第三章习题参考解答
3.1 求下列信号展开成傅里叶级数，并画出响应相应的幅频特性曲线。
解 (a) ?-=
T
t
jk dt e
t x T
k X 0
11)(1
)(ωω?-=
τ
ω011dt Ae
T
t
jk 2
121τωτωτ
k Sa
e T A k j -= )2(1T
πω=
t jk k j k e e k Sa T
A t x 11212)(ωωτ
τωτ
?=
∴-∞
-∞
=∑
3.1
解 (b) ?-=T
t jk dt e t x T
k X 0
11)(1)(ωω?-=
T
t jk dt te T A T
011
ω?
--?=T t jk e td jk T A 01
2][1
1ωω ?
-+
-=T t jk dt e T jk A
k j A 02
112ωωπk
jA π2= )2(1T πω= ?=
T
dt t x T
X 0
)(1)0(2
A =
∑∞
≠-∞=+=∴)
0(122)(k k t jk e k
jA A
t x ωπ
解 (c) ?-=
T
t
jk dt e
t x T
k X 0
11)(1
)(ωωdt e T
T
t
jk T T ωπ--?=
?
44
2cos
1dt e e T
t k j t k j T T ][2
1111)1()1(44
ωω+---+=?
][)1(121][)1(1214)1(4)1(14)1(4)1(11111T
k j T
k j T
k j T
k j e e
k j T e e k j T ωωωωωω++-----?+-?+--?=
2)1sin()1(212)1sin()1(21ππππ--+++=k k k k π2)
1(412)1(4
1-++=k Sa k Sa t jk k e k Sa k Sa
t x 1)2
)1(2)1((41)(ωππ-++=∴∑∞
-∞= )2(1T πω=
解 (d) ?
--=
221)(1
T
T t jk n dt e t T
F ωδT
1=
∑∞
-∞
==
∴k t
jk e
T
t x 11)(4ω
3.2 求题图3.2所示信号的傅里叶变换。
解 (a) dt Ae X t j ?
--=
2
21)(τ
τωω2
ωτ
τSa
A =
解 (b) 设)()('
2t x t g =，).()("2'2
t x t g = τ
τ
τ
ωτ
ωτ
A
e A
e
A
t g F j j 422)]([2
2
'
2-
+
=
-τ
ωττA
A
42c o s 4-
?=
由傅氏变换的微积分性质知： 0'2'
22)]
([)()]
([)]([=?+=
ωωπδω
t g F j t g F t g F ω
ωτ
τj A 1
2c o s 4-?= 0
222)]([)()]
([)]([=?+=
ωωπδω
t g F j t g F t x F 2
2c o s 14ωω
ττ-?=A 22)4
(4s i n 2ωτωτ
τ?
=A
题图3.2
4
2)(22ωττωSa A X =
∴
解 (c) t T
T t T t A t x π
εε2cos )]4()4([)(3--+
=
利用傅氏变换性质知：
]4
)2(4)2([4
)(3T
T Sa T T Sa AT x πωπωω-++
=]4242[4πωπω-++=T Sa T Sa AT
解 (d) ωω
ωjT T
j Ae e T Sa T AT t x F ---=2'
42
)]([
0'4'44)]([)()]([)]([=?+=
ωωπδω
t x F j t x F t x F ]2[2ωω
ωωjT T
j e e T Sa j A ---=
]2
[)(224ωωωωωT
j T
j e T
Sa e j A X ---=∴ 或 T
j T j e
j A e T
A
X ωωω
ωω---
-=
)1()(24
解 (e) ωωωωω4
3454
242)(T j
T
j e
T Sa AT e T Sa AT X ---=
][42442ωωωωT
j T
j T
j e e e T Sa AT ---=ωωω2224
4T
j e T Sa jAT -=
解 (f) ?∞
--=0
6)(dt e e X t j t ωαω∞
+-+-
=0
)(1
t j e j ωαω
αω
αj +=
1
3.3 若已知)()]([ωX t x F =，试求下列信号的傅里叶变换。 (1) )2(t tx
解 ω
ωd dX j
t tx F )
()]([= )2(2)2
()
2(2121)]2(2[21)]2([ωωωω
X d d j d dX j
t tx F t tx F =?==
(2) )3(-t tx
解 ωω3)()]3([j e X t x F -=- ])([)]3([3ωωω
j e X d d j
t tx F -=-ωω
ωω33')(3)(j j e X e
jX --+=
(3) )3(t x -
解 ωω3)()]3([j e X t x F =+ ωω3)()]3([j e X t x F --=-
(4) )3()
3(--t x dt
d
t 解 )()](['ωωX j t x F =
)]([)](['ωωω
X j d d j t tx F =)]()(['
ωωωX X +-= ωωωω3')]()([)]3()
3[(j e X X t x dt
d
t F -+-=--
(5) )(b at x +
解 ωωjb e X b t x F )()]([=+ ωωa b
j e a X a
b at x F )(1)]([=
+
(6)
?∞-+t
d x ττ)23(
解 令v =+23τ 则有：
)23(31)(2
3+=??+∞-t g dv v x t , dv v x t g t
?∞-=)(3
1)( )]0()()([31)]([X j X t g F ωπδωω+=，ωωπδω
ω2)]0()()
([31)]2([j e X j X t g F +=+
ωωπδωω
32)]0()3(3)3([91)]23([j e X j X t g F +=+
).()0(3
)3(31)23(32ωδπωωττω
X e j X d x j t +=+∴?∞-
3.4 在题图3.2(b)中取τ=T ，将)(2t x 进行周期为T 的周期延拓，得到周期信号
)(t x T ，如题图3.4(a)所示；取)(t x T 的12+N 个周期构成截取函数)(t x N ，如题图
3.4(b)所示。
(1) 求周期信号)(t x T 傅里叶级数系数； (2) 求周期信号)(t x T 的傅里叶变换； (3) 求截取信号)(t x N 的傅里叶变换。
解 (1) 设单个三角波脉冲为)(t x ，其傅里叶变换4
2)(2T
Sa AT X ωω=
根据傅里叶级数)(1ωk X T 和傅里叶变换)(ωX 之间的关系知：
1)(1
)(1ωωωωk T X T
k X ==
1
4212ωωωk a T
S AT T =?=
)2(2
2421212πωπω===
T k Sa A T k Sa A
(2) 由周期信号的傅里叶变换知：
)()(2)]([11ωωδωπk k X t x F k T T -=∑∞
-∞
= )(2
2212ωωδπ
π
k k Sa A k -=∑
∞
-∞
=
)(2
12
ωωδπ
πk k Sa A k -=∑∞-?= (3) 因为)()(∑-=-=
N
N n N nT t x t x
∑-=-=
N
N
n N nT t x F t x F )]([)]([ωωj n T
N
N
n e
X --=∑=)(ωω
ω
ωj
N T
jT T N j e e
e X -+--=11)
()12(
ωωωT T N X 21sin )21sin()(+=422T Sa AT ω=ωω
T T N 2
1sin )21
sin(+?
3.5 绘出下列信号波形草图，并利用傅里叶变换的对偶性，求其傅里叶变换。
(1) )(
)(0
1t t Sa t x π=
(2) )(
)(0
22t t Sa t x π=
[提示：参见脉冲信号和三角波信号的傅里叶变换]
解(1) 2
)]2
()2
([ωτ
τπ
επ
εa
F S A t t A ?→←-
-+
， ∴根据对偶知：
)]()([)(
00
t t t t t S F
a πωεπωεπ-
-+
?→←
)4
(
22ωτ
τa F S A ?→←
解(2)
根据对偶知：∴?→
←F
a t t S )(
2π
3.6 已知)(t x
的波形如题图3.6(a)所示，
(1) 画出其导数)('t x 及)(''t x 的波形图；
(2) 利用时域微分性质，求)(t x 的傅里叶变换；
(3) 求题图3.6(b)所示梯形脉冲调制信号t t x t x c c ωcos )()(=的频谱函数。
解(1) )('t x 及)("t x 的波形如下：
(2) ][1)()]([222"τωτωτωτωτωj j j j e e e e X t x F --+--== )cos 2(cos 2
τωτωτ-=
)()0()()()]([221'ωδπωωωX j X X t x F +==∴ωωj X )(2=]cos 2[cos 2
τωτωωτ-?=j
)()0()()()]([11ωδπωωωX j X X t x F +==∴ωωj X )(1
=]2cos [cos 2
2τωτωτ
ω-= (3) )(2
1
)(21)]([c c c X X t x F ωωωω-++=
3.7 求下列频谱函数的傅里叶逆变换。 (1)
ω
j +21
解 )(]2
1
[
21t e j F t εω--=+ (2)
2
)2(1ωj +
解 222)
2(1
)2(]21[+=+-=+ωωωωj j j j d d j )(])2(1[
22
1t te j F t
εω--=+∴ (3)
1
)2(1
2++ωj
解 )2(21)2(21)2(11
2
j j j j j j j ----+
+--=++ωωω )(]2121[
]1
)2(1[
)2()2(21t e j
e j j F t
j t j εω--+---=++∴ ).(sin 2t t e t ε-=
(4) ω2sin 4
解 ][2142sin 422ωωωj j e e j
--?
= ][222ωωj j e e j ---= )]2()2([2]2sin 4[1--+-=∴-t t j F δδω
(5)
2
1
ω
解 )(2]1[ωπδ=F
).(')](2[21]2
[ωπδωπδωj d d j t F =?=∴ ………(3.7.5.1) 又)(1
)]([ωπδω
ε+=j t F
).('1)](1[)]([2ωπδω
ωπδωωεj j d d j
t t F +-=+=∴ ………(3.7.5.2) 由(3.7.5.1)、(3.7.5.2)式可知：
)]([]2[1
2t t F t
F εω-= )(2
]1
[
2
1t t t
F εω
-=∴-]1)(2[2--=t t ε)(Sgn 21t t -=
(6) 2
/2sin
ωτ
ωτ
解 2
2sin
)]2()2([ωτ
ωτττ
ετε=
--+t t F
)]2
()2([1]2/2[sin
1τ
ετετωτ
ωτ--+=-t t F
*3.8 设输入信号为)()(4t e t x t
ε-=，系统的频率特性为2
561)(ω
ωωω-++=
j j H ，求系统
的零状态响应。
解 4
1
)(+=
ωωj X )()()(ωωωj H X Y ?=)4)(3)(2(1++++=
ωωωωj j j j 423
32221+-
++++-
=ωωωj j j ())(23212423t e e e t y t t t ε??
?
??--=∴---
3.9 理想低通滤波器的幅频特性为矩形函数，相频特性为线性函数0)(t ωωφ-=，如题图
3.9所示。现假设输入信号为)]2
()2([)(τ
ετ
ε--+
=t t A t x 的矩形脉冲，试求系统输出信号)(t y 。
解 利用傅里叶变换的对称性，可以求得该系统的冲激响应为： )()(0t t Sa t h c c
-=ωπ
ω，ττωπωd t Sa t h c t c )()(0)1(-=?∞--，令)
(0t v c -=τω得： dv v Sa t h t t c
c
C ?-∞
--?
=
)
()1(01
)()(ωωπ
ωdv v Sa t t C ?-∞
-=
)
(0)(1
ωπ
)]([1
0t t Si c -=
ωπ
其中：?∞-=
y
dv v Sa y Si )()(
)()()(t x t h t y *=∴)()(')1(t x t h *=-)]2
()2([)()1(τ
δτδ--+*=-t t t Ah
)2()2()1()1(ττ--+=--t Ah t Ah )]}2
([)]2([{00t t Si t t Si A c c ----+=τ
ωτωπ
)(ωφ 1
)
(ωH
ω
-c ω 0 c
ω
题图3.9
3.10 在题图3.10(a)所示系统中，采样信号)(t s 如图(b) 所示，是一个正负交替出现的冲激串，输入信号的频谱)(ωx 如图(c)所示。
(1) 对于m s T ωπ
2<，画出)(1t y 和)(t y 的频谱； (2) 对于m
s T ωπ
2<，确定能够从)(1t y 中恢复)(t y 的系统。
解(1) )()()(1t s t x t y ?=???
?
????+---?=∑
∑∞-∞=∞-∞=])12([)2()(s m n s T m t nT t t x δδ
???
?
?????--
-*=∴∑
∑
∞
-∞
=∞
-∞
=-n m T j s s
s
s
s e T m
T T n
T X Y ωπ
ωδπ
π
ωδπωπω)()()(21
)(1 )]1)(([)(21)(1s
s
T T jn
n s s e
T n X T Y ?-∞
-∞=--*=∑π
π
ωδωω])
12([1
∑
∞
-∞
=+-=
m s
s
T m X T π
ω
由此可以绘出)(1ωY 及)(ωY 的频谱图如下：
)
(1ωY
-3s T -s T 0 s T 2s T ω
(2) 从)(1ωY 的频谱可以看出，由)(1t y 恢复)(t x 的系统如图所示:
3.11 在题图3.11(a)所示系统中，已知输入信号)(t x 的傅里叶变换如题图(b)所示，系统的频率特性)(1ωH 和)(2ωH 分别如图(c)和图(d)所示，试求输出)(t y 的傅里叶变换。
)(ωX
1
ω
-20ω 0 20ω
(b)
)(ωY
s s s s ω
解： 参见题图)(),(),(321t x t x t x 的标注。
*3.12 在题图3.12(a)所示的滤波器中，)()]([ωX t x F =。如果滤波器的频率特性函数
)(ωH 满足：
ωτωωj e KX H -=)()(* (K ，τ为常数)
则称该滤波器为信号)(t x 的匹配滤波器。
(1) 若)(t x 为图(b)所示的单个矩形脉冲，求其匹配滤波器的频率特性函数)(ωH ；
(2) 证明图(c)所示系统是单个矩形脉冲的匹配滤波器；
(3) 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的冲激响应)(t h ，并画出)(t h 的波形；
(4) 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的输出响应)(t y ，并画出)(t y 的波形。
解 (1) ?-?=τ
ωω0
1)(dt e X t j ]1[1
ωτω
j e j --=
στωτωωj j e e j K H -+--=∴]1[)(]1[ωτω
j e j K
--= 解 (2) 参见图(c))(1t x 标注.
)()0()(1
)(1ωδπωωωX X j X +=
ω
ωj X )(=
又 )()()(11τ--=t x t x t y ，]1)[()(1ωτωωj e X Y --=∴]1[)
(ωτω
ωj e j X --= ]1[1
)()(ωτωωωj e j X Y --=∴
即)
()
(ωωX Y 与（１）中)(ωH 有相同的函数形式。 解 (3) )()(t x X F -?→←
*ω ，)]([)(τωωτ--?→←-*t x e X F j )()]([)(1t Kx H F t h -==∴-τω
解 (4) )()()(t h t x t y *=)()(t x t x *=??
?
??≥≥+-≥>=为其它值
t t t t t
0220
τττ
τ (取ｋ＝１) [)(t y 为一三角波]
*3.13 求题3.1中)(1t x 和)(4t x 的功率谱密度函数。
解 (1) 参见3-1题。首先推出周期信号功率谱密度函数的表达式： 周期信号的傅里叶变换为： ∑∞
-∞
=-=k k k X X )()(2)(11ωωδωπ
ω
其中)(1ωk X 是傅里叶级数展开式系数。
考虑截取信号：)()()]2
()2()[()(t g t x T
t T t t x t y =--+
=εε 根据频域卷积定理，截取信号的傅里叶变换为：
)(t x
1
t
o τ
(b) 题图3.12
*]2[21)(*)(21)(T
TSa X G Y ωπωωπω==])()(2[11∑∞
-∞
=-k k k X ωωδωπ
∑
∞
-∞
=-=k T
k Sa
k X T
2
)()(11ωωω 当∞→T 时，2
)(1T
k Sa
ωω-趋向于集中在1ωωk =处，其他地方为零值，所以功率谱密度函数为：
2)(|)(|lim |)(|lim )(12212
T k Sa k X T T Y P k T T ωωωωω-==∑∞
-∞
=∞→∞→
由于)(lim
)(2ωπ
ωδT Sa T
T ∞→=，2
)(2lim
)(12
1ωωπωωδn T Sa T
n T -=-∞→，所以： )(|)(|2)(121ωωδωπ
ωk k X P k -=∑∞
-∞
=
由此可求题给信号的功率谱密度函数： )()
(2)(12
11ωωδωπ
ωk k X P k -=∑∞
-∞
=
)(2
212
211ωωδτωτ
π
ωτ
k e k S T A k k j a -?=∑
∞
-∞
=- )(2
212
12
22ωωδτ
ωτπk k S T A k a -=
∑
∞
-∞
=
解 (2) )(1
2)(12
4ωωδπωk T P k -=∑
∞
-∞
=).2()
(111T
k T
k π
ωωωδω=
-=∑∞
-∞
=
*3.14 求题3.2中)(1t x 和)(2t x 的能量谱密度函数。
解 设)(1t x 的能量谱密度函数为)(1ωE ，2
)
()(2
2
2
2
11ωτ
τ
ωωa S A X E =
=。
设)(2t x 的能量谱密度函数为)(2ωE ，4
4)()(4222
22ωττωωa
S A X E ==。
*3.15 信号)(t x 的最高频率max f 为500Hz ，当信号的最低频率min f 分别为0，300Hz ，
400Hz 时，试确定能够实现无混叠采样的最低采样频率，并解释如何从采样后信号中恢复)(t x 。
解(1) 0,500min max ==f Hz f ，所以Hz 10002max ==f f s
(2) Hz 300,Hz 500min max ==f f ，5.22
5
300500500min max max ==-=-=
f f f N ，取
3=N
当3,2,1=k 代入式1
22-≤≤k f
f k f L s H 中可知，只有当1=k 不等式才能成立：∞≤≤?s f 5002，所以采样频率只能取1000=s f Hz 。
(3) Hz 400,Hz 500min max ==f f ，5400
500500
min max max =-=-=f f f N ，
当5,4,3,2,1=k 代入式
1
22-≤≤k f
f k f L s H 中可知，当5=k 不等式成立：15400
255002-?≤
≤?s f ，所以最低采样频率200=s f 。
*3.16 正弦信号的振幅电平为1±V ，现采用12位的量化器进行舍入式量化，求量化误差
的方均根值和量化信噪比。
解 V 2=D ，12=M ，11
/11222/22/===M D Q ；
2
2121Q =
σ ，12213312
1?==∴Q σ； 22221121121?==Q P N ，2
1sin 1
22
2=
=
?
-T
T s dt t T
P ω； dB 77.732lg 208.101262
1
lg
10lg 208.106lg 10=-+?+=-++=∴D M P SNR s
*3.17 绘出)][cos(S gn )(1t t x π=，)]2[cos(S gn )(2t t x π=的波形，并证明它们在[0，1]区间上是相互正交的。
解 由三角函数和符号函数的意义可绘出)(),(21t x t x 的波形如图所示。显然：
0)1(1)()(1
2
/12/10
1
21=?-+?=
?
??dt dt dt t x t x
即在[0，1]区间上满足正交的定义。
*3.18 求信号)]1()([)(--=t t t t x εε的自相关函数。 解 ?∞
∞--=
dt t x t x R )()()(ττ
当01≤≤-τ：τ
τ
τ
τ
τ
τττ++++-
=-=-=
??10
210
3
1010
2
3
1
)()()()(t
t dt t t dt t x t x R
)2()1(6
1
)1(2
)1(3
1223ττττ
τ-+=+-+=
当10≤≤τ：3
12612
3
1
)()(31
2
1
3
1
+-=-
=-=
?τττ
τττ
τ
τ
t
t dt t t R
信号与系统期末考试试题 一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案，其中只有一个正确的） 1、 卷积f 1(k+5)*f 2(k-3) 等于 。 （A ）f 1(k)*f 2(k) （B ）f 1(k)*f 2(k-8)（C ）f 1(k)*f 2(k+8)（D ）f 1(k+3)*f 2(k-3) 2、 积分 dt t t ? ∞ ∞ --+)21()2(δ等于 。 （A ）1.25（B ）2.5（C ）3（D ）5 3、 序列f(k)=-u(-k)的z 变换等于 。 （A ） 1-z z （B ）-1-z z （C ）11-z （D ）1 1--z 4、 若y(t)=f(t)*h(t),则f(2t)*h(2t)等于 。 （A ） )2(41t y （B ）)2(21t y （C ）)4(41t y （D ）)4(2 1 t y 5、 已知一个线性时不变系统的阶跃相应g(t)=2e -2t u(t)+)(t δ,当输入f(t)=3e —t u(t)时，系 统的零状态响应y f (t)等于 （A ）(-9e -t +12e -2t )u(t) （B ）(3-9e -t +12e -2t )u(t) （C ）)(t δ+(-6e -t +8e -2t )u(t) （D ）3)(t δ +(-9e -t +12e -2t )u(t) 6、 连续周期信号的频谱具有 （A ） 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 （C ）离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性 7、 周期序列2)455.1(0 +k COS π的 周期N 等于 （A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4 8、序列和 ()∑∞ -∞ =-k k 1δ等于 （A ）1 (B) ∞ (C) ()1-k u (D) ()1-k ku 9、单边拉普拉斯变换()s e s s s F 22 12-+= 的愿函数等于 ()()t tu A ()()2-t tu B ()()()t u t C 2- ()()()22--t u t D 10、信号()()23-=-t u te t f t 的单边拉氏变换()s F 等于 ()A ()()()232372+++-s e s s ()() 2 23+-s e B s
数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础 2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中 ?? ???≥Ω<Ω=Ωππ 3032 1 )(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )， y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。 解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 621 =< =Ωh ， 所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 652 => =Ωh ， 所以y 2(t )失真。 2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求： （1） 该信号的最小采样频率； （2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。 ○ 1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频
率f m 的两倍，即 f s ≥2f m ○ 2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s === 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是 f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz ∴信号的最高频率f m =6000Hz 由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号 ? ?? ? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??++???? ????? ??-+???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??+???? ????? ??=? ?? ? ??====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s 522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分， 即 kHz f f f kHz f f f s s 25000200052150001000512211 ======，， 若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号
信科0801《信号与系统》复习参考练习题 参考答案 信号与系统综合复习资料 考试方式：闭卷 考试题型：1、简答题（5个小题），占30分；计算题（7个大题），占70分。 一、简答题： 1．dt t df t f x e t y t ) ()()0()(+=-其中x(0)是初始状态， 为全响应，为激励，)()(t y t f 试回答该系统是否是线性的？[答案：非线性] 2．)()(sin )('t f t ty t y =+试判断该微分方程表示的系统是线性的还是非线性的， 是时变的还是非时变的？[答案：线性时变的] 3．已知有限频带信号)(t f 的最高频率为100Hz ，若对)3(*)2(t f t f 进行时域取样， 求最小取样频率s f =？[答案：400s f Hz =] 4．简述无失真传输的理想条件。[答案：系统的幅频特性为一常数，而相频特性为通过原点的直线] 5．求[]?∞ ∞ --+dt t t e t )()('2δδ的值。[答案：3] 6．已知)()(ωj F t f ?，求信号)52(-t f 的傅立叶变换。 [答案：521(25)()22 j f t e F j ωω --?]
7．已知)(t f 的波形图如图所示，画出)2()2(t t f --ε的波形。 [答案： ] 8．已知线性时不变系统，当输入)()()(3t e e t x t t ε--+=时，其零状态响应为 )()22()(4t e e t y t t ε--+=，求系统的频率响应。[答案： ()) 4)(2(52)3(++++ωωωωj j j j ] 9．求象函数2 ) 1(3 2)(++= s s s F ,的初值)0(+f 和终值)(∞f 。 [答案：)0(+f =2，0)(=∞f ] 10．若LTI 离散系统的阶跃响应为)(k g ，求其单位序列响应。 其中：)()2 1 ()(k k g k ε=。 [答案：1111 ()()(1)()()()(1)()()(1)222 k k k h k g k g k k k k k εεδε-=--=--=--] 11．已知()1 1 , 0,1,20 , k f k else ==??? ，()2 1 , 0,1,2,3 0 , k k f k else -==??? 设()()()12f k f k f k =*，求()3?f =。[答案：3] 12．描述某离散系统的差分方程为()()()122()y k y k y k f k +---=
湖南理工学院成教期末考试试卷 课 程 名 称《信号与系统》 2010年度第 I 学期 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分 1. 已知 f (t )的傅里叶变换为F (j ω), 则f (2t -3)的傅里叶变换为 。 2、 ()dt t e t 12-?+∞ ∞ --δ 。 3 =-?∞ ∞ -dt t t )()5cos 2(δ= 。 4. 已知 651 )(2+++=s s s s F ，则=+)0(f ; =∞)(f 。 5. 已知 ω ωπδεj t FT 1 )()]([+=，则=)]([t t FT ε 。 6. 已知周期信号 )4sin()2cos()(t t t f +=，其基波频率为 rad/s ； 周期为 s 。 7. 已知 )5(2)2(3)(-+-=n n k f δδ，其Z 变换 =)(Z F ；收敛域为 。 8. 已知连续系统函数1 342 3)(23+--+=s s s s s H ，试判断系统的稳定 性： 。 9．已知离散系统函数1 .07.02 )(2 +-+=z z z z H ，试判断系统的稳定性： 。 10．如图所示是离散系统的Z 域框图，该系统的系统函数H(z)= 。 二．(15分)如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统， ?????==+=++-- 5 )0(',2)0()(52)(452 2y y t f dt df t y dt dy dt y d 已知输入 )()(2t e t f t ε-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应 )(t y zs 和零输入响应)(t y zi ，0≥t 以及系统的全响应),(t y 0≥t 。 班级： 学生学号： 学生姓名： 适用专业年级：2007 物理 出题教师： 试卷类别：A （√） 、B （）、C （ ） 考试形式：开卷（ √）、闭卷（ ） 印题份数：
第一章 1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A = ()0.2P B = ()0.1P C = ()0.4 P D = E －迟到，由已知可得 (|)0.25(|)0.4 (|)0.1(|)0 P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()()P E P EA P EB P EC P ED =+++ 贝叶斯公式： ()(|)()0.075 (|)0.455()()0.165(|)()0.08 (|)0.485 ()0.165 (|)()0.01 (|)0.06 ()0.165(|)() (|)0 ()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?= ===?===?===?== 综上：坐轮船 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2 2 22,0 ()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=?? ，求期望()E X 和方差()D X 。 考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？ 2 22 2 2 2()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dx D X E X m X m f x dx D X E X E X E X x f x dx ∞ -∞ ∞ -∞ ∞-∞ =?=-= -=-?=??? ? 6、已知随机变量X 与Y ，有1,3,()4,()16,0.5XY EX EY D X D Y ρ=====，令 3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。 考察随机变量函数的数字特征
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程
()()[]()()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1)2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπ ω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?==??= ++?? = ? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω =
信科0801《信号与系统》复习参考练习题一、单项选择题：
14、已知连续时间信号,) 2(100)2(50sin )(--=t t t f 则信号t t f 410cos ·)(所占有的频带宽度为（） A ．400rad ／s B 。200 rad ／s C 。100 rad ／s D 。50 rad ／s
f如下图（a）所示，其反转右移的信号f1(t) 是（） 15、已知信号)(t f如下图所示，其表达式是（） 16、已知信号)(1t A、ε（t）＋2ε(t－2)－ε(t－3) B、ε(t－1)＋ε(t－2)－2ε(t－3) C、ε(t)＋ε(t－2)－ε(t－3) D、ε(t－1)＋ε(t－2)－ε(t－3) 17、如图所示：f（t）为原始信号，f1(t)为变换信号，则f1(t)的表达式是（） A、f(－t+1) B、f(t+1) C、f(－2t+1) D、f(－t/2+1)
18、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（ ） 19。信号)2(4sin 3)2(4cos 2)(++-=t t t f π π 与冲激函数)2(-t δ之积为（ ） A 、2 B 、2)2(-t δ C 、3)2(-t δ D 、5)2(-t δ ，则该系统是（）＞－系统的系统函数．已知2]Re[,6 51)(LTI 202s s s s s H +++= A 、因果不稳定系统 B 、非因果稳定系统 C 、因果稳定系统 D 、非因果不稳定系统 21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（ ） A 、常数 B 、 实数 C 、复数 D 、实数+复数 22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（ ） A 、阶跃信号 B 、正弦信号 C 、冲激信号 D 、斜升信号
一．填空题(本大题共10空，每空2分，共20分。) 1．()*(2)k k εδ-= . 2． sin()()2 t d π τδττ-∞ + =? . 3. 已知信号的拉普拉斯变换为 1 s a -，若实数a ，则信号的傅里叶变换不存在. 4. ()()()t h t f t y *=，则()=t y 2 . 5. 根据Parseval 能量守恒定律，计算?∞ ∞-=dt t t 2 )sin ( . 6. 若)(t f 最高角频率为m ω，则对 )2()4()(t f t f t y =取样，其频谱不混迭的最大间隔是 . 7. 某因果线性非时变（LTI ）系统，输入)()(t t f ε=时，输出为： )1()()(t t e t y t --+=-εε；则) 2()1()(---=t t t f εε时，输出)(t y f ＝ . 8. 已知某因果连续LTI 系统)(s H 全部极点均位于s 左半平面，则 ∞→t t h )(的值为 . 9. 若)()(ωj F t f ?，已知)2cos()(ωω=j F ，试求信号)(t f 为 . 10.已知某离散信号的单边z 变换为) 3(,)3)(2(2)(2>+-+=z z z z z z F ，试求其反变换 )(k f = . 二．选择题(本大题共5小题，每题4分，共20分。) 1.下列信号的分类方法不正确的是 ： A 、数字信号和离散信号 B 、确定信号和随机信号 C 、周期信号和非周期信号 D 、因果信号与反因果信号 2. )]2()()[2()]()2([2)(1--++-+=t t t t t t f εεεε，则)] 1()2 1()[21()(--+-=t t t f t f εε
数字信号处理(方勇)第三章习题答案
3－1 画出) 5.01)(25.01() 264.524.14)(379.02()(2 1 1 211------+--+--=z z z z z z z H 级联型网络 结构。 解： 2 3－2 画出112112(23)(465) ()(17)(18) z z z H z z z z --------+= --+级联型网络结构。 解： () x n () y n 24 3－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为 12 11252333()111(1)(1) 322 z z H z z z z -----++= -++，试画出其并联型网 络结构。 解：将系统函数()H z 表达为实系数一阶，二阶子 系统之和，即：
()H z 1 1122111111322 z z z z ----+= +-++ 由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示： ) 题3-3图 3－4 已知一FIR 滤波器的系统函数为 121()(10.70.5)(12) H z z z z ---=-++，画出该FIR 滤波器 的线性相位结构。 解： 因为1 21123()(10.70.5)(12)1 1.30.9H z z z z z z z ------=-++=+-+， 所 以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：
() x n 1-1 -1 z - 题3-4图 3－5 已知一个FIR 系统的转移函数为： 12345()1 1.25 2.75 2.75 1.23H z z z z z z -----=+--++ 求用级联形式实现的结构流图并用 MATLAB 画出其零点分布及其频率响应曲线。 解： 由转移函数可知，6=N ，且)(n h 偶对称，故 为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1±=z 为系统的零点。而最高阶5 -z 的系数为+1，所 以1-=z 为其零点。)(z H 中包含1 1-+z 项。所以： 11()()(1)H z H z z -=+。 1() H z 为一四阶子系统，设
《信号与系统》复习题 1．已知 f(t) 如图所示，求f(-3t-2) 。 2．已知 f(t) ，为求 f(t0-at) ，应按下列哪种运算求得正确结果？（t0 和 a 都为正值）
3．已知 f(5-2t) 的波形如图，试画出f(t) 的波形。 解题思路：f(5-2t)乘a 1 / 2展宽 2倍f(5-2 × 2t)= f(5-t)
反转 右移 5 f(5+t) f(5+t-5)= f(t) 4．计算下列函数值。 （ 1） （ 2） （ t ） t 0 )dt t 0 u(t 2 （t t 0）u(t 2t 0 )dt （ 3） (e t t ) （t 2）dt 5．已知离散系统框图，写出差分方程。 解： 2 个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为 x(k) ∑ 0 1 1) → 左○ :x(k)=f(k)-a *x(k-2)- a*x(k- x(k)+ a 1*x(k-1)+ a 0*x(k-2)=f(k) (1) ∑ y(k)= b 2*x(k)- b 0*x(k-2) (2) 右○ : 为消去 x(k) ，将 y(k) 按（ 1）式移位。 a 1*y(k-1)= b 2 * a 1*x(k-1)+ b * a 1*x(k-3) (3) a 0*y(k-2)= b 2 * a 0*x(k-2)-b 0* a 0*x(k-4) (4) (2) 、（ 3）、（ 4）三式相加： y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b *[x(k)+ a 1 *x(k-1)+a *x(k-2)]- b *[x(k-2)+a 1*x(k-3)+a *x(k-4)] 2 0 0 0 ∴ y(k)+ a 1 *y(k-1)+ a *y(k-2)= b 2 *f(k)- b *f(k-2) ═ >差分方程
模拟试题一及答案 一、（共20分，每小题5分）计算题 1.应用冲激函数的性质，求表示式25()t t dt δ∞ -∞?的值。 2．一个线性时不变系统，在激励)(1t e 作用下的响应为)(1t r ，激励)(2t e 作用下的响应为)(2t r ，试求在激励1122()()D e t D e t +下系统的响应。 （假定起始时刻系统无储能）。 3．有一LTI 系统，当激励)()(1t u t x =时，响应)(6)(1t u e t y t α-=,试求当激励())(23)(2t t tu t x δ+=时，响应)(2t y 的表示式。（假定起始时刻系统无储能）。 4．试绘出时间函数)]1()([--t u t u t 的波形图。 二、（15分，第一问10分，第二问5分）已知某系统的系统函数为25 ()32 s H s s s +=++，试 求（1）判断该系统的稳定性。（2）该系统为无失真传输系统吗？ 三、（10分）已知周期信号f (t )的波形如下图所示，求f (t )的傅里叶变换F (ω)。 四、（15分）已知系统如下图所示，当0 1)0('=-f 。试求： （1）系统零状态响应；（2）写出系统函数，并作系统函数的极零图；（3）判断该系统是否为全通系统。 六． （15分，每问5分）已知系统的系统函数()2 105 2+++=s s s s H ，试求：（1）画出直 接形式的系统流图；（2）系统的状态方程；（3）系统的输出方程。 一、（共20分，每小题5分）计算题 1.解:25()500t t dt δ∞ -∞=?=? 2．解: 系统的输出为1122()()D r t D r t + 3．解: ()()t t u t u t dt -∞?=?， ()()d t u t dx δ= ，该系统为LTI 系统。 故在()t u t ?激励下的响应126()6()(1)t t t y t e u t dt e ααα ---∞ =?=--? 在()t δ激励下的响应2 2 ()(6())6()6()t t d y t e u t e u t t dx αααδ--==-+ 在3()2()tu t t δ+激励下的响应1818 ()12()12()t t y t e e u t t αααδαα --=--+。 4 二、（10分）解:（1） 21255 ()32(2)(1)1,s s H s s s s s s s ++= = ++++∴=-=-2,位于复平面的左半平面 所以,系统稳定. (2) 由于6 ()(3)4) j H j j j ωωωω+= ≠+常数＋（，不符合无失真传输的条件，所以该系统不能对 输入信号进行无失真传输。 三、（10分） 长沙理工大学拟题纸 课程编号 1 拟题教研室(或老师）签名 教研室主任签名 符号说明:)sgn(t 为符号函数，)(t δ为单位冲击信号,)(k δ为单位脉冲序列,)(t ε为单位阶跃信号,)(k ε为单位 阶跃序列。 一、填空(共3０分，每小题３分） １. 已知 )()4()(2 t t t f ε+=，求_______)("=t f 。)('4)(2)("t t t f δε+ 2. 已知}4,2,4,3{)(},1,2,2,1{)(=-=k h k f ,求______)()(=*k h k f 。}4,6,8,3,4,10,3{)()(-=*k h k f 3. 信号通过系统不失真的条件为系统函数_______)(=ωj H 。0 )(t j Ke j H ωω-= 4. 若)(t f 最高角频率为m ω,则对)4(t f 取样的最大间隔是______。 m T ωπωπ4max max == 5． 信号t t t f ππ30cos 220cos 4)(+=的平均功率为______。 10 1122222 =+++== ∑∞ -∞ =n n F P 6. 已知一系统的输入输出关系为)3()(t f t y =,试判断该系统是否为线性时不变系统 ______。故系统为线性时变系统。 ７. 已知信号的拉式变换为 )1)(1(1 )(2-+= s s s F ，求该信号的傅立叶变换)(ωj F =______。故傅立叶变 换)(ωj F 不存在。 ８． 已知一离散时间系统的系统函数 2121 )(---+= z z z H ，判断该系统是否稳定______。故系统不稳 定。 9. =+-+?∞ ∞-dt t t t )1()2(2δ______ 。3 1０. 已知一信号频谱可写为)(,)()(3ωωωω A e A j F j -=是一实偶函数，试问)(t f 有何种对称性______。关于ｔ=3的偶对称的实信号。 二、计算题（共50分,每小题1０分） 1． 已知连续时间系统的单位冲激响应)(t h 与激励信号)(t f 的波形如图A －1所示，试由时域求解该系 统的零状态响应)(t y ,画出)(t y 的波形。 图 A-1 1． 系统的零状态响应)()()(t h t f t y *=，其波形如图A －7所示。 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为 2 32 ()(16) X G ωω= +，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程 ()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπ ω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω = 3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=- [][]: ()[()()] {()()}{()(}2()()() ()()()() ()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-??=+=--+-+-=--=+=-??∴=-+-=已知平稳过程的表达式 利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳 换的延时特性 2()2()22()(1cos ) j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-?? +-????=- 第三章习题参考解答 3.1 求下列信号展开成傅里叶级数，并画出响应相应的幅频特性曲线。 解 (a) ?-= T t jk dt e t x T k X 0 11)(1 )(ωω?-= τ ω011dt Ae T t jk 2 121τωτωτ k Sa e T A k j -= )2(1T πω= t jk k j k e e k Sa T A t x 11212)(ωωτ τωτ ?= ∴-∞ -∞ =∑ 3.1 解 (b) ?-=T t jk dt e t x T k X 0 11)(1)(ωω?-= T t jk dt te T A T 011 ω? --?=T t jk e td jk T A 01 2][1 1ωω ? -+ -=T t jk dt e T jk A k j A 02 112ωωπk jA π2= )2(1T πω= ?= T dt t x T X 0 )(1)0(2 A = ∑∞ ≠-∞=+=∴) 0(122)(k k t jk e k jA A t x ωπ 解 (c) ?-= T t jk dt e t x T k X 0 11)(1 )(ωωdt e T T t jk T T ωπ--?= ? 44 2cos 1dt e e T t k j t k j T T ][2 1111)1()1(44 ωω+---+=? ][)1(121][)1(1214)1(4)1(14)1(4)1(11111T k j T k j T k j T k j e e k j T e e k j T ωωωωωω++-----?+-?+--?= 2)1sin()1(212)1sin()1(21ππππ--+++=k k k k π2) 1(412)1(4 1-++=k Sa k Sa t jk k e k Sa k Sa t x 1)2 )1(2)1((41)(ωππ-++=∴∑∞ -∞= )2(1T πω= 信号与系统复习参考练习题一、单项选择题： 14、已知连续时间信号,)2(100) 2(50sin )(--=t t t f 则信号t t f 410cos ·)(所占有的频带宽度为（） A ．400rad ／s B 。200 rad ／s C 。100 rad ／s D 。50 rad ／s f如下图（a）所示，其反转右移的信号f1(t) 是（） 15、已知信号)(t f如下图所示，其表达式是（） 16、已知信号)(1t A、ε（t）＋2ε(t－2)－ε(t－3) B、ε(t－1)＋ε(t－2)－2ε(t－3) C、ε(t)＋ε(t－2)－ε(t－3) D、ε(t－1)＋ε(t－2)－ε(t－3) 17、如图所示：f（t）为原始信号，f1(t)为变换信号，则f1(t)的表达式是（） A、f(－t+1) B、f(t+1) C、f(－2t+1) D、f(－t/2+1) 18、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（） 19。信号)2(4sin 3)2(4cos 2)(++-=t t t f π π 与冲激函数)2(-t δ之积为（ ） A 、2 B 、2)2(-t δ C 、3)2(-t δ D 、5)2(-t δ ，则该系统是（）＞－系统的系统函数．已知2]Re[,6 51)(LTI 202s s s s s H +++= A 、因果不稳定系统 B 、非因果稳定系统 C 、因果稳定系统 D 、非因果不稳定系统 21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（ ） A 、常数 B 、 实数 C 、复数 D 、实数+复数 22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（ ） A 、阶跃信号 B 、正弦信号 C 、冲激信号 D 、斜升信号 23. 积分 ?∞ ∞-dt t t f )()(δ的结果为( ) A )0(f B )(t f C.)()(t t f δ D.)()0(t f δ 24. 卷积)()()(t t f t δδ**的结果为( ) A.)(t δ B.)2(t δ C. )(t f D.)2(t f 试题一 一． 选择题（共10题，20分） 1、n j n j e e n x )3 4( )3 2(][ππ+=，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期3=N C.周期8/3=N D. 周期24=N 2、一连续时间系统y(t)= x(sint)，该系统是 。 A.因果时不变 B.因果时变 C.非因果时不变 D.非因果时变 3、一连续时间LTI 系统的单位冲激响应)2() (4-=-t u e t h t ，该 系统是 。 A.因果稳定 B.因果不稳定 C.非因果稳定 D. 非因果不稳定 4、若周期信号x[n]是实信号和奇信号，则其傅立叶级数系数a k 是 。 A.实且偶 B.实且为奇 C.纯虚且偶 D. 纯虚且奇 5、一信号x(t)的傅立叶变换?? ?><=2||02||1)(ωωω， ， j X ，则x(t)为 。 A. t t 22sin B. t t π2sin C. t t 44sin D. t t π4sin 6、一周期信号∑∞ -∞ =-= n n t t x )5()(δ，其傅立叶变换 ) (ωj X 为 。 A. ∑∞-∞ =- k k ) 5 2(5 2πωδπ B. ∑∞ -∞ =- k k )5 2(25 πωδπ C. ∑∞ -∞ =-k k )10(10πωδπ D. ∑∞ -∞ =-k k )10(101 πωδπ 7、一实信号x[n]的傅立叶变换为)(ω j e X ，则x[n]奇部的傅立叶变 换为 。 A. )}(Re{ωj e X j B. )}(Re{ωj e X C. )}(Im{ωj e X j D. )}(Im{ωj e X 8、一信号x(t)的最高频率为500Hz ，则利用冲激串采样得到的采样信号x(nT)能唯一表示出原信号的最大采样周期为 。 A. 500 B. 1000 C. 0.05 D. 0.001 9、一信号x(t)的有理拉普拉斯共有两个极点s=－3和s=－5，若 ) ()(4t x e t g t =，其傅立叶变换 ) (ωj G 收敛，则x(t) 是 。 A. 左边 B. 右边 C. 双边 D. 不确定 10、一系统函数1}Re{1 )(->+=s s e s H s ，，该系统是 。 A. 因果稳定 B. 因果不稳定 C. 非因果稳定 D. 非因果不稳定 二． 简答题（共6题，40分） 1、 （10分）下列系统是否是（1）无记忆；（2）时不变；（3）线性； （4）因果；（5）稳定，并说明理由。 （1） y(t)=x(t)sin(2t)； （2）y(n)= ) (n x e 2、 （8分）求以下两个信号的卷积。 ?? ?<<=值 其余t T t t x 0 01)(， ?? ?<<=值 其余t T t t t h 0 20)( 3、 (共12分，每小题4分)已知)()(ωj X t x ?，求下列信号的傅里叶变换。 （1）tx(2t) （2） (1-t)x(1-t) （3）dt t dx t ) ( 4. 求 2 2)(22++=-s s e s s F s 的拉氏逆变换（5分） 5、已知信号sin 4(),t f t t t ππ=-∞<<∞，当对该信号取样时，试求 能恢复原信号的最大抽样周期T max 。（5分） ，求系统的响应。 ）若（应；）求系统的单位冲激响（下列微分方程表征： 系统的输入和输出，由分）一因果三、（共)()(21) (2)(15) (8)(LTI 1042 2t u e t x t x t y dt t dy dt t dy t -==++ 四、（10分）求周期矩形脉冲信号的傅立叶级数（指数形式），并大概画出其频谱图。 不是因果的。 ）系统既不是稳定的又（）系统是因果的； （系统是稳定的；系统的单位冲激响应）求下列每一种情况下（的零极点图；，并画出）求该系统的系统函数（下列微分方程表征：系统的输入和输出，由分）一连续时间五、（共c b a t h s H s H t x t y dt t dy dt t dy )() (2)()(1)()(2) ()(LTI 202 2=-- 试题二 一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案， 其中只有一个正确的） 1、 卷积f 1(k+5)*f 2(k-3) 等于 。 A ）f 1(k)*f 2(k) Bf 1(k)*f 2(k-8) C ）f 1(k)*f 2(k+8) D)f 1(k+3)*f 2(k-3) 2、 积分dt t t ? ∞ ∞ --+)21()2(δ等于 。 （A ）1.25 （B ）2.5 （C ）3 （D ）5 3、 序列f(k)=-u(-k)的z 变换等于 。 αω ωδα+=+==-s e L s s t L t L t 1 ][)][cos(1)]([2 2；；t t t Sa j F t u e t f t sin )(1 )()()(= +=?=-； 注：ωαωα 信号与系统 考试方式：闭卷 考试题型：1、简答题（5个小题），占30分；计算题（7个大题），占70分。 一、简答题： 1．dt t df t f x e t y t ) ()()0()(+=-其中x(0)是初始状态， 为全响应，为激励，)()(t y t f 试回答该系统是否是线性的？[答案：非线性] 2．)()(sin )('t f t ty t y =+试判断该微分方程表示的系统是线性的还是非线性的，是时 变的还是非时变的？[答案：线性时变的] 3．已知有限频带信号)(t f 的最高频率为100Hz ，若对)3(*)2(t f t f 进行时域取样， 求最小取样频率s f =？[答案：400s f Hz =] 4．简述无失真传输的理想条件。[答案：系统的幅频特性为一常数，而相频特性为通过原点的直线] 5．求[]?∞ ∞ --+dt t t e t )()('2δδ的值。[答案：3] 6．已知)()(ωj F t f ?，求信号)52(-t f 的傅立叶变换。 [答案：521(25)()22 j f t e F j ωω --?] 7．已知)(t f 的波形图如图所示，画出)2()2(t t f --ε的波形。 [答案： ] 8．已知线性时不变系统，当输入)()()(3t e e t x t t ε--+=时，其零状态响应为 )()22()(4t e e t y t t ε--+=，求系统的频率响应。[答案：()) 4)(2(52)3(++++ωωωωj j j j ] 9．求象函数2 ) 1(3 2)(++=s s s F ,的初值)0(+f 和终值)(∞f 。 [答案：)0(+f =2，0)(=∞f ] 10．若LTI 离散系统的阶跃响应为)(k g ，求其单位序列响应。 其中：)()2 1 ()(k k g k ε=。 [答案：1111 ()()(1)()()()(1)()()(1)222 k k k h k g k g k k k k k εεδε-=--=--=--] 11．已知()1 1 , 0,1,20 , k f k else ==??? ，()2 1 , 0,1,2,3 0 , k k f k else -==??? 设()()()12f k f k f k =*，求()3?f =。[答案：3] 12．描述某离散系统的差分方程为()()()122()y k y k y k f k +---= 求该系统的单位序列响应()h k 。[答案：21()[(2)]()33 k h k k ε=-+] 13．已知函数()f t 的单边拉普拉斯变换为()1 s F s s =+，求函数()()233t y t e f t -=的单边拉普 拉斯变换。[答案：()2 5 Y s s s = ++] 14．已知()()12f t f t 、的波形如下图，求()()()12f t f t f t =*（可直接画出图形） 第三章 总结 对随机的东西只能作统计描述。 1).统计特性（ 概率密度与概率分布）； 2).数字特征（ 均值、方差、相关函数等）。 节1 随机过程概念 一、随机过程定义 二、随机过程统计特性的描述 1.随机过程的概率分布函数 2.随机过程的概率密度函数 三、随机过程数字特征的描述 1、数学期望： 性质：① E[k] = k ② E[ξ(t) + k] = E[ξ(t)] + k ③ E[ kξ(t)] = k E[ξ(t)] ④ E[ξ 1(t) + …+ξ n (t)] = E[ξ 1 (t)] + …+E[ ξ n (t)] ⑤ ξ 1(t)与ξ 2 (t)统计独立时，E[ξ 1 (t)ξ 2 (t)] = E[ξ 1 (t)] E[ξ 2 (t)] 2、方差： 性质：① D[k] = 0 ② D[ξ(t) + k] = D[ξ(t)] ③ D[kξ(t)] = K2 D[ξ(t)] ④ξ 1(t)ξ 2 (t)统计独立时， D[ξ 1 (t)+ξ 2 (t)] = D[ξ 1 (t)] + D[ξ 2 (t)] 3、相关函数和协方差函数 节2 平稳随机过程概念 一、定义：狭义平稳、广义平稳 广义平稳条件： ① 数学期望与方差是与时间无关的常数； ② 相关函数仅与时间间隔有关。 二、性能讨论 1、各态历经性（遍历性）：其价值在于可从一次试验所获得的样本函数 x(t) 取时间平均来得到它的数字特征（统计特性） 2、相关函数R(τ)性质 ① 对偶性（偶函数） R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]=E[ξ(t 1-τ)ξ(t 1 )]= R(-τ) ② 递减性 E{[ξ(t) ±ξ(t+τ)]2} = E[ξ2(t)±2 ξ(t) ξ(t+τ) + ξ2(t+τ) ] = R(0)±2R(τ) + R(0) ≥ 0 ∴R(0)≥±R(τ) R(0)≥|R(τ)| 即τ=0 处相关性最大 ③ R（0）为 ξ ( t ) 的总平均功率。 ④ R(∞)=E2{ξ(t)}为直流功率。 ⑤ R(0) - R(∞)= E[ξ 2(t)]- E2[ξ(t)]=σ2为交流功率 3、功率谱密度Pξ(ω) 节3 几种常用的随机过程 一、高斯过程 定义: 任意n维分布服从正态分布的随机过程ξ(t)称为高斯过程（或正态随机过程）。 ① 高斯过程统计特性是由一、二维数字特征[a k, δ k 2, b jk ]决定的 ②若高斯过程满足广义平稳条件，也将满足狭义平稳条件。 ③若随机变量两两间互不相关，则各随机变量统计独立。二、零均值窄带高斯过程 定义、零均值平稳高斯窄带过程 同相随机分量 ξ c (t), 正交随机分量 ξ s (t) 结论：零均值窄带高斯平稳过程 ξ( t ) ，其同相分量 ξ c ( t ) 和正交分量 ξ s ( t )信号与系统考试试题及答案
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