ∴, 设平面MBC的法向量(,,) n a b c = r ,则 n BC n BM ??= ? ? ?= ?? r u u u r r u u u u r ,取2) n=- r , 面BCD的法向量(0,0,1) v= r ,所以二面角M BC D -- 的余弦值cos 31 n v n v θ ? == ? r r r r。18.(本小题满分15分) 解:设直线l方程为y kx b =+, 11 (,) A x y, 22 (,) B x y, 33 (,) C x y, 44 (,) D x y. 联立y kx b =+和22 x y =, 得2220 x kx b --=, 则 12 2 x x k +=, 12 2 x x b =,2 480 k b ?=+>. 由OA OB ⊥,所以 1212 x x y y +=,得2 b=. 联立2 y kx =+和22 3412 x y +=,得 22 (34)1640 k x kx +++=, 所以 342 16 34 k x x k +=- + , 342 4 34 x x k =- + . 由2 2 192480 k ?=->,得2 1 4 k>. (1)因为12 12 12 y y k k k x x +=+=,34 34 34 6 y y k k k x x +=+=- 所以 12341 6 k k k k +=-+. (2 )根据弦长公式34CD x =-,得: CD = 根据点O 到直线CD 的距离公式,得d = , 所以2 1234OCD S CD d k ?=?=+, 0t => ,则24 OCD S t ?= ≤+ 所以当2t = ,即5 k =± 时,OCD S ? 19.解:(I )()()()[] 1 22441222122222 ++--+=--++='ax a x a ax x a x x ax a x f 因为2=x 为()x f 的极值点,所以()02='f ,即 021 42=-+a a a ,解得0=a 。……4分 (II )因为函数()x f 在[)+∞,3上为增函数,所以 ()()()[] 01 22441222≥++--+='ax a x a ax x x f 在[)+∞,3上恒成立。………6 分 ①当0=a 时,()()02≥-='x x x f 在[)+∞,3上恒成立,所以()x f 在[)+∞,3上为增函数,故0=a 符合题意。 … ……7分 ②当0≠a 时,由函数()x f 的定义域可知,必须有012>+ax 对3≥x 恒成立,故只能0>a ,所以 ()() 02441222≥+--+a x a ax 在[)+∞,3上恒成立。 ………8分 令函数()()() 244122 2 +--+=a x a ax x g ,其对称轴为a x 411- =,因为0>a ,所以1411<-a ,要使()0≥x g 在[)+∞,3上恒成立,只要()03≥g 即可,即()016432 ≥++-=a a g ,所以 41334133+≤≤-a 。因为0>a ,所以4 13