第四章 分离变量法
一、分离变量法的精神和解题要领
1．分离变量法的精神
将未知函数按多个单元函数分开，如，令
)()()()(),,,(t T z Z y Y x X t z y x u =
从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解
2．分离变量法的解题步骤
用分离变量法求解偏微分方程分4步
（1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界条件，得到相应的特值问题和其它常微分方程。
（2）求解特征值问题
（3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如Λ,2,1,=n u n ）。
（4）叠加（如∑=
n
u
u ）用初始条件和非齐次边界条件确定系数（即任意常数），从
而得到偏微分方程定解问题的解。
3．特征值问题
在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。
常涉及到的几种特征值问题：
（1）?
??===-'' 0)()0(0)()(l X X x X x X μ
特征值 222l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1 sin )(==n x l
n C x X n n π
（2）?
??='='=-'' 0)()0(0
)()(l X X x X x X μ
特征值 2)(
l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1,0 cos )(==n x l
n C x X n n π
（3）??
?='==-''
0)()0(0
)()(l X X x X x X μ
特征值 2)21(πμl n +
-=，特征值函数Λ,2,1,0 21
sin )(=+
=n x l
n C x X n n π （4）??
?=='=-''
0)()0(0
)()(l X X x X x X μ
特征值为2)21(πμl n +
-=，特征值函数Λ,2,1,0 21
cos )(=+
=n x l
n C x X n n π （5）???Φ=+Φ=Φ-Φ''
)()2(0
)()(?π??μ?
特征值2
m -=μ，特征函数Λ,2,1,0 sin cos )(=+=Φm m B m A m m m ??? 4．有界弦的自由振动解
考虑长为l 两端固定弦的自由振动
???
??≤≤==≥==><<===
0 )( )(u
0)(t 0),(),0( )0,0( 002l x x u x t l u t u t l x u a u t t t xx tt ψ? 1°．分离变量： 令 )()(),(t T x x t x u = 则原偏微分方程化为：
)()()(2t T x X a t T X ''=''
即
X X T
a T '
'=''2 上面等式左端是t 的函数，而右端是x 的函数，而t 和x 是相互独立的，因此要上式成
立，故只有两边都是常数，此等式才成立。
μ='
'=''X X T
a T 2
即 0 ,02
=-''=-''X X T a T μμ 代入边界条件
0)()( 0)()0(==t T l X t T X
由于)(t T 是t 的任意函数，它不可能恒为零，故只可能有
0)()0(==l X X
2°．特征值问题
考虑定解问题
?
?
?===-'' 0)()((1)
0)()(l X o X x X x X μ 讨论：若μ=0，则（1）的解为 21)(c x c x X += 由0)0(=X 得02=c ，由0)(=l X 得01=c 于是
0)(≡x X
可见μ不能为零
若μ>0，则方程（1）的解为
x
x
e c e
c x X μμ-
+=21)(
由边界条件得 ???=+=+-0
021
21l
l e c e c c c μμ 解之得 c 1=c 2=0，于是0)(≡x X 可见μ不能大于0。 若μ<0，记μ=-k 2
则（1）的解为
kx c kx c x X cos sin )(21+=
由边界条件有
??
?==0
sin 0
12kl c c 因为c 2=0，故c 1不能为零，故只能是 sin kl =0。 这要求 kl =±n π n =0,1,2,…
但n 不能为零，否则k =0，又得到零解，而且±n 给出的两个解只相差一个负号，即线性相关，故l
n K π
=
n=1,2,… 综上，得到特征值为 2
2
)(l
n k πμ-=-= n =1,2,… 其相应的特征值函数为 x l
n C x X n n π
sin )(= n=1,2,…
3°．关于T (t )的方程的通解 将特征值 2
)(
l
n πμ-=代入至于T (t )的方程得 0)()()(2
=+''t T l
an t T π
其通解为：
t l
a
n B t l an A t T n n
n ππsin cos )('+'=
其中n
A '和n
B '为任意常数 故 ,...2,1,sin )sin cos
()()(),(=+==n x l
n t l a n B t l a n A t T x X t x u n n n n π
ππ 4°．有界弦的自由振动解
由叠加原理有
x l
n t l a n B t l a n A t T x X t x u t x u n n n n n n n π
ππsin )sin cos
()()(),(),(1
1
1
+===∑∑∑∞
=∞=∞=
∵ )()0,( )()0,(x x u x x u t ψ?==
∴ ???
????
==∑∑∞
=∞
=11
sin )(sin )(n n
n n l x
n l a n B x x l n A x ππψπ? 这恰好是)(),(x x ψ?的正弦展开，于是：
?=
l n d l n l A 0sin )(2απα
α? ?=l n d l n a n B 0sin )(2απααψπ 令n n n n n n N B N A δδsin cos == 而l
a
n n πω= 则： ∑∞
=-=
1
sin
)cos(),(n n n n x l
n t N t x u πδω 这表明有界弦的振动是一系列以不同的固有频率n ω，不同的初相位n δ，不同的振幅
x l
n N n π
sin
振动的简谐振动 )cos(sin ),(n n n n t l
x
n N t x u δωπ-=
的叠加。
例1：求下解问题
??
?
??====<<=)
3(
0)0,( sin 3)0,()2( 0)0,(),0()1( 0 2x u x x u u t u x u a u t xx tt ππ 解：此题属于有界弦的振动，且0)(,sin 3)(,===x x x l ψ?π 于是有：
x l
n t l a n B t l a n A t x u n n n πππsin )sin cos
(),(1∑∞
=+= ∑∞
=+=1
sin )sin cos (n n n nx at B nat A
其中：?=l n xdx l n x l A 0sin )(2π
???
??≠===ππ01 01 3sin sin 32时时n n nxdx x
?==
l n xdx l
n x a n B 00sin )(2π
ψπ
∴ x at t x u sin cos 3),(= 更简单的方法： ∵ ∑∞
=+=
1
sin )sin cos (),(n n n
nx nat B nat A
t x u
且 0)0,( sin 3)0,(==x u x x u t
∴ ???????=?=∑∑∞
=∞
=1
1
0sin 3sin n n n n na B x nx A 由fourier 级数展开形式的唯一性知 ???≠==0
01
3n n A n 0=n B 例2：求定解问题
??
?
??+===><<= 3sin 2sin )0,(
0)0,(),0(0,0
x x x u u t u t x Du u xx t ππ 解：没有现成的公式可套，直接采用分离变量法求解 （1）分离变量：)()(),(t T x X t x u = 则有：)()()()(t T x X D t T x X ''='
即
μ=''=')
()
()()(x X x X t DT t T
于是原来的偏微分方程化为两个常微分方程
?
?
?=-'=-''0)()(0
)()(t T D t T x x x X μμ 由边界条件：0)()()()0(==t T X t T X π得0)()0(==πX X
（2）求解特征值问题 ??
?===-''0
)()0(0
)()(πλX X x X x X
则得 2
n -=μ，特征函数 nx C x X n n sin )(=
（3）将2
n -=μ代入0)()(=-'t T D t T μ得
0)()(2=+'t T Dn t T
解之得 Dt
n n n e b t T 2
)(-=
（4）叠加：∑∞
=-=
1
sin ),(2
n Dt
n
n nx e a t x u
代入初始条件
∑∞
=+=1
3sin 2sin sin n n
x x nx a
比较系数得：)3,1(0 2,131≠===n a a a n 于是：x e x e
t x u aDt Dt
3sin 2sin ),(--+=
（二）非齐次方程—纯强迫振动
考虑有界弦、杆的纯强迫振动
??
?
??≤≤==≥==≥≤≤+=l x x u x u t l u t u t l x t x f u a u t xx tt 00)0,()0,(00
)0,(),0(0,0),(2 由于方程中非齐次项),(t x f 的出现，故若直接以)()(),(t T x X t x u =代入方程，不能实现变量分离，于是联想到非齐次线性常微分方程求解的常数变易方法。 1．对应齐次方程的特征函数
????
?====l
x x xx
tt u u u a u 02
通过分离变量，得到特征值值问题
?
?
?===-''0)()0(0
)(l X X x x X μ 由此求得特征函数x l
n C x X n n π
sin )(= n =1,2,… 2．)(t T n 的方程的解 仿常数变易法，令
∑∞
==1
sin
)(),(n n x l
n t T t x u π 代入原方程得
),(sin )]()(
)([1
2t x f x l
n t T l a n t T n n n =+''∑∞
=π
π 将上面等式右端),(t x f 至于变量x 展开成Fourier 级数
有 ∑∞
==
1
sin
)(),(n n
x l
n t f
t x f π 其中 ?=
l n xdx l
n t x f l t f 0sin ),(2)(π
即 ∑∑∞
=∞==+''11
2sin )(sin )]()()([n n n n n x l n t f x l n t T l a n t T π
ππ 比较系数：
)()()(
)(2
t f t T l
a n t T n n n =+''π ① 由初始条件 ???????='=∑∑∞=∞
=1
1
0sin )0(0sin )0(n n n n x l n T x l n T ππ 知 0)0()0(='=n n T T
即：?????
='==+''0
)0()0()()()(
)(2n n n n n T T t f t T l
a n t T π 采用常数变易法，则有 ?-=t
n n d t l
a
n f a n l
t T 0
)(sin
)()(ττπτπ n =1,2,… 3．原方程的解为
∑?∞
=-=1
sin ])(sin
)([
),(n t
n x l
n d t l a n f a n l
t x u π
ττπτπ 例3：求下列定解问题
???
??===+====
00 0
sin 002t l x x x x xx t u
u u t A u a u ω 解：①求对应齐次方程的特征值
?????=====0
02
l
x x
x x xx t u u u a u
对应的齐次方程的特征值问题为：
??
?='='=-''0
)()0(0
)()(l X X x X x X μ 求解得特征值函数为：
x l
n C x X n n π
cos
)(= n =0,1,2… 令 ∑∞
==
cos
)(n n x l
n t T u π
代入方程得：
???????==+'∑∑∞
=∞
=0
02
0cos )0(sin cos )]()()([n n n n n n x l n T t A l x n t T l a n t T πωππ 比较两边Fourier 展开的系数有：
??
?=='0
)0(sin )(00T t
A t T ω n =0 ????
?
==+'0
)0(0)()(
)(2n n n T t T l a n t T π n =1,2,… ∴ ] cos 1[)(0t A
t T ωω
-=
；0)(=t T n n=1,2,… ∴ )cos 1(),(t A
t x u ωω
-=
例4：??
?
??====+= 0)0()0( 0)0,()0,( ),(2l,u ,t u x u x u t x f u a u t xx tt
另外具有非零初始条件的处理
例5：??
?
??====+=
(x )(x ,0) )()0,( 0),(),0( ),(2ψ?t xx tt u x x u t l u t u t x f u a u
令 II
I
u u t x u +=),( 其中 I
u 满足
?????=====)
()0,( )()0,( 0),(),0( 2x x u x x u t l u t u u a u I t I I
I I xx I tt ψ? II u 满足
??
???=====)
()0,( )()0,( 0),(),0( 2x x u x x u t l u t u u a u II t II II
II II
xx II tt ψ? （三）非齐次边界条件的处理
前面两节讨论的问题都是齐次边界条件，但大多实际并非都是齐次的，因此需要讨论非齐次边界条件问题。
例???
??=========
(x ) ),( )( ),( 0t 002ψ?t t l x x xx tt u x u
t h u t g u u a u 1．边界条件的齐次化：为此引入新的未知函数),(t x ν和辅导函数),(t x ω，令
),(),(),(t x t x t x u ων+=
若能找到函数),(t x ω，具备性质????
?====)
()(0t h t g l
x x ω
ω
，则新函数
),(),(),(t x t x u t x ων-= 其满足齐次边界条件????
?====0
00l
x x ν
ν
2．辅助函数),(t x ω的选取
对于任意的t ，在ω-x 平面上，满足????
?====)
()(0t h t g l
x x ω
ω
条件，即过))(,()),(,0(t h l t g 两点
的曲线有无穷多个，取最简单的直线
令 )()()(t B x t A t +=ω
得：??
???-==l t g t h t A t g t B )()()()
()(
故有
)()
()(),(t g x l
t g t h t x +-=
ω 这样原方程化为：
???
??=-========
,0)(- )(),0,()( 0 )a -(-t 0t 00xx 2tt 2x x x x a t t l x x xx tt ωψνω?ν
ννωωνν 这是强迫振动问题，其求解方法前面已讲过。
对于其它类型的非齐次边界条件问题：
（1）)(
)(0
t h x
u
t g u
l
x x =??===
则 )()(),(t g x t h t x +=ω
（2）
h(t) g(t),x
u l x 0
x ==??==u
则 l t g t h x t g t x )()()(),(-+=ω
（3）对于
)(
),(0
t h x
u t g x
u l
x x =??=??==
则选 x t g t g t h l
x t x )()]()([2),(2
+-=ω 例：???
?
?????===??><
0u 0 0,0 0022
2t l x x u t x u
t l x x u a t u 解：设 ),(),(),(t x t x t x u ων+= 其中 ),(t x ω满足
0 ,0
==??==l
x x t x
ω
ω
则可取 lt xt t x -=),(ω
∴ lt xt t x u t x t x u t x +---=),(),(),(),(ων 原方程变形为：
???
?
?
????===--??=??===00
,0)(0022
2t l x x x l x x a t ννννν 上式的特征函数 Λ,2,1 2)12(cos
)(=?
??
?
??
-=n x l n x X n π ∴ ∑∞
=-=
1
2)12(cos
)(),(n n x l
n t T t x π
ν ∴ ∑∑∞
=∞
=-=-??
????-+'112
2222)12(cos 2)12(cos )(4)12()(n n n n n x l n f x l n t T l a n t T π
ππ 其中 ?=-=--=
l n n n l
x l n x l l f 022,2,1 )12(82)12(cos )(2Λπ
π
0)0(,2,1 )12(8)(4)12()(2
22222????
?==-=-+'n
n n T n n l t T l a n t T Λππ ???
??
??
?--=--2
2
22
4)12(42421)12(32)(l a
n n e
n a l t T ππ ∴ l x
n e
n a l t x v n t
l a
n 2)12(cos
1)12(132),(14)12(4442
2
2
22
πππ-???
??
??
?--=∑∞
=-- ∴ 原问题的解为：
).,()(),(t x v t l x t x u +-=
（四）某些区域上二维Laplace 方程的分离变量法
一、矩形区域上Laplace 方程的边值问题
??
??
???<<==<<==<<<<=+====a x u x f u b y u u b y a x u u b y y a x x yy
xx 0 0),(0
0,00 ,0 00
0 由于有一组边界条件是齐次的，故可以采用分离变量法。 令)()(),(y Y x X y x u =，代入方程
μ=''-='')
()
()()(y Y y Y x X x X 即得两上常微分方程：
)()(0)()(=+''=-''y Y y Y x X x X μμ
利用齐次边界条件有
??
?===''-''0
)(,0)0(0
)()(a X X x X x X μ
得特征值为 Λ,2,1 2
=??
?
??-=n a n n πμ
特征函数为 Λ,2,1 sin )(==n x a
n Bn x X n π
而 Λ,2,1 =+=-
n e
D e C Y a
y n n a
y n n n ππ
利用叠加原理有：
∑∞
=-
+=1
sin
)(),(n a
y n n a
y n n x a
n e
b e
a y x u πππ 由另一组边界条件：
∑∞
==+1
)(sin
)(n n n x f a
x
n b a π ∴
??
???
=+=
+-?0sin )(20a b
n n a
b n n a n n e b e
a dx a
x n x f a b a πππ求出n n b a ,。 二、圆域上Laplace 方程的边值问题
???
?
?=≤+=+=+),( 012
222
22y x f u a y x u a a y x yy xx 物理意义：一半径为a 的薄圆盘，上下两面绝热，若已知圆盘边缘上的温度，求圆盘上
稳定的温度分布。 利用极坐标
?????==≤≤<=??+??+??=)sin ,cos ()(
)(20, 01112
2222θθθθπθρθρρρρ
ρa a f f f u a u
u u a 其中 设)()(),(θρθρΦ=R u 代入方程
μθθρρρρρ=ΦΦ''='+'')
()
()()()(2R R R
即 0)()()(2
=-'+''ρμρρρρR R R
0)()(=Φ+Φ''θμθ
根据题设条件，由于（θρ,）与（πθρ2,+）表示同一点，故应有
)2,(),(πθρθρ+=u u
称之为周期性边界条件，由此可得)2()(πθθ+Φ=Φ
由周期性条件有
??
?+Φ=Φ=Φ+Φ'')
2()(0
)()(πθθθμθ 仅为0≥μ时上式才能非零解
θμθμθsin cos )(B A +=Φ
由题 )2()(πθθ+Φ=Φ ∴ )2(sin )2(cos sin cos πθμπθμθμθμ+++=+B A B A
∴
n =μ ∴ Λ,2,1,0 2==n n n μ
∴ Λ,2,1,0 sin cos )(=+=Φn n B n A n n n θθθ 此时关于)(ρR 的方程为：
Λ,2,1,0 0)()()(22==-'+''n R n R R ρρρρρ
当0=n 时 0)()(2
='+''ρρρρR R 采用降价法得
ρln 00D C R +=
当0≠n 时 0)()()(2
2
=-'+''ρρρρρR n R R 这时一个Euler 方程 令t
e =ρ则得
0)()(2=-''t R n t R
得 Λ,2,1 )(=+=-n D C R n
n n n n ρρρ
由于 +∞<→)(lim 0
ρρR ∴ 00==n D D
∴ ∑∞
=++
=1
0)sin cos (),(n n n n
n b n a a u θθρ
θρ
n n b a a ,,0待求
)(θρf u
a
==
∴ ∑∞
=++
=1
0)sin cos ()(n n n n
n b n a a
a f θθθ
∴ ??-==
ππ
πθθπθθπ200)(21)(21d f d f a ??==ππ
π
θθθθθθπ20- cos )(1cos )(1d n f na d n f a a n n n
?
==π
θθθπ20
,2,1 ,sin )(1Λn d n f a
b n
n
或?-=
π
π
θθθπ sin )(1d n f a
b n n 例：????
?=≤+=+=?
ρcos 02
22A u a y x u u a yy
xx
答案：?ρ
cos a
A u =
<<电磁场与电磁波>>读书报告 姓 名： 学 院： 学 号： 专 业： 题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩： 二〇一四年四月 Xxx 工程学院 电子工程类
一．引言 分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。 二．内容 1.分离变量法的特点： 分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即
(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得 然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。 由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则 当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则 或 当α2 >0时，令α=k x ，则 或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+
第三章行波法与积分变换法 」 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 J 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 」 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 作如下代换; X at, X at 利用复合函数求导法则可得 同理可得 2 a 2(￡ 代入(1)可得 =0o u(x,t) F( ) G( ) F(X at) G(X at) 这里F,G 为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 F(X ) G(X ) (X ), aF (X ) aG (X ) (X ). X 2 u -2 )(」 2 2」 2 u ~2 先对求积分，再对 求积分，可得u(X,t)d 的一般形式 § 3.1 一维波动方程的达朗贝尔 (D 'alembert )公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题: 2 u 下 u 2 2 u a 2 ， X (X), u 0, (1) (X ),- (2) 2 ■4), (3)
由(3)第二式积分可得 1 X F(x) G(x) - 0 (t)dt C , a 0 利用(3)第一式可得 所以，我们有 1 1 x at u(x,t) [ (x at) (x at)] (t)dt 2 2a x at 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、 特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 AU xx 2BU xy CU yy DU x EU y Fu 0 称下常微分方程为其特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0。 由前面讨论知道，直线x at 常数为波动方程对应特征方程的积分曲线， 称为特征线。已知，左行波F(x at)在特征线x at G 上取值为常数值F(CJ ， 右行波G(x at)在特征线x at C 2上取值为常数值G(C 2)，且这两个值随着特 征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换( 2)为特征 变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、 公式的物理意义 由 U(x,t) F (x at) G(x at) 其中F(x at)表示一个沿x 轴负方向传播的行波，G(x at)表示一个沿x 轴正方 向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、 依赖区间、决定区域、影响区域 F(x) 1 2(X ) 2a (t)dt G(x) (x) 1 x 2a o (t)dt (4)
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><
其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得 00 A B Ae +=???-+=?? （8） 由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02 >=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此
§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值
1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?
分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式 ()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式 ()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a <.22B a -≤≤.2C a <.2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。
七、分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+= 有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l ，被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得
.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2． 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵， A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为 Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动 为了了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。 讨论两端固定的弦的自由振动，归结求解下列定解问题： 22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。 这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单音可以表示成
(,)()sin u x t A t x ω= 的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。 根据上面的分析，现在我们就试求方程（2.1）的分离变量形式 (,)()()u x t X x T t = 的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。 由(,)()()u x t X x T t =得 2222()(),()()u u X x T t X x T t x t ??''''==?? 代入方程（2.1）得 2()()()()X x T t a X x T t ''''= 或 2()()()() X x T t X x a T t ''''= 这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。令此常数为-λ，则有 2()()()() X x T t X x a T t λ''''==- 这样我们得到两个常微分方程： 2()()0T t a T t λ''+= （2.4） ()()0X x X x λ''+= （2.5） 再利用边界条件（2.2），由于u (x ,t )＝X (x ) T （t ），故有 (0)()0,()()0X T t X l T t == 但T （t ）不恒等于零，因为如果T （t ）≡0，则u (x ,t )＝0，这种解称
第三章 贝塞尔函数 对两个自变量的情形，在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想 以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤. 本章讨论多于两个自变量的情形，其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数—贝塞尔（Bessel ）函数. 本章前两节围绕一类特征值问题的求解，比较系统地介绍二阶常微分方程的幂级数解法，以及Bessel 函数的一些基本性质. 第三节介绍多于两个自变量情形的分离变量法. §3?1 二阶线性常微分方程的幂级数解法 3.1.1 常系数线性方程的基解组 在高等数学中，同学们已学过常微分方程的一些求解方法. 对于常系数线性常微分方程，只要求出特征方程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，由此可得齐次方程通解表达式. 例1.1 求解下列齐次微分方程 (1) '''320y y y -+=. (2) '''4130y y y ++=. (3) '''440y y y ++=. 解 (1) 特征方程为 2320λλ-+=， 特征根为121,2,λλ== 故基解组为 2{, }x x e e . （2）特征方程为 24130λλ++=， 特征根为1223, 23i i λλ=-+=--，是一对共轭复数，基解组为(23)(23){, }i x i x e e -+--， 这两个解为复值函数. 为得到实值函数的基解组，利用齐次微分方程解的线性性质得 2(23)(23)1 cos3 (+ )2x i x i x e x e e --+--=， 2(23)(23)1 sin 3 ( )2x i x i x e x e e i --+--=-， 这两个实值函数22cos3, sin3x x e x e x --也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基解组为 22{cos3, sin3}x x e x e x --. （3）特征方程为 2440λλ++=，
分离变量法例题 例：两块半无限大接地平行于xz 平面的导体板，一块位于y = 0，另一块位于y = d ；平行板的有限端x = 0处被与之绝缘并保持常电势φ0的导体板封闭，如图所示。求导体板间的电势。 解：对于本问题，求解区域是x > 0的两平行板之间，区域内无电荷分布，因此电势满足拉普拉斯方程。区域的边界在y = 0、y = d 、x = 0、及x → ∞处。本问题实际是一个二维问题，即静电势与z 无关。因此，本定解问题： 20??= ( x > 0，0 < y < d ) (1) 0x ?→∞= (2) 00y ? == (x > 0) (3) 0y d ?== (x > 0) (4) 00x ??== (0 < y < d ) (5) (2)的条件是我们通常的选择。实际上(2)、(3)、(4)、(5)为边界条件。 因本问题为二维问题，(),x y ??=。(1)在直角坐标系中可写成： 2222 0x y ????+=?? 分离变量法的核心是将多维函数分解为多个一维函数的乘积。令 (,)()()x y X x Y y ?= 将其带入上式得： 2222d d 0d d X Y Y X x y += 将x 变量项和y 变量项整理为： 22221d 1d d d X Y X Y x y =- 上式坐标仅是x 的函数，而右边仅是y 的函数。这样，我们就将变量分离了。在上面的方程中，两半无限大接地平行导体板 y = d
对任意x 和y 成立，方程两边必等于常数。即： 222221d 1d d d X Y k X Y x y ==- (3-3-3) 式中k 为实数常数，称为分离常数。为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2，后面我们将清楚这一点。上式可分为两个微分方程： 2221d d X k X x = 2221d d Y k Y y =- 我们知道上面的微分方程k 为非零时的解为： kx kx X Ae Be -=+ sin()cos()Y C ky D ky =+ 若k = 0，根据边界条件只能得出零解，因此，k 为非零值。式中A 、B 、C 、D 为积分常数，由边界条件确定。这样，我们得到： [][sin()cos()]kx kx Ae Be C ky D ky ?-=++ 由边界条件(2)，我们得到A = 0及k > 0。这就是为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2的原因。它可使电势φ在x 方向单调地增加或单调地减少而不是振荡。由边界条件(3)，我们得到D = 0。而边界条件(4)给出： sin()0kd = 由此式及条件k > 0，我们得到： ,1,2,3,n k n d π==? 我们不取n = 0的原因是因为它给出的是零解。因此，我们得到对应n 值的电势解： (,)sin(),1,2,3,n x d n n n x y B e y n d ππ?-==? 其中C 已并入B n 。因拉普拉斯方程是线性方程，任何解的线性叠加也是方程的解。因此，我们将所有n 值的解叠加起来得到了更为一般的解： 1(,)sin()n x d n n n x y B e y d ππ?∞-==∑ 式中B n 为常数。此解满足边界条件(2)、(3)、(4)。由边界条件(5)， 我们有 01sin( )n n n B y d π?∞==∑ 上式是一在[0，d ]区间展开的正弦傅里叶级数，其系数B n 为：