点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相离. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆
内切.
椭圆与双曲线的对偶性质
(必背的经典结论)
1. 2.
3. 4. 5.
6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
13.
2 2
若P °(x 0,y 0)在椭圆—2
— a 2 "上，则过F 0的椭圆的切线方程是
2
b
a
x °x y °y x 2 2 八 y
若P °(x 0,y 。)在椭圆—
2 =1外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为
a b
P 1、P 2，则切
点弦呢的直线方程是等鈴1.
x y
椭圆V 2 =1 (a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1, F 2,点P 为椭圆上任意一点 a b
/F 1PF 2二，则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1PF ^ b 2 ta n?.
椭圆 笃*当=1 (a > b > 0)的焦半径公式:
a b
IMF'^a ex o ,|MF 2〔 = a-ex 。( F,-c,0) , F 2(c,0) M (x °, y °)).
设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和
AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF.
过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶点,
A j P 和
A 2Q 交于点 M , A 2P 和A 1Q 交于点N ，贝U MF 丄NF.
2
2
AB 是椭圆 务?‘2=1的不平行于对称轴的弦 ，
a b M (X °, y °)为AB 的中点，则
b 2 k oM k AB
2 ,
a
b 2x °
2 0
a y o
若P )(x °, y °)在椭圆
2 2
—2 y
? = 1内，则被Po
a b 所平分的中点弦的方程是
X 0X y oy _ x 02 y 。2 a 2 b 2
a 2
b 2
若P °(x 0, y °)在椭圆
a P 1内，则过PO
的弦中点的轨迹方程是
设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点,
连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF. 过双曲线一个焦点
F 的直线与双曲线交于两点 P 、Q, A 2为双曲
线实轴上的顶
点，A 1P 和A 2Q 交于点 M , A 2P 和A 1Q 交于点 N ,贝U MF 丄NF.
2 2
若P o (X o , y o )在双曲线 刍-七=1 (a >O,b > O )内，则被 Po 所平分的中点弦的
a b
2 2
方程是泌一
2 . 2 2 . 2
1. 2. 3. 4. 5.
6.
7. & 9. 10. 11.
12.
2 2
x y
X °x y °y
2
厂'
b a
b 2
双曲线
点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线
PT 上的射影H 点的轨迹是以长
轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆
相切.(内切：P 在右支；外切:
P 在左支)
F 0(X o , y °)在双曲线
2
2
x y
=1 (a > O,b > O )
x o x y o y 2 - 1 2 _ 1
a b
F 0(X o , y o )在双曲线 ~2
a
b
2 2
X 丄 上, 则过F 0的双曲线的切线方程
2 …2 =1 (a > O,b > O ) a b
，则过Po 作双曲线的两条切
线切点为 片、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是
X o X ~2~ a
b 2 _1.
双曲线
2 2 x
y
2
2=
1 (a > O,b > 0)的左右焦点分别为
a b
F 1, F 2,点P 为双曲线上任
意一点 F 1PF 2二，则双曲线的焦点角形的面积为
2
V S F 1 PF 2 - b
cot?.
2 2
x y
2
2 =
1 (a > 0,b > o )的焦半径公式：
a b
当 M (x o ,y 。)在右支上时,\MF 1\ = ex o a ,\ MF 2
当M (x o ,y o )在左支上时, 双曲线
(F 1(-c,O) , F 2(
C ,0)
\ = ex o - a .
| MF 1 \ - -ex o a , \ MF 2 \ ~ -ex o - a
2
x AB 是双曲线—
a
的中点，贝V K OM
2
y
2 =1 ( a > O,b >O )的不平行于对称轴的弦,
b
M (X o ,y o )为 AB
K AB
誓
a y o
,即
K
AB
=b 2X o
a 2y o
a b a b
2 2
x y
13.
若F 0(x 0, y 0)在双曲线 — 2 -1 ( a > 0,b > 0)内，则过 Po
的弦中点的轨迹方
a b
2
2
程曰 x y
x °x
y °y
程是~ _
7~2
厂一 ,2
a b a b
v e w ，2 -1时，可在椭圆上求一点 P ,使得PF 1是P 到对应准线距离
比例中项.
2
2 P
为椭圆沽斜1 (a >b >0)
上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，
则2a -1 AF 2 口 PA 「| Pt |乞2a | AR |，当且仅当A, F 2, P 三点共线时，等号成
1. 2.
椭圆与双曲线的对偶性质 (会推导的经典结论)
高三数学备课组
2 2
x y
一
椭圆r 2 =1 ( a > b > 0)的两个顶点为 A (-a,0) , A 2(a,0)，与y 轴平行的直 a b
线交椭圆于P i 、P 2时A i P i 与A 2P 2交点的轨迹方程是
2 2
工乂 1
2 - | 2 _ 1 .
a b
2
x
过椭圆—■
a
2
y
2 =1 (a >0, b > 0)上任一点 A(X 0,y °
)任意作两条倾斜角互补的直 b
线交椭圆于 B,C 两点，则直线BC 有定向且k BC
a y 。
(常数)?
3.
若P 为椭圆
2
2
x y
、
-+- =1 (a > b > 0)上异于长轴端点的任一点
,F 1, F 2是焦点，
a b
,PF 2F 1
,则
a - c
I'1 tan cot .
2 2
4.
2
x 设椭圆
V a
2
y
2 =1 ( a >b > 0) b 2
的两个焦点为 F i 、F 2,P (异于长轴端点) 为椭圆上
任意一点, 在厶 PF 1F 2中，记
F 1PF 2 二： ,PF 1F 2 八，F 1F 2P
二，则有
sin ： sin
c
e .
a
5.
2
x
y 若椭圆飞 -
a b 2
2=1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1、F 2，左准线为
L ,则当0
d 与PF 2的
6.
7.
8.
(X -X o) ￡y 2y°L =1与直线Ax By ^0有公共点的充要条件是
b
A2a2 B2b2 _(Ax0 By0 C)2.
_ 2
X V
已知椭圆—2=1( a> b > 0) , O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且
a b
1 1 11
OP_OQ.( 1) 2 2 2 2 ；(2) |OP^+|OQ|2的最大值为
|OP |2 |OQ|2 a2 b2
a b
~2 7~2 .
a b
椭圆 2
a
-2 2
2 2
4a b ；
；
a b
9.
10.
11.
12.
13.
(3) S O>P Q的最小值是
2 2
过椭圆
MN的垂直平分线交
(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于
x轴于P,则四,
|MN | 2
2 2
X V
已知椭圆—2=1 ( a>b> 0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段
a b
2 . 2 2 . 2
a —
b a — b
分线与x车由相交于点P(x0,0),贝y ----------- ：:: X0 ::：--
a
M,N
AB
两点，弦
的垂直平
2 2
设p点是椭圆务卡邛(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点
记.F1PF2 - v 则(1)
| PF1 ||PF2 |= 12b . .(2) S PF1F2 二b2 tan-.
1+cos 日 2
2 2
笃=1 ( a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点, a b
一PAB二，一PBA = ： ,._BPA二,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
2 2 2
2ab |cosa | 住22a b 啪
(1)| PA| 2 2 2 .(2) tan： tan . =1-e .(3) S PAB2--------------- cot .
a -c cos ；
b -a
设A、B是椭圆
2 2
X V
已知椭圆 ~2=1( a> b> 0)的右准线I与x轴相交于点E ,过椭圆右焦点F
a b
的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线I上，且BC _ X轴，则直线AC经过线段EF的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相
应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与
焦半径互相垂直
16?椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17?椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.
18?椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
高三数学备课组
双曲线
2 2
x y
1. 双曲线—2=1 (a> 0,b> 0)的两个顶点为A (-a,0),民佝0)，与y轴
a b
2 2 平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是笃-y2=!? a b
2 2
2. 过双曲线笃-爲=1 (a>0,b>0)上任一点A(X o,y o)任意作两条倾斜角互
a b
b2x 补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且k ec 厂0(常数)?
a y°
2 2
x y
3. 若P为双曲线—2=1 (a>0,b> 0)右(或左)支上除顶点外的任一点，F1,
a b
c _ a Gt P
F 2 是焦点，? PF1F2 - - , PF2R 二：，贝y taLCO L (或
c + a 2 2
c-a + 1 J
tan —co t-).
c a 2 2
2 2
x y
4. 设双曲线—2=1 (a>0,b>0)的两个焦点为F2,P (异于长轴端点)
a b
为双曲线上任意一点，在厶PF1F2中，记? F1PF2 =：?
/ 冉/ 呼sin 口 c
PF1F2 二-，F1F2P 二“，则有e.
-(sin - sin - ) a
2 2
x y
5. 若双曲线—2=1 (a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为F2,左准线为L ,
a b
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于 点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<
注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设 其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； （5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=； （6）准线方程：c a x 2 ± =； （7）焦准距：c b 2 ； （8）离心率： a c e = 且10< 【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 高三数学专题复习----椭圆 一 基础知识 （1）椭圆的第一定义第二定义，（2）椭圆的标准方程，（3）椭圆的性质，（4）椭圆和直线的位置关系 二 例题 1、方程m y x ++16m -252 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) (A)-16 4、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） （A ） 2 1 （B ）22（C ）23（D ）33 5、若椭圆 19822=++y k x 的离心率是2 1，则k 的值等于 ( ) (A)－ 45 (B)45 (C)－45或4 (D)4 5 或4 6、椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是 2 3 ，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ） 2 1 或1 7、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e= 3 2 ，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。 （A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36 y 2 =1 （C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5 x 2+9y 2 =1 高中数学椭圆的经典知识总结 椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义：1,2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个 焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离： 0? 椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆0632 2=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3 52，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 例5 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内 切，求动圆圆心P 的轨迹方程 例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过()12， A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=?OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程． 例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 102，求直线的方程． 例9 以椭圆13 122 2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程． 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范 例10 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 圆锥曲线 一、填空题 1、(201５年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中,P 为双曲线2 2 1x y -=右支上的一个动点,若P 到 直线10x y -+=的距离大于ｃ恒成立,则ｃ的最大值为＿ __ 2 _____＿____。 ２、（2013年江苏高考)双曲线19162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、(2０１3年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x , 右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ,若126d d = ，则椭圆C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系ｘoy 中,已知抛物线C ：y x 42 =的焦点为F,定 点)0, 22(A ，若射线FA 与抛物线C 相交于点M,与抛物线Ｃ的准线相交于点N,则ＦM ：ＭN ＝ 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研(二））已知双曲线22 221(,0)x y a b a b -=>的离心率等于2， 它的焦点到渐近线的距离等于１，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线 22 14x y m -= 的渐近线方程为2y x =±，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线2 8y x =的焦点F 与双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线＼F(x ２ ,a 2 )-＼F(ｙ2 ,b 2 )＝１(a ＞0,b >0)的渐近线方程 为y =±＼R(，3）x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研)已知双曲线 2 2 15 x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 1０、（南京市、盐城市 高三)若双曲线2 2 2 (0)x y a a -=>的右焦点与抛物线2 4y x =的焦点重合,则a = ▲ ． Y 高中数学椭圆知识总结 一、选择题 1．(09·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上， 且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP →＝2PB → ，则椭圆的离心率是 ( ) A.32 B.22 C.13 D.12 [答案] D [解析] 由题意知：F (－c,0)，A (a,0)． ∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝a c .又∵AP →＝2PB → ， ∴a c ＝2，∴e ＝c a ＝1 2 .故选D. 2．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2 ＝1 2 ，则椭圆的离心率为 ( ) A.12 B.23 C.13 D.53 [答案] D [解析] 由PF 1→·PF 2→ ＝0知∠F 1PF 2为直角， 设|PF 1|＝x ，由tan∠PF 1F 2＝1 2 知，|PF 2|＝2x ， ∴a ＝32x ， 由|PF 1|2 ＋|PF 2|2 ＝|F 1F 2|2 得c ＝52 x ， ∴e ＝c a ＝ 53 . 3．(文)(北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2 ＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 [答案] B [解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． (理)(浙江台州)已知点M (3，0)，椭圆x 2 4 ＋y 2 ＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ， 则△ABM 的周长为 ( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 [答案] B [解析] 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 2 4 ＋y 2 ＝1的两个焦 点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2 n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c ，0)和 (c,0)(c >0)．若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2 的等差中项，则椭圆的离心率是( ) 高考椭圆大题专题分类 一、求椭圆的方程以及面积 1．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6 3，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积． 解析 (1)由已知得c ＝22，c a ＝6 3.解得a ＝23， 又b 2＝a 2－c 2＝ 4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2 4＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m . 由???? ?y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1 椭圆 知识点一：椭圆的定义 第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和为定值 )2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹不存在. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=. 注意：①只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； ②在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； ③椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 题型一、椭圆的定义 1、方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是 2、若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 3、椭圆19 252 2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．2 3 4、椭圆22 12516 x y +=两焦点为12F F 、，()3,1A ，点P 在椭圆上，则1PF PA +的最大值为_____，最小值为 ___ 题型二、椭圆的标准方程 5、方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是 （A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆 6、若方程22 153 x y k k +=--， （1）表示圆，则实数k 的取值是 . （2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 . 7、椭圆22 14x y m +=的焦距为2，则m = 8、已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 9、已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 10、求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。 11、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为 354和3 52，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 高考数学专题讲解：椭圆 定义与基本性质 第一部分：椭圆的定义与性质 第一部分：椭圆的定义与方程推理 【椭圆的定义】：到两个定点的距离之和等于定长的动点轨迹。 规定：定点为椭圆的交点。 【焦点在x 轴】：如下图所示： 规定：①以两个焦点的连线为x 轴； ②以两个焦点的连线的中垂线为y 轴。 假设：椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ； 两个焦点之间的距离（焦距）为c 2。如下图所示： 左焦点1F 的坐标为)0,(c ，右焦点2F 的坐标为) 0,(c 假设：定长为a 2。 椭圆的定义式：a PF PF 221=+。 P 点的坐标),(y x ，1F 点的坐标为22221)()0()]([)0,(y c x y c x PF c ++=-+--=?-；P 点的坐标),(y x ，2F 点的坐标为221)()0,(y c x PF c +-=?； a y c x y c x a PF PF 2)()(2222221=+-+++?=+。化简：2 2222222)(2)(2)()(y c x a y c x a y c x y c x +--=++?=+-+++2222222222222)()(44)())(2())((y c x y c x a a y c x y c x a y c x +-++--=++?+--=++?cx y c x a a cx y c cx x y c x a a y c cx x 2)(4422)(442222222222222-+--=?++-++--=+++?22222222222)(])([)(44)(4cx a y c x a cx a y c x a cx a y c x a -=+-?-=+-?-=+-?2 224222222242222)2(2])[(x c cx a a y c cx x a x c cx a a y c x a +-=++-?+-=+-?2 242222222224222222222x c a y a c a x a x c cx a a y a c a cx a x a +=++?+-=++-?) ()(22222222224222222c a a y a x c a c a a x c y a x a -=+-?-=-+?1)()()()()(222 2222222222222222222=-+?--=-+--?c a y a x c a a c a a c a a y a c a a x c a 。假设：2 22c a b -=。椭圆的方程：122 22=+b y a x 。左右顶点（与x 轴的交点）：令：?±=?=?=?=a x a x a x y 2222 10左顶点)0,(a -，右顶点)0,(a ；上下顶点（与y 轴的交点）：令：?±=?=?=?=b y b y b y x 2222 10上顶点),0(b ，下顶点),0(b -。如下图所示： 圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10< 注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设 其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； （5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=； （6）准线方程：c a x 2 ± =； （7）焦准距：c b 2 ； （8）离心率： a c e = 且10< 椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b . |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e 15-16高考数学一轮复习椭圆专题检测（含 答案） 在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是常数的轨迹，以下是椭圆专题检测，请考生及时练习。 一、选择题 2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆 C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是() (A)+=1 (B)+=1 (C)+y2=1 (D)+=1 二、填空题 7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为. 8.已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点,且在x轴上方,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF2的斜率为-4,则△PF1F2的面积是. 9.分别过椭圆+=1(a0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1, l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是. 三、解答题 10.(2019西安模拟)在平面直角坐标系中,已知曲线C上任意一点P到两个定点F1(-,0)和F2(,0)的距离之和为4. (1)求曲线C的方程. (2)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,以线段AB为直径作圆. 试问:该圆能否经过坐标原点?若能,请写出此时直线l的方程,并证明你的结论;若不能,请说明理由. 11.(2019渭南模拟)已知椭圆C:+=1(a0)的右顶点A为抛物线y2=8x的焦点,上顶点为B,离心率为. (1)求椭圆C的方程. (2)过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,若线段PQ 的中点横坐标是-,求直线l的方程. 12.(能力挑战题)已知点P是圆F1:(x+)2+y2=16上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点. (1)求点M的轨迹C的方程. (2)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KHx轴,H为垂足,延长HK到点Q使得|HK|=|KQ|,连接AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系. 答案解析 2.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16. 知其半径r=4,长轴长2a=4,a=2. 又e==, c=1,b2=a2-c2=4-1=3, 椭圆的标准方程为+=1. 7.【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a0). ∵e=,=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程 专题12椭圆测试题 【高频考点】本知识涉及椭圆的定义，标准方程以及简单的几何性质的应用，直线与椭圆的位置关系。【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一，涉及客观题和解答题，客观题主要考查椭圆方程的求解，椭圆的几何性质等，难度中等，在解答题中多以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，定值定点，以及最值问题，常常以探索性问题形式出现，难度较大。 【重点推荐】基础卷第11题，数学文化题，第22题考察与不等式的交汇，考察综合解决问题的能力。一．选择题 1.方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（） A．（1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（0，1）D．（﹣1，0） 二．【答案】C 三．【解析】：方程表示焦点在x轴上的椭圆，可得m∈（0，1）．故选：C． 四． 2. 设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（） 五．A．2 B．2 C．2 D．4 六．【答案】：C 七．【解析】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2． 八．故选：C． 九． 3. 设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的点，且|F1F2|=8，|PF1|+|PF2|=10，则椭圆的短轴长为（） 十．A．6 B．8 C．9 D．10 十一．【答案】：A 十二．【解析】设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的点，且|F1F2|=8，可得c=4， 十三．|PF1|+|PF2|=10，可得a=5，则椭圆的短轴长为：2b=2=6．故选：A． 十四． 十五． 4. （2018?大连二模）设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是（） 十六．A．2 B．C．4 D． 十七．【答案】：C 十八．【解析】如图，设F2是椭圆的右焦点，∵O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形，∴AF=BF2．∴|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4，故选：C． 十九． 二十． 二十一．5若点F1，F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的点，满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为（） 二十二．A．1 B．2 C．D．4 二十三．【答案】：A 二十四． 6. （2018?齐齐哈尔二模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长大于2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（） 椭圆 2019年 1.（2019全国1文12）已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22 143x y += D ．22 154 x y += 2.（2019全国II 文9）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆 22 13x y p p +=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 3.（2019北京文19）已知椭圆22 22:1x y C a b +=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点． 4.（2019江苏16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点 为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:2 2 2 (1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1= 5 2 ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标． 5.（2019浙江15）已知椭圆22 195 x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 6.（2019全国II 文20）已知12,F F 是椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上 一点，O 为坐标原点． （1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率； （2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围. 7.（2019天津文19）设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，顶点为 B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点F 且斜率为 3 4 的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程. 8.(2019全国III 文15）设12F F ，为椭圆C : 22 +13620 x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 9.（2019北京文19）已知椭圆22 22:1x y C a b +=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解
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