课题：函数的定义、平面直角坐标系
主备：朱贝课型：复习审核：九年级数学组
班级姓名学号
【学习目标】
1. 函数的相关概念及表示方法
2. 平面直角坐标系中，点坐标的表示和相关应用
【重点难点】
重点：函数的相关概念及表示方法，平面直角坐标系的应用难点：函数和坐标系的应用【知识梳理】
一、函数的概念及表示方法
1．在某一过程中可以取不同数值的量叫做___ _____ ，保持同一数值的量叫做。2．如果那么， y叫做x的函数，x叫做。
3．函数的三种表示方法是：、、。二、平面直角坐标系
1．点P（a，b），关于x轴对称点的坐标为 ________，关于y轴对称点的坐标为_________，关于原点的坐标为___ __；点P（a，b），到x轴的距离为；到y轴的距离为，到原点的距离为。x轴上的点A坐标为（a, ）,y轴上的点B坐标为（，b）。
2.在平面直角坐标系中，线段AB‖x轴，A（a,b）,B (c,d),则AB= ,b d；线段CD‖y轴，C（e,f）B (g,h),则CD= ,e g。
【课前练习】
1．已知点P（-2m,m-6）
（1）当m=-1时，点P在第象限；
（2）当点P在x轴上时，m= ；
（3）当点P在第三象限时，m的取值范围是。
2．点M(4,0)到点(-1,0)距离是；点P（-5，12）到x轴的距离是，到y轴的距离是，到原点的距离是。
3.在平面直角坐标系中，线段AB‖x轴，点A（2,3），AB=5，则点B的坐标为。4．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，
5．边长为a的等边三角形，其面积S= ，其中常量是，变量是，
是 的函数，自变量是 。 6．某游客为爬上3千米高的山顶看日出。先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，用1小时爬上山顶。游客爬山所用时间 与山高 间的函数关系用图形表示是( )
【例题教学】
例1、已知点A （2a-3，-4）与点B （6，b-1）关于x 轴对称．
（1）求a 、b 的值；
（2）点C （a-1，b-3）在第几象限？
（3）试求线段AB 的长；
（4）若把线段AB 绕点A 沿逆时针方向旋转60°得线段AB′，试求B′的坐标
例2、已知点A(2，0)，B(－1，6)，以AB 为一边作矩形ABCD ，使得其中一个顶点落在y 轴上，求另两个顶点的坐标。
【课堂检测】 1、将平面直角坐标系中的点P （a-2，2a+1）向左平移1个单位后位于第二象限，则a 的取值范围是（ ）
A ．0＜a ＜2
B ．1-
2＜a ＜1 C ．1-2＜a ＜2 D ．1-
2＜a ＜3 2、在平面直角坐标系中，已知点A （a,b ）.
(1) 若a 、b 同号，则点A 可能在 象限。
（2）若a 、b 异号，则点A 可能在 象限。
（3）若ab=0，则点A 可能的位置是 。
3、已知：点A （-1，0）和点B （1，2），将线段AB 平移至A ，B ，，点A ，与点A 对应，若点A ，的坐标为（1，-3），则点B ，的坐标为（ ）。
A ．（3，0）
B ．（3，-1）
C ．（3，0）
D ．（-1，3）
4、
函数y =x 的取值范围是 。 5、芳芳用水管以均匀的速度向一个容器中注水，在注水过程中，水面的高度h 与注水时间t 之间的函数图象如图所示，最后芳芳将容器注满水，则这个容器的形状大致为（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
6、甲乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息回答下列问题：
（1）乙队开挖到30m 时，用了______h.开挖6h 时，甲队比乙队多
挖了_______m ；
（2）请你求出:①甲队在0≤x ≤6的时间段内,y 与x 之间的函数关
系式；
②乙队在2≤x ≤6的时间段内，y 与x 之间的函数关系式；
（3）当x 为何值时，甲乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等，
什么时间段乙所挖河渠的长度比甲长？
【课后巩固】 1、若点M(x,y)在第二象限，且04,022=-=-y x ，则点M 的坐标是 ；若点M(x,y)满足01)2(2=-++y x ，
则点M 的坐标是 ，它关于y 轴的对称点坐标为 。 2.在直角坐标系中，点A(3,-2)、B((3,1)、C(3,4)是否共线？ ；线段AB BC(填<、=、>)
3.在直角坐标系中，已知三点A(0,0)、B((6,0)、D(4,3)，增加一点E 使四点构成平行四边形，则E 坐标为 。 4、一根2米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第5次后剩下的小棒有 米，第n 次，截去后剩下的小棒长为h 米，那么h= 。
5、李奶奶晚饭以后外出散步，碰到老邻居交谈了一会儿，返回途中，在读
报栏前看了一会儿报，如图所示的是据此情况画出的图象，请你回答下列问
题。
（1）李奶奶是在什么地方碰到老邻居的？交谈了多少时间？
（2）读报栏大约离家多远？
（3）李奶奶在哪段时间走得最快？你是怎么计算的。
6. 如图，已知正方形ABCD 的面积为4，M 是CD 的中点，点P 为一动点，并从点A 出发沿AM 方向向点M 运动，设点P 到AB 的距离PH 为x ，四边形BPMC 的面积为y ，写出y 与x 之间的关系式，画出它的图像。
7、如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标（2，OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ，点A 的对应点A ′在x 轴上，求点O ′的坐标。
第四章 函数 课时14. 平面直角坐标系与函数的概念 【课前热身】 1.函数3-=x y 的自变量x 的取值范围是 . 2.若点P(2，k-1)在第一象限，则k 的取值范围是 . 3.点A(-2,1)关于y 轴对称的点的坐标为___________；关于原点对称的点的坐标为________. 4. 如图，葡萄熟了，从葡萄架上落下来，下面图象可以大致反映葡萄下落过程中的速度v 随时间变化情况是（ ） 5.在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 顶点 A 、 B 、D 的坐标分别是（0，0），（5，0）（2，3），则 C 点 的坐标是（ ） A ．（3，7） B.（5，3） C.（7，3） D.（8，2） 【考点链接】 1. 坐标平面内的点与______________一一对应． 2. 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3. x 轴上的点______坐标为0, y 轴上的点______坐标为0. 4. P (x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________，关于y 轴对称的点坐标为________， 关于原点对称的点坐标为___________. 5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________． 6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________． 7. x y =有意义，则自变量x 的取值范围是 . x y 1=有意义，则自变量x 的取值范围是 . 【典例精析】 例1 ⑴ 在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为A （-?2，1），B （-3， -1），
专题四 函数 第一节 平面直角坐标系与函数的概念 一【知识梳理】 1.平面直角坐标系如图所示： 注意：坐标原点、x 轴、y 轴不属于任何象限。 2.点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由一个“有序实数对”组成， 如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，横坐标表示点在平 面内的 左右位置，纵坐标表示点的上下位置。 3.各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律 ①各个象限内的点的符号规律如下表。 说明：由上表可知x 轴的点可记为(x , 0) ,y 轴上的点可记做(0 , y )。⒋ 对称点的坐标特征:点P （y x ,）①关于x 轴对称的点P 1（y x -,）；②关于y 轴对称的点P 2（y x ,-）；③关于原点对称的点P 3（y x --,）。 5.坐标平面内的点和“有序实数对” (x , y)建立了___________关系。 6.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。 7.函数基础知识 (1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，对于x 的 ，y 都有
与之对应，此时称y 是x 的 ，其中x 是自变量，y 是 ． (2) 自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②在实际问题的函数式中，要使实际问题有 意义。 (3)常量：在某变化过程中 的量。变量：在某变化过程中 的量。 (4) 函数的表示方法:① ；② ；③ 。 能力培养：从图像中获取信息的能力；用函数来描述实际问题的数学建模能力。 二【巩固练习】 1. 点P(3，－4）关于y 轴的对称点坐标为_______，它关于x 轴的对称点坐标为_______． 它关于原点的对称点坐标为_____． 2.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S 随时间t 变化情况的是 ( ). 3.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点 （3，－2）上，则○炮位于点（ ） A.（－1，1） B.（－1，2） C.（－2，1） D.（－2，2） 4. 如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a ，b)在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y 为第n 层(n 为 正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（ ）． A 、y ＝4n －4 B 、y ＝4n C 、y ＝4n ＋4 D 、y ＝n 2 6. 函数y =中自变量x 的取值范围是（ ） A ． x ≥1- B ． x ≠3 C ． x ≥1-且x ≠3 D ． 1x <- 7. 如图 ，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l ），（2，－3）， ( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（ ） A ．（2，－1） B ．（2，2） C ．（2，1） D ．（3，l ） 8. 右图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y 与时间x 的函数 图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行 走的路线可能是（ ） 相帅炮
第9讲平面直角坐标系与函数 知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例 1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． （2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴). 2.点的坐标 特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）： 点P(x,y)在第一象限?x＞0，y＞0； 点P(x,y)在第二象限?x＜0，y＞0； 点P（x,y）在第三象限?x＜0，y＜0； 点P（x,y）在第四象限?x＞0，y＜0. （2）坐标轴上点的坐标特征： ①在横轴上?y＝0；②在纵轴上?x＝0；③原点?x＝0，y＝0. （3）各象限角平分线上点的坐标 ①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； ②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 （4）点P（a,b）的对称点的坐标特征： ①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)； ③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)． （5）点M（x,y）平移的坐标特征： M（x,y）M1(x+a,y) M2(x+a,y+b) （1）坐标轴上的点不属于任 何象限. （2）平面直角坐标系中图形 的平移，图形上所有点的 坐标变化情况相同. （3）平面直角坐标系中求图 形面积时，先观察所求图形 是否为规则图形，若是，再 进一步寻找求这个图形面积 的因素，若找不到，就要借 助割补法，割补法的主要秘 诀是过点向x轴、y轴作垂 线，从而将其割补成可以直 接计算面积的图形来解决. 3.坐标点的 距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|． （2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离： 点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|； 点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|． 平行于x轴的直线上的点纵 坐标相等；平行于y轴的直 线上的点的横坐标相等. 知识点二：函数 4.函数的相关 概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量 叫做变量． （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确 定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、 图像法、解析法. （3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次 根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义． 失分点警示 函数解析式，同时有几个代 数式，函数自变量的取值范 围应是各个代数式中自变量 的公共部分. 例：函数 y=3 5 x x + - 中自变量的取值范 围是x≥-3且x≠5. 5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法： ①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； ②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； ③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向. （2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： ①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的 读取函数图象增减性的技 巧：①当函数图象从左到右 呈“上升”（“下降”）状态时， 函数y随x的增大而增大（减 小）；②函数值变化越大，图 象越陡峭；③当函数y值始 终是同一个常数，那么在这 x y 第四象限 (＋，－) 第三象限 (－，－) 第二象限 (－，＋) 第一象限 (＋，＋) –1 –2 –3123 –1 –2 –3 1 2 3 O
中考数学专题复习函数与坐标系
一、 填空和选择 1.（2009，达州）在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为ρ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，则用][αρ,表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P 的坐标为（1，1），则其极坐标为[]?45, 2.若点Q 的极坐标为[]?60,4，则点Q 的坐标为（ ） A.()32,2 B.()32,2- C.（23,2） D.（2，2） 2、在坐标平面内，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若点P （2a +1，4a -15）是第四象限内的整点，则整数a = . 3.已知点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2），则线段AB 的中点 坐标为?? ? ??++2 ,22 1 2 1 y y x x . 4、在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是 ()()41A B --，，1，1，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ） A ．()43， B ．()34， C ．()12--， D ．()21--， 5. （2009仙桃）如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O (如图②)，如果图①中⊙A 上一点P 的坐标为(m ，n )，那么平移后在图②中的对应点P’的坐标为（ ）．
A ．(m ＋2，n ＋1) B ．(m －2，n －1) C ．(m －2，n ＋1) D ．(m ＋2，n －1) 7、正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转90°后，B 点的坐标为（ ） A ．（4，0） B ．（4，1） C ．（-2，2） D ．（3，1） 8.将点A （4，0）绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点A ’，则点A ’的坐标是（ ） A ．)2,32( B ．（4，-2） C ．)2,32(- D ．)32,2(- 9.如图，相交于点（5，5）的互相垂直的直线l 1和l 2与x 轴和y 轴相交于点A 和点B ，则四边形OAPB 的面积为 . 10、如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A 、B 分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点，设点P 的横坐标为x ， PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：x d 53 5-=(0≤x ≤5)，则结论： ① AF = 2 ② BF =5 ③ OA =5 ④ OB =3中，正确结论的序号是 . 11. （09山东潍坊）已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶 O y x l 1 l 2 A B P
平面直角坐标系与函数知识要点归纳 怎样确定自变量的取值范围
函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素。求函数自变量的取值范围通常有以下七种方法： 一、整式型：当函数解析是用自变量的整式表示时，自变量的取值范围是一切实数。 例1. 求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）；（2） 5 3213-=x y ）（ 二、分式型：当函数解析式是用自变量的分式表示时，自变量的取值范围应使分母不为零。 例2. 函数中，自变量x 的取值范围是________。 三、偶次根式型（主要是二次根式）： 当函数解析式是用自变量的二次根式表示时，自变量的取值应使被开方数非负。 例3. 函数中，自变量x 的取值范围是________。 四、零指数或负指数： 当函数解析式是用自变量的零指数或负指数表示时，自变量的取值应使零指数或负指数的底数不为零。 例4、函数y=3x +(2x-1)0+(-x +3)-2 五、综合型：当函数解析式中含有整式、分式、二次根式、零指数或负指数时，要综合考虑，取它们的公共部分。 的取值范围是中，自变量、函数例x x x x x y 20 )3(1)2(5-++---= 。 六、实际问题型：当函数解析式与实际问题挂钩时，自变量的取值范围应使解析式具有实际意义。 例6. 拖拉机的油箱里有油54升，使用时平均每小时耗油6升，求油箱中剩下的油y （升）与使用时间t （小时）之间的函数关系式及自变量t 的取值范围。 七、几何问题型：当函数解析式与几何问题挂钩时，自变量的取值范围应使解析式具有几何意义。 例7. 等腰三角形的周长为20，腰长为x ，底边长为y 。求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围。
初二数学期末复习专题《平面直角坐标系与函数的图像》 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．在平面直角坐标系中，和有序实数对一一对应的是( ) A．x轴上的所有点B．y轴上的所有点 C．平面直角坐标系内的所有点D．x轴和y轴上的所有点 2．如图，小手盖住的点的坐标可能为( ) A．（－4，－6) B．（－6，3) C．(5，2) D．（3，－4) 3．点A（0，－5）在( ) A．x轴上B．y轴上C．第三象限 D．第四象限 4．在平面直角坐标系中，点A(1，2)的横坐标乘－1，纵坐标不变，得到点A'，则A与A'的关系是( ) A．关于x轴对称B．关于y轴对称 C．关于原点对称D．不确定 5．已知点P(x，y)，Q(m，n)，如果x＋m＝0，y＋n＝0，那么点P与Q ( ) A．关于原点对称B．关于戈轴对称 C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称 6．将某图形各顶点的横坐标都减去2，纵坐标不变，则该图形( ) A．向右平移2个单位B．向左平移2个单位 C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位 7．点A(1，2)向右平移2个单位得到对应点A'，则点A'的坐标是( ) A．(1，4) B．(1，0) C．(－1，2) D．(3，2) 8．线段MN在平面直角坐标系中的位置如图所示，线段M1N1与MN关于y轴对称，则点M的对应的点M1的坐标为( ) A．(4，2) B．（4，－2）C．（－4，2）D．（－4，－2）9．（2013．成宁）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x
轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于1 2 MN的长为半径画弧，两弧 在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b＋1），则a与b的数量关系为( ) A．a＝b B．2a＋b＝－1 C．2a－b＝1 D．2a＋b＝1 10．如图所示，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2014次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2014的位置，则P2014的横坐标x2014＝( ) A．2012 B．2013 C．2014 D．无法确定 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．小明坐在教室的位置是进门的第三排，第四列，记作(3，4)，小芳的座位记为(4，3)，那么小芳在第_______排，第_______列． 12．点A(－3，5)在第_______象限，到x轴的距离为_______，点A关于x轴的对称点坐标为_______． 13．已知x轴上点P到y轴的距离是3，则点P的坐标是_______；若点Q到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则点Q的坐标是_______． 14．一只蚂蚁由(0，0)先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，再向下爬2个单位长度后，它所在位置的坐标是_______． 15．已知长方形ABCD中，AB＝5，BC＝8，并且AB∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），则点C的坐标为_______． 16．如图，已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标：_______． 17．△ABC中BC边上的中点为M，把△ABC向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到△A1B1C1的B1C1边上的中点M1的坐标为（－1，0），则M点坐标为_______．18．如图，围棋棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，为记录棋谱方便，横线用数字表示，横线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)，则白棋⑨的位置应记为_______．
初中数学函数之平面直角坐标系解析含答案 一、选择题 1．为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示点A 的坐标为 ，表示点B 的坐标为，则表示其他位置的 点的坐标正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 正确建立平面直角坐标系，根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可． 【详解】 建立平面直角坐标系，如图： 则 . 表示正确的点的坐标是点D. 故选B. 【点睛】 本题主要考查坐标确定位置，确定坐标原点和x ，y 轴的位置及方向，正确建立平面直角坐标系是解题关键. 2．如图，在平面直角坐标系中，()11A ，，()11B ，-，()12C --， ，()12D -，，把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细不略不计）的一端固定在点A 处，并按
A B C D A -----…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（） A．（1，0）B．（1，1）C．（-1，1）D．（-1，-2） 【答案】A 【解析】 【分析】 根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案． 【详解】 解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）， ∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3， ∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10， 2019÷10=201…9， ∴细线另一端在绕四边形第202圈的第9个单位长度的位置， 即细线另一端所在位置的点的坐标是（1，0）． 故选：A． 【点睛】 本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2019个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．3．下列说法正确的是（） A．相等的角是对顶角 B．在同一平面内，不平行的两条直线一定互相垂直 C．点P(2，﹣3)在第四象限 D．一个数的算术平方根一定是正数 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用对顶角的性质以及算术平方根和平行线的性质以及坐标与图形的性质分别分析得出答案． 【详解】
二次函数与直角坐标系 一、这类题目常用的函数表达式： 1、抛物线的顶点在原点：； 2、抛物线的顶点在y轴上：； 3、知道顶点坐标： 例某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示。 （1）试求抛物线的表达式； （2）若菜农身高1.60米，则她在不弯腰的情况下，横向活动范围有几米？
2.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为O. 9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E。以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9. (1)求该抛物线的解析式； (2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高； (3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图像，写出t的取值范围。 .如图17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立 直角坐标系. (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB， 使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
家庭作业 1.有一座抛物线型拱桥，正常水位时桥下水面宽为20米，拱顶距离水面4 米。 （1）求出如图所示的直角坐标系中的抛物线表达式。 （2）设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水 面的宽度不得小于18米。求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下 顺利进行 2.（08兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图16所示），拱高6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为5m． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图17所示），求抛物线的 解析式； （2）求支柱EF的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其 中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔 忽略不计）？请说明你的理由． x 图16
把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！ 2016年中考数学专题复习 第十一讲平面直角坐标系与函数 【基础知识回顾】 一、平面直角坐标系： 1、定义：具有的两条的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称轴轴或轴轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个 2、有序数对：在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对来表示，如A（a .b），（a .b）即为点A的其中a是该点的坐标，b是该点的坐标平面内的点和有序数对具有的关系。 3、平面内点的坐标特征： ① P（a .b）：第一象限第二象限 第三象限第四象限 X轴上 Y轴上 ②对称点：
(,) (,) (,)x P a b P a b P a b ?????→?????→?????→关于轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 ③特殊位置点的特点：P（a .b）若在一、三象限角的平分线上，则 若在二、四象限角的平分线上，则 ④到坐标轴的距离：P（a .b）到x轴的距离到y轴的距离到原点的距离 ⑤坐标平面内点的平移：将点P（a .b）向左（或右）平移h个单位，对应点坐标为（或），向上（或下）平移k个单位，对应点坐标为（或）。 名师提醒：坐标平面内点的坐标所具备的特征必须结合坐标平面去理解和记忆，不可生硬死记一些结论。 二、确定位置常用的方法： 一般由两种：1、 2、。 三、函数的有关概念： 1、常量与变量：在某一变化过程中，始终保持的量叫做常量，数值发生的量叫做变量。 名师提醒：常量与变量是相对的，在一个变化过程中，同一个量在不同
情况下可以是常量，也可能是变量，要根据问题的条件来确定。 2、函数： ⑴函数的概念：一般的，在某个过程中如果有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有的值与之对应，我们就成x是，y是x的。 ⑵自变量的取值范围： 主要有两种情况：①、解析式有意义的条件，常见分式和二次根式两种情况 ②、实际问题有意义的条件：必须符合实际问题的背景 ⑶函数的表示方法： 通常有三种表示函数的方法：①、法②、法③、法 ⑷函数的同象： 对于一个函数，把自变量x和函数y的每对对应值作为点的与 在平面内描出相应的点，符合条件的所有的点组成的图形叫做这个函数的同象
第十五讲 函数与坐标系 【学习目标】 1、复习平面直角坐标系的有关概念，明确点的位置与点的坐标之间的关系 2、复习函数的一般概念，以及用解析法表示简单的函数，会画函数的图像 3、进一步培养函数的思想以及数形结合的思想 【知识要点】 1、 平面直角坐标系的基本知识： ①直角坐标系的画法；②坐标系内各象限的编号顺序及各象限内点的坐标的符号 2、函数的定义，以及用解析法表示函数时要注意考虑自变量的取值必须使解析式有意义 3、函数的图象： （1）函数图象上的点的坐标都满足函数解析式，以满足函数解析式的自变量值和与它对应的函数值为坐标的点都在函数图象上． （2）知道函数的解析式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图象： 列表．在自变量的取值范围内取一些值，算出对应的函数值，列成表． 描点．把自变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点． 连线．按照自变量由小到大的顺序、用平滑的曲线把所描各点连结起来． 【典型例题】 例1、点P （－1，－3）关于y 轴对称的点的坐标是_____________;关于x 轴的对称的点的坐标是 ____________；关于原点对称的点的坐标是____________。 例2、（1）若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 （2）已知点P (a ,b )，a ·b >0，a ＋b <0，则点P 在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 （3）已知点P (x ,y )的坐标满足方程|x ＋1|＋y －2 =0,则点P 在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 （4） 已知点A 233x x --，在第二象限，化简491232x x x +---=________ 例3、函数自变量的取值范围： (1)函数y ＝1x －1 中自变量x 的取值范围是
第二章 函 数 第一节 平面直角坐标系及函数 一、考情分析： 本节知识在学业水平测试中占有重要地位，测试要求总体难度较低，但也有难度较高的题目考察，本节知识重点考察自变量的取值范围，多以填空题、选择题的考察形式出现。2012-2019年云南省的学业水平测试对知识点的考察中，省卷考察6-13分，昆明卷考察3分，曲靖卷考察3分，属常考点。 二、考点分析： 命题点1：坐标系中点的坐标特征 命题点2：函数自变量的取值范围 三、考点梳理： 1、各象限点的坐标特征:第一象限： ；第二象限： ； 第三象限： ；第四象限： 。 2、坐标轴上点的坐标特征：点在x 轴上则 ；在y 轴上则 ； 3、坐标系中点的对称： 点关于x 轴对称： ；点关于y 轴对称： ； 点关于坐标原点对称： ； 4、点到坐标轴及原点的距离：点P （a,b ）到x 轴的距离为 ；到y 轴的距离为 ； 到坐标原点的距离为 。 四、精讲点拨： 例1：在平面直角坐标系中，将点P （-2,1）向右平移3个单位长度，在向上平移4个单位长度长度得到点P 1的坐标为 。 例2：在平面直角坐标系中，点P 在第四象限，且点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为5，则点P 关于直线x=2的对称点为 。 例3：已知点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4。 （1）若M 位于第一象限，则其坐标为 ； （2）若M 位于x 轴的上方，则其坐标为 ； （3）若M 位于y 轴的右侧，则其坐标为 ； 例4：函数3 -1-x x y =的自变量x 的取值范围是 。
五、课堂检测： 1、函数y＝x＋3中自变量x的取值范围是________． 2、在平面直角坐标系中，将点A(－2，3)向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是________． 3、在平面直角坐标系中，点P(－3，－5)关于原点对称的点的坐标是( ) A. (3，－5) B. (－3，5) C. (3，5) D. (－3，－5) 4、在平面直角坐标系中，若点P(m－2，m＋1)在第二象限，则m的取值范围是( ) A. m <－1 B. m > 2 C. －1< m < 2 D. m >－1 5、若点A(1＋m，1－n) 与点B(－3，2)关于y轴对称，则m＋n的值是( ) A. －5 B. －3 C. 3 D. 1 6、在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是( ) A. (3，－4) B. (4，－3) C. (－4，3) D. (－3，4) 7、已知点A(m2－2，5m＋4)在第一象限角平分线上，则m的值为( ) A. 6 B. －1 C. 2或3 D. －1或6 六、拓展延伸： 1、函数y＝ 1 2x－1 中自变量x的取值范围是________． 2、函数y＝2x＋1 x－3 中自变量x的取值范围是________． 3、“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是( ) 4、如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为( )
直角坐标系函数的基础 一、单选题 1．如图，一个函数的图象由射线、线段、射线组成，其中点，，，，则此函数（） A. 当时，随的增大而增大 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【来源】2018年浙江省绍兴市中考数学试卷解析 【答案】A 【点评】考查一次函数的图象与性质，读懂图象是解题的关键. 2．函数中，自变量x的取值范围是（） A. x≠0 B. x＜1 C. x＞1 D. x≠1 【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷 【答案】D 【解析】【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，计算即可得出答案. 【详解】依题可得：x-1≠0，
∴x≠1， 故选D. 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解本题的关键. 3．函数y=中自变量x的取值范围是（） A. x≥-1且x≠1 B. x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1 【来源】湖北省黄冈市2018年中考数学试题 【答案】A 点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆． 4．如图，一个函数的图象由射线、线段、射线组成，其中点，，，，则此函数( ) A. 当时，随的增大而增大 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而减小 【来源】浙江省义乌市2018年中考数学试题 【答案】A 【解析】分析：观察函数图象,结合各点坐标即可确定出各选项的正误． 详解：由点，可知，当时，随的增大而增大，故A正确；
第三章函数 第1讲函数概念与平面直角坐标系 考纲要求2017年命题趋势1．会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的 位置，由点的位置写出点的坐标． 2．掌握坐标平面内点的坐标特征． 3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析． 4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值. 根据往年命题情况，选择题多为压轴题，复习时重点关注函数自变量的取值范围和实际背景下的函数图像的判断. 课前回顾（要点基础知识梳理） 一、平面直角坐标系与点的坐标特征 1．平面直角坐标系 如图，在平面内，两条互相的数轴的交点O称为，水平的数轴叫，竖直的数轴叫，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限． 2．各象限内点的坐标的符号特征（如上图）3．坐标轴上的点的坐标特征 点P(x，y)在x轴上?y＝； 点P(x，y)在y轴上?x＝； 点P(x，y)在坐标原点?x＝，y＝ . （+ ，+）（，） （，）（，）
二、特殊点的坐标特征 1.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征： ①平行于x 轴 相同； ②平行于y 轴 相同． 2．点P(a ，b)对称点的坐标 其关于x 轴的对称点P 1的坐标为( ， )； 其关于y 轴的对称点P 2的坐标为（ ， ）； 其关于原点的对称点P 3的坐标为( ， )． 3．点的平移 将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点( ， )[或( ， )]； 将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点( ， )[或( ， )]． 三、点与点、点与线之间的距离． 1.点M （a ，b )到x 轴的距离为 ． 2.点M （a ，b ）到y 轴的距离为 ． 3.点M 1（x 1，0）M 2（x 2，0）之间的距离为 ． 点M 1(x 1，y )，M 2(x 2，y )之间的距离为 4.点 M 1（0，y 1），M 2 （0，y 2）之间的距离为 ． 点M 1(x ，y 1)，M 2(x ，y 2)之间的距离为 . 四．函数． （1）概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ， 对于x 的每一个值，y 都有 的值与其对应， 那么就称x 是自变量，y 是x 的函数． （2）确定函数自变量的取值范围： ① 使函数关系式 的自变量的取值的全体； ②一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；零次幂底数不为零；开偶次方的被开方 数为非负数；使实际问题有意义． （3）函数的表示法： 、 、 ． ? ?
平面直角坐标系与函数的概念 ◆【课前热身】 1.如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A 上一点P 的坐标为(m ，n)，那么平移后在图②中的对应点P ’的坐标为（ ）． A ．(m ＋2，n ＋1) B ．(m －2，n －1) C ．(m －2，n ＋1) D ．(m ＋2，n －1) 2.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠=°，B 的坐标为（ ） A ．2， B ．2)， C ．211)， D ．21)， 3.点(35)p ，关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ． (3,5) B ． (5,3) C ．(3,5) D ． (3,5) 4.函数2y x = +x 的取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤ 5.在函数1 31y x = -中，自变量x 的取值范围是（ ） A.13x < B. 13x ≠- C. 13x ≠ D. 13 x > 【参考答案】 1. D 2. C 3. D x y O C B A （第2题）
4. B 【解析】本题考查含二次根式的函数中中自变量的取值范围，由于二次根式a 中a 的 范围是0a ≥；∴2y x =+中x 的范围由20x +≥得2x ≥-. 5. C ◆【考点聚焦】 〖知识点〗 平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法 〖大纲要求〗 1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标； 2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数； 3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图象. 〖考查重点与常见题型〗 1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题； 2.考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题； 3.考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取值范围，题型多为填空题； 4．函数自变量的取值范围. ◆【备考兵法】 1.理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点. 2.要进行自变量与因变量之间的变化图象识别的训练，真正理解图象与变量的关系. 3.平面直角坐标系： ①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；
平面直角坐标系与函数 基础题目 一选择题 1.在平面直角坐标系中，点P（x2+2，-3）所在的象限是（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2.在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标是（） A．（3，-4）B．（4，-3）C．（-4，3）D．（-3，4） 3.已知：如图，等边三角形OAB的边长为23边OA在x轴正半轴上，现将等边三角形OAB 绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2020次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（）A.（3，1）B．（0，-1）C．（3-1） D．（0，-2） 4.如图，一个函数的图象由射线BA，线段BC，射线CD组成、其中点A(-2，2)，B(1，3)，C（2,1），D(6，5)，则（） A.当＜2时，y随x的增大而增大 B.当x＜2时，y随x的增大而减小 C.当x＞2时，y随x的增大而增大 D.当x＞2时，y随x的增大减小 5.（2020?河南模拟）如图，矩形ABCD的周长是28cm，且AB比BC长2cm．若点P从点A 出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）之间的函数图象大致是（）
第3题图 第4题图 第5题图 A B C D 6.若点A （n ，m ）在第四象限，则点B （m 2，-n ）在（ ） A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第可以象限 二填空题 7.点P （m ，2）在第二象限内，则m 的值可以是__________.（写出一个即可） 8.已知点P （x ，y ）位于第四象限，并且x ≤y+4（x ，y 为整数），写出一个符合条件的点P 的坐标：__________. 9.函数13 x y x -=-的自变量x 的取值范围是__________. 10中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“炮”位于点 __________. 11.如图，已知点A 1（1，1），将点A 1向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得 到点A 2；将点A 2向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点A 3；将点A 3向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到点A 4，…按这个规律平移下去得到点A n （n 为正整数），则点A n 的坐标是__________.
课题：函数的定义、平面直角坐标系 主备：朱贝课型：复习审核：九年级数学组 班级姓名学号 【学习目标】 1. 函数的相关概念及表示方法 2. 平面直角坐标系中，点坐标的表示和相关应用 【重点难点】 重点：函数的相关概念及表示方法，平面直角坐标系的应用难点：函数和坐标系的应用【知识梳理】 一、函数的概念及表示方法 1．在某一过程中可以取不同数值的量叫做___ _____ ，保持同一数值的量叫做。2．如果那么， y叫做x的函数，x叫做。 3．函数的三种表示方法是：、、。二、平面直角坐标系 1．点P（a，b），关于x轴对称点的坐标为 ________，关于y轴对称点的坐标为_________，关于原点的坐标为___ __；点P（a，b），到x轴的距离为；到y轴的距离为，到原点的距离为。x轴上的点A坐标为（a, ）,y轴上的点B坐标为（，b）。 2.在平面直角坐标系中，线段AB‖x轴，A（a,b）,B (c,d),则AB= ,b d；线段CD‖y轴，C（e,f）B (g,h),则CD= ,e g。 【课前练习】 1．已知点P（-2m,m-6） （1）当m=-1时，点P在第象限； （2）当点P在x轴上时，m= ； （3）当点P在第三象限时，m的取值范围是。 2．点M(4,0)到点(-1,0)距离是；点P（-5，12）到x轴的距离是，到y轴的距离是，到原点的距离是。 3.在平面直角坐标系中，线段AB‖x轴，点A（2,3），AB=5，则点B的坐标为。4．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4， 5．边长为a的等边三角形，其面积S= ，其中常量是，变量是，
中考专题复习 第三章函数及其图象 第十一讲：平面直角坐标系与函数 【基础知识回顾】 、平面直角坐标系: 1、定义：具有 ____________ 的两条______________ 的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称_____ 轴______ 轴或_______ 轴______ 轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个______________ 2、有序数对：在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对_________________ 来表示，如A（ a .b），（a .b ）即为点A的__________ 其中a是该点的__________ 坐标，b是该点的________ 坐标平面内的点和有序数对具有___________________ 的关系。 3、平面内点的坐标特征 P（a ,b）— 关于原点的对称点 ③特殊位置点的特点：P（ a .b ）若在一、三象限角的平分线上，则 _________ 若在二、四象限角的平分线上，则_________ ④到坐标轴的距离：P（a .b ）到x轴的距离____________ 到y轴的距离__________ 到原点的距离_ ⑤坐标平面内点的平移：将点P（ a .b ）向左（或右）平移h个单位，对应点坐标为 _____________ （或____________ ），向上（或下）平移k 个单位，对应点坐标为__________________ （或_______________ ）。
【名师提醒：坐标平面内点的坐标所具备的特征必须结合坐标平面去理解和记忆，不可生硬死 记一些结论。】 二、 确定位置常用的方法： 一般由两种：1、 2 、 。 三、 函数的有关概念： 1、 常量与变量：在某一变化过程中，始终保持 ______________ 的量叫做常量，数值发生 的量叫做变量。 【名师提醒：常量与变量是相对的，在一个变化过程中，同一个量在不同情况下可以是常量， 也可能是变量，要根据问题的条件来确定。】 2、 函数: ⑴、函数的概念：一般的，在某个 ____________ 过程中如果有两个变量 x 、y ，如果对于 个确定的值，y 都有 _____________ 的值与之对应，我们就成x 是 _____________ ,y 是x 的_ ⑵、自变量的取值范围： 主要有两种情况：①、解析式有意义的条件，常见分式和二次根式两种情况 ②、实际问题有意义的条件：必须符合实际问题的背景 ⑶、函数的表示方法： 通常有三种表示函数的方法：①、 ____________ 法②、 _______________ 法③、_ 法 ⑷、函数的同象： 对于一个函数，把自变量 x 和函数y 的每对对应值作为点的 _____________ 与 _______ 在平面内描岀相应的点，符合条件的所有的点组成的图形叫做这个函数的同象 【名师提醒：1、在确定自变量取值范围时要注意分式和二次根式同时存在，应保证两者都有意 义，即被开方数应 _______________________ 同时分母应 ____________ 。 2、 函数的三种表示方法应根据实际需要选择，有时需同时使用几种方法 3、 函数同象是在自变量取值范围内无限个点组成的图形，图象上任意一点的坐标是解析式 方程的一个解，反之满足解析式方程的每一个解都在函数同象上】 【重点考点例析】 x 的每一 。