第四章基本的推理技术
4.1答：
(1)推理：按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程。
(2)正向推理
正向推理（事实驱动推理）是由已知事实出发向结论方向的推理。
基本思想是：系统根据用户提供的初始事实，在知识库中搜索能与之匹配的规则即当前可用的规则，构成可适用的规则集RS，然后按某种冲突解决策略从RS中选择一条知识进行推理，并将推出的结论作为中间结果加入到数据库DB中作为下一步推理的事实，在此之后，再在知识库中选择可适用的知识进行推理，如此重复进行这一过程，直到得出最终结论或者知识库中没有可适用的知识为止。
正向推理简单、易实现，但目的性不强，效率低。需要用启发性知识解除冲突并控制中间结果的选取，其中包括必要的回溯。由于不能反推，系统的解释功能受到影响。
(3)反向推理
反向推理是以某个假设目标作为出发点的一种推理，又称为目标驱动推理或逆向推理。
反向推理的基本思想是：首先提出一个假设目标，然后由此出发，进一步寻找支持该假设的证据，若所需的证据都能找到，则该假设成立，推理成功；若无法找到支持该假设的所有证据，则说明此假设不成立，需要另作新的假设。
与正向推理相比，反向推理的主要优点是不必使用与目标无关的知识，目的性强，同时它还有利于向用户提供解释。反向推理的缺点是在选择初始目标时具有很大的盲目性，若假设不正确，就有可能要多次提出假设，影响了系统的效率。
反向推理比较适合结论单一或直接提出结论要求证实的系统。
(4)推理方式分类
?演绎推理、归纳推理、默认推理
?确定性推理、不精确推理
?单调推理、非单调推理
?启发式推理、非启发式推理
4.2答：
(1) 在推理过程中，系统要不断地用数据库中的事实与知识库中的规则进行匹配，当有一个以上规则的条件部分和当前数据库相匹配时，就需要有一种策略来决定首先使用哪一条规则，这就是冲突解决策略。冲突解决策略实际上就是确定规则的启用顺序。
(2) 冲突解决策略：专一性排序、规则排序、数据排序、就近排序、上下文限制、按匹配度排序、按条件个数排序
4.3答：归结反演就是利用归结和反演实现定理的证明。具体过程如下：
(1) 将定理证明的前提谓词公式转化为子句集F。
(2) 将求证的目标表示成合适的谓词公式G（目标公式）。
(3) 将目标公式的否定式 G转化成子句的形式，并加入到子句集F中，得到子句集S。
(4) 应用归结原理对子句集S中的子句进行归结，并把每次归结得到的归结式都并入S 中。如此反复进行，若归结得到一个空子句NIL，则停止归结，证明了G为真。
4.4答：略
4.5答：
（1）(x) (y) [P(x,y)→Q(x,y)]=(x) (y) [~P(x,y)∨Q(x,y)]={~P(x,y)∨Q(x,y)}
子句集为~P(x,y)∨Q(x,y)
（2）(x)(?y)[P(x,y)∨Q(x,y)→R(x,y)]=(x) )(?y) [~P(x,y)∧~Q(x,y)∨R(x,y)]={~P(x)∨
P(x)}
=(x)[~P(x,f(x))∧~Q(x, f(x))∨R(x, f(x))]= ~P(x,f(x))∧~Q(x, f(x))∨R(x, f(x))=
[~P(x,f(x))∨R(x, f(x))]∧[~Q(x, f(x))∨R(x, f(x))]= [~P(x,f(x))∨R(x, f(x))]∧[~Q(y, f(y))∨R(y, f(y))]
子句集为~P(x,f(x))∨R(x, f(x))和~Q(y, f(y))∨R(y, f(y))
（3）(x){(y)P(x,y)→~ (y)[Q(x,y) →R(x,y)]}=(x) ){(?y) ~P(x,y)∨~ (y)[Q(x,y)
→R(x,y)]}= (x) [(?y) ~P(x,y)∨(?y)[~Q(x,y)∨R(x,y)]= (x) [~P(x,f(x))∨[~Q(x, f(x))∨R(x,
f(x))]= ~P(x,f(x))∨~Q(x, f(x))∨R(x, f(x))
子句集为~P(x,f(x))∨~Q(x, f(x))∨R(x, f(x))
4.6答：
(1)
(2){A/x, A/y, A/z, A/w, A/u}
(3)
4.7答：
（1）（?x）{[P（x）→P（A）]∧[P（x）→P（B）]}
目标取反化子句集：
~（?x）{[P（x）→P（A）]∧[P（x）→P（B）]}
~（?x）{[~P（x）∨P（A）]∧[~P（x）∨P（B）]}
（x）{[P（x）∧~P（A）]∨[P（x）∧~P（B）]}
（x）{[P（x）∧~P（A）]∨P（x）}∧{[P（x）∧~P（A）]∨~P（B）}}
（x）{P（x）∧[~P（A）∨P（x）]∧[P（x）∨~P（B）]∧[~P（A）∨~P（B）]} P（x）∧[~P（A）∨P（x）]∧[P（x）∨~P（B）]∧[~P（A）∨~P（B）]
得子句集：
1, P(x1)
2, ~P(A)∨P{x2}
3, P(x3)∨~P(B)
4, ~P(A)∨~P(B)
（2）（x）{P（x）∧[Q（A）∨Q（B）]}→（x）[P（x）∧Q（x）]
目标取反化子句集：
~{(x){P(x)∧[Q(A)∨Q(B)]}→(x)[P(x)∧Q(x)]}
~{~{(x)P(x)∧[Q(A)∨Q(B)]}∨(x)[P(x)∧Q(x)]}
{(x)P(x)∧[Q(A)∨Q(B)]}∧(x)[~P(x)∨~Q(x)]}
{(x)P(x)∧[Q(A)∨Q(B)]}∧(y)[~P(y)∨~Q(y)]}
(x)(y){P(x)∧[Q(A)∨Q(B)]∧[~P(y)∨~Q(y)]}
P(x)∧[Q(A)∨Q(B)]∧[~P(y)∨~Q(y)]
得子句集：
1，P(x)
2，Q(A)∨Q(B)
3，~P(y)∨~Q(y)
4.8答：
4.9答：
答：我们用Skier(x)表示x是滑雪运动员，Alpinist(x)表示x是登山运动员，Alpine(x)表示x 是Alpine俱乐部的成员。
问题用谓词公式表示如下：
已知：
(1) Alpine(Tony)
(2) Alpine(Mike)
(3) Alpine(John)
(4) (x){Alpine(x)→[Skier(x)∨Alpinist(x)]}
(5) (x){Alpinist(x)→~Like(x, Rain)}
(6) (x){~Like(x, Snow)→~ Skier(x)}
(7) (x){Like(Tony, x)→~Like(Mike, x)}
(8) (x){~Like(Tony, x)→Like(Mike, x)}
(9) Like(Tony, Snow)
(10) Like(Tony, Rain)
目标：( x){Alpine(x)∧Alpinist(x)∧~Skier(x)}
化子句集：
(1) Alpine(Tony)
(2) Alpine(Mike)
(3) Alpine(John)
(4)(x){Alpine(x)→[Skier(x)∨Alpinist(x)]} = (x){~Alpine(x)∨[Skier(x)∨Alpinist(x)]} =>~Alpine(x)∨Skier(x)∨Alpinist(x)
(5) (x){Alpinist(x)→~Like(x, Rain)} = (x){~Alpinist(x)∨~Like(x, Rain)} =>~Alpinist(x)∨~Like(x, Rain)
(6) (x){~Like(x, Snow)→~ Skier(x)} = (x){Like(x, Snow)∨~ Skier(x)} => Like(x, Snow)∨~ Skier(x)
(7)(x){Like(Tony, x)→~Like(Mike, x)} = (x){~Like(Tony, x)∨~Like(Mike, x)} =>~Like(Tony, x)∨~Like(Mike, x)
(8) (x){~Like(Tony, x)→Like(Mike, x)} = (x){Like(Tony, x)∨Like(Mike, x)} => Like(Tony, x)∨Like(Mike, x)
(9) Like(Tony, Snow) (10) Like(Tony, Rain)
目标取反：
~( x){Alpine(x)∧Alpinist(x)∧~Skier(x)}
= (x){~Alpine(x)∨~Alpinist(x)∨Skier(x)}
=>~Alpine(x)∨~Alpinist(x)∨Skier(x)
经变量换名后，得到子句集：
{Alpine(Tony), Alpine(Mike), Alpine(John), ~Alpine(x1)∨Skier(x1)∨Alpinist(x1), ~Alpinist(x2)∨~Like(x2, Rain), Like(x3, Snow)∨~ Skier(x3), ~Like(Tony, x4)∨~Like(Mike, x4), Like(Tony, x5)∨Like(Mike, x5), Like(Tony, Snow), Like(Tony, Rain), ~Alpine(x)∨~Alpinist(x)∨Skier(x)} 归结树如下：
4.10答：基于规则的演绎推理可分为正向演绎推理、反向演绎推理和正反向混合演绎推理。
在正向演绎推理中，作为F规则用的蕴含式对事实的总数据库进行操作运算，直至得到该目标公式的一个终止条件为止。事实目标公式
在反向演绎推理中，作为B规则用的蕴含式对目标的总数据库进行操作运算，直至得到包含这些事实的终止条件为止。目标公式事实勤劳的蜜蜂有糖吃
4.11答：
第四章知识推理技术 本章主要在知识表达的基础上，讨论“知识的运用”即知识推理的概念和方法。 第一节知识推理的概念和类型 一．知识推理的基本概念 所谓“知识推理”（Knowledge Inference）是指在计算机或智能机器中，在知识表达的基础上，即利用形式化的知识模式——表达与问题有关知识的符号体系，进行及其思维、求解问题、实现知识推理的智能操作过程。一句话，知识推理就是运用知识求解问题。 知识推理的过程就是问题求解的过程，知识推理技术就是使问题从初始状态转移到目标状态的方法和途径。 研究人工智能的知识推理技术，目的是寻求问题、实现状态转移的智能操作序列，以便从初始状态，沿着最优或最经济的途径，有效地转移到所要求的目标状态，实现问题求解过程的智能机械化或计算机化。 例如：利用计算机制定机器人的行动规划，安排机器人从出发地点到目的地点所需的操作序列和行动路线。又如，利用计算机证明数学定理，给出从已知条件开始到定理证明完毕所需的算子序列和演算步骤等等都是知识推理技术的运用。 二．知识推理技术的类型 1.根据知识表达法分类 知识推理是以知识表达技术作为前提条件的，它们之间有着密切的关系，由知识表达的特点，知识推理技术可概括为两种类型： （1）“图搜索”方法 在人工智能的知识表达技术中，许多基本的、常用的表达方式都具有图的形式，或者可以变换为相应的（同种或同态变换）图的形式，并且，往往可用树图表达。例如：状态空间态、与/或树图、语义网络图以及由生产是系统或框架表达方式所变换的树图或网络图。 针对图的知识表达，问题求解的知识推理过程，就是从图中相当于初始状态
的出发结点到相当于目标状态的终结点的路线搜索过程。即搜索从初始状态有效地转移到目标状态，所经历的最优向或最经济的路线，相应的知识推理方法即“图搜索”方法。 广度优先搜索法 基本的图搜索法 深度优先搜索法 （2）“逻辑论证”方法 当知识采用谓词逻辑或其他方法的形式逻辑表达时，知识推理的便成为逻辑论证。在此情况下，求解两个问题相应于证明一个定理或几个定理，问题求解的知识推理过程相应于用数理逻辑方法进行定理证明的过程。 例如：在自动问答系统中，如果用一组谓词逻辑表达式A描述提问的内容，包括有关的事实、情况和条件，而用另一组谓词逻辑表达式B描述问题的答案或结论，那么，只要通过逻辑演算的方法论证定理：A→B成立，也就相应于完成了该问题的知识推理。 基本的逻辑推理方法主要有：命题逻辑中的机器定理证明的王浩算法和一阶谓词逻辑中定理证明的鲁宾逊消解方法。 2.根据问题求解过程的完备性分类 根据问题求解过程是否完备，可将知识推理方法分为： （1）推理算法 若问题求解的知识推理过程是完备的，则对于可解的问题从任意初始状态出发，通过这种推理过程，总可以找到一条求解路线，经过有限的、确定的操作序列，转移所要求的目标状态，保证推理过程的收敛性，求得问题的解答。这种推理过程具有完备性，而完备的推理过程称为“推理算法”。 例如：王浩算法就是一种知识推理算法。又如广度优先搜索推理方法具有完备性，也是一种知识推理的搜索算法。 （2）推理步骤 若问题求解的推理过程是不完备的，则不能保证其推理过程的收敛性，以任意初始状态转移到目标态，不一定能求得问题的解答。这种推理过程是不完备的、非算法的，称为“推理步骤”。
数字推理题库 【1】7，9，-1，5，( ) A、4； B、2； C、-1； D、-3 分析:选D，7+9=16；9+（-1）=8；（-1）+5=4；5+（-3）=2 , 16，8，4，2等比 ? 【2】3，2，5/3，3/2，( ) A、1/4； B、7/5； C、3/4； D、2/5 分析:选B，可化为3/1，4/2，5/3，6/4，7/5,分子3，4，5，6，7,分母1，2，3，4，5 【3】1，2，5，29，（） A、34； B、841； C、866； D、37 分析:选C，5=12+22；29=52+22；( )=292+52=866 【4】2，12，30，（） A、50； B、65； C、75； D、56； 分析:选D，1×2=2；3×4=12；5×6=30；7×8=（）=56 【5】2，1，2/3，1/2，（） A、3/4； B、1/4； C、2/5； D、5/6； 分析:选C，数列可化为4/2，4/4，4/6，4/8，分母都是4，分子2，4，6，8等差，所以后项为4/10=2/5，【6】4，2，2，3，6，（） A、6； B、8； C、10； D、15； 分析:选D，2/4=0.5；2/2=1；3/2=1.5；6/3=2；0.5，1，1.5, 2等比，所以后项为2.5×6=15 【7】1，7，8，57，（） A、123； B、122； C、121； D、120； 分析:选C，12+7=8；72+8=57；82+57=121； 【8】4，12，8，10，（） A、6； B、8； C、9； D、24； 分析:选C，(4+12)/2=8；(12+8)/2=10；(8+10)/2=9 【9】1/2，1，1，（），9/11，11/13 A、2； B、3； C、1； D、7/9； 分析:选C，化成1/2,3/3,5/5 ( ),9/11,11/13这下就看出来了只能是(7/7)注意分母是质数列，分子是奇数列。 【10】95，88，71，61，50，（） A、40； B、39； C、38； D、37； 分析：选A， 思路一：它们的十位是一个递减数字9、8、7、6、5 只是少开始的4 所以选择A。 思路二：95 - 9 - 5 = 81；88 - 8 - 8 = 72；71 - 7 - 1 = 63；61 - 6 - 1 = 54；50 - 5 - 0 = 45；40 - 4 - 0 = 36 ，构成等差数列。 【11】2，6，13，39，15，45，23，( ) A. 46； B. 66； C. 68； D. 69； 分析：选D，数字2个一组,后一个数是前一个数的3倍 【12】1，3，3，5，7，9，13，15（），（） A：19，21；B：19，23；C：21，23；D：27，30； 分析：选C，1，3，3，5，7，9，13，15（21），（30 ）=>奇偶项分两组1、3、7、13、21和3、5、9、15、23其中奇数项1、3、7、13、21=>作差2、4、6、8等差数列，偶数项3、5、9、15、23=>作差2、4、6、8等差数列 【13】1，2，8，28，（） A.72； B.100； C.64； D.56； 分析：选B，1×2+2×3=8；2×2+8×3=28；8×2+28×3=100 【14】0，4，18，（），100 A.48； B.58； C.50； D.38； 分析：A， 思路一：0、4、18、48、100=>作差=>4、14、30、52=>作差=>10、16、22等差数列；
高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3
数字推理习题库及答案 解析 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
数字推理习题库及答案解析 1、5，10，17，26，（） A、30； B、43； C、37； D、41 【解答】相邻两数之差为5、7、9、11，构成等差数列。 2、184：55，66，78，82，（） A、98； B、100； C、97； D、102 【解答】本题思路：56-5-6=45=5×9 66-6-6=54=6×9 78-7-8=63=7×9 82-8-2=72=8×9 98-9-8=81=9×9 4、5的立方加1，所以括号中应为5的立方加1，即126的开方，故选D。 3、1，13，45，97，（） A、169； B、125； C、137； D、189 【解答】相邻两数之差构成12、32、52这样的等差数列，故下一个数就应该是97+72=169，选A。 4、1，01，2，002，3，0003，（）… A、40003； B、4003； C、400004； D、4 0004 【解答】隔项为自然数列和等比数列，故选D。 5、2，3，6，36，（）
A、48； B、54； C、72； D、1296 【解答】从第三项开始，每一项都是前几项的乘积。故选D。 6、3，6，9，（） A、12； B、14； C、16； D、24 【解答】等比数列。 7、1，312，623，（） A、718； B、934； C、819； D、518 【解答】个位数分别是1、2、3、4，十位数分别是0、1、2、3，百位数分别是0、3、6、9，所以选B。 8、8，7，15，22，（） A、37； B、25； C、44； D、39 【解答】从第三项开始，后一项是前两项的和。故选A。 9、3，5，9，17，（） A、25； B、33； C、29； D、37 【解答】相邻两项的差构成等比数列。故选B。 10、20，31，43，56，（） A、68； B、72； C、80； D、70 【解答】相邻两项的差构成等差数列。故选D。 11、+1，-1，1，-1，（） A、+1； B、1； C、-1； D、-1 【解答】从第三项开始，后一项是前两项的乘积。 12、+1，4，3+1，（）
《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件
数字推理题100道详解 【301】1，8，9，4，（），1/6 A，3；B，2；C，1；D，1/3 分析：选C，1=14；8=23；9=32；4=41；1=50；1/6=6(-1) 【302】63，26，7，0，-2，-9，（） 分析：43-1=63；33-1=26；23-1=7；13-1=0；-13-1=-2；-23-1=-9 ；-33-1=－28 【303】8，8，12，24，60，( ) A,240；B,180；C,120；D,80 分析：选B，8，8是一倍12，24两倍关系60，（180）三倍关系 【304】-1，0，31，80，63，( )，5 A．35；B．24；C．26；D．37； 分析：选B，-1 = 07 - 1 0 = 16 - 1 31= 25 - 1 80 = 34 - 1 63 = 43 - 1 24 = 52 - 1 5 = 61–1 【305】3，8，11，20，71，（） A．168；B．233；C．91；D．304 分析：选B，每项除以第一项=>余数列2、2、2、2、2、2、2 【306】88，24，56，40，48，（），46 A.38； B.40； C.42； D.44 分析：选D，前项减后项=>64、-32、16、-8、4、-2=>前项除以后项=>-2、-2、-2、-2、-2 【307】4，2，2，3，6，（） A.10； B.15； C.8； D.6； 分析：选B，后项/前项为：0.5，1，1.5，2，？=2.5 所以6×2.5=15 【308】49/800，47/400，9/40，( ) A.13/200； B.41/100； C.51/100； D.43/100 分析：选D， 思路一：49/800, 47/400, 9/40, 43/100=>49/800、94/800、180/800、344/800=>分子49、94、180、344 49×2-4=94；94×2-8=180；180×2-16=344；其中4、8、16等比。 思路二：分子49，47，45，43；分母800，400，200，100 【309】36，12，30，36，51，（） A.69 ； B.70； C.71； D.72 分析：选A，36/2=30-12；12/2=36-30；30/2=51-36；36/3=X-51；X=69
数字推理题500道详解 【1】7，9，-1，5，( ) A、4； B、2； C、-1； D、-3 分析:选D，7+9=16；9+（-1）=8；（-1）+5=4；5+（-3）=2 , 16，8，4，2等比 【2】3，2，5/3，3/2，( ) A、1/4； B、7/5； C、3/4； D、2/5 分析:选B，可化为3/1，4/2，5/3，6/4，7/5,分子3，4，5，6，7,分母1，2，3，4，5 【3】1，2，5，29，（） A、34； B、841； C、866； D、37 分析:选C，5=12+22；29=52+22；( )=292+52=866 【4】2，12，30，（） A、50； B、65； C、75； D、56； 分析:选D，1×2=2；3×4=12；5×6=30；7×8=（）=56 【5】2，1，2/3，1/2，（） A、3/4； B、1/4； C、2/5； D、5/6； 分析:选C，数列可化为4/2，4/4，4/6，4/8，分母都是4，分子2，4，6，8等差，所以后项为4/10=2/5， 【6】4，2，2，3，6，（） A、6； B、8； C、10； D、15； 分析:选D，2/4=0.5；2/2=1；3/2=1.5；6/3=2；0.5，1，1.5, 2等比，所以后项为2.5×6=15 【7】1，7，8，57，（） A、123； B、122； C、121； D、120； 分析:选C，12+7=8；72+8=57；82+57=121； 【8】4，12，8，10，（） A、6； B、8； C、9； D、24； 分析:选C，(4+12)/2=8；(12+8)/2=10；(8+10)/2=9 【9】1/2，1，1，（），9/11，11/13 A、2； B、3； C、1； D、7/9； 分析:选C，化成1/2,3/3,5/5 ( ),9/11,11/13这下就看出来了只能是(7/7)注意分母是质数列，分子是奇数列。 【10】95，88，71，61，50，（） A、40； B、39； C、38； D、37； 分析：选A， 思路一：它们的十位是一个递减数字9、8、7、6、5 只是少开始的4 所以选择A。 思路二：95 - 9 - 5 = 81；88 - 8 - 8 = 72；71 - 7 - 1 = 63；61 - 6 - 1 = 54；50 - 5 - 0 = 45；40 - 4 - 0 = 36 ，构成等差数列。 【11】2，6，13，39，15，45，23，( ) A. 46； B. 66； C. 68； D. 69； 分析：选D，数字2个一组,后一个数是前一个数的3倍 【12】1，3，3，5，7，9，13，15（），（） A：19，21；B：19，23；C：21，23；D：27，30； 分析：选C，1，3，3，5，7，9，13，15（21），（30 ）=>奇偶项分两组1、3、7、13、21和3、5、9、15、23其中奇数项1、3、7、13、21=>作差2、4、6、8等差数列，偶数项3、5、9、15、23=>作差2、4、6、8等差数列 【13】1，2，8，28，（）
一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++
数字推理题型的7种类型28种形式
数字推理题型的7种类型28种形式 数字推理由题干和选项两部分组成，题干是一个有某种规律的数列，但其中缺少一项，要求考生仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的规律，然后从四个供选择的答案中选出你认为最合适、最合理的一个，使之符合数列的排列规律。其不同于其他形式的推理，题目中全部是数字，没有文字可供应试者理解题意，真实地考查了应试者的抽象思维能力。 第一种情形----等差数列：是指相邻之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。１、等差数列的常规公式。设等差数列的首项为a1，公差为 d ，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d (n为自然数)。 [例1]1，3，5，7，9，（） A.7 B.8 C.11 D.13 [解析] 这是一种很简单的排列方式：其特征是相邻两个数字之间的差是一个常数。从该题中我们很容易发现相邻两个数字的差均为2，所以括号内的数字应为11。故选C。 ２、二级等差数列。是指等差数列的变式，相邻
两项之差之间有着明显的规律性,往往构成等差数列. [例2] 2, 5, 10, 17, 26, ( ), 50 A.35 B.33 C.37 D.36 [解析] 相邻两位数之差分别为3, 5, 7, 9, 是一个差值为2的等差数列,所以括号内的数与26的差值应为11,即括号内的数为26+11=37.故选C。 ３、分子分母的等差数列。是指一组分数中，分子或分母、分子和分母分别呈现等差数列的规律性。 [例3] 2/3，3/4，4/5，5/6，6/7，（）A、8/9 B、9/10 C、9/11 D、7/8 [解析] 数列分母依次为3，4，5，6，7；分子依次为2，3，4，5，6，故括号应为7/8。故选D。 ４、混合等差数列。是指一组数中，相邻的奇数项与相邻的偶数项呈现等差数列。 [例4] 1，3，3，5，7，9，13，15，，（），（）。
数字推理最新题库200道及详解 1、5，10，17，26，( A 、30； B 、43； C 、37； D 、41 解答：相邻两数之差为5、7、9、11，构成等差数列 2、，3，，，( A 、2； B 、； C 、4； D 、3 解答：把四个数全部化为根号，则根号里新的数是2、9、28、65、（），这明显是1、2、3、4、5的立方加1，所以括号中应为5的立方加1，即126的开方，故选D 。 3、1，13，45，97，( A 、169； B 、125； C 、137； D 、189 解答：相邻两数之差构成12、32、52这样的等差数列，故下一个数就应该是97+72=169，选A 。 4、1，01，2，002，3，0003，(… A 、4 0003； B 、4 003； C 、4 00004； D 、4 0004 解答：隔项为自然数列和等比数列，故选D 。 5、2，3，6，36，( A 、48； B 、54； C 、72； D 、1296 解答：从第三项开始，每一项都是前几项的乘积。故选D 6、3，6，9，( A 、12； B 、14； C 、16； D 、24
解答：等比数列。 7、1，312，623，( A 、718； B 、934； C 、819； D 、518 解答：个位数分别是1、2、3、4，十位数分别是0、1、2、3，百位数分别是0、3、6、9，所以选B 。 8、8，7，15，22，( A 、37； B 、25； C 、44； D 、39 解答：从第三项开始，后一项是前两项的和。故选A 。 9、3，5，9，17，( A 、25； B 、33； C 、29； D 、37 解答：相邻两项的差构成等比数列。故选B 。 10、20，31，43，56，( A 、68； B 、72； C 、80； D 、70 解答：相邻两项的差构成等差数列。故选D 。 11、+1，-1，1，-1，( A 、+1； B 、1； C 、-1； D 、-1 解答：从第三项开始，后一项是前两项的乘积。 12、+1，4，3+1，( A 、10； B 、4+1； C 、11； D 、 解答：选A
绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误 3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A ．各正三角形内一点 B ．各正三角形的某高线上的点 C ．各正三角形的中心 D ．各正三角形外的某点 4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->-
5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（） A ．分析法 B ．综合法 C ．间接证明法 D ．反证法 6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，47 4131211222<+++，…，可归纳出式子为（） A ．121 1 3121 1222-< + +++ n n B ．121 1 3121 12 22 +< ++++n n C ．n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D ．1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?，由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2?B ．πb 2?C ．πab ? D ．π()ab 2 8．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0 C ．（a －b ）（a －c ）＞0 D ．（a －b ）（a －c ）＜0 9．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为 3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.133
习题三 求下列谓词公式的子句集。 (1)?x?y(P(x,y) ∧Q(x,y)) 解：去掉存在量词变为：P(a,b)∧Q(a,b) 变成子句集{ P(a,b),Q(a,b)} (2)?x ?y(P(x,y) →Q(x,y)) 解：去掉蕴涵符号变为：?x ?y(? P(x,y) ∨ Q(x,y)) 去掉全称量词变为：? P(x,y) ∨ Q(x,y) 变成子句集{ ? P(x,y) ∨ Q(x,y)} (3)?x?y((P(x,y) ∨Q(x,y)) →R(x,y)) 解：去掉蕴涵符号变为：?x ?y(? (P(x,y) ∨ Q(x,y)) ∨ R(x,y)) 否定符号作用于单个谓词变为： ?x ?y((? P(x,y) ∧? Q(x,y)) ∨ R(x,y)) 去掉存在量词变为：?x ((? P(x,f(x)) ∧? Q(x,f(x))) ∨ R(x,f(x))) 去掉全称量词变为：(? P(x,f(x)) ∧? Q(x,f(x))) ∨ R(x,f(x) 化合取范式为： (? P(x,f(x)) ∨ R(x,f(x))∧(? Q(x,f(x)) ∨ R(x,f(x)) 变元：(? P(x,f(x)) ∨ R(x,f(x)))∧(? Q(y,f(y)) ∨ R(y,f(y))) 变成子句集{ ? P(x,f(x)) ∨ R(x,f(x)), ? Q(y,f(y)) ∨ R(y,f(y))} (4)?x (P(x) →?y (P(y) ∧R(x,y))) 解：去掉蕴涵符号变为：?x (? (P(x) ∨?y (P(y) ∧R(x,y))) 去掉存在量词变为：?x (? (P(x) ∨ (P(f(x)) ∧R(x,f(x)))
合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23
习题4 1、答：推理是按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程。 正向推理是由已知事实出发向结论方向的推理，也称为事实驱动推理。 反向推理是以某个假设目标作为出发点的一种推理，又称为目标驱动推理。 下面从几个不同的角度对推理方式进行分类。 1．演绎推理、归纳推理和默认推理 ①演绎推理是从一般到个别的推理。 ②归纳推理是从个别到一般的推理。 ③默认推理是在知识不完全的情况下假设某些条件已经具备的推理。 2．确定推理和不确定推理 ①确定推理是基于确定性知识的推理。 ②不确定推理是基于不确定性知识的推理。 3．启发式推理和非启发式推理 ①启发式推理是运用与问题有关的启发性知识的推理。 ②非启发式推理是不运用与问题有关的启发性知识的推理。 2、答：在推理过程中，有一个以上规则的条件部分与当前数据库相匹配，这种 情况就称为冲突。 常用的冲突解决策略如下 ①专一性排序。 ②规则排序。 ③数据排序。 ④就近排序。 ⑤上下文限制。 ⑥按匹配度排序。 ⑦按条件个数排序。 3、答：基于规则的演绎推理是一种直接的推理方法。它的规则是一些条件表达 式。 4、用真值表证明本章4.2节给出的恒等式。 5、解：(1) )) P x y y x→ Q ? ? )( ) ( x ( , (y , )( P x y y ? Q ? ? ? x∨ (y ( x )) ) , , )( )( ( y Q x x ? P∨ ? , (y ( ) ) , x y P∨ ? Q ? x ( , ) , (y ) 子句集为)} y Q x P∨ ? x ) ( {y , ( , (2) )) y Q y x x ∨ ? R ? x→ y P )( , ( , x ( ) ) )( ( , (y x y y P x Q ? R ? ? ? x∨ ∨ y ( )) , ( , )) ( ) )( (y )( ( , x
数字推理最新题库及详解 1、5，10，17，26，() A、30； B、43； C、37； D、41 解答：相邻两数之差为5、7、9、11，构成等差数列 2、2、9、28、65、（） A、129 B、128 C、127 D、126 解答：这明显是1、2、3、4、(5)的立方加1，所以括号中应为5的立方加1，即126的开方，故选D。 3、1，13，45，97，() A、169； B、125； C、137； D、189 解答：相邻两数之差构成12、32、52这样的等差数列，故下一个数就应该是97+72=169，选A。 4、1，01，2，002，3，0003，()… A、40003； B、4003； C、400004； D、40004 解答：隔项为自然数列和等比数列，故选c。 5、2，3，6，36，() A、48； B、54； C、72； D、1296 解答：从第三项开始，每一项都是前几项的乘积。故选D 6、3，6，9，() A、12； B、14； C、16； D、24 解答：等差数列所以是12。
7、1，312，623，() A、718； B、934； C、819； D、518 解答：个位数分别是1、2、3、4，十位数分别是0、1、2、3，百位数分别是0、3、6、9，所以选B。 8、8，7，15，22，() A、37； B、25； C、44； D、39 解答：从第三项开始，后一项是前两项的和。故选A。9、3，5，9，17，() A、25； B、33； C、29； D、37 解答：相邻两项的差构成等比数列。故选B。 10、20，31，43，56，() A、68； B、72； C、80； D、70 解答：相邻两项的差构成等差数列。故选D。 11、+1，-1，1，-1，() A、+1； B、1； C、-1； D、-1 解答：从第三项开始，后一项是前两项的乘积。 12、55，66，78，82，（） A、98； B、100； C、97； D、102 解答：本题思路：56-5-6=45=5×9 66-6-6=54=6×9 78-7-8=63=7×9 82-8-2=72=8×9
Ａ．186 Ｂ．208 Ｃ．158 Ｄ．132 2． 1， 5， 19， 81， 411，（）Ａ．2473 Ｂ．2485 Ｃ．1685 Ｄ．1857 3． 3， 3， 12， 21， 165，（）Ａ．649 Ｂ．606 Ｃ．289 Ｄ．343 4． 0，，，，，（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 5． 7， 11， 16， 25， 54，（）Ａ．98 Ｂ．127 Ｃ．172 Ｄ．203 6． 3， 7， 16， 41， 90，（）Ａ．121 Ｂ．211 Ｃ．181 Ｄ．256 7． 3， 12， 30， 63， 117，（）Ａ．187 Ｂ．198 Ｃ．193 Ｄ．196 8． 3， 8， 22， 62， 178，（）Ａ．518 Ｂ．516 Ｃ．548 Ｄ．546 9． 3， 2，，，，（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 10． 1， 3， 8， 33， 164，（）Ａ．999 Ｂ．985 Ｃ．1024 Ｄ．1048
A.12 B.16 C.20 D.24 12. 4， -6， 6， -8， 7.5，（） A．-7.5 B.-8 C.-8.5 D.-9.6 13. 16， 8， 12， 30， 105，（） A.215 B.365.5 C.425 D.472.5 14. -3， 5， 7， 4， 14， 18，（） A.29 B.23 C.21 D.17 15. 1234， 1360， 1396， 2422， 2458，（） A.2632 B.2584 C.2864 D.2976 16. -2， 2， 6， 10， 46，（） A.78 B.86 C.124 D.146 17. 4， 12， 40， 112， 352，（） A.625 B.784 C.832 D.996 18. -32， 36， -30， 38， -29，（） A.39 B.45 C.51 D.63 19. 1， 5， 11， 20， 34， 56，（） A.68 B.71 C.82 D.91 20. ， 3， 2， 10， 9， 31， 37，（） A.94 B.72 C.56 D.48
第四十一中学高二数学选修2-2《推理与证明测试题》 试卷满分100分，考试时间105分钟 一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绛推理是由一 般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A. ①②③；B.②③④；C.②④⑤；D.①③⑤. 2、 下面使用类比推理正确的是 （ ）? A. “若a ?3 = b ?3,则a 二b”类推出“若a ?0 = b ?0,则。=/?” B. “若（a + b ）c = ac + bc "类推出 “（a ? b）c = ac ? be ” C. “若（d + b ）c = ac + bc” 类推出“（ ^- = - + - （cHO ）” c c c D. “（b ） n = a n b n v 类推出 n =a n +b ,lff 3、 有--段演绎推理是这样的：“直线平行于平而，则平行于平而内所有直线；已知直线 b 尘平而&,立线a 〒平面a,直线b 〃平面Q ,则直线b//n 线a”的结论显然是错误 的，这是因为 （'） A ?人前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不人于60度”时，反设正确的是（）o （A ）假设三内角都不大于60度； （B ）假设三内角都大于60度； （O 假设三内角至多有一个大于60度； （D ）假设三内角至多有两个大于60度。 5、 在I ?进制中2004 = 4x10°+0x10'+0X 101 2+2X 103,那么在5进制中数码2004折合 成十进制为 （ ） A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004 8、用数学归纳法证明 “5 + 1)07 + 2)…(兀 + 〃)= 2“ -1-2?(2n -1) " ( n G )时, 9、已知料为止偶数，用数学归纳法证明 1 一严2 6、 利用数学归纳法证明a l+a+a 2+- + a n41= -------------------- , （aHl, nGN ）”时，在验证n=l \-a 成立吋，左边应该是 （ ） （A ）l （B ）l+a （C ）l+a+a 2 （D ）l+a+a 2+a 3 7、 某个命题与正整数料有关，如果当n = k 伙wN+）时命题成立，那么可推得当n = k + \ 时命题也成立.现（2知当n = l 时该命题不成立，那么可推得 A.当n=6时该命题不成立 B. 当n=6时该命题成立 C. 当时该命题不成立 D. 当n=8时该命题成立 从“ /1 = ￡到n = k + \^时，左边应增添的式子是 A. 2k +1 B. 2(2￡ + 1) 2k + l ( ) D. 222