高等量子力学习题
? 量子力学中的对称性
1、 试证明：若体系在线性变换Q
?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为体系的哈密顿算符，变换Q
?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z
e
的矩阵表示。 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n
转θd 角，在此转动下，
态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。试导出转动算符),(θd n U
的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U
下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。
7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π
-=。
8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。
? 角动量理论
1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定
义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。 2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
3、 定义角动量升降算符y
x J i J J ???±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。
4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。
5、 设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J
相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量
量子数j 的取值情况。
6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：
1
13
3222
22
21
133111
12
2332
2332
2111
1212)1(1
212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=
7、 已知在3?s
表象中，???
? ??=01102?1 s ，????
??-=002?2i i s ，问在1?s 表象中2?s 的矩阵表示是怎样的？ 8、 已知∑>>>=
1
13
32
2112211|||m m m j m j m j m j m j C
jm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，
1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。
试证明：∑>>=
>jm
m j m j m j jm C
m j m j |||3
32
2112211
9、 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为nlj E ，试证明：无论这两个粒子是玻色
子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数J 必为偶数。
? D 函数
1、 设坐标系xyz O -绕空间任意轴n
转n d θ角，到达'''z y x O -。在该转动下角动量算符J
的本征函数)(τψjm 变为)()'(τψτψθjm J n d i jm n e
?-=。试证)'(τψjm 是2
J 和'
?z J 的共同本征函数，这里'
?z J 为J
在'z 轴上的投影。 2、 证明转动算符J n d i n e
?-θ可表为z y z n J i J i J i J n d i e
e
e
e
???γβαθ
---?-=，其中α、β、γ为欧拉角。
3、 证明d 函数>=<-jm e
jm d
y J i j
mm ||')(?'
ββ
具有如下的对称性：
)()()()1()('''''ββββj m m j m m j m m m m j m m d d d d ---=-=--=
4、 试利用D 函数的幺正性，给出∑='
'')()()'(m jm j
m m jm D
τψαβγτψ的逆变换关系式。
5、 对于无穷小转角δ?，求证：
1'1''')1()1()(2
1
)1()1()(2
1)1()(-+--++-+-+---=m m y x m m y x m
m z j
m m m m j j i i m m j j i i m i D δδ?δ?δδ?δ?δδ?δ?
6、 对于自旋为2/1和1的态函数，计算相应的D 函数的矩阵表示。
7、 证明两个D 函数的乘积满足如下关系
∑++++=j
j m m m jm m j m j l l l j m j m D C C D D 21212
12
2112132211222111μμμμμμμμ 8、 试利用上题结果及D 函数与球谐函数的关系，推导出三个球谐函数的积分公式：
3
32211321112233000321*
)
12(4)12)(12()()()(μμμμμμπΩθ?θ?θ?l l l l l l l l l C C l l l d Y Y Y +++=
?
9、 试证明∑=
m
lm lm Y Y
I )()(2211*?θ?θ是坐标系转动下的不变量，进而证明球谐函数加法定
理：∑+=
m
lm lm l Y Y l P )()(124)(cos 2211*
?θ?θπθ。 ? 不可约张量算符
1、 称按规律
∑==-'
'
'1)(?)()'(?)()(?)(m lm l m m lm n lm n T D T d n U T d n U ταβγτθτθ 变换的12+l 个算符),,1,)((?l l l m T lm
--= τ为l 阶不可约张量算符，试证明这个定义 与不可约张量算符的Racah 定义是等价的。
2、 设)(?)(?2
12211ττm l m l T T 和分别为1l 阶和2l 阶不可约张量算符，求证由下式定义的算符)(?2
1ττLM T 为L 阶不可约张量算符： ∑=2
122112
211)(?)(?)(?212
1m m m l m l LM
m l m l LM T T C
T ττττ。
3、 微观粒子间的相互作用位能，一般包含张量力项12?)(S r V T ，其中12
?S 为张量算符，其表达式可写为
∑--=-?=?-??=m
m
m m S Y S
r r S r r r S 2222
2
1212
2112?)(2)
(6)
())((3?
σσσσ 其中∑+---+---=μ
μμμμm m
m m
S S C S ???21,12。试证明12?S 的这三个定义是等价的。
4、 设∑=
mM
jm LM JM jmLM
JM T C
J J )()(?)(τψττψ，其中)(?τLM
T 为不可约张量算符，)(τψjm 为角动量本征函数。试证如此定义的)(τψJ JM 一定是角动量的本征函数。
5、 求约化矩阵元?||||'>= j 6、 一阶不可约张量算符在角动量表象中的矩阵元可按以下公式计算 211)1(|)?(?|'|?|' +>?<>= 2 11)1(|)?(||?|'|?|' +>?><<>= )(0S g L g S L +=μμ，其中0μ为微观粒子的玻尔磁子。 8、 ? 多个角动量耦合 1、 试证明三个C-G 系数乘积的求和公式 ∑=12 322323113312122323 332212122211);(2312321m m m jm m j m j jm m j m j m j m j m j m j m j m j C j j jj j j U C C C 。 2、 试证明两个Racah 系数乘积的求和公式 ∑++++++-=23 312312321);();()1();(312313223123211231213j j j j j j j j j j jj j j U j j jj j j U j j jj j j U 3、 试计算矩阵元>?<2121|)2(?)1(?|''j jmj T T j jmj L L 和><2 121|)1(?|''''j jmj T j j m j LM 4、 试证明一个角量子数为零的j -9符号可化简为 ? ?? ?? ?++-=?? ? ?? ?????+++243 43423224 3 344322)12)(12()1(0 342432j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j ? 二次量子化方法 1、 给定算符a a n a a + + =?，，，且满足1},{=+a a ，02 2==+a a ，试证：1）n n ??2 =；n ?的本征值只能取1和0。2）在n ?对角化表象中，给出a a ，+ 和n ?的矩阵表示。 2、 设0}?,{}?,?{1}?,?{===+++a a a a a a ，，令a a n ???+ =，证明 >->=>+->=+1||?1|1|?n n n a n n n a 3、 令αααa a n ???+ =，证明无论对玻色子还是费米子，均有 ααααααa a n a a n ?]?,?[?]?,?[-==+ + 其中α为量子态标记。 4、 考虑一玻色子体系，其哈密顿量具有如下形式 ∑∑≠=+=N N V T H )(,1 21βαβααβαα 其中2 22αα?-=m T 为单粒子动能算符，|)(|βααβr r V V -=为两粒子相互作用能。选取 箱归一化的动量本征函数r p i p e L r ?-=2/3)(ψ作为单粒子波函数。试证明，哈密顿量H 在二次量子化表象中可写成如下形式 i k m l k k p p p p lmki i l p p k k a a a a p p L a a m p H ++-+∑∑-+=)(2123 2ν， 式中q d e q V p q p i ?-?=|)(|)(ν，第二项求和是在条件k i m l p p p p +=+限制下作出的。 5、 某费米子体系的每个单粒子能级都是二重简并的，属于单粒子能级με的两个简并态用 νν、标记，相应的产生、消灭算符记为ννννa a a a 、、、++。定义 +++=νννa a S ，ννννa a S S ==++)(， νννννa a a a n +++=? )(ννS S +是能级με上产生（消灭）一对粒子的算符，νn ?是能级上的粒子数算符。证明 μνννμδ)?1(],[n S S -=+， μνννμδ++=S S n 2],?[， μνννμδS S n 2],?[-=。 6、 证明由表达式 >>= ++0|)()(!!1|2 1212121 n n a a n n n n ， 和12)()(|0!!1 |122121n n a a n n n n <= < 定义的多粒子体系的基矢（对费米子和玻色子同样适用）满足对称化要求，即它是交换 算符ij P ?的本征态矢，相应的本征值对玻色子为+1，对费米子为-1。 7、 均匀外场ε中质量为m ，所带电荷为e -，频率为ω的一维谐振子体系。引入玻色子 算符 ,2/)??(?ωω m p i x m a += ωω m p i x m a 2/)??(?-=+， 试证明可将哈密顿量表成 )??()2 1??(?a a a a H +++=++λω ， 并将其对角化。式中ω ε λm e 2 =。 ? 相对论量子力学 1、 已知μμαα=+ ，μνμννμδαααα2=+，试在βα=4为对角的表象中建立μα的矩阵表 示。 2、 对于自由电子，证明|)|/(p p e e =?σ是守恒量，并求出其本征值。 3、 试证明矢量算符 e e O ?-+=∑β∑β)1( 满足角动量算符的对易关系，而且与自由电子的哈密顿量对易。进而求出i O ?的本征值。 4、 中微子是自旋为1/2，静质量为0的基本粒子。试仿照建立自由电子Dirac 方程的方法， 建立中微子的相对论性波动方程。［参见曾谨言《量子力学》（卷II ）］ 5、 求狄拉克粒子在深为0V 、宽为a 的一维方势阱中的能级。 6、 设在0=t 时，电子的归一化态矢量为 /11)0,(pz e d c b a V x ?? ??? ? ? ??=ψ， 其中d c b a ,,,与t x , 无关，而且满足 1||||||||2222=+++d c b a 。 试求出电子处于态：0>E ，自旋向上；0>E ，自旋向下；0 ? 路径积分方法 1、证明传播子)'',""(t r t r K 所满足的组合规则。 2、试在薛定谔图象下计算三维自由粒子的传播子。 3、试在薛定谔图象下计算一维谐振子的传播子，并推广到三维情况。 4、试利用路径积分的方法计算一维自由粒子的传播子［参见曾谨言《量子力学》（卷II ）］。 高等量子力学习题（补充） ? 量子力学中的算符 1、试证复数共轭算符K 为反幺正算符，并求解其本征问题。 ? 量子力学基本原理 1、 试证由关系式 ??<>=dtds t t s k s F |),(| 定义的算符是线性厄米算符，其中核),(t s k 是实函数。 2、 设λ是一个小参量，算符A ?存在逆算符，求证 +++=---------111121111?????????)??(A B A A B A A B A A B A λλλ ? 角动量理论 10、 已知在2?L 、z L ?表象中，1=l 时，x L ?和y L ?的矩阵表示分别为 ???? ? ??=010*******? x L ，????? ??--=000002?i i i i L y ， a) 求x L ?、y L ?的本征值和本征函数； b) 求在)(11θ?Y 态上测量x L ?能得到哪些值？相应的测量几率是多大？ 11、 已知位置空间中绕y 轴转π角的转动),2(πC 映射到电子的自旋态空间有转动算 符y S i y e e U ?),(ππ-= ， 证明：（１）y y i e U σπ -=),( （２）x S i x S i S e S e y y ??? ? -=-ππ 12、 定义角动量升降算符y x J i J J ???±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为nlj E ，试证明：无论这两个粒子是玻色子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数J 必为偶数。 快速搞懂量子力学的形式体系和核心概念的建议 ------量子力学闲谈 2008-01-28 03年前，考研结束后，哥们儿在太傻发了一篇文章：《献给……》，我想对于考物理的同学来说量子是必须的。我一直在想可能是国内流行的一些教材的失误造成了大多数人对着门学科的难以掌握，就算你能解题，也基本上是概念茫然，当然，有时连题目都不知道什么意思，更不知如何下手，有时，算着算着突然不知道意思了，……其实这些都不是咱们的错。想起当年本人上课时，量子老师（老牛人）说，“现在教量子的那些人那里懂量子呀！”哥们当时只是笑。现在才明白果然不错。其实，目前而言，在下对量子也是刚入点门而已，不过，对于国内的考研量子力学题我现在是把握全部搞定的，要是当初就这么猛就好了.我把一些想法写下来算是抛砖引玉了！ 一、选书的建议 对于量子力学最重要的是概念的清晰把握，只有明白了量子力学的形式体系和核心概念才会觉得的量子好神秘啊！才会在解题时不至于找不到北。真正的掌握它的概念需要学习Hilbert空间的知识和Dirac符号体系，又以后者最为重要。愚蒙认为： 第一，优秀的量子力学书的最重要的标准是：深入浅出的讲解Hilbert空间和大量篇幅， 透彻的讲授Dirac符号. 第二，应该明确指出量子力学的5到6 条基本原理或假设。 第三，关键性的步骤或概念一定要指出。 下面就以上原则分析一下国内的流行教科书 1 曾谨言《量子力学导论》 2 周世洵《量子力学》 3 尹鸿钧《量子力学》 4 苏汝鏗《量子力学》 首先，我想说得是国内没有一本面向初等量子力学的教科书把概念说明白的，尤其，以 北大的曾谨言先生《量子力学导论》为首，此书发行量巨大，我上本科时就是用它的。 坦白说。它的错误很少,但这决不是好书的标准，对于Dirac符号就写了两页，而且语焉 不详，关键地方几乎没有说。我想，就算P A M.Dirac亲临也估计看不太明白。：），至 于曾老师的《量子力学》第一。二卷，的确详细，不过缺点仍然一样，作为研究生教材 ，没有完整的理论体系，当字典用到行，可以作参考书，不适合当教材。 复旦的周世洵先生写的《量子力学》相比而言比曾谨言的强了不少，虽然年代久了点， 但讲解较为透彻，步骤也详细点，。当然对付考研也不用与时俱进，老一点没什么问题 。 科大的尹鸿钧先生编的《量子力学》是面向本科和研究生的教材，对于本科来说难了点, 关于Hilbert空间和Dirac符号都写的比较多，但没形成主线，比较可惜。另外编排有点乱，印刷太差，不知第二版有无改进？我想如果修改一下使之完全面向初等量子力学倒也不错。 复旦大学，苏汝鏗先生的《量子力学》在以上几本书中算是最好了，讲解很是透彻，覆 盖面也很广。最近，我在书店看到了高教版的苏先生的《量子力学》，这本书包括研究 生课的内容，对于Dirac符号倒也多说了一些，不过，仍不令人满意，想以此书弄懂量子 力学基本上也是做梦。 到目前为止我所看过的最好的初等或高等量子力学入门书是法国Cohen等人著的《Quantum Mechanics》英文版，第一卷第一分册有中译本，刘家莫，等译。全书厚度惊人，英文版的上下两册有半尺厚，不过看起来很爽，全书行文流畅，且有助于英文写作的提高，呵呵。且正文与补充文章分列，初学者可以选择阅读，整个内容以初等量子开始，在第二章就详尽地，深入浅出的讲述了量子力学的主要数学工具Hilbert空间的知识和Dirac符号，注意：学懂量子力学原理的最重要的工具。我想是：Hilbert空间的形象化与Dirac符号的熟练运用。把原理与数学统一起来就基本明白了量子力学。把这本书搞懂《高量》就几乎不用学了。注：Cohen是个很厉害的物理学家，NOBEL PRIZE 获得者，1997年与朱隶文等一起获奖，而且，他几十年前错过了一次获奖机会，不然就两次了。 最后，我想补充的是想学明白量子力学，看“初量”是没有前途的，也是不可能的，因 为初量基本不涉及Hilbert空间的知识和Dirac符号体系。如果把看初量的精力花在一部 优秀的高量书上会使你迅速掌握其精髓。说实在的看书还是看经典原著最好。 我觉得Hilbert空间的知识和Dirac符号并不是很抽象也并不难懂，鉴于它们对于量子力 学的理解如此重要，希望教育部老师们重新修改本科生量子力学的教学大纲，将其纳入 初量中，详细讲述。 下面谈谈高量方面的书籍, 高量方面名著很多，大多是国外的。流传的量子四大名著是：Neumann的，Heisenberg的，Pauli的，Dirac的。又以Dirac的《The Principles of Quantum Mechanics》最有名 ，号称王者之声。也是我唯一看过的一遍的。其中第四版有中译本，陈咸亨译，只有三 百多页，建议大家找一找，复印一下。书中的精华是建立了量子物理的形式体系，统一了不同绘景,表象的形式表述，强调了物理思想的形成过程。其实看过了这本书我才体会到学习物理是为了修改它,更好的表达这个宇宙的运动规律，超越人类意识经验的束缚。 另外著名的教材有： 朗道和Lifshitz著的《Quantum Mechanics,Non-relativistic Theory.》， Schiff的《Quantum Mechanics》有中译本， 朗道的书，超级名著，复印了还没看，很难的说， 席夫的量子力学也是名著，讲的很广，中规中矩的，看之欲睡。 国内的高量教材似乎比初量的强多了。比如， 北师大喀兴林先生，著的《高等量子力学》， 复旦倪光炯先生，陈苏卿先生合著的《高等量子力学》， 北大张启仁先生的《量子力学》， 北大曾谨言先生的《量子力学》两卷 杨泽森先生的《高等量子力学》 张永德先生的《量子力学》， 徐在新先生的《高等量子力学》。等 下面大概评价一下其中几本， 喀兴林先生著的《高等量子力学》，本人推许为中国第一高量教材，全书数学讨论非常 严谨，逻辑清晰无比，第一章和第二章分别讨论Hilbert空间与量子力学的理论结构，更 是将Dirac符号置于Hilbert空间的数学基础之上，进行严格分析，几乎将我对量子力学 概念的所有疑惑都一扫而空,那种感觉真是奇爽无比！！喀先生是全国高校量子力学研究 会理事长，可见其在国内地位,真是名副其实。如果要说缺点的话，我觉得这本书更适合 作为物理研究生学习高量的第二次教材，而第一次学习时应选一本数学讨论不那么严格的，可读性较强的高量教材。然后，通读喀先生的《高等量子力学》以全面梳理概念和 体系。喀先生对于算符代数有很大发展，使全书看起来十分优美，为了追求形式和逻辑 之间的统一，喀先生甚至没有将费曼的路径积分写进书中，有点遗憾。不过，费曼曾经 写过一本论述路径积分的专著而且通俗易懂，大家可以直接看此书。 复旦倪光炯先生，陈苏卿先生合著的《高等量子力学》,论述较为前沿，用墨好省啊， 限制了她的可读性，说不准也是哥们道行不够。该书的包含了大量现代量子力学前沿课题，并对很多问题有自己独特见解，是其很大优点。总体来说，不宜作为教科书自学。 徐在新先生的《高等量子力学》讲解深入浅出，通俗易懂，行文流畅，只是散射和相对 论量子力学方面有些不够，总体而言，很好的入门书籍，尤其是第一章（量子力学的一 般描述）讲的极好，可迅速掌握Dirac符号精髓。 杨泽森先生的《高等量子力学》，早就听说写的无比复杂，尤其是散射一章，没人看的 懂。哥们本来不信，找来一看，果然名不虚传。 曾谨言先生的《量子力学》一二卷哥们前文说过了，不错的工具书。 其他的书，我只是见过，没看过，大家可以参考其他文章。比如，Fang的http://fangwu .org/index.shtml 二、量子力学的形式体系与基本概念浅议 重要概念： 一.Hilbert空间 1．量子力学中强调的态矢量是所谓的Hilbert空间中的矢量，什么是Hilbert空间哪？相 信线形空间大家都明白，Hilbert空间就是在线形空间上加上内积运算，并且满足完全性 条件的内积空间。量子力学所用的Hilbert空间是复数域上的Hilbert空间。 2．Hilbert空间可以是有限维，无限维，连续或分立维，甚至是无理数维。 3．简单说描述态矢的坐标系就是所谓的表象，而描述态矢随时间的演化就是绘景，比如说：薛定谔绘景，海森堡绘景，狄拉克绘景（相互作用）。不同的绘景在不同的表象中 来表达就形成了不同的方程，比如说，薛定谔绘景在坐标表象中的表述就是著名的Schro dinger 方程。 同一态矢在不同表象中有不同的表达，但是他们都是Hilbert空间中的同一矢量，就像是 欧几里得空间中同一矢量在不同坐标系中有不同的表示，不同的表象（坐标系）之间存 在表象（坐标）变换。即所谓的么正变换。而力学量在不同表象中是相似变换的关系。 4．所谓波函数，我发现初量书都不区分波函数和态矢的概念。而是混用之。以曾谨言的 书为例，波函数Ψ(x)首先用来表示几率幅，它的模方正比于出现的几率。所谓，几率幅 是个重要概念，表示态矢在一个表象的一个基矢上的投影的值。（写到这里，我才发现 还没解释基矢，无奈啊！）几率幅的模方正比于力学量取该态矢本征值的几率。而另一方面Ψ（x，t）又用来表示态矢量，即等价与一个右矢，所以，坐标表象中的一个本征矢用Ψ(x,t) |x>来表示才更确切。以前学初量时我对此是有点迷糊的。 基矢就是一个或一组力学量的共同本征矢，并使之正交归一化。一个或一组力学量所有 的基矢即在希尔伯特空间中张成一个表象，通俗点说就是一个坐标系。力学量是希尔伯 特空间中的张量，一般是二阶的，即为矩阵。 二．狄拉克符号 把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。 用右矢|α>表示态矢，左矢<α|表示其共厄矢量，<α|＝|α>＋。 <α|β>是内积，值是一个复数。<α|α>大于等于0，称为模方。所谓的归一化就是用 |α>除以<α|α>的平方根。 |β><α|是外积。这是个算符。 用A,B,C等表示算符，(A|α>)+=<α|A+,如果A=A+,是厄米算符， (<α|A|α>)+=<α|A+|α>=<α|A|α>,就是所谓的厄米算符的期望值（平均值）是实数 。 注意的是：几种表示的意义：|α> 是右矢，<α|是左矢，A表示算符，A|α>表示一个 右矢，<α|A表示一个左矢，而且，A总是从左方作用于右矢，从有右方作用于左矢的。<α|A|β>是一个复数，可以看成（<α|A|）|β>即一个左矢与一个右矢的内积；或者 <α|（A|β>），即一个右矢与一个左矢的内积。这是一个定义了。 三．量子力学的基本原理： 原理一. 描写微观状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个复数因子德厄两个 矢量，描写同一状态。 原理二. 描写微观状态物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符；物理量所取的值是 相应算符的本征值；物理量A在状态|Ψ>中取各值ai概率，与态矢量|Ψ>按A的归一化本征矢量{|ai>}的展开式中|ai>的系数的复平方成正比，即与下式中ci的复平方成正比： |Ψ>=∑|ai>ci ci=< ai|Ψ> 波包的坍缩：处于|Ψ>态的系统，如果测量物理量A得值ai 则该系统测量后进入A的本征态|ai>。 原理三. 微观系统的粒子在直角坐标下位置算符X，正则动量P满足对易关系： [Xi Pj]=ih /2πδij 原理四. 微观状态随时间的变化规律是薛定谔方程。 原理五. 描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的变换是对称和反对称的，即为：波色子和费米子。反映了全同粒子的不可分辨性。 所谓态叠加原理喀先生说得很好，既要强调叠加态与与每个分立态的联系，更要强调他 们的区别。Dirac说：处于叠加态|Ψ>的系统，部分得处于|Ψ1>，部分的处于|Ψ2> … …，也可以说，处于叠加态|Ψ>的系统，既不是|Ψ1>态，也不是|Ψ2>态，……，是一个新态。 就是这么多内容了，以上都是理解量子力学概念的数学工具和基本原理。 总结 明白了量子力学的形式体系后，还要学习很多具体的应用，技巧，思想方法，总是觉得 数学不够用，老是翻附录，找课本，无奈啊。 练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1） ) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P 上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。 量子力学考试题 量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 ' 11 H =0，'22 H =0，'12H ＝'21 H ＝ν η21 E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12 '21 E E H -＝-ωη21+0-ωνηη2241＝-ωη21-ων241η E 2＝E 2 （0） +' 22H + )0(1)0(22'12 E E H -＝ωη21 +ων241η 4、E 1＝2 22 2ma ηπ，)(1x ψ＝?????0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00 x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 20 2a dx a x x a a =?π x p ＝-i η?=a dx dx d 011ψψ-i ?=a a x d a 020)sin 21(2πη x xp ＝-i η??-=a a a x d a x x a i dx dx d x 00 11)(sin sin 2ππψψη ＝ ?-a a x xd a i 02) (sin 1πη ＝0sin [12a a x x a i πη--?a dx a x 0 2]sin π ＝0+?=a i dx ih 0 2 122ηψ 四项各5分 5、（i ），（ii ）各10分 （i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。 ),(21→ →r r ψ有：)(1→ r a ψ→ )(2r a ψ，)(1→ r b ψ→ )(2r b ψ，)(1→ r c ψ→ )(2r c ψ， )] ()()()([21 2121→ →→→+r r r r a b b a ψψψψ a c c a b c c b 共6种。 （ii ）s ＝21 ，单粒子态共6种： ? ?????0 1a ψ， ? ?????1 0a ψ， ? ?????0 1b ψ， ? ?????1 0b ψ， ? ?????0 1c ψ， ? ?????1 0c ψ。 2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态. 高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式 量子力学习题答案 2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。 2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、 第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符 ()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h 1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 喀兴林高等量子力学习题E X2.算符 EX2.算符 2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： C B A C A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCA ABC BC A ],[],[][][] ,[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明： B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CAB ABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= 2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ） ],[],[1B A nB B A n n -= 证明：],[],[],[],[111---+=?=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有 ],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A ],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=?n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A 重复这种递推过程（n-1）次，即得 ] ,[],[],)[1(] ,[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-= # 练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美） （1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且1 11)(--= A a aA ； （2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ； （4）???+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--= A a aA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3) } )(1{})())({(}))({(})({)()(111111 1 11111 ------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A (4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ???++++=--3211)1(χχχχ 故(? ??+++=???+++=-=-=----------------111211********* 11 )1() 1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ # 第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][][][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场 ???∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并 ２．由哈密顿算符 () 2232 22221222 2z y x m m H ωωω+++?-=η 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-1121 2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 ( ) 222 22)2)(1()12()1(2 +-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P = = 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时， z L 没有确定值。 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 1).H 为厄米算符,iH S e =.证明：（1）S 是幺正算符;（2）det exp(i tr )S H =. 2).求()||0za x x e ψ+=<>的表达式. 3).求相干态|0za z a e +*->的时间反演态. 4).求解一维系统2 0()2p H V x m δ=+的隧道效应. 5).哈密顿量22211()222i i i i j i ij p H m x V x x m ω=++∑∑,写出其二次量子化形式. 1.设一维受扰动的谐振子的哈密顿量为2221122 H p m x gx m ω=++，其中,x p 分别为坐标、动量算符,其他的量为常数.(1)在海森堡绘景中写出坐标、动量算符所满足的运动方程;(2)求出上述坐标、动量算符随时间的变化. 2.(1)请写出谐振子相干态;(2)计算任意两个相干态之间的内积;(3)证明全体谐振子相干态是过完备的,即: 21|| d 1z z z π><=?,其中|z >为相干态, 2d z dxdy =,而,x y 分 别为z 的实部和虚部. 3.通过量子化条件[,]x p i = 计算出坐标算符x 和动量算符p 的本征值,以及坐标表象中的动量的本征态. 4.(a)请写出氢原子的定态狄拉克方程,以及狄拉克方程中(1,2,3)i i α=和β矩阵所满足的关系.(b)证明系统的角动量守恒. 5.设有N 个全同费米子组成的系统,其哈密顿量为222,11()222i i i i j i i j i p H m x V x x m ω≠=++∑∑. (a)在谐振子基矢下计算出哈密顿量的二次量子化形式;(b)在坐标表象中写出哈密顿量的二次量子化形式. 6. 证明动能算符在空间转动变换下是不变的. 7.(a) 设系统的哈密顿量为H ，请写出含时推迟全格林算符'()G t t +-和超前全格林算符'()G t t --以及相应的定态全格林算符()G E +和()G E -. 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2 ?k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=> >=+0|)(!1 |n b n n ∫=++?x x x x e e d ****2φφφφπ φ高等量子力学第一章习题： 1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符： 试证明它们满足如下对易和反对易关系： 并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表 达式 2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为： H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1| 其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。 问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。 3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为 其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为 试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共 40 分） 1. 微观粒子具有 波粒 二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为： E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的 本征值 。 7．定态波函数的形式为： t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2 η± 。 二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η =喀兴林高等量子力学习题6、7、8
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