绝对值习题及答案
例1求下列各数的绝对值：
(1)－38；(2)0.15；
(3)a(a＜0)；(4)3b(b＞0)；
(5)a－2(a＜2)；(6)a－b．
分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a与b的大小关系，所以要进行分类讨论．
解：(1)｜－38｜＝38；(2)｜＋0.15｜＝0.15；
(3)∵a＜0，∴｜a｜＝－a；
(4)∵b＞0，∴3b＞0，｜3b｜＝3b；
(5)∵a＜2，∴a－2＜0，｜a－2｜＝－(a－2)＝2－a；
说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．
例2判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：
(1)｜－a｜＝｜a｜；( )
(2)－｜a｜＝｜－a｜；( )
(4)若｜a｜＝｜b｜，则a＝b；( )
(5)若a＝b，则｜a｜＝｜b｜；( )
(6)若｜a｜＞｜b｜，则a＞b；( )
(7)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜；( )
(8)若a＞b，则｜b－a｜＝a－b．( )
分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a＝1，则－｜a｜＝－｜1｜＝－1，而｜－a｜＝｜－1｜＝1，所以－｜a｜≠｜－a｜．同理，在第(6)小题中取a＝－1，b ＝0，在第(4)、(7)小题中取a＝5，b＝－5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：
此题证明的依据是利用｜a｜的定义，化去绝对值符号即可．对于证明第(1)、(5)、(8)小题要注意字母取零的情况．
解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小题不正确，(1)、(3)、(5)、(8)小题是正确的．
说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．
例3判断对错．(对的入“T”，错的入“F”)
(1)如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是0．
( )
(2)如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是1和0．
( )
(3)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1．
( )
(4)如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的．
( )
(5)如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数．
( )
解：(1)T．
(2)F．－1的倒数也是它本身，0没有倒数．
(3)F．正数的绝对值都等于它本身，所以绝对值是它本身的数是正数和0．
(4)T．任何一个数的绝对值都是正数或0，不可能是负数，所以这句话是错的．
(5)F．0的绝对值是0，也可以认为是0的相反数，所以少了一个数0．
说明：解判断题时应注意两点：
(1)必须“紧扣”概念进行判断；
(2)要注意检查特殊数，如0，1，－1等是否符合题意．
例4 已知(a－1)2＋｜b＋3｜＝0，求a、b．
分析：根据平方数与绝对值的性质，式中(a－1)2与｜b＋3｜都是非负数．因为两个非负数的和为“0”，当且仅当每个非负数的值都等于0时才能成立，所以由已知条件必有a－1＝0且b＋3＝0．a、b即可求出．
解：∵(a－1)2≥0，｜b＋3｜≥0，
又(a－1)2＋｜b＋3｜＝0
∴a－1＝0且b＋3＝0
∴a＝1，b＝－3．
说明：对于任意一个有理数x，x2≥0和｜x｜≥0这两条性质是十分重要的，在解题过程中经常用到．
例5填空：
(1)若｜a｜＝6，则a＝______；
(2)若｜－b｜＝0.87，则b＝______；
(4)若x＋｜x｜＝0，则x是______数．
分析：已知一个数的绝对值求这个数，则这个数有两个，它们是互为相反数．
解：(1)∵｜a｜＝6，∴a＝±6；
(2)∵｜－b｜＝0.87，∴b＝±0.87；
(2)用(1)的方法比较这两个负数绝对值的大小是非常麻烦的，此法不可取．通过比较它们的倒数，可以快捷的达到目的．
说明：两个有理数比较大小，当它们都是负数时，必须通过比较绝对值的大小来确定它们的大小．(1)一定要注意，因为是两个负数，所以它们的绝对值越大，对应点在数轴的左边离原点的距离就越远，因此它的值就越小．(2)比较两个异分母正分数的大小时，如果通分很麻烦，可以考虑通过比较它们倒数大小的方法间接达到目的．理论依据
例9 在数轴上画出下列各题中x的范围：
(1)｜x｜≥4；(2)｜x｜＜3；(3)2＜｜x｜≤5．
分析：根据绝对值的几何意义画图．例如，｜x｜≥4的几何意义是：数轴上与原点的距离大于或等于4个单位长度的点的集合；｜x｜＜3的几何意义是：数轴上与原点的距离小于3个单位长度的点的集合．
解：(1)｜x｜≥4，即数轴上x对应的点到原点的距离大于或等于4，如图1．
∴当x＞0时，有x≥4；当x＜0时，有x≤－4．
(2)｜x｜＜3，即数轴上x对应的点到原点的距离小于3，如图2．
即有－3＜x＜3．
(3)2＜｜x｜≤5，即数轴上x所对应的点到原点的距离比2大且小于或等于5，如图3．
即－5≤x＜－2或2＜x≤5．
说明：在数轴上表示含绝对值的不等式时，最容易错的是忘记或画错原点左边(负半轴上)符合条件的点的范围．应当认真研究负数部分符合条件的点的范围的画法，并真正做到“理解”．
例10 (1)求绝对值不大于2的整数；
(2)已知x是整数，且2.5＜|x|＜7，求x．
分析：
(1)求绝对值不大于2的整数，就是求数轴上与原点的距离小于或等于2个单位长度的整数点．
(2)因为2.5＜｜x｜＜7中的x表示的是绝对值小于7同时绝对值又大于2.5的整数，所以，依绝对值定义应该是满足－7＜x＜－2.5，或2.5＜x＜7的所有整数．
解：(1)先画出数轴上与原点的距离小于或等于2的点的范围．
由图看出，绝对值不大于2的整数是：
－2，－1，0，1，2
(2)符合2.5＜|x|＜7的所有整数，就是符合－7＜x＜－2.5或2.5＜x＜7的所有整数．
由图看出，符合2.5＜｜x｜＜7的整数是：
x＝±3，±4，±5，±6．
说明：因为绝对值概念课本上从几何与代数两个角度都给出了定义，所以在解含绝对值的问题时要注意灵活运用这两个定义．此题也可以用代数定义求解．根据绝对值的几何定义，用数形结合的思想，把有关绝对值的问题转化为数轴上的点与原点的距离问题来解决，是经常采用的方法．
例11已知a、b、c所表示的数如图所示：
(1)求｜b｜，｜c｜，｜b＋1｜，｜a－c｜；
*(2)化简｜a－b｜－｜－a｜＋｜c－1｜＋｜c－b｜．
分析：由图知a＜－1＜b＜0，0＜c＜1．
根据以上条件，先确定绝对值符号内的数是正数还是负数，然后再化简．
解：由图知a＜0，b＜0，c＞0，
且b＞－1，a＜c，a＜b，c＜1，c＞b，
∴b＋1＞0，a－c＜0，a－b＜0，c－1＜0，c－b＞0
(1)｜b｜＝－b，｜c｜＝c，｜b＋1｜＝b＋1
｜a－c｜＝－(a－c)＝c－a
(2)｜a－b｜－｜－a｜＋｜c－1｜＋｜c－b｜
＝(b－a)－(－a)＋(1－c)＋(c－b)
＝b－a＋a＋1－c＋c－b
＝1
说明：(1)a－b的相反数是－(a－b)＝b－a．
a＋b的相反数是－(a＋b)＝－a－b．
(2)｜a－b｜的几何意义是：数轴上表示数a、b的两个点之间的距离．不同的两个点之间的距离总是一个正数，等于“较大的数减较小的数”的差．
例12 解方程：
(1)已知｜14－x｜＝6，求x；
*(2)已知｜x＋1｜＋4＝2x，求x．
分析：解简单的含有绝对值符号的方程，一般都根据绝对值的代数定义，先化去绝对值符号，然后求解．
(2)题需把原方程转化为｜x＋1｜＝2x－4的形式后，才便于应用绝对值的代数定义．
解：(1)∵｜14－x｜＝｜x－14｜＝6
∴x－14＝±6
当x－14＝6时，x＝20；
当x－14＝－6时，x＝8．
∴x＝20或8．
(2)∵｜x＋1｜＋4＝2x
∴｜x＋1｜＝2x－4
∵｜x＋1｜≥0，
∴2x－4≥0，x≥2．
∵x≥2，
∴x＋1＞0，｜x＋1｜＝x＋1．
原方程变形为x＋1＋4＝2x
∴x＝5．
*例13 化简｜a＋2｜－｜a－3｜
分析：要化简此式，关键是依据绝对值定义判断好绝对值符号内a＋2和a－3在a取不同数值时它们的符号情况，才能正确地转化为不含绝对值的式子．为了能达到此目的，首先应判定｜a＋2｜＝0和｜a－3｜＝0时a的取值，即a＝－2和a＝3，由此可知，a的取值可分为三种情况：即a＜－2，－2≤a＜3，a≥3．这时｜a＋2｜和｜a－3｜就可依绝对值定义分别得到不同的去掉绝对值符号后的新形式了．
解：由｜a＋2｜＝0和｜a－3｜＝0
得a＝－2或a＝3．
－2和3把数轴分为三部分(如图)：
当a＜－2时，原式＝－(a＋2)－[－(a－3)]
＝－a－2＋a－3
＝－5
当－2≤a＜3时，原式＝a＋2－[－(a－3)]
＝a＋2＋a－3
＝2a－1
当a≥3时，原式＝a＋2－(a－3)
＝a＋2－a＋3
＝5
说明：解含有绝对值符号的题目时，首先要将其转化为不含绝对值符号的形式．然后再进行整理或化简．
b c a 10, 绝对值 一、选择题 1.下列说法中正确的个数是( ) (1)一个正数的绝对值是它本身;(2)一个非正数的绝对值是它的相反数;(3)?两个负数比较,绝对值大的反而小;(4)一个非正数的绝对值是它本身. 个 个 个 个 2.若-│a │=,则a 是( ) A.3.2 B.-3.2 C.± D.以上都不对 [ 3.若│a │=8,│b │=5,且a+b>0,那么a-b 的值是( ) 或13 或-13 C.3或-3 或-13 4.一个数的绝对值等于它的相反数的数一定是( ) A.负数 B.正数 C.负数或零 D.正数或零 <0时,化简 ||3a a a 结果为( ) A.23 .0 C D.-2a 二、填空题 6.绝对值小于5而不小于2的所有整数有_________. : 7.绝对值和相反数都等于它本身的数是_________. 8.已知│a-2│+(b-3)2+│c-4│=0,则3a+2b-c=_________. 9.比较下列各对数的大小(用“)”或“〈”填空〉 (1)-35_______-23;(2)16;(3)-(-19)______-|-110 |. 10.有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示: 试化简:│a+b │-│b-1│-│a-c │-│1-c │=___________. 三、解答题 11.计算 ; (1)││+│+│; (2)|-8 13|-|-323 |+|-20|
12.比较下列各组数的大小:(1)-11 2 与- 4 3 (2)- 1 3 与; ? 13.已知│a-3│+│-b+5│+│c-2│=0,计算2a+b+c的值. 14.如果a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值是1,求代数式x2+(a+b)x-?cd的值. * 15.求| 1 10 - 1 11 |+| 1 11 - 1 12 |+…| 1 49 - 1 50 |的值. 。 16.化简│1-a│+│2a+1│+│a│(a>-2). - 17.若│a│=3,│b│=4,且a 例１求下列各数得绝对值: (1)-38; （２)０、15； (3)a(ａ<０)；（4)3b(ｂ＞0）； (5）a－2(ａ＜2）；（6)a－ｂ。 分析:欲求一个数得绝对值，关键就是确定绝对值符号内得这个数就是正数还就是负数，然后根据绝对值得代数定义去掉绝对值符号,(6）题没有给出a与ｂ得大小关系，所以要进行分类讨论. 解:（１）｜－3８｜=38;（2）｜＋0、15|=0、１5； (3）∵a<0，∴｜a｜=-a; (4）∵b＞０,∴３b＞0,｜3b｜＝3b; (5)∵a＜2,∴ａ－2<0,｜a-2|＝—(a-2）＝2-ａ; 说明:分类讨论就是数学中得重要思想方法之一,当绝对值符号内得数(用含字母得式子表示时)无法判断其正、负时,要化去绝对值符号,一般都要进行分类讨论。 例２判断下列各式就是否正确(正确入“T”，错误入“Ｆ”）: (1）｜－a｜=｜a｜；( ） （2）—｜a|=｜－a｜；（） （４）若｜a|=|b|，则a=b; （) （５)若a=b，则|a|=｜ｂ|；(） （６)若｜a|＞｜b｜，则a〉b;（） (7）若a〉ｂ，则｜a｜＞｜b｜;（） （8)若ａ＞b，则|ｂ—a|=a—b. (） 分析：判断上述各小题正确与否得依据就是绝对值得定义，所以思维应集中到用绝对值得定义来判断每一个结论得正确性.判数（或证明)一个结论就是错误得,只要能举出反例即可.如第（2)小题中取a＝1,则－｜a|＝－｜1｜＝-1,而｜—a｜＝｜—１｜=1,所以—｜a｜≠|-a|。同理，在第(６)小题中取a=—1，ｂ＝0，在第（4)、(7)小题中取ａ＝５,b＝-５等，都可以充分说明结论就是错误得。要证明一个结论正确，须写出证明过程.如第（３）小题就是正确得．证明步骤如下： 此题证明得依据就是利用|a|得定义，化去绝对值符号即可.对于证明第（1）、(5)、(8）小题要注意字母取零得情况。 解：其中第(2)、（4)、(6)、(7）小题不正确,（１）、(3）、(5）、(8）小题就是正确得。 说明：判断一个结论就是正确得与证明它就是正确得就是相同得思维过程，只就是在证明时需要写明道理与依据,步骤都要较为严格、规范.而判断一个结论就是错误得,可依据概念、性质等知识,用推理得方法来否定这个结论,也可以用举反例得方法，后者有时更为简便。 例3判断对错.（对得入“Ｔ”，错得入“F”) (1）如果一个数得相反数就是它本身，那么这个数就是０。 （) （２)如果一个数得倒数就是它本身,那么这个数就是1与0． （） (3)如果一个数得绝对值就是它本身,那么这个数就是0或1。 ( ） （４)如果说“一个数得绝对值就是负数”，那么这句话就是错得. ( ） （5）如果一个数得绝对值就是它得相反数,那么这个数就是负数. 例1求下列各数的绝对值： (1)－38；(2)0.15； (3)a(a＜0)；(4)3b(b＞0)； (5)a－2(a＜2)；(6)a－b． 分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a与b的大小关系，所以要进行分类讨论． 解：(1)｜－38｜＝38；(2)｜＋0.15｜＝0.15； (3)∵a＜0，∴｜a｜＝－a； (4)∵b＞0，∴3b＞0，｜3b｜＝3b； (5)∵a＜2，∴a－2＜0，｜a－2｜＝－(a－2)＝2－a； 说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论． 例2判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)： (1)｜－a｜＝｜a｜；( ) (2)－｜a｜＝｜－a｜；( ) (4)若｜a｜＝｜b｜，则a＝b；( ) (5)若a＝b，则｜a｜＝｜b｜；( ) (6)若｜a｜＞｜b｜，则a＞b；( ) (7)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜；( ) (8)若a＞b，则｜b－a｜＝a－b．( ) 分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a＝1，则－｜a｜＝－｜1｜＝－1，而｜－a｜＝｜－1｜＝1，所以－｜a｜≠｜－a｜．同理，在第(6)小题中取a＝－1，b＝0，在第(4)、(7)小题中取a＝5，b＝－5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下： 例1求下列各数的绝对值： <1>－38；<2>0.15； <3>a ＝｜－1｜＝1,所以－｜a｜≠｜－a｜．同理,在第<6>小题中取a＝－1,b＝0,在第<4>、<7>小题中取a＝5,b＝－5等,都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确,须写出证明过程．如第<3>小题是正确的．证明步骤如下： 此题证明的依据是利用｜a｜的定义,化去绝对值符号即可．对于证明第<1>、< 5>、<8>小题要注意字母取零的情况． 解：其中第<2>、<4>、<6>、<7>小题不正确,<1>、<3>、<5>、<8>小题是正确的． 说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程,只是在证明时需要写明道理和依据,步骤都要较为严格、规X．而判断一个结论是错误的,可依据概念、性质等知识,用推理的方法来否定这个结论,也可以用举反例的方法,后者有时更为简便． 例3判断对错．<对的入"T〞,错的入"F〞> <1>如果一个数的相反数是它本身,那么这个数是0． < > <2>如果一个数的倒数是它本身,那么这个数是1和0． < > <3>如果一个数的绝对值是它本身,那么这个数是0或1． < > <4>如果说"一个数的绝对值是负数〞,那么这句话是错的． < > <5>如果一个数的绝对值是它的相反数,那么这个数是负数． < > 解：<1>T． <2>F．－1的倒数也是它本身,0没有倒数． <3>F．正数的绝对值都等于它本身,所以绝对值是它本身的数是正数和0． 绝对值练习题及答案 绝对值练习题及答案 绝对值是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种与数值相关的问题。在这篇文章中，我们将探讨一些绝对值的练习题，并给出相应的答案。通过这些练习题的训练，我们可以更好地理解和应用绝对值的概念。 一、基础练习题 1. 计算以下数的绝对值：-5, 0, 7, -2, 10. 答案：5, 0, 7, 2, 10. 2. 求解以下方程：|x| = 3. 答案：x = 3 或 x = -3. 3. 如果|x - 2| = 4, 求解x的可能值。 答案：x = 6 或 x = -2. 4. 求解以下不等式：|2x - 3| ≤ 5. 答案：-1 ≤ x ≤ 4. 二、进阶练习题 1. 已知|x - 4| = 2x + 1，求解x的值。 答案：x = -3. 解析：将方程两边平方，得到(x - 4)² = (2x + 1)²，展开化简后得到x² - 10x - 15 = 0，解这个方程可以得到x = -3 或 x = 5，但是只有x = -3满足原方程。 2. 若|3x - 2| = 5x + 1，求解x的值。 答案：x = -1 或 x = 1. 解析：将方程两边平方，得到(3x - 2)² = (5x + 1)²，展开化简后得到4x² + 14x - 3 = 0，解这个方程可以得到x = -1 或 x = 1，均满足原方程。 三、挑战练习题 1. 若|2x - 3| < 4x + 1，求解x的值。 答案：-1 < x < 2/3. 解析：对于绝对值不等式，我们可以将其转化为两个不等式，即2x - 3 < 4x + 1 和 2x - 3 > -(4x + 1)，解这两个不等式可以得到-1 < x < 2/3，满足原不等式。 2. 若|3x - 4| > 2x + 1，求解x的值。 答案：x < -1 或 x > 3. 解析：同样地，我们将绝对值不等式转化为两个不等式，即3x - 4 > 2x + 1 或 3x - 4 < -(2x + 1)，解这两个不等式可以得到x < -1 或 x > 3，满足原不等式。 通过以上的练习题，我们可以发现绝对值的概念在解决各种数值问题中起到了 重要的作用。绝对值不仅可以帮助我们计算数值的绝对大小，还可以用来解决 方程和不等式等问题。掌握了绝对值的性质和运算规则，我们可以更加灵活地 运用数学知识解决实际问题。 不过，需要注意的是，在解决绝对值问题时，我们需要对不等式的两边进行分 类讨论，以确保我们得到的解是正确的。此外，我们还可以利用绝对值的性质，将绝对值问题转化为其他形式的方程或不等式，以简化解题过程。 绝对值练习题的答案只是给出了可能的解，实际上，我们可以通过代入验证来 确定解的正确性。因此，在解决绝对值问题时，我们需要保持谨慎和严谨的态度，以确保我们得到的解是准确的。 总之，绝对值是一项重要的数学概念，掌握它的性质和运算规则对于我们解决 各种与数值相关的问题至关重要。通过不断练习绝对值的相关题目，我们可以 绝对值专项练习60题（有答案） 1．下列说法中正确的是（） A．有理数的绝对值是正数B．正数负数统称有理数 C．整数分数统称有理数D．a的绝对值等于a 2．在数轴上距﹣2有3个单位长度的点所表示的数是（） A．﹣5 B．1C．﹣1 D．﹣5或1 3．计算：|﹣4|=（） A．0B．﹣4 C．D．4 4．若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（） A．﹣8 B．2C．8或﹣2 D．﹣8或2 5．如果|a|=﹣a，那么a的取值范围是（） A．a＞0 B．a＜0 C．a≤0 D．a≥0 6．如图，数轴上的点A所表示的是实数a，则点A到原点的距离是（） A．a B．﹣a C．±a D．﹣|a| 7．如果a是负数，那么﹣a、2a、a+|a|、这四个数中，负数的个数（） A．1个B．2个C．3个D．4个 8．在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+3|，，中，负数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．如图，数轴的单位长度为1，如果点A、C表示的数的绝对值相等，则点B表示的数是（）A．1B．0C．﹣1 D．﹣2 10．任何一个有理数的绝对值在数轴上的位置是（） A．原点两旁B．整个数轴C．原点右边D．原点及其右边 11．a，b在数轴位置如图所示，则|a|与|b|关系是（） A．|a|＞|b| B．|a|≥|b| C．|a|＜|b| D．|a|≤|b| 12．已知|x|=3，则在数轴上表示x的点与原点的距离是（） A．3B．±3 C．﹣3 D．0﹣3 13．若|a|=﹣a，则数a在数轴上的点应是在（） A．原点的右侧B．原点的左侧 C．原点或原点的右侧D．原点或原点的左侧 14．下列判断错误的是（） A．任何数的绝对值一定是正数B．一个负数的绝对值一定是正数 C．一个正数的绝对值一定是正数D．任何数的绝对值都不是负数 15．a为有理数，下列判断正确的是（） A．﹣a一定是负数B．|a|一定是正数C．|a|一定不是负数D．﹣|a|一定是负数 16．若ab＜0，且a＞b，则a，|a﹣b|，b的大小关系为（） A．a＞|a﹣b|＞b B．a＞b＞|a﹣b| C．|a﹣b|＞a＞b D．|a﹣b|＞b＞a 17．若|a|=8，|b|=5，a+b＞0，那么a﹣b的值是（） A．3或13 B．13或﹣13 C．3或﹣3 D．﹣3或13 18．下列说法正确的是（） A．﹣|a|一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若|a|=|b|，则a与b互为相反数 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 19．一个数的绝对值一定是（） A．正数B．负数C．非负数D．非正数 绝对值专题训练及答案1．如果|a|=﹣a，那么a的取值范围是〔〕 A ．a＞0B ． a＜0C ． a≤0D ． a≥0 2．如果a是负数，那么﹣a、2a、a+|a|、这四个数中，负数的个数〔〕 A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 3．计算：|﹣4|=〔〕 A ．0B ． ﹣4C ． D ． 4 4．假设x的相反数是3，|y|=5，那么x+y的值为〔〕 A ．﹣8B ． 2C ． 8或﹣2D ． ﹣8或2 5．以下说法中正确的选项是〔〕 A．有理数的绝对值是正数B．正数负数统称有理数 C．整数分数统称有理 数 D．a的绝对值等于a 6．如图，数轴的单位长度为1，如果点A、C表示的数的绝对值相等，那么点B表示的数是〔〕 A ．1B ． 0C ． ﹣1D ． ﹣2 7．在数轴上距﹣2有3个单位长度的点所表示的数是〔〕A﹣5B1C﹣1D﹣5或1 ．．．． 8．在﹣〔﹣2〕，﹣|﹣7|，﹣|+3|，，中，负数有〔〕 A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 9．如图，数轴上的点A所表示的是实数a，那么点A到原点的距离是〔〕 A ．a B ． ﹣a C ． ±a D ． ﹣|a| 10．a、b、c 大小如下图，那么的值为〔〕 A ．1B ． ﹣1C ． ±1D ． 11．a，b在数轴位置如下图，那么|a|与|b|关系是〔〕 A ．|a|＞|b|B ． |a|≥|b|C ． |a|＜|b|D ． |a|≤|b| 12．|a|=﹣a、|b|=b、|a|＞|b|＞0，那么以下正确的图形是〔〕 A ．B ． C ． D ． 13．有理数a、b在数轴上的位置如下图，化简|a﹣b|+|a+b|． 14．a、b、c在数轴上的位置如下图，化简|a|+|c﹣b|+|a﹣c|+|b﹣a| 15．a为有理数，以下判断正确的选项是〔〕 A ．﹣a一定是负 数 B ． |a|一定是正 数 C ． |a|一定不是 负数 D ． ﹣|a|一定是负数 16．假设ab＜0，且a＞b，那么a，|a﹣b|，b的大小关系为〔〕 A a＞|a﹣b|＞ B a＞b＞|a﹣C|a﹣b|＞a＞b D|a﹣b|＞b＞a 绝对值专项练习60题（有答案）1．下列说法中正确的是（） A．有理数的绝对值是正数B．正数负数统称有理数 C．整数分数统称有理数D．a的绝对值等于a 2．在数轴上距﹣2有3个单位长度的点所表示的数是（） A ．﹣5 B ． 1 C ． ﹣1 D ． ﹣5或1 3．计算：|﹣4|=（） A ．0 B ． ﹣4 C ． D ． 4 4．若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（） A ．﹣8 B ． 2 C ． 8或﹣2 D ． ﹣8或2 5．如果|a|=﹣a，那么a的取值围是（） A ．a＞0 B ． a＜0 C ． a≤0 D ． a≥0 6．如图，数轴上的点A所表示的是实数a，则点A到原点的距离是（） A ．a B ． ﹣a C ． ±a D ． ﹣|a| 7．如果a是负数，那么﹣a、2a、a+|a|、这四个数中，负数的个数（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 8．在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+3|，，中，负数有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 9．如图，数轴的单位长度为1，如果点A、C表示的数的绝对值相等，则点B表示的数是（） A ．1 B ． 0 C ． ﹣1 D ． ﹣2 10．任何一个有理数的绝对值在数轴上的位置是（） A ．原点两旁B ． 整个数轴C ． 原点右边D ． 原点及其右 边 11．a，b在数轴位置如图所示，则|a|与|b|关系是（） A ．|a|＞|b| B ． |a|≥|b| C ． |a|＜|b| D ． |a|≤|b| 12．已知|x|=3，则在数轴上表示x的点与原点的距离是（） A ．3 B ． ±3C ． ﹣3 D ． 0﹣3 13．若|a|=﹣a，则数a在数轴上的点应是在（）A．原点的右侧B．原点的左侧 C．原点或原点的右侧D．原点或原点的左侧 b c a 102.3 绝对值 一、选择题 1.下列说法中正确的个数是( ) (1)一个正数的绝对值是它本身;(2)一个非正数的绝对值是它的相反数;(3)•两个负数比较,绝对值大的反而小;(4)一个非正数的绝对值是它本身. │a │=-3.2,则a 是( ) B.-3.2 C.± │a │=8,│b │=5,且a+b>0,那么a-b 的值是( ) -13 C 4.一个数的绝对值等于它的相反数的数一定是( ) 5.a<0时,化简 ||3a a a 结果为( ) A.23 B.0 C.-1 D.-2a 二、填空题 ____. 7.绝对值和相反数都等于它本身的数是_________. │a-2│+(b-3)2+│c-4│=0,则3a+2b-c=_________. 9.比较下列各对数的大小(用“)”或“〈”填空〉 (1)-35_______-23;(2)-116_______-1.167;(3)-(-19)______-|-110 |. 10.有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示: 试化简:│a+b │-│b-1│-│a-c │-│1-c │=___________. 三、解答题 (1)││+││; (2)|-8 13|-|-323|+|-20| :(1)-112与-43 (2)-13 与-0.3; │a-3│+│-b+5│+│c-2│=0,计算2a+b+c 的值. 14.如果a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值是1,求代数式x2+(a+b)x-•cd的值. 15.求| 1 10 - 1 11 |+| 1 11 - 1 12 |+…| 1 49 - 1 50 |的值. │1-a│+│2a+1│+│a│(a>-2). │a│=3,│b│=4,且a 绝对值习题精讲答案与解析 1、已知m ，n 为整数，|m-2|+|m-n|=0，求m+n 的值。 解：由绝对值的非负性可知，m-2=0，m-n=0，得：m=2，n=2，求得m+n=4 2、已知m ，n 为整数，|m-2|+|m-n|=1，求m+n 的值。 解：由于m ，n 均为整数，所以|m-2|与|m-n|必定一个为0，一个为1，所以需分类讨论。 ① |m-2|=0 ② |m-2|=0 |m-n|=1 |m-n|=1 由这两大类又可分为四小类 ⑴ m-2=0 ⑵ m-2=0 m=2,n=1,m+n=3; m=2,n=3,m+n=5; m-n=-1 ⑶ m-2=1 ⑷ m=3,n=3,m+n=6; m=1,n=1,m+n=2; m-n=0 3、若|x-1|与|y+2|互为相反数，求（x+y ）2012 。 解： |x-1|+|y+2|=0，所以|x-1|=0，|y+2|=0，所以x=1，y=-2，x+y=-1，所以原式等于1. 4、若a b <，求15b a a b -+---的值。 解：a-b<0,所以a-b-5<0; b-a>0,所以 b-a+1>0； 所以原式=b-a+1+a-b-5=-4. 5、若a b <-且0a b >，化简a b a b ab -+++ 解：因为a b <-，所以a+b<0；因为 0a b >，所以a 、b 同号；所以a 、b 均为负数，且ab>0 所以原式化简=-a+b-（a+b ）+ab=-2a+ab 6、如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 C 、D 点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”） 7、化简523x x ++- 解：零点值：当x=a 时，|x-a |=0，此时a 是|x-a|的零点值 零点分段讨论的步骤： ① 找零点 ②画数轴分区间③定符号去绝对值符号． 即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． Ⅰ找零点 x+5=0，x=-5； 2x-3=0，x=1.5. 所以零点分别是-5、1.5. 精心整理 绝对值专题训练及答案 1．如果|a|=﹣a，那么a的取值范围是（） A ．a＞0 B ． a＜0 C ． a≤0 D ． a≥0 2．如果a 是负数，那么﹣a、2a、a+|a|、这四个数中，负数的个数（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 3．计算：|﹣4|=（） A ．0 B ． ﹣4 C ． D ． 4 4．若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（） A ．﹣8 B ． 2 C ． 8或﹣2 D ． ﹣8或2 5．下列说法中正确的是（） A．有理数的绝对值是正数B．正数负数统称有理数 C．整数分数统称有理数D．a的绝对值等于a 6．如图，数轴的单位长度为1，如果点A、C表示的数的绝对值相等，则点B表示的数是（） A ．1 B ． 0 C ． ﹣1 D ． ﹣2 7．在数轴上距﹣2有3个单位长度的点所表示的数是（） A ．﹣5 B ． 1 C ． ﹣1 D ． ﹣5或1 8．在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+3|，，中，负数有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 9．如图，数轴上的点A所表示的是实数a，则点A到原点的距离是（） A ．a B ． ﹣a C ． ±a D ． ﹣|a| 10．已知a、b、c大小如图所示，则的值为（） A ．1 B ． ﹣1 C ． ±1 D ． 11．a，b在数轴位置如图所示，则|a|与|b|关系是（） A ．|a|＞|b| B ． |a|≥|b| C ． |a|＜|b| D ． |a|≤|b| 12．已知|a|=﹣a、|b|=b、|a|＞|b|＞0，则下列正确的图形是（） A ．B ． C ． D ． 13．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|a+b|． 14．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c﹣b|+|a﹣c|+|b﹣a| 15．a为有理数，下列判断正确的是（） A ．﹣a一定是负数B ． |a|一定是正数C ． |a|一定不是负数D ． ﹣|a|一定是负数 16．若ab＜0，且a＞b，则a，|a﹣b|，b的大小关系为（） A ．a＞|a﹣b|＞b B ． a＞b＞|a﹣b| C ． |a﹣b|＞a＞b D ． |a﹣b|＞b＞a 17．若|a|=8，|b|=5，a+b＞0，那么a﹣b的值是（） A ．3或13 B ． 13或﹣13 C ． 3或﹣3 D ． ﹣3或13 18．下列说法正确的是（） A．﹣|a|一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若|a|=|b|，则a与b互为相反数 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数19．一个数的绝对值一定是（） A ．正数B ． 负数C ． 非负数D ． 非正数 20．若ab＞0，则++的值为（） A ．3 B ． ﹣1 C ． ±1或±3 D ． 3或﹣1 21．已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（） A ．1﹣b＞﹣b＞1+a＞a B ． 1+a＞a＞1﹣b＞﹣b C ． 1+a＞1﹣b＞a＞﹣b D ． 1﹣b＞1+a＞﹣b＞a 22．若|﹣x|=﹣x，则x是（） A ．正数B ． 负数C ． 非正数D ． 非负数 23．若|a|＞﹣a，则a的取值范围是（） A ．a＞0 B ． a≥0 C ． a＜0 D ． 自然数 24．若|m﹣1|=5，则m的值为（） A ．6 B ． ﹣4 C ． 6或﹣4 D ． ﹣6或4 25．下列关系一定成立的是（） A ．若|a|=|b|，则a=b B ． 若|a|=b，则a=b C ． 若|a|=﹣b，则a=b D ． 若a=﹣b，则|a|=|b| 26．已知a、b互为相反数，且|a﹣b|=6，则|b﹣1|的值为（） 例1求以下各数的绝对值： (1)－38；(2)0.15； (3)a(a＜0)；(4)3b(b＞0)； (5)a－2(a＜2)；(6)a－b． 分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a与b的大小关系，所以要进展分类讨论． 解：(1)｜－38｜＝38；(2)｜＋0.15｜＝0.15； (3)∵a＜0，∴｜a｜＝－a； (4)∵b＞0，∴3b＞0，｜3b｜＝3b； (5)∵a＜2，∴a－2＜0，｜a－2｜＝－(a－2)＝2－a； 说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进展分类讨论．例2判断以下各式是否正确(正确入“T〞，错误入“F〞)： (1)｜－a｜＝｜a｜；( ) (2)－｜a｜＝｜－a｜；( ) (4)假设｜a｜＝｜b｜，那么a＝b；( ) (5)假设a＝b，那么｜a｜＝｜b｜；( ) (6)假设｜a｜＞｜b｜，那么a＞b；( ) (7)假设a＞b，那么｜a｜＞｜b｜；( ) (8)假设a＞b，那么｜b－a｜＝a－b．( ) 分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a＝1，那么－｜a｜＝－｜1｜＝－1，而｜－a｜＝｜－1｜＝1，所以－｜a｜≠｜－a｜．同理，在第(6)小题中取a＝－1，b＝0，在第(4)、(7)小题中取a＝5，b＝－5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下： 此题证明的依据是利用｜a｜的定义，化去绝对值符号即可．对于证明第(1)、(5)、(8)小题要注意字母取零的情况． 解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小题不正确，(1)、(3)、(5)、(8)小题是正确的． 说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的选项是一样的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否认这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便． 绝对值计算化简专项练习30题（有答案）1．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b| 2．有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，化简：|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|． 3．已知xy＜0，x＜y且|x|=1，|y|=2． （1）求x和y的值； （2）求的值． 4．计算：|﹣5|+|﹣10|÷|﹣2|． 5．当x＜0时，求的值． 6．若abc＜0，|a+b|=a+b，|a|＜﹣c，求代数式的值． 7．若|3a+5|=|2a+10|，求a的值． 8．已知|m﹣n|=n﹣m，且|m|=4，|n|=3，求（m+n）2的值． 9．a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a﹣b|﹣|a+b|． 10．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|． 11．若|x|=3，|y|=2，且x＞y，求x﹣y的值． 12．化简：|3x+1|+|2x﹣1|． 13．已知：有理数a、b在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|． 14．++=1，求（）2003÷（××）的值． 15．（1）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值？ （2）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值？ （3）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值？ 16．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| 17．若a、b、c均为整数，且|a﹣b|3+|c﹣a|2=1，求|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值． 18．已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|． 例 1 求下列各数的绝对值： (1)－ 38； (2)0.15 ； (3)a(a v 0); (4)3b(b > 0); (5)a — 2(a v 2) ； (6)a — b. 分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号的这个数是正数还是负数， 然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a与b的大小关系, 所以要进行分类讨论. 解：(1) | — 38 |= 38; (2) | + 0.15 0.15 ; ⑶ av 0,.°.| a |—— a； ⑷ v b>0,二 3b>0,| 3b | — 3b; (5) av 2,.°. a — 2v 0,| a — 2 |—— (a — 2) — 2 — a； 说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一,当绝对值符号的数 (用含字母的 式子表示时 )无法判断其正、负时,要化去绝对值符号, 一般都要进行分类讨论. 例2判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“ F”): ⑴ I— a = a|；() ⑵一I a=— a|；() ⑷若I a| = | b|,则 a= b；() ⑸若 a= b,贝U| a | = | b I ；() ⑹若 I a |>| b I,则 a>b；() ⑺若 a>b,贝，a I >I b I ；() (8)若 a>b,贝UI b— a I= a— b.() 分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义, 所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性. 判数(或证明)一个结论是错误的, 只要能举出反例即可.如第⑵小题中取a = 1,则一I a I = — I 1 I = — 1,而I — a I =I — 1 I = 1,所以一I a I丰I — a I .同理，在第⑹小题中取a=— 1, b= 0, 在第(4)、(7)小题中取a= 5, b= — 5等，都可以充分说明结论是错误的.要证明一个结论正确,须写出证明过程.如第 (3) 小题是正确的.证明步骤如下：此题证明的依据是利用丨a丨的定义，化去绝对值符号即可.对于证明第(1)、(5)、 (8) 小题要注意字母取零的情况． 绝对值计算化简专项练习30题(有答案) 1已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简： |2a| - |a+c| - |1 - b|+| - a - b| c a 0 b 1 2.有理数a , b , c 在数轴上的对应位置如图，化简： |a - b|+|b - c|+|a - c| . —• -------- • ---- • ----- «b-^> b {} a c 3.已知 xy v 0, x v y 且 |x|=1 , |y|=2 5. 当 x v 0 时，求晋罟的值. 2 8 .已知 |m - n|=n - m 且 |m|=4 , |n|=3，求(m+r ) 的值. 9. a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简： |a|+|a - b| - |a+b| ―■ I ■鼻 a b (1)求x 和y 的值; (2)求., -汀 1 ■ w 的值. 6.右 abc v 0, |a+b|=a+b , |a| v- c , 求代数式 |a| |b | |c | 的值. 7.若 |3a+5|=|2a+10| ，求 a 的值. 10•有理数a , b , c 在数轴上的位置如图所示，试化简下式: 11 .若 |x|=3 , |y|=2，且 x > y ，求 x - y 的值. 12. 化简:|3x+1|+|2x - 1| . 13. 已知：有理数 a 、b 在数轴上 对应的点如图，化简 |a|+|a+b| - |1 - a| - |b+1| ―4 ----- « ------------- • -------- 4 ---- « -------- > b -1 0 1 n + |b |+ c =1 求 / bbc |、2003 亠 「，+ -1,求(気- 15. (1) |x+1|+|x - 2|+|x - 3| 的最小值？ (2) |x+1|+|x - 2|+|x - 3|+|x - 1| 的最小值？ (3) |x - 2|+|x - 4|+|x - 6|+ …+|x - 20| 的最小值? 16 .计算:1 -肿.「1+1 1+ (1) 3 2 17. 若 a 、b 、c 均为整数，且 |a - b| +|c - a| =1，求 |a - c|+|c - b|+|b - a| 的值. |a - c| - |a - b| - |b - c|+|2a| 14. X 1： 、的值. lac I绝对值习题及答案
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绝对值计算化简专项练习30题(有答案)
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